8/18/2019 Soluçao Prova Estrutura da Matéria

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Universidade Federal do Maranhão

Departamento de Física

Disciplina: Estrutura da Matéria

Profº Edson Carvalho

1ª Avaliação - Solução

1.

a)  Use a relação   ⁄  para encontrar a expressão de.b)

 

Encontre a expressão de  em coordenadas cartesianas.c)  Use a expressão de  para obter as de .

Sabe-se que

 

então,

     Quando ⁄ , teremos

 

isto é,

   Para encontrar  de , teremos que aplicar o operador escada ̂ em  de duasmaneiras:

- algebricamente

̂   √  e que

√  ̂ Usaremos agora a forma diferencial de ̂:

̂

 

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Substituindo esta última expressão na anterior, teremos

√  ̂    Para encontrara a partir de, tem-se que aplicar ̂ em  de duas maneiras:

̂   √  e que

√  ̂ usando a diferencial de ̂:

̂  

 

 

   Substituindo esta expressão, teremos

√  ̂    2. Os resultados da experiência de Stern-Gerlach contrariam a teoria quântica de Schrödinger?

Explique fisicamente as propriedades do spin.

O experimento realizado por Stern-Gerlach mostra que a dinâmica do momento de dipolo

magnético é uma evidência experimental da quantização espacial. O fato de ser observado

somente duas componentes discretas, mostra que a teoria de Schrödinger estava incompleta e

que dever-se-ia levar em consideração o movimento do núcleo carregado em torno do seu

próprio eixo, portanto, existe um número quântico  de valores semi-inteiros ⁄  e ⁄  que possui características semelhantes a ⃗ .As propriedades dos spins resumem-se a existência de somente uma componente

 de

 com

incerteza nula, em que sua orientação é descrita pelos estados de spin-up e spin-down.

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3. (a) Desenhe o diagrama dos níveis de energia do átomo de hidrogênio para todos os estados

até , mas explicando também os desdobramentos segundo   e . (b) Com flechasconectando os pares de níveis, indique todas as transições que são permitidas pelas regras de

seleção.

Ver nota de aula!

4.A O átomo de hidrogênio pode ser visto como duas partículas carregadas  – um próton e um

elétron com potencial de interação de Coulomb entre eles. Escreva a equação de Schrödinger

para este sistema e o separe em duas partes: uma descrevendo o movimento do centro de

massa, e outra descrevendo o movimento relativo do próton e do elétron.

A equação de Schrödinger para o sistema próton – elétron é dada por

 

Para o sistema em questão, temos que o potencial é definido como

   

e a coordenada do centro de massa dada por

 Os laplacianos para os dois sistemas de referências são

 

e

 

analogamente, temos , ,   e . Substituindo esses operadores na equação deSchrödinger, temos

{

}  em que . Podemos separar a função de onda em duas partes, a primeira partedepende somente do centro de massa e a segunda das coordenadas relativas, isto é,   da seguinte forma

 

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como cada lado deve ser igual a uma constante, então

( )  e

 em que   é a energia cinética translacional no referencial do centro de massa e   é aenergia relativa. Ambas são provenientes da relação .

4.B A autofunção de um elétron no átomo de hidrogênio é

⁄ , em que

;

 é o raio de Bohr (a carga nuclear é  e o átomo contém somente um elétron). (a)Calcule a constante de normalização. (b) Se o número nuclear é    e , qual é aprobabilidade do elétron está no núcleo? Assuma que o raio do núcleo é ⁄ fm. (c)Qual é a probabilidade do elétron está na região ?

(a)  A condição de normalização é dada por

∭  então

⁄

⁄

 como ∫ ⁄ . Portanto,

√ 

(b) 

A probabilidade do elétron se encontrar no núcleo é

|| ⁄  o fato de  ser pequeno comparado a , possibilita-nos considerar || como umaconstante no núcleo, ou seja, ⁄ ⁄ . Assim,

   

em que .(c)

 

A função de onda é independente de  e . Assim, a probabilidade do elétron está em  do espaço (isto é, em ) é simplesmente .

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5 As relações de comutação fundamentais para o momento angular permitem autovalores

semi-inteiros (bem como inteiros). Mas, para o momento angular orbital, apenas os valores

inteiros ocorrem. Deve haver alguma restrição extra na forma específica  que excluios valores semi-inteiros. Seja   uma constante conveniente para as dimensões decomprimento (o raio de Bohr, por exemplo, se estivermos falando de hidrogênio), defina os

operadores

√  ; √  ;

√  ;  √  .(a)  Verifique que ; . Desse modo, os  e os  

satisfazem as relações de comutação canônicas para a posição e momento, e aqueles

do índice 1 são compatíveis com o índice 2.Quando [ ]   e segue que . Da mesma forma,quando [ ]   e segue que . Estes novosoperadores satisfazem as mesmas relações de comutação como as posições

tradicionais e os operadores momentos lineares.

(b) 

Demonstre que

  .(c)  Verifique que , em que cada   é o Hamiltoniano para um oscilador

harmônico com massa

Podemos expressar  em termos dos novos operadores  

 

Logo,

   O Hamiltoniano do oscilador harmônico é dado por

 como  e , então

 esta expressão pode ser reescrita como sendo

 Utilizando a relação final encontrada na letra (b), temos então que

 

(d)  Sabe-se que os autovalores para o oscilador harmônica são dados por

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 com . Isso implica que os autovalores dos operadores  são

 

Então,    Portanto,  e  que deve ser um número inteiro.