Concepes de Nmeros dos alunos da Licenciatura em Matemtica da Uems

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CONCEPES DE NMEROS DOS ALUNOS DA LICENCIATURA EM MATEMTICA DA UEMSJos FeliceUniversidade Estadual de Mato Grosso do Sul

Jfelice2@hotmail.comINTRODUO

Dentro do esquema de organizao dos trabalhos de formao de docentes no Curso de Licenciatura em Matemtica, na Prtica de Ensino e no Estgio, procuramos desenvolver estudos que permita aos acadmicos assimilar metodologias coerentes com o que se sabe, atualmente, sobre o desenvolvimento do indivduo e a psicologia da aprendizagem.

Um dos assuntos que nos parece fundamental dessas experincias, o trabalho mental dos alunos durante a aprendizagem. A pedagogia moderna insiste em que aprender deve ser um meio para levar o sujeito a pensar, a participar da formulao e soluo de problemas da vida diria e estimular a descoberta que lhe enriquecero o sentido crtico e o pensamento criador que possa inclu-la na complexa vida em sociedade.

Estudar o comportamento dos alunos, que ingressam e os que terminam a Licenciatura em Matemtica-UEMS motivaram a pesquisa sobre as imagens conceituais, relacionadas ao conjunto dos Nmeros Reais. O objetivo da pesquisa era levantar os conhecimentos prvios e espontneos, advindos preferencialmente da Educao Bsica, em alunos ingressantes no curso diante do conhecimento matemtico histrico-epstemolgico sobre os nmeros reais, e observar as transformaes desses conhecimentos em alunos do ltimo ano do mesmo curso.

O projeto de pesquisa tinha o intuito de construir uma nova abordagem para o estudo dos sistemas numricos na Licenciatura em Matemtica - UEMS. A nova abordagem deveria construir-se de uma superao tanto da abordagem formal axiomtica dos Cursos de Anlise como daquelas encontrada nos textos didticos escolares utilizados pelos professores de Matemtica no Ensino Bsico.

Os dados revelaram que embora os alunos do ltimo ano do curso descreveram de modo mais consistente, do ponto de vista matemtico, as relaes entre os conjuntos numricos. No entanto, a falta de uma boa justificativa para a existncia de nmeros racionais e no racionais mostrou que eles continuam sem conhecer os fundamentos histricos e epistemolgicos do conceito de nmeros Reais.

A insensibilidade pelos dados da pesquisa causou poucas mudanas na forma de abordar o estudo dos nmeros Reais (racionais e irracionais) pelos professores do curso, principalmente nas disciplinas de Teorias dos Nmeros e de Anlise. No entanto, acreditamos que, contedos como, a forma axiomtica formulada por Peano e Dedekind datadas de 1888 e 1891, os axiomas da geometria euclidiana, entre os quais o da continuidade, abrigados nas ementas das disciplinas acima citadas, no tem sido compreendido o suficiente para a conceituao dos conjuntos numricos. Por outro lado, a pesquisa contribuiu com projetos de Extenso na Formao Continuada de Professores e esta servindo de subsdios nos estudos da disciplina de Didtica e Metodologia do Ensino da Matemtica do Curso de Especializao em Educao Matemtica oferecido pela UEMS.

Os dados obtidos despertaram o interesse em buscar explicaes sobre as precrias respostas e justificativas apresentadas pelos alunos do curso, diante das questes objetivas e subjetivas que lhes foram aplicadas sobre nmeros e os fundamentos tericos e a anlise que apresentaremos, esto relacionadas ao campo de estudos da Educao Matemtica. Desta forma, a anlise dos dados esta voltada para o que se estuda de nmeros no Ensino Bsico.

Para dar direcionamento aos estudos sobre os dados da pesquisa, levantamos duas hipteses: a primeira esta relacionada com o estudo dos conjuntos numricos distante da realidade que eles representam; a segunda, diz respeito organizao linear dos contedos onde so desprezadas as conexes entre nmeros, geometria e medidas.

Acreditamos ser necessrio um aprofundamento nos estudos sobre as hipteses levantadas, no entanto, a riqueza dos dados obtidos fornece pistas importantes para a anlise que faremos.

FUNDAMENTOS TERICOS

Estudar nmeros faz parte da vida estudantil em todas as matrias existente na escola, assim como, nas aes cotidianas de qualquer indivduo, desta forma, a idia de nmeros existe independente de estarmos na escola. No entanto, a proeza de se chegar ao conceito de nmeros cabe a aqueles que se dedicam ao estudo da disciplina Matemtica.

Para se chegar ao conceito de nmeros preciso vivenciar aes que nos leve compreenso das palavras numricas que falamos e escrevemos.

Assim podemos encontrar explicaes, como:

Uma parte importante da Matemtica consagrada ao estudo dos nmeros. Os nmeros no tm existncia concreta como os objetos que vemos ao nosso redor. Os nmeros so propriedades, precisamente como o so as cores, as formas, as dimenses, etc. O nmero uma propriedade que se refere s colees, aos conjuntos de objetos. Nenhum objeto pode ter a propriedade dois. Mas um conjunto de objetos pode ter a propriedade dois. Por isso evidente que antes de estudar os nmeros, precisamos estudar os conjuntos de objetos. preciso ficar bem claro que os conjuntos se referem aos objetos e os nmeros, aos conjuntos. ( Dienes-Golding, 1976, p. 1).

Estabelecer conjuntos, passa pela idia de classificar, ou seja, reunir coisas que apresentem qualidade comum, fazer correspondncia e saber ordenar. Isso depender das relaes que o indivduo puder estabelecer entre as coisas existentes em seu ambiente.

Para um dos mais antigos estudiosos do assunto, temos:

A operao de fazer corresponder baseia-se na idia de correspondncia que , sem dvida, uma das idias basilares da Matemtica. Por outras palavras podemos dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder, a cada objeto da coleo, um nmero da sucesso natural. (Caraa, 1989, p. 7).

A preocupao do autor com a questo da correspondncia, na abordagem inicial do estudo de nmeros, to importante, que o leva a afirmar que tal procedimento facilita a compreenso dos nmeros racionais e irracionais nas sries mais avanada do Ensino Bsico. Diz o autor a correspondncia uma associao mental entre dois entes e exige que haja um antecedente (o objeto da coleo) e um conseqente (o nmero). Desta forma, a experincia vivenciada dos resultados destas aes culmina com a formao dos conceitos de nmeros.

Podemos destacar a importncia dos conceitos, pois eles ultrapassam de muito as quatro paredes da sala de aula, e pode ser verificado a cada momento da vida diria. Todo professor deve ter conscincia desse fato e do que ele significa.

Destacamos como aspectos capazes de salientar a prioridade que o assunto merece: o carter de organizao e seleo inerente aos conceitos; o papel dos conceitos na formao de atitude; a importncia dos conceitos j adquiridos na experincia diria; a estreita relao entre os conceitos e a significao; o fato de serem os conceitos um meio de progredir a nveis mais abstratos do pensamento; e, finalmente, a conceituao como caracterstica peculiar, exclusiva, do ser humano.

Outros aspectos que merece destaque na formao dos conceitos matemticos so os fatos histricos. As palavras numricas que falamos e escrevemos, muitas vezes informalmente, desde o sculo 19 deixou de se apoiar na intuio e seus alicerces passaram a ser investigados amplamente e a receber a fundamentao lgica necessria.

A forma intuitiva de nmeros faz parte da histria, mas no pode ser desconsiderada na construo numrica e nem desconectadas da elaborao dos conceitos dos conjuntos numricos. Podemos citar como exemplo a evoluo do pensamento dos povos egpcios, babilnios e os gregos que construram um acervo matemtico significativo. Para Domingues

A matemtica dos egpcios e babilnios pouco passava de uma coleo de concluses empricas, era quase um receiturio, no se cogitava os conceitos tericos e muito menos de possveis dedues lgicas. Outro ponto que obstava seriamente o desenvolvimento da Matemtica desses povos era sua quase total ausncia de abstrao. Mas uma nova atitude em relao Matemtica teria lugar na Grcia Antiga, mais ou menos a partir do sculo VI a. C. Na verdade os gregos mudaram a relao do homem com o universo medida que, embora sem desprezar totalmente a observao e a experimentao, passaram a adotar a razo como o grande instrumento na busca da verdade. (Domingues 1991, p. 7).

O que podemos notar historicamente, que, o critrio de verdade egpcio era ser til e o critrio grego era ser lgico. Assim o conhecimento egpcio se apoiava sobre suas atividades, usando um raciocnio de operaes concretas. J os conhecimentos gregos se apoiavam uns sobre os outros por dedues lgicas, usando um raciocnio de operaes formais.

As idias anteriores nos leva a acreditar que as aes contemporneas de ensino e aprendizagem da Matemtica devem estar recheadas de atividades significativas para se chegar ao rigor e a formalidade dos conceitos matemticos.

Para Caraa (1989) a definio de um conjunto numrico, sejam eles envolvendo grandezas discretas ou contnuas, deve estar conectada a geometria e a medida. Desta forma, facilita a compreenso do significado dos nmeros e com isso fazer as abstraes necessrias para a formalizao lgica da conceituao desses conjuntos.

A idia de conexes entre os contedos, encontrada na obra de Caraa, tem provocado eco nos estudos contemporneos. Este fato tem, gerado muitas criticas apresentao dos contedos j formalizados e as seqncias pr-determinadas dos contedos que para muitos estudiosos podem levar a construo do conhecimento matemtico a linearidade. Para DAmbrosio,

Implica uma prtica educativa desinteressada e desinteressante, desinspirada, desnecessria, acrtica e na maioria das vezes equivocada. O tema tratado por que deve ser tratado naquele instante, porque necessrio para o tema seguinte e assim se encaixa num encadeamento cuja justificativa insustentvel do ponto de vista da aprendizagem. (DAmbrosio 1994, p.37).

A organizao linear dos contedos, que se caracteriza numa sucesso de tpicos que devem ser apresentados numa certa ordem, tem conduzido os professores a uma prtica educativa excessivamente rgida, no sentido de que aparentemente no lhes cabe alterar seqncias ou modificar procedimentos. Essa forma de perceber e organizar o processo educativo tem dificultado por em prtica metodologias mais voltada para a apreenso e compreenso crescente da realidade e a compreenso dos conceitos matemticos (Felice, 2002).

Os PCNs de Matemtica no ensino fundamental (1988) e no Ensino Mdio (1999), que se pautam em princpios decorrentes de estudos, pesquisas, prticas e debates desenvolvidos nos ltimos anos, so bastante claros quando apresentam a importncia da Matemtica no Ensino Bsico, do que decore sua proposta de organizao curricular:

A aprendizagem em Matemtica est ligada compreenso, isto , apreenso do significado: aprender o significado de um objeto ou acontecimento pressupe v-lo em suas relaes com outros objetos e acontecimentos. Assim o tratamento dos contedos em compartimento estanques e uma rgida sucesso linear devem dar lugar a uma abordagem em que as conexes sejam favorecidas e destacadas. O significado da Matemtica para o aluno resulta das conexes que ele estabelece entre os diferentes temas matemticos. (p. 19, 20)

De posse dos estudos aqui levantados, fizemos a anlise dos dados que foram coletados atravs de questes objetivas onde os alunos tinham que responder diretamente, e questes subjetivas onde os alunos deveriam justificar fazendo explicaes sobre o que estava sendo perguntado. As questes estavam relacionadas com o conceito de nmeros Reais que envolvem as definies mais importantes, tais como, nmeros Racionais e Irracionais.

DESCRIES DOS DADOS

A pesquisa foi realizada em 2004 e 2005 e a coleta dos dados envolveu duas turmas de alunos da 1 srie com um total de 70 alunos e duas turmas de 4 srie com 30 alunos.

Quando as questes da pesquisa foram aplicadas os alunos iniciantes estavam estudando a reviso de funes como preparativas para o estudo de limites. Nesta fase, sabemos que a compreenso sobre nmeros reais de suma importncia. J os alunos da 4 srie estavam cursando Teoria dos Nmeros e Anlise, disciplinas que exigem muita competncia e habilidade de abstrao.

As Duas primeiras perguntas solicitavam que os alunos respondessem usando a linguagem matemtica e justificassem a respostas. As perguntas eram: O que um nmero racional? O que um nmero irracional?

A resposta comum entre os alunos de 1 srie foi que Racionais so nmeros escritos na forma de frao atingindo 80% delas. Os 20% restantes responderam atravs da escrita matemtica Racional o nmero na forma

EMBED Equation.3 com q 0. Os 40% dos alunos da 4 srie responderam que Racional o nmero na forma com a e b Z e b 0. Esta definio encontra-se nos livros de Ensino Bsico e em apresentao inicial do curso de Clculo, no entanto, no basta conhecer a definio preciso compreende - l para ter consolidado as caractersticas dos elementos dos conjuntos de nmeros. Estamos chamando a ateno pelo fato de somente 10% dos alunos da 4 srie terem negado que um nmero Racional.

Quanto s respostas sobre nmeros Irracionais, as duas turmas foram quase unnimes em dizer que eram nmeros no Racionais. Porm 10% dos alunos procuraram uma justificativa dizendo que eram nmeros decimais infinitos e 5% dos alunos da 4 srie responderam que eram nmeros decimais infinitos e no peridicos.

A prxima questo solicitava que os alunos representassem geometricamente os nmeros na reta numerada. Da 1 srie 30% dos alunos colocaram entre os nmeros inteiros 1 e 2 e 60% deles disseram que o nmero 0,333... no pode ser representado na reta. Em relao ao nmero 0,333... surgiram respostas interessantes: este nmero no tem fim ou no existe um lugar certo para ele na reta.

Para a representao geomtrica de , somente 30% dos alunos da 4 srie colocou-o entre os nmeros inteiros 1 e 2 e surgiu resposta interessante como: o nmero no tem forma certa ou no da para colocar na reta, porque tem um ponto invisvel.

Quando foi perguntado sobre a relao da frao com o nmero decimal 0,25 e a expresso 25%, 30% dos alunos da 1 srie responderam que no existia nenhuma relao entre eles e 70% concordaram que 0,25 e 25% tinham o mesmo valor.

Em outra questo, 60% dos alunos disseram que 0,333... no pode ser transformado em frao. No entanto, quando solicitamos que na frao dividissem o 1 pelo 3, acabaram concordando com = 0,333...

Os 50% do total de alunos concordaram quando apresentamos as igualdades 0,333... = , e 0,222... = , mas discordaram que 0,999... = = 1. Uma resposta chamou ateno: 0,999... pode ser , mas no pode ser 1. O que se observa na opinio desses alunos que as dzimas peridicas nem sempre podem ser fraes ou nmeros inteiros.

Quando perguntamos quem maior ou , 90% responderam que maior que , no entanto, quando perguntamos quem tem a maior medida, 60% dos alunos responderam que esses nmeros no tinham medidas.

A prxima questo foi apresentada na forma de um problema: Calcule a diagonal de um quadrado de lado medindo 1 cm e represente a medida da diagonal na reta numerada. Todos fizeram a aplicao do teorema de Pitgoras corretamente e encontraram , no entanto, no conseguiram dizer sobre a representao da medida do nmero na reta numerada. Algumas respostas foram interessantes: este nmero no tem medida; o valor aproximado e no tem medida; no tem forma certa nem medida; no tem raiz e nem medida; tem um ponto invisvel na reta, ento no pode ser medido.

Quando foi perguntado sobre o nmero , 80% dos alunos responderam que esse seria um nmero irracional. Algumas respostas mostravam valor 3,14... e outros disseram sendo a parte decimal infinita era irracional.

Na seqncia formulamos o problema: A razo entre o comprimento da circunferncia e o seu dimetro obtm . Isso levou um aluno a concluir que resultaria em um nmero racional. O que voc diria a um aluno que lhe apresentasse tal concluso?

Do total dos alunos 85% disse que a concluso estava correta, o restante, todos da 4 srie, relacionaram a razo com o nmero e justificaram como sendo a razo um nmero irracional.

Quando finalmente perguntamos o que um nmero real, a resposta comum foi nmeros reais so todos os nmeros,outras respostas chamaram ateno tais como: a unio dos racionais e irracionais; os reais so os racionais, pois, os irracionais no so reais; os reais so os inteiros e os racionais, os irracionais so infinitos e no podem ser reais; reais so todos os nmeros que esto na reta, pois os intervalos entre dois nmeros inteiros so preenchidos com racionais e entre dois racionais, como no pode ficar vazio, ento os nmeros que preenchem esse intervalos so os nmeros irracionais.

CONSIDERAES SOBRE OS DADOSOs resultados apontam para a hiptese de que as imagens presentes no conhecimento dos alunos ingressantes na Licenciatura em Matemtica, com respeito aos nmeros racionais e irracionais so fragmentadas e desperta a suspeita de que o tema foi tratado no decorrer do Ensino Bsico de forma isolada.

Da mesma forma encontramos vestgio de que alm da fragilidade na conceituao dos conjuntos numricos, existe um distanciamento daquilo que os alunos conseguem lembrar com os significados que realmente eles representam.

Por outro lado, os alunos da ltima srie do curso no tiveram desempenho animador, apresentando as mesmas dificuldades, porm com justificativas mais consistentes.

A dificuldade em relacionar um nmero com o conjunto que pertencem, a falta de conhecimento sobre a relao entre os conjuntos podem gerar problemas nos estudos nas diversas disciplinas do curso cujos contedos exigem um grau elevado de abstrao.

O desconhecimento das articulaes entre os contedos e a falta de significao dos temas estudados pode dar ao aluno e futuro professor de matemtica, certo desconforto quando perguntado sobre para que serve o que ele estuda.

No temos dvidas, que o tema abordado na pesquisa representa a ponta de um iceberg. O fato que os alunos que ingressam na licenciatura podem estar com dificuldades na compreenso dos conceitos de matemtica de um modo geral e mais grave ainda saindo do curso carregando muitas dvidas sobre os contedos estudados e que no futuro iro ministrar.

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FELICE, Jos. Aprender a ser professor: uma contribuio da Prtica de Ensino de Matemtica. Dissertao de Mestrado em Educao. rea de Concentrao em Metodologia do Ensino. Universidade Federal de So Carlos. So Paulo, 2002. Enorme bloco de gelo que se desprende das geleiras.

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