SOBRE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

PROBLEMA: É um fato da física que os elementos radioativos se

desintegram espontaneamente em um processo chamado decaimento

radioativo. Os experimentos têm mostrado que a taxa de

desintegração é proporcional à quantidade de elemento presente.

Sabe-se que a meia-vida específica do carbono-14 radioativo está em

torno de 5730 anos. Em 1988, o Vaticano autorizou o Museu Britânico

a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de Turim,

possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano, que apareceu

em 1356, contém o negativo da imagem de um corpo humano que se

acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus. O relatório do Museu

mostrou que as fibras no pano continham entre 92 e 93% do carbono-

14 original. Use esta informação para estimar a idade do sudário.

PROBLEMA: Um indivíduo é encontrado morto em seu

escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia.

Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o

cadáver e o ambiente tirando os seguintes dados: A

temperatura do escritório era de 20 oC, o cadáver inicialmente

tinha uma temperatura de 35 oC. Uma hora depois medindo

novamente a temperatura do corpo obteve 34.2 oC. O

investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa viva é

de 36.5 oC, prende a secretária. Por quê? No dia seguinte, o

advogado da secretária a liberta, alegando o quê?

EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Equação que envolve as derivadas (diferenciais) de uma função

EQUAÇÃO DIFERENCIAL Equação que envolve as derivadas

(diferenciais) de uma função

Classificação: Se uma equação contiver apenas derivadas ordinárias de uma função (função de uma variável), ela será chamada de equação diferencial ordinária (EDO).

Classificação: Uma equação que envolve derivadas parciais (derivadas de funções de várias variáveis) será chamada de equação diferencial parcial (EDP).

Ordem

Grau

Resolver uma equação diferencial significa encontrar todas as funções que introduzidas juntamente com suas derivadas na equação dada, a verificam identicamente para todo valor da variável independente x, pelo menos num certo intervalo aberto I. Tais funções são chamadas soluções primitivas da equação diferencial dada.

Solução de uma equação diferencial

Exemplo: Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada:

• É comum desejarmos descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos.

• A descrição matemática de um sistema ou fenômeno é chamado modelagem matemática.

• A construção de um modelo matemático de um sistema começa com a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema.

• A seguir, elaboramos um conjunto de hipóteses ou pressuposições sobre o sistema. Essas hipóteses deverão incluir também leis empíricas que podem ser obtidas experimentalmente.

• Como as hipóteses sobre um sistema envolvem, na maioria das vezes, taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas.

• Assim, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema formado por equações diferenciais.

As etapas de um processo de modelagem podem ser dispostas conforme o diagrama a seguir:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COMO MODELOS MATEMÁTICOS

Um modelo matemático de um sistema físico, na maioria das vezes, envolve a variável tempo. Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema, ou seja, o sistema pode ser descrito no passado, presente e futuro.

• Referências: Notas de aula - Professor: Altemir José Borges, UTFPR, departamento de Matemática, agosto de 2006.

Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem – Dennis G. Zill – Ed. Thomson