são carlos, v.9 n. 41 2007 · cadernos de engenharia de estruturas, são carlos, v. 9, n. 41, p....

São Carlos, v.9 n. 41 2007

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Reitora: Profa. Dra. SUELY VILELA

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Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

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São Carlos, v.9 n. 41 2007

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SSUUMMÁÁRRIIOO Métodos simplificados para a verificação de punção excêntrica Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro 1 Análise experimental de ligações duplo “T” com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves 23 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à ação de força centrada Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo 47 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade física – modelagem e metodologia de aplicação a projetos Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 77 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos unidimensionais com dois parafusos por nó André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr 109 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior 129

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007

MÉTODOS SIMPLIFICADOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PUNÇÃO EXCÊNTRICA

Juliana Soares Lima1 & Libânio Miranda Pinheiro2

Resumo

Nas recomendações da NBR 6118:1978 relativas à punção, não eram previstos os casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados entre a laje e o pilar. Como a influência desses momentos pode ser bastante significativa para a análise da punção, algumas diretrizes foram incluídas na Revisão da NBR 6118, versão de 2000. Este trabalho apresenta um estudo dessas disposições sobre a chamada punção excêntrica, ressaltando-se algumas omissões quanto ao cálculo das tensões solicitantes na face do pilar e além da região armada para punção. São propostas complementações e métodos simplificados para a consideração dos efeitos dos momentos. Por fim, resolve-se um exemplo de cálculo, demonstrando os procedimentos apresentados e comparando-os com aqueles propostos pela Revisão da NBR 6118. Palavras-chave: lajes; punção; momentos desbalanceados; ligação laje-pilar.

1 INTRODUÇÃO

Quando um momento desbalanceado é transferido em uma ligação laje-pilar, parte se dá por flexão, parte por torção e parte por cisalhamento. Essa distribuição pode ser considerada por uma variedade de métodos e depende essencialmente das dimensões do pilar e da espessura da laje.

Para a punção, em especial, interessa a parcela transferida por cisalhamento. Nas recomendações da NBR 6118:1978, relativas à punção, não eram previstos os casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados. Mas como a influência desses momentos pode ser bastante significativa, sua análise foi incluída na Revisão da NBR 6118 (2000).

Em trabalho anterior, GUARDA, LIMA & PINHEIRO (2000) apresentaram essas novas diretrizes da NBR 6118 (2000), resolvendo, inclusive, um exemplo de cálculo. Posteriormente, LIMA (2001) estudou mais detalhadamente esses procedimentos, identificando algumas omissões relacionadas ao cálculo das tensões solicitantes.

Neste trabalho, são apresentadas algumas sugestões para contornar essas omissões, enfatizando-se a possibilidade de utilização de métodos simplificados.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro


2

2 PUNÇÃO EXCÊNTRICA SEGUNDO A REVISÃO DA NBR 6118

O modelo empírico da NBR 6118 (2000) para a verificação da punção é baseado no método da superfície de controle, que consiste em comparar tensões de cisalhamento atuantes em superfícies consideradas críticas, com tensões resistentes do concreto.

Essas superfícies críticas estão relacionadas às regiões com possibilidade de ruína por punção, localizadas entre a face do pilar e o início da armadura, dentro da região armada e além dela.

Quando não for prevista armadura de punção, duas verificações devem ser feitas:

• verificação da compressão do concreto, no contorno C; • verificação da punção, no contorno C’.

Quando for prevista armadura de punção, três verificações devem ser feitas:

• verificação da compressão do concreto, no contorno C; • verificação da punção, no contorno C’; • verificação da punção, no contorno C”.

Os contornos críticos C, C’ e C” encontram-se, respectivamente, na face do

pilar, à distância 2d da face do pilar e à distância 2d da última linha de armadura de punção. A determinação de cada um dos contornos críticos C, C’ e C” varia de acordo com a posição do pilar na estrutura (Figura 1).

2d

2d

C"

C'

2d

2dC

C'

C"

C

2d

2d

2d

2d

C"

2d

2d

2d

C'C

2d

Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto

Figura 1 - Perímetros críticos.

Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica


3

O cálculo das tensões solicitantes nos casos de punção excêntrica foi apresentado por GUARDA, LIMA & PINHEIRO (2000) e por LIMA (2001). Um resumo das expressões utilizadas encontra-se na Tabela 1.

Vale lembrar que, no caso de pilares de canto, devem ser feitas verificações separadas para cada uma das direções, sendo estudadas duas situações de cálculo.

Tabela 1 - Expressões para o cálculo das tensões solicitantes.

Situação de Cálculo Tensão Solicitante

Pilar interno com momento em uma direção dW

MKdu

F

p

SdSdSd ⋅

⋅+

⋅=τ

Pilar interno com momentos nas duas direções dW

MKdW

MKdu

F

2p

2Sd2

1p

1Sd1SdSd ⋅

⋅+

⋅⋅

+⋅

=τ

Pilar de borda sem momento no plano paralelo à borda livre dW

MKdu

F

1p

Sd1SdSd ⋅

⋅+

⋅=τ*

Pilar de borda com momento no plano paralelo à borda livre dW

MKdW

MKdu

F

2p

2Sd2

1p

Sd1SdSd ⋅

⋅+

⋅⋅

+⋅

=τ*

Pilar de canto dWMK

duF

1p

Sd1SdSd ⋅

⋅+

⋅=τ*

Nas expressões da Tabela 1, têm-se:

FSd - força normal de cálculo; u - perímetro crítico do contorno considerado; u* - perímetro crítico reduzido do contorno considerado (Figura 2); d - altura útil da laje;

K, K1 e K2 - coeficientes que fornecem a parcela de momento transferida por cisalhamento (Tabela 2), e que dependem da relação 21 cc / entre as dimensões do pilar (Figura 3); para pilares de borda com momento no plano paralelo à borda livre, K2 depende da relação 12 c2c / ;

Tabela 2 - Valores do coeficiente K.

c1/c2 0,5 1 2 3

K 0,45 0,60 0,70 0,80

c1 - dimensão do pilar na direção da excentricidade ou na direção perpendicular à borda; c2 - dimensão do pilar na direção perpendicular à excentricidade ou na direção da borda;



4

2d

2d

2d

c1

2c

Borda livreda laje da laje

a ≤ 1,5d ou 0,5c

Borda livre

Perímetro crítico u

Perímetro críticoreduzido u*

2d

c2

2d

2dc1

1

2d

2d

c

Bordas livres da laje

a ≤ 1,5d ou 0,5c

Perímetro crítico u Perímetro crítico

2d

2d

reduzido u*

Figura 2 - Perímetros críticos reduzidos do contorno C’ para pilares de borda e de canto.

c

cMsd

1

2

Figura 3 - Dimensões c1 e c2.

MSd, MSd1 e MSd2 - momentos desbalanceados de cálculo; para pilares de borda e de canto: MSd2 - momento no plano paralelo à borda livre;

MSd - momento resultante de cálculo, dado pela expressão 0*)MM(M Sd1SdSd ≥−= ;

MSd1 - momento desbalanceado de cálculo, no plano perpendicular à borda livre; MSd* - momento resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar, no plano perpendicular à borda livre, ou seja, ** eFM SdSd ⋅= ;

e* - excentricidade do perímetro crítico reduzido (Figura 4), dada por

∫∫ ⋅=**

*u

0

u

0

ddee ll .

De acordo com esta definição, a NBR 6118 (2000) apresenta apenas as

expressões da Tabela 3, correspondentes ao contorno crítico C’. Nenhuma indicação é feita para os contornos C e C”.



5

2dab

e*

2d

2d

2d

1c / 2

c1

2c

Borda livre da laje

a ≤ 1,5d ou 0,5c

Perímetro crítico reduzido u*

1

a2

Perímetro crítico reduzido u*

2d

2d a1 ≤ 1,5d ou 0,5c1

a2 ≤ 1,5d ou 0,5c2

a1

c1

c2 e*

2d

2d

Figura 4 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido do contorno C’, para pilares de borda e

de canto.

Tabela 3 - Valores de e* para o contorno C’.

Situação de Cálculo Excentricidade

Pilares de borda d2ca2

cdd8dc22cc

aace

2

12

2212

1

⋅π⋅++⋅

⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅

+−⋅=*

Pilares de canto ( )daa2cdd8da4caaac

e21

12

2122

111

⋅π++⋅⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅

=*

Observa-se que, para pilares de borda e de canto, não é necessário utilizar o momento no plano perpendicular à borda livre com seu valor integral. A excentricidade do perímetro crítico provoca um momento MSd* de sentido oposto ao de MSd1, podendo até anular o efeito deste. A favor da segurança, mesmo que MSd* seja maior que MSd1, o que significaria “alívio” da tensão de cisalhamento atuante, esta situação não é considerada ( 0MM Sd1Sd ≥− * ).

a, a1 e a2 - menor valor entre d51 ⋅, e c0,5⋅ ;

Wp, Wp1 e Wp2 - módulos de resistência plástica do perímetro crítico, nas direções

paralelas aos momentos correspondentes, dados por ∫ ⋅=u

0p de W l , onde dl é o

comprimento infinitesimal de u e e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e em torno do qual atua MSd. De acordo com essa definição, a NBR 6118



6

(2000) apresenta apenas as expressões da Tabela 4, relativas ao contorno crítico C’. Nenhuma indicação é feita para os contornos C e C”. Tabela 4 - Valores de Wp para o contorno C’.

Situação de Cálculo Wp

Pilares internos 12

221

21

p cd2d16dc4cc2

cW ⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅+⋅+=

Pilares de borda - Wp1 12

221

21

1p cdd8dc22cc

2c

W ⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅

+=

Pilares de borda - Wp2 22

121

22

2p cdd8dc4cc4

cW ⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+=

Pilares de canto 2

cdd4dc2

2cc

4c

W 122

212

11p

⋅⋅π+⋅+⋅⋅+

⋅+=

3 VALORES DE Wp PARA OS CONTORNOS C E C”

A omissão da NBR 6118 (2000) sobre a obtenção das expressões de Wp para os contornos C e C” pode acarretar o uso de valores indevidos desse parâmetro para as verificações na face do pilar e além da região armada, não devendo persistir na versão definitiva da NBR 6118.

No CEB MC-90 (1993), no qual a verificação de punção da NBR 6118 (2000) é baseada, não ocorre esse problema. Para o contorno C”, fica claro que deve ser calculado um Wp’ correspondente ao perímetro crítico u’, de forma análoga ao Wp para o contorno u. Resolvendo-se a integral de definição, podem ser obtidas as expressões de Wp’ da Tabela 5, para cada situação de cálculo, sendo p a distância da face do pilar até a última linha de conectores. Para o contorno C, o CEB MC-90 (1993) apresenta a tensão solicitante em termos de uma força de compressão efetiva, FSd,ef, que considera o efeitos dos momentos fletores. Rearrumando sua expressão para um formato similar ao da NBR 6118 (2000), tem-se:

dWu

uMK

duF

po

Sd

o

SdSd

⋅⋅

⋅+

⋅=τ



7

Tabela 5 - Valores de Wp’.

Situação de Cálculo Wp’

Pilar interno (Wp’) pcp4pd16

pc2cd2d16dc4cc2

cW

12

212

221

21

p

⋅⋅π+⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅+⋅+='

Pilar de borda (Wp1’) 21

212

221

21

1p

p22

cp

pd8pccdd8dc22cc

2c

W

⋅+⋅⋅π

+

+⋅⋅+⋅+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅

+='

Pilar de borda (Wp2’) 22

122

121

22

2p

p22

cp

pd8pc2cdd8dc4cc4

cW

⋅+⋅⋅π

+

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+='

Pilar de canto (Wp1’) 21

212

221

21

1p

p4

cp

pd4pc2

cdd4dc2

2cc

4c

W

+⋅⋅π

+

+⋅⋅+⋅+⋅⋅π

+⋅+⋅⋅+⋅

+='

Nota-se que o CEB MC-90 (1993), apesar de não fornecer expressão direta para o cálculo do Wp no contorno C, utiliza uma redução do próprio Wp do contorno C’ para o cálculo da tensão solicitante na face do pilar3. Pode-se escrever então:

po

po Wu

uW ⋅= (1)

Para pilares de borda e de canto, devem ser utilizados os perímetros críticos

reduzidos:

po

po Wu

uW ⋅=

*

* (2)

Mas assim como foi feita uma redução do Wp para se calcular o Wpo, pode-se

pensar numa majoração do Wp para se obter o Wp’. Essa interpretação é bastante prática, pois permite que os valores de Wp’ sejam calculados de uma forma mais simples que aquela apresentada na Tabela 5. Assim sendo, pode-se escrever:

pwpp WuuW ⋅η='

' (3)

Para pilares de borda e de canto:

3 Deve-se ressaltar que essa redução do Wp do contorno C’ não corresponde à aplicação da integral de definição ao perímetro crítico uo.



8

pwpp WuuW ⋅η=*'*

' (4)

sendo ηwp - coeficiente para correção do Wp’ em função da situação de cálculo.

Para determinar os valores de ηwp, foram utilizadas as expressões:

uu

WW

p

p

wp '

'

=η para pilares internos;

*'*

'

uuWW

p

p

wp =η para pilares de borda e de canto.

Foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, supondo-se Wp’ dado pela Tabela 5 e d2se ⋅≤ , sendo se o espaçamento entre os conectores mais afastados do pilar. Variou-se a altura útil da laje entre 12 e 22 cm, a menor dimensão da seção do pilar entre 20 e 30 cm, a maior dimensão até cinco vezes a outra, e manteve-se a distância da última linha de armaduras à face do pilar em pelo menos 2d. Com base nesses dados e na análise estatística de LIMA (2001), observou-se que podem ser adotados os valores de ηwp apresentados na Tabela 6. Mas vale ressaltar que esses valores ainda podem ser melhorados, a partir de outras análises mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e mais diversificada.

Tabela 6 - Valores de ηwp.

Situação de Cálculo c1 ≤ c2 c1 > c2

Pilar interno (Wp’) 1,6 1,3

Pilar de borda (Wp1’) 1,5 1,1

Pilar de borda (Wp2’) 1,3 1,3

Pilar de canto (Wp1’) 1,3 1,1

Assim, tanto a redução quanto a majoração do Wp, para a determinação de Wpo e Wp’, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR 6118. Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das expressões completas de Wp’, apresentadas na Tabela 5.

4 VALORES DE e* PARA OS CONTORNOS C E C”

A omissão da NBR 6118 (2000) sobre a obtenção das expressões de e* para os contornos C e C”, assim como no caso do Wp, também pode acarretar a escolha de



9

valores indevidos para as verificações na face do pilar e além da região armada, devendo ser solucionada na versão definitiva da NBR 6118.

Uma primeira idéia seria aplicar a integral de definição de e* aos contornos C e C”. Com isso, são obtidas as expressões da Tabela 7, para pilares de borda, e da Tabela 8, para pilares de canto.

Observa-se, entretanto, que o cálculo de e* segundo essas expressões pode se tornar um pouco trabalhoso. Fazendo-se uma analogia à solução apresentada para o Wp, pode-se propor que as excentricidades dos perímetros críticos reduzidos dos contornos C e C” sejam escritas da seguinte forma:

*e*u*u

*e o1eo ⋅η= (5)

*e*u'*u'*e 2e ⋅η= (6)

sendo:

ηe1, ηe2 - coeficientes para correção de e* em função do contorno estudado.

Para a determinação de ηe1 e ηe2, as seguintes expressões foram utilizadas:

*u*u

*e*e

o

o

1e =η e

*u'*u*e'*e

2e =η

Tabela 7 - Valores de e* para pilares de borda.

Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e*

C 2

2121

o ca22ccaac

e+⋅

⋅+−⋅

=*

C”

pd2ca2

p22

cp pd8pc

cdd8dc22cc

aac

e2

212

12

2212

1

⋅π+⋅π⋅++⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅⋅π

+⋅⋅+⋅+

+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅

+−⋅

='*

Foram resolvidos diversos exemplos com as mesmas características citadas no item 3, supondo-se eo* e e’* calculados pela Tabela 7 e pela Tabela 8, e, novamente,

d2se ⋅≤ . Com base nesses dados e na análise estatística desenvolvida por LIMA (2001), observou-se que podem ser adotados os valores de ηe1 e de ηe2 apresentados na Tabela 9. Mas vale ressaltar que esses valores também podem ser melhorados, a partir de outras análises mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e mais diversificada.



10

Tabela 8 - Valores de e* para pilares de canto.

Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e*

C )aa(2

caaac*e

21

122

111o +⋅

⋅+−⋅=

C”

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π

+⋅π++⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅⋅π

+⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅

=

2pdaa2

p22

cp pd8pa2

cdd8da4caaac

e

21

212

12

2122

111

'*

Tabela 9 - Valores de ηe1 e de ηe2.. Coeficiente

s c1 ≤ c2 c1 > c2

ηe1 0,5 1,0 ηe2 1,0 0,8

Assim, tanto a redução quanto a majoração do e*, para a determinação de eo* e e’*, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR 6118. Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das expressões completas, indicadas na Tabela 7 e na Tabela 8.

5 MÉTODO SIMPLIFICADO PARA A PUNÇÃO EXCÊNTRICA

No item 2, foram apresentadas expressões para o cálculo das tensões solicitantes quando atuam momentos fletores desbalanceados, além da força normal. Essas expressões, entretanto, podem se tornar inconvenientes quando se desejar uma análise mais imediata do problema.

Nesses casos, a utilização de um método mais simplificado para a verificação da punção excêntrica pode ser interessante. Uma alternativa é a adoção de um coeficiente majorador da tensão atuante causada pela força normal, que leve em consideração o efeito da excentricidade, como é permitido pela FIP (1999) e pelo EC-2 (1999). Assim,

duFSd

Sd ⋅⋅β=τ (7)

sendo:

β - coeficiente para a consideração do efeito da excentricidade.

Pode-se imaginar que o valor de β sofre variações de acordo com a situação de cálculo e o contorno crítico estudados. De uma maneira geral, com base no cálculo de τSd pelo método mais rigoroso já apresentado, pode-se escrever:



11

• no contorno C’: ( )

duF

dWMK

dW*eFMK

duF

Sd

2p

2Sd2

1p

Sd1Sd1Sd

⋅

⋅⋅

+⋅

⋅−⋅+

⋅=β

• no contorno C:

( )

duF

dWMK

dW*eFMK

duF

o

Sd

o,2p

2Sd2

o,1p

oSd1Sd1

o

Sd

⋅

⋅⋅

+⋅

⋅−⋅+

⋅=β

• no contorno C”:

( )

d'uF

d'WMK

d'W'*eFMK

d'uF

Sd

2p

2Sd2

1p

Sd1Sd1Sd

⋅

⋅⋅

+⋅

⋅−⋅+

⋅=β

Para que os valores de β em cada contorno fossem obtidos a partir dessas expressões, foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, supondo-se d2se ⋅≤ . As características desses exemplos foram as mesmas citadas no item 3, a menos da maior dimensão da seção do pilar, limitada a três vezes a outra. Com base nesses dados e na análise estatística feita por LIMA (2001), notou-se que podem ser adotados os valores de β da Tabela 10. Mas vale ressaltar, mais uma vez, que esses valores ainda podem ser melhorados a partir de outras análises mais refinadas, e que considerem, principalmente, uma variação maior do carregamento.

Sugere-se, então, a introdução desse método simplificado para o cálculo de τSd, na versão definitiva da NBR 6118.

Tabela 10 - Valores de β. c1 ≤ c2 c1 > c2 Situação de Cálculo

C C’ C” C C’ C” Pilar interno, com carregamento simétrico 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Pilar interno, com momento aplicado 1,2 1,2 1,1 1,2 1,2 1,1 Pilar de borda 1,5 1,3 1,2 1,7 1,4 1,1 Pilar de canto 1,7 1,4 1,1 1,5 1,2 1,1

6 EXEMPLO DE CÁLCULO

Para exemplificar a utilização dos critérios para a verificação da punção, foram estudadas as regiões dos pilares P1, P5 e P6, indicados na Figura 5. Os arranjos das armaduras de punção encontram-se na Figura 6. Os esforços foram obtidos a partir da



12

resolução da placa por elementos finitos, utilizando o programa SAP 90. Adotaram-se os seguintes valores:

MPa30fck = , cm 0,2c = e cm 75,14d =

30

370

3056056530 40 56540 30

P1(30/30)

P2(40/30)

P3(40/30)

P4(30/30)

P5(40/30)

P9(40/30)

P13(30/30)

P6(30/40)

P10(30/40)

P14(40/30)

P7(30/40)

P11(30/40)

P15(40/30)

P8(40/30)

P12(40/30)

P16(30/30)

h = 18

370

570

30

30

Figura 5 - Forma do pavimento do exemplo (dimensões em centímetros) - LIMA (2001).

7 cm10 cm10 cm

so ≤ 0,5d = 7,375 ⇒ 7,0 cm

sr ≤ 0,75d = 11,06 ⇒ 10 cm

se ≤ 2d = 29,5 ⇒ 28,32 cm

28,32 cm

10 cm

7 cm

10 c

m10

cm

so = 7 cmsr = 10 cm

10 c

m

a = 15 cm

= Armadura adicional

se = 28,32 cm

7 cm

10 cm10 cm

so = 7 cmsr = 10 cmse = 28,32 cm

10 cm

a = 15 cm

= Armadura adicional

Figura 6 - Arranjo dos conectores tipo pino para os pilares estudados - LIMA (2001).

6.1 Pilar P6 (pilar interno)

kN 4613294,1FSd =⋅= cmkN 1838 13134,1M 1Sd ⋅=⋅= cmkN 4203 30024,1M 2Sd ⋅=⋅=



13

cm 140uo = , cm 325u = e cm 558'u = 525,0K1 = e 633,0K2 =

6.1.1 Contorno C Tensão solicitante (Tabela 1):

Pela Tabela 4:

222

1p cm 102713075,14275,141675,1440440302

30W =⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅+⋅+=

222

2p cm 109584075,14275,141675,1430430402

40W =⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅+⋅+=

Pela eq.(1):

2o,1p cm 442410271

325140W =⋅=

2o,2p cm 472010958

325140W =⋅=

Assim, de acordo com a Tabela 1, obtém-se:

038,0015,0223,075,144720

4203633,075,144424

1838525,075,14140

461Sd ++=

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

=τ

MPa 76,2cmkN 276,0 2Sd ==τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10, β = 1,2. Assim:

MPa 68,2cmkN268,0

75,141404612,1 2Sd ==⋅

⋅=τ

Nota-se que o método simplificado para o cálculo de τSd conduziu a um bom resultado, apesar de sua grande simplificação.

6.1.2 Contorno C’ Tensão solicitante (Tabela 1):

016,0006,0096,075,1410958

4203633,075,1410271

1838525,075,14325

461Sd ++=

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

=τ

MPa 18,1cmkN 118,0

2Sd ==τ


Pela Tabela 10, β = 1,2. Assim:



14

MPa 15,1cmkN115,0

75,143254612,1

2Sd ==⋅

⋅=τ

Observa-se que o método simplificado para o cálculo de τSd forneceu novamente um resultado próximo daquele obtido com a expressão da Tabela 1.

6.1.3 Verificação do contorno C” Tensão solicitante (Tabela 1):

Pela eq.(3), tomando-se 6,1wp =η para Wp1’, e 3,1wp =η para Wp2’, de acordo

com a Tabela 6:

21p cm 2821510271

3255586,1'W =⋅⋅=

22p cm 2445810958

3255583,1'W =⋅⋅=

Assim:

007,0002,0056,075,1424458

4203633,075,1428215

1838525,075,14558

461Sd ++=

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

=τ

MPa 65,0cmkN 065,0

2Sd ==τ

Calculando-se os valores de Wp1’ e de Wp2’ a partir da expressão indicada na

Tabela 5, tem-se:

22

22

1p

cm 3092637307343714,751637402

3075,14275,141675,1440440302

30'W

=⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅+⋅+=

22

22

2p

cm 3203637407343714,751637302

4075,14275,141675,1430430402

40'W

=⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅+⋅+=

E assim:

006,0002,0056,075,1432036

4203633,075,1430926

1838525,075,14558

461Sd ++=

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

=τ

MPa 64,0cmkN 064,0

2Sd ==τ

Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β = 1,1. Assim:

MPa 62,0cmkN062,0

75,145584611,1

2Sd ==⋅

⋅=τ



15

Observa-se que os valores de Wp1’ e de Wp2’ obtidos pela eq.(3), apesar de conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, mas são muito mais facilmente calculados.

O importante, entretanto, é que as tensões solicitantes obtidas nos dois casos são bastante parecidas. Acredita-se que a boa aproximação dos resultados justifica o uso do método simplificado, o mesmo ocorrendo para o cálculo de τSd pela eq.(7), que forneceu um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela 1.

6.2 Pilar P5 (pilar de borda)

kN 2491784,1FSd =⋅= cmkN 11950 85364,1M 1Sd ⋅=⋅= cmkN 2869 20494,1M 2Sd ⋅=⋅=

Sdx1Sd MM = (perpendicular à borda livre)

Sdy2Sd MM = (paralelo à borda livre)

cm 40c1 = (perpendicular à borda livre)

cm 30c2 = (paralelo à borda livre)

cm 20a =

cm 70*uo = , cm 163*u = e cm 279'*u =633,0K1 = e 45,0K2 =


Pela Tabela 3:

cm 68,3375,14230202

4075,1475,14875,143022

3040202040*e

22

=⋅π⋅++⋅

⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅

+−⋅=

Pela eq.(5), tomando-se 0,11e =η , de acordo com a Tabela 9:

cm 46,1468,3316370*eo =⋅=

Logo,

cmkN 360046,14249*eF*M oSdSd ⋅=⋅=⋅= cmkN 8350)360011950(*)MM(M Sd1SdSd ⋅=−=−=

Pela Tabela 4:

222

1p cm 58794075,1475,14875,143022

30402

40W =⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅

+=

222

2p cm 69163075,1475,14875,1440430404

30W =⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+=

Pela eq.(1):

2o,1p cm 25255879

16370W =⋅=



16

2o,2p cm 29706916

16370W =⋅=

Assim,

029,0142,0241,075,142970

286945,075,142525

8350633,075,1470

249Sd ++=

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

=τ

MPa 12,4cmkN 412,0

2Sd ==τ


Pela Tabela 10, 7,1=β . Assim:

MPa 10,4cmkN410,0

75,14702497,1

2Sd ==⋅

⋅=τ

Considerando-se eo* calculado através da expressão da Tabela 7, tem-se:

cm 29,1430202

23040202040

*e

2

o =+⋅

⋅+−⋅

=

Nota-se o valor obtido com a eq.(5) está bastante próximo deste, sendo,

entretanto, muito mais facilmente calculado. O mesmo ocorre para o cálculo de τSd pela eq.(7), cujo resultado se aproxima bastante daquele obtido segundo a Tabela 1.

6.2.2 Verificação do contorno C’ Tensão solicitante (Tabela 1):

cmkN 838668,33249*eF*M SdSd ⋅=⋅=⋅= cmkN 3564)838611950(*)MM(M Sd1SdSd ⋅=−=−=

Assim:

013,0026,0104,075,146916

286945,075,145879

3564633,075,14163

249Sd ++=

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

=τ

MPa 43,1cmkN 143,0 2Sd ==τ


Pela Tabela 10, 4,1=β . Assim,

MPa 45,1cmkN145,0

75,141632494,1 2Sd ==⋅

⋅=τ

Observa-se que o cálculo de τSd pelo método simplificado conduziu novamente

a um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela 1.



17

6.2.3 Verificação do contorno C” Tensão solicitante (Tabela 1):


cm 12,4668,331632798,0'*e =⋅⋅=

Logo,

cmkN 1148412,46249'*eF*M SdSd ⋅=⋅=⋅= cmkN 466)1148411950(*)MM(M Sd1SdSd ⋅=−=−=

Pela eq.(4), tomando-se 1,1wp =η para o Wp1, e 3,1wp =η para o Wp2, de

acordo com a Tabela 6:

21p cm 110695879

1632791,1'W =⋅⋅=

22p cm 153896916

1632793,1'W =⋅⋅=

Assim,

005,0002,0060,075,1415389

286945,075,1411069

466633,075,14279

249Sd ++=

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

=τ

MPa 67,0cmkN 067,0

2Sd ==τ

Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 7, tem-se:

cm 43,573775,14230202

3722

40373775,14837304075,14

75,14875,143022

3040202040

'*e

2

22

=⋅π+⋅π⋅++⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅⋅π

+⋅⋅+⋅+⋅⋅π+

+⋅+⋅⋅+⋅

+−⋅

=

Logo:

cmkN 1430043,57249'*eF*M SdSd ⋅=⋅=⋅= 0 cmkN 2350)1430011950(*)MM(M sd1sdsd ≤⋅−=−=−=

0Msd =

Calculando-se Wp1’ e Wp2’ pelas expressões da Tabela 5, têm-se:

22

22

1p

cm 164183722

4037 3775,1483730

4075,1475,14875,143022

30402

40'W

=⋅+⋅⋅π

+⋅⋅+⋅+

+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅

+=



18

22

22

2p

cm 18723372 2

30373775,14837402

3075,1475,14875,1440430404

30'W

=⋅+⋅⋅π

+⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+=

E assim,

005,00060,075,1418723

286945,075,1416418

0633,075,14279

249Sd ++=

⋅⋅

+⋅

⋅+

⋅=τ

MPa 65,0cmkN 065,0 2Sd ==τ



MPa 66,0cmkN066,0

75,142792491,1

2Sd ==⋅

⋅=τ

Observa-se que os valores de Wp1’ e de Wp2’ obtidos pela eq.(4), apesar de

conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, o mesmo ocorrendo para o e’* obtido pela eq.(6), em relação ao da Tabela 7.

O mais importante, entretanto, é que novamente as tensões solicitantes calculadas para os dois casos são bastante parecidas, justificando, mais uma vez, o uso do método simplificado. E quanto ao cálculo de τSd pela eq.(7), observa-se que o resultado obtido também ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da Tabela 1.

6.3 Pilar P1 (pilar de canto)

kN 108774,1FSd =⋅= cmkN 608243444,1MSdx ⋅=⋅= cmkN 259018504,1MSdy ⋅=⋅=

cm 15aa 21 == cm 30*uo = , cm 76*u = e cm 134'*u =

6,0K1 =

As duas situações de cálculo estão representadas na Figura 7.

Sdx1Sd MM = Sdy1Sd MM =

3030

6082

3030

2590

1a situação 2 a situação Figura 7 - Situações de cálculo para o pilar P1.



19

Mas como o pilar é quadrado, 21 cc = , e as excentricidades e os valores de K e de Wp são iguais para as duas direções. O determinante da situação mais crítica é, portanto, apenas o valor do momento Msd, que é maior no primeiro caso. Se o pilar fosse retangular, seria necessário se calcular a tensão solicitante segundo as duas situações de cálculo, para então se descobrir a mais crítica.


Pela Tabela 3:

( ) cm 72,3075,1415152

3075,1475,14875,141543015151530*e22

=⋅π++⋅

⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅=


cm 06,672,3076305,0*eo =⋅⋅=

Logo:

cmkN 65506,6108*eF*M oSdSd ⋅=⋅=⋅= cmkN 5427)6556082(*)MM(M sd1sdsd ⋅=−=−=

Pela Tabela 4:

222

1p cm 31252

3075,1475,14475,143022

30304

30W =⋅⋅π

+⋅+⋅⋅+⋅

+=

Pela eq.(1):

2o,1p cm 12343125

7630W =⋅=

Assim:

MPa 23,4cmkN423,0179,0244,0

75,14123454276,0

75,1430108

2Sd ==+=⋅

⋅+

⋅=τ


cm 25,11)1515(2

3015151530*e2

o =+⋅

⋅+−⋅=

Logo:

cmkN 121525,11108*eF*M oSdSd ⋅=⋅=⋅= cmkN 4867)12156082(*)MM(M sd1sdsd ⋅=−=−=



20

E assim:

MPa 04,4cmkN404,0160,0244,0

75,14123448676,0

75,1430108

2Sd ==+=⋅

⋅+

⋅=τ



MPa 15,4cmkN415,0

75,14301087,1 2Sd ==⋅

⋅=τ

Mais uma vez percebe-se que, apesar do valor conservador de eo* obtido com

o uso da eq.(5) não estar próximo daquele obtido a partir da Tabela 8, a diferença entre as tensões solicitantes calculadas nos dois casos é pequena. E quanto ao método simplificado para o cálculo de τSd, ele forneceu, novamente, um bom resultado em relação àqueles obtidos com a expressão da Tabela 1.

6.3.2 Contorno C’ Tensão solicitante (Tabela 1):

cmkN 331872,30108*eF*M SdSd ⋅=⋅=⋅= cmkN 2764)33186082(*)MM(M sd1sdsd ⋅=−=−=

E assim,

MPa 32,1cmkN132,0036,0096,0

75,14312527646,0

75,1476108

2Sd ==+=⋅

⋅+

⋅=τ



MPa 35,1cmkN135,0

75,14761084,1 2Sd ==⋅

⋅=τ

Nota-se que o resultado da eq.(7) para τSd se aproxima bastante daquele obtido pela Tabela 1, sendo, entretanto, muito mais facilmente calculado.

6.3.3 Contorno C” Tensão solicitante (Tabela 1):


cm 16,5472,3076

134'*e =⋅=

Logo:

cmkN 584916,54108'*eF*M SdSd ⋅=⋅=⋅= cmkN 233)58496082(*)MM(M sd1sdsd ⋅=−=−=



21

Pela eq.(4), tomando-se 3,1wp =η , de acordo com a Tabela 6:

21p cm 71633125

761343,1'W =⋅⋅=

Assim,

MPa 56,0cmkN056,0001,0055,0

75,1471632336,0

75,14134108

2Sd ==+=⋅⋅

+⋅

=τ


cm 47,54

23775,1415152

3722

30373775,148371523075,14

75,14875,141543015151530

'*e

2

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π

+⋅π++⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅⋅π

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅π+

+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅

=

Logo:

cmkN 588347,54108'*eF*M SdSd ⋅=⋅=⋅= cmkN 199)58836082(*)MM(M sd1sdsd ⋅=−=−=

Calculando-se Wp1’ pela expressão da Tabela 5, tem-se:

22

22

1p

cm 8659374

3037 3775,1443730

23075,1475,14475,14302

23030

430'W

=+⋅⋅π

+⋅⋅+⋅+

+⋅⋅π

+⋅+⋅⋅+⋅

+=

E assim,

MPa 56,0cmkN056,0001,0055,0

75,1486591996,0

75,14134108

2Sd ==+=⋅⋅

+⋅

=τ



MPa 60,0cmkN060,0

75,141341081,1

2Sd ==⋅

⋅=τ

Observa-se que valor do Wp1’ obtido com a eq.(4), apesar de conservador, está

novamente próximo daquele obtido a partir da expressão da Tabela 5, sendo muito mais facilmente calculado. O mesmo acontece com o valor de e’* obtido pela eq.(6), em relação àquele da Tabela 8. Desta vez, inclusive, nem se pode considerar diferenças entre os valores das tensões solicitantes calculadas nos dois casos. E quanto ao cálculo de τSd pela eq.(7), observa-se que, mais uma vez, o resultado obtido ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da Tabela 1.



22

7 CONCLUSÕES

Observou-se que a omissão da Revisão da NBR 6118 (2000) quanto ao cálculo do Wp e do e* nos contornos C e C” poderia acarretar o uso de valores indevidos desses parâmetros para as verificações na face do pilar e a 2d da região armada. Sugeriu-se, então, um método simplificado para a determinação de Wpo, Wp’, eo* e e’*, a partir dos coeficientes ηwp, ηe1 e ηe2.

Também se propôs um método simplificado para a obtenção das tensões solicitantes nos casos de punção excêntrica, através de um coeficiente majorador da tensão provocada pela força normal, chamado de β. A adoção desse coeficiente, apesar de conduzir a valores um pouco conservadores em alguns casos, facilita bastante avaliação dos efeitos da transferência de momentos desbalanceados.

Apesar dos bons resultados obtidos, como demonstrado no exemplo do item 6, vale ressaltar que os valores dos coeficientes propostos ainda podem ser melhorados, através de análises que utilizem uma amostragem maior e mais diversificada que aquela adotada por LIMA (2001).

8 AGRADECIMENTOS

Ao CNPq, pelas bolsas de mestrado e de pesquisador.

9 REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (2000). Revisão da NBR 6118 - Projeto de estruturas de concreto.

COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. (1993). CEB-FIP model code 1990. London: Thomas Telford.

COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION. (1999). Eurocode 2 - Design of concrete structures. Part 1: General rules and rules for buildings. Brussels: CEN. (1st draft)

FEDERATION INTERNATIONALE DE LA PRÉCONTRAINTE. (1999). Practical design of structural concrete. London: SETO. (FIP Recomendations).

GUARDA, M. C. C.; LIMA, J. S.; PINHEIRO, L. M. (2000). Novas diretrizes para a análise da punção no projeto de lajes lisas. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, 4., São Paulo. Anais... São Paulo: 2000. 1 CD-Rom.

LIMA, J. S. (2001). Verificações da punção e da estabilidade global de edifícios de concreto: desenvolvimento e aplicação de recomendações normativas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo.

ISSN 1809-5860


ANÁLISE EXPERIMENTAL DE LIGAÇÕES DUPLO “T” COM ALMAS COPLANARES,

PERPENDICULARES E ENRIJECIDAS

Yuri Ivan Maggi1 & Roberto Martins Gonçalves2

Resumo

Este trabalho apresenta e discute o comportamento de perfis “T” parafusados de acordo com os resultados obtidos durante o programa experimental desenvolvido como parte da Tese de Doutorado intitulada “Análise do Comportamento Estrutural de Ligações Parafusadas Viga-Pilar com Chapa de Topo Estendida” no programa de pós-graduação do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos, USP. Três séries de ligações duplo “T”, com almas co-planares, perpendiculares e enrijecidas, totalizando 50 protótipos, foram testados à tração com o objetivo de simular possíveis configurações de vigas e pilares em ligações parafusadas com chapa de topo. Dentro de cada série, a espessura das mesas dos perfis “T” e o diâmetro dos parafusos foram variados, permitindo a obtenção de diferentes modos de colapso. Os deslocamentos e deformações nas mesas dos perfis “T” são apresentados e os resultados obtidos são analisados comparativamente entre os protótipos, discutindo-se os modos de falha, a influência da variação da geometria no comportamento dessas ligações, a interdependência do comportamento entre mesa e parafusos e o “efeito alavanca”, enfatizando-se os modelos analíticos adotados pelo Eurocode-3 e a utilização dos perfis “T” equivalentes no dimensionamento da chapa de topo à flexão. Palavras-chave: estruturas; aço; ligações; perfis “T”; análise experimental; Eurocode.

1 INTRODUÇÃO

O comportamento semi-rígido das ligações viga-pilar em estruturas metálicas – inicialmente introduzido nos procedimentos da AISC (1980) no início da década de 80 e mais tarde na metodologia de dimensionamento do Eurocode-3 (1993) – tornou-se um aspecto de significativa importância na análise estrutural uma vez identificada sua influência no comportamento global das estruturas. Na busca de modelos capazes de representar as ligações com maior precisão quanto à rigidez e à resistência, inúmeros estudos têm sido realizados na tentativa de

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves


24

incorporar o comportamento semi-rígido das ligações aos procedimentos de dimensionamento, estabelecendo-se as variáveis que o influenciam, sua interdependência e os estados limites últimos aplicáveis. No entanto, a natureza complexa das ligações parafusadas requer a aplicação de modelos avançados para sua representação, o que dificulta o desenvolvimento de metodologias que considerem modelos tridimensionais com todas as não-linearidades existentes.

As ligações com chapa de topo, geralmente consideradas rígidas, podem ser utilizadas como exemplo para as considerações feitas acima já que podem apresentar os mais variados comportamentos rotacionais dependendo de parâmetros geométricos, como espessura da chapa de topo, diâmetro e posicionamento dos parafusos, entre outros, além do elevado grau de iteração dos diversos componentes que, geralmente, são tratados de forma isolada. Esse comportamento complexo é traduzido em modelos simplificados e, citando-se o dimensionamento da chapa de topo à flexão, o Eurocode-3 (1993) propõe a utilização de perfis “T” equivalentes para os quais a determinação de resistência é mais simples. Atualmente, existem diversos métodos que podem ser utilizados no cálculo da resistência última de perfis “T” parafusados levando em consideração, principalmente, a identificação e quantificação dos esforços de alavanca. Segundo Swanson (1999), dentre os modelos existentes o proposto por Kulak et al. (1987) é o que provê melhores resultados quando comparado à resultados experimentais e, juntamente com o trabalho desenvolvido por Zoetemeijer & deBack (1972), foi aplicado aos modelos analíticos utilizados pelo Eurocode-3 (1993) para determinação dos modos de falha em perfis “T”.

A metodologia proposta pelo Eurocode-3 (1993) para a modelagem e dimensionamento das ligações representa um marco de importante referência para os estudos desenvolvidos na última década com a introdução do “método das componentes”, extremamente didático e generalista. Com relação à flexão da chapa de topo e da mesa do pilar, especificamente, reproduz-se três possíveis modos de falha, esquematizados na figura 1, aplicáveis aos perfis “T” e relacionados ao comportamento conjunto entre chapa de topo e parafusos na região tracionada da ligação. A formulação analítica tem base em métodos de energia envolvendo a distribuição de tensões plásticas em torno dos parafusos, tanto na chapa de topo quanto na mesa do pilar, e a análise dessas linhas de escoamento leva à determinação do comprimento efetivo de um perfil “T” que representa a resistência de cada linha de parafusos, ou de um grupo de linhas, considerando:

i. Modo 1 - Plastificação da mesa do perfil “T” na região dos parafusos; ii. Modo 2 - Colapso dos parafusos com plastificação da intersecção

mesa/alma; e iii. Modo 3 - Colapso dos parafusos.

Figura 1 - Modos de falha de perfis “T” parafusados.

Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas


25

A analogia proposta entre o comportamento dos perfis “T” e das chapas de topo sob flexão merece atenção por reproduzir, qualitativamente, os mecanismos envolvidos na região tracionada de ligações parafusadas com chapa de topo. No entanto, cabe ressaltar que se trata de uma simplificação para um comportamento altamente complexo, principalmente à medida que o comportamento da chapa de topo à flexão e a resposta dos parafusos à tração tornam-se interdependentes, passando do modo de falha 3 para o modo 2 e 1 com significativo aumento do “efeito alavanca” o que, segundo Bursi & Jaspart (1998), demonstra a necessidade de refinamentos dos modelos analíticos, principalmente para ligações com chapas mais finas. Desta forma, este trabalho apresenta parte de um programa experimental desenvolvido com perfis “T” parafusados, comumente denominados de T-stubs, com o objetivo de gerar observações paramétricas sobre o comportamento dessas ligações, relacionando-as às ligações com chapa de topo. Assim, apresentam-se resultados referentes ao comportamento força-deslocamento, discutindo-se a influência da variação da espessura das mesas dos perfis “T”, do diâmetro dos parafusos, da posição relativa entre as almas dos perfis conectados e a presença ou não de enrijecedores, além das variações dos modos de falha.

2 PROGRAMA EXPERIMENTAL

Com relação à metodologia geral adotada no estudo experimental é importante ressaltar que o objetivo dessa série de ensaios não é a de caracterizar o perfil “T” como um componente isolado, mas sim de observar seu comportamento como parte de uma ligação, simulando a flexibilidade da chapa de topo conectada à mesa do pilar pelos parafusos. Por esse motivo os protótipos foram testados unindo-se os perfis “T” aos pares. A figura 2 apresenta, esquematicamente, uma ligação duplo “T”.

Figura 2 - Tipologia usual da ligação duplo “T”.

Ao todo foram realizados 50 ensaios com 25 configurações diferentes de ligação, testadas aos pares e divididas em três grupos. O primeiro grupo, denominado de TSC, é formado por perfis “T” com almas coplanares, sem enrijecimento, simulando a região da chapa de topo na altura da mesa tracionada da viga, com variações de geometria a fim de se obter diferentes modos de falha.



26

O segundo grupo, denominado de TSI, é formado por perfis “T” dispostos com as almas perpendiculares para simular o posicionamento da mesa da viga com relação à alma do pilar nas ligações com chapa de topo. O terceiro e último grupo, denominado de TSIE, utiliza a mesma formação do grupo TSC, com a inclusão de enrijecimento em um dos lados no plano perpendicular à alma. Ambos têm como objetivo fornecer dados para análises comparativas com o grupo TSC. A geometria dos protótipos dos grupos TSC, TSI e TSIE podem ser visualizadas na figura 3 e as configurações para cada grupo, respectivamente, nas tabelas 1, 2 e 3.

7676

300200300

100

16

38

300t2t1

38 1638

38

A

19 100

19

400

5757

16

t2t1400

3838

3838

16

A

12,5

38

168

38

130

Corte A

38

12,5

16

Furos (variáveis)

38

155358535

Furos (variáveis)

Corte B

85155

38

130

38

1913

092

19 12,5

35

16838

1612,5

38

35

TSC

TSI

TSIE

B

B

7676

168

400

16

A

38

400tch tch

3838 16

38

A

Figura 3 - Geometria dos protótipos dos grupos TSC, TSI e TSIE

Dimensões em mm – tch, t1 e t2 variáveis.

Tabela 1 - Configurações do grupo TSC (dimensões em mm). Protótipo db dFuro tch quant.

TSC1 12,5 14,0 12,5 2 TSC2 12,5 14,0 16,0 2 TSC3 12,5 14,0 19,0 2 TSC4 16,0 18,0 12,5 2 TSC5 16,0 18,0 16,0 2 TSC6 16,0 18,0 19,0 2 TSC7 16,0 18,0 22,4 2 TSC8 19,0 21,0 16,0 2 TSC9 19,0 21,0 19,0 2

TSC10 19,0 21,0 22,4 2 TSC11 19,0 21,0 25,0 2



27

Tabela 2 - Configurações do grupo TSI (dimensões em mm). tch Protótipo db dFuro

t1 t2 quant.

TSI1 16,0 18,0 12,5 19,0 2 TSI2 16,0 18,0 16,0 19,0 2 TSI3 16,0 18,0 19,0 19,0 2 TSI4 16,0 18,0 22,4 19,0 2 TSI5 19,0 21,0 16,0 22,4 2 TSI6 19,0 21,0 19,0 22,4 2 TSI7 19,0 21,0 22,4 22,4 2 TSI8 19,0 21,0 25,0 22,4 2

Tabela 3 - Configurações do grupo TSIE (dimensões em mm).

tch Protótipo db dFuro

t1 t2 quant.

TSIE1 16,0 18,0 16,0 16,0 2 TSIE2 16,0 18,0 16,0 19,0 2 TSIE3 19,0 21,0 16,0 22,4 2 TSIE4 19,0 21,0 19,0 19,0 2 TSIE5 19,0 21,0 19,0 22,4 2 TSIE6 19,0 21,0 19,0 25,0 2

Chapas de aço ASTM-A36 foram utilizadas na confecção dos perfis “T”, conectados com parafusos de alta resistência ASTM-A325. Forças iniciais de protensão foram aplicadas nos parafusos de todos os modelos com o auxílio de torquímetros, segundo as recomendações da NBR-8800 (1986). Para a análise do comportamento das ligações ensaiadas, dois grupos de dados foram observados: as deformações das mesas dos perfis “T” em torno dos parafusos e as aberturas relativas em uma das bordas e na região central. Para a definição da distribuição dos extensômetros, inicialmente, foi realizado um ensaio piloto utilizando um protótipo da série TSC, com mesa de 16.0 mm de espessura e parafusos de 16.0 mm (TSC5), também utilizado para a verificação da simetria dos protótipos, da metodologia de fixação e protensão dos parafusos e da velocidade de ensaio. Extensômetros também foram utilizados nos parafusos para a verificação da protensão e calibração do torquímetro. Um esquema da instrumentação é apresentado na figura 4. De maneira geral, o comportamento do protótipo durante o ensaio foi o esperado, havendo uma abertura visível das mesas na intersecção mesa-alma. Com os dados coletados nas rosetas observou-se uma assimetria no protótipo, conseqüência da falta de alinhamento entre a mesa e a alma, o que ocorreu sistematicamente para todos os protótipos. No entanto, foi possível detectar padrões de deformação para as mesas, decidindo-se por concentrar extensômetros nas proximidades de um dos furos do lado 1, considerados suficientes para coletar dados de plastificação nessa região.



28

Figura 4 - Esquema da instrumentação do ensaio piloto.

Como as solicitações máximas ocorreram nas proximidades da intersecção mesa-alma, dois extensômetros foram utilizados na posição das rosetas 2 e 4, na direção perpendicular à alma. Adicionalmente, foram utilizados 4 transdutores de deslocamento, posicionados simetricamente em relação ao lado 1 e 2, para a obtenção do deslocamento relativo entre as mesas. A figura 5 apresenta um detalhe da instrumentação final em um protótipo da série TSC.

Figura 5 - Visão geral da instrumentação e detalhes do posicionamento dos transdutores.

3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

3.1 Grupo TSC – almas coplanares

Observando-se, inicialmente, a variação da espessura da mesa dos perfis “T”, a figura 6 apresenta as curvas força-deslocamento para os protótipos TSC1, TSC2 e TSC3, com parafusos de 12,5 mm. A rigidez dos protótipos, por meio das curvas força-deslocamento, será utilizada como indicativo do comportamento global dessas ligações e também de suas variações. Para o subgrupo dos protótipos TSC1 à TSC3 observa-se pouca variação da rigidez inicial, conseqüência da protensão dos parafusos. O protótipo TSC1, com mesa de 12,5 mm de espessura, é mais dúctil e apresenta maior contribuição da mesa na



29

deformabilidade da ligação. Com o aumento da espessura da mesa, os parafusos têm sua capacidade de deformação maximizada, havendo limitações para a deformabilidade do protótipo TSC3. Esse comportamento pode ser associado a dois fatores: o primeiro, com relação à solicitação dos parafusos, tem razão direta na diminuição do efeito alavanca uma vez que a mesa tem menor deformabilidade à flexão, aumentando a capacidade resistente dos protótipos TSC2 e TSC3; o segundo indica a grande dependência do comportamento da ligação à rigidez relativa entre a mesa e os parafusos, uma vez que a mesa do protótipo TSC3, de 19,0 mm, permite que os parafusos sejam solicitados preferencialmente à tração, com uma queda acentuada de resistência antes do colapso devida à plastificação mais uniforme da seção líquida dos parafusos.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSC1 (tch=12,5 mm)

TSC2 (tch=16,0 mm)

TSC3 (tch=19,0 mm)

Figura 6 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com

parafusos de 12,5 mm. Na figura 6 representa-se o deslocamento total da ligação duplo “T”, incluindo-se as deformações da alma. Neste caso, representa-se o deslocamento do atuador hidráulico que foi utilizado como referência para as relações força-deslocamento de todos os protótipos desta série. As figuras 7(a) e 7(b) apresentam, respectivamente, as deformações dos protótipos TSC1 e TSC3 após o colapso, percebendo-se claramente a mudança de configuração das mesas com o aumento da espessura. Apesar de haver uma indicação visível do desaparecimento do “efeito alavanca” nos parafusos, a ductilidade do protótipo TSC3 é diminuída sensivelmente, reafirmando a rigidez elevada à flexão da mesa de 19,0 mm com relação à rigidez axial dos parafusos de 12,5 mm, que seguem o comportamento observado nos diagramas força-deslocamento da caracterização dos parafusos com solicitações predominantes de tração.



30

(a) TSC1 (b) TSC3

Figura 7 - Deformações dos protótipos TSC1 e TSC3 após o colapso. Dessa forma, é possível caracterizar o modo de falha 3, representando a ruptura dos parafusos como estado limite último, visível no protótipo TSC3. Convém ressaltar que todos os protótipos do programa experimental foram ensaiados até o colapso dos parafusos, mesmo para as ligações em que a mesa apresentou deformações elevadas, para as quais caracteriza-se o modo de falha 1. Devido às condições do ensaio e às imperfeições dos protótipos, não se observou a ruptura conjunta de todos os parafusos, caracterizando-se como colapso a ruptura de um ou mais parafusos tracionados na ligação. Dentro do sub-grupo com parafusos de 16,0 mm, as curvas força-deslocamento dos protótipos TSC4, TSC5, TSC6 e TSC7 estão mostradas na figura 8. Chama-se a atenção para o fato de que os resultados dentro desse sub-grupo, considerando os protótipos de cada par, não são tão uniformes quanto os observados para o primeiro sub-grupo, com parafusos de 12,5 mm.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSC4 (tch=12,5 mm)TSC5 (tch=16,0 mm)TSC6 (tch=19,0 mm)TSC7 (tch=22,4 mm)


parafusos de 16,0 mm.



31

Analisando-se as curvas na figura 8 é possível se observar um pequeno escorregamento nos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6, causado pelas imperfeições de montagem comentadas no capítulo anterior. Como grande parte dos protótipos apresentou falta de alinhamento entre as almas e também falta de perpendicularidade entre mesa e alma, observou-se a ocorrência de solicitações de flexão nas mesas no momento da fixação no atuador. Neste caso, surgiram forças adicionais, paralelas às mesas, que devem ter provocado o escorregamento à medida que a força de protensão inicial nos parafusos era superada. Para o protótipo TSC7 não se observou esse escorregamento. No entanto, o primeiro protótipo do par não foi solicitado até a ruptura dos parafusos pois, antes disso, houve o esmagamento e deslizamento da rosca, conseqüência de se ter utilizado um parafuso com pequeno comprimento de rosca. Com relação à rigidez deste sub-grupo, comportamento semelhante aos observados entre os protótipos TSC2 e TSC3 ocorre entre os protótipos TSC4 e TSC5. Para os protótipos TSC6 e TSC7, o “efeito alavanca” é menor permitindo que os parafusos sejam solicitados predominantemente à tração, com aumento da capacidade de deformação. Para referenciar os modos de falha previstos para os protótipos descritos acima, na tabela 4 apresentam-se os valores da capacidade resistente à tração (T) e a quantificação das forças de alavanca (Q) das ligações duplo “T” calculados segundo o Eurocode 3 (1993) para cada parafuso. Tabela 4 - Capacidade resistente, forças de alavanca e modos de falha do grupo TSC calculados segundo o Eurocode 3 (1993).

Protótipo T (kN) Q (kN) Modo de falha TSC1 56,73 19,21 2 TSC2 68,65 7,28 2 TSC3 75,93 - 3 TSC4 65,43 26,17 1 TSC5 95,58 28,82 2 TSC6 106,44 17,96 2 TSC7 119,16 5,25 2

Analisando-se mais detalhadamente a resposta deste sub-grupo, o protótipo TSC4, assim como o protótipo TSC1 do sub-grupo anterior, tem na mesa a maior fonte de deformabilidade para a ligação. De fato, o estado limite último do protótipo TSC1 é previsto para o modo de falha 2, enquanto o protótipo TSC4 apresenta o modo de falha 1. A variação do modo de falha e a variação da deformabilidade dos parafusos e da mesa dos perfis “T” pode ser visualizada na figura 9, que ilustra as deformações nas mesas dos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6.



32

(a) TSC4 (b) TSC5 (c) TSC6

Figura 9 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6 após o colapso.

Com os gráficos das figuras 6 e 8 e os valores apresentados na tabela 4, as seguintes observações podem ser feitas com base na resistência e na deformabilidade dos protótipos.

i. Os limites de resistência para os perfis “T” são função da capacidade resistente dos parafusos e do “efeito alavanca”, ou seja, do tipo de solicitação a que estão sujeitos os parafusos. Quanto maior o diâmetro dos parafusos e maior a espessura da mesa, maior a capacidade resistente à tração da ligação duplo “T”;

ii. Os limites de deformação axial também são função do “efeito alavanca”, mas são influenciados, principalmente, pela relação entre a deformabilidade dos parafusos e a deformabilidade da mesa dos perfis “T”. Assim, quando a ligação passa do modo de falha 1 para o modo de falha 2, há uma diminuição da deformabilidade, observada entre os protótipos TSC4 e TSC5. No entanto, entre o modo de falha 2 e o modo de falha 3, duas situações distintas podem ocorrer: na primeira, quando a deformação à flexão da mesa é muito inferior à deformação axial dos parafusos, há uma queda contínua na ductilidade dos protótipos; na segunda, havendo uma relação mais equilibrada entre mesa e parafusos há também um ganho de ductilidade, devido à deformabilidade da mesa.

Essas observações, apesar de qualitativas, indicam a existência de uma relação ótima entre espessura de mesa e diâmetro de parafusos para a maximização da deformabilidade e manutenção de requisitos mínimos de resistência. Outra observação interessante pode ser feita com as figuras 10 e 11 que indicam, respectivamente, as forças de tração (T) e a “força de alavanca” (Q) por parafuso, calculados segundo o Eurocode 3 (1993) e obtidas experimentalmente. Para os protótipos, a força de tração (T) é calculada dividindo-se a força máxima no ensaio pelo número de parafusos da ligação – neste caso, 4. As forças de alavanca são obtidas pela diferença entre a força de tração aplicada por parafuso e a força que o parafuso suportaria sob tração simples, ou seja, sem efeitos de alavanca.



33

0.0

15.0

30.0

45.0

60.0

75.0

90.0

105.0

120.0

135.0

150.0

TSC1 TSC2 TSC3 TSC4 TSC5 TSC6 TSC7

Protótipos

Forç

a de

traç

ão p

or p

araf

uso

(kN

)

Eurocode 3

Experimental

Figura 10 - Forças de tração nos parafusos dos protótipos TSC.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

TSC1 TSC2 TSC3 TSC4 TSC5 TSC6 TSC7Protótipos

Forç

a de

ala

vanc

a po

r par

afus

o (k

N)

Eurocode 3

Experimental

Figura 11 - Forças de alavanca nos parafusos dos protótipos TSC.

Os resultados experimentais, nos gráficos acima, seguem um padrão bem definido para a capacidade resistente e para as forças de alavanca nos parafusos. Esse padrão refere-se a um aumento da resistência à medida que se aumenta a espessura da mesa dos perfis “T” e o diâmetro dos parafusos e uma diminuição quase proporcional das forças de alavanca com o aumento da espessura da mesa, dentro de um sub-grupo de parafusos. Neste caso, reforça-se a idéia de que a resistência dos protótipos e o “efeito alavanca” depende significativamente da interação entre parafusos e mesa dos perfis “T” como contribuintes na deformabilidade da ligação duplo “T”.



34

Os resultados analíticos, por sua vez, mostram valores desproporcionais com relação às forças de alavanca e, em geral, conservadores com relação à resistência dos perfis “T”. Tratando-se de modelos analíticos de dimensionamento, o fato de serem conservadores é um ponto positivo ao desconsiderarem imperfeições, tensões residuais e diferenças na resistência dos materiais utilizados, ressaltando-se que os valores analíticos e experimentais se aproximam na medida em que a ligação se aproxima do modo de falha 3. Por outro lado, reforça-se a complexidade de se tratar analiticamente os mecanismos de transferência de esforços e o “efeito alavanca”. Especificamente para o protótipo TSC4, a previsão da capacidade resistente pelo Eurocode 3 (1993) é significativamente menor que a resistência observada experimentalmente, o que indica uma previsão incorreta do modo de falha. Para complementar a observação dos modos de falha, a figura 12 ilustra, para os protótipos TSC4-1 e TSC5-2, as deformações nos extensômetros 1 e 2, posicionados perpendicularmente à alma nas mesas de um dos lados dos protótipos conforme indicado na figura. Para o protótipo TSC5-2, a deformação é significativamente maior no centro com relação à extremidade lateral, indicando a flexão nos dois planos da mesa para esse protótipo e uma tendência de plastificação dos furos para o centro e para a lateral, característica do modo de falha 2. Como o deslocamento axial do protótipo TSC5-2 é menor que a do protótipo TSC4-1 e as deformações no protótipo TSC4-1 são menores que as do TSC5-2, até com uma maior uniformidade, percebe-se uma modificação na plastificação da mesa, cuja flexão é acentuada na direção perpendicular à alma.

0

100

200

300

400

500

600

700

-1.0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0 13.0Deformação (x103)

Forç

a (k

N)

Ext(1) - TSC4-1Ext(2) - TSC4-1Ext(1) - TSC5-2Ext(2) - TSC5-2

tch = 12,5 mm

tch = 16,0 mm

Figura 12 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC4 e TSC5.

O protótipo TSC4-2 foi pintado com uma mistura de água e cal e, na figura 13, é possível visualizar a formação de uma linha de plastificação entre os furos,



35

paralela à alma do perfil “T”, além de um detalhe da ruptura de um parafuso por solicitações de tração combinadas com flexão.

Figura 13 - Linhas de plastificação na mesa do protótipo TSC4-2 e detalhe da ruptura do

parafuso. As deformações para os protótipos TSC6 e TSC7 nas mesmas posições da mesa (figura 12) estão mostradas na figura 14.

0

100

200

300

400

500

600

700

-1.0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0 13.0Deformação (x103)

Forç

a (k

N)

Ext(1) - TSC6-2Ext(2) - TSC6-2Ext(1) - TSC7-2Ext(2) - TSC7-2

tch = 19,0 mm

tch = 22,4 mm

Figura 14 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC6 e TSC7.

Para os protótipos TSC6 e TSC7, a flexão na mesa também é pronunciadamente maior na direção perpendicular à alma devido ao aumento da espessura da mesa. Neste caso, as deformações voltam a ser uniformes no centro e na lateral, havendo uma diminuição da flexão na mesa do protótipo TSC7, característica do modo de falha 3. No sub-grupo com parafusos de 19,0 mm não foi possível solicitar todos os modelos até o colapso devido à plastificação da alma dos perfis “T”, com exceção do



36

protótipo TSC8 no qual houve a ruptura dos parafusos, evidenciando a existência de forças de alavanca acentuadas neste protótipo, com mesa de 16,0 mm de espessura. Quanto à rigidez inicial, pequenas variações foram observadas neste sub-grupo. Como o torquímetro utilizado na protensão dos parafusos de 19,0 mm possuía apenas controle visual do torque, por relógio graduado, pequenas variações da força de protensão podem ter ocorrido, influenciando o trecho inicial das curvas força-deslocamento, apresentadas na figura 15 para os protótipos TSC8, TSC9, TSC10 e TSC11. Com o escoamento da alma, há uma limitação de resistência para os protótipos TSC9, TSC10 e TSC11, com um aumento significativo da deformabilidade devido ao patamar de escoamento do material da alma. Com o encruamento da alma, poderia se esperar um novo acréscimo de resistência e, possivelmente, a ruptura dos parafusos, mas os ensaios foram interrompidos uma vez que a plastificação da alma já caracteriza um estado limite último. Novamente, observam-se escorregamentos nos protótipos TSC8 e TSC9. Mantendo-se a espessura da mesa constante e variando-se o diâmetro dos parafusos, tem-se como padrão um aumento de resistência e de ductilidade em diferentes proporções, como pode ser observado na figura 16 para os protótipos TSC1 e TSC4, com mesa de 12,5 mm e parafusos de 12,5 e 16,0 mm, respectivamente, e na figura 17 para os protótipos TSC2, TSC5 e TSC8, com mesa de 16,0 mm e parafusos de 12,5, 16,0 e 19,0 mm, respectivamente.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSC8 (tch=16,0 mm)TSC9 (tch=19,0 mm)TSC10 (tch=22,4 mm)TSC11 (tch=25,0 mm)


parafusos de 19,0 mm.

Para os protótipos com mesa de 12,5 mm, há um aumento proporcional entre resistência e ductilidade. Para os protótipos com mesa de 16,0 mm, no entanto, a proporção entre as curvas é observada apenas para o aumento de resistência e para a ductilidade entre os protótipos TSC5 e TSC8. A variação da ductilidade do protótipo TSC2 para o TSC5 é mínima, destacando-se que, no caso do protótipo TSC2, a



37

deformabilidade à flexão da mesa é maior com relação à deformabilidade axial dos parafusos.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSC1-1 (db=12,5 mm)

TSC4-1 (db=16,0 mm)


mesa de 12,5 mm de espessura – variação dos parafusos.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSC2-1 (db=12,5 mm)TSC5-2 (db=16,0 mm)TSC8-1 (db=19,0 mm)


mesa de 16,0 mm de espessura – variação dos parafusos.

3.2 Grupo TSI – almas perpendiculares

Os resultados do grupo TSI são importantes para a verificação do comportamento da ligação duplo “T” com a mudança de posição entre as almas dos



38

perfis “T”, seguindo a configuração usual da ligação com chapa de topo se considerados a viga e o pilar. Enfatizando-se, novamente, aspectos globais, na figura 18 são apresentadas as curvas força-deslocamento para os protótipos TSI. Como os resultados dos pares, para esse grupo, foram mais uniformes que no grupo TSC, indicam-se apenas as curvas obtidas no primeiro ensaio de cada par, a menos do protótipo TSI4-1 que apresentou interferências na coleta de dados, sendo substituído pelo protótipo TSI4-2. Para os protótipos TSI5 à TSI8, o ensaio foi interrompido pelos mesmos motivos dos protótipos TSC com parafusos de 19,0 mm. A representação esquemática da geometria dos protótipos da série TSI também é indicada na figura 18. Assim como para os protótipos do grupo TSC, não há modificação da rigidez inicial para o grupo TSI, inclusive para o aumento do diâmetro dos parafusos, conseqüência da força de protensão inicial aplicada. No entanto, ao contrário do grupo TSC, o aumento da espessura da mesa dos perfis “T” provocou pequenos acréscimos na ductilidade e na resistência das ligações dentro de cada sub-grupo de parafusos. Um ganho de resistência significativo pode ser visualizado com o aumento do diâmetro dos parafusos, de 16,0 para 19,0 mm. A figura 19 apresenta as deformações no protótipo TSI1-1 após o colapso e no protótipo TSI6-1 antes do término do ensaio.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSI1-1 (t1=12,5 mm)TSI2-1 (t1=16,0 mm)TSI3-1 (t1=19,0 mm)TSI4-2 (t1=22,4 mm)TSI5-1 (t1=16,0 mm)TSI6-1 (t1=19,0 mm)TSI7-1 (t1=22,4 mm)TSI8-1 (t1=25,0 mm)

db = 16,0 mm

db = 19,0 mm

db = 16,0 mm

db = 19,0 mm

t2 = 19,0 mm

t2 = 22,4 mm

Figura 18 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSI.



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(a) TSI1-1 (b) TSI6-1

Figura 19 - Deformações das mesas dos protótipos TSI1-1 e TSI6-1. É interessante observar que, devido às diferenças de braço de alavanca para os parafusos e da espessura da mesa entre os perfis “T” desses protótipos, a deformação se concentra em uma das mesas, modificando a interação entre mesa e parafusos na caracterização do colapso. Comparando-se os grupos TSC e TSI pela consideração da menor espessura de mesa, o protótipo TSI1, com mesas de 12,5 e 19,0 mm de espessura e parafusos de 16,0 mm, tem um pequeno ganho de ductilidade com relação ao protótipo TSC4, com mesas de 12,5 mm. O protótipo TSI2, com mesas de 16,0 e 19,0 mm, no entanto, apresenta um aumento significativo de ductilidade quando comparado ao protótipo TSC5, com mesas de 16,0 mm, como pode ser visualizado na figura 20.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSC4-1 (tch=12,5 mm)TSC5-2 (tch=16,0 mm)TSI1-1 (t1=12,5 mm)TSI2-1 (t1=12,5 mm)

db = 16,0 mm

Figura 20 - Variação de ductilidade entre os protótipos TSI e TSC.

Enfatiza-se que, neste caso, a influência do “efeito alavanca” na variação do modo de falha dos perfis “T” é menor e a solicitação nos parafusos passa a ser menos influenciada por esforços de flexão quando comparadas aos protótipos TSC4 e TSC5.



40

Assim, caracteriza-se a flexão mais pronunciada na direção perpendicular à alma dos perfis “T” como um padrão de deformação para as mesas, não influenciada significativamente pela interação em mesa e parafusos. No entanto, é possível observar uma variação nos padrões de plastificação da mesa, que ocorreu de forma sistemática para o grupo TSI. A figura 21 ilustra a plastificação nas mesas do protótipo TSI1-2 juntamente com detalhes dos parafusos após a ruptura.

Figura 21 - Plastificação e detalhes dos parafusos no protótipo TSI1-2.

Na figura 21 identificam-se marcas que indicam a tendência de plastificação dos furos para a borda nas mesas, na direção perpendicular à alma do perfil “T” e para a região central da borda entre os furos. No detalhe dos parafusos, a seção de ruptura indica a menor influência da flexão destes componentes. Esse padrão foi verificado para todos os protótipos do grupo TSI. As linhas de plastificação nos protótipos TSI2 e TSI3 podem ser visualizadas nas figuras 22(a) e 22(b).

(a) TSI2-2 (b) TSI3-2

Figura 22 - Linhas de plastificação nas mesas dos protótipos TSI2-2 e TSI3-2. Para observar a variação nas deformações das mesas entre os protótipos TSC e TSI, apresenta-se, na figura 23, os dados coletados nos extensômetros 1, 2, 3, e 4, indicados na figura, na direção perpendicular à alma para cada lado da ligação dos protótipos TSI3-1 e TSC6-2, ambos com mesas de 19,0 mm de espessura e parafusos de 16,0 mm. Para o protótipo TSI3-1 há uma diminuição significativa para a deformação no lado 1, pelo aumento de flexibilidade da mesa no lado 2. As deformações no lado 2,



41

com relação ao protótipo TSC6-2, apresentam um aumento significativo no centro da mesa nos estágios iniciais de plastificação. No entanto a deformação no centro tende a uniformizar-se com a deformação na borda, o que indica a flexão predominante segundo a direção perpendicular à alma, apesar da plastificação ter iniciado na região central em direção aos furos.

0

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100

150

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350

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500

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0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0Deformação (x103)

Forç

a (k

N)

Ext(1) - TSC6-2Ext(2) - TSC6-2Ext(1) - TSI3-1Ext(2) - TSI3-1Ext(3) - TSI3-1Ext(4) - TSI3-1

db = 16,0 mmtch = t1 = 19,0 mm

Figura 23 - Deformações nas mesas dos protótipos TSI3-1 e TSC6-2.

Considerando-se a utilização dos modos de falha para os perfis “T” no dimensionamento da chapa de topo à flexão, aplicados usualmente às ligações duplo “T”, a variação da tipologia pela perpendicularidade entre as almas dos perfis “T” não modifica de forma significativa a resistência dos protótipos. No entanto, observou-se variações nos padrões de plastificação das mesas e na interação entre mesa e parafusos, o que conduziu à variações na magnitude do “efeito alavanca” e da ductilidade dos protótipos. 3.3 Grupo TSIE – almas enrijecidas

Para o grupo TSIE foi possível observar a influência do enrijecimento da alma que não modifica significativamente o comportamento global da ligação com relação ao grupo TSC, a menos de um ganho de resistência. A figura 24 apresenta as curvas força-deslocamento para os protótipos do grupo TSIE, ressaltando que os protótipos com parafusos de 19,0 mm não foram ensaiados até o colapso.



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0

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250

300

350

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500

550

600

650

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSIE1-1 (t2=16,0 mm)TSIE2-2 (t2=19,0 mm)TSIE3-1 (t2=22,4 mm)TSIE4-2 (t2=19,0 mm)TSIE5-2 (t2=22,4 mm)TSIE6-1 (t2=25,0 mm)

db = 16,0 mm

db = 19,0 mm

db = 16,0 mm

db = 19,0 mm

t1 = 16,0 mm

t1 = 19,0 mm

Figura 24 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSIE.

Para os protótipos com parafusos de 16,0 mm, o aumento da espessura da mesa provoca uma leve diminuição da ductilidade, com um pequeno aumento de resistência. Para o sub-grupo com parafusos de 19,0 mm, o aumento da capacidade resistente é visível. Na figura 25 apresenta-se uma comparação entre as curvas força-deslocamento dos protótipos TSIE1-1 e TSC5-2, ambos com mesas e parafusos de 16,0 mm. Para esses dois protótipos, observa-se o aumento da capacidade resistente com a inclusão do enrijecimento, ressaltando-se a manutenção da ductilidade entre os protótipos TSIE1-1 e TSC5-2, o que também ocorre de maneira sistemática entre os dois grupos. A inclusão do enrijecimento diminui de forma significativa a deformabilidade da mesa para o lado enrijecido da ligação duplo “T”. Neste caso, espera-se que as deformações sejam concentradas na mesa não enrijecida, cuja plastificação deve acontecer em taxas mais elevadas. No entanto, não há indicações de que os padrões de plastificação na mesa dos protótipos TSIE sofram modificações quando comparados aos protótipos similares do grupo TSC, já que não há variações significativas de ductilidade como observado na figura 25. Outro indicativo de que os padrões de plastificação não são alterados é o aumento de resistência da ligação que, apesar de pequena, sugere uma diminuição do “efeito alavanca”.



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0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSIE1-1

TSC5-2

db = 16,0 mmtch = t2 = 16,0 mm

Figura 25- Curvas força-deslocamento para os protótiopos TSIE1 e TSC5.

Para exemplificar a configuração das deformações para o grupo TSIE, na figura 26 são ilustradas duas vistas para o protótipo TSIE1-1 logo após o colapso dos parafusos.

(a) Visão lateral (b) Visão frontal

Figura 26 - Deformações nas mesas do protótipo TSIE1-1 após o colapso. 3.4 Comparação geral entre os grupos

Apenas para ilustrar, de forma geral, a variação de comportamento entre os protótipos de ligações duplo “T”, a figura 27 apresenta as curvas força-deslocamento para os três grupos, especificamente para os protótipos com parafusos de 16,0 mm. Em uma comparação geral, é possível se concluir que a capacidade resistente das ligações duplo “T”, independentemente da tipologia analisada, tem uma faixa de variação cujo patamar superior é bem definido, em função da capacidade resistente dos parafusos à tração.



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0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

TSC4-1 (tch=12,5 mm)TSC5-2 (tch=16,0 mm)TSC6-2 (tch=19,0 mm)TSC7-2 (tch=22,4 mm)TSI1-1 (t1=12,5 mm)TSI2-1 (t1=16,0 mm)TSI3-1 (t1=19,0 mm)TSI4-2 (t1=22,4 mm)TSIE1-1 (t2=16,0 mm)TSIE2-2 (t2=19,0 mm)

Figura 27 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC, TSI e TSIE com parafusos de

16,0 mm. O patamar inferior é função da intensidade dos “efeitos de alavanca”, que dependem da interação entre as mesas dos perfis “T” e os parafusos e, portanto, não é facilmente determinada. No entanto, a tendência de crescimento da resistência com o aumento da espessura da mesa do perfil “T” é uniforme, mesmo considerando-se as mudanças de tipologia. O mesmo não ocorre com a ductilidade. De acordo com o exposto no capítulo 3, os limites de ductilidade para essas ligações não são tratados pelos modelos analíticos e dependem, novamente, da intensidade dos “efeitos de alavanca” que, por sua vez, é função da deformabilidade da mesa dos perfis “T” com relação à deformabilidade dos parafusos. Como a variação de ductilidade não é uniforme, é coerente supor que há variações nos modos de falha em função das variações das linhas de plastificação, utilizadas na metodologia proposta por Zoetemeijer & deBack (1972) para a equivalência entre os perfis “T” e a chapa de topo. A observação dos resultados para as ligações duplo “T” também permite concluir que não há, pelo menos em termos do comportamento global, variações significativas da capacidade resistente e da ductilidade dos protótipos com a variação de tipologia.

4 CONCLUSÕES

Neste trabalho foram apresentados os resultados de um programa experimental no qual foram testadas diversas ligações formadas por perfis “T” parafusados, divididas em três grupos em função da tipologia da ligação. A rigidez axial



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das ligações foi analisada, constatando-se a significativa influência da interdependência entre as características geométricas dos flanges e dos parafusos na determinação dos modos de falha, resistência e ductilidade dos perfis “T”, que são aplicados no dimensionamento das ligações parafusadas com chapa de topo por meio de modelos analíticos simplificados. O efeito alavanca, presente na maioria dos protótipos ensaiados, representa uma variável de difícil quantificação. Sua maior ou menor intensidade também é função da tipologia da ligação, que pode apresentar maior ductilidade à medida que a distribuição de tensões nos flanges é melhor distribuída entre borda e centro, como ocorreu para o grupo TSI com almas perpendiculares.

Finalmente, é interessante ressaltar que os resultados gerados pelos ensaios com perfis “T” serão utilizados em conjunto com resultados numéricos dos modelos correspondentes para gerar discussões em torno do comportamento deste tipo de ligação e de sua representatividade no dimensionamento das ligações com chapa de topo, incluindo-se a análise detalhada das linhas de escoamento nos flanges e a discussão em torno dos modelos analíticos existentes.

5 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o suporte financeiro provido pela FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) para o desenvolvimento do trabalho de Doutoramento, cujos resultados parciais foram apresentados nesta contribuição.

6 REFERÊNCIAS

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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1986). NBR-8800 - Dimensionamento e construção de estruturas de aço em edifícios. Rio de Janeiro.

BURSI, O.S.; JASPART, J.P. Basic issues in the finite element simulation of extended end plate connections. Computer & Structures, n. 69, p. 361-382, 1998.

EUROCODE-3. Design of steel structures: Part 1.1 - General rules and rules for buildings - Revised Annex J: Joints in building frames, 1993.

KULAK, G.L.; FISHER, J.W.; STRUIK, J.H.A. Guide to design criteria for bolted and riveted joints. 2. ed. John Wiley & Sons, 1987.

MAGGI, Y.I. (2000). Análise numérica, via M.E.F., do comportamento de ligações parafusadas viga-coluna com chapa de topo. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

MAGGI, Y.I. (2004). Análise do comportamento estrutural de ligações parafusadas viga-pilar com chapa de topo estendida. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.



46

SWANSON, J.A. Characterization of the strength, stiffness, and ductility behavior of T-stub connections. Ph.D. Dissertation, Georgia Institute of Technology, 1999.

ZOETEMEIJER, P.; BACK, J. High strength bolted beam to column connections. The computation of bolts, T-stub flanges and column flanges. Report 6-72-13, Delft University of Technology, Stevin Laboratory, 1972.

ISSN 1809-5860


ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO SOBRE ESTACAS

SUBMETIDOS À AÇÃO DE FORÇA CENTRADA Fabiana Stripari Munhoz 1 & José Samuel Giongo 2

R e s u m o

Este trabalho estuda o comportamento de blocos rígidos de concreto armado sobre duas, três, quatro e cinco estacas, submetidos à ação de força centrada. Com o objetivo de contribuir na análise de critérios de projeto utilizaram-se resultados obtidos por meio de modelos analíticos e realizou-se análise numérica por meio de programa baseado no Método dos Elementos Finitos. Foi desenvolvida, ainda, uma análise comparativa entre os processos de dimensionamento adotados em projeto, na qual se verificou grande variabilidade dos resultados. Para análise numérica adotou-se comportamento do material como elástico linear e os resultados de interesse foram os fluxos de tensões em suas direções principais. Nos modelos adotados variaram-se os diâmetros de estacas e as dimensões dos pilares, a fim de se verificar as diferenças na formação dos campos e trajetórias de tensões. Concluiu-se que o modelo de treliça utilizado em projetos é simplificado e foram feitas algumas sugestões para a utilização de um modelo de Bielas e Tirantes mais refinado. Foi possível a verificação da influência da variação da geometria de estacas e de pilares no projeto de blocos sobre e a revisão dos critérios para os arranjos das armaduras principais. Para os modelos de blocos sobre cinco estacas com o centro geométrico de uma das estacas coincidente com o centro do pilar, concluiu-se que o comportamento não é exatamente como considerado na prática. Palavras-chave: blocos sobre estacas; fundações; concreto armado; bielas e tirantes.

1 INTRODUÇÃO

Os blocos sobre estacas são elementos estruturais de fundação cuja finalidade é transmitir às estacas as ações oriundas da superestrutura (figura 1). O uso deste tipo de fundação se justifica quando não se encontram camadas superficiais de solo local resistentes sendo necessário atingir camadas mais profundas que sirvam de apoio à fundação.

São estruturas tridimensionais, ou seja, todas as dimensões têm a mesma ordem de grandeza, tornando seu funcionamento complexo. O comportamento

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo


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mecânico do conjunto aço/concreto, a determinação de vinculações e a existência da interação solo/estrutura são problemas que agravam o grau de complexidade. Esses elementos estruturais, apesar de serem fundamentais para a segurança da superestrutura, geralmente, não permitem inspeção visual quando em serviço, sendo assim, importante o conhecimento de seu real comportamento.

Figura 1 - Bloco sobre quatro estacas.

Os métodos para dimensionamento destes elementos utilizados até os dias atuais tratam-os de modo simplificado, além disso, há diferentes parâmetros adotados pelas normas e processos.

A norma brasileira NBR 6118:2003 considera os blocos sobre estacas como elementos estruturais especiais que não respeitam a hipótese de seções planas, por não serem suficientemente longos para que se dissipem as perturbações localizadas. Classifica o comportamento estrutural de blocos em rígidos e flexíveis. No caso de blocos rígidos o modelo estrutural adotado para cálculo e dimensionamento deve ser tridimensional, linear ou não, e modelos de biela-tirante tridimensionais, sendo esses últimos os preferidos por definir melhor a distribuição de forças nas bielas e tirantes. A NBR 6118:2003 não fornece em seu texto um roteiro para verificações e dimensionamento destes elementos.

O código americano ACI-318 (1994) adota hipóteses bem simplificadas para o dimensionamento de blocos. Recomenda o uso da teoria da flexão e a verificação da altura mínima do bloco para resistir à força cortante.

A norma espanhola EHE (2001) fornece expressões que permitem determinar as áreas das barras da armadura para os casos mais freqüentes de blocos sobre estacas, conforme o modelo de treliça adotado.

A rotina de projeto de blocos sobre estacas utilizada pelo meio técnico no Brasil, conhecida como Método das Bielas é adaptada do trabalho de Blévot (1967), que indica um modelo de treliça para a determinação da força no tirante e verificações de tensões nas bielas comprimidas. As tensões de compressão são verificadas considerando as áreas do pilar e das estacas projetadas na direção perpendicular ao eixo da biela.

Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...


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Outro procedimento que tem sido utilizado por alguns projetistas de estruturas de concreto é o processo sugerido pelo CEB-FIP (1970).

Esse procedimento indica verificações de segurança para tensões normais e tangenciais com esforços solicitantes determinados em seções transversais particulares. Este procedimento diverge da norma brasileira que considera que blocos rígidos não respeitam a hipótese de seções planas.

Uma análise criteriosa para definir o comportamento estrutural de blocos sobre estacas é a que considera o modelo de Bielas e Tirantes, afinal, tratam-se de regiões descontínuas, onde não são válidas as hipóteses de Bernoulli. No modelo de Bielas e Tirantes as verificações de compressão nas bielas podem ser feitas com as considerações do Código Modelo do CEB-FIP (1990), pois as regiões nodais têm geometria diferente das sugeridas por Blévot (1967).

O modelo de Bielas e Tirantes pode ser adotado considerando o fluxo de tensões na estrutura, utilizando o processo do caminho das cargas. Essas tensões podem ser obtidas por meio de uma análise elástica linear, utilizando métodos numéricos como, por exemplo, o método dos elementos finitos.

Segundo Tjhin e Kuchma (2002), a orientação mais adequada para a seleção de modelos apropriados de bielas e tirantes pode ser verificada em Schlaich et al. (1987) que propõem arranjar os elementos da treliça do modelo utilizando as trajetórias das tensões principais obtidas a partir de uma solução elástica linear. Essas aproximações permitem verificar os estados limites último e de serviço.

O uso de trajetórias de tensões principais para guiar a construção de modelos de bielas e tirantes também foi estendido à geração automática de modelos. Um exemplo disto pode ser visto no trabalho de Harisis e Fardis (1991), que utilizaram uma análise estática de dados de tensões principais obtida de uma análise linear por elementos finitos para identificar localizações de bielas e tirantes.

Longo (2000) utilizou campos e trajetórias de tensões principais em vigas pré-moldadas obtidas de uma análise elástica linear por meio do Método dos Elementos Finitos e conseguiu bons resultados iniciais para adoção de modelos de bielas e tirantes.

Autores como Iyer e Sam (1991) estudaram o comportamento de blocos sobre três estacas por meio de uma análise elástica linear tridimensional e concluíram que a analogia de treliça, aplicada a blocos sobre estacas utilizada por Blévot e Frémy (1967), não é satisfatória, pois não conferem com as localizações e magnitudes de tensões máximas com precisão.

Em virtude dessas e outras divergências nos métodos analíticos utilizados para cálculo de blocos sobre estacas decidiu-se estudar modelos de blocos, sendo o objetivo deste trabalho, estudar o comportamento de blocos rígidos de concreto armado sobre duas, três, quatro e cinco estacas submetidos à ação de força centrada para sugestão de um modelo de Bielas e Tirantes mais refinado do que o modelo de treliça utilizado atualmente em projetos. Para isto, utilizaram-se resultados obtidos por meio de modelos analíticos e realizou-se uma análise numérica utilizando-se o programa ANSYS®(1998) baseado no Método dos Elementos Finitos. Nos modelos, adotados variaram-se os diâmetros de estacas e as dimensões de pilar.

Para análise numérica, adotou-se comportamento do material como elástico linear. Os resultados de interesse foram os fluxos de tensões em suas direções principais a fim de se aplicar o modelo de Bielas e Tirantes.



50

Provavelmente uma análise não-linear ofereceria algumas vantagens por fornecer resultados mais realistas acerca dos efeitos de perda de rigidez dos elementos estruturais por causa da fissuração e escoamento das armaduras longitudinais, mas com a proposta de quantificar alguns parâmetros, acredita-se que a análise elástico-linear constitui-se em passo inicial imprescindível.

2 MÉTODOS DE CÁLCULO PARA PROJETO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS

O Método das Bielas desenvolvido tomando por referência a análise de resultados experimentais de modelos ensaiados por Blévot (1967) considera no interior do bloco uma treliça composta por barras tracionadas e barras comprimidas. As forças de tração que atuam nas barras horizontais da treliça são resistidas pela armadura enquanto que as de compressão nas bielas são resistidas pelo concreto. É recomendado para ações centradas, mas pode ser empregado no caso de ações excêntricas, desde que, admita-se que todas as estacas estão submetidas à maior força transferida.

O Método do CEB-FIP (1970) é aplicável a blocos cuja distância entre a face do pilar até o eixo da estaca mais afastada varia entre um terço e a metade da altura do bloco. O método sugere um cálculo à flexão considerando uma seção de referência interna em relação à face do pilar e distante desta 0,15 da dimensão do pilar na direção considerada. Para verificações da capacidade resistente à força cortante, define-se uma seção de referência externa distante da face do pilar de um comprimento igual a metade da altura do bloco e, no caso de blocos sobre estacas vizinhas ao pilar, a seção é considerada na própria face do pilar.

A norma espanhola EHE (2001) adota modelo de cálculo semelhante ao Método das Bielas. A diferença entre os dois métodos ocorre na adoção da altura da treliça para cada modelo e na questão da verificação das tensões de compressão. A EHE (2001) sugere que a verificação da resistência do concreto nos nós do modelo, em geral, não é necessária se as estacas são construídas “in loco” e se a resistência característica do concreto destas e do pilar forem iguais a do bloco. Nos outros casos deve-se realizar verificações adicionais.

O código americano ACI-318 (1994) admite os blocos sobre estacas como um elemento semelhante a uma viga apoiada sobre estacas. O procedimento para dimensionamento sugerido é o dimensionamento considerando momento fletor e fazendo à verificação a força cortante em uma seção crítica. O máximo momento fletor é determinado em relação a um plano vertical localizado na face do pilar. A quantidade de armadura longitudinal é determinada pelos procedimentos usuais às vigas de concreto armado. O código indica como essa armadura deve ser distribuída e recomenda o valor de 30 cm para altura mínima de blocos sobre estacas.

A verificação à força cortante em blocos sobre estacas, segundo o código americano, deve ser feita em uma seção crítica que é medida a partir da face do pilar com a localização definida conforme o comportamento do bloco, ou seja, quando ocorre comportamento de viga, o bloco é considerado uma viga extensa e a seção crítica é definida por um plano que dista d da face do pilar, sendo d a altura útil do bloco. Quando ocorre comportamento por “dois caminhos” cisalhantes, a ruína ocorre pela punção ao longo de um cone, a superfície crítica é definida a partir de d/2 do perímetro do pilar.



51

3 APLICAÇÃO DE MODELOS DE BIELAS E TIRANTES

O modelo de bielas e tirantes é uma representação discreta de campos de tensões nos elementos estruturais de concreto armado. É idealizado o fluxo de forças internas nas regiões com a consideração de uma treliça que transfere o carregamento imposto no contorno para seus apoios. Esta treliça é composta por uma estrutura de barras comprimidas (bielas) e tracionadas (tirantes) interconectadas por nós.

Os modelos de Bielas e Tirantes são fundamentados no Teorema do Limite Inferior da Teoria da Plasticidade. Uma das hipóteses para se aplicar esse teorema é o material exibir comportamento elasto-plástico perfeito, ou seja, para fins de determinação da capacidade limite de carga de uma estrutura é possível dispensar uma análise evolutiva das tensões e das deformações, admitindo-se, simplificadamente, que o material tenha comportamento elasto-plástico perfeito.

O projeto de regiões, utilizando o modelo de Bielas e Tirantes, pode oferecer mais do que uma treliça possível representando campos de tensões estaticamente em equilíbrio e plasticamente admissíveis sendo, cada solução, garantida pelo Teorema do Limite Inferior (ou Teorema Estático) da Teoria da Plasticidade (Análise Limite).

Machado (1998) apresentou modelos de consolos curtos e muito curtos sem utilizar de maneira formal a Teoria da Plasticidade (Análise Limite), mas baseado em Modelos de Bielas e Tirantes.

Os modelos propostos neste trabalho também não usam de maneira formal esta análise, embora o modelo sugerido seja baseado em um Modelo de Bielas e Tirantes, o qual tem solução garantida pelo Teorema do Limite Inferior.

Como orientação inicial deve-se seguir de perto os contornos e as trajetórias de tensões elásticas na peça que são obtidas, inicialmente, empregando-se um programa de análise em Elementos Finitos Linear (regime elástico linear sem a consideração da fissuração).

O Método dos Elementos Finitos pode ser usado em sua versão linear, a mais simplificada, em conjunto com Método das Bielas e Tirantes fornecendo as trajetórias das tensões para facilitar a definição dos modelos de treliça, os campos de tensões possíveis, ou pode ser usado na construção efetiva de um modelo para a análise aproximada, desconsiderando a fissuração da peça.

O programa CAST, desenvolvido recentemente por Tjhin e Kuchma (2002) para projeto de regiões D, utiliza contornos de tensão e trajetórias de tensões principais obtidas de uma análise elástica linear para a seleção da treliça do modelo.

Schlaich et al. (1987) explicam que este processo de orientar o modelo de bielas e tirantes ao longo dos caminhos de forças indicados pela teoria da elasticidade negligencia um pouco a capacidade última de carga que poderia ser utilizada por uma aplicação da teoria de plasticidade. Por outro lado, tem a vantagem principal que o mesmo modelo é usado para o estado limite último e de serviço. Se por alguma razão o propósito da análise é determinar a força última, o modelo pode ser adaptado facilmente a esta fase de carregamento trocando suas bielas e tirantes para obter um valor maior e mais real da resistência da estrutura. Neste caso, porém, a capacidade de rotação não elástica do modelo tem que ser considerada.



52

4 ANÁLISE NUMÉRICA

Os modelos foram submetidos a uma análise elástica linear via Método dos Elementos Finitos utilizando o programa computacional ANSYS®.

4.1 Modelos adotados

Foram analisados 29 modelos de blocos sobre duas, três e quatro estacas, submetidos à ação de força centrada. Os modelos foram agrupados em cinco séries conforme a quantidade de estacas e força aplicada, como pode ser visto na tabela 1:

Tabela 1 - Modelos analisados.

A fim de se estudar a formação dos campos de tensões, foram adotados

modelos variando-se o diâmetro das estacas (30 cm, 35 cm e 40 cm) e as dimensões de pilares para blocos com a mesma geometria e carregamento. Para blocos sobre uma e cinco estacas alteraram-se também as alturas dos modelos.

Foram adotados resistência característica do concreto de 20 MPa e aço CA-50. A ligação do bloco com a estaca foi considerada de 10 cm e as demais condições geométricas são apresentadas nas figuras 2. e 3.

lele

a=170

b=60

lc

l

ap

bp

h=50d=40

d'=10

=30 =110 =30

φest φest

Série B – duas estacas

Figura 2 - Modelos de blocos sobre duas estacas (medidas em centímetros).

Tipo de Bloco Série Número de modelos

Força aplicada (kN)

2 estacas B 9 710 3 estacas C 7 1000 4 estacas D 7 1400 5 estacas E 6 1900



53

l√3/2=103,92

l=120

ap

bp

lcx

lcy

h=70d=60

d'=10

φest φest Série C – três estacas

a=190

b=190

lel=120 =35le =35

bp

ap

h=80d=70

d'=10

lcy

φest φest

a=190

b=190

lel=120 =35le =35

bp

ap

hd

d'=10

φest φest Série D – quatro estacas Série E – cinco estacas

Figura 3 - Modelos de blocos sobre três, quatro e cinco estacas (medidas em centímetros). Na tabela 2 são apresentados os parâmetros geométricos de cada modelo, ou

seja, dimensões do bloco (a, b), altura útil (d), distância entre eixos de estacas (l),



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distância da face do pilar ao eixo da estaca mais afastada (lc), dimensões de pilares (ap e bp) e diâmetro das estacas (φest).

Tabela 2 - Parâmetros Geométricos (medidas em centímetros). Bloco Distâncias Pilar e estaca

Série Modelos a b d l lcx lcy ap bp φest

B1-1 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 30

B1-2 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 35

B1-3 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 40

B2-1 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 30

B2-2 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 35

B2-3 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 40

B3-1 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 30

B3-2 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 35

B

B3-3 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 40

C1-1 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 30

C1-2 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 35

C1-3 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 40

C2-1 - - 60 120 51,00 31,82 18,00 75,00 30

C2-3 - - 60 120 51,00 31,82 18,00 75,00 40

C3-1 - - 60 120 22,50 60,32 75,00 18,00 30

C

C3-3 - - 60 120 22,50 60,32 75,00 18,00 40

D1-1 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30

D1-2 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 35

D1-3 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 40

D2-1 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 30

D2-2 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 35

D2-3 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 40

D

D3-1 190 190 70 120 50,00 15,00 20,00 90,00 30

E1-1h80 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30

E1-3h80 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 40

E1-1h95 190 190 85 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30

E1-1h110 190 190 100 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30

E2-1h80 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 30

E

E2-3h80 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 40

As siglas adotadas para representar os nomes dos blocos têm o seguinte

significado: Wx-y, W relaciona a série do modelo (ver tabela 1) que foi dividida conforme o número de estacas, x está relacionada com a seção do pilar, y está relacionado com a seção da estaca (y=1 para φest=30cm, y=2 para φest=35cm, y=3 para φest=40cm). Em alguns modelos com as mesmas iniciais x e y e variação da



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altura, acrescentou-se a letra h e o valor da altura em centímetros. Citando como exemplo o bloco B1-1, B significa que ele pertence à série B (blocos sobre duas estacas), o primeiro 1 significa que ele tem a mesma seção que os demais modelos da mesma série com x=1, e o outro 1 significa estacas com diâmetro de 30 cm.

Para os modelos B1-x e C1-x ap e bp são as medidas do lado de um quadrado com uma área equivalente a do retângulo que foram adotadas para os demais modelos da mesma série, por isso têm valores com números com mais casas decimais.

4.2 Modelagem numérica

Para a análise seguiram-se algumas etapas: definição das propriedades dos materiais, do tipo de elemento finito a se utilizar, da malha, das ações e condições de contorno.

Em quase todos os modelos foi possível aproveitar a simetria para a modelagem, apenas para os modelos de blocos sobre três estacas não foi possível. Para os modelos de blocos sobre quatro e cinco estacas aproveitou-se a simetria em uma direção, modelando-se metade do bloco; no caso de blocos sobre duas estacas aproveitou-se a simetria nas duas direções, modelando-se 1/4 dos blocos.

Adotaram-se para os modelos de blocos estacas com seção quadrada, mas com área equivalente aos referidos diâmetros. Essa medida foi tomada para facilitar a construção da malha numérica, e foi muito útil, já que não interferiu nos resultados de interesse. Os pilares e as estacas foram modelados com a mesma altura do bloco, procedimento este, normalmente adotado em ensaios experimentais.

As propriedades dos materiais, considerando avaliação global dos modelos, foram adotadas conforme a NBR 6118:2003, coeficiente de Poisson (ν) de 0,2 e módulo de elasticidade tangente do concreto conforme a expressão 1:

2cckc cm/kN 2504Ef5600E =→= (1)

O programa ANSYS® possui uma vasta biblioteca de elementos finitos com a finalidade de fornecer ao usuário condições para resolver problemas diversos. Neste trabalho o elemento SOLID 65 foi utilizado para discretizar o bloco, pilar e estacas. Este elemento é tridimensional constituído por oito nós, cada nó possuindo três graus de liberdade referentes às translações das coordenadas x, y e z.

Para discretização dos elementos, adotou-se uma malha com espaçamento entre nós de aproximadamente 5 cm para os modelos da série B, 10 cm para modelos da série D e E e 14 cm para os modelos C. Não foi possível utilizar uma malha mais refinada, pois com o aumento do número de elementos, inviabilizou o processamento do modelo numérico. Os modelos da série C (blocos sobre três estacas) foram os mais difíceis de modelar por não ter simetria, utilizou-se uma malha grande, além disso, optou-se por excluir da modelagem os elementos triangulares que foram gerados na malha nas periferias, já que, nestes locais, não havia tensões significativas. Isso se justifica, pois, na modelagem inicial esses elementos triangulares não foram excluídos e causaram dificuldades no processamento dos modelos, já que exigiram uma malha mais refinada.



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A figura 4 explicita as malhas utilizadas em um modelo de cada série de blocos analisados.

Série B – duas estacas Série C – três estacas

Série D – quatro estacas Série E – cinco estacas

Figura 4 - Malha de elementos finitos utilizada.

A ação foi aplicada como pressão na área referente ao pilar. Como condições de contorno restringiram-se todos os nós na face das estacas

no plano xz, nas duas direções e na direção normal a este plano, ou seja, restringiram-se as três direções. A intenção de impedir a rotação dos modelos deve-se ao fato de analisar o comportamento do bloco, mantendo condições coerentes a de um ensaio experimental.

O uso da simetria foi indispensável para a modelagem, pois sem esse recurso o número de elementos aumentaria, o que, conseqüentemente aumentaria o tempo e o trabalho computacional. A condição de simetria foi aplicada referente aos planos que foram cortados.

5 ANÁLISE DE RESULTADOS

As análises realizadas foram divididas em duas etapas. Primeiramente os modelos foram verificados por meio de três métodos analíticos. Nesta etapa verificaram-se as diferenças no cálculo das áreas das barras das armaduras.

Na segunda etapa deste trabalho consideraram-se os resultados obtidos pela análise numérica. Foi feita análise gráfica dos campos de tensão de compressão e



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com isso foram possíveis algumas comparações com os modelos analíticos. Além disso, observaram-se as divergências, tanto na formação do campo de tensão de compressão, quanto nos valores de tensão máxima de tração, quando são variadas dimensões de pilares e estacas.

5.1 Resultados analíticos

Os blocos sobre duas, três, quatro e cinco estacas foram dimensionados por três métodos analíticos, de BLÉVOT (1967), CEB-FIP(1970) e EHE (2001). Para as áreas de armaduras calculadas, é importante observar que neste trabalho não se verificou a ancoragem das mesmas em nenhum dos modelos. Os valores das forças nos tirantes (Rst) e das áreas de armadura são apresentados na tabela 3. O CEB-FIP não fornece o valor da força Rst, por não ser baseado em modelo de Biela e Tirante e o cálculo da armadura foi feito com as expressões utilizadas para cálculo de flexão em vigas. Para os modelos de blocos sobre três, quatro e cinco estacas a armadura foi calculada segundo os lados dos blocos, portanto os valores fornecidos na tabela 3 referem-se à área de armadura que deve ser colocada em cada lado. O procedimento do CEB-FIP sugere verificações em duas direções, então, adotou-se a mesma armadura para as duas direções, escolhendo a maior delas. Tabela 3 - Valores de Rst e As.

BLÉVOT CEB-FIP EHE

Modelos

Rst (kN) As (cm2) As (cm2) Rst (kN) As (cm2)

B1-1/ B1-2/ B1-3 473,0 9,46 8,00 483,8 9,68

B2-1/ B2-2/ B2-3 408,3 8,17 6,28 417,7 8,35

2 es

taca

s

B3-1/ B3-2/ B3-3 382,7 7,65 5,61 391,5 7,83

C1-1/ C1-2/ C1-3 186,9 3,74 3,66 228,2 4,56

C2-1/ C2-3 204,9 4,10 4,01 245,9 4,92

3 es

taca

s

C3-1/ C3-3 150,05 3,00 4,09 192,1 3,84

D1-1/ D1-2/ D1-3 250,0 5,00 4,65 294,0 5,88

D2-1/ D2-2/ D2-3 275,0 5,50 5,36 323,5 6,47

4 es

taca

s

D3-1 275,0 5,50 5,36 323,5 6,47

E1-1h80/ E1-3h80 271,4 5,43 5,05 235,3 4,71

E1-1h95 223,5 4,47 4,14 193,8 3,88

E1-1h110 190,0 2,80 3,52 167,7 3,29

5 es

taca

s

E2-1h80/ E2-3h80 298,6 5,97 5,83 258,8 5,18



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Os métodos analíticos para dimensionamento conduziram a diferentes resultados para a área de armadura, fornecendo valores com diferenças que chegaram até 30% para modelos de blocos sobre duas estacas. Para os blocos sobre duas, três e quatros estacas, o método da EHE (2001) apresentou as maiores áreas de armadura e o Método do CEB (1970), as menores, ou seja, as diferenças foram maiores entre esses dois métodos. Entre os Métodos de Blévot (1967) e CEB (1970) também ocorreram diferenças grandes, nos modelos de blocos sobre duas estacas chegaram a mais de 30%, para um dos modelos de blocos sobre três estacas houve uma diferença um pouco maior (a área de armadura calculada com os critérios do CEB foi 36% maior que a calculada com as indicações de Blévot), isso ocorreu por causa do posicionamento do pilar e das diferentes considerações dos dois métodos. Para os modelos de blocos sobre cinco estacas, de modo geral, o método que apresentou maiores áreas de armadura foi o de Blévot e as maiores diferenças ocorreram entre Blévot (1967) e EHE (2001), essa diferença foi da ordem de 15%.

5.2 Resultados numéricos

Os resultados numéricos de interesse neste trabalho são os campos de tensões com valores máximos e mínimos nas direções principais, que fornecem uma noção do funcionamento das estruturas.

Por meio das trajetórias de tensões principais é possível montar um modelo de Bielas e Tirantes. As trajetórias mínimas principais (tensão principal direção 3), geralmente de compressão, podem orientar as posições das bielas comprimidas. As trajetórias máximas principais (tensão principal direção 1) podem orientar o posicionamento dos tirantes. No item 5.4.3 serão apresentadas essas trajetórias para os modelos analisados, e são, por meio delas, em conjunto com a análise dos campos de tensão, que serão apresentadas algumas sugestões para modelos de bielas e tirantes mais refinados para blocos sobre uma, duas, três, quatro e cinco estacas.

Analisaram-se os campos de tensões principais máximas e mínimas. As tensões máximas representadas pelas tensões na direção 1 (tração) e as mínimas são representadas pelas tensões na direção 3 (compressão).

Para cada série de modelos de estacas foram feitas algumas constatações quando se variam os diâmetros das estacas ou a dimensão dos pilares ou a altura dos blocos.

5.2.1 Blocos sobre duas estacas 5.2.1.1 Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variando-

se diâmetro das estacas Neste item foram feitas comparações entre os modelos em que se variou o

diâmetro das estacas, ou seja, dividindo-se os modelos em três grupos: (1) B1-1, B1-2 e B1-3; (2) B2-1, B2-2 e B2-3 e (3) B3-1, B3-2 e B3-3.

As constatações que seguem são as mesmas para os três grupos distintos, já que, nas análises feitas ocorreram as mesmas situações.

Analisando primeiramente os campos de tensão na direção principal 3, que representam as tensões de compressão, pode-se observar a formação das bielas de compressão, como pode ser visto na figura 5. Além disso, observou-se a grande



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concentração de tensões nas regiões nodais, próximas ao pilar e próximas às estacas.

B1-1 (φest = 30 cm) B1-2 (φest = 35 cm) B1-3 (φest = 40 cm)



Figura 5 - Formação das bielas de compressão.

Uma importante constatação refere-se à formação das bielas de compressão. Os campos de tensão de compressão na região nodal superior, obtidos com a análise numérica, formaram-se além da seção do pilar, como pode ser observado na figura 5. Conforme o Modelo de Blévot (1967), a biela se forma partindo da área do pilar e, no entanto, não foi isso que ocorreu. Por meio de uma aproximação gráfica pode-se notar melhor as diferenças que ocorreram entre o modelo numérico e o analítico, conforme figura 6.

Na figura 6 as linhas contínuas em vermelho mostram a formação das bielas proposta pelo modelo de Blévot. As linhas em azul mostram uma idealização dos campos de compressão obtidos por análise numérica. Observa-se que o ângulo das bielas formado pelas linhas azuis tracejadas (modelo numérico) seria bem maior que o formado pelas linhas vermelhas contínuas. Além disso, conforme o modelo numérico a região nodal logo abaixo do pilar tem uma altura bem maior. É lógico que essas conclusões baseadas em análises gráficas são bem aproximadas, mas, mesmo assim são válidas.

Uma outra constatação relaciona os campos de tensão de compressão com o diâmetro das estacas. Observou-se que a tensão de compressão ao longo da biela



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diminuiu conforme se aumentou o diâmetro da estacas, esta diferença foi notada entre os blocos com estacas de diâmetros de 30 cm e 40 cm.

45°

Figura 6 - Bielas de compressão, modelo numérico e modelo de Blévot.

Com relação às tensões principais na direção 1, observou-se que essas máximas tensões de tração ocorrem na face inferior do bloco, como era esperado, no local onde se posiciona a armadura principal do bloco. A figura 7 ilustra os campos de tensão máxima em um dos modelos adotados.

Figura 7- Campos de tensão de tração.

Relacionando as tensões máximas de tração com os diâmetros das estacas, observou-se que as tensões aumentaram conforme se diminuiram os diâmetros das estacas. A tabela 4 traz os valores de tensão máxima de tração obtidos para cada grupo de blocos analisados.



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Tabela 4 - Tensões máximas de tração.

Grupos Modelos φest (cm) Tensão de tração máxima (MPa)

B1-1 30 4,8 1 B1-2 35 4,4 B1-3 40 4,0 B2-1 30 4,0

2 B2-2 35 3,6 B2-3 40 3,3 B3-1 30 3,6

3 B3-2 35 3,4 B3-3 40 3,0

As diferenças entre os valores de tensão máxima chegaram a 20%. No cálculo

analítico isso não aconteceria, pois a força no tirante, com a qual se calcula a área de armadura, independe do diâmetro da estaca.

5.2.1.2 Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo diâmetro das estacas variando-se a dimensão de pilares

Esta análise refere-se aos modelos de blocos com mesmas dimensões e mesmo diâmetro de estaca, mas com dimensões de pilares diferentes. Os grupo de blocos analisados refere-se aos modelos: (1) B1-1, B2-1 e B3-1, (2) B1-2, B2-2 e B2-3 e (3) B1-3, B2-3 e B3-3.

Os modelos B1-x e B2-x têm pilares com área equivalente, sendo o primeiro com área quadrada e o segundo retangular, já o modelo B3-x tem pilar com área retangular mais alongada. A importância desta análise deve-se ao fato de, a maioria dos métodos de cálculo serem aplicados somente para blocos sobre estacas com pilares de seção quadrada. Ocorreu que, em um modelo de bloco com mesma geometria e seção de pilar diferente, as tensões de tração foram distintas, portanto, não é muito realista a consideração que muitos métodos fazem utilizando seções quadradas equivalentes para pilares retangulares. Estas constatações podem ser observadas na tabela 5 que mostra os valores de tensões máximas de tração para cada grupo de modelos analisados.


Grupos Modelos Seção Pilar (cmxcm)

Tensão de traçãomáxima (MPa)

B1-1 34,64 x 34,64 4,8 1 B2-1 20,00 x 60,00 4,0 B3-1 20,00 x70,00 3,6 B1-2 34,64 x 34,64 4,4

2 B2-2 20,00 x 60,00 3,6 B3-2 20,00 x70,00 3,4 B1-3 34,64 x 34,64 4,0

3 B2-3 20,00 x 60,00 3,3 B3-3 20,00 x70,00 3,0



62

Observou-se que as máximas tensões de tração diminuem conforme se alonga a seção do pilar. Tomando como exemplo o modelo B2-1, aplicando o Método das Bielas e considerando uma seção quadrada equivalente, a armadura adotada seria a mesma que para o modelo B1-1, portanto, talvez seja conservativo adotar esta estratégia de seções equivalentes para blocos sobre duas estacas.

5.2.2 Blocos sobre três estacas Para análise de bloco sobre três estacas adotaram-se modelos com estacas

de diâmetros diferentes, e pilares de seção retangular e seção quadrada equivalentes, ou seja, os modelos C1-1, C1-2 e C1-3 têm pilares de seção quadrada; os modelos C2-1 e C2-3 pilares de seção retangular, com a mesma área que os anteriores, e, os modelos C3-1 e C3-3 a mesma seção retangular que os anteriores, mas agora no outro sentido. A intenção era observar os campos de tensão nestes modelos e notar as diferenças que existem nestes casos.

Foram analisadas vistas e cortes pré-determinados para os modelos de blocos sobre três estacas, para melhor visualização dos campos de tensão, conforme a figura 8.

Vista1

PLANTA

VISTA1Vista de Baixo

AA

B

BC

C

Figura 8 - Vistas esquemáticas dos modelos de blocos sobre três estacas.

5.2.2.1 Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variando-se o diâmetro das estacas

Neste item analisaram-se modelos de blocos com diferentes diâmetros de estacas, dividindo-se os modelos em três grupos distintos: (1) C1-1, C2-1 e C3-1, (2) C1-2 e C2-3 e (3) C1-3 e C3-3. A figura 9 mostra os campos de tensão dos modelos do grupo (1).

Analisando os campos de tensão para os modelos do grupo (1) constatou-se que a distribuição das forças de compressão é bem coerente com o modelo de Blévot (1967), mas as regiões nodais são bem distintas. Como era esperado, com o aumento do diâmetro das estacas, a tensão de compressão ao longo da biela diminuiu, isto se



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justifica afinal com o aumento da área da biela ocorre uma diminuição de tensão. Estas mesmas constatações foram feitas para os grupos (2) e (3).

CORTE AA

C1-1(φest = 30 cm)

CORTE CC

C1-2(φest = 35 cm)

C1-3(φest = 40 cm)

Figura 9 - Campos de tensão de compressão – blocos sobre três estacas.

Por meio da figura 10 pode se observar as formações dos campos de tensão de tração (direção principal) para os modelos de blocos sobre três estacas.

CORTE AA

C1-1(φest = 30 cm)

CORTE CC

C1-2(φest = 35 cm)

C1-3(φest = 40 cm) Figura 10 - Campos de tensão de tração – blocos sobre três estacas.

Com relação às tensões de tração máximas para os modelos com pilares retangulares (grupo 1) constatou-se que essas aumentaram conforme se diminuíram os diâmetros das estacas, as diferenças entre os valores máximos, de forma geral, não foram significativas. Estas observações também se aplicam ao grupo 3; para o grupo 2, as tensões diminuíram conforme se diminuiu o diâmetro das estacas. Essas constatações têm sua validade, mas é importante ressaltar que os grupos de modelos têm seções diferentes de pilar e, essa variação na seção, tem grande importância na formação dos campos de tensão conforme será visto no item seguinte.



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Neste item analisaram-se modelos de blocos com diferentes seções de pilares, dividindo-se os modelos em dois grupos distintos: (1) C1-1, C2-1, C3-1 e (2) C1-3, C2-3, C3-3.

A figura 11 apresenta os campos de tensões de compressão dos modelos do grupo 1. É mostrada uma vista de cima (face superior) dos modelos onde pode se observar as diferentes formas de distribuição de um modelo para o outro.

C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18)

Figura 11 - Campos de tensão de compressão – blocos sobre três estacas (vista de cima).

A figura 12 apresenta os campos de tensões de tração dos modelos do grupo 1. É mostrada uma vista da parte inferior dos modelos, onde pode se observar os contornos dos campos de tensão de tração para os modelos com diferentes seções de pilares.

C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18)

Figura 12 - Campos de tensão de tração – blocos sobre três estacas (vista de baixo).

Com relação às tensões de tração os valores máximos para todos os modelos estudados ocorreram aproximadamente no centro do bloco, mas sua formação, como era esperado, diferiu muito de acordo com as mudanças nas seções dos pilares.

5.2.3 Blocos sobre quatro estacas Para melhor visualização dos campos de tensão foram analisados vistas e

cortes pré-determinados para os modelos de blocos sobre quatro estacas, a figura 13 ilustra quais foram as vistas e cortes feitos nos modelos.



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Figura 13 - Vistas esquemáticas dos modelos de blocos sobre quatro estacas.

5.2.3.1 Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variando-se o diâmetro das estacas

Neste item foi feita uma análise dos campos de tensão de compressão (tensão principal na direção 3) para modelos de blocos sobre quatro estacas e comparada com o modelo analítico que utiliza analogia de treliça. Além disso, observaram-se as divergências, tanto na formação do campo de tensão de compressão, quanto nos valores de tensão máxima de tração (tensão principal na direção 1), quando se variam dimensões de estacas.

Para esta análise utilizaram-se apenas 6 dos 7 modelos dividindo-os em dois grupos: (1) D1-1, D1-2 e D1-3 e (2) D2-1, D2-2 e D2-3.

Observando-se os elementos mostrados no corte AA obtiveram-se as configurações de campos de tensão de compressão mostrados na figura 14, as diferenças nas formações das bielas, devem-se às diferentes geometrias dos pilares.

D1-1 (φest = 30 cm) D1-2 (φest = 35 cm) D1-3 (φest = 40 cm)

D2-1 (φest = 30 cm) D2-2 (φest = 35 cm) D2-3 (φest = 40 cm)

Figura 14 - Campos de tensão de compressão nos modelos de blocos sobre 4 estacas (corte AA).

Da mesma forma que para os blocos sobre duas estacas, constatou-se que os campos de tensão de compressão nas regiões nodais formam-se além da seção do pilar e estacas, conforme é considerado no Modelo de Blévot (1967). Observou-se ainda que, com o aumento do diâmetro das estacas, as intensidades das tensões de



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compressão diminuíram, isso era esperado e se justifica, pois há uma dissipação maior das tensões de compressão, portanto, maiores intensidades.

Com relação às tensões de tração, houve diferenças nos valores de tensões máximas de tração conforme aumentaram-se os diâmetros das estacas, mas não foram significativas como nos modelos de blocos sobre duas estacas. Os campos de tensão de tração apresentaram aspecto semelhante em todos os modelos, como é mostrado na figura 15.

Vista de Baixo Vista 1 Corte AA

Figura 15 - Campos de tensão de tração no modelo D1-1.


Os modelos D1-x e D2-x têm pilares com área equivalente, sendo o primeiro com área quadrada e o segundo retangular, já o modelo B3-x tem pilar com área retangular mais alongada.

Observando-se a figura 14, pode-se perceber que, conforme mudou-se a geometria do pilar, houve diferença na distribuição de tensões de compressão. Ocorreram diferenças significativas entre os modelos de blocos com pilares quadrados e retangulares. A intensidade da tensão de compressão ao longo da biela foi maior nos modelos com pilares de seção quadrada e diminuiu conforme alongou-se a seção do pilar.

Comparando-se os modelos de blocos sobre quatro estacas com pilar retangular de área 20cm x 80cm e com pilar quadrado de área equivalente 40cm x 40cm obtiveram-se valores máximos de tensões de tração muito próximos, o que não ocorreu nos modelos de blocos sobre duas estacas. Neste caso, seria possível a utilização de seções quadradas de área equivalente para blocos com pilares de seção retangular. Logicamente para o modelo B3-1, com seção um pouco mais alongada (20cm x 90cm), os valores foram um pouco menores, como era esperado. Estas constatações podem ser observadas na tabela 6, que mostra os valores de tensões máximas de tração para o grupo de modelos analisados.



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Grupos Modelos Seção Pilar (cmxcm)

Tensão de traçãomáxima (MPa)

D1-1 40 x 40 1,898 1 D2-1 20 x 80 1,890 D3-1 20 x 90 1,540

5.2.4 Blocos sobre cinco estacas Para os blocos sobre cinco estacas também foram feitas análises comparando

modelos com diferentes diâmetros de estacas e seções de pilares, mas, a constatação mais importante foi na análise das reações das estacas em modelos com diferentes alturas. Ocorreram diferenças significativas na comparação dos modelos numéricos com o modelo analítico. Na adoção de modelos com diferentes alturas também pode-se comprovar as diferenças nas formações dos campos de tensão de compressão mostradas na figura 16, que ilustra um corte passando no centro dos modelos.

E1-1h80 θ=45º

E1-1h95 θ=50º

E1-1h110 θ=55º

Figura 16 - Campos de tensão de compressão nos modelos de blocos sobre 5 estacas.

Os modelos foram adotados conforme o ângulo de inclinação das bielas, modelo E1-1h80 possui ângulo de inclinação de 45º, E1-1h95 de 50º e E1-1h110 de 55º. Estes ângulos estão contidos no intervalo sugerido pelo Método das Bielas (45º a 55º)

A figura 16 mostra que, quando o ângulo de inclinação das bielas está em seu limite inferior (45º), uma parcela maior de tensões de compressão dirigem-se para a estaca central. Conforme aumenta-se este ângulo, as tensões são melhores distribuídas para as demais estacas. Esta constatação pode ser melhor conferida quando se compara as reações obtidas em cada estaca.

Em cada um dos modelos de blocos sobre cinco estacas foi aplicada uma força centrada de 1900 kN. Portanto, a reação em cada estaca, considerada no modelo analítico, é igual a 380 kN, já que, para modelos de blocos com ação de força centrada a reação em cada estaca é considerada o valor da força aplicada dividido pelo número de estacas.

A figura 17 mostra como foi considerada a numeração das estacas no modelo.



68

Figura 17 - Numeração das estacas nos modelos de blocos sobre cinco estacas.

Nos modelos numéricos a reação obtida em cada estaca divergiu dos modelos analíticos, como é mostrado na tabela 7.

Tabela 7 - Reações nas estacas dos modelos numéricos de blocos sobre três estacas. Reação nas estacas (kN) Modelos θº 1 2 3 4 5

E1-1h80 45 360,01 360,01 459,96 360,01 360,01 E1-1h95 50 367,41 367,41 430,36 367,41 367,41

E1-1h110 55 371,84 371,84 412,64 371,84 371,84 E1-3h80 45 344,10 344,10 523,60 344,10 344,10 E2-1h80 45 361,66 361,66 453,36 361,66 361,66 E2-3h80 45 347,09 347,09 511,64 347,09 347,09

Sendo: θ = ângulo de inclinação das bielas Conforme a tabela 7 nos modelos numéricos, a reação na estaca central

(estaca 3) foi muito maior do que nas outras estacas. Notou-se, analisando os modelos E1-1h80, E1-1h95 e E1-1h110 que, conforme aumenta-se a altura do bloco, o valor da reação na estaca 3 é menor, ou seja, esse modelo de bloco sobre cinco estacas teria que ser muito mais rígido para que a distribuição de força normal fosse coerente com o modelo analítico. O modelo E1-1h110 tem o ângulo de inclinação das bielas de 55º, ou seja, o valor máximo que é permitido pelo Método de Blévot (1967) para que se garanta que a transmissão de forças se dê pelo Modelo de Bielas e Tirantes.

Mediante as constatações decidiu-se pela modelagem de mais um modelo de blocos sobre cinco estacas que foi nomeado E1-1h150 (d = 140 cm) e que teve a mesma geometria do modelo E1-1h80, mas, neste caso, a altura adotada foi de 150cm. Para essa altura adotada no novo modelo, o ângulo de inclinação das bielas é de aproximadamente 63º, ou seja, bem maior que o intervalo permitido. A tabela a seguir mostra as reações encontradas para estacas do bloco E1-1h150.

As reações nas estacas obtidas no modelo E1-1h150 foram valores bem mais próximos do modelo numérico, mas ainda assim a estaca 3 (central) apresentou maior valor que as demais.



69

Tabela 8 - Reações nas estacas do modelo E1-1h150. Reação nas estacas (kN) Modelo θº 1 2 3 4 5

E1-1h150 63 377,23 377,23 391,08 377,23 377,23 Após essas verificações pode-se constatar que esse modelo de bloco sobre

cinco estacas não é confiável, já que teria que atingir ângulos maiores que 63º para a inclinação das bielas.

6 MODELAGEM UTILIZANDO BIELAS E TIRANTES

É fato que para a definição de um modelo de Bielas e Tirantes deve-se seguir como orientação inicial os contornos e as trajetórias elásticas de tensões na peça que são obtidas inicialmente empregando-se um programa de análise em Elementos Finitos Linear.

Longo (2000) utilizou modelos numéricos obtidos do Método dos Elementos Finitos para obtenção de modelos de Bielas e Tirantes, sendo que os modelos foram desenhados na própria tela do computador sobre os desenhos de trajetórias de tensão.

Da mesma maneira que Longo (2000), com os modelos obtidos neste trabalho procurou-se sugerir um modelo mais refinado do que os analíticos existentes, mas não se pode generalizar, já que, o modelo adotado é função da geometria e das ações atuantes em seu contorno; estruturas com mesmas ações e geometrias diferentes são modeladas diferentemente. Portanto, nos modelos sugeridos não se definiu, por exemplo, espessura das bielas já que isso dependeria da seção de estacas e pilares adotados.

Neste item não foram analisados os modelos de blocos sobre cinco estacas, já que, concluiu-se que este tipo de disposição de estacas não é adequada.

6.1.1 Blocos sobre duas estacas A figura 18 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1

(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos.

Tensão Principal 1 (tração)

Tensão Principal 2 (compressão)

Figura 18 -Trajetória de Tensões Principais – Modelo B1-1.



70

Nos modelos adotados para blocos sobre duas estacas, apesar das diferentes seções adotadas para estacas e pilares a trajetórias de tensão é semelhante, divergindo obviamente nas regiões nodais. A figura 19 mostra as trajetórias de tensões em todas as direções obtidas para alguns dos modelos.

B1-1 B2-1 B3-1

Figura 19 -Trajetórias de tensões principais.

Fazendo uma análise conjunta dos campos de tensão e das trajetórias de tensões obtidas conclui-se, que o modelo sugerido por Adebar et al.(1990) mostrado na figura 20, seria bem coerente com os modelos estudados e estes para obteria-se a treliça mostrada na figura 21. O modelo refinado sugerido pelo autor sugere um tirante onde os campos de tensão de compressão se expandem e são produzidas tensões de tração. Essa constatação pode ser feita para os modelos estudados observando-se as trajetórias de tensão principal na direção 1.

Figura 20 - Trajetórias de tensões elástico-lineares e Modelo refinado de Bielas e Tirantes sugerido por Adebar et al. (1990).



71

Trajetórias de tensões elástico-lineares Proposta de Modelo de Bielas e Tirantes para blocos sobre duas estacas

Figura 21 - Trajetórias de tensões elástico-lineares e Modelo refinado de Bielas e Tirantes para blocos sobre duas estacas.

Para a treliça apresentada é necessária a verificação das regiões nodais, conforme as recomendações do Código Modelo do CEB-FIP (1990), para isto, é preciso definir as larguras das bielas que chegam nos nós. O arranjo da armadura fica definido pelo tirante localizado na parte inferior do modelo. O tirante inclinado pode ser considerado de concreto, e deve ser feita a verificação da resistência à tração do mesmo.

6.1.2 Blocos sobre três estacas A figura 22 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1

(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos de blocos sobre três estacas.

CORTE AA

CORTE CC

Tensão Principal 1 (tração) Tensão Principal 3 (compressão) Figura 22 - Trajetória de Tensões Principais – Modelo C1-1.



72

De forma geral, a distribuição de tensão de compressão (formação das bielas) foi semelhante para todos os modelos podendo-se adotar uma solução semelhante. As trajetórias de tensões de tração, para os blocos sobre duas estacas, foram mais intensas na parte superior do mesmo, apresentando tensões inclinadas ao longo da altura. Portanto, para a adoção de um modelo de bielas e tirantes poderia utilizar a mesma treliça, utilizada para blocos sobre duas estacas mudando, logicamente, o posicionamento do tirante inferior. A forma das bielas e o tirante inclinado no meio seriam iguais aos sugerido na figura 21.

A posição dos tirantes na face inferior dos blocos deve ser estudada para cada caso. É mostrada na figura 23 uma vista de baixo das trajetórias de tensões principais de tração.

C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18)

C1-3 (36,74x36x74) C2-3 (18x75) C3-3 (75x18)

Figura 23 - Trajetória de Tensões Principais Direção 1 (tração) – Vista Inferior.

É possível imaginar como deve ser a disposição das armaduras dos tirantes com as trajetórias de tensão mostradas na figura 23. Para todos os modelos com a melhor disposição de armadura encontrada que atenderia a distribuição das trajetórias de tensões seria segundo os lados dos blocos (ligando as estacas). Havia dúvidas se, no caso de pilares alongados, a disposição de armadura seria a mesma que para pilares quadrados, mas concluiu-se que essa disposição pode atender aos dois modelos. Talvez, em conjunto com uma armadura de distribuição, os modelos trabalhariam melhor já que, as tensões máximas ocorrem no centro do bloco, essa armadura distribuiria melhor para a armadura principal disposta segundo os lados. O uso desse tipo de distribuição justifica-se também aos ensaios experimentais feitos por Miguel (2000) que utilizou, em um de seus modelos, uma disposição de armadura segundo os lados do bloco, somadas a uma armadura em malha e, constatou que o uso de barras distribuídas diminui as fissuras na base do bloco.

6.1.3 Blocos sobre quatro estacas A figura 24 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1

(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos de blocos sobre quatro estacas.



73

Tensão Principal 1 (tração) Tensão Principal 3 (compressão)

Figura 24 - Trajetória de Tensões Principais – Modelo D1-1 (corte AA).

Como era esperado, a trajetória de tensões principais nos modelos de blocos sobre quatro estacas foi semelhante para todos os modelos. Para o modelo de bielas e tirantes pode se adotar uma treliça semelhante a que foi adotada pra blocos sobre duas estacas, mas equilibrada, neste caso para quatro estacas.

As tensões principais de tração ocorreram no centro do bloco. A figura 25 mostra a configuração das trajetórias de tensões principais na direção 1 (tração), vista de baixo, para alguns modelos adotados.

D1-1 D2-1 D3-1

Figura 25 - Trajetória de tensões de tração – Vista Inferior.

Com as trajetórias de tensões mostradas na figura 25 é possível a sugestão de uma disposição adequada para as armaduras dos tirantes inferiores. Para todos os modelos adotados notou-se que uma distribuição bem coerente seria armar o bloco segundo os lados (unindo as estacas), como pode ser visto na figura 26.

Figura 26 - Trajetórias de tensões de tração e sugestão para disposição de armadura dos tirantes para blocos sobre quatro estacas.

Da mesma maneira que para blocos sobre três estacas é interessante a adoção de uma armadura de distribuição em conjunto com a armadura principal distribuída segundo os lados.



74

A sugestão desse tipo de disposição de armadura atende aos requisitos propostos na NBR 6118:2003, que sugere que a armadura principal dos blocos deva ser disposta essencialmente em faixas definidas pelas estacas em proporção de equilíbrio com as bielas.

7 CONCLUSÃO

A importância deste trabalho foi mostrar que os métodos utilizados para projeto de blocos sobre estacas apresentam divergências entre si. Esta constatação pôde ser feita em virtude dos diferentes resultados encontrados no cálculo das áreas de barras de armadura e para as verificações de tensões de compressão.

Os modelos numéricos apresentaram os resultados esperados demonstrando a importância em adotar-se um modelo analítico mais refinado que leve em consideração parâmetros como diâmetro de estacas e seções de pilares. Além disso, deve-se adotar uma verificação de compressão nas regiões nodais, próximos ao pilar e próximas às estacas, semelhantes aos modelos de Bielas e Tirantes.

Ficou comprovado que a adoção de uma análise numérica simplificada, considerando comportamento elástico linear, era necessária, já que existem poucos trabalhos tratando desse assunto, e, além disso, é o primeiro passo para adoção de um modelo de Bielas e Tirantes.

Constatou-se que a treliça adotada pelo Método das Bielas (Blévot, 1967) é um modelo coerente para projeto de blocos sobre estacas e é o mais simples. Por meio das trajetórias de tensões e com os contornos de tensão obtidos para cada modelo foi possível posicionar bielas e tirantes e sugerir um modelo mais refinado, além disso, foi possível a verificação da influência do diâmetro das estacas e das seções de pilares no projeto de blocos sobre estacas e pôde-se sugerir arranjos de armadura.

Com relação ao comportamento dos modelos pôde-se verificar que o modelo de Biela e Tirante sugerido não é nenhuma novidade, já que outros autores já tinham constatado em trabalhos experimentais que as bielas de compressão romperam por esmagamento do concreto; acreditando-se que a ruptura do tirante diagonal de concreto era o mecanismo crítico envolvido nas ruínas por cisalhamento dos blocos ensaiados.

Por isso, entende-se a importância em adotar-se a treliça sugerida, fazendo a verificação do tirante diagonal, se não for possível a adoção de tirante de concreto (fazendo-se a verificação à tração do concreto) deve-se adotar uma armadura diagonal.

Outro ponto importante é a geometria da treliça que deve ser diferente conforme a seção do pilar; a maior parte dos métodos analíticos considera para blocos com pilares de seção retangular, uma seção quadrada equivalente, e essa pode ser uma solução conservativa, em alguns casos, portanto, deve-se estudar caso a caso. A seção da estaca também deve ser considerada, já que, nos modelos analisados, quando se aumenta a seção, as tensões nas bielas diminuem, e, conseqüentemente, diminuem as tensões nos tirantes.

Com relação aos blocos sobre cinco estacas pôde-se constatar que, na adoção de modelos com estacas distribuídas segundo os vértices de um quadrado e



75

uma estaca no centro geométrico, o comportamento não é exatamente como considerado na prática. Considerando fatores como a fissuração, os resultados poderiam ser ainda piores, ou seja, a distribuição de tensão seria ainda mais distinta. Com as análises efetuadas foi possível verificar que o modelo de bloco sobre cinco estacas, adotado neste trabalho, não é confiável, já que teria que atingir ângulos maiores que 63º para a inclinação das bielas. Aumentando muito a altura ficaria descaracterizado o tratamento desse modelo como bloco sobre estacas, devendo-se talvez, ser tratado como viga-parede. Além disso, não é vantagem econômica utilizar um bloco de fundação com uma altura muito elevada. Sendo assim, o mais correto é adotar outra disposição de estacas, quando houver a necessidade de utilizar blocos sobre cinco estacas, como por exemplo, blocos com estacas dispostas nos vértices de um pentágono.

8 AGRADECIMENTO

Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.

9 REFERÊNCIAS

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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro.

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COMITÉ EURO–INTERNATIONAL DU BÉTON (1970). CEB-FIP Recommandations particulières au calcul et à l’exécution dês semelles de fondation. Bulletin D’Information, Paris, n.73.

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IYER, P. K.; SAM, C. (1991). 3-D elastic analysis of three-pile caps. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, v. 117, n. 12, p. 2862-2883, Dec.



76

LONGO, H. I. (2000). Modelagem de estruturas de concreto pelo modelo de bielas e tirantes utilizando o método dos elementos finitos. In: JORNADAS SUL-AMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL, 29., 1 CD-ROM.

MACHADO, C. P. (1998). Consolos curtos e muito curtos de concreto armado. São Paulo. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo.

MIGUEL, M. G. (2000). Análise experimental e numérica de blocos sobre três estacas. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.

MUNHOZ, F. S. (2004). Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à ação de força centrada. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.

SCHLAICH, J., SCHAFER, K., JENNEWEIN, M. (1987). Towards a consistent design of structural concrete. PCI Journal, v.32, n.3, p.74-150, May/June.

TJHIN, T. N.; KUCHMA, D. (2002). Computer-Based Tools for Design by Strut-and-Tie Method: Advances and Challenges. ACI Structural Journal, p. 586-594, Sep./Oct.

ISSN 1809-5860


ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO COM A CONSIDERAÇÃO DA

NÃO-LINEARIDADE FÍSICA – MODELAGEM E METODOLOGIA DE APLICAÇÃO A PROJETOS

Richard Sarzi Oliveira1 & Márcio Roberto Silva Corrêa2

Resumo

O presente trabalho objetiva colaborar na melhoria dos procedimentos destinados à aplicação dos modelos não-lineares ao dimensionamento estrutural. Os estudos desenvolvidos estão didaticamente divididos em duas áreas do conhecimento. Na primeira delas, dedicada às leis constitutivas que representam os materiais aço e concreto, são estudadas as possíveis abordagens da não-linearidade física, e desenvolvidos modelos uni e biaxiais destinados à análise do Estado Limite Último, bem como dos Estados Limites de Serviço de abertura de fissuras, e de deformação ao longo do tempo. Na segunda parte, voltada ao dimensionamento de elementos de pavimentos de edifícios, são apresentadas e discutidas as metodologias atualmente empregadas. O método semi-probabilístico é analisado quanto à sua aplicabilidade e, ao final, uma proposta original é apresentada. Em seguida, o método do coeficiente global de segurança é apresentado com maior ênfase, destacando-se os seus pontos favoráveis e desfavoráveis. São apresentados estudos originais envolvendo o comportamento do coeficiente global de segurança sob diversas solicitações de projeto. Palavras-chave: concreto armado; não-linearidade física; elementos finitos.

1 INTRODUÇÃO

O meio científico tem desenvolvido, no decorrer dos últimos tempos, importantes ferramentas para o processamento da análise não-linear de elementos estruturais de concreto armado. Em contrapartida, a exploração dessas teorias no campo prático, notadamente no dimensionamento de estruturas correntes (como, por exemplo, um pavimento de edifício), encontra-se pouco explorada. Da mesma forma os códigos modelo, responsáveis pela normalização do cálculo estrutural, não dispõem ainda de procedimentos seguros que auxiliem o dimensionamento considerando-se o comportamento não-linear dos materiais.

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa


78

2 ASPECTOS SOBRE A FORMULAÇÃO DOS ELEMENTOS

2.1 Elemento finito de barra

Neste trabalho são empregados os elementos finitos de barra de Euler com seis graus de liberdade (gdl) por nó na representação dos elementos estruturais lineares de pórtico tridimensional, como mostrado na Figura 2.1.

Figura 2.1 - Elemento de barra de pórtico tridimensional - coordenadas locais.

onde: ux, uy, uz - translações segundo os eixos x, y e z, respectivamente; θx, θy, θz - rotações em torno dos eixos x, y e z respectivamente; x - coordenada genérica no domínio do elemento; li - comprimento do elemento finito.

Os elementos são dotados de campos de deslocamentos transversais (uy e uz) cúbicos, e longitudinais (ux) lineares em seu domínio:

u x a a xx ( ) = +1 2 (2.1) u x b b x b x b xy ( ) = + + +1 2 3

24

3 (2.2)

u x c c x c x c xz ( ) = + + +1 2 32

43 (2.3)

As rotações θx são descritas através de um campo linear no domínio do elemento, e as demais são dependentes das derivadas dos deslocamentos transversais:

θx(x) = d1 + d2 x (2.4)

θy(x) = c2 + 2.c3 x + 3.c4 x2 (2.5)

θz(x) = b2 + 2.b3 x + 3.b4 x2 (2.6)

2.2 Modelos aplicados à análise de vigas

Os modelos descritos a seguir são ambos aplicáveis às vigas usuais de pavimento, ou seja, vigas de seção transversal retangular, e tê (T).

Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...


79

2.2.1 Seção transversal não estratificada

Esse modelo aborda o comportamento mecânico do elemento segundo relações entre o esforço interno de momento fletor e a curvatura. A matriz de rigidez [ki], e os vetores de forças nodais equivalentes ext

if e de forças internas intif , são:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]∫∫ ==il

0i

Ti

Vii

Tii dx.BI.EBdVBCBk (2.7)

{ } { } [ ] { } [ ] { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫∫

Si

Ti

Vi

Ti

exti,aconcentrad

exti dSpNdVbNff (2.8)

{ } [ ] { }( ) [ ] { }∫∫ =σ=il

0i

Ti

Vi

Ti

inti dx.MBBf (2.9)

onde: E - módulo de deformação longitudinal; I - momento de inércia; {Mi} - campo de esforço interno de momento fletor do elemento i.

2.2.2 Seção transversal estratificada

Permite a aplicação de modelos constitutivos individualizados à representação dos materiais e das sua inter-relações de interação (Figura 2.2).

Figura 2.2 - Elemento de viga estratificado; diagrama de deformações normais. A integral de volume que origina a matriz de rigidez é desmembrada em uma

integral no comprimento sobre um somatório discreto da contribuição de cada uma das camadas na rigidez da seção transversal. As propriedades físicas e mecânicas das camadas são constantes ao longo da largura do elemento.

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] { } [ ]{ }[ ]( ) dx.bBZEZBdVBCBki

ii

l

0

m

1jii

ji

Ti

Ti

Vi

Ti ∫ ∑∫

=

== (2.10)

onde: b = bw, bf - largura da alma e da mesa da viga, respectivamente; { } { }00z1Z j

ii = ;



80

Os vetores são expressos como:

{ } [ ] { } [ ] { } { }∫ ∑∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ=σ=

=

il

0

m

1j

ji

Ti

Ti

Vi

Ti

inti dxZBdVBf (2.11)

{ } { } [ ] { }∫+=il

0i

Ti

exti,conc

exti dx.p.N.bff (2.12)

2.3 Modelos aplicados à análise de pilares

A modelagem dos pilares submetidos à flexão oblíqua composta pode se dar através de modelos não-estratificados, segundo diagramas de interação momento-normal-curvatura (EL-METWALLY; EL-SHAHHAT; CHEN (1989)). Outra possibilidade, implementada neste trabalho, emprega a estratificação simultânea da seção transversal segundo suas direções principais (ASSAN (1990)).

2.3.1 Seção transversal filamentada

A Figura 2.3 ilustra uma seção transversal filamentada típica.

Figura 2.3 - Elemento de pilar filamentado; diagrama de tensões normais.

Matriz de rigidez de um filamento de concreto

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] { } [ ]{ }[ ]∫∫ ==i

ii

l

0ii

k,ji

Ti

Ti

Vi

Ti dxBZEZBdVBCBk (2.13)

onde: { } { }Z z yi ij k

ij k= 1 0, , ;

yij k, , zi

j k, - coordenadas y e z do ponto médio do filamento j,k.



81

Matriz de rigidez de um filamento de aço

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]∫∫ ==i

ii

l

0i

si

Ti

Vi

Tfsi dxBCBdVBCBk (2.14)

onde: [ ] ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2li

li

li

li

li

li

2li

li

li

li

li

li

si

y0zyy0000zy0zz

y0z1

AEC .

Do mesmo modo, escreve-se o vetor de forças internas do elemento:

{ } [ ] { } [ ] { } { } [ ] [ ] { }∫ ∑∫ ∑∑∫== =

σ+σ=σ=i si j k l

0

m

1l

li

si

Ti

l

0

m

1j

m

1k

k,ji

Tk,ji

Ti

Vi

Ti

inti CBZBdVBf (2.15)

2.4 Elemento finito de placa delgada T3AF

Neste trabalho são empregados os elementos T3AF (Figura 2.4) de formulação livre, anteriormente implementados por CORRÊA (1991).

Figura 2.4 - Elementos triangular T3AF, e quadrilateral - coordenadas locais.

O campo dos deslocamentos transversais uz é cúbico, e composto por um

conjunto de modos básicos aliado a modos superiores.

[ ]{ } [ ]{ }u N Nz rc rc h h= +α α (2.16)

onde: uz - campo dos deslocamentos transversais no domínio do elemento; [ ] [ ]Nrc = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ1 2 3 1 2 2 3 3 1 - polinômio completo até o grau que

corresponde aos modos rígidos e de deformação constante; [ ] ( ) ( ) ( )[ ]Nh = − − −ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 - modos superiores;

{ } { }α αrc h, - coeficientes associados; ξ i - coordenadas homogêneas de área.

2.4.1 Seção transversal não estratificada

O modelo de momento fletor por curvatura aplicado ao elemento de placa apresenta as mesmas características já comentadas no item referente à barra.



82

A matriz de rigidez generalizada [ ]i,k α de um elemento finito i, consiste em

utilizarem-se modos básicos completos ( [ ] [ ] [ ][ ]dVBCBk rcT

Vrci,rc ∫=α ) em conjunto com

modos superiores ( [ ] [ ] [ ][ ]dVBCBk hT

Vhi,h ∫=α ) linearmente independentes:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

α

αα

i,hrcTh

hTrci,rc

i, kPGGPk

k (2.17)

onde: [ ] [ ] [ ][ ]G P B C B dVhT

rcrc T

Vh= ∫ - submatriz de rigidez que acopla o modo básico ao

superior. Para o elemento T3AF, essa matriz apresenta coeficientes nulos devido à imposição da ortogonalidade em força (CORRÊA (1991));

[Prc] = [ ][ ]k Gu i rc, .

2.4.2 Seção transversal estratificada

A Figura 2.5 ilustra um elemento genérico de concreto armado estratificado.

Figura 2.5 - Elemento de placa estratificado; diagrama de tensões normais.

Os conceitos apresentados neste item constituem uma pequena introdução ao

assunto. Maiores esclarecimentos sobre as formulações apresentadas podem ser encontrados em CORRÊA (1991).

3 TÓPICOS SOBRE AS IMPLEMENTAÇÕES

Neste item são apresentados os modelos efetivamente implementados, bem como os aspectos relevantes dessas implementações no sistema computacional para ANáliSe de Estruturas Reticuladas (ANSER).



83

3.1 Modelos para as vigas

Para a análise das vigas, foram implementados os modelos não-estratificados propostos pelo CEB-FIP MC90, e por CORRÊA (1991), além do modelo estratificado.

3.2 Modelos para os pilares

Para a análise dos pilares utiliza-se a seção transversal filamentada. Além dos modelos constitutivos para o aço e o concreto (Figura 3.1), são também incorporados os modelos de aderência, e os efeitos do tempo sobre o comportamento.

Figura 3.1 - Modelos constitutivos uniaxiais para o concreto e o aço.

onde: fy - resistência de escoamento do aço à tração; εy = fy/Es - deformação específica de escoamento do aço; Es - módulo de deformação longitudinal do aço.

Os parâmetros dos modelos podem ser calculados pelo CEB-FIP MC90, ou mesmo pela NBR-6118, de acordo com a classe de resistência de cada material (Tabela 3.1). Já os parâmetros do modelo de dano não são relacionáveis à resistência característica do concreto e, por esse motivo, devem ser obtidos experimentalmente.

É de extrema importância para a análise de estruturas de concreto armado o correto posicionamento da linha neutra na seção transversal com o progresso do carregamento. Existem pelo menos duas formas para a abordagem do problema, exemplificadas a seguir para o caso de um elemento de viga submetido à flexão simples, na 1a iteração do 1o incremento de um carregamento externo que lhe impõe um estado curvaturas. A cada um dos pontos de integração ou, simplesmente PGs, deverá corresponder um valor de curvatura, e um estado de deformações associado. Admitindo-se, inicialmente, que a linha neutra corte a seção transversal na metade da sua altura geométrica (Figura 3.2), e empregando os modelos constitutivos dos materiais, determinam-se as tensões e as forças internas correspondentes a cada PG.



84

Tabela 3.1 - Valores dos parâmetros do concreto e do aço. Parâmetro CEB-FIP Model Code 1990 NBR-6118

εc1 0,0022 0,0020

εcu σc = 0,5.fc no diagrama do CEB-90 não consta

εm 0,0020 não consta

fc=fcm fck + Δf (com Δf ≅ 8MPa) fck + Δf (com Δf ≅ 3,5 MPa)

ft=fctm ( ) ( )0 3023, . f MPack

( )k f para f MPa

k f para f MPa

ckck

ck ck

.

. , . ,10

18

0 06 0 7 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤

+ >

kre gular

T=

→→

⎧⎨⎩

1215

, sec. tan, sec. " "

Ec ( )215 1010

4

13

, xf

MPacm⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( )6600 3 5. ,f MPack +

Ec1 fcm

0 0022,

fcm0 0020,

(não consta)

fy fyk (sugestão deste autor) fyk (sugestão deste autor)

Es 210000 MPa 210000 MPa

α 0 5 0 7, ,≤ ≤α não consta

Figura 3.2 - Estados de deformação, tensão e forças (1a iteração do 1o incremento).

Esse vetor de forças internas {Ni, Mi}, comparado ao vetor das forças externas

{Ne, Me}, resulta em um vetor de resíduos Ψ={ΔN, ΔM} composto por força normal e momento fletor, já que a força cortante é obtida pelo equilíbrio dos momentos fletores. Como se trata de flexão simples (N=0), o resíduo de normal nos dois PGs deve ser anulado através de um dos procedimentos a seguir (Figura 3.3):

• a primeira alternativa, consiste em manter a curvatura obtida para a iteração em função do estado de deslocamentos, e movimentar a LN para até que seja satisfeita a condição de Ni=0 (uma vez que Ne=0). Estabelecida essa condição calcula-se, para a posição atualizada da LN, o vetor de forças internas e o respectivo vetor resíduo Ψ={ΔM} (pois ΔN=0). Obedecendo a esse procedimento são acertadas, independentemente, as posições das linhas neutras nos dois PGs;



85

• a segunda é mais simples, e consiste na reaplicação do vetor resíduo Ψ={ΔN, ΔM} à estrutura. Desse modo, a própria parcela do resíduo referente à normal (ΔN) fica responsável pelo reposicionamento da LN na seção transversal.

Figura 3.3 - Ilustração do vetor resíduo sobre o domínio da barra.

A primeira apresenta convergência com um menor número de iterações (cerca de 70%) em relação à segunda. No entanto, a sua aplicação à casos de flexão composta (Ni≠0) se torna mais complexa devido à inclinação da LN com os eixos principais de inércia da seção transversal. A segunda alternativa é mais simples de ser implementada, porém apresenta convergência com maior número de iterações comparativamente à primeira alternativa. A utilização de um campo de deslocamentos longitudinais linear para o elemento finito gera um campo constante de forças normais. Desse modo, ao se realizarem as integrações das tensões normais no domínio do elemento segundo os dois PGs, chega-se a um resíduo de normal equivalente à média obtida nos dois PGs.

[ ] { } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−−

=ΔΔ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−=σ=Δ ∫∫ 2

NN2

NNNN

l1l1

dVBN 212121

l

0

i

ii

V

Ti

i

(3.1)

Esse valor médio, no entanto, é maior, em módulo, que o resíduo verificado no PG menos solicitado (Figura 3.3), o que na prática deve provocar um novo resíduo nessa seção transversal, de sinal contrário ao anterior. Sucessivamente, para o PG menos solicitado, há a inversão do sinal do resíduo a cada iteração, mas sempre convergindo para a solução. Por outro lado, sendo o valor médio menor, em módulo, que o resíduo observado no PG mais solicitado, o mesmo torna-se insuficiente para colocar a LN em uma posição capaz de anular o resíduo de normal nessa seção. Esse PG mais solicitado apresenta uma convergência monotônica para a LN, já que não ocorre a inversão de sinal do resíduo para essa seção transversal. Por esse motivo, a convergência para o elemento e para a própria estrutura torna-se mais dispendiosa em termos do número de iterações comparativamente à primeira alternativa.

3.2.1 Atualização da matriz de rigidez

A análise dos elementos lineares de concreto armado pode ser efetuada de acordo com três procedimentos de solução: matriz de rigidez inicial, método de Newton-Raphson, ou Newton-Raphson modificado.



86

3.3 Modelos para as lajes

No campo dos momentos fletores e das curvaturas foram implementados os modelos propostos pelo CEB-FIP MC90 e por CORRÊA (1991), adotando o momento

equivalente de von Mises ( ( ) 2xyyx

2y

2xeq M.2M.MMM.

32M +−+= ).

Doravante, especial destaque é dado à implementação do modelo estratificado. As armaduras longitudinais estão submetidas exclusivamente à ação de tensões normais e, como no caso das vigas, respondem à relação constitutiva elastoplástica perfeita.

As camadas de concreto simples têm o comportamento mecânico regido por um modelo misto. Para os estados de compressão biaxial, aplica-se o critério de von Mises, que apresenta resultados bastante razoáveis na representação desse comportamento. Para os estados envolvendo a tração, emprega-se o modelo de fissuração dispersa fixa, monitorado pelo critério de Rankine, responsável pelo cut-off da superfície de von Mises (Figura 3.4).

A superfície elástica do critério de von Mises (superfície 1) pode ser adotada no limite de 30% da resistência à ruptura (fc). O encruamento é do tipo positivo isótropo, estabelecido em função da deformação plástica equivalente (strain-hardening), e a evolução (encruamento) das superfícies de carregamento até o limite da ruptura é regida pela parábola de Madrid. A regra da normalidade do vetor fluxo plástico, na qual

{ } { }( )r q fσ σ, = , é aqui adotada para o encruamento das duas superfícies. Sua aplicabilidade é mais indicada a materiais que não apresentem variação volumétrica com a plastificação, como é o caso do aço anteriormente à ruptura. No entanto, o emprego dessa regra à descrição do comportamento do concreto tem proporcionado bons resultados (CHEN;CHEN(1975)).

Figura 3.4 - Superfícies do modelo implementado: von Mises e Rankine.

3.3.1 Atualização da matriz de rigidez (von Mises)

A parcela da atualização da matriz de rigidez referente às camadas de concreto que satisfazem ao critério de von Mises é obtida através da matriz elástica tangente modificada.

{ }{ } [ ] ( )

[ ] ( )[ ]{ }( ) [ ] ( )[ ]{ }( ){ } [ ][ ] ( )[ ]{ } 1j1j1j

T1j

T1j1j1j1j

1j1j PP

PPdd

++++

+++++

+ β+σγΞσ

σγΞσγΞ−γΞ=

εσ (3.2)



87

onde: ( ){ } [ ]{ } 1jT

1j1j2

1j Pk3

2++++ σσ

θ=β e γ−=θ + .k

321 1j2 (para k variável).

3.3.2 Aspectos sobre a formulação da superfície de Rankine

A superfície elástica de Rankine (superfície 2) é definida pela resistência à tração do concreto (ft). FEENSTRA;DE BORST (1995) trazem a formulação completa para o critério de Rankine, incluindo o amolecimento a partir da superfície de ruptura. No entanto, este trabalho apresenta um enfoque peculiar à análise das camadas de concreto submetidas a estados de tração.

Admita-se uma camada de concreto solicitada por um determinado estado plano de tensões que gerem, pelo menos, uma tensão principal positiva superior ao limite de ruptura ft, promovendo o surgimento de uma ou mais fraturas do tipo I. Nessas condições, de acordo com a teoria de fissuras dispersas, a placa de concreto perde as características de comportamento bidimensional acoplado (pois ν → 0), e passa a se comportar independentemente nas duas direções principais. O comportamento mecânico segundo essas direções passa a ser governado por relações uniaxiais. Esse comportamento pós-fissuração também é previsto por autores cujos trabalhos estão ligados estritamente ao projeto de lajes de concreto armado.

Além da hipótese de desacoplamento do comportamento biaxial apresentada no parágrafo anterior, observa-se que a superfície de Rankine é delimitada paralelamente aos eixos principais. Pela regra da normalidade, então, o retorno de um estado de tentativa elástica à superfície de carregamento se dá paralelamente a um desses eixos. No caso de o estado de tentativa exceder o limite ft nas duas direções principais, o retorno se daria ao vértice da superfície de carregamento, o que está de acordo com o proposto por FEENSTRA;DE BORST (1995), com base na generalização de KOITER (1953)3 apud PROENÇA(1988) para a abordagem do escoamento de pontos com derivada indefinida (Figura 3.5).

Figura 3.5 - Retornos à superfície de Rankine (FEENSTRA;DE BORST(1995)). A curva de amolecimento adotada para a superfície de Rankine é idêntica à do

modelo uniaxial (Figura 3.1). No entanto essa curva deve agora ser calibrada com base no conceito de energia de fratura. O comprimento equivalente heq é calculado de acordo com o proposto por FEENSTRA;DE BORST (1996):

3 KOITER,W.T.(1953). Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic materials with a

singular yield surface. Q. Appl. Math. n. 11, p.350-354. apud PROENÇA(1988).



88

A.h heq α= (3.3)

onde: ⎩⎨⎧

=αcosquadraticamposcomelementospara1

linearescamposcomelementospara2h ;

A - área do elemento finito.

A energia de fratura Gf utilizada para calcular os parâmetros da curva de amolecimento são os sugeridos pelo CEB-FIP MC90 (Tabela 3.2) de acordo com a classe do concreto e o diâmetro máximo do agregado graúdo.

Tabela 3.2 - Energia de fratura Gf (N.m/m2). tamanho máximo do

agregado classes do concreto

(mm) C12 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80

8 30 40 50 60 70 75 85 90

16 50 60 75 90 105 115 125 135

32 80 105 130 150 170 190 200 220

Cabe observar que a determinação do comprimento equivalente através da expressão 3.3 ameniza, mas não resolve o problema da dependência de malha. Os autores advertem que a expressão tem proporcionado bons resultados para malhas consideradas usuais, o que não é garantido para um refinamento qualquer.

Para a análise do vértice entre as duas superfícies, cujas características são similares às do vértice da superfície de Rankine, é aplicada a generalização proposta por Koiter. Como resultado, o retorno de um estado de tentativa inicial pertencente à região delimitada pelos versores normais às duas superfícies concorrentes (Figura 3.6) se dá indiretamente ao vértice. Primeiro, há uma projeção intermediária do estado de tentativa {σ}t sobre a bissetriz do ângulo formado pelas direções dos vetores de fluxo plástico das duas superfícies naquele ponto. Em seguida, esse estado intermediário retorna ao vértice das superfícies de carregamento.

Figura 3.6 - Procedimentos de retorno às superfícies - caso do vértice.



89

3.3.2.1 Atualização da matriz de rigidez (Rankine)

Por ocasião da fissuração, o concreto passa a apresentar ortotropia, cuja orientação coincide com a dos eixos principais (1 e 2). A cada um dos eixos estão relacionados valores tangentes dos módulos de deformação do concreto (ET,1, ET,2 e βcr.GT,12), obtidos da análise uniaxial de cada direção principal isoladamente (lembrando que, neste caso, ν →0). O ponderador βcr contempla a contribuição do engrenamento dos agregados na transmissão da tensão de cisalhamento na fissura.

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

22

11ep12

C000C000C

C (3.4)

A matriz de rigidez é atualizada através da matriz [ ]C xyep devidamente

relacionada ao sistema de eixos principais da seguinte forma:

[ ] [ ] [ ] [ ]TCTC ep12

Tepxy = (3.5)

onde: [ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

α−ααααα−αα−αα

αααα=

22

22

22

sencoscossen.2cossen.2cossencossen

cossensencosT ;

α - ângulo formado entre o eixo principal 1 e o eixo x (>0 se anti-horário).

4 CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS NO TEMPO

O objetivo deste item é a formulação de um modelo simples, mas suficientemente preciso para a análise dos esforços, deslocamentos, tensões e deformações de uma estrutura ao final de um determinado período de tempo.

O fenômeno básico para a apresentação das formulações é a fluência à compressão manifestada desde um instante inicial t0, ao instante de interesse t (t=t0+Δt). Nos respectivos instantes, não havendo restrições às deformações específicas do concreto, as deformações podem ser escritas como:

( ) ( )0c

c0c tE

tσ

=ε (4.1)

( ) ( ) ( )0cc0cc t,ttt ε+ε=ε (4.2)

onde: ( )0c tε - deformação instantânea em t0; ( )tcε - deformação no instante t; ( )t,t 0ccε - fluência específica do concreto entre t0 e t;

cσ - tensão de compressão no concreto (constante entre t0 e t);

( )0c tE - módulo de deformação longitudinal do concreto em t0.



90

A deformação do concreto no instante t também pode ser definida como a superposição da fluência ocorrida entre t0 e t com a deformação inicial em t0, empregando-se o coeficiente de fluência:

( ) ( ) ( )[ ]00cc t,t1.tt ϕ+ε=ε (4.3)

onde: ( )t,t 0ϕ - relação entre a deformação por fluência e a deformação inicial.

A implementação dos efeitos do tempo tem como base os parâmetros do modelo de fluência proposto pelo CEB-FIP MC90.

4.1 Fluência

Retomando a expressão 4.3, a hipótese para o instante t0=28 dias, leva a um coeficiente de fluência ( ϕ28 ) calculado pelo CEB-FIP MC90 como:

( ) ( )0c0028 ttt,t −βϕ=ϕ (4.4)

onde: ( ) ( )0cjUR0 t.f. ββϕ=ϕ ;

( )31

0

UR

h.215,0

100UR1

1−

+=ϕ ;

( )cj

cJ f8,16f =β ;

( )( ) 2,0

f00

t1,01t

+=β ;

tT - idade inicial fictícia; fcj - resistência média do concreto à compressão, prevista para os j dias;

h0 - espessura fictícia da peça.

4.1.1 Aplicação aos elementos lineares

A metodologia empregada neste trabalho baseia-se na decalagem do diagrama tensão-deformação do concreto entre os instantes t0 e t. Com a hipótese da independência entre o coeficiente de fluência (ϕ) e a respectiva tensão no concreto (σc), FUSCO,P.B.(1981) sugere que, por efeito da fluência, o diagrama tensão-deformação do concreto deva sofrer uma transformação afim, de razão ϕ, paralelamente ao eixo de εc (Figura 4.1).



91

Figura 4.1 - Influência da fluência sobre o modelo do concreto.

4.1.2 Aplicação aos elementos de placa

Para a análise dos elementos de placa submetidos aos efeitos da fluência, foram mantidas as mesmas premissas adotadas para os elementos lineares. As relações constitutivas que exprimem os comportamentos típicos de estado plano (tração-tração, tração-compressão e compressão-compressão), têm apenas alterada a rigidez no que concerne ao módulo de deformação longitudinal. Os estados desacoplados (tração+tração e tração+compressão) seguem as mesmas leis constitutivas uniaxiais apresentadas no item 4.1.1.

5 ASPECTOS SOBRE O DIMENSIONAMENTO

5.1 Introdução

O dimensionamento de estruturas empregando-se modelos constitutivos mais representativos para os materiais tem sido, nos últimos anos, objeto de grande interesse dentre os órgãos internacionais de regulamentação.

De acordo com o CEB: Bulletin d’Information no 227, “. . . dados teóricos e experimentais atualmente demonstram que a hipótese da análise elástico-linear pode se apresentar tanto a favor como contra a segurança. Esse aspecto é inaceitável para a execução de um projeto seguro e econômico”.

O objetivo desta parte do trabalho é o de apresentar o estado da arte da análise não-linear física aplicada ao projeto de estruturas, descrevendo as principais metodologias cujo emprego ao dimensionamento tem sido estudado. Ao final, são apresentados exemplos práticos envolvendo estruturais isolados.

5.2 Métodos disponíveis

Atualmente, são duas as correntes de pensamento que fundamentam as metodologias atualmente em pauta. A primeira delas, liderada pelo pesquisador Giorgio Macchi, defende a continuidade do método semi-probabilístico, apesar de não descartar a necessidade de algumas adaptações necessárias. A segunda, tendo à frente Gert König e Josef Eibl, adota uma postura revolucionária, e defende o conceito de um coeficiente de segurança global relativo aos materiais.



92

5.2.1 Método semi-probabilístico

Os aspectos que dificultam a aplicação e, de certo modo, o entendimento da lógica implícita no método, estão relatados a seguir.

5.2.1.1 Composição do carregamento

Uma primeira possibilidade de consideração do carregamento surge da analogia com a análise de estruturas considerando-se a não-linearidade geométrica (NLG), onde é comum o particionamento de γf (Figura 5.1).

Figura 5.1 - Aspecto da majoração do esforço parcial de projeto (Md,parcial).

Aplicado à análise de estruturas cujos comportamentos atendam a uma lei

constitutiva limitada por um valor último, esse procedimento pode levar ao estado ilustrado na Figura 5.1. Supondo que, ao final da análise a seção esteja submetida a um esforço suficientemente próximo a Mu, tal que a pós multiplicação desse esforço por γf3 possa conduzir a M>Mu, significa admitir que a capacidade resistente pré-estabelecida para a seção é incompatível com o valor do carregamento aplicado. Esse problema, já observado por OLIVEIRA (1997), gera um procedimento iterativo na busca da convergência entre o momento fletor de projeto (Md), e o valor da capacidade última resistente arbitrada para a seção transversal (Md,u).

A opção mais plausível, então, parece ser a aplicação do carregamento total de projeto (majorado por γf) para a obtenção dos esforços, o que eliminaria o problema da possível superação de Md,u.

5.2.1.2 Valores para as propriedades dos materiais

Valores característicos, ou de projeto, envolvem aspectos probabilísticos ligados à segurança da estrutura no ELU, e por isso não exprimem o comportamento em serviço esperado. No ELU, no entanto, de acordo com o método semi-probabilístico, as características mecânicas dos materiais devem ser minoradas pelos coeficientes de segurança. Isso pode levar, na maioria dos casos, ao mesmo problema assinalado na Figura 5.2 pois, ao final da análise respeitando-se os valores dos esforços obtidos com as propriedades médias dos materiais, estes devem ser minorados pelos coeficientes de segurança.

Por outro lado, a adoção das propriedades de projeto dos materiais em toda a estrutura pode conduzir a resultados pouco confiáveis e fisicamente distorcidos, uma vez que a análise contemplaria uma estrutura mais deformável que a estrutura real, prejudicando o aspecto da redistribuição de esforços.



93

Figura 5.2 - Aspecto da minoração do esforço característico (Mk).

5.2.1.3 Propostas para o dimensionamento

Ao definir as propriedades de projeto do concreto altera-se, além da capacidade resistente teórica (fck → fcd), também a relação constitutiva do material. Isso inviabiliza a caracterização de uma relação constitutiva que seja capaz de ambos: representar coerentemente as redistribuições de esforços (de acordo com as propriedades médias), e ainda estar limitada a um valor convencional (fcd).

A definição de uma relação constitutiva para o aço é menos conflitante, haja visto a invariabilidade (mesmo que convencional) de seu módulo de deformação longitudinal (Es) com a resistência ao escoamento (Figura 5.3).

Figura 5.3 - Diagrama tensão-deformação para o aço CA-50ª.

5.2.1.4 Proposta de alteração da rigidez inicial

Essa proposta, apresentada por CÂMARA et al. (1994) e depois adotada por SANTOS (1997) mantém, para o aço, o valor de projeto convencional obtido com γs=1,15, mas promove uma modificação da lei constitutiva do concreto. O módulo de elasticidade, calculado na origem com base no valor médio da resistência, é afetado por um fator γc=1,20 como preconiza o CEB-FIP MC90 consoante à determinação dos deslocamentos. A tensão de ruptura é a de projeto convencional (fcd=fck/ γc, com γc=1,50), como mostra a Figura 5.4 devidamente adaptada ao γc=1,40.



94

5.2.1.5 Proposta da limitação da tensão máxima

Neste trabalho, propõe-se a composição de duas relações constitutivas, ou seja, uma lei baseada no valor médio de resistência até que seja atingida a tensão de projeto (fcd). Em seguida, a curva tensão-deformação segundo os valores médios é substituída por uma relação elastoplástica perfeita limitada (Figura 5.4).

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

de form ação

ten

são

(k

N/c

m2 )

CEB-FIP MC90 - val. médiosCEB-FIP MC90 - val. de projetoproposta deste trabalhoSA NTOS (1997)

Figura 5.4 - Diagramas para o concreto C-30 (CEB-FIP MC90).

5.2.2 Método dos coeficientes globais

A proposta de emprego do método dos coeficientes globais tem o objetivo, segundo o texto do CEB: Bulletin d’Information no 239, de estabelecer uma metodologia consistente que seja aplicável a todo tipo de modelo ou de estrutura.

O conceito de coeficiente global (γgl) doravante empregado quer referir-se apenas à parcela da segurança relativa à resistência da estrutura, de modo que:

( )gl

gqRG.Q.γ

≤γ+γ (5.1)

onde: R é a capacidade resistente da estrutura empregando-se as propriedades médias dos materiais.

A maior discussão quanto ao emprego do método restringe-se à definição do valor do coeficiente global a ser empregado. Se as propriedades médias dos materiais forem definidas simplificadamente como:

ykym

ckcm

f.1,1ff.1,1f

==

(5.2)

pode-se mostrar que o γgl para uma seção transversal de concreto armado situa-se, aproximadamente, entre 1,265 (quando a ruptura se dá pela armadura de flexão) e 1,650 (quando a ruptura se dá pelo concreto), se for empregado γc=1,5. No entanto, quando a



95

ruptura da seção se dá pela concomitância dos dois modos, não existe uma descrição para o coeficiente (Figura 5.5).

ρ

1,265

pl

1,650

M /M pl,d

?

ruptura pelo aço ruptura pelo concreto Figura 5.5 - Diagrama idealizado para o γgl esperado para uma estrutura de concreto armado

submetida à flexão. Carregamento proporcional.

onde: Mpl – momento de plastificação obtido com os valores médios dos materiais; Mpl,d – momento de plastificação obtido com as propriedades de projeto.

Esses valores, apresentados por EIBL;SCHMIDT-HURTIENNE (1997), também podem ser caracterizados analiticamente:

aço concreto

ykymyk

yd f.10,1f;15,1

ff == ckcm

ckcd f.10,1f;

5,1f

f == (5.3)

onde: 265,115,1.10,1ff

yd

ym == 650,15,1.10,1ff

cd

cm ==

De um modo geral, as vigas são projetadas para um ELU definido pela deformação excessiva das armaduras de flexão, enquanto que os pilares, preferencialmente, pelo esmagamento do concreto. Nessa linha de raciocínio, LOURENÇO et al. (1992) propõem uma análise global segmentada, de acordo com o modo de ruptura: γgl = 1,5 se a ruptura for pelo concreto (1,5 pois os autores propõem fcm=fck), e γgl = 1,15 para a ruptura por deformação excessiva da armadura.

A solução encontrada pelos membros do CEB Task Group 2.1 Non-linear design methods and safety concepts, e sobre a qual pesam as maiores críticas, foi a de adaptar o valor da resistência média do concreto (fcm) de acordo com pesquisas finalizadas e em andamento na Universidade de Leipzig (KÖNIG et al. (1997)4 apud CEB: Bulletin d’Information no 239). Segundo os autores, o valor da resistência média do concreto, medido in-situ é de 0,85 do respectivo valor característico medido em laboratório.

ckcm f.85,0f = (5.4)

Uma vez aceita a validade da relação 5.4, os coeficientes referidos a ambos os tipos de ruptura passam a ser bastante próximos e, para efeito prático, iguais a 1,27.

aço concreto

4 KÖNIG,G.;SHOUKOV,D.;JUNGWIRTH,F.(1997). Sichere beton production für stahlbetontragwerke, Intermediate report 2, March. apud CEB: Bulletin d’Information no 239.



96

ykymyk

yd f.10,1f;15,1

ff == ckcm

ckcd f.85,0f;

5,1f

f == (5.5)

onde: 265,115,1.10,1ff

yd

ym == 275,15,1.85,0ff

cd

cm ==

A adaptação do método aos coeficientes indicados pelos códigos de normalização brasileiros é apresentada a seguir. O coeficiente de segurança aplicado ao aço é γs=1,15. O coeficiente aplicado ao concreto, de acordo com a NBR-8681/84 deve valer γc=1,4, o que leva a um valor de ruptura pelo concreto de:

19,14,1.85,0ff

cd

cm == (5.6)

Se o objetivo final é o de manter fixo o coeficiente de segurança, quer seja a ruptura pelo concreto ou pelo aço, deve-se agora alterar o valor médio para o escoamento do aço, de modo a se obter um coeficiente de 1,19.

ckckym f.035,1f.15,119,1f == (5.7)

A seguir, são realizadas uma série de aferições com o objetivo de explorar melhor as respostas mecânicas de seções transversais, agora empregando-se γc=1,4. A amplitude dos estudos constam da Tabela 5.3, e os resultados apresentados, convém ressaltar, dão apenas um indicativo sobre o comportamento estrutural.

Tabela 5.3 - Resumo dos casos analisados com γc=1,4.

Os resultados obtidos são apresentados nas figuras a seguir.



97

sem armadura de compressão

1,090

1,100

1,110

1,120

1,130

1,140

1,150

1,160

1,170

1,180

1,190

1,200

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

taxa de armadura - ρ

Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50

Figura 5.6 - γgl. FSr-01 a FSr-07.

armadura de compressão (porta estribos: 2 φ 6,3 mm): ρ' = 0,05%

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50


armadura de compressão: ρ' = 0,25 %

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50




98

armadura de compressão: ρ' = 0,50 %

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50


sem armadura de compressão

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50

Figura 5.10 - γgl. FSt-01 a FSt-07.

armadura de compressão mínima: ρ'=0,100 a 0,197%

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50




99

armadura de compressão: ρ'=0,50%

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50


armadura simétrica: ρ' = ρ

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50

Figura 5.13 - γgl. FNC, e=10 cm.


1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50




100


1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040


Mpl

/ M

pl,d

C-20C-25C-30C-35C-40C-45C-50


De um modo geral, os diagramas indicam que o emprego do coeficiente global

de segurança relativo aos materiais apresenta um bom potencial a ser explorado, principalmente se resolvidos alguns dos problemas aqui observados. As seções submetidas à flexão simples mostraram-se bastante sensíveis à introdução de armadura negativa, revelando-se, para as seções retangulares, o menor coeficiente γgl (1,092 para ρ’=0,5%). Nas seções T submetidas à flexão simples, o efeito da introdução da armadura foi menos intenso, e o coeficiente γgl apresentou um valor mínimo igual a 1,13 para ρ’=0,5%. As seções sob flexão normal composta apresentaram tanto maior variabilidade do coeficiente γgl quanto maior a excentricidade da força normal. Há que se ressaltar que, em todos os casos estudados, houve uma maior estabilidade de γgl à medida em foram empregados concretos de classes superiores.

O comportamento descrito para γgl, bem como as conclusões parciais, são aplicáveis tão somente à análise de seções ou de estruturas isostáticas cujo comportamento no ELU coincide com o de uma seção transversal típica. O emprego dessas idéias ao dimensionamento de estruturas hiperestáticas, onde a redistribuição dos esforços seja possível, pode levar a um comportamento ainda melhor para γgl, mas que deve ser corretamente qualificado e quantificado através de análises de confiabilidade estrutural. HENRIQUES (1998) analisa dois casos de vigas de concreto armado sob o enfoque da confiabilidade empregando o método de simulação de Monte Carlo: viga biengastada e viga apoiada-engastada. Foram consideradas como variáveis aleatórias as resistências à compressão do concreto e de escoamento do aço à tração, além da altura da viga (podendo variar até 0,7 cm). A resistência média à compressão do concreto foi considerada de acordo com a CEB-FIP MC90, ou seja: fcm=fck+8,0 MPa. Os resultados, para diversas classes de concreto, e diversas taxas de armadura, mostram que a relação entre o coeficiente global (referido aos materiais) para a estrutura (γgl,est.) e para a seção (γgl), dentre os casos analisados, é igual ou superior a 1 (parâmetro a). Um resumo das curvas propostas por Henriques, relativamente à profundidade da linha neutra (x/d) na seção onde ocorre o ELU, é apresentado na Figura 5.16. Nota-se que o parâmetro a supera a unidade para x/d entre 0,35 e 0,52.



101

Figura 5.16 - Relação a = γgl,est./ γgl.

5.2.2.1 Particularização às lajes

A natureza tensorial dos esforços observados nas lajes, que acabam por impossibilitar a caraterização de um comportamento mecânico típico de seção transversal, dificulta o avanço no estudo do coeficiente global de segurança relativo aos materiais para esse elemento estrutural. Um estudo (determinístico) sobre a segurança envolvendo as lajes de concreto armado deveria contemplar uma gama razoável de variáveis fartamente combinadas entre si, destacando-se: relação entre os lados, condições de apoio, espessura, resistência característica do concreto e do aço, e taxas de armadura. Obviamente, um estudo com essas características consumiria um período de tempo tal que, por si só, inviabilizaria a sua inclusão neste trabalho. O que se faz, paleativamente, com o objetivo único de mostrar a aplicabilidade do método também com relação às lajes, é estabelecer alguns valores para γgl relacionados a uma laje quadrada (400cm x 400 cm) apoiada nos quatro lados. O concreto empregado é o C-30; o aço é o CA-50A. Foram empregadas apenas armaduras positivas, com as mesmas praticadas nas direções x e y.

1,29

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010taxa de armadura - ρ

Mpl /

Mpl

,d

Figura 5.17 - γgl para uma laje quadrada apoiada.



102

Os resultados retratam um bom comportamento de γgl para a estrutura analisada (laje apoiada). O menor valor observado, de 1,293 (para uma taxa ρ=1,0%), é cerca de 5% inferior ao maior deles: 1,350 para ρ=ρmin=0,116%.

5.3 Exemplos de aplicação

Os exemplos são baseados nas características mecânicas dos materiais: concreto C-30 (fck=30 MPa); e aço CA-50A, cujas propriedades médias e de projeto constam da Tabela 5.4. Para o aço, os valores médios de resistência à tração e à compressão são os próprios valores característicos, uma vez que essas propriedades apresentam pequena variabilidade. O módulo de elasticidade pode ser considerado invariável. Os valores relativos ao concreto são obtidos através das relações do CEB-FIP MC90 sendo que, para o valor da resistência à tração característica (fctk), adota-se a média entre os valores superior e inferior indicados, o que na prática corresponde à própria resistência à tração média (fctm).

Tabela 5.4 - Características mecânicas dos materiais empregados nos exemplos. concreto aço

propr. módulo de def. longitudinal Ec=3355 kN/cm2 Es=21000 kN/cm2

médias resistência à compressão fcm=3,80 kN/cm2 fyk=50,00 kN/cm2

resistência à tração fctm=0,29 kN/cm2 fyk=50,00 kN/cm2

propr. módulo de def. longitudinal Ec=3355 kN/cm2 Es=21000 kN/cm2

de resistência à compressão fcd=1,82 kN/cm2 fyd=43,48 kN/cm2

projeto resistência à tração fctd=0,21 kN/cm2 fyd=43,48 kN/cm2

O carregamento é composto apenas de cargas uniformemente distribuídas: uma carga permanente g=25,0 kN/m, e uma sobrecarga q=5,0 kN/m.

ELS (CQP): Fd,serv = (1,0x25,0+0,2x5,0) kN/m Fd,serv = 26,0 kN/m (5.8)

ELS (CR): Fd,serv = (1,0x25,0+1,0x5,0) kN/m Fd,serv = 30,0 kN/m (5.9)

ELU (última): Fd,u = 1,4x25,0+1,4x5,0 kN/m Fd,u = 42,0 kN/m (5.10)

Nestes exemplos, a porcentagem de plastificação imposta estará sempre referida à porcentagem de diminuição da armadura de flexão tracionada.

5.3.1 Viga apoiada-engastada

O segundo exemplo refere-se à viga apresentada na Figura 5.18.



103

Figura 5.18 - Viga apoiada-engastada - exemplo 2.

a) dimensiona-se a estrutura em regime elástico-linear atendendo ao ELU entre

os domínios 3 e 4. Md

- = 18900 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; As, =13,19 cm2; As=0,62 cm2

Md+ = 10631 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; As

, =0,62 cm2; As=6,28 cm2

b) determina-se a flecha instantânea e, principalmente, a flecha no tempo infinito, considerando-se:

• a armadura do item a); • propriedades médias dos materiais; • carregamento de serviço (combinação quase-permanente) • por simplicidade, ϕ28=2,5 (adotado).

f0 = 0,77 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) f∞ = 1,23 cm < l/250 (= 2,4 cm)

c) para a combinação última normal, utilizando o diagrama tensão-deformação para o concreto proposto na Figura 5.4 (diagrama com as propriedades médias, seccionado no valor de fcd) e as propriedades de projeto do aço, verificam-se as deformações máximas (nas seções críticas):

seção de M+máx : concreto: ε c

min = -0,00077 ; aço: ε smax = 0,00189

seção de M-máx : concreto: ε c

min = -0,00210 ; aço: ε smax = 0,00228

Como ambas as deformações estão dentro do espectro permitido para o ELU, admite-se que a estrutura esteja segura para a configuração adotada.

A NB1-revisão 2000 traz uma proposta para a verificação de possíveis redistribuições impostas à estrutura. Reduzindo-se um momento fletor de M para δM em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição da LN nessa seção (x/d), para o momento reduzido δM, é dada por:

( )d/x.25,144,0 +≥δ para concretos com fck ≤ 35 MPa (5.11) ( )d/x.25,156,0 +≥δ para concretos com fck > 35 MPa (5.12)

O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:

δ ≥ 0,75 em qualquer caso; δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis.

E a posição da linha neutra deve, no ELU, satisfazer aos seguintes limites:

x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa



104

x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa

Supondo que a seção do engaste esteja solicitada no estádio III, a profundidade da LN deve valer: x=21,40 cm, ou seja, x/d=0,486. Essa posição de LN satisfaz aos quesitos mínimos mas, de acordo com a expressão 5.11, não permite redistribuições, pois δ = 1,05.

Estabelecendo uma a análise não-linear, torna-se possível a imposição de plastificações à viga quantificando-se, coerentemente, as redistribuições decorrentes.

d) como foi dimensionada com os esforços obtidos em regime elástico-linear, a viga deve apresentar reservas quanto aos aspectos de flechas e de deformações. Isso pode viabilizar a imposição de plastificações em determinadas regiões, buscando um melhor aproveitamento das características geométricas e mecânicas da viga. Com esse objetivo, propõe-se uma plastificação de 18% (o que eqüivaleria a uma redução de 12% no momento de cálculo segundo as tabelas de dimensionamento) para a seção do engaste, mantendo-se a armadura da região de momento positivo.

Md- = 16700 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; As

, =10,81 cm2; As=0,62 cm2

Md+ → As

, =0,62 cm2; As=9,30 cm2

Com essa nova distribuição de armaduras, retorna-se ao item b) do procedimento de verificação, agora denominado b1) (primeira iteração):

b1) f0 = 0,67 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) f∞ = 1,11 cm < l/250 (= 2,4 cm)

c1) seção de M+ máx : concreto: ε cmin = -0,00086 ; aço: ε s

max = 0,00207 seção de M- máx : concreto: ε c

min = -0,00331 ; aço: ε smax = 0,00391

Sugere-se um decréscimo de aproximadamente 37% na taxa de armadura, ou de 29% em relação ao momento fletor (de acordo com a NB1-revisão 2000) para a região do engaste, que passaria a estar submetida à ação de um momento fletor Md=13387 kN.cm (ΔMd=13387-18900=-5513 kN.cm). Essa plastificação acresce o momento fletor máximo positivo de aproximadamente ΔMd/2=2756,5 kN.cm.

Md- = 13387 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; As

, =8,22 cm2 ;As=0,62 cm2;

Md+ = 13387 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; As

, =0,62 cm2 ;As=8,22 cm2;

Como procedido anteriormente, retorna-se ao item b):

b2) f0 = 0,76 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) f∞ = 1,21 cm < l/250 (= 2,4 cm)

c2) seção de M+ máx : concreto: ε cmin = -0,00088 ; aço: ε s

max = 0,00172 seção de M- máx : concreto: ε c

min = -0,00304 ; aço: ε smax = 0,00425

As aberturas de fissuras para as três opções analisadas (considerando-se Φ≅12 mm), e para as regiões do vão e do engaste, constam da Tabela 5.5.



105

Tabela 5.5 - Abertura de fissuras para a viga apoiada-engastada (mm). opção wr - vão wr - engaste

inicial 0,16 0,17

1 0,13 0,17

2 0,15 0,21

As aberturas das fissuras apresentaram-se com diferentes valores para os três casos analisados. De um modo geral, a pior condição foi observada para a opção 2 na região do engaste, que apresentou uma abertura de 0,21 mm.

Os resultados para o coeficiente global γgl, apresentados na Tabela 5.6, confirmam a armadura inicial como uma das possíveis ao projeto seguro, e habilitam as demais opções como sendo seguras.

Tabela 5.6 - Valores de γgl para a viga apoiada-engastada. opção armaduras (cm2) carregamento carregamento γgl

As A’s caract. médias caract. de proj. inicial 6,28 13,19 55,0 kN/m 43,6 kN/m 1,26

1 9,30 10,81 63,0 kN/m 45,2 kN/m 1,39

2 8,22 8,22 58,1 kN/m 41,6 kN/m 1,40

5.3.2 Laje simplesmente apoiada

A laje empregada neste exemplo é aquela apresentada na Figura 5.19.

Figura 5.19 - Laje apoiada nos quatro lados - exemplo 4.

Supondo ser uma laje de pavimento usual de concreto armado, o carregamento

convencional, bem como a combinações empregadas para o dimensionamento no ELU e a verificação dos ELS devem ser:

g: 2,5 kN/cm2 (peso próprio, supondo h=10 cm); 1,0 kN/cm2 (revestimento); q: 3,0 kN/cm2 (sobrecarga).



106

ELU: 1,4x(2,5+1,0)+1,4x3,0 = 9,1 kN/m2;

ELS: 1,0x(2,5+1,0)+0,2x3,0 = 4,1 kN/m2.

O pré-dimensionamento, a partir dos esforços obtidos a partir das hipóteses da elasticidade, é feito de acordo com as tabelas de PINHEIRO (1996).

Mx = My = 6,15 kN.m/m; Asx = Asy = 1,62 cm2/m.

Considerando essa configuração de armaduras, as flechas calculadas nos instantes t0 e t=∞ foram (considerando-se, simplificadamente, ϕ28=2,5):

f0 = 0,15 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) f∞ = 0,50 cm < l/250 (= 2,3 cm)

O dimensionamento considerando-se a espessura h=10 cm leva à uma taxa de armadura pequena, o que sugere o mau aproveitamento do concreto. Alternativamente, adota-se uma nova espessura para a laje, agora de 9 cm, o que significa uma altura útil d=8,1 cm. As novas armaduras são:

Asx = Asy = 1,82 cm2/m.

Para a nova configuração, os deslocamentos calculados são de:

f0 = 0,20 cm f∞ = 0,66 cm

Para as duas taxas de armadura, foram calculados os coeficientes globais γgl, que ficaram em 1,31 para a opção h=10 cm, e 1,30 para h=9,0 cm.

6 CONCLUSÃO

Os elementos finitos, bem como os modelos constitutivos empregados na descrição do comportamento mecânico dos elementos estruturais, mostraram-se suficientemente precisos para a representação dos estados limites último e de serviço abordados neste trabalho. Devido à maior capacidade de representação, os elementos finitos estratificados receberam maior ênfase em detrimento daqueles formulados no campo dos momentos fletores e das curvaturas (elementos não-estratificados).

A obtenção de uma metodologia segura para o dimensionamento considerando-se as leis constitutivas não-lineares ainda está por ser consolidada. A metodologia semi-probabilística, ou mesmo a do coeficiente global, são ainda passíveis de duras críticas, e necessitam ser melhor estudadas antes que o seu uso prático seja estabelecido. O futuro dessa área aponta para a confiabilidade estrutural como ferramenta para a viabilização de uma metodologia determinística segura.

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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007

AVALIAÇÃO DA RIGIDEZ ROTACIONAL EM ESTRUTURAS PLANAS DE MADEIRA CONCEBIDAS POR ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS COM DOIS

PARAFUSOS POR NÓ André Luis Christoforo1 & Francisco Antonio Rocco Lahr2

Resumo

Neste trabalho, é desenvolvido um programa através do método dos deslocamentos, em que o mesmo leva em consideração a influência do efeito da semi-rigidez rotacional nas ligações formadas por dois parafusos sobre o comportamento mecânico da estrutura. Esta configuração de parafusos é devidamente escolhida em função de sua corrente aplicação em estruturas de madeira, principalmente em estruturas auxiliares ou de cobertura. Vários exemplos de estruturas típicas de cobertura são executados considerando-se as três formas que o presente programa analisa, evidenciando-se a importância do comportamento semi-rígido sobre as ligações. Palavras-chave: ligações semi-rígidas; método dos deslocamentos; estruturas de madeira.

1 INTRODUÇÃO

As ligações são os elementos responsáveis pela redistribuição dos esforços entre os elementos estruturais. Na engenharia, foram elaborados alguns modelos teóricos ideais de cálculo para as ligações, baseando-se em algumas hipóteses simplificadoras de cálculo, como a que considera que os esforços solicitantes são transmitidos integralmente entre os elementos, evidenciando-se o comportamento teoricamente indeformável das ligações. Estes modelos ideais ou tradicionais são: a rótula e o engaste perfeito.

Com o advento da análise experimental, o engenheiro descobriu que não só os materias empregados na construção da ligação eram responsáveis pela sua rigidez, em virtude desta variar de acordo com a disposição dos mesmos.

De acordo com RIBEIRO (1997) o estudo das ligações teve início na Inglaterra no início do século XIX, com WILSON & MOORE, onde foram ensaiadas ligações rebitadas do tipo viga-coluna, com a finalidade de analisar o seu comportamento considerando a relação momento-rotação.

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas, [email protected]

André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007

110

Um trabalho de suma importância foi o de JOHNSTON & MOUNT (1942), que analisaram pórticos com ligações semi-rígidas. Posteriormente, SHOROCHNIKOFF (1950) verificou a influência das forças por ação do vento em ligações semi-rígidas para o mesmo tipo de estrutura.

LOTHERS (1951) propôs equações para representar a restrição elástica de ligações semi-rígidas. FRYE & MORRIS (1975) utilizaram processos iterativos para obter o comportamento das ligações. KRISHNAMURTHY ET al. (1979) aplicaram o método dos elementos finitos (MEF) na obtenção de curvas de momento-rotação para ligações com chapa de aço. JONES ET al. (1980) verificaram a influência das ligações semi-rígidas em colunas de aço. SIMITSES & VLAHINOS (1982), também estudaram a estabilidade de pórticos planos com ligações semi-rígidas.

As características estruturais das ligações semi-rígidas foram obtidas a partir de ensaios em escala real. MARAGHECHI & ITANI (1984) verificaram que as rigidezes axial e rotacional das ligações têm influência apreciável nas solicitações das/ barras, enquanto que a rigidez ao cisalhamento tem seu efeito desprezível.

A deformabilidade das ligações entre os elementos estruturais de madeira são geralmente determinadas por meio de resultados experimentais, e muito raramente são elaborados modelos analíticos que representem o comportamento da resistência e da rigidez da ligação.

Os resultados baseados apenas em procedimentos puramente experimentais são na maioria das vezes muito caros e, além disso, existe limitação na aplicação dos resultados, por serem aplicados a ligações com as mesmas dimensões e detalhamentos.

Uma outra forma da determinação qualitativa e quantitativa na rigidez da ligação é desenvolver uma modelagem analítica que consiga retratar o comportamento da mesma, entretanto, como ligação revela uma certa complexidade na questão do seu comportamento, é necessário que se faça juntamente com a modelagem uma análise experimental para a validação desta modelagem teórica.

Uma outra alternativa para a determinação da deformabilidade das ligações é por meio de procedimentos numéricos, procedimentos estes utilizados para o estudo das ligações parafusadas, como proposta do presente trabalho. Esses surgiram e ganharam amplitude de uso a partir do advento dos computadores, quando então, vários métodos numéricos surgiram na tentativa da resolução de problemas estruturais que anteriormente eram calculados de forma analítica.

A análise numérica do comportamento semi-rígido das ligações começou com WEAVER & GERE (1986) com o método da flexibilidade. A partir deste método, foi possível determinar os coeficientes de semi-rigidez rotacional e de translação na matriz de rigidez de um elemento de barra de pórtico. Posteriormente, foram feitas análises experimentais em estruturas de madeira, com o objetivo de testar e validar suas formulações teóricas desenvolvidas. GESUALDO (1987), estudou a contribuição das deformações das ligações na rigidez da estrutura por meio de um ensaio de um modelo de viga treliçada de madeira (Aspidosperma polyneuron), com dez metros de comprimento, em duas maneiras diferentes: interligadas por anéis de aço e interligadas por cavilhas partidas de madeira (Eucalyptus citriodora), com força abaixo do limite de proporcionalidade. O estudo teórico restringiu-se na implementação numérica de um algoritmo em um

Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...


111

programa para estruturas planas que contabilizasse a deformação pela não linearidade geométrica para um nó concebido por n parafusos. Foram contabilizados os efeitos de mola rotacional e axial, desprezando-se o efeito da mola com rigidez transversal ao elemento por causa da pequena influência que esta gera na ligação, quando comparada com as duas outras anteriormente citadas. A comparação dos resultados teóricos com as dos resultados experimentais mostrou-se aceitável, confirmando, portanto, a importância da contribuição das deformações das ligações na rigidez da estrutura.

FERREIRA (1999) desenvolveu uma metodologia analítica para o cálculo de deformabilidades de ligações típicas de concreto pré-moldado, levando-se em conta os mecanismos básicos de deformação na ligação. Foram estudadas duas ligações típicas viga-pilar de concreto pré-moldado e posteriormente foram desenvolvidas as formulações analíticas que representavam o comportamento de ambas; a primeira ligação é formada com o auxílio de uma almofada de elastômero e chumbador (cálculo analítico da deformabilidade ao cisalhamento da ligação) e a segunda ligação é tida como resistente à flexão formada com o auxílio de chapas soldadas (cálculo analítico da deformabilidade à flexão da ligação). Para os protótipos com almofada de elastômero e chumbador, foram em média, 23 % superiores aos valores obtidos com relação aos dados experimentais, e a resistência ao cisalhamento atingiu valores entre 96 e 100 % com relação aos obtidos experimentalmente. A ligação com chapa soldada apresentou uma rigidez da ordem de 83 % da rigidez monolítica e o valor calculado da rigidez à flexão secante foi de 5 % superior à rigidez apresentada pela ligação. Em função dos dados experimentais obtidos, chegou-se à conclusão de que a análise analítica das ligações desses tipos, na questão das medidas das suas deformabilidades, representaram o problema de forma coerente e concisa em função da pequena margem de erros entre os resultados analíticos e experimentais obtidos.

ZHAO ET al (2000) introduziram o conceito e aplicação do sistema nodal Oktalok. O método de projeto proposto foi baseado na suposição que os nós são presos na extremidade e a rigidez rotacional é zero. Contudo, a capacidade estimada do pórtico pode aumentar significativamente, dependendo da rigidez rotacional dos nós. Os testes de rigidez e as simulações do elemento finito foram usados para determinar a rigidez rotacional dos nós Oktalok. Os testes de flambagem de coluna e análises de elemento finito não linear foram realizados para determinar a capacidade das colunas em condições últimas, utilizando ligações semi-rígidas. Uma simples fórmula para o fator efetivo de comprimento de flambagem da coluna foi baseada nas investigações teóricas e experimentais descritas acima.

2 DESENVOLVIMENTO DA MATRIZ DE RIGIDEZ MODIFICADA

A análise numérica do modelo será desenvolvida a partir da modificação da matriz de rigidez de um elemento prismático e unidimensional, analisado em um plano. Este elemento possui três graus de liberdade por nó, sendo dois graus quanto a translação e um grau quanto à rotação, de acordo com a figura 2.1.a.

A modificação da rigidez rotacional nas extremidades do elemento estrutural será efetuada através da introdução de coeficientes, obtidos a partir da modificação matemática da rigidez das mola )( RS , de acordo com a figura 2.1.b.



112

11D

21D

1

(b)

i

2 eixo

1eixo

3 eixo(a)

Ai Ri S ,S Aj Rj S ,S

j

12D

22D

(c)

1

EI

AL

Figura 2.1 - Elemento com três graus de liberdade.

Considerando-se para os valores desses coeficientes números grandes, isto é,

próximo de 910 , a matriz de rigidez modificada será aquela tradicionalmente utilizada

para estruturas planas com três graus de liberdade. No caso dos valores dos

coeficientes serem considerados números pequenos, isto é, próximo de 910 −, a matriz

de rigidez será aquela obtida para estruturas planas com dois graus de liberdade. Desta maneira, os valores intermediários têm o comportamento das estruturas

planas com ligações semi-rígidas. A obtenção da matriz de rigidez do elemento para um elemento com ambas as

extremidades semi-rígidas, será apresentada a seguir. A figura 2.2.a mostra um elemento com ligação semi-rígida, em ambas as extremidades. Será considerado

( RiS ) como sendo a rigidez rotacional da extremidade "i" do elemento e ( RjS ) a rigidez rotacional da extremidade "j" do mesmo.

O comprimento do elemento é (L), a área da seção transversal é (A), o momento de inércia em relação ao eixo 3 é (I) e o módulo de elasticidade é (E). A matriz de rigidez do elemento é determinada no seu sistema de coordenadas locais (1-2-3). Os coeficientes da matriz de rigidez do elemento são obtidos a partir da matriz de flexibilidade, utilizando-se a compatibilidade de Weaver e Gere (1986).

Figura 2.2 - Elemento com ambas as extremidades semi-rígidas: determinação da matriz de rigidez.

1

3

4

2 65

RiS RjS

)(a )(b



113

2.1 Matriz de rigidez considerando-se apenas a rigidez rotacional

Para obter os coeficientes de flexibilidade da extremidade “j”, o elemento é engastado elasticamente na extremidade “i” e livre na extremidade “j” como mostrado nas figuras 2.2.b e 2.2.c. Uma força unitária é aplicada na direção 2 e na extremidade

“j” como mostrado na figura 2.2.b. Os coeficientes de flexibilidade, ( 11D ) e ( 21D ), na extremidade “j” são obtidos como segue.

O deslocamento vertical na extremidade “j” devido à força unitária é chamado

de 11D e será composto de duas partes: 1) Deslocamento na extremidade “j” devido à força unitária uF :

(1) 3

3

11 EILD uF =

2) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por uF :

3) Momento na extremidade ”i” devido à

uF :

(2) LMLFM uu Fiu

Fi =⇒=

a) Rotação na extremidade “i” devido à

uF :

(3.a) Ri

FiF

iF

iRiFi S

MSM

uuuu =⇒= θθ

(3.b)

Ri

Fi S

Lu =θ

c) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por

uF :

(4) 1111 LS

LDLDRi

Fi

u

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒= θθ θ

Deslocamento vertical total na extremidade “j” é θ

111111 DDD uF += , portanto:

(5) 3

23

11RiS

LEILD +=

A rotação na extremidade “j” devido à força unitária

uF é chamado de 21D e será composta de duas partes:

1) Rotação na extremidade “j” devido à

uF :

(6) 2

2

21 EIL

uF =θ

2) Rotação na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por

uF :



114

(7) S

L Ri

21 =θθ

3) Rotação total na extremidade “j” é θθθ 212121 += uFD , portanto:

(8) 2

2

21RiS

LEILD +=

Aplicando-se, agora, um momento unitário na direção do eixo 3 na extremidade

“j” como mostrado em figura 2.2.c, os coeficientes de flexibilidade , 12D e 22D , na extremidade “j” são obtidos como segue.

O deslocamento vertical na extremidade “j” devido ao momento unitário uM é chamado de 12D e será composto de duas partes: 1) Deslocamento na extremidade “j” devido à

uM :

(9) 2

2

12 EILD uM =

2) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por

uM :

a) Momento na extremidade “i” devido à uM :

(10) 1=uMiM

b) Rotação na extremidade “i” devido à

uM :

(11.a) RS

MSM uM

iM

iRMi

uuu =⇒= θθ

(12.b) 1

Ri

Mi S

u =θ

c) Deslocamento na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por

uM :

(13) 112 L

SD

Ri⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=θ

Deslocamento vertical total na extremidade “j” é θ121212 DDD uM += , portanto:

(14) 2

2

12 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

RiSL

EILD

A rotação na extremidade “j” devido ao momento unitário uM é chamado de 22D e será composta de duas partes:

1) Rotação na extremidade “j” devido à

uM :



115

(15) 22 EIL

uM =θ

2) Rotação na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por

uM :

(16) 122

RiSi =θθ

3) Rotação na extremidade “j” devido à própria rotação da mesma extremidade causada por

uM :

(17) 122

RjSj =θθ

Rotação total na extremidade “j” é jiuMD θθ θθθ 22222222 ++= , portanto:

(18) S11

Rj22 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RiSEILD

Para facilitar as expressões das equações e, posteriormente, as matrizes,

foram introduzidos os parâmetros adimensionais conforme a seguir:

(19.a) ;Ri

Ri LSEIe =

(19.b) ;Rj

Rj LSEIe =

(19.c) ;1 RjRiRij eee ++=

(20.a) ;11 RiRi ee +=(20.b) ;11 RjRj ee +=

(20.c) ;212 RiRi ee +=(20.d) ;212 RjRj ee +=

(20.e) ;313 RiRi ee +=(20.f) ;313 RjRj ee +=

Substituindo-se as equações (19 ) e ( 20 ) nas equações ( 5 ), ( 8 ), (14 ) e (18)

e após algumas simplificações, os coeficientes de flexibilidade ficam da seguinte forma:

(21.a) ;3

33

11 EIeL

D Ri=

(21.b) ;2

22

12 EIeL

D Ri=

(21.c) ;2

22

21 EIeL

D Ri=

(21.d) .22 EILe

D Rij=



116

A matriz de flexibilidade, [ ]jjF , para a extremidade ”j” será da seguinte forma:

[ ] (22) D D

2221

1211⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

DD

F jj

[ ] (23) 6 33 2

6 Rij2

Ri232

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

eLeLeeL

EILF

Ri

Rijj

Invertendo a matriz [ jjF ] da equação (23), obtem-se a matriz de rigidez

modificada [ jjS ], para a extremidade “j”:

[ ] (24.a) 2 3-

3- 6

32

Ri2

Ri2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

Ri

Rijjj eLLe

LeeCS

onde: ( )[ ] (24.b) 1434

23 −+

=RjRiRij eeeL

EIC

A matriz de rigidez completa [ MS´ ], sem considerar a rigidez axial é obtida por Weaver e Gere (1986):

[ MS´ ]= (25) S

S

jj

ij

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ji

ii

S

S

Onde: [ iiS ], [ ijS ], [ jiS ] e [ jjS ], são todas submatrizes de [ MS ´ ]. Os

coeficientes em [ jjS ] são definidos como as ações de restrição na extremidade “j” do elemento devido aos deslocamentos unitários na mesma extremidade. Os coeficientes

em [ ijS ], são ações de restrição na extremidade “i” devido ao deslocamentos unitário

na extremidade “j” e eles estão em equilíbrio com os termos em [ jjS ]. Os coeficientes

em [ jiS ] consistem em ações de restrição na extremidade “j” devido aos

deslocamentos unitários na extremidade “i”. Os coeficientes em [ iiS ] ‚ são ações de restrição na extremidade “i” devido ao deslocamento unitário na extremidade “i” e eles

estão em equilíbrio com os termos em [ jiS ].

A matriz de rigidez modificada [ jjS ] foi determinada e é apresentada pela equação (24.a). As outras três submatrizes de [ MS ´ ] podem ser determinadas pela transformação de eixos. Estaticamente equivalente, as forças na extremidade “i”, podem ser obtidas através da matriz de transformação [T ], onde:

[ ]T = (26) 1 L0 1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡



117

Nessas condições a submatriz [ ijS] pode ser determinada a partir da relação

[ ijS] [ ]T −= [ jjS ], assim tem-se:

[ ] (27) 3

3 6

22

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

LLe

LeeCS

Ri

RiRijij

Como a matriz de rigidez [ MS´ ] é simétrica à submatriz [ jiS], a mesma deve

ser igual à transposta de [ ijS]. Assim, transpondo [ jiS

] = [ ijS]T

tem-se:

[ ] (28) 3

3 6

22

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

LLe

LeeCS

Ri

RiRijji

A submatriz restante [ iiS ] pode ser determinada a partir de [ jiS ] usando a

relação [ ] [ ] [ ]jiii STS −=

, isto dá:

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

32

2

2

2 3

3 6

RjRi

RiRijii eLLe

LeeCS )29(

Desta forma, todas as submatrizes de [ MS´ ] da equação (25), foram determinadas. Assim, a matriz de rigidez modificada de um elemento, sem a inclusão da rigidez axial, é apresentada como:

Através do princípio da superposição de efeitos, as coordenadas axiais ao elemento de pórtico (figura 3.5.), desconsiderando-se sobre estas o efeito semi-rígido, serão determinadas através do método dos deslocamentos (coeficientes de rigidez) e posteriormente, estes coeficientes serão alocados na matriz de rigidez do elemento modificada.

Para o elemento com dois graus de liberdade, observe a figura 2.2.1.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

=

32

22

2

22

223

22

22

2 3 3

3 6 3 6 3 2 3

3 6 3 6

]´[

RiRiRi

RiRijRjRij

RjRjRj

RiRijRijRij

M

eLLeLLe

LeeLeeLLeeLLe

LeeLee

CS )30(



118

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

e2CL 3CLe- 0 CL 3CLe 0

3CLe- 6Ce 0 3CLe 6Ce- 0

0 0 0 0 -

CL 3CLe- 0 e2CL 3CLe 0

3CLe 6Ce- 0 3CLe 6Ce 0

0 0 - 0 0

][

Ri32

Rj22

Rj2

Rj2RijRj2Rij

2Rj2Rj3

2Rj2

Rj2RijRj2Rij

0

LAE

LAE

LAE

LAE

S M

Figura 2.1.1 - Elemento com dois graus de liberdade.

Aplicando-se um deslocamento unitário na coordenada “1” e mantendo-se nulo

o deslocamento na coordenada “4”, chega-se aos seguintes coeficientes re rigidez:

LEAK11 = e L

EAK14−

= )31(

Aplicando-se um deslocamento unitário na coordenada “4”, e mantendo-se

nulo o deslocamento na coordenada “1”, chega-se aos seguintes coeficientes de rigidez:

LEAK41

−= e L

EAK44 = )32(

A matriz de rigidez para um elemento de barra de pórtico será representada

pela matriz [0MS ] da equação (33), com os termos da matriz ]´[ MS da equação (30),

juntamente com os coeficientes rigidez axial provenientes das equações (31) e (32), dispostos corretamente em função da ordem seqüencial dos graus de liberdade atribuídos ao elemento.

3 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO SEMI-RÍGIDO PARA UM MODELO SIMPLES

Para analisar o comportamento da ligação semi-rígida, foi considerado uma barra engastada nas duas extremidades e aplicada uma força concentrada (F) no seu centro, como mostrada na figura 3.1. Os dados obtidos nessa análise valem para o

)33(



119

Rigidez

Mom

ento

enM

enS

comportamento individual de cada barra, independente do tamanho da estrutura ou da sua configuração.

Figura 3.1 - Barra bi-engastada nas extremidades.

Variou-se somente a rigidez rotacional ( RS ), mantendo a rigidez axial constante em toda a simulação. Obteve-se assim, a relação Momento x Rigidez para as extremidades da barra, apresentada no gráfico 3.1. Aproveitando-se a variação da

rigidez rotacional ( RS ), obteve-se também os deslocamentos no ponto central da viga, onde a relação Deslocamento x Rigidez está apresentado no gráfico 3.2. Na ligação semi-rígida, a viga tem rotações nos nós “i” e “j” cujos valores variam em função da

rigidez ( RS ) adotadas para os mesmos, conforme o gráfico 3.3. Pode-se verificar com os resultados das três relações, que a rigidez se comporta exponencialmente, sempre convergindo para as situações esperadas, que é a de engastamento perfeito ou de uma barra simplesmente apoiada.

Gráfico 3.1 - Relação momento x rigidez.

No gráfico 3.1, 8/PLM en = é o momento de engastamento perfeito de uma viga bi-engastada com forca aplicada no ponto central. Para valores de rigidez

menores do que ( enS ), o momento comporta-se conforme a curva do mesmo gráfico. Caso a rigidez se aproxime de zero, o momento também converge para o mesmo valor.

L

(kN) F

i j

2L

2L



120

Rigidez

Des

loca

men

to

1d

2S1S

2d

Rigidez

Rot

ação

3θ

4S3S

4θ

Gráfico 3.2 - Relação deslocamento x rigidez.

O gráfico 3.2, mostra que para ∞→2S , deslocamento é EIPLd 192/3= , ou

seja, a viga é engastada. Para 0S1 → , o deslocamento é EIPLd 42/3= , ou seja, a viga é bi-apoiada, ficando assim, a curva exponencial para o comportamento semi-rígido.

Gráfico 3.3 - Relação rotação x rigidez.

O gráfico 3.3, mostra que para ∞→4S , a rotação é 0=θ , ou seja, a viga

engastadas. Para 0S3 → , a rotação é EIPL 16/2=θ , ou seja, a viga é bi-apoiada.

Neste caso, para valores da rigidez entre zero e 4S o comportamento é semi-rígido. Ressalta-se ainda, que para qualquer estrutura, a rigidez da ligação é adotada

inicialmente, 1000 vezes a rigidez da barra, isto é:

( )bR LS /I4E.1000 bb= . onde:

: RS Rigidez da ligação.

:Eb Módulo de elasticidade da barra.



121

: Ib Momento de inércia da barra.

:Lb Comprimento da barra.

4 CONSIDERAÇÃO DA RIGIDEZ ATRAVÉS DA LIGAÇÃO PARAFUSADA

Neste trabalho, foi adotada, para o detalhamento da estrutura, uma ligação típica, utilizando dois parafusos, figura 4.1. A utilização mínima para essa ligação é uma disposição construtiva da NBR 8800 (1986). O afastamento dos parafusos determina um momento resistente na extremidade da barra. Através da entrada de dados conveniente no programa, o mesmo irá verificar o quanto este momento influenciará na ligação e na estrutura como um todo.

Figura 4.1 - Detalhe da ligação parafusada.

onde: pe é o espaçamento entre parafusos;

RF é a força resistente dos parafusos;

4.1 Determinação do momento resistente

A força resistente ao corte do parafuso é igual a: NVVR RF Φ=

onde: 65,0=Φ para parafusos ASTM A325 e ASTM A490

60,0=Φ para parafusos ASTM A307 e ISO 898

uPNV fAR 42,0=

PA é a área bruta, baseada no diâmetro nominal “dp“ do parafuso.

uf é a resistência à tração do material do parafuso. A resistência à tração do material do parafuso depende da especificação do

próprio parafuso. A tabela 4.1 apresenta os valores de uf aplicáveis.

pe

RF RF



122

Tabela 4.1 - Materiais usados nos parafusos.

ESPECIFICAÇÃO RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (MPA) DIÂMETRO (MM) ASTM A307 415 100

825 12,7< dp < 25,4 * ASTM A325

725 25,4[ dp < 38,1 *

ASTM A490 1035 12,7[ dp <38,1 * * dp é o diâmetro do parafuso.

O valor do momento resistente é dado por:

pRR eFM =

A distância mínima entre os centros dos furos, não podem ser inferior a

pd7,2 , sendo utilizado preferencialmente pd3 . Além desse requisito, a distância entre as bordas de dois furos consecutivos

não pode ser inferior a pd , conforme mostra a figura 4.2.

Figura 4.2 - Espaçamento mínimo entre furos.

onde: pd é o diâmetro do parafusos.

5 AVALIAÇÃO DOS MOMENTOS DA ESTRUTURA

O programa P.S-R (Pórtico Semi-Rígido), desenvolvido no presente trabalho, faz o estudo do comportamento das ligações formadas com dois parafusos por nó de elemento. A correção da rigidez das ligações fica por conta de um processo iterativo.

Esta correção se faz apenas quando o momento resistente da ligação passa a ser inferior ao momento solicitante aplicado à mesma. Para a determinação a priori dos esforços na estrutura, as ligações são consideradas como perfeitamente engastadas (modelos ideais); para a determinação dos esforços reais provenientes das forças externas aplicadas à correção das estruturas, e logo após a esta consideração inicial, os esforços de flexão atuantes na ligação são comparados em módulo com a resistência que a mesma oferece.

Sabendo-se que o valor do momento resistente é uma função direta do espaçamento e do diâmetro dos parafusos e constante ao longo do processo de análise, ou seja, seu valor será o mesmo para todos os nós. Deve-se atentar para o

pd3≥

pd≥



123

dimensionamento mínimo de parafusos previsto por norma, para que a confiabilidade dos resultados não seja prejudicada.

Após calcular o momento solicitante e o momento resistente, o programa compara os dois valores: Se , então: recalcula-se toda estrutura, até que os momentos solicitantes em todas as ligações

sejam iguais ou inferiores ao momento resistente: RS MM =

Se RS MM < , então:

o valor do momento continua sendo SM .

O programa reduz a rigidez da ligação que foi solicitada além do seu limite, fazendo com que o momento solicitante na mesma seja igual ao resistente, e assim, uma nova rigidez deverá ser computada nos cálculos. O processo iterativo elaborado no programa fará os cálculos de forma em que o momento excedente na ligação propague-se para as demais ligações vizinhas através dos elementos estruturais. Desta forma, a estrutura encontrará uma nova configuração de equilíbrio.

6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO

A figura 6.1, mostra a geometria e o carregamento da estrutura Fink, com um vão de 10,80 m analisada nesse caso, sendo que, para esta estrutura, foi aplicada uma força concentrada no centro da mesma.

Os valores dos momentos solicitantes, bem como o deslocamento no meio do vão, estão apresentados nas tabelas 6.1 e 6.2, respectivamente.

Figura 6.1 - Estrutura Fink, L=10,80 m.

Para a estrutura fink, mostrada na figura 6.1, foi-se efetuada sobre a mesma, uma análise mais completa do seu comportamento estrutural, isto é, em uma primeira avaliação, admitiu-se a rigidez das barras para verificar somente o comportamento da ligação semi-rígida. Em uma segunda avaliação, procurou-se obter qual o valor da ação externa responsável pelo início das primeiras iterações, isto é, quando a ligação foi solicitada ale’m do seu limite de resistência.

RS MM >



124

Posteriormente, numa terceira avaliação, admitiu-se um valor para a ação externa superior às anteriores para que houvessem as devidas iterações e, conseqüentemente, as distribuições dos momentos. Os valores das ações para as três situações descritas anteriormente foram de 15, 300, 700 kN, respectivamente.

6.1 Obtendo-se um pré-dimensionamento das barras

Os valores adotados para o cálculo dessa estrutura são: Força concentrada nos nós: 15,00 kN. Área da seção transversal: 2,25 cm2. Momento de inércia: 0,4219 cm4. Módulo de elasticidade: 20500 kN/cm2. Diâmetro do parafuso: 1,27 cm. Espaçamento entre parafusos: 5,00 cm.

O pré-dimensionamento das barras da estrutura foi realizado no Software SAP

2000, conforme a figura 6.2. A única força externa concentrada, mencionada anteriormente de 15 kN, está aplicado no nó “10”. O Software SAP 2000 faz uma relação percentual das forças atuantes na estrutura e os seus valores limites para que as condições normativas sejam satisfeitas, sendo o valor 1, o coeficiente de solicitação máxima. No caso da estrutura Fink, mostrada na figura 6.2, pode-se verificar que os elementos do banzo superior próximos ao ponto de aplicação da força concentrada, encontram-se em seus respectivos limites de resistência.

Observou-se que, após o processamento da estrutura no programa desenvolvido, não se verificou nenhuma iteração, porque o valor do momento resistente das ligações foram muito superiores aos solicitantes.

Figura 6.2 - Pré-dimensionamento das barras.

6.2 Sem a obtenção do dimensionamento das barras.

Para se obter o processo de redistribuição entre os momentos que atuam na estrutura em função da ligação semi-rígida, admitiu-se um valor para a rigidez das barras na estrutura e aplicou-se também um valor de carga compatível para iniciar-se esse processo iterativo.



125

Os valores adotados para o cálculo dessa estrutura são: Carga concentrada nos nós: 700,00 kN.

Área da seção transversal: 2,25 cm2. Momento de inércia: 0,4219 cm4. Módulo de elasticidade: 20500 kN/cm2. Diâmetro do parafuso: 1,27 cm. Espaçamento entre parafusos: 5,00 cm. Tabela 6.1 - Valores dos momentos solicitantes nos elementos, L=10,80 m.

Rotulada Semi-Rígida Rígida barra Nó(i) Nó(j) nó “i” nó “j” nó “i” nó “j” nó “i” nó “j”

1 1 2 0,00 0,00 -1,95 62,55 -1,09 81,14 2 2 3 0,00 0,00 -52,95 -19,25 -55,11 -23,05 3 3 4 0,00 0,00 -19,52 19,52 -19,77 19,77 4 5 4 0,00 0,00 52,95 19,25 55,11 23,05 5 6 5 0,00 0,00 1,95 -62,55 1,09 -81,14

6 1 7 0,00 0,00 1,95 62,15 1,09 82,24 7 7 8 0,00 0,00 -61,96 -21,17 -91,06 -35,93 8 8 9 0,00 0,00 35,42 61,80 55,74 108,62 9 9 10 0,00 0,00 -61,90 -62,04 -113,73 -111,71

10 11 10 0,00 0,00 61,90 62,04 113,73 111,71 11 12 11 0,00 0,00 -35,42 -61,80 -55,74 -108,62 12 13 12 0,00 0,00 61,96 21,17 91,06 35,93 13 6 13 0,00 0,00 -1,95 -62,15 -1,09 -82,24

14 2 7 0,00 0,00 51,98 -0,19 52,91 8,91 15 2 8 0,00 0,00 -61,57 -34,31 -78,95 -43,26 16 3 8 0,00 0,00 7,24 -1,14 1,60 -4,42 17 8 14 0,00 0,00 21,21 61,30 27,88 67,89 18 9 14 0,00 0,00 -1,90 -45,10 5,11 -1,48 19 3 14 0,00 0,00 31,54 61,96 41,23 87,27 20 10 14 0,00 0,00 -61,24 -62,16 -148,26 -153,68 21 10 15 0,00 0,00 61,24 62,16 148,26 153,68 22 4 15 0,00 0,00 -31,54 -61,96 -41,23 -87,27 23 11 15 0,00 0,00 1,90 45,10 -5,11 1,48 24 12 15 0,00 0,00 -21,21 -61,30 -27,88 -67,89 25 4 12 0,00 0,00 -7,24 1,14 -1,60 4,42 26 5 12 0,00 0,00 61,57 34,31 78,95 43,26 27 5 13 0,00 0,00 -51,98 0,19 -52,91 -8,91



126

Tabela 6.2 - Valor do deslocamento no meio do vão, L=10,80 m.

Nó Rotulada Semi-Rígida Rígida 3 -3,3467 -3,2350 -3,1580

7 CONCLUSÕES

No item 6, a máxima carga para que a estrutura Fink verifique o dimensionamento para as barras, foi de 15 kN; neste caso não houve iteração. Isso acontece devido ao fato de que o momento resistente é muito superior ao momento solicitante, aproximadamente vinte vezes. Portanto, a conclusão primordial a que se pode chegar da análise do comportamento das ligações semi-rígidas, é que a mesma só tem uma influência significativa para estruturas de grande porte, pois a variação do momento para estruturas de pequenos vãos, não terão grande significativa em termos de dimensionamento e de custo. Porém, em termos percentuais, dependendo da configuração da estrutura, pode-se chegar a uma variação de até 40% ou mais, do momento aplicado nos extremos de certos elementos.

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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007

A AÇÃO DO VENTO EM SILOS CILÍNDRICOS DE BAIXA RELAÇÃO ALTURA/DIÂMETRO

Luciano Jorge de Andrade Junior1 & Carlito Calil Junior2

Resumo

Os silos metálicos cilíndricos de chapas corrugadas e cobertura cônica são as unidades mais utilizadas no Brasil para o armazenamento de produtos granulares. As principais ações variáveis que atuam sobre os silos são as pressões devidas aos produtos armazenados e ao vento, sendo esta ação crítica quando o silo se encontra vazio. Devido à grande eficiência estrutural da forma cilíndrica e à resistência elevada do aço, estas estruturas são leves e delgadas e, portanto, suscetíveis a perdas de estabilidade local e global e arrancamento. Com a finalidade de avaliar estes efeitos foram realizados estudos teóricos e experimentais sobre as ações do vento em silos. O trabalho foi desenvolvido com ensaios de modelos aerodinâmicos e aeroelásticos em um túnel de vento na Universidade de Cranfield, Inglaterra, com o objetivo de determinar os coeficientes aerodinâmicos no costado e na cobertura. Os resultados mostram que os valores dos coeficientes recomendados pela Norma Brasileira de vento, NBR 6123 (1990), são adequados para o costado. Para a cobertura cônica, como não são especificados pela NBR, são recomendados valores dos coeficientes aerodinâmicos determinados nos ensaios. Conclui-se também que a colocação externa das colunas é a favor da segurança e que o uso de anéis enrijecedores no costado é indicado e muito importante para a estabilidade local e global da estrutura do silo. Palavras-chave: silos; ação do vento; modelos aerodinâmico; aeroelástico; coeficientes aerodinâmicos.

1 INTRODUÇÃO

Os silos metálicos cilíndricos de chapas corrugadas e cobertura cônica são as unidades mais utilizadas no Brasil para o armazenamento de produtos granulares, porque são eficientes, de baixo custo e de fácil montagem, seja em cooperativas ou agroindústrias. Este tipo de silo contém um arranjo estrutural de muitos elementos ligados por parafusos, sendo classificado em função da altura/diâmetro H/D: H/D≤0,5−curto; 0,5<H/D≤1,5−médio; H/D>1,5−longo. O cilindro, ou costado, é composto em chapas metálicas corrugadas. A cobertura cônica é composta em painéis de chapas metálicas com dobras na direção da geratriz do cone. O costado é assumido rotulado à base, que pode ser rígida e, dependendo das dimensões do silo, é reforçado com colunas 1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior


130

metálicas de seção-U dispostas no perímetro e, opcionalmente, com anéis metálicos tubular ao longo da altura. A cobertura cônica também pode dispor de reforços com vigas radiais e circunferenciais. O fundo é, em geral, plano. Os silos têm dimensões comerciais que variam de 3 m a 32 m de diâmetro por 3 m a 30 m de altura, com volumes de 20 m3 até 26.000 m3. Todo este conjunto encontra-se diretamente apoiado sobre uma base, com o costado fixo por parafusos a um anel rígido de concreto que é independente da base.

1.1 Definição do problema

Como conseqüência da grande eficiência estrutural da forma cilíndrica e da resistência elevada do aço, são estruturas leves, de chapas delgadas e de grandes dimensões em relação ao peso-próprio, o que torna este tipo de silo susceptível ao problema de perda de estabilidade local e global da estrutura. Por conseguinte, os estados limites mais importantes para os silos metálicos são as perdas de estabilidade por compressão do costado devidas às ações de atrito com a parede dos produtos armazenados e devidas às pressões do vento (Figuras 1, 2 e 3), e o arrancamento do costado (que se encontraria fixo à base) (Figura 4).

Figura 1 - Perda de estabilidade do costado de silos na Austrália (ANSOURIAN 1985).

Figura 2 - Perda de estabilidade do costado de um silo na Espanha (RAVENET 1992).

θ

Sucção H/D < 2,5Sucção H/D = 10

Ponto de estagnação

Vento

Sobrepressão

C = 1,0pe

peC = 0,5

Figura 3 - Distribuições de pressões

(NBR6123 1990).

Figura 4 - Efeito de tombamento (RAVENET

1992). Neste estudo são avaliados os efeitos do vento nos silos curtos e médios na condição de estarem vazios ou parcialmente preenchidos. Quando estão quase ou

A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro


131

totalmente carregados os silos metálicos de fundo plano e diretamente apoiados no solo possuem grande massa e dificilmente sofrem danos devidos ao vento. Deste modo, foi realizado um programa de ensaios junto à Universidade de Cranfield, Inglaterra, com o apoio do CNPq, no túnel de vento de camada limite da Faculdade de Aeronáutica (College of Aeronautics), de 9 m de comprimento e seção retangular na câmera de ensaios de 8x4-ft em unidades inglesas, ou 1,22 x 2,44 m.

Com o estudo dos modelos em túnel de vento, é feita uma avaliação do comportamento deste tipo de estrutura e fornecido um roteiro ao engenheiro estrutural para o cálculo das estruturas dos silos à ação do vento.

2 METODOLOGIA

Este tópico contém as descrições dos materiais empregados para a geração do escoamento de ar no túnel de vento e à confecção dos modelos, bem como dos métodos utilizados na determinação dos parâmetros de similaridade, e nas medições das pressões e deslocamentos dos modelos.

2.1 Materiais

Os materiais que são empregados para a construção dos dispositivos de geração de turbulência no escoamento de ar são madeira, papelão, PVC e aço. Os dispositivos usados para se obter os perfis são barreira alta, em madeira, grade em barras horizontais de aço arredondadas, geradores de vórtices em madeira e, para a rugosidade do piso do túnel, uma prancha com copos em PVC, duas pranchas com caixas de ovos em papelão, uma prancha com peças formadas por três blocos plásticos de Lego©, e metade de uma prancha com peças de um bloco. A função da barreira é prover um déficit inicial de quantidade de movimento representando o efeito de um campo de rugosidade mais longo; a dos geradores de vórtices, é distribuir esta quantidadade pela camada limite em desenvolvimento e influencia na turbulência média e a grade é usada para gerar turbulência média. Os elementos de rugosidade representam a superfície na vizinhança da estrutura real, conforme z0. Para a determinação das dimensões iniciais dos dispositivos, o silo em escala real é considerado em um terreno típico de fazendas com muitas árvores, cercas e algumas edificações, sendo adotado z0 = 80 mm conforme (BLESSMANN 1995). De acordo com FANG & SILL (1992) o z0 é proporcional à dimensão hk dos obstáculos, com c ≅ 0,1:

z0 = c.hk ( 1) Considerando-se que os modelos estão a uma escala geométrica de 1/42, e os obstáculos em escala real são de hk = 80.(1/0,1) = 800 mm, então a altura exigida para os elementos de rugosidade dentro do túnel é em torno de 800/42, sendo adotado 19 mm. Os geradores de vórtices são calculados de acordo com SIMIU & SCANLAN (1986), e a altura da barreira é obtida experimentalmente, pelo ajuste dos perfis de velocidade e de intensidade de turbulência.

A disposição final correspondente é mostrada na figura 5, em que o túnel apresenta seção transversal igual a 2440 por 1220 mm e o comprimento do campo medido a partir dos geradores ao centro da mesa giratória é 7850 mm.



132

Figura 5 – Disposição geral dos dispositivos no túnel.

Os modelos são rígido e flexível e os materiais usados são madeira, papel, cobre, PVC, PETP (Polyethlene terephthalate) e poliéster. O modelo rígido é feito em madeira e lâminas de madeira compensada, com pequenos tubos de cobre embutidos na lâmina e usados para tomadas de pressão, tubos em PVC para a conexão entre as tomadas e as válvulas, e entre estas e os transdutores de pressão. As colunas são feitas em madeira e PETP para simular as colunas no costado, e em fios roliços de cobre e φ=1,0 mm para simular as dobras radiais na cobertura cônica.

O modelo flexível é composto em poliéster, Melinex©, na casca cilíndrica, em PETP nas colunas, com especificações dadas na tabela 1, e madeira balsa e papel na cobertura cônica. O emprego de madeira de baixa densidade (valor relativo à massa da água igual a 0,4) e papel na cobertura é justificado pelo fato de serem simuladas apenas as características de forma geométrica e de massa.

Tabela 1 - Especificações para o material usado no Modelo 1,0. Melinex (casca cilíndrica) PETP (colunas) Propriedade E = 4414,5 Mpa E = 3000 Mpa Módulo de Elasticidade

σ = 98,1 MPa σ = 80 MPa Tensão de escoamento

γ = 1,4 g/cm3 γ = 1,37 g/cm3 Densidade

2.2 Métodos

Os métodos são análise dimensional e teoria da semelhança física, técnicas de ensaios em túnel de vento,medidas de pressões e visualização do escoamento na superfície dos modelos rígidos e medições de deslocamentos por imagens no modelo flexível.

2.2.1 Análise dimensional O estudo do comportamento de silos cilíndricos à ação do vento envolve uma

grande quantidade e diversidade de informações relacionadas às áreas de engenharia de estruturas e de engenharia do vento. A exeqüibilidade desta tarefa está ligada a condições e hipóteses simplificadoras que são obtidas com a análise dimensional, a qual abrange "os casos em que não é possível formular as equações diferenciais do fenômeno" (CARNEIRO 1996).

Grade Geradores de vórtices

Barreira

Campo com elementos de rugosidade

Mesa giratória



133

Admite-se que o deslocamento radial da parede do silo, δ, é função de onze parâmetros característicos: diâmetro do silo D, massa específica do ar ρ, velocidade média do escoamento U, módulo de elasticidade E, tensão σk, pressão exercida pelo vento p, uma freqüência das flutuações da velocidade do vento η, a viscosidade dinâmica do ar μ, a massa total da estrutura M, momento de inércia da estrutura I, um intervalo de tempo Tc. Os parâmetros E, σk, p têm as mesmas dimensões.

Como resultado da análise dimensional são obtidos os números Π, que são interpretados como relações de escalas das grandezas existentes no protótipo e no modelo, sendo condição de semelhança a igualdade dos Π em ambos modelo e protótipo. Esta condição é definida como fator de escala λ, que é a relação entre a magnitude de uma grandeza física no modelo e a magnitude correspondente no protótipo. Por exemplo, se o modelo é feito 10 vezes menor que o protótipo, então o fator de escala é geométrico e definido λL = 1/10. São utilizados subscritos para definir as grandezas nas Tabelas 2 e 3 e os fatores de escala λ. Além desses subscritos, m indica modelo, e p protótipo. Tabela 2 - Fatores de escala. Tabela 3 - Condições de semelhança.

2.2.2 Simulação em túnel de vento Para propósitos da engenharia estrutural é suficiente modelar o escoamento às condições, admitidas localmente estacionárias, da camada limite atmosférica (ASCE

FATOR DESCRIÇÃO CONDIÇÃO DE SEMELHANÇA

pDmD

L =λ Fator de escala Geométrico Número Π

Condição: 1=Π

Π

pimi

pImI

I =λ Fator de escala para oMomento de inércia D

δ=Π1 1=

Lλδλ Lλδλ =

pm

ρρ

ρλ = Fator de escala para a massaespecífica do ar 42

D

I=Π 1

4=

L

Iλ

λ 4LI λλ =

pUmU

U =λ Fator de escala da velocidadeou cinemático U

Dη=Π3 1=

U

Lλ

ηλλ LU λληλ =

pkmk

k σ

σσλ = Fator de escala da tensão D

cUT=Π4 1=

L

TU c

λ

λλ cTLU λλλ =

pm

ηη

λη = Fator de escala de freqüência 35D

M

ρ=Π 1

3=

L

Mλρλ

λ 3LM λρλλ =

pMmM

M =λ Fator de escala de Massa DUρμ

=Π6 1=ULλλρλ

μλ U

L λρλλμ

λ =

pm

μμ

μλ = Fator de escala para aviscosidade dinâmica do ar 27

Uk

ρ

σ=Π 1

2=

U

k

λρλ

σλ 2

Ukλρλσλ =

pcTmcT

Tc=λ Fator de escala de tempo OBS.: O fator de escala serve às grandezas

relacionadas pelos fatores de forma



134

1997). No túnel, a turbulência é gerada com uma superfície rugosa e gradiente de pressão nulo. O principal critério é a verificação do perfil de velocidade e da escala de turbulência medidos do escoamento no túnel e comparados àqueles da NBR 6123 (1990) e ESDU (1995). Entretanto, as regiões de separação são fortemente influenciadas pela turbulência, logo também é importante a medição da intensidade de turbulência (COOK 1982).

A metodologia está de acordo com BLESSMANN (1995) e BENDAT e PIERSOL (1971), e está esclarecida à medida que os parâmetros são mostrados.

Esses perfis são traçados com as respectivas curvas teóricas, dadas por:

( )( )

α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=10z

zUzU

ref (2)

A intensidade de turbulência é definida como o quociente entre o desvio padrão

das flutuações e uma velocidade de referência. Se a velocidade de referência for definida com um valor fixo, então a intensidade da turbulência é normalizada (IN).

refN U

I σ= (3)

Onde Uref é a velocidade de referência, tomada a 10 m de altura em escala real. A turbulência do vento é caracterizada pelos turbilhões ou redemoinhos, cujas dimensões são avaliadas a partir das funções de autocorrelação. A partir destas funções são definidas as escalas temporal para o estudo da repetição das rajadas do vento, e espacial, para a caracterização da não uniformidade das rajadas sobre as estruturas. A autocorrelação descreve a dependência de um valor medido no tempo t com outro valor medido no tempo t+τ, para um mesmo ponto. Fisicamente, isto representa a “memória” do fenômeno das rajadas. Se a curva de autocorrelação for alargada, então a memória é grande; se a curva for estreita, então a memória é curta. Para avaliar a escala temporal, a partir das curvas de autocorrelação normalizada, ρ(τ), calcula-se o tempo característico, Tc, do processo aleatório do vento, que é numericamente igual à área sob a curva de autocorrelação longitudinal normalizada.

∫∞

=0

1 );()( ττρ dzzTc (4)

A escala espacial é obtida a partir da escala temporal, considerando-se a hipótese de Taylor, em que os redemoinhos deslocam-se com a velocidade média do vento. Portanto, a escala espacial da turbulência, a uma certa altura z, é dada pelo comprimento médio dos maiores turbilhões na direção longitudinal, L1:

)().()(1 zTzUzL c= (5)

2.2.3 Medidas de pressões nos modelos rígidos As medidas das pressões são obtidas da diferença entre uma pressão de referência, que é a pressão estática no escoamento livre, e a pressão estática na superfície do modelo. Esta diferença é chamada pressão externa. Onde a pressão



135

externa é numericamente igual à pressão ao longe é chamado ponto de estagnação. A pressão de referência é dada por um anel estático definido por três tomadas na seção de trabalho do túnel. O processo de medição é feito por meio de válvulas de busca automática, conhecidas como "scanivalves", e a pressão em cada tomada é medida por transdutores elétricos de pressão ligados a uma placa conversora AC/DC e armazenada no disco rígido de um microcomputador. Os parâmetros para o cálculo dos coeficientes de pressão externa Cpe são pressão estática de referência pref e pressão estática na superfície do modelo pm. A velocidade média de referência U é obtida a partir do perfil de velocidade medido dentro do túnel de vento, no centro da mesa giratória sem o modelo. O valor da pressão estática de referência é obtido com a tomada de pressão do anel estático de referência, ligada à válvula e daí ao transdutor, dentro do modelo. A equação para o cálculo dos coeficientes de pressão é:

20

refmpe

U21

ppC

ρ

−= (6)

2.2.4 Medições de deslocamentos por imagens Os deslocamentos na superfície cilíndrica do modelo flexível são medidos com o uso do Método do Reticulado, de acordo com SIROCHI & KRISHNA (1991), e a teoria dos pequenos deslocamentos como mostrada em JONES & WIKES (1989).

2.2.4.1. Método do reticulado O método do reticulado requer linhas de referência sobre a superfície do objeto em observação. As distâncias entre as interseções das linhas são medidas antes e depois do modelo ser submetido à ação, no caso o escoamento de ar no túnel.

As linhas de referência aplicadas ao modelo são na forma de um reticulado contínuo em padrão ortogonal, com circunferências ao longo da altura e linhas verticais em torno do perímetro. As linhas podem ser diretamente desenhadas ou aplicadas à superfície.

Os deslocamentos normais são determinados pela diferença de medida do comprimento na diagonal e nas linhas laterais. São usadas câmeras de alta resolução, com lentes livres de distorção, para medir os deslocamentos normais e na superfície do modelo.

2.2.4.2. Medições de deslocamentos por imagens no modelo flexível No caso dos modelos cilíndricos em estudo são feitas medições apenas dos deslocamentos numa pequena área a meia altura do cilindro, que pode ser admitida plana. Na figura 6, as lentes das câmeras V1, V2 e V3 nas direções 0V1, 0V2 e 0V3 gravam a imagem com um reticulado na superfície do objeto. As coordenadas das lentes das câmeras são (X11, X12, 0), (X21, 0, X23) e (X31, X32, 0), respectivamente. Observe-se que 0V1 = 0V2 = 0V3 e as lentes estão focalizadas no mesmo ponto.



136

Figura 6 - Posições V1, V2, V3 das câmeras.

É sabido que há três componentes de deslocamento d1, d2, d3 e nove gradientes de deslocamento, tal que são necessárias doze medidas. Como em cada vista das câmeras podem ser medidos quatro deslocamentos, sendo dois em cada extremidade da linha, figura 7, então há o número necessário de medidas para o cálculo dos deslocamentos.

Δxi1

Δx

Δx

Δx

P P'

QQ'

k-1

k-1i2

ki2

ki1

Figura 7 - Deslocamentos para a vista de cada câmera.

3 PROCEDIMENTOS PARA OS ENSAIOS

O estudo dos silos sob a ação do vento inicia-se com a constatação do problema de perda de estabilidade do costado e a necessidade de caracterizar o comportamento do silo. Para tanto, o desenvolvimento dos ensaios abrange os dimensionamentos dos protótipos e dos modelos, a geração e caracterização do escoamento de ar, os ensaios dos modelos rígidos para a determinação das pressões externas atuantes, e os ensaios do modelo flexível para o estudo do comportamento da casca cilíndrica à ação do vento.

3.1 Dimensionamento dos protótipos e dos modelos

São escolhidas duas relações H/D aos protótipos − 0,5 e 1,0 − para representarem as estruturas usuais de silos metálicos cilíndricos de chapas



137

corrugadas, que são calculadas para suportarem os esforços devidos a qualquer um dos produtos arroz, feijão, milho e soja. A casca cilíndrica constitui-se em chapas metálicas corrugadas, ligadas entre si por parafusos, com a geometria dada nas figuras 8 e 9. As colunas metálicas são aparafusadas às chapas, e calculadas para suportarem os esforços verticais de compressão devidos ao peso da cobertura e ao atrito do produto. Desde que a cobertura não é objeto de estudo, são simuladas as características geométricas em todos os modelos, e a massa da cobertura do modelo flexível.

Figura 8 - Geometria das chapas. Figura 9 - Geometria do silo.

O cálculo das pressões dos produtos é realizado segundo a ISO 11.697 (1997), o dos esforços nos silos com base na formulação para o “Cálculo dos Esforços em Reservatórios Cilíndricos” (ANDRADE JR 1998). A verificação das chapas conforme TRAHAIR et al. (1983), as verificações dos elementos metálicos segundo o texto base para a norma brasileira "Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio" da ASSOCIACAO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS - ABNT (2000).

As dimensões e capacidade dos protótipos foram adotadas em função das maiores demandas comerciais deste tipo de silo, e estão indicadas na tabela 4. Tabela 4 - Dimensões dos protótipos

H m

D m

b m H/D Vol. Total

m3 Capacidade dada em número de sacos

de 50 kg, densidade 750 kg/m3 14,5 29,0 7,2 0,5 11.175 167.625 21,5 21,5 5,3 1,0 8.456 126.840

O dimensionamento dos modelos é feito de acordo com as leis de semelhança deduzidas no item 2.2.1. Análise dimensional, admitindo-se que: i) o fator de geometria é λL = 1/42, e ii) o fator da velocidade do vento é λU = 1/2. O fator geométrico é escolhido em função do tamanho da seção do túnel, das condições de simulação do vento e das respostas dos modelos. Para o flexível, uma escala pequena acarretaria em deslocamentos pouco perceptíveis da casca cilíndrica, e, para os rígidos, uma escala grande exigiria correções significativas das pressões.



138

Os modelos rígidos têm relação H/D=0,5 e 1,0 e são denominados modelo 0,5 e modelo 1,0. As dimensões estão na tabela 5, considerando-se que altura da cobertura cônica é b = 0,25D, e uma taxa de bloqueio igual a 10% da área da seção do túnel. Tabela 5 - Dimensões dos modelos em função dos diâmetros dos protótipos.

D protótipo

mm

D mm

H mm

b mm

H/D Seção - mm

área - m2

do túnel

29.000 690 345 173 0,5 1220 x 2440

21.500 510 510 128 1,0 2,97 Em cada modelo há um conjunto de tomadas de pressão continua e igualmente distribuídos a 10 mm a partir do topo do cilindro, até a base e até o ápice da cobertura, sendo definidos modelos com superfícies lisas e com elementos externos. A figura 10 mostra os modelos com elementos externos - colunas no corpo e fios na cobertura.

10

10

5,72

1010

15,1

10

690

545,72363,8

510

227,36

5

35 tomadas

39 tomadas

51 tomadas

29 tomadas

Figura 10 - Modelos com tomadas de pressão e elementos externos.

As dimensões das colunas para o corpo cilíndrico e dos fios para a cobertura cônica são mostradas na tabela 6. São 48 colunas no corpo do modelo 0,5 e 36 colunas no corpo do modelo 1,0, sendo as de 4x7 mm na porção inferior e as de 7x2

D

H

b



139

mm na porção superior. Nas coberturas, são 12 fios grandes e 12 médios em ambos modelos, e 24 fios curtos adicionalmente à do modelo 0,5. Tabela 6 - Dimensões das colunas e dos fios para os modelos. Dimensões das colunas, mm

A largura segue a direção tangencial Fio,

φ = 1,0 mm Comprimento Largura Espessura Comprimento

120 4 7 724 Modelo 0,5 225 7 2 365 e 161 260 4 7 544 Modelo 1,0 250 7 2 316

O modelo flexível é calculado para atender às condições de semelhança de geometria, de rigidez, de massa, e de aerodinâmica em relação ao protótipo H/D=1,0, e é constituído em uma casca cilíndrica de Melinex© com 510 mm de diâmetro e de altura, altura da cobertura igual a 128 mm, figura 11. A casca tem uma espessura nominal de 0,095 mm, correspondente à espessura média da porção intermediária do cilindro (0,4H < média (t) < 0,8H); 36 colunas de PETP de espessura nominal de 2,02 mm, numeradas a partir da linha de estagnação e considerando-se a simetria, e largura variável em relação à altura, como mostrado na tabela 7. Tabela 7 - Largura variável das colunas do modelo flexível.

z largura mm mm 24 11,97 47 11,28 71 11,28 95 10,83

119 10,31 142 10,03 166 10,03 190 8,63 213 7,99 237 7,44 261 6,72 285 5,01 308 4,32 332 3,99 356 3,36 380 2,94 403 2,67 427 2,67 451 2,67 474 2,67 498 2,67 510 2,67



140

510 Figura 11 - Modelo flexível.

A direção z é vertical e a largura tangencial à casca cilíndrica. A cobertura

segue a redução das escalas de geometria e de massa, com a finalidade de enrijecer o topo do cilindro, sendo construída em madeira balsa, para manter a relação massa/volume, e em papel impermeável para o acabamento externo final.

3.3 Geração e caracterização do escoamento no túnel de vento

O escoamento de ar gerado no túnel de vento deve atender à redução de escala geométrica e cinemática, de tal modo que seja simulada a porção inferior da camada limite, e sejam definidos os fatores e as condições para o silo e o terreno de modo a serem traçados os perfis de velocidade e de intensidade de turbulência, de acordo com as normas ESDU (1995) e NBR 6123 (1990). Também é verificada a escala espacial do vento, que indica as dimensões médias dos maiores turbilhões e são da ordem de 400 mm.

3.4 Ensaios aerodinâmicos dos modelos rígidos

Os modelos rígidos atendem às condições aerodinâmica e geométrica, e é admitido que os testes em túnel de vento apresentam as pressões independentes do número de Reynolds. Isto significa que os coeficientes de pressão são iguais no modelo e no protótipo.

1

Vento

2 3 4 5

6

θ 7 8 9



141

Cada teste constituiu-se em posicionar um modelo no centro da mesa giratória, submetê-lo ao escoamento de ar e medir as pressões à medida que o modelo era girado.

3.5 Ensaios estáticos do modelo flexível

Os ensaios estáticos com aplicação de força pontual são efetuados e medidos por meio de um transdutor mecânico linear no modelo flexível para servir de parâmetro às medições que são realizadas sob a ação do vento. As medições também são efetuadas a partir das imagens obtidas por câmeras de vídeo para três posições diferentes, V1, V2, V3, indicadas na figura 13, e focos diferentes, foco 1 e foco 2, conforme as figuras 12 (a, b, c).

Figura 12 (a) - Vista V1 do

modelo flexível indeformado.

Figura 12 (b) - Vista V2 do


Figura 12 (c) - Vista V3 do


Figura 13 - Posições para a câmera relativas à seção do túnel.

Foco

Foco



142

3.6 Ensaios aeroelásticos do modelo flexível

Os ensaios aeroelásticos seguem o mesmo procedimento de filmagens do ensaio estático, sendo realizados no túnel de vento 8x4-ft, de seção 1220 x 2440 mm. As velocidades médias no túnel de vento, referidas a 510 mm de altura, são aumentadas gradualmente e o modelo é filmado para as velocidades de 1,8 m/s (6,5 km/h), 3,8 m/s (13,7 km/h), 5,6 m/s (20,2 km/h) e 6,93 m/s (25 km/h).

4 RESULTADOS

A abordagem definida na metodologia e nos procedimentos define os processos dos ensaios para as medições das características do escoamento de ar gerado no túnel de vento, das distribuições de pressões nos modelos rígidos e das configurações de deflexão e dos deslocamentos do modelo flexível. A finalidade é processar e analisar todos os dados obtidos em cada ensaio.

4.1 Perfis de velocidade e de intensidade de turbulência e escalas de turbulência

Os dados obtidos no túnel consistem em respostas elétricas do anemômetro de fio quente em volts, convertidas para velocidade em m/s, e normalizadas em relação à velocidade média igual a 14,43 m/s a 238 mm de altura (10 m em escala real). Os resultados são apresentados para a velocidade e a intensidade de turbulência calculadas para atenderem às normas ESDU (1995) e NBR 6123 (1990).

y = 65,68x2 - 81,09x + 24,61

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6Velocidade Normalizada

1,0 = 14,43 m/s

Altu

ra z

, m

NBR6123ESDU1/42Polinômio (1/42)

Figura 14 (a) - Perfis de velocidade normalizada e linha de tendência.

y = 2,6819x2 - 104,76x + 1034,5

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

10 15 20 25 30

Intensidade de Turbulência, %

Altu

ra, m

NBR6123

ESDU

1/42

Ref 1/42

Polinômio (Ref1/42)

Figura 14 (b) - Perfis da intensidade de

turbulência normalizada.

As escalas de turbulência são obtidas a partir da autocorrelação entre as componentes flutuantes em torno da velocidade média, para três faixas de velocidades: 1) baixa, U = 3,94 m/s, 2) média, U = 11,40 m/s, e 3) alta, U = 15,56 m/s. As velocidades de referência são medidas a 238 mm de altura. As figuras 14 (a, b) mostram os gráficos para as escalas temporal e espacial da turbulência.



143

0,0995

0,03660,0254

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

3,94 11,40 15,56

Velocidade, m/s

Tem

po, s

Figura 15 - Escalas temporais de

turbulência.

392417

396

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

3,94 11,40 15,56

Velocidade, m/s

Com

prim

ento

, mm

Figura 16 - Escalas espaciais de

turbulência.

4.2 Distribuições de pressões nos modelos rígidos

Os resultados são os coeficientes de pressões externas, calculados para os modelos 0,5 e 1,0, com a altura de referência igual a H para o cilindro e a H+b para a cobertura cônica, em que b=D/4, o modelo 0,5 - H=0,5D=345 mm, e o modelo 1,0 - H=D=510 mm. As pressões dinâmicas de referência para o cálculo dos coeficientes de pressão são 149 Pa a 345 mm, para o cilindro e 188 Pa a 517,5 mm, para a cobertura do modelo 0,5. Para o modelo 1,0 as pressões respectivas são 185 Pa - 510 mm, e 198 Pa - 637,5 mm.

4.2.1 Coeficientes de pressão para o modelo 0,5 Os coeficientes de pressão para o modelo 0,5 são apresentados para o modelo com a superfície lisa e com os elementos externos – colunas no cilindro e fios na cobertura. Nas figuras 20 e 21 estão apresentadas as isobáricas dos coeficientes de pressão, Cpe, para o modelo 0,5 com superfície lisa e com elementos externos, respectivamente.



144

4.2.2. Coeficientes de pressão para o modelo 1,0 Os coeficientes de pressão para o modelo 1,0 são apresentados para o modelo com a superfície lisa e com os elementos externos – colunas no cilindro e fios na cobertura.

Figura 17 - Cpe para o modelo 1,0 liso.

Figura 18 - Cpe no modelo 1,0 nervurado.

4.2.3. Coeficientes de arrasto e de sustentação para os modelos rígidos Conforme a literatura, a resistência de forma é praticamente igual à resistência global do corpo ao escoamento do ar. Deste modo, o cálculo dos coeficientes de arrasto, Ca, e de sustentação, Cs, é mais adequado pela integração dos coeficientes de pressão. O Ca é a resultante dos componentes de Cpe na direção do vento, vezes a área projetada do cilindro (HxD) ou da cobertura (Dxb/2). O Cs é a resultante dos componentes dos Cpe na direção perpendicular à do vento, vezes a área projetada da cobertura (πxD2/4). No cilindro o Cs é considerado nulo devido à simetria do escoamento.

A tabela 7 traz os valores de Ca com Uref à altura H, de Cs com Uref à altura H+b, e dos números de Reynolds. Os valores positivos de Ca indicam força de arrasto na direção do vento e Cs negativo indica força vertical com sentido para cima. Tabela 7 - Coeficientes de arrasto e de sustentação dos modelos.

Uref , m/s Modelo H/D Superfície Cil. Cob.

Ca, NBRCilindro

Ca Cilindro

Ca Cobertura

Cs Cobertura Re

0,5 Lisa 0,50 0,51 -0,021 -0,55 0,5 Elementos 15,58 17,50 0,70 0,61 0,033 -0,50 7,36x105

1,0 Lisa 0,50 0,45 -0,030 -0,74 1,0 Elementos 17,60 18,90 0,70 0,56 -0,019 -0,66 6,14x105



145

4.3. Configurações e medidas das deflexões no modelo flexível

O modelo flexível foi estudado em dois casos: o primeiro para as forças estáticas aplicadas ao cilindro e o segundo para as forças exercidas pelo vento gerado no túnel. A finalidade é coletar informações sobre as configurações e os valores de deslocamentos estáticos característicos, para servir de base na comparação da ordem de grandeza dos demais deslocamentos devidos à ação do vento.

4.3.1. Ensaios estáticos As configurações do corpo cilíndrico são mostradas no caso do ensaio estático,

para a aplicação das forças nos pontos θ = 0º, z = 255 mm e z = 380 mm, como mostrado nas figuras 19 (a) e (b). Os resultados correspondentes estão na tabela 8, em que as forças aplicadas e os deslocamentos radiais foram efetuados com um transdutor.

Figura 19 (a) - Modelo flexível com força

aplicada em z = 255 mm.

Figura 19 (b) - Modelo flexível com força

aplicada em z = 380 mm.

Tabela 8 - Valores médios dos deslocamentos radiais dos ensaios estáticos medidos com o transdutor.

Deslocamento radial, �mm Cota z mm

Força N Média Desvio padrão

0,49 3,4 0,15 0,98 5,1 0,07 255 1,37 6,2 0,18 0,49 3,9 0,13 0,98 5,4 0,22 380 1,37 6,6 0,21

Os deslocamentos por imagens foram calculados com o foco 1 a partir das três vistas 0V1, 0V2 e 0V3, como mostrado na figura 15. O procedimento para as medidas dos deslocamentos começa com a superposição da imagem digitalizada do modelo deformado sobre a imagem do modelo indeformado. Então, a imagem da camada superior (modelo deformado) é modificada e fica translúcida. A partir deste estágio, a imagem do modelo deformado tem a sua opacidade aumentada até um percentual, em torno de 35%, em que é possível ver as duas imagens, a do modelo em repouso e a do modelo deformado. Os valores dos deslocamentos estáticos obtidos por imagens são mostrados na tabela 9.

510

255

510

380



146

Tabela 9 - Valores obtidos por imagens dos deslocamentos radiais estáticos.

θ = 4,5º Cota z

mm Força

N Deslocamento radial,

δ mm

P3 255 1,37 6,3 P6 300 1,37 6,7

4.3.2 Ensaios aeroelásticos Os testes aeroelásticos foram gravados com a câmera em três posições diferentes para as velocidades em que é possível observar uma interação do modelo com o vento. As imagens foram digitalizadas com resolução de 2 pixels por mm, com um erro no deslocamento igual a 0,5 mm em cada imagem, a uma taxa de reprodução de 29,97 qps (quadros por segundo). A esta taxa, cada quadro ocupa 1/29,97 ≅ 0,033 s. A análise das imagens é feita quadro a quadro, o que significa que o erro de medida do tempo é dado por 0,0167 s,. Para as velocidades de 1,8 m/s até quase 5,6 m/s o modelo não apresenta uma resposta visível. A partir de 5,6 m/s ocorrem os primeiros movimentos da coluna 4 na região de mudança de pressões, aproximadamente a 35º da direção do vento. Na figura 23 são apresentados os tempos de duração das deflexões em função do tempo de teste do modelo. O tempo médio de duração é igual a 0,14 s e o desvio padrão é igual a 0,08. Foram contadas 66 deflexões, ou 1,2 deflexão/s. A figura 24 apresenta os tempos de intervalo entre duas deflexões consecutivas em função do tempo decorrido do teste do modelo sob a ação do vento. O intervalo médio entre deflexões é igual a 0,71 s e o desvio padrão é igual a 0,68 s.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0 4 8 12 17 21 25 29 33 37 41 46 50 54

Tempo, s

Dur

ação

, s

Figura 23 - Tempo de duração das

deflexões na coluna 4; velocidade 5,6 m/s.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0 4 8 12 15 19 23 27 31 35 38 42 46 50 54

Tempo, s

Inte

rval

o, s

Figura 24- Intervalo entre as deflexões na

coluna 4; velocidade 5,6 m/s.

O modelo foi testado gradualmente de 5,6 a 6,9 m/s, em que foram observados movimentos crescentes em número e intensidade na região a barlavento. Acima de 6,9 m/s os movimentos começaram a ficar muito pronunciados e, por isto, foi decidida a velocidade de 6,9 m/s como representativa, no sentido de prover informações sobre a máxima interação das forças do vento com o modelo.

35° 35°

4 4

35° 35°

4 4



147

Na figura 25 são apresentados os tempos de duração das deflexões em função do tempo de teste do modelo sob a ação do vento. O tempo médio é igual a 0,23 s e o desvio padrão é igual a 0,15. Foram contadas 108 deflexões, ou 2,15 deflexão/s. A figura 26 apresenta os tempos de intervalo entre duas deflexões consecutivas em função do tempo decorrido do teste do modelo sob a ação do vento. O intervalo médio entre deflexões é igual a 0,24 s e o desvio padrão é igual a 0,31 s.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0 4 9 13 18 22 26 31 35 40 44 48

Tempo, s

Dur

ação

, s

Figura 25 - Tempo de duração das

deflexões na coluna 1; velocidade 6,9 m/s.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

0 3 7 10 14 17 21 24 27 31 34 38 41 45 48

Tempo, s

Inte

rval

o, s

Figura 26 - Intervalo entre as deflexões na

coluna 1; velocidade 6,9 m/s.

As amplitudes dos deslocamentos foram medidas das imagens e os resultados estão na tabela 10, para os pontos definidos nas figuras 27, 28 e 29 (vide figuras 12, 13 e 14). Tabela 10 - Deslocamentos radiais típicos da casca cilíndrica na região 255 < z < 300 mm, -4,5º < θ < +4,5º, velocidade 6,9 m/s. Pontos 1 2 3 4 5 6 Deslocamento, mm 6,0 5,5 5,0 5,2 2,8 2,8

Figura 27 - Área em foco 1,

vista 1.


vista 2.


vista 3.

35° 35°

1 1

35° 35°

1 1

P4

P1 P3

P6

P2

P5 P4

P1 P3

P6

P2

P5 P4

P1 P3

P6

P2

P5



148

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Os valores dos Cpe foram comparados com aqueles selecionados na literatura e indicam boa conformidade em relação aos pontos de separação do escoamento do costado, que são de 38º para o modelo 0,5 e 35º para o modelo 1,0. Para a cobertura lisa há menos resultados na literatura, mas comprovam os valores e a distribuição dos Cpe obtidos neste trabalho.

Para os modelos com superfície cilíndrica nervurada não há muitos artigos e os que foram encontrados não são recentes, com cerca de 40 e até 70 anos. Isto significa que a simulação das condições do escoamento de ar gerado no túnel não foi realizada e descrita conforme os métodos atuais, e faltam com detalhes e parâmetros estatísticos. Mesmo assim, os valores dos Cpe não apresentam discrepâncias e a resposta geral e as mudanças dos coeficientes em decorrência das nervuras indicam um mesmo comportamento em relação aos resultados obtidos nos presentes ensaios. Deste modo, a contribuição é um conjunto de dados atualizados, com características de semelhança e simulação bem definidas, com repetições dos testes e aplicabilidade direta para os silos cilíndricos com coberturas cônicas. Para as coberturas dos modelos são obtidos resultados de pressão em superfícies lisas e com fios. A necessidade de dados para a superfície com fios é representar as dobras das chapas usadas em coberturas cônicas metálicas e seus efeitos nas distribuições de pressões.

No geral, os resultados para a cobertura lisa estão em conformidade com aqueles comparados na literatura, o que indica que o método utilizado é adequado.

Quanto à superfície cônica com fios, não havia resultados disponíveis para comparação. Os valores obtidos nos ensaios revelaram uma redução dos coeficientes de pressão na cobertura devida aos fios, o que é benéfico à estrutura.

Também foram detalhados os valores dos Cpe na junção do corpo cilíndrico à cobertura cônica. O efeito geral é uma redução significativa, em torno de 60%, destes coeficientes devido à colocação dos fios.

Os valores derivados dos Cpe, que são os coeficientes de arrasto e de sustentação, revelam que os valores da NBR 6123 (1990) são conservadores para os cilindros com nervuras externas, mas estão em conformidade para os cilindros lisos. Observa-se que o valor do Ca obtido por SABRANSKY & MELBOURNE (1987) para um cilindro liso de H/D = 0,66, Re = 1,5x105 e cobertura cônica é cerca de 36% menor que o valor 0,51 obtido para o modelo 0,5 liso. Contudo, a NBR 6123 (1990) fornece um Ca = 0,50 para um cilindro liso, Re ≥ 4,2x105 e H/D = 0,5. Portanto, o valor 0,51 está em conformidade com o valor definido na norma brasileira de ventos. Para o modelo 0,5 com nervuras, o valor do Ca da NBR 6123 (1990), para saliências 0,02D é 0,7, enquanto que o valor experimental obtido é igual a 0,61 para nervuras de saliências 0,01D para 0 ≤ z/H ≤ 0,35 e 0,006D para 0,35 ≤ z/H ≤ 1,0. Este valor 0,61 é justificado pelo fato que as relações 0,01D e 0,006D são menores que a definida pela norma. O modelo 1,0 liso apresenta um Ca = 0,45, próximo ao valor 0,5 da NBR 6123 (1990). É interessante que SABRANSKY & MELBOURNE (1987) para um silo de H/D = 1,16 e liso obtêm um Ca = 0,28, muito inferior aos sugeridos pela NBR 6123 (1990).

Para o modelo 1,0 com nervuras o Ca = 0,56 é inferior ao 0,7 fornecido pela norma brasileira. Contudo, este valor está próximo ao 0,61 obtido por PRIS (1960), para um cilindro de H/D = 1,3 sob um Re = 3,0x105. Ainda assim, o valor 0,56 é inferior ao da NBR, pois a relação das saliências é 0,014D para 0 ≤ z/H < 0,49 e 0,008D para 0,49 ≤ z/H ≤ 1,0. A NBR 6123 (1990) não dispõe dos valores dos Cpe e, conseqüentemente, dos coeficientes de sustentação Cs para as coberturas cônicas.



149

Os valores dos Cs para as coberturas cônicas encontrados na literatura são Cs = -0,90 e Ca = -0,13 de SABRANSKY & MELBOURNE (1987), para um modelo de H/D = 1,16 e cobertura cônica de 27º, de superfície lisa. Contudo, estes valores são maiores que Cs = -0,55 e Ca = -0,021 obtidos nos ensaios do modelo 1,0.

A aposição de fios nas coberturas dos modelos reduziu o Cs em 9% para o modelo 0,5 e em 11% para o modelo 1,0, e alterações pequenas nos valores dos Ca. O modelo flexível foi construído em poliéster e em polietileno com relação H/D=1,0 e superfície externa com nervuras.

Na literatura foram encontrados testes em modelos de alumínio em RESINGER & GREINER (1981), com superfície lisa, com o objetivo de serem medidas as pressões que provocam perda de estabilidade da casca cilíndrica. Com base nas constatações feitas para os modelos em alumínio e nos testes feitos com o modelo flexível, afirma-se que a configuração de deformação é de 2 semi-ondas para os silos metálicos de chapas corrugadas e colunas externas, mas sem anel de enrijecimento.

Noutro estudo de UEMATSU & UCHIYAMA (1985) foi utilizado um modelo cilíndrico de H/D=2,0 e cobertura plana, também em poliéster, mas com superfície lisa, para o estudo do comportamento dinâmico do cilindro relacionado às características dos campos de pressões. Com base nestes autores, os resultados que foram obtidos para o modelo 1,0 indicam que as primeiras deflexões em um silo cilíndrico de chapas metálicas corrugadas com colunas externas podem ocorrer a partir de Re = 2,0x105.

6 CONCLUSÕES

Na engenharia as estruturas dos silos são calculadas com a finalidade principal de suportarem as ações devidas aos produtos armazenados. A ação variável do vento é importante para o caso em que o silo é metálico e se encontra vazio e é necessário entender o seu comportamento para a verificação da estabilidade local e global do corpo cilíndrico. Os valores sugeridos pela NBR 6123 (1990) para os coeficientes de pressão no corpo do silo cilíndrico devem ser usados para um escoamento de ar acima da região crítica, ou seja, para número de Reynolds acima de 4,2x105, ou seja, para D.U > 6,14 m/s2, e com a pressão dinâmica q calculada à altura de referência igual a 10,0 m.

Mantendo-se estas mesmas condições da norma, é proposta uma altura de referência em H porque se reporta diretamente à geometria do silo, e o valor da pressão dinâmica do vento pode ser facilmente calculado para esta altura. Para os cilindros com relação H/D = 0,5 os valores dos Cpe da norma brasileira podem ser usados para a superfície lisa e, se usados para a superfície com elementos externos, ou saliências, os valores estão a favor da segurança. Para os cilindros com relação H/D = 1,0 os Cpe positivos obtidos no presente trabalho estão de acordo com aqueles fornecidos pela norma brasileira, mas são muito diferentes na região de pressões negativas, principalmente para o cilindro liso. Deste modo, são fornecidos na tabela 11 os valores dos Cpe para os cilindros de relação H/D = 0,5 e 1,0 para uma pressão dinâmica q calculada à altura de referência H, conforme o procedimento da NBR 6123 (1990). Na tabela 12 são apresentados os valores dos coeficientes de arrasto sugeridos para a relação de altura das nervuras próximas a 0,01.D e os valores da NBR 6123 (1990) para 0,02.D e 0,08D para os silos cilíndricos de relação H/D = 0,5 e 1,0 Os valores dos coeficientes de arrasto Ca sugeridos pela NBR 6123 (1990) são mantidos para os silos lisos, porque estão em conformidade com os resultados obtidos. Para os cilindros com colunas externas de relação para a altura da coluna próximas a 0,01.D, é sugerido o valor 0,6, inferior ao da NBR 6123 (1990), que adota



150

0,7 para a relação 0,02.D. Para relações próximas a 0,08.D, os valores da NBR 6123 (1990) são mantidos. Para relações intermediárias os coeficientes podem ser estimados por interpolação linear.

Tabela 11 - Distribuição Cpe para os silos cilíndricos de relação H/D = 0,5 e 1,0.

Coeficientes de pressão externa Cpe Pressão dinâmica q à altura H

Superfície Lisa Superfície com Colunasθ

0,5 1,0 0,5 1,0 0º

10º 20º 30º 35º 40º 50º 60º 70º 80º 90º

100º 110º 120º 140º 160º 180º

0,9 0,8 0,6 0,3

0,15 0

-0,4 -0,75 -1,00 -1,14 -1,14 -0,95 -0,39 -0,39 -0,39 -0,39 -0,39

0,85 0,8 0,5 0,2 0

-0,2 -0,6 -1,0 -1,3 -1,5 -1,5 -1,3 -1,0 -0,6 -0,5 -0,5 -0,5

0,80 0,75 0,6 0,4 0

-0,3 -0,5 -0,7 -0,8 -0,6 -0,6 -0,5 -0,5

-0,45 -0,4 -0,4 -0,4

0,85 0,7 0,5 0,2 0

-0,3 -0,65 -0,8 -0,9 -0,7 -0,6 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5

Tabela 12 - Valores dos Ca para silos cilíndricos com relação H/D = 0,5 e 1,0.

H/D Planta

Re x 105

0,5 1,0

Liso ≤ 3,5 ≥ 4,2

0,7 0,5

0,7 0,5

Com colunas de altura = 0,01D

Todos valores 0,6 0,6





A norma brasileira não apresenta valores para os coeficientes de pressão externa na cobertura cônica. Com base nos resultados obtidos são propostas as distribuições dos coeficientes de pressão externa em coberturas cônicas, que estão apresentadas nas figuras 30, 31, 32 e 33. Estas distribuições servem para o cálculo das forças localizadas nas coberturas cônicas lisas e nervuradas, com fios de altura 0,01.b.

Vento θ

D

H

D

b

Vento D



151

9 911

10

12

13

9 9

11

11

10

10

12

1111

12

10

11

10 10

119

1111

8

9

10

8 6 79

75442

Figura 30 - Cpe para cobertura cônica lisa com 27º em silos com H/D=0,5.

14

12

12

12

1212

1312

111074

13

11

10

98

12

1211

1010

12

9

11

10

9

9

9109 111111

11

99

109

10

11

9

1110

89 8

10

7

79 8

6

9

6

96 5

64

Figura 31 - Cpe para cobertura cônica nervurada com 27º em silos com H/D=0,5.

Figura 32 - Cpe para cobertura cônica lisa com 27º em silos com H/D=1,0.

Figura 33 - Cpe para cobertura cônica nervurada com 27º em silos com H/D=1,0.

Na tabela 13 são propostos os coeficientes de arrasto e de sustentação para a determinação das forças globais que atuam nas coberturas cônicas. Tabela 13 - Valores dos coeficientes de arrasto e de sustentação para as coberturas cônicas de inclinação 27º (b/D=1/4) com relação H/D = 0,5 e 1,0.

Superfície H/D Ca Cs Lisa 0,5 -0,02 -0,55

Nervurada 0,01.b 0,5 0,03 -0,5 Lisa 1,0 -0,03 -0,75

Nervurada 0,01.b 1,0 -0,02 -0,65

É vantajoso o posicionamento das colunas externamente, porque reduz pela metade as pressões nas laterais do corpo cilíndrico. Um ônus seria o acréscimo da força de arrasto, mas isto não aumenta a ancoragem do silo significativamente em relação ao benefício de se ter um alívio das pressões nas laterais do silo. Os testes no modelo flexível permitiram avaliar a formulação teórica para uma casca cilíndrica com colunas. O comportamento da casca somente com colunas foi

Nível Cpe 13 0 12 -0,2511 -0,5 10 -0,7 9 -1 8 -1,2 7 -1,4 6 -1,7 5 -1,9 4 -2,1 3 -2,4 2 -2,6 1 -2,85

Nível Cpe 12 -0,1 11 -0,3 10 -0,5 9 -0,7 8 -0,9 7 -1,1 6 -1,3 5 -1,5 4 -1,7 3 -1,9 2 -2,1 1 -2,3

Nível Cpe 14 -0,1 13 -0,4 12 -0,7 11 -1,0 10 -1,3 9 -1,6 8 -1,9 7 -2,2 6 -2,5 5 -2,8 4 -3,1 3 -3,5 2 -3,8 1 -4,1

12

9

8

10

99

109

76 33

10

8

6

44

9

97 11

7

8

Nível Cpe 12 0 11 -0,210 -0,4 9 -0,6 8 -0,8 7 -1,0 6 -1,15 5 -1,3 4 -1,5 3 -1,7 2 -1,9

1 -2,1



152

simulado no túnel de vento, mas as deflexões começaram a 5,6 m/s e, sem dúvida, para 6,9 m/s os deslocamentos extrapolaram a capacidade da estrutura. A conclusão é que o corpo do silo necessita de anéis de enrijecimento ao longo da altura.

Como uma sugestão preliminar para que a estrutura suporte maiores velocidades do vento, fundamentada nos estudos de BRIASSOULIS & PECKNOLD (1986) e na formulação teórica de BRUSH & ALMROTH (1975), sugere-se que sejam conectados anéis de seção tubular para enrijecer o costado do silo.

Supondo-se que o silo esteja com colunas externas, mas não seja enrijecido com anéis, estima-se que a perda de estabilidade ocorreria para uma pressão crítica igual a 375 N/m2, que, nas condições de terreno estabelecidas para os protótipos, equivale a Vo = 25 m/s. Rememorando-se que o modelo flexível desenvolve um comportamento de deflexões máximas à velocidade de 6,9 m/s, o que dá 14 m/s em escala real, ou 120 N/m2, considera-se que é preciso rever essa formulação. A título de entendimento do efeito das colunas, caso fosse considerado o cilindro somente com as chapas corrugadas, a pressão crítica seria igual a 314 N/m2. Caso as chapas não fossem corrugadas, a pressão crítica no cilindro seria 6,5 N/m2.

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