P2 - SME 306 - 03/12/2010 - Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.USP:. . . . . . . . . 1Importante: 2- Explique de maneira clara as solucoes, preferencialmente baseando-se no formulario. 3** Passe as questoes a limpo iniciando na folha de questoes. ** Total

Exerccio 1. Obtenha o polinomio aproximador de mnimos quadrados de grau 1 (reta) usando ospontos dados na tabela abaixo. Repita com grau 2; comente sobre o erro comparado com grau 1.

f (xi) 0;5 0;3 1;5xi 0 0;5 1

Exerccio 2. Seja a funcao f (x;y) = x2y2 sin(x)+ 1 no intervalo 2 x 2, 2 y 2, quedeve ser minimizada. Tomando o ponto (x;y)= (1;1) para iniciar, empregue 3 interacoes de metodode descida com direcao oposta ao gradiente e passo fixo a= 0:25 e, a partir do ponto obtido, usemais 2 interacoes do metodo de Newton.

Exerccio 3. Ao aproximar uma funcao f por mnimos quadrados contnuo no intervalo [1;1],obteve-se Pf (x) = 0;1f0 + 0;5f1 + 2f2 + 1;2f3. Para uma outra funcao g, temos Pg(x) = 1f0 +2f1 + 0;5f2. Encontre o polinomio que melhor aproxima h = f + 2g+ 5, de grau 2, na formaPh(x) = a0+a1x+a2x2 (isto e, encontre os valores de a0;a1;a2).

Z ba

f (x)dxn

i=0

ai f (xi) =hn+3 f (n+2)(x)

(n+2)!

Z n0t2(t1) (tn)dt; (n par) OU h

n+2 f (n+1)(x)(n+2)!

Z n0t(t1) (tn)dt;(n impar):

Z ba

f (x)dx=h3

"f (a)+2

n=21j=1

f (x2 j)+4n=2

j=1

f (x2 j1)+ f (b)

# ba

180h4 f (4)(); e(h) nhe= (ba)e

Z ba

f (x)dx=h2

"f (a)+2

n1j=1

f (x j)+ f (b)

# ba

12h2 f (2)();

Z ba

f (x)dx= 2hn=2

j=0

f (x2 j)+ba6

h2 f (2)()

Z ba f (x)dxSa;

a+b2

S

a+b2

;b 115

S(a;b)Sa; a+b2S

a+b2

;b

w0 = a; wi+1 = wi+hT (n)(ti;wi); T (n)(ti;wi) = f (ti;wi)+(h=2) f 0(ti;wi)+ +(hn1=n!) f (n1)(ti;wi);

jy00(t)j M; jy(ti) eij hM2L (eL(tia)1); w0 = a; wi+1 = wi+h f

ti+

h2;wi+

h2f (ti;wi)

;

w0 = a; wi+1 = wi+(h=2)[ f (ti;wi)+ f (ti;wi+h f (ti;wi))];

w0 = a; k1 = h f (ti;wi); k2 = h fti+

h2;wi+

12k1

; k3 = h f

ti+

h2;wi+

12k2

; k4 = h f (ti+1;wi+ k3)

wi+1 = wi+16(k1+2k2+2k3+ k4); hf;zi=

Z ba

w(x)f(x)z(x)dx

matriz Hilbert: H =

264hf0;f0i hf0;fni... ...hfn;f0i hfn;fni

375 ; 0= E(a) = 2Ha2b; b= [hf0; f i ... ...hfn; f i]0Aprox. discreta: hf;zi=

m

i=1

w(xi)f(xi)z(xi)dx

f0 = 1; f1 = xB1; Bk = hxfk1;fk1ihfk1;fk1i ; fk = (xBk)fk1Ckfk2; Ck =hxfk1;fk2ihfk2;fk2i

Legendre: f0 = 1; f1 = x; f2 = x2 (1=3); f3 = x3 (3=5)x; f4 = x4 (6=7)x2+(3=35); f5 = x5 (10=9)x3+(5=21)x:

Tchebychev: T0 = 1; T1 = x; Tn+1 = 2xTnTn1; xk = cos2k12n

p; max

x2[1;1]j f (x)P(x)j 1

2n(n+1)!max

x2[1;1]j f (n+1)(x)j

k

i=0

aiqki = pk; k = 0; : : : ;N: d = f (x); 2 f (xk)dk = f (xk):

ak = p1Z pp

f (x)cos(kx)dx; k = 0; : : : ;n; bk = p1Z pp

f (x)sin(kx)dx; k = 1; : : : ;n1: