Aviso

Este vıdeo e apenas um resumo de parte do conteudo da disciplina.

O material completo a ser estudado encontra-se no livro texto dadisciplina:

• Fundamentos de Calculo. SBM, em preparacao (ColecaoPROFMAT).• Geraldo Avila. Calculo das funcoes de uma variavel, vol. 1. SaoPaulo: LTC, 2003

Colaborou na elaboracao desse vıdeo o professor Carlos HumbertoSoares Junior.

PROFMAT - SBM Fundamentos do Calculo , Funcoes Lipschitzianas e Continuidade slide 1/8

Fundamentos do Calculo

Funcoes Lipschitzianas e Continuidade

Liane Mendes Feitosa Soares

PROFMAT - SBM

Definicao

Definicao

Uma funcao f : I −→ R e chamada de lipschitziana se existir umaconstante c > 0 tal que:

|f (x)− f (y)| ≤ c |x − y |, ∀x , y ∈ I .

PROFMAT - SBM Fundamentos do Calculo , Funcoes Lipschitzianas e Continuidade slide 3/8

Lema

Lema

Se f : I −→ R e uma funcao lipschitziana entao f e contınua.

demonstracao: Fixe x0 ∈ I e ε > 0. Queremos encontrar δ > 0 talque:

|x − x0| < δ =⇒ |f (x)− f (x0)| < ε.

Porem:

|f (x)− f (x0)| ≤ c |x − x0| < ε⇐⇒ |x − x0| <ε

c.

Tome δ ∈ (0, εc ].�

PROFMAT - SBM Fundamentos do Calculo , Funcoes Lipschitzianas e Continuidade slide 4/8

Exemplos

Exemplo

5) A funcao f (x) = |x | e contınua.

De fato:|f (x)− f (y)| = ||x | − |y || ≤ |x − y |

Portanto, f e lipschitziana e assim contınua.

PROFMAT - SBM Fundamentos do Calculo , Funcoes Lipschitzianas e Continuidade slide 5/8

Exemplos

Exemplo

6) Seja f : [0,+∞) −→ R, onde f (x) =√

x.

Seja ε > 0 dado. Se x0 = 0 entao|f (x)− f (x0)| =

√x < ε⇐⇒ x < ε2. Tome δ = ε2.

Se x0 > 0 e x > x04 entao

√x >

√x02 . Assim:

|f (x)− f (x0)| = |√

x −√

x0| =|x − x0|√x +√

x0<

2

3√

x0.|x − x0|.

Assim, f e Lipschitziana no intervalo[x02 ,+∞

)e, portanto,

contınua.

PROFMAT - SBM Fundamentos do Calculo , Funcoes Lipschitzianas e Continuidade slide 6/8

Lema

Lema

Para todo x ∈ R temos que |sen x | ≤ |x |

Demonstracao: Inicialmente mostraremos que sen x ≤ x , para0 ≤ x ≤ π

2 .Se x = 0 entao sen 0 = 0. Suponha 0 < x ≤ π

2 . Marque na figura

o arco anti-horario AP de comprimento `(AP) = x . Se Q e o pe

da perpendicular baixada de P a reta←→AA′ entao

sen x = PQ < `(AP) = x .Como sen(−x) = −sen x entao segue-se que |sen x | ≤ |x |, para|x | ≤ π

2 .Por outro lado, |sen x | ≤ 1 < π

2 =⇒ |sen x | ≤ |x |, para |x | > π2 e

daı para todo x ∈ R.

PROFMAT - SBM Fundamentos do Calculo , Funcoes Lipschitzianas e Continuidade slide 7/8

Lema

�

PROFMAT - SBM Fundamentos do Calculo , Funcoes Lipschitzianas e Continuidade slide 8/8

Exemplo

Exemplo

As funcoes seno e cosseno sao contınuas.

De fato:

|cos x−cos x0| = 2

∣∣∣∣sen

(x − y

2

)∣∣∣∣ . ∣∣∣∣sen

(x + y

2

)∣∣∣∣ ≤ 2|x + y |

2= |x+y |

O do seno ocorre de maneira analoga.

PROFMAT - SBM Fundamentos do Calculo , Funcoes Lipschitzianas e Continuidade slide 9/8