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Situações problema sobre máximo e mínimo

A teoria de máximos e mínimos permite resolver vários “problemas” concretos de Física, Geome-

tria, Estatística, etc., em que se procuram: o menor custo, a maior área, o maior volume,a máxima altu-

ra etc.

Para resolver esses “problemas” devemos proceder da seguinte forma:

1º) Transformar o problema numa função cujos máximos ou mínimos se procuram.

2º) Com os dados do problema,exprimir a função obtida numa só variável.

3º) Calcular os extremos relativos da função.

Vejamos alguns exemplos:

1º Exemplo: Determinar dois números de soma igual a 50,de modo que seu produto seja máximo.

Resolução: Chamando o produto dos dois números de P, temos:

De (1), vem:

x + y = 50 x = 50 y (3)

Substituindo (3) em (2), temos:

P = x.y P = (50 y).y

P = 50y

Cálculo dos extremos:

= 50 2y 0 = 50 2y

y = 25

Como y = 25 é um máximo relativo, vem:

x = 50 y x = 50 25

x = 25

Resposta: os números procurados são 25 e 25.

2º Exemplo: Um corpo lançado verticalmente,do solo para cima,tem posições no decorrer do tempo da

das pela função horária s = 40 (t em segundos e S em metros).

a) Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima?

b) Qual a altura máxima atingida?

Resolução: a) Cálculo da derivada primeira:

40 10t

Cálculo da raiz:

0 40 10 = 0 t = 4s

Estudo do sinal de (t):

S(4) = 40.4 . = 160 80 = 80 m

b) A altura máxima é igual a 80m.

Resposta: a) 4s; b) 80m

Y 0 25

+ 0 0

P

máximo

t 0 4 0

+ 0 0

S(t)

80

máximo

2

3º Exemplo: Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de máximo volume

possível, cortando um quadrado em cada canto, conforme a figura.

As dimensões da folha são 60cm e 40cm.

a) Calcular x.

b) Calcular o volume máximo da caixa.

Resolução: a) A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo de volume igual a:

V = abc V = 60(60 2x) x

V = 2400x 200 + 4

Cálculo de :

= 2400 400x + 12 = 0

Cálculo das raízes de :

= 0 2400 400x + 12 = 0

=

3 100x + 600 = 0

=

Estudo do sinal de

Logo, o lado do quadrado deve ser igual a:

x = = 7,8

b) Substituindo,temos:

V = 2400 400x + 12 V = 2400 7,8 200 + 4

V= 8 450,208c

Resposta:

a) 7,8cm

b) 8 450,208

x

v

máximo mínimo

x

x

x

x

x

x x

x

60cm

40cm

3

4º Exemplo: Determine dois números cuja soma seja 20 e cujo produto seja máximo.

Resolução

a)

Substituindo (I) em (II)

P = y ( ) P = + 20y

b) Cálculo de

= 2y + 20

Cálculo da raiz de

= 0 2y + 20 = 0 y = 10

Estudo do sinal de

y = 10 x = 10

P = x y P =100

Resposta: x = y = 10.

5º Exemplo: Ache dois números cujo produto é 25 e cuja soma seja mínima.

Resolução

a)

Substituindo (I) em (II) obtemos:

S = + y S =

b) Cálculo de

S = = = =

Cálculo das raízes de

= 0 = 0

= 0 = 0 y = 5

Estudo do sinal de

y = 5 x = 5

S = 10

Resposta: x = y = 5

y 10

P

100

máximo

y 5

S

4

6º Exemplo: Ache dois números de diferença igual a 20, de modo que seu produto seja mínimo.

Resolução

a)

Substituindo (I) em (II) obtemos: P = y P = +20y

b) Cálculo de

= 2y +20

Cálculo da raiz de

= 0 2y +20 = 0 y = 10

Estudo do sinal de

y = e P = x y P =100

Resposta: x = 10 e y =

6º Exemplo:Ache o número cuja diferença entre ele próprio e o seu quadrado é máxima.

Resolução

a) D = x

b) Cálculo de

D = x = 1 2x

Cálculo da raiz de

= 0 1 2x = 0 x =

Estudo do sinal de

Resposta: x =

7º Exemplo: Um ponto material é laçado do solo,verticalmente para cima e tem posição S no decorrer

do tempo t das pela função horária S = 60t 5 (S em metros e t em segundos)

a) Calcule o tempo gasto para atingir a altura máxima.

b) Determine a altura máxima em relação ao solo.

Resolução

a) Cálculo de

S = 60t 5 = 60 10t

Cálculo da raiz de

= 0 60 10t = 0 t = 6

y

P

mínimo

x

D

máximo

5

Estudo do sinal de

c) Cálculo da altura em relação ao solo:

S = 60t 5

t = 6 S = 60(6) 5 S = 360 180 S = 180m

Resposta: a) Tempo necessário atingir a altura máxima: t = 6s

b) Altura máxima em relação ao solo: S = 180 m.

8º Exemplo: Considere todos os retângulos de 80 cm de perímetro.Determine as dimensões daquele

que tem área máxima.

Resolução

a)

Substituindo (I) em (II) obtemos: S = y S = + 80y

b) Cálculo de

= 2y + 40

Cálculo da raiz de

= 0 2y + 40 = 0 y =

Estudo do sinal de

Resposta: y = 20cm x = ( são as dimensões)

S = x.y S = 20.20 = 400

9º Exemplo: Determine as dimensões do retângulo de menor perímetro e de área igual a 100 .

Resolução

a)

Substituindo (I) em (II) obtemos:

P = + y P =

b) Cálculo de

P = = = =

Cálculo das raízes de

= 0 = 0 = 0 y = 10

t

S

máximo

y

S

máximo

6

Estudo do sinal de

y = 10 = x = 10

Resposta: x = y = 10m

10º Exemplo: (FEI) Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se

de uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro

como fundo do galinheiro,determine as dimensões do mesmo para que sua área seja máx

ma. muro

Resolução

a)

Substituindo (I) em (II) obtemos:

S = x( ) S = b) Cálculo de

S = = +16

Cálculo da raiz de

= 0 2x + 16 = 0 x =

Estudo do sinal de

Resposta x = 4 y = 16 2.4 y = 8.

S = x.y S = 32

11º Exemplo:Determine as dimensões do triângulo isósceles de área máxima e perímetro igual a 60cm.

Resolução a)

Cálculo do h: = = =

= = = = 60x

= ou

Substituindo (I) em (II)

y 10

P

x

S

máximo

x x

y

x x

y

h

7

b) Cálculo de

=

= = =

=

Cálculo da raiz de

= 0 = 0 = 0 x = 20

Estudo do sinal de

x = 20 y = 60 y = 20

S = = = 100

Resposta: x = y = 20cm

11º Exemplo: Um fazendeiro deseja construir um depósito em forma de prisma reto de base quadrada,

aberto em cima e com capacidade de 64c .Determine as dimensões a e b de modo que

o material necessário para construí-lo seja mínimo.

Resolução a) V = b = b = (I)

S = + 4ab (II)

Substituindo (I) em (II) obtemos:

S = + 4.a. S = + S =

b) Cálculo de

S = = = =

Raiz de

= 0 = 0 = 0 a = 4

Cálculo de b

b = b = = = = 2

Resposta: a = 4 e b = 2

11º Exemplo: Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capaci-

dade de 6 280 . Sabendo que o preço da chapa de aço é de R$ 50,00 o metro quadrado

e = 3,14, determine:

a) suas dimensões de forma que o custo seja mínimo.

x

S

máximo

a a

b

8

b) o custo mínimo.

Resolução a)

V = h = 6280 = 2000 h = (I)

S = 2 + 2 (II) Substituindo (I) em (II) obtemos:

S = + 2 S = 2 + 2 S = ( + )

b) Cálculo de

S = = 2 =2

Raiz de

= 0 = 0 = 10

r = 10 h = h = = 20

Respostas: a) r = 10m e h = 20m

b) o custo: 2 + 2 = 2 (10.20 + 100) = 300

600 = 94 200,00

12º Exemplo: Considere o quadrado ABCD de lado igual a 8cm, indicado na figura.

Sabendo que x, pode-se:

a) a área S da parte hachurada, em função de x;

b) o valor de x de modo que a área hachurada seja máxima

Resolução: a) No AEH a base AE = 8 - x e a altura é x.

A área desse triângulo é dada por :

S = = . A área procurada é a área dos

triângulos: AEH, EBF, FCG e GDH.

4. 4. 2 +16x

b) S = +16x

Cálculo de

S = +16x =

Cálculo da raiz de

= 0 x = 4

Estudo do sinal de

Resposta: a) S = +16x

b) x = 4 cm

13º Exemplo: (PUC) Calcule os valores de a e b de modo que a função = 2 + a + b tenha um

ponto de máximo relativo no ponto

Resolução: a) Cálculo de

x

S

máximo

r

h

A E B

F

C G D

H

9

= 2 + a + b + 2ax

b) Cálculo do a

= 0 +2a = 0 6 2a = 0 a = 3 ( -1 é a abscissa do ponto de

máximo).

c) Cálculo do b

= 2 + a + b 2 + 3 + b = 2 + b = 2 b = 1

Resposta: a = 3 e b =1.

14º Exemplo: Calcule as dimensões do retângulo de área máxima inscrito em uma circunferência de

40m de diâmetro.

Resolução: a)

Substituindo (II) em (I), obtemos:

S = b.( ) = b.

Como r = 20cm , podemos escrever:

S = b.( ) = b.

b) Cálculo de

S = b. = .2b.b.

= + = =

Cálculo das raízes de

= 0 = 0 b = ( 20 não convém)

Estudo do sinal de

b = a = a = a =

S = a.b = = 800

15º Exemplo: (Mauá-SP) O triângulo ABC é retângulo em C e seus catetos medem a e b.Determine x

= CM de modo que o retângulo CMNP ,inscrito nesse triângulo,tenha área máxima.

Resolução a) Cálculo do y em função do x e de a e b.

Os triângulos e ABC são semelhantes , então

= by = ab y = (I)

Á área do retângulo CMNP é S = x.y (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos:

S = x. S = S = ( bx - )

b 20

S

a

b 2r

C

P

x y

B

A M

N

b

a

10

c) Cálculo de

S = ( bx - ) =

Raiz de

= 0 b 2x = 0 x =

Estudo do sinal S’

Resposta x =

16º Exemplo: Considere todos os triângulos isósceles cujos lados iguais medem 12cm. Qual é o que

tem área máxima?

Resolução a) Cálculo do h

= = 144 h =

h = (I)

S = (II)

Substituindo (I) em (I)), obtemos: S = S =

b) Cálculo de

S = =

= = =

Cálculo das raízes de

= 0 = 0 = 288 = 12

Estudo sinal de

Resposta:12cm,12cm 12 cm

Área: S = =72c

17º Exemplo:(FEI-SP) Dado o retângulo abaixo,de perímetro 16cm,calcule a e b, para que a área do tri

ângulo ABC seja máxima.

Resolução a)

S = (II)

Substituindo (I) em (II) obtemos:

S = S =

x

S

máximo

12

S

h

12cm 12cm

/2

C

A

B

a

b

11

b) Cálculo de

S = ( )

Raiz de S

= 0 b = 4 Substituindo b = 4, em a + b = 8,temos: a = 8 4

a = 4.

Estudo do sinal de

Resposta: a = b = 4cm

Área: S = = 8c

17º Exemplo: A distância que alcança um projétil lançado obliquamente no vácuo, com velocidade ,

formando um ângulo com a horizontal, é determinado pela fórmula x = .

g = aceleração da gravidade

a) Qual o ângulo com o qual o alcance será máximo?

b) Qual o alcance máximo?

alcance

Resolução

a) Cálculo da derivada de x

x = sen

Fazendo: u( ) = ( ) = 2

(u) = sen = cos , então = 2cos

Raiz de

= 0 2cos = 0 cos = 0 =

= =

Estudo do sinal de

Resposta

a)

b) x = x = x = x = x =

18º Exemplo: Um fazendeiro deseja cercar com tela uma área retangular de 500 . Sabendo que o

metro linear de tela custa R$ 12,00, calcule o custo mínimo para cercar essa área.

Resolução

a)

x y = 500 x = (II)

b 4

S

máximo

0

x

máximo

x

y

x

x

y y

12

Substituindo (II) em (I) obtemos:

P = 2. + 2y P =

Cálculo de

P = = =

Cálculo das raízes de

= 0 = 0 = 0 = 500 y = 10 ( )

y = 10 x = = = = 10

Estudo do sinal de

2x + 2y = 2.10 +2.10 = 40 = 40 2,24 = 89,6.

Resposta: R$ 89,6 12,00 = 1 075,200

19º Exemplo: Com uma corda de 90 m de comprimento se deseja cercar dois jardins: um quadrado e

outro circular.Determine o comprimento de cada pedaço para que a soma das superfíci-

es seja mínima.

Resolução a)

Substituindo (I) em ( )

S = S = +

Cálculo de

S = =

Cálculo da raiz de

= 0 r =

r = = = =

Estudo do sinal de

Resposta 4 = 4 4 = m (2º pedaço) e = = m (2º pedaço)

20º Exemplo: A janela de uma casa tem a forma da figura a seguir: um retângulo sobreposto por um

y 10

P

0

S

mínimo

13

semicírculo.Sabendo que o perímetro da janela é de 714cm,calcule as dimensões x e y

que permitem uma maior entrada de luz. Adote = 3,14.

Resolução a) 2x + 2y + =714 y = (I)

S = 2xy + (II)

Substituindo (I)em (II), obtemos

S = 2x + S = 714x 2 +

b) Cálculo de

S = 714x 2 + 714 4x x + x

= 714 4x x

Cálculo da raiz de

= 0 714 4x x = 0 4x = 714 x 4x + x = 714 x = , como

3,14, temos x = = x = 100

x = 100 = 100

Resposta x = y = 100cm

21º Exemplo: Dois muros de uma casa formam um ângulo de 90º.

Determine em que posição deverá ser colocada uma viga AB,

de 10 m de comprimento para isolar maior área de terreno

possível.

Resolução a) = 100 = 100 a = ou a = (I)

S = (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos

S =

b) Cálculo de

S = =

Raízes de

= 0 = 0 = 0 b =

b = a = a = a =

Estudo sinal se

b

S 0 + 0

x x

y

A

B C

10m

•

a

b

14

Resposta x = y = 100cm

22º Exemplo: Um jardineiro deseja construir um jardim em forma de setor circular com um perime-

metro de 40 cm conforme indica a figura.

Resolução a) P = 2 + 2 + = 40 = 40 2R (I)

S = (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos

S =

b) Cálculo de

S = = = 20 2R

Cálculo da raiz de

= 0 20 2R = 0 R = 10

R = 10 = 40 20 = 20

Estudo do sinal de

c) Cálculo de

2 = = .

= = =2

Respostas a) R = 10 cm b) =2rad.

23º Exemplo: Ache o triângulo isósceles de 40 cm de perímetro que, ao girar em torno de sua altura,

produz um cone de volume máximo.

Resolução a) 2x + 2R = 40 x + R = 20 x = 20

= = = 400 - 40R

V = V =

b) Cálculo de

V = =

mínimo máximo

R 10

0

S

máximo

R

R

h

2R

15

=

=

= =

Raízes de

= 0 = 0 R = 0 (não satisfaz) ou R = 8

R = 8 x = 20 8 x =12

Resposta: 12cm, 12cm e 16cm.

23º Exemplo: Um comerciante percebeu que, a R$ 50,00 a unidade,vende 200 peças por. Notou, tam-

bem, que aumentando um real no preço da unidade vende 2 peças a menos por dia. Sa-

bendo que o custo por unidade é de R$ 40,00,determine:

a) o preço de venda máximo de cada de cada peça;

b) o lucro total do comerciante e o número de peças vendidas nas condições do item a.

Resolução a) Fazendo n = número de peças vendidas por dia;

p = preço de venda;

o lucro diário é dado por

L = n ( p 40) (I)

Mas, a R$ 50,00 se vendem 200 peças por dia, e por cada real a mais deixa-se

de vender duas peças por dia. Logo:

n = 200 2(p (II)

Substituindo (II) em (I), temos:

L = L= +380p

Cálculo de

L= +380p = p + 380

Raiz de

= 0 p + 380 = 0 p = 95. ( R$ 95,00)

Estudo do sinal de

Logo,o preço de venda máximo é de R$ 95,00.

c) n = 200 200 2 n = 110

L= +380p 2 + 380 95 12.000 L = 6.050

Logo, o lucro é R$ 6 050,00

Resposta: a) R$ 95,00 b) R$ 6 050,00 e 110 peças.

24º Exemplo: Uma pessoa deseja construir uma piscina de forma circular e com volume 64 . Sabendo que

preço por de azulejo é de R$ 100,00, calcule o custo mínimo de azulejo para a construção

P 95

0

L

máximo

16

dessa piscina. Adote = 3,14.

Resolução a) V = = 64 = 64 h = (I)

S = 2 + (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos:

S = 2 + S = 2 + S =

b) Cálculo de

S = s = = =

Raízes de

= 0 = 0 = 0 = 64 r = 4m

r = 4 h = = = h = 4m

Estudo do sinal de

Cálculo da área da piscina:

S = + S = + S = 48

Cálculo do custo mínimo:

C = 48 100,00 C = R$ 15 072,00

25º Exemplo: Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona de forma circular de 3m de raio.

Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de

forma cônica. Determine r e h de modo que o volume da ten-

da seja máximo.

Resolução a) V = (I)

+ = 9 = 9 (II

Substituindo (II) em (I),temos

V = V = h

Cálculo de

V = h = =

Raízes de

= 0 = 0 = 0

Estudo do sinal de

r 4 0

s

mínimo

r

h

3m r

h

17

O volume é máximo para h = m, logo: = 9 = 9 3 r = m

Resposta: r = m e h = m

h

v’

v

mínimo máximo