Vibraes Mecnicas

Sistemas Contnuos

DEMEC UFPERamiro Willmersdorf

ramiro@willmersdor.net

Sistemas Contnuos

Sistemas contnuos ou distribudos Equaes diferenciais parciais; Cabos, cordas, vigas, etc.; Membranas, placas, etc; Processo de anlise:

DCL de elemento infinitesimal; Equaes de equilbrio dinmico; Solues Harmnicas; Condies de contorno;

Sistemas Contnuos

Caractersticas: Infinitas frequncias naturais; Infinitos modos normais; Vibrao livre: superposio dos modos normais;

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Vibrao lateral de um cabo tenso

Sistemas Contnuos

Equao de movimento

Sistemas Contnuos

Para um elemento infinitesimal:

Sistemas ContnuosIntroduzindo na eq. de equilbrio

Para um cabo uniforme, com tenso constante

Sistemas ContnuosPara vibrao livre

Ou, na forma da Equao de Onda

Sistemas Contnuos

Condies Iniciais e de Contorno Posio conhecida no tempo 0; Velocidade conhecida no tempo 0; Extremidades fixas ao longo de todo o tempo;

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Condies Contorno Alternativa: Extremidades Pinadas; No suportam esforos transversais;

Sistemas Contnuos

Condies Contorno Alternativa: Extremidade com apoio elstico;

Sistemas Contnuos

Equao diferencial linear parcial, em x e t; Soluo pelo mtodo da separao de variveis; A soluo um produto de funes de x apenas e t

apenas;

Sistemas Contnuos

Introduzindo na equao de onda;

Sistemas Contnuos

Fazendo

Sistemas Contnuos

As solues das equaes so

Sistemas Contnuos

Para o cabo fixo em ambas as extremidades:

O que leva a:

e A=0 e B sin lc=0

W (0)=0 e W (l)=0

Para uma soluo no trivial sin

lc=0

Sistemas Contnuos

Equao de frequncias ou caracterstica

: autovalores ou frequncias naturais

Sistemas Contnuos

A soluo completa para uma frequncia especfica

wn (x ,t ):ensimo modo normalensimo hamnicoensimo modo de vibrao

Cn e Dn :constantes a serem determinadas

W n(x): ensimo modo normal

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n=n c

l: frequncia circular do ensimo modo

1: frequncia fundamental

1=21 =

2 lc

: perodo fundamental

Sistemas Contnuos

Os pontos para os quais

wn (x , t )=0, t0

so ns da corda.

Sistemas Contnuos

A soluo geral dada pela superposio de todos os modos normais:

Sistemas Contnuos

Para um determinado conjunto de condies iniciais:

Sistemas Contnuos

Calculando as constantes:

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Exemplo

Com velocidade inicial nula.

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Obviamente:

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A condio inicial :

Sistemas Contnuos

Calculando os coeficientes de Fourier

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Sabendo que

A soluo fica

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Vibrao Longitudinal de Uma Barra

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Foras que agem em uma seo

Sistemas Contnuos

Equlbrio de Foras para um elemento

Sistemas Contnuos

Para uma barra uniforme

No caso de vibrao livre

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Esta equao uma equao de onda, completamente anloga quela da corda em vibrao lateral.

A soluo dada por

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A funo U(x) depende de x apenas, e um modo normal, e T(t) depende apenas de t.

Condies Iniciais

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Condies de contorno usuais e solues

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Exemplo: CC no usuais

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Na extremidade esquerda

Na extremidade direita

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Os modos normais para a barra em vibrao longitudinal satisfazem

Isto conhecido como a ortogonalidade dos modos normais.

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Verificao

Introduzindo na eq. de onda

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Multiplicando cada equao pela outro modo

Subtraindo e integrando de 0 a l

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O lado direito desta equao 0 para qualquer combinao de condies de contorno!Por exemplo, para uma barra fixa livre

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Exemplo: Barra fixalivre em vibrao longitudinal

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As frequncias naturais so dadas por

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Soluo geral

Sistemas Contnuos

Exemplo: Barra com massa concentrada

Condio de contorno fcil

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Na outra extremidade, equilbrio de foras na massa

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A eq. caracterstica uma equao transcedental que no tem solues analticas;

Para cada razo de massas, a equao tem infinitas solues (frequncias naturais) e os correspondentes modos normais;

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Vibrao em Toro de Eixo ou rvore

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O momento de toro em uma seo

O torque de inrcia no elemento infinitesimal

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Segunda lei de Newton

Novamente

dM t=M t x dx

O que leva a

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Para um eixo uniforme

Para vibrao livre

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Se o eixo tem seo transversal uniforme

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Condies Iniciais

Soluo Geral

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Condies de contorno usuais e solues

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Exemplo

Considerar a extremidade esquerda fixa

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Soluo geral

CC: (0, t)=0 A=0

Para x=l

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Vibrao Transversal de Vigas

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Considerando teoria clssica de vigas esbeltas!

V (x , t): esforo cisalhanteM (x , t ): momento fletor

f (x , t) : fora externa por unidade de comprimento

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Fora de inrcia no elemento de viga

Equilbrio de foras na direo vertical

Equilbrio de momentos em relao o O

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Como sempre

As equaes de movimento tornam-se

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Introduzindo a segunda eq. na primeira

Da teoria de Euler-Bernoulli

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Para uma viga no uniforme ento

Se a viga uniforme

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Para vibrao livre

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2 ordem no tempo: 2 condies iniciais; 4 ordem no espao: 4 condies de contorno; Soluo por separao de variveis;

Condies iniciais:

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Separao de variveis

Substituindo na eq. de movimento

O que leva a

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A soluo geral da equao temporal

Para a eq. do espao, supomos

o que leva a

com razes

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A soluo geral ento

Alternativamente

ou

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As constantes devem ser determinadas a partir das condies de contorno!

As frequncias naturais saem de

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Condies de contorno usuais

Extremidade livre: momento e cortante nulos

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Extremidade pivotada: deslocamento e momento nulos

Extremidade engastada: deslocamento e rotao nulos

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Exemplo: Viga fixa e simplesmente apoiada

Condies de Contorno

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Da primeira condio

Da segunda condio

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A soluo torna-se

Com as demais condies

Sistemas Contnuos

Para uma soluo no trivial

Ou

Ou

As razes desta equao so calculadas numericamente!

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Cujas solues so

Da primeira equao de movimento

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Os modos normais de vibrao so

A soluo fica ento (para uma frequncia)

A soluo geral ento

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