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CENTRO UNIVERSITÁRIO BARÃO DE MAUÁ

FACULDADE DE ARQUITETURA E URBANISMO

SISTEMAS ESTRUTURAIS I PARA ARQUITETURA

Prof. M. Sc. Eng. Civil

Antônio Mário Ferreira

BRODOWSKI, 2010

PROGRAMA

MATÉRIA PERÍODO 1. Definição dos elementos estruturais 1.1. Posicionamento dos elementos estruturais

26/02

2. Estática – Princípio básico da arquitetura 3. Influência da técnica na expressão arquitetônica

05/03

4. Carregamentos 4.1. Tipos de carregamentos

12/03

5. Classificação dos carregamentos permanentes 5.1. Peso próprio

19/03

5.2. Alvenaria 5.3. Revestimentos 5.4. Cobertura

26/03

5.5. Estrutura sobre estrutura 6. Classificação dos carregamentos acidentais 6.1. Vento

09/04

6.2. Empuxo 6.3. Frenagem 6.4. Sobrecargas

16/04

6.5. Terremoto, Neve 6.6. Cargas móveis

23/04

6.7. Exemplos de carregamentos 7. Os esforços relacionados às leis de Newton

30/04

7.1. Leis de Newton 7.2. Esforços

07/04

8. Momento 9. Equilíbrio de forças paralelas

14/04

10. Reações de apoio 10.1. Tipos de apoios e reações

21/04

10.2. Tipos de estruturas 10.3. Exemplos

28/04

11. Cálculo das reações de apoio 06/08 11.1. Exemplo de cálculo das reações de apoio em vigas 13/08 12. Distribuição de forças nos elementos estruturais 20/08 12.1. Transmissão de cargas 13. Introdução ao elemento estrutural

27/08

13.1. Vigas 03/09 13.2. Tensão para qualquer elemento estrutural 13.3. Verificação da estabilidade para qualquer elemento estrutural

10/09

13.3. tensões em vigas 17/09 14. Tensão de flexão 24/09 14.1. Vigas hipostáticas 14.2. Vigas isostáticas

01/10

14.3. Vigas hiperestáticas 08/10 14.4. Esforço interno aplicado (momento fletor) 22/10 14.5. Momento fletor para vigas isostáticas 29/10 15. Tensão de flexão pura 16. Tensão de flexão (diagrama de tensões resultantes)

05/12

16.1. Linha neutra 12/12 16.2. Verificação da estabilidade 16.3. tensão máxima de flexão

19/12

17. tensão de cisalhamento 26/12 Avaliações: Serão realizadas duas provas por semestre mais um trabalho que comporão a média final sendo a P1 a ser marcada no decorrer do semestre e a P2 conforme calendário escolar, com média final conforme a seguir: MF=0.3.P1 + 0.3.P2 + 0.4.T onde: MF = Média final P1 = Nota da primeira prova P2 = Nota da segunda prova T = Nota de trabalho

Professor M. Sc. Eng. Civil: Antônio Mário Ferreira

Bibliografia:

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de

concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2003 (NBR 6118:2003).

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Execução de estruturas

de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003 (NBR-14931/2003).

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS . Cargas para o cálculo de

estruturas de edificações. Rio de Janeiro, RJ, 1980. (NBR-6120/80)

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas

Estruturas. Rio de Janeiro, 2003 (NBR-8681/2003).

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e Execução de de

Estruturas de concreto Pré-moldado . Rio de Janeiro,RJ, 1985. (NBR-9062).

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Laje pré-fabricada –

Requisitos - Parte 1: Lajes unidirecionais. Rio de Janeiro, RJ, 2002. (NBR 14859-1)

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Laje pré-fabricada –

Requisitos - Parte 2: Lajes bidirecionais (NBR 14859-2). Rio de Janeiro, RJ, 2002.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Laje pré-fabricada – Pré-

laje - Requisitos Parte 1: Lajes bidirecionais. Rio de Janeiro, RJ, 2002. (NBR 14860-

1).

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Laje pré-fabricada – Pré-

laje - Requisitos Parte 2: Lajes bidirecionais. Rio de Janeiro, RJ, 2002. (NBR 14860-

2).

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – Projeto de Estruturas

de Madeira, NBR 7190:1996, 1997.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – Projeto e Execução de

Estruturas de Aço de Edifícios,NBR 8800:1986 , 1986.

AÇOMINAS – GRUPO SIDERBRÁS. Princípios de projeto de estruturas de aço

para estudantes de Arquitetura, Belo Horizonte, 1989.

AÇOMINAS – GRUPO SIDERBRÁS. Edifícios de andares múltiplos, Belo

Horizonte, 1979.

AÇOMINAS – GRUPO SIDERBRÁS. Galpões em estrutura metálica, Belo

Horizonte, 1980.

BARBATO, R. L. A. Esforços solicitantes - Estruturas planas (notas de aula).

UFSCAR, São Carlos, 1993.

GONÇALVES, R. M. et al. Ação do vento nas edificações. EESC/USP, São Carlos,

1994.

LIMA, F. B. & BARBIRATO J. C. C. Sistemas estruturais: Módulo II - Sistemas

estruturais em concreto (notas de aulas), EES/CTEC/UFAL, Maceió, 1993.

MALITE, M. et al. Sistemas estruturais: Elementos estruturais. EESC/USP, São

Carlos, 1994.

MOLITERNO, A. Caderno de projetos de telhados em estruturas de madeira,

Editora Edgard Blücher LTDA, São Paulo, 1981.

ROSENTHAL, H. W. La estructura. Editorial Blume, Espanha, 1975.

SALVADORI, M. & HELLER, R. Structure in Architecture. Prentice-Hall, New

Jersey, 1963.

SÁLES, J. J. et al. Sistemas Estruturais: Segurança nas estruturas. EESC/USP, São

Carlos, 1993.

Sites acessados no mês de maio de 2009:

www.lami.pucpr.br/cursos/estruturas

www.ctec.ufal.br/ees/jccb/sistemas.htm

www.fau.ufrj.br/apostilas/mse/aDisciplina.htm

www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm/sistestrut1-052

vsites.unb.br/fau/planodecurso/graduacao/12009/concreto.doc

estruturasarquitetonicas.blogspot.com

www.ycon.com.br/cod_28_master.htm

jacotei.com.br/isostatica-passo-a-passo-sistemas-estruturais

SISTEMAS ESTRUTURAIS I

Prof. : Antônio Mário Ferreira M. Sc. Eng. Civil

1

Definição dos Elementos Estruturais

A Engenharia e a Arquitetura não devem ser vistas como duas profissões distintas, separadas, independentes uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa única.

Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) deve ter presente em sua concepção tanto uma visão Técnica (Engenharia) como também uma Expressão Arquitetônica (Arquitetura).

Laje: estruturas laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e a terceira acentuadamente de menor dimensão.

As lajes em um Sistema Estrutural estão, na maioria das vezes, apoiadas em vigas, podendo também, em certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre pilares.

Viga: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante em relação às outras duas.



2

As vigas em um Sistema Estrutural podem estar apoiadas diretamente sobre os pilares como também sobre outras vigas.

Pilar: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante às outras duas.

Os pilares em um Sistema Estrutural estão apoiados nas fundações.

Fundação: estrutura tridimensionalmente monolítica, onde as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.

As fundações em um Sistema Estrutural estão apoiadas em estacas ou diretamente sobre o terreno.



3

1. Posicionamento dos Elementos Estruturais

O posicionamento dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) é

dado em função de cada projeto, em consonância com os demais projetos componentes

de uma edificação, como por exemplo: projeto arquitetônico, projeto hidráulico, projeto

elétrico etc. Na tabela 1.1 é apresentado várias considerações na concepção estrutural.

Você gostaria de ter que se abaixar todas as vezes

que desce uma escada para não correr o risco de fazer

um “galo” na cabeça batendo-a em uma viga que

cruza esta escada?

Você gostaria de estar sentado na platéia de um teatro

em uma poltrona que fica bem atrás de um pilar?

Seria interessante uma tubulação horizontal ter que

desviar das vigas em cada piso de um edifício?

Curiosidade

Qual seria o limite de altura para edifícios em:

Alvenaria: chega-se até (acreditem !!!!) 20

pavimentos mas com uma limitação, a espessura das

paredes no pavimento térreo que podem chegar até

1,50 metros.



4

Concreto armado: chega-se até 60 pavimentos com

a limitação nas dimensões e na quantidade de pilares

no pavimento térreo.

Aço: chega-se até 190 pavimentos com limitações

quanto à necessidade de travamento e também,

dependendo da eficiência do travamento, limitações

devido à possíveis oscilações que possam ocorrer

devido ao vento (podendo chegar até 40 cm no topo

de um edifício para ventos muito fortes).

Tabela 1.1 Estruturas em serviço

1.1. Observações

Para se entender bem a estreita ligação entre Engenharia e Arquitetura, deve-se

estar atento para o fato de que novos Sistemas Estruturais oferecem a possibilidade de

criação de novas Expressões Arquitetônicas que, por sua vez, exigem novos Sistemas

Estruturais, formando um círculo interminável que vem permitindo a evolução tanto da

Engenharia como também da Arquitetura através dos tempos.

Teatro Villa-Lobos - São Paulo

Figura 1.1. Sistemas estruturais engastadas



5

1.2. Conclusão

Para se compreender melhor a parte TÉCNICA de uma obra, é necessário o

conhecimento de alguns pontos, como por exemplo: quais os tipos de carregamento que

atuam em uma edificação, quais os esforços que surgem nos elementos estruturais

provenientes destes carregamentos, quais as tensões que estes esforços provocam.

2. Estática, princípio básico da arquitetura

A fórmula a seguir é para você, que gosta de Arquitetura e quer conhecer mais

afundo a influencia com outros projetos.

PROJETO = ESTÉTICA + ESTÁTICA + OUTROS

2. 1. Definição

Estética:

Responsável pela "arte" de um projeto. A estética é dada pela expressão

arquitetônica através de várias disciplinas, sendo a principal delas a disciplina de

Planejamento Arquitetônico.

Estática:

Responsável pela "técnica" de um projeto. A estática se encarrega de fazer com

que uma estrutura fique "em pé", suportando as cargas e as transportando sem

deformações excessivas até o terreno. A palavra ESTÁTICA, vem do grego "statikos" e

quer dizer imóvel como estátua, parado.

Outros:

Alguns itens também devem ser considerados na execução de um projeto.

Projeto elétrico, projeto hidráulico, projeto de conforto ambiental, paisagismo,

integração com o entorno, definição dos materiais a serem utilizados, definição dos

processos construtivos, entre outros



6

A principal função, do ponto de vista estrutural, para uma edificação é ser

estática, porém como pode ser visto na tabela 2.1 abaixo ela poderá:

Ela pode se "inclinar":

por não estar bem

travada

por problemas de

fundação.

Ela pode se deformar e/ou fissurar excessivamente,

em partes ou como um todo, devido a excesso de

carga ou travamento inadequado.

Partes da estrutura podem ser afastadas uma da outra

devido a falhas nas juntas (para estruturas metálicas

ou de madeira).

Um ou mais pilares de um edifício sujeitos a carga

de compressão podem flexionar ao máximo até que,

a menos que o carregamento seja retirado, eles

rompem.

Os materiais podem estar sobrecarregados gerando

ruptura

Tabela 2.1 Estática nos elementos estruturais



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2. 2. Observação:

Após um período de tempo, pode haver decomposição dos materiais devido à

fatores externos.

3. Influência da Técnica na Expressão Arquitetônica (opinião de alguns arquitetos)

Alfred Willer

"Não se admite mais que hoje se faça um anteprojeto e não se localize os

elementos estruturais, ou seja, o projeto arquitetônico e o estrutural estão ligados, pois

quem propõem a estrutura e quem a viabiliza e a dimensiona é o engenheiro. Logo, o

arquiteto tem que ter uma boa experiência de como funciona a estrutura. O objetivo da

cadeira Sistemas Estruturais no curso de Arquitetura não é tornar o Arquiteto um

calculista, mas fazer os estudantes entenderem como funciona uma estrutura, conhecer

as várias opções estruturais e propor, dentro do projeto arquitetônico, uma solução

viável".

Roberto Luiz Gandolfi

"A trilogia função, técnica e plástica é Arquitetura. Não é possível criar um

espaço sem saber as técnicas e instalações necessárias para que se desempenhe todas as

funções satisfatoriamente. As técnicas que têm que servir a esta função não são

influência sobre a Arquitetura e sim a própria Arquitetura".

Leonardo Tossiaki Oba

"Os elementos técnicos mais expressivos na Arquitetura são, em geral, as suas

estruturas. A estrutura define e estabelece o espaço arquitetônico. Cada arquiteto acaba

por desenvolver um modo particular de expressão estrutural. Pessoalmente acho que se

deve evitar excessos e buscar sempre uma coerência nas decisões usando técnicas

adequadas para cada caso. Ou seja, usar vãos maiores somente quando necessário e

quando não houver necessidade de flexibilidade ou grandes vãos, procurar soluções



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estruturais mais simples. Seria algo como uma "composição estrutural" onde cada

espaço tem uma solução mais sintonizada com as suas necessidades e o conjunto se

expressa como um todo coerente e composto."

Elgson Ribeiro Gomes

"Utilizo a técnica dos engenheiros acrescentando graça e bom gosto. A

utilização da técnica deve ser feita de forma moderada e modesta para que não se

produzam efeitos que descaracterizam a obra".

Oscar Niemeyer

"A Arquitetura e a Engenharia são duas coisas inseparáveis. A estrutura é a

própria Arquitetura, não existe Arquitetura sem estrutura. Quando o tema permite,

é preciso invadir o campo fecundo da imaginação e fantasia e procurar a forma

diferente, a surpresa arquitetural. E aí surgem as conquistas estruturais inovadoras; os

grandes vãos livres, os balanços enormes, as cascas finíssimas, enfim, tudo que pode

demonstrar o progresso da técnica em toda sua plenitude".

Lúcio Costa

"Enquanto satisfaz apenas as exigências técnicas e funcionais - não é ainda

Arquitetura; quando se perdem intenções meramente decorativas - tudo não passa de

cenografia; mas quando - popular ou erudita - aquele que a ideou, pára e hesita, ante a

simples escolha de um espaçamento de pilar ou da relação entre a altura e a largura de

um vão, e se detém na procura obstinada da justa medida entre cheios e vazios, na

fixação dos volumes e subordinação deles a uma lei, e se demora atento ao jogo dos

materiais e seu valor expressivo - quando tudo isto se vai pouco a pouco somando,

obedecendo aos mais severos preceitos técnicos e funcionais, mas, também, àquela

intenção superior que seleciona, coordena e orienta em determinado sentido toda essa

massa confusa e contraditória de detalhes, transmitindo assim ao conjunto, ritmo,

expressão, unidade e clareza - o que se confere à obra o seu caráter de permanência: isto

sim é Arquitetura".



9

Vê-se portanto, pelos depoimentos acima, que os Arquitetos sempre levam em

consideração a técnica, concluindo que ela é de grande importância no desenvolvimento

dos projetos tanto Arquitetônico quanto Estrutural, trabalhando sempre em conjunto,

sempre inseparáveis um do outro.

4. Carregamentos

Sabe-se que na antiguidade não havia o cálculo ou o projeto estrutural. A

evolução acontecia de uma obra para outra na base da tentativa e do erro. Muitas vezes

uma obra que demorara até centenas de anos para chegar até um determinado estágio

não suportava os carregamentos impostos até mesmo pelo próprio peso da estrutura e

desabava. Então, não restava nada a fazer senão aprender com o erro ocorrido e

recomeçar a construção.

Um fator que colaborou com a evolução de uma obra do ponto de vista

estrutural, foi a observação das forças da natureza. Esta observação permitiu que os

elementos estruturais tivessem dimensões cada vez menores e também permitiu que os

vãos se tornassem cada vez maiores.

Exemplo

Uma árvore e suas raízes poderiam perfeitamente servir de exemplo para a

construção de um pilar com sua fundação.

Figura 4.1. Esforços aplicados em uma árvore



10

Com o surgimento da Revolução Industrial, foram surgindo novas técnicas e

novos materiais. Com estas técnicas e materiais, alguns modelos teóricos, ou seja,

explicações, para as forças da natureza foram descobertos. Baseados nestes modelos

teóricos surgiram então os projetos mostrando que uma obra poderia ser construída sem

a necessidade de experimentos com obras anteriores (acabou o processo de tentativa e

erro).

O primeiro fator a ser considerado quando da execução do projeto estrutural de

uma obra são os carregamentos nela atuantes.

Carregamento: qualquer influência que causa forças ou deformações em uma

estrutura.

Existem três tipos de carregamentos:

Concentrado, distribuído/m e distribuído/m2.

4.1. Concentrado:

Representa uma força aplicada em um único ponto da estrutura.

Unidade: kN

Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas, pilares e

fundações, conforme tabela 4.1 abaixo:

força concentrada:

sobre uma laje:

um cofre no meio de uma sala



11

sobre uma viga:

reação de uma outra viga

sobre um pilar:

reação das vigas que se apoiam no pilar

sobre a fundação:

carga do pilar que chega na fundação

Tabela 4.1 Carregamento concentrado

4.2. Distribuído/m:

Representa uma força distribuída sobre uma linha da estrutura.

Unidade: kN/m

Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas, conforme tabela

4.2 abaixo:



12

força distribuída/m:

sobre uma laje:

peso de uma parede de alvenaria.

sobre uma viga:

peso de uma parede de alvenaria.

Tabela 4.2 Carregamento distribuído / m

4.3. Distribuído/m2:

Representa uma força distribuída sobre uma superfície da estrutura.

Unidade: kN/m2

Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje, conforme tabela 4.3

abaixo:

Exemplo de força distribuída/m2:

sobre uma laje:

peso das pessoas sobre a laje

Tabela 4.3 Carregamento distribuído / m²



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4.4. Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação –

Permanentes e ou acidental

4.4. 1. Peso-próprio para vigas, paredes e pilares:

Os carregamentos permanentes estão atuando sobre a estrutura durante todo o

tempo, não importando qual seja a sua utilização ou quais sejam as condições

atmosféricas.

Os elementos estruturais têm o peso que deve ser considerado na definição dos

carregamentos atuantes em uma estrutura. Este peso, definido como peso próprio é

função do peso específico do material em questão como pode ser visto nas tabelas 4.4,

4.5 e 4.6 a seguir.

Peso específico do material (kN/m3)

Tabela 4.4 Peso próprio de lajes

Lajes

Fórmula



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Vigas

Fórmula

para seção retangular:

Tabela 4.5 Peso próprio de vigas

Pilares:

Fórmula

para seção retangular:

Tabela 4.6 Peso próprio de pilares

Peso específico de alguns materiais mais utilizados:

Concreto armado: 25 kN/m3

Madeira: varia de 5 kN/m3 (pinho) até 10 kN/m3 (ipê)

Aço: 78 kN/m

4.4. 2. Peso próprio para alvenaria (alv):



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Função do peso/m2 da alvenaria, dependendo se a parede é mais ou menos

espessa.

O peso das paredes de alvenaria de uma obra devem ser consideradas sobre os

elementos estruturais em que elas se apóiam. Estes elementos podem ser vigas, caso

mais comum ou lajes. O peso da alvenaria é função do peso/m2 da alvenaria, que varia

de acordo com sua espessura.

Fórmula

O peso/m2 dos principais tipos de alvenaria são apresentados na tabela 4.7 a

seguir .

alvenaria de cutelo:

0,95 kN/m2

alvenaria de 1/2 vez:

1,70 kN/m2

alvenaria de 1 vez:

3,20 kN/m2

Tabela 4.7 Peso próprio de alvenarias

Os valores de peso/m2 da alvenaria acima foram calculados para tijolo de barro

furado com argamassa de 1,5 cm entre tijolos, e 1 cm de reboco.



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Os vazios que podem aparecer em uma parede de alvenaria não devem ser

considerados, proporcionando assim uma maior segurança.

4.4. 3. Peso próprio para Revestimento:

O peso dos revestimentos de uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes

em que eles se apóiam conforme figura 4.2. Um valor básico é utilizado como peso de

revestimento:

Revestimento = 0,50 kN/m2 (carregamento distribuído/m2)

O valor acima é considerado somente para revestimentos mais comumente

utilizados, como por exemplo: taco, tapete, borracha, paviflex, etc.

Figura 4.2. Esforços aplicados em uma árvore

Para outros tipos de revestimento devem ser consultadas tabelas especiais ou

devem ser feitas consultas ao próprio fabricante.

4.4. 4. Peso próprio para Cobertura:

O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apóiam

algum tipo de cobertura, entendo-se por cobertura toda a estrutura que suporta as telhas

mais o peso das próprias telhas. O peso da cobertura é função do peso/m2 do telhado.

Cobertura = 0,60 kN/m2 à 1,00 kN/m2 (carregamento distribuído/m2)

0,60 kN/m2 para telha de fibrocimento e 1,00 kN/m2 para telha de barro.



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4.4. 5. Estrutura sobre a estrutura:

Alguns elementos estruturais podem se apoiar sobre outros elementos sendo

portanto a carga definida pela reação de um elemento estrutural sobre outro.

Laje: apesar de muito raro, pode receber a carga de um pilar (kN) (carregamento

concentrado)

Viga: não muito comumente, pode receber a carga de um pilar (kN), sendo

chamada então de viga de transição (carregamento concentrado), usualmente recebe as

reações das lajes (kN/m), ou seja, as lajes, neste caso, estão apoiadas nas vigas

(carregamento distribuído/m), também pode receber as reações de outras vigas (kN), ou

seja, as vigas, neste caso, estariam apoiadas em outras vigas (carregamento

concentrado)

Pilar: raramente, pode receber as reações das lajes diretamente (kN), sendo

então, uma estrutura tipo cogumelo, sem vigas (carregamento concentrado),

normalmente, recebe as reações das vigas que nele se apóiam (kN) (carregamento

concentrado)

4.4. 6. Carregamentos acidentais que podem atuar em uma estrutura.

Os carregamentos acidentais, ao contrário dos permanentes, nem sempre estão

presentes em um Sistema Estrutural. Há épocas em que eles são atuantes e há épocas em

que eles não aparecem. Devido a esta sazonidade, eles devem ser considerados durante

todo o tempo, não podendo nunca ser esquecidos.

4.4. 7. Vento

Este tipo de carregamento é considerado somente para edificações muito altas ou

edificações especiais, como por exemplo, torres, caixas d'água elevadas, galpões, etc.



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Pergunta:

O que seria melhor para a consideração do vento em uma edificação do ponto de

vista estrutural?

Opções:

Uma edificação sujeita a um vento com velocidade de 40 m/s ou de 100 km/h?

Uma edificação em um local plano ou em um local montanhoso?

Uma edificação livre, sem nenhuma vizinhança, ou uma edificação com vizinhos

por todos os lados?

Um sobrado de dois pavimentos ou um edifício de 80 pavimentos?

Resposta:

O efeito do vento é função de alguns fatores específicos, tais como: velocidade

do vento, conseguida através de mapas com linhas de igual velocidade, topografia do

local, vizinhança da edificação e tipo da edificação.

4.4. 8. Empuxo

Empuxo é a força lateral proveniente da ação da água nas piscinas ou caixas

d'água ou do solo nos subsolos sobre as paredes verticais, como pode ser visto nas

tabelas 4.8 e 4.9 a seguir:

CASO 1

Caso de empuxo d'água sobre as paredes

laterais de uma piscina ou caixa d'água:



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O valor do carregamento é triangular

variando desde zero na superfície até q na

parte mais profunda.

Fórmula

Tabela 4.8 Empuxo proveniente de águas

CASO 2

Caso de empuxo de terra sobre

uma cortina de concreto, que

aparece quando da utilização de

subsolos:

O valor do carregamento é

triangular variando desde zero na

superfície até q na parte mais

profunda.

E = 1/2.k.γ.h2

k = tg2(45-φ/2)

Fórmula

Tabela 4.9 Empuxo proveniente do solo

4.4. 9. Frenagem

Imagine só o deslocamento horizontal de um viaduto (conforme figura 4.3

abaixo) com a freada de um caminhão carregado, e o que este deslocamento deve ter

provocado nos pilares! Parece que não, mas a frenagem é um dos principais

carregamentos que devem ser considerados no cálculo de pontes e viadutos, sendo

logicamente função do peso do veículo. Quanto mais leve o veículo menor o efeito da

frenagem e quanto mais pesado o veículo, maior o efeito da frenagem.



20

Figura 4.3. Frenagem de veículos sobre viadutos e ou pontes Figura 4.4.

4.4. 10. Sobrecargas (SC)

São carregamentos dados em função da utilização de determinado

compartimento da edificação.

O efeito da sobrecarga é considerado sobre lajes podendo ser um carregamento

do tipo distribuído/m2 ou concentrado conforme pode ser visto nas figuras 4.4, 4.5, 4.6,

4.7, e 4.8.

Valores a serem considerados:

Forro (sem acesso ao público): 0,50 kN/m2

Residência, escritório: 1,50 à 2,00 kN/m2

Locais de acesso ao público (escolas, restaurantes, etc.) 3,00 kN/m2

Salões para baile, ginástica, esportes, teatros, etc.): 4,00 kN/m2

Compartimentos para arquivos/bibliotecas/depósitos: função de cada caso

Figura 4.5. Sobrecarga de forro



21

Figura 4.6. Sobrecarga em escritórios

Figura 4.7. Sobrecarga em salas de aula

Figura 4.8. Sobrecarga em salas de ginástica



22

Figura 4.9. Sobrecarga em bibliotecas

4.4. 11. Terremoto, neve

Tanto o terremoto como a neve são tipos de carga acidental que devem ser

considerados. Felizmente, no Brasil, não há a necessidade da consideração deste tipo de

carregamento, uma vez que eles não ocorrem nem com intensidade nem com freqüência

suficiente que justifique sua consideração.

4.4. 12. Cargas Móveis

Logicamente a carga é dita móvel porque se mexe. E o que se mexe é um

veículo. Portanto, a carga a ser considerada é o peso dos veículos se deslocando sobre

pontes e viadutos (figura 4.9).

O efeito da carga móvel é função do peso e da localização do veículo sobre a

estrutura.

Normalmente, o peso do veículo é conhecido, sendo utilizados veículos padrões.

Mas a localização do veículo se modifica a cada momento, sendo necessários então



23

métodos especiais para a consideração deste fator, dificultando a consideração deste tipo

de carga quando do cálculo de pontes e viadutos.

Figura 4.10. Cargas móveis sobre uma ponte

4.4. 13. Exemplos de carregamento

Baseado na figura 4.10, definir a carga em:

lajes: L1 vigas: V2 e V5 pilares: P5

Dados:

� piso de escritório

� revestimento da laje: taco

� alvenaria: 1 vez

� material: concreto armado

� reação da laje L1 nas vigas V1, V3, V4 e V5: 6,25 KN/m

� reação da viga V1 sobre os pilares P1 e P2: 42,68 KN

� reação da viga V2 sobre a viga V5 e o pilar P5: 2,19 KN

� reação das vigas V3 e V4 sobre os pilares P1,P3 e P4: 43,93 KN

� reação da viga V5 sobre o pilar P2: 43,33 KN



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Figura 4.11. Esquema de cargas em vigas e pilares

Para se calcular as cargas em uma edificação, inicia-se sempre de cima para

baixo (da cobertura para o térreo) na seguinte seqüência: lajes, vigas, pilares e

fundações.

Portanto, no nesse exemplo, será calculado primeiramente a carga na laje L1,

depois nas vigas V2 e V5 e finalmente no pilar P5.

Laje L1:

Peso-próprio (distribuída/m2) + revestimento (distribuída/m2) + sobrecarga

(distribuída/m2)



25

peso-próprio: pp = 0,10 m . 25 kN/m3 = 2,50 kN/m2

revestimento: rev = 0,50 kN/m2

sobrecarga: sc = 2,00 kN/m2

total = 5,00 kN/m2

Convém lembrar que poderia haver ainda a carga de uma parede de alvenaria ou

de um pilar sobre a laje.

Viga V2:

Peso-próprio (distribuída/m)

peso-próprio: pp = 0,10 m . 0,50 m . 25 kN/m3 = 1,25 kN/m

Viga V5:



26

Peso-próprio (distribuída/m) + alvenaria (distribuída/m) + reação da laje L1

(distribuída/m) + reação da viga V2 (concentrada)

peso-próprio: pp = 0,20 m . 0,50 m . 25 kN/m3 = 2,50 kN/m

alvenaria: alv = 2,60 m . 3,20 kN/m2 = 8,32 kN/m

Laje: laje = 6,25 kN/m

total = 17,07 kN/m

Convém lembrar que poderia haver ainda a carga de um pilar sobre a viga



27

Pilar P5:

Peso-próprio (concentrada) + reação da viga V2 (concentrada)

peso-próprio: pp = 0,20 m . 0,20 m . 2,60 m . 25 kN/m3 = 2,60 kN

reação da viga: viga = 2,19 kN

total = 4,79 kN



28

5. As três Leis de Newton e os esforços de tração, compressão, flexão, torção e

cisalhamento

As forças em um Sistema Estrutural são caracterizadas pelas leis de Newton,

pelo cálculo dos momentos em relação a um ponto, pelo cálculo do equilíbrio em

relação a um ponto e do equilíbrio de forças paralelas.

5.1. Leis de Newton

(Isaac Newton - 1642 - 1727)

Primeira Lei

"Qualquer corpo permanece em repouso ou em movimento

retilíneo uniforme a menos que alguma força seja aplicada sobre ele."

Pergunta: os carregamentos não exercem uma força sobre a estrutura?

Resposta: Sim

Pergunta: a estrutura deixa de estar em repouso?

Resposta: Não

Pergunta: o que acontece?

Segunda Lei

"A aceleração de um corpo é diretamente proporcional à força aplicada sobre ele

e inversamente proporcional à sua massa."

Fa

m=

Fm

a=

Terceira Lei

"A toda ação, corresponde uma reação igual e contrária."



29

Resposta à última pergunta da Primeira Lei: do ponto de vista estrutural, a toda ação

(carregamentos, na maioria para baixo), corresponde uma reação igual e contrária (para

cima). Logo: a resultante é nula e consequentemente a estrutura está em repouso.

Exemplo:

Figura 5. 1. Ação é igual à reação

5.2. Esforços

Os carregamentos solicitam os elementos estruturais através de forças.

A seguir veremos que os materiais de que são compostos estes elementos

estruturais e como eles respondem a estas solicitações através de esforços.

Esforços que podem surgir:

5.2.1. Tração

Ocorre quando há duas forças, na mesma direção, puxando em sentidos opostos

Corda no cabo de guerra



30

Figura 5. 2. Exemplo de tração

5.2.2. Compressão

Ocorre quando há duas forças, na mesma direção, empurrando em sentidos

opostos

Pisando no balão

Figura 5. 3. Exemplo de compressão

5.2.3. Flexão

Ocorre quando há carregamento transversal entre os apoios

O que acontece quando algumas pessoas pisam bem no meio de um banco de

madeira bem fino? (antes do banco quebrar)



31

Figura 5. 4. Exemplo de flexão

5.2.4. Torção

Ocorre quando há o giro das extremidades em direções opostas.

O que deve ser feito com uma roupa molhada para deixá-la mais enxuta?

Figura 5. 5. Exemplo de torção

5.2.5. Cisalhamento

Ocorre quando há o escorregamento entre seções paralelas devido à forças

paralelas

O que acontece quando uma tesoura corta um pedaço de papel?

Figura 5. 6. Exemplo de cisalhamento

Pode haver, e normalmente há, uma combinação destes esforços em um mesmo

elemento estrutural. Outro fator a ser considerado é que nem todos os elementos



32

estruturais suportam bem todos os esforços. Por exemplo, será que uma corda suporta

tão bem o esforço de compressão quanto o de tração?

5.2.6. Momento

Momento de uma força em relação a um ponto é o produto desta força pela sua

distância até o ponto considerado.

Momento de carga concentrada

(momento da força V em

relação ao ponto A)

sentido horário

(momento da força H em


sentido anti-horário

(momento da força P em


sentido horário

Tabela 5. 1. Momento de carga concentrada



33

Não importa a direção da força para o cálculo do momento.

Momento de carga distribuída

Figura 5. 7. carga distribuída em viga

Fórmula

MOMENTO = Mq/A=q . b.(a + b/2)

CARGA (q). COMPRIMENTO DA CARGA (b) . DISTÂNCIA DO CG DA CARGA

AO PONTO CONSIDERADO (b/2+a)

(momento da carga q em relação ao ponto A) sentido horário



34

6. Equilíbrio de forças paralelas

Pergunta:

Será que se for colocado um paralelepípedo de um lado da viga e três

paralelepípedos sobrepostos do outro lado vai haver equilíbrio?

Figura 5. 8. Equilíbrio de forças (momento fletor)

Resposta:

A resposta intuitiva para esta pergunta é NÃO.

Porém, observe a foto abaixo:



35

Figura 5. 9. Equilíbrio de forças (momento fletor)

Vê-se portanto, que se o paralelepípedo único estiver mais longe do ponto de

apoio que os três paralelepípedos sobrepostos vai haver equilíbrio.

Logo, para haver equilíbrio, o momento causado pela força menor

(paralelepípedo único mais distante do ponto de apoio) deve ser igual ao momento

causado pela força maior (paralelepípedos sobrepostos mais próximos do ponto de

apoio).

Conclusão:

Quanto maior a distância, menor a força.

Figura 5. 10. Equacionamento de equilíbrio

Conclusão:

Então além da força aplicada o que importa também é a distância desta força em

relação ao ponto de apoio.



36

Este conceito foi utilizado pela primeira vez por Arquimedes (287-212 a.C.) que

proferiu a seguinte frase:

"Me dê uma alavanca e um ponto de apoio que eu poderei levantar o mundo."

Figura 5. 11. Conceito de Arquimedes (287-212 a.C.)

6.1. Exemplos práticos

Pergunta:

Porque será que a maçaneta de uma porta é o mais longe possível da dobradiça?

Pergunta:

Porque será que as pessoas carregam as sacolas de supermercado com o braço

abaixado e não levantado na horizontal?



37

Condições para o equilíbrio de forças paralelas:

As três equações na tabela 5.1 abaixo definidas (somatório das forças verticais

igual a zero, somatório das forças horizontais igual a zero e somatório dos momentos

em relação a um ponto igual a zero) são conhecidas como as TRÊS EQUAÇÕES

FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA.

É indiferente a escolha da convenção de sinais (de baixo para cima ou de cima

para baixo, da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, horário ou anti-

horário), o resultado é o mesmo.

Definir a distância a e a reação R para que o sistema abaixo esteja em

equilíbrio.

convenção de baixo para cima, positivo

Trocando as convenções:



38

- 3 - 6 + R = 0

R = 9

não há forças horizontais aplicadas

Mapoio = 0

convenção sentido horário, positivo

-3 x 4 + R . 0 + 6 . a = 0

a = 2

convenção de cima para baixo, positivo

3 + 6 - R = 0

R = 9

Mapoio = 0

convenção anti-horário, positivo

3 x 4 + R . 0 - 6 . a = 0

a = 2

Tabela 5. 2. Equações de equilíbrio de forças

6.2. Tipos de Apoio e Reações

As reações de apoio em estruturas como vigas, treliças e pórticos, são calculadas

aplicando-se as Três Equações Fundamentais da Estática definidas no item anterior.

Engaste

3 reações de apoio:

- reação momento (M),

- reação horizontal (H),

- reação vertical (R),

logo: 3 incógnitas.



39

Apoio fixo

2 reações de apoio:

- reação horizontal (H),


logo: 2 incógnitas.

Apoio móvel

1 reação de apoio:


logo: 1 incógnita.

Tabela 5. 3. reações de apoio das estruturas



40

6.4. Reações de apoio para vários tipos de estruturas

Hipostática Menos de 3 incógnitas

São instáveis

Exemplos: estrutura com um apoio fixo (2

incógnitas), ou 2 apoios móveis (2

incógnitas), ou 1 apoio móvel (1 incógnita)

Isostática

3 incógnitas Resolvidas

com as três equações da

estática

Exemplo: estrutura com um apoio fixo e um

apoio móvel (3 incógnitas), ou um engaste (3

incógnitas)



41

Hiperestática

Mais de 3 incógnitas

Necessitam outras

equações além das três

equações da estática

Exemplos: estrutura com 2 engastes (6

incógnitas), ou 1 engaste e um apoio móvel (4

incógnitas), ou 1 engaste e um apoio fixo (5

incógnitas) ou 2 apoios fixos (4 incógnitas)

Tabela 5. 4. Reações de apoio para vários tipos de estruturas



42

7. Cálculo de reações

Calcular, a partir da planta do

pavimento tipo de um edifício figura 7.1 e 7.2, as reações de apoio das vigas do

pavimento tipo que compõem a sua estrutura.

Figura 4.1. Planta do projeto arquitetônico

Figura 4.2. Planta do projeto estrutural



43

7.1. Numeração dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares) em um projeto

estrutural

Lajes e pilares: da esquerda para a direita e de cima para baixo.

Vigas: da esquerda para a direita e de cima para baixo (vigas horizontais), e na

continuação de baixo para cima da esquerda para direita (vigas verticais). Para uma

mesma viga com balanço(s) a numeração é única para o(s) balanço(s) e para o vão. A

diferenciação se dá através de uma seqüência de letras do alfabeto iniciando-se pela

letra "a" a esquerda ou abaixo (dependendo se a viga é horizontal ou vertical). Portanto,

para a viga 21, por exemplo, com dois balanços em um vão ter-se-á: "V1a" para o

balanço, "V1b" para o vão e "V1c" para outro balanço.

7.3. Seqüência de vigas para cálculo das reações:

Existe sempre uma seqüência lógica de vigas para o cálculo das reações de

apoio. Deve-se iniciar os cálculos pelas vigas que não dependem das outras (não tenham

outras vigas apoiadas sobre elas). E assim sucessivamente.

Iniciando a análise pela viga V1

viga 1

- depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço

- depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão


logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio.

viga 2



44

- depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão


viga 3




viga 4

- não depende da reação de apoio de nenhuma viga

logo: podem ser calculadas as reações de apoio (1)

viga 5

- não depende da reação de apoio de nenhuma viga.


viga 6

- depende da reação de apoio da V4 na extremidade do balanço (já calculada (1))

- depende da reação de apoio da V2 no meio do vão


viga 7



viga 8





45

viga 9


- depende da reação de apoio da V2 no meio do vão

logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio

viga 10



Reiniciando a análise pela viga V1

viga 1


- depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão (já calculadas (3) e

(4))

- depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço (já calculada(5))

logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (6)

viga 2

depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão (já calculadas (3) e

(4))


viga 3

depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço (já calculada (2))

depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço (já calculada(5))



46


viga 4

já calculada (1)

viga 5

já calculada (2)

viga 6




viga 7

já calculada (3)

viga 8

já calculada (4)

viga 9

- depende da reação de apoio da v4 na extremidade do balanço (já calculada (1))

- depende da reação de apoio da v2 na extremidade do balanço (já calculada (7))


viga 10

já calculada (5)



47

Reiniciando a análise pela viga V1

viga 1

já calculada (6)

viga 2

já calculada (7)

viga 3

já calculada (8)

viga 4

já calculada (1)

viga 5

já calculada (2)

viga 6

já calculada (9)

viga 7

já calculada (3)

viga 8

já calculada (4)

viga 9

já calculada (10)

viga 10



48

já calculada (5)

Logo, já foram calculadas as reações de apoio de todas as vigas.

A seqüência para o cálculo das reações de apoio é a seguinte:

(1) V4

(2) V5

(3) V7

(4) V8

(5) V10

(6) V1

(7) V2

(8) V3

(9) V6

(10) V9

A seqüência definida acima não é a única seqüência possível para o cálculo das

reações de apoio. Pode haver mais de uma seqüência para um mesmo esquema

estrutural.

Os valores das cargas uniformemente distribuídas sobre as vigas são

provenientes dos seguintes elementos: reação das lajes que se apóiam nas vigas, peso

próprio, peso da alvenaria sobre as vigas.



49

7.4 Cálculos das reações

Viga V4

ΣMV6 =0

positivo: horário +6 . 6,00 . 3,00 - RV9 . 6,00 = 0 RV9 = 18kN

ΣV=0

positivo: baixo

para cima

RV6 + 18 - 6 . 6,00 = 0 RV6 = 18kN

ΣH=0

positivo: esq. para

dir.

HV6 = 0 HV6 = 0

Viga V5



50

ΣMV3 = 0

positivo: horário 5,5 . 6,00 . 3,00 - RV1 . 6,00 = 0 RV1 = 16,50kN

ΣV = 0

positivo: baixo para

cima

RV3 + 16,50 - 5,5 . 6,00 = 0 RV3 = 16,50kN

ΣH = 0

positivo: esq. para dir. HV1 = 0 HV1 = 0

Viga V7

ΣMV1 = 0

positivo: horário -10 . 2,00 . 1,00 + RV2 . 2,00 = 0 RV2 = 10kN

ΣV = 0


cima

10 + RV1 - 10 . 2,00 = 0 RV1 = 10kN

ΣH = 0

positivo: esq. para

dir.

HV2 = 0 HV2 = 0



51

Viga V8

ΣMV2 = 0

positivo: horário 5,4 . 2,00 . 1,00 - RV1 . 2,00 = 0 RV1 = 5,4kN

ΣV = 0

positivo: baixo para cima 5,4 + RV2 - 5,4 . 2,00 = 0 RV2 = 5,4kN

ΣH = 0

positivo: esq. para dir. HV2 = 0 HV2 = 0

Viga V10 (= Viga V4)



52

Viga V4 Viga V10

RV6 = 18kN RV3 = 18kN

RV9 = 18kN RV1 = 18kN

HV6 = 0 HV3 = 0

Viga V1

ΣMP1 = 0

positivo: horário

-RP2 . 6,00 - 16,5 . 1,50 + 10 . 2,50 + 5,4 . 4,50 +

18 . 8,00 + 3,5.(1,50 + 6,00 + 2,00) . (4,75 - 1,50)

- 1,5 . 1,50 . 0,75 + 2 . 4,5 . 2,25 + 2 . 2,00.(6,00 +

1,00) = 0

RP2 =

53.86kN

ΣV = 0


cima

53,86 + RP1 - 16,5 - 10 - 5,4 - 18 -3,5.(1,50 + 6,00

+ 2,00) -1,5 . 1,50 - 2 . 4,50 - 2 . 2,00 = 0

RP1 =

44.54kN

ΣH = 0

positivo: esq. para dir. HP1 = 0 HP1 = 0



53

Viga V2

ΣMP1 = 0

positivo:

horário

RV6 . 6,00 - 10.(2,00 + 1,50) - 5,4 . 1,50 - 10 . 6,00 .

3,00 - 3,5.(2,50 + 2,00).(2,25 + 1,50) = 0 RV6 = 47,03kN

ΣV = 0

positivo:

baixo para

cima

47,03 + RV9 - 10 - 5,4 - 10 . 6,00 - 3,5.(2,50 + 2,00) = 0 RV9 = 44,12kN

ΣH = 0

positivo:

esq. para

dir.

HV6 = 0 HV6 = 0



54

Viga V3

ΣMP1 = 0

positivo:

horário

-RP4 . 6,00 - 16,5 . 1,50 + 18.(6,00 + 2,00) + 4,8.(1,50 +

6,00 + 2,00) . (4,75 -1,50) + 10 . 6,00 . 3,00 = 0

RP4 =

74,58kN

ΣV = 0

positivo:

baixo para

cima

RP3 + 74,58 - 16,5 - 18 - 4,8.(1,50 + 6,00 + 2,00) - 10 .

6,00 = 0

RP3 =

65,52kN

ΣH = 0

positivo:

esq. para dir.

HP4 = 0 HP4 = 0



55

Viga V6

ΣMV2 = 0

positivo:

horário

-RP1 . 6,00 + 47,03 . 4,00 - 18. 1,00 + 4,4.(1,00 + 6,00)

. (3,50 - 1,00) + 8,4 . 4,00 . 2,00 + 6,7 . 2,00.(4,00 +

1,00) = 0

RP1 = 63,55kN

ΣV = 0

positivo:

baixo para

cima

RP3 + 63,55 - 18 - 47,03 - 4,4.(1,00 + 6,00) - 8,4 . 4,00

- 6,7 . 2,00 = 0 RP3 = 79,28kN

ΣH = 0

positivo:

esq. para

dir.

HP1 = 0 HP1 = 0



56

Viga V9

ΣMV2 = 0

positivo:

horário

-RP2 . 6,00 - 18 . 1,00 + 44,12 . 4,00 + 4,4.(1,00 + 6,00) .

(3,50 - 1,00) + 10 . 4,00 . 2,00 + 5,0 . 2,00.(4,00 + 1,00) = 0

RP2 =

60,91kN

ΣV = 0

positivo:

baixo para

cima

RP4 + 60,91 - 18 - 44,12 - 4,4.(1,00 + 6,00) - 10 . 4,00 - 5 .

2,00 = 0

RP4 =

82,01kN

ΣH = 0

positivo:

esq. para

dir.

HP2 = 0 HP2 = 0

sistemas i

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