sistemas estuarinos costeiros

Sistemas Estuarinos Costeiros

Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL

MÓDULO IV:

Formulação Matemática dos processos ambientaisParte 2 – Aplicação das Equações do escoamento em estuários.

2

CONTEÚDO:-

I Visita Técnica

II Revisão

III caso bidimensional

IV caso unidimensional

IV Exercício

3

• Formação geológica• Aspectos hidrodinâmicos relacionados ao CELMM

– Circulação– Forçantes

• Aspectos Biológicos relacionados ao CELMM– Plâncton

• Ecossistemas Adjacentes– Manguezais– Banco de Macróficas

• Impactos no CELMM– Assoreamento– Lançamentos de esgotos (qualidade da água)

VISITA TÉCNICA

4

VISITA TÉCNICA

5

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS

6

Processos no Sistema

Equações Matemáticas

Métodos Numéricos

Predições do Modelo

Representados usando

Resolvidas usando

Modelo Computacional

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS

7

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Processos no Sistemas

Hidrólise

Nitrificação

Deoxigenação

Reaeração

Assimilação de Nutrientes

Decaimento

Crescimento

Respiração

Mortalidade

Hidrodinâmica

Transporte de Massa

QuímicosFísicos Biological

8

•Conservação da quantidade de movimento– Balanço de forças no volume de controle

U

VW

•Conservação da massa– Balanço de massa através de um volume de controle


9

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

pg

z

ww

y

wv

x

wu

t

w z


0

tρ

ρVz

ρVy

ρVx zyx

10

III CASO BIDIMENSIONAL

•Para o caso bidimensional, assume-se:– A aceleração vertical é desprezível, o que usualmente se utiliza como válido para os movimentos de maré;

– Os termos convectivos não lineares , , , , , , , e são muito pequenos, comparados com os termos da aceleração local , , , e, assim, podem ser desprezados; (Podem existir alguns locais em Baías, tais como

Estreitos, onde esta consideração não seja estritamente válida, e, nesses casos, a técnica numérica deve ser modificada para cada caso, de acordo com suas não-linearidades)

t

w

x

uu

y

uv

z

uw

x

vu

y

vv

z

vw

x

wu

y

wv

z

ww

t

u

t

v

t

w

11


•Para o caso bidimensional, assume-se:– As tensões normais , e são desprezíveis;

– As variações das tensões de cisalhamento em relação a x e y , , , são desprezíveis, considerando-se a grande dimensão do sistema nas direção x e y;

•Tomando como válidas todas essas considerações acima, as equações da quanridade de movimento serão simplificadas e escritas na seguinte forma:

2

2

x

u

2

2

y

v

2

2

z

w

xxz

xxy

yyz

yyx

12


•Equação da quantidade de movimento:

fvzx

p

t

u zx

11

fuzy

p

t

v zy

11

vz

pg 1

10

13


•Analisando a equação da quantidade de movimento na direção z:

•A equação acima pode ser integrada verticalmente, tendo como resultado a distribuição hidrostática de pressão, o que é uma conseqüência direta de ter sido desprezada a aceleração vertical.

vz

pg 1

10

14


•Como , tem-se:vg 1

zgp

zp

p

zgpa

zgpp a

zgpp a

Equação fundamental da hidrostática

15


16


•Substituindo p nas equação da quantidade de movimento nas direções x e y:

v

zx

zgp

t

u zxa

11

vzx

gt

u zx

1

u

zy

zgp

t

v zya

11

uzy

gt

v zy

1

17


•Integrando ao longo da profundidade (direção x):

vzx

gt

u zx

1

hh

zx

hh

vdzdzz

dzx

gdzt

u 1

18


•Considere as seguintes definições:

– a) q, vazão por unidade de largura na direção x [L2 T-1];

– b) Vazão por unidade de largura na direção y [L2 T-1].

h

x udztyxq ,,

h

y vdztyxq ,,

19


•Considere as seguintes definições:

– c) Profundidade total;

– d) Componente na direção x da tensão de cisalhamento na superfície;

– e) Componente na direção x da tensão de cisalhamento no fundo do estuário;

yxhtyxtyxD ,,,,,

zzxzxsup

hzzxfundozx

20


•Então, podemos escrever

hh

zx

hh

vdzfdzz

dzx

gdzt

u 1

t

qdzu

tdzt

u x

hh

1

2 x

gDhx

gdzx

gh

3 fundozxzxhzzxzzx

h

zx dzz

sup111

4 y

h

fqvdzf

21


•Assim, a equação da quantidade de movimento na direção x fica:

•Analogamente na direção y:

yzxbzxsx q

xgD

t

q

1

xzybzysy q

ygD

t

q

1

22


•Equação da quantidade de movimento para o caso bidimensional:

•Não esqueça das simplicações adotadas!!!!

yzxbzxsx q

xgD

t

q

1

xzybzysy q

ygD

t

q

1

23


•Para fluxos em canais abertos, a tensão de cisalhamento no fundo, pode ser relacionada com a perda de carga, através da seguinte equação:

•onde R é o raio hidráulico, L é o comprimento equivalente, o qual ocorre a perda de carga gradual h1. A perda de carga gradual h1 pode ser relacionada com o atrito no fundo, através da expressão de Darcy-Weisbach:

•onde f é o coeficiente de atrito de Darcy-Weisbach e v é a velocidade média do escoamento

LgRhfundo1

g

v

R

fLh

24

2

1

24


•Resultando em:

•As componentes nas direções x e y são dadas por:

8

2vffundo

8

vvf xfundo

zx

28D

qqf xfundo

zx

8

vvf yfundo

zy

28D

qqf yfundo

zy

25


•A tensão de cisalhamento na superfície pode ser expressa por uma fórmula empírica, comumente relacionada:

•onde UW é velocidade do vento medida à uma certa altura, usualmente 10 metros, ρw é a densidade do ar, α é o ângulo entre a velocidade do vento e o Norte verdadeiro e CW é o coeficiente de tensão do vento.

cos2sup WWWzx UC

senUC WWWzy 2sup

26


•O coeficiente de tensão do vento, CW, depende da velocidade do vento até uma velocidade crítica do vento (UC = 15 m/s), a partir do qual é constante, e assume os seguintes valores:

213105,0 UCW

3106,2 WC

p/ CUU

p/ CUU

27


• Introduzindo as expressões, para a tensão de cisalhamento no fundo, nas equações da quantidade de movimento, obtemos:

yx

zxx q

D

qqf

xgD

t

q

2sup

8

1

xy

zyy q

D

qqf

ygD

t

q

2sup

8

1

28


•Equação da conservação da massa

0

tρ

ρVz

ρVy

ρVx zyx

29


•Para a equação da conservação da massa, assume-se:

– Não existe variação interna significativa de massa no interior de um volume de controle

– Fluido incompressível

0t

cte

30


•A equação geral da continuidade, para um fluido incompressível, na forma diferencial, é apresentada a seguir:

0

z

w

y

v

x

uvdiv

31


• Integrando verticalmente a equação acima, ou seja, com os limites de integração variando de até , encontra-se a expressão:

•onde é o valor de w na superfície, e é o valor de w no fundo do estuário, que, pela condição de aderência, independente do tipo de fundo, toma valor nulo.

hz z

0

dzz

wdzy

vdzx

u

hhh

0

hzz

yx wwy

q

x

q

zw

hzw

32


•Para as ondas longas, largas, desprezando os termos de segunda ordem, pode-se escrever:

•Resultando em:

twz

0

ty

q

x

q yx

Equação da conservação da massa para o caso bidimensional

33


•Equações

0

ty

q

x

q yx

yx

zxx q

D

qqf

xgD

t

q

2sup

8

1

xy

zyy q

D

qqf

ygD

t

q

2sup

8

1

34


•Condições iniciais e de contorno– As condições iniciais são arbitrárias, geralmente são consideradas as vazões por unidade de largura qx e qy iguais a zero e o nível d'água η inicial constante ao longo do sistema;

– Ao longo da costa, que forma o contorno terra-água do sistema, a condição usada no contorno é a de fluxo nulo: qn = 0, onde qn é a componente do fluxo, normal ao contorno. Esta condição será também aplicada às fronteiras internas do sistema, e.g., nas ilhas;

– No contorno do estuário com o oceano, representado por uma linha imaginária delimitando o sistema, a condição de contorno é dada pelos níveis de maré do local;– Rios ou canais afluentes (fluxo para dentro do domínio), além da prescrição da vazão normal por unidade de largura ao trecho de fronteira em questão, há também que se prescrever a componente tangencial, usualmente zero.

35


•Solução das Equações:– Método numérico

• Diferenças finitas (mais utilizado)• Elementos finitos (mais complexo)• Volumes finitos (melhores resultados)

– Veremos mais detalhes dos métodos na próximas aulas

36

IV CASO UNIDIMENSIONAL

•Propagação da onda no canal de um estuário:– Envolve um advectivo intenso em uma região topográfica muitas vezes bastante complexa;– Importante para obter as relações e diferenças de fase entre a propagação da onda, a corrente, a variação de salinidade e, como subproduto, a distância de penetração da maré

(excursão da maré)

Qf (rio)

x = L

x = 0

B

z,w

y,v

x,u

Oceano

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•Considere as seguintes simplificações:– A salinidade e a densidade da água são constantes (fluido incompressível) e a influência do atrito interno e dos contornos sobre o movimento são desprezíveis (geometria simples);– O comprimento L do canal estuarino é menor do que o comprimento de onda da maré (L < λ);– Canal longo e estreito (L >> B), movimento unidimensional (v = w = 0) e uniforme na seção transversal e não há deflexão de movimento devido à rotação da Terra (efeito de Coriolis);– Com a oscilação da maré na entrada do canal, na enchente há o armazenamento de água no interior (prisma de maré) e a suvsequente saída desse volume na maré vazante.

38


•Elementos gráficos:

cte

x

g

λ

η(x,t)

h(x,t)

z

η = h – H

Datum

39


•Da equação fundamental da hidrostática temos:

zgpp a

dzx

gx

gx

p

z

cteSe

xg

x

p

1

40


•Com as simplificações feitas, a equação da quantidade de movimento reduz à seguinte forma:

•em que a componente longitudinal da velocidade, u, é uniforme. Assumido, por hipótese, que η<<H essa equação pode ser linearizada desprezando a aceleração convectiva, resultando em:

xg

x

p

x

uu

t

u

1

xg

t

u

41


•Considerando que o problema é unidimensioanl, vamos utilizar a correspondente equação da continuidade, para tornar o sistema hidrodinamicamente fechado:

•em que A = B h = B (H+η) é a área da seção transversal (seção uniforme).

0

x

uA

t

A

42


•Substituindo essa expressão na equação da quantidade de movimento:

•Derivando em relação a x e t, temos:

0

x

Hu

t

H

0

x

uH

x

Hu

t

43


•Se η<<H a equação se reduz a:

•Equações para o caso unidimensional:

0

x

uH

t

0

x

uH

t

0

xg

t

u

Equação da continuidae

Equação da quantidade de movimento

44


•As equações constituem um sistema de equações diferenciais parciais e duas incógnitas. Para determinar a solução vamos derivar as equação em relação a x e t

• Igualando as derivadas mistas

02

2

2

tx

uH

t

02

22

xg

tx

u

Derivada em relação a t

Derivada em relação a x

02

2

2

2

xgH

t

45


•Analogamente em função de u, obtemos as seguintes equações:

02

2

2

2

xgH

t

02

2

2

2

x

ugH

t

u

Equações clássicas de uma onda progressiva (perfil da onda que se movimenta horizontalmente) no canal de seção transversal retangular uniforme com velocidade de propagação de fase (celeridade) c0 dada por:

gHc 0

46


•Uma possível solução das equações do escoamento unidimensional é uma função harmônica:

•k = 2π/λ e ω = 2π/T. 0 ≤ Φ ≤ 2π. Considere x = 0 a boca do estuário. Se, por exemplo, a elevação da superfície livre na boca do estuário (x=0) no instante t=0 for η(0,0)=η0, então, cos(Φ)=1 e Φ=0.

tkxtx cos, 0

47


η0, U0η(0,t), u(0,t)

η0, -U0

t

S(t)

t

48


•A solução para a velocidade é análoga à elevação da superfície da água:

•Nesta solução U0 é a amplitude da velocidade que pode ser determinada derivando as duas soluções.

tkxUtxu cos, 0

H

cU 00

0

tkxH

ctxu

cos, 00

txH

ctxu ,, 0 tx

H

cutxu f ,, 0

Com rio afluente

49

EXERCÍCIO

Qf (rio)

x = L

x = 0

B

z,w

y,v

x,u

•Determine a elevação do nível da água e a velocidade a 1km da boca de um estuário de seção retangular e uniforme, para uma maré de enchente 2h depois da baixa-mar. Dados: amplitude de maré 2m, maré semi-diurna (T=12,5 horas), comprimento da onda de 10 km, maré maxima 1,35 m (IBGE), despreze as vazões afluentes.

50

TRABALHO DA DISCIPLINA

•Desenvolver as equações do escoamento para o caso unidimensional considerando agora a influência do atrito interno e dos contornos no escoamento.

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