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Existencia de variedades instaveis como grafico
Sistemas Dinamicos Nao LinearesVigesima-Setima Aula
Alexandre Nolasco de Carvalho
21 de Novembro de 2012
Alexandre N. Carvalho - USP/Sao Carlos Segundo Semestre de 2012
Existencia de variedades instaveis como grafico
Existencia de variedades instaveis como grafico
Agora estamos preparados para estudar o comportamento desolucoes de processos de evolucao semilineares proximo a umasolucao global hiperbolica ξ : R→ X ; isto e, a variedades instaveldesta solucao global hiperbolica.
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Existencia de variedades instaveis como grafico
Seja {T (t, τ) : (t, τ) ∈ PR} ⊂ L(X ) um processo linear tal que
L = sup{‖T (t, s)‖L(X ), 0 6 t − s 6 1} <∞. (1)
Seja {Sf (t, τ) : (t, τ) ∈ PR} ⊂ C(X ) o processo semilinear obtidoda perturbacao de {T (t, τ)} pela funcao continuamentediferenciavel f : R× X → X ; isto e
Sf (t, τ)x = T (t, τ)x +
∫ t
τT (t, s)f (s, Sf (s, τ)x)ds, (2)
e ξ : R→ X uma solucao global hiperbolica limitada de {Sf (t, τ)}.
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Existencia de variedades instaveis como grafico
Considere ainda o processo linear {Lf (t, τ) : (t, τ) ∈ PR} ⊂ L(X )associado a ξ por
Lf (t, τ) = T (t, τ) +
∫ t
τT (t, s)Dx f (s, ξ(s))Lf (s, τ)ds.
Entao {Lf (t, τ)} dicotomia exponencial com constante M ≥ 1,expoente ω > 0 e projecoes {Q(t) : t ∈ R}.
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Existencia de variedades instaveis como grafico
Definicao
A variedade instavel da solucao global hiperbolica ξ e o conjunto
W u(ξ)={(τ, ζ)∈R×X :existe solucao global η :R→X de {Sf (t, τ)}tal que η(τ) = ζ e lim
t→−∞‖η(t)− ξ(t)‖X = 0}.
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Existencia de variedades instaveis como grafico
Mostraremos que a variedade instavel de ξ e dada por
(t, ξ(t)+Q(t)x+Σu(t,Q(t)x)) ∈ R×X , (t, x) ∈ R×X , x pequeno.
Aqui R× X 3 (t, x) 7→ Σu(t, x) ∈ X e uma aplicacao que satisfaz
Q(t)(Σu(t,Q(t)x)) = 0 e Σu(t, x) = Σu(t,Q(t)x).
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Sabemos que, y(t) e solucao de (2) se, e somente se,y(t)=x(t)+ξ(t) onde x(t) satisfaz
x(t) = Lf (t, τ)x(τ)
+
∫ t
τLf (t, s)[f (s, x(s)+ξ(s))−f (s, ξ(s))−Dx f (s, ξ(s))x(s)]ds.
(3)
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Existencia de variedades instaveis como grafico
Se x(t) e uma solucao de (3) escrevemos x+(t) = Q(t)x(t) ex−(t) = x(t)− x+(t). Entao
x+(t) = Lf (t, τ)x+(τ) +
∫ t
τLf (t, s)H(t, x+(s), x−(s))ds
x−(t) = Lf (t, τ)x−(τ) +
∫ t
τLf (t, s)G (t, x+(s), x−(s))ds
(4)
onde
H(t,x+, x−)=Q(t)[f (t,x++x−+ξ(t))−f (t,ξ(t))−Dx f (t, ξ(t))(x++x−),
G (t,x+, x−)=(I−Q(t))[f (t,x++x−+ξ(t))−f (t,ξ(t))−Dx f (t,ξ(t))(x++x−).
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Como em (t, 0, 0) as funcoes H e G sao nulas e tem derivadasnulas (com respeito a x+ e x−), do fato que H e G saocontinuamente diferenciaveis, uniformemente com respeito a t,obtemos que, dado ρ > 0, existe δ > 0 tal que, se‖x‖X = ‖x+(t) + x−(t)‖X < δ, entao
‖H(t, x+, x−)‖X 6 ρ, ‖G (t, x+, x−)‖X 6 ρ,
‖H(t, x+, x−)−H(t, x+, x−)‖X 6ρ(‖x+−x+‖X +‖x−−x−‖X ),
‖G (t, x+, x−)−G (t, x+, x−)‖X 6ρ(‖x+−x+‖X +‖x−−x−‖X ).
(5)
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Existencia de variedades instaveis como grafico
I As consideracoes acima sugerem que obtenhamosprimeiramente o resultado relativo a existencia de variedadesinstaveis sob a hipotese que (5) valha para todox = (x+, x−) ∈ X com ρ > 0 oportunamente escolhido.
I Assumindo ainda que (5) valha para todo x = (x+, x−) ∈ X ,provaremos a continuidade das variedades instaveis.
I Finalmente, concluiremos a existencia e continuidade dasvariedades instaveis locais para o caso em que h satisfaz (5)somente para ‖x‖X = ‖x+ + x−‖X < δ com δ > 0oportunamente escolhido.
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Assim, por um momento, assumimos que f seja tal que H e Gsatisfazem (5) para todo x+(t) ∈ Q(t)X , x−(t) ∈ (I − Q(t))X ,t ∈ R e ρ > 0 que sera especificado posteriormente (em (7)).
Seja W u(t, 0, 0) a variedade instavel da solucao de equlıbrio (0, 0)de (4). Mostraremos que existe uma funcao limitada e Lipschitzcontınua Σu : R× X → X tal que Σu(t, x) = Σu(t,Q(t)x),Q(t)Σu(t, x) = 0 para todo x ∈ X e
W u(t, 0, 0) = {(t, x+, x−) : x− = Σu(t, x+), x+ ∈ Q(t)X}.
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Observacao
Observe que estamos buscando uma funcao Σu tal que, se τ ∈ R e(ζ,Σu(τ, ζ)) ∈ X , entao a solucao de (4) com x+(τ) = ζ,x−(τ) = Σu(τ, ζ) e tal que x(t) esta no grafico de Σu(t, ·) paratodo t. Isto significa qud x−(t) = Σu(t, x+(t)) para todo t eportanto (4) torna-se
x+(t)=Lf (t, τ)x+(τ)+
∫ t
τLf (t, s)H(s, x+(s), Σu(s, x+(s)))ds
x−(t)=Lf (t, τ)x−(τ)+
∫ t
τLf (t, s)G (s, x+(s), Σu(s, x+(s)))ds
(6)
Alem disso, a solucao (x+(t), x−(t)) deve tender a zero quandot → −∞ (em particular, deve ficar limitada quando t → −∞).
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Como
x−(t) = Lf (t, t0)(I − Q(t0))x−(t0)
+
∫ t
t0
Lf (t, s)(I − Q(s))G (s, x+(s), Σu(s, x+(s)))ds,
fazendo t0 → −∞ temos que
x−(t) = Σu(t, x+(t))
=
∫ t
−∞Lf (t, s)(I − Q(s))G (s, x+(s), Σu(s, x+(s)))ds
e, em particular,
Σu(τ, ζ) = Σu(τ, x+(τ)) = x−(τ)
=
∫ τ
−∞Lf (τ, s)(I − Q(s))G (s, x+(s), Σu(s, x+(s)))ds.
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Existencia de variedades instaveis como grafico
Para mostrar a existencia da funcao Σu(τ, ·) utilizaremos oprincıpio da contracao de Banach. Fixemos D > 0, L > 0,0 < ϑ < 1 e escolhamos ρ > 0 tal que
ρMω 6 D, ρM
ω (1 + L) 6 ϑ < 1,ρM2(1 + L)
ω − ρM(1 + L)6 L, ρM + ρ2M2(1+L)(1+M)
2ω−ρM(1+L) < ω.(7)
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Existencia de variedades instaveis como grafico
Definicao
Denotaremos por LB(D, L) o espaco metrico completo das asfuncoes contınuas Σ : R× X → X que satisfazem
Σ(τ, x) = Σ(τ,Q(τ)x) ∈ (I − Q(τ))X , ∀x ∈ X
sup{‖Σ(τ, x)‖X , (τ, x) ∈ R× X} 6 D,
‖Σ(τ, x)−Σ(τ, x)‖X 6 L‖Q(τ)z − Q(τ)x‖X ,(8)
para todo (τ, x , x) ∈ R× X × X , com a distancia entre Σ eΣ ∈ LB(D, L) definida por
|||Σ(·, ·)− Σ(·, ·)||| := sup{‖Σ(τ, x)− Σ(τ, x)‖X , (τ, x) ∈ R× X}.
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TheoremSe as condicoes acima estiverem satisfeitas, existira uma funcaoΣu ∈ LB(D, L) tal que
W u(0, 0)={(τ,w) ∈ R× X : w =(Q(τ)w , Σu(τ,Q(τ)w))}, (9)
onde W u(0, 0) e a variedade instavel da solucao nula de (4).
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Prova: Para τ ∈ R, ζ ∈ Q(τ)X e Σ ∈ LB(D, L) denote porx+(t) = ψ(t, τ, ζ,Σ) a solucao de
x+(t) = Lf (t, τ)ζ +
∫ t
τLf (t, s)H(s, x+, Σ(s, x+))ds, t < τ,
e defina
Φ(Σ)(τ, ζ)=
∫ τ
−∞Lf (τ, s)(I−Q(s))G (s, x+(s), Σ(s, x+(s)))ds. (10)
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Mostraremos que, se ρ > 0 satisfaz (7), Φ leva LB(D, L) nelemesmo, e uma contracao e, portanto, possui um unico ponto fixo.
Primeiramente note que, como {Lf (t, τ) : (t, τ) ∈ PR} temdicotomia exponencial com constante M e expoente ω, de (5),
‖Φ(Σ)(τ, ζ)‖X 6∫ τ
−∞ρMe−ω(τ−s) ds =
ρM
ω, (11)
e de (7) temos que sup{‖Φ(Σ)(τ,Q(τ)x)‖X , (τ, x) ∈ R× X}6D.
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A seguir, suponha que Σ, Σ ∈ LB(D, L), ζ, ζ ∈ Q(τ)X e quex+(t) = ψ(t, τ, ζ,Σ), x+(t) = ψ(t, τ, ζ, Σ). Entao
x+(t)− x+(t) = Lf (t, τ)Q(τ)(ζ − ζ)
+
∫ t
τLf (t, s)Q(s)[H(s, x+(s), Σ(s, x+(s)))−H(s, x+(s), Σ(s, x+(s)))]ds,
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e de (5), (8) obtemos que
‖x+(t)− x+(t)‖X 6 Meω(t−τ)‖ζ − ζ‖X
+M
∫ τ
teω(t−s)‖H(s, x+(s), Σ(s, x+(s)))−H(s, x+(s), Σ(s, x+(s)))‖Xds
6 Meω(t−τ)‖ζ − ζ‖X + ρM|||Σ − Σ|||∫ τ
teω(t−s) ds
+ ρM(1 + L)
∫ τ
teω(t−s)‖x+(s)− x+(s)‖X ds.
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Se φ(t) = e−ω (t−τ)‖x+(t)− x+(t)‖X , entao
φ(t) 6 M‖ζ−ζ‖X +ρM
∫ τ
teω(τ−s) ds|||Σ−Σ|||+ρM(1+L)
∫ τ
tφ(s) ds.
Pela desigualdade de Gronwall
‖x+(t)− x+(t)‖X
6 [M‖ζ−ζ‖X eω (t−τ)+ρM
∫ τ
teω(t−s)ds|||Σ−Σ|||]e−ρM(1+L)(t−τ)
6 [M‖ζ − ζ‖X + ρMω−1|||Σ − Σ|||]e−ρM(1+L)(t−τ).
(12)
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Consequentemente,
‖Φ(Σ)(τ, ζ)− Φ(Σ)(τ, ζ)‖X
6 M
∫ τ
−∞e−ω(τ−s)‖G (s, x+(s),Σ(s, x+(s)))−G (s, x+(s),Σ(s, x+(s)))‖X ds
6 ρM
∫ τ
−∞e−ω(τ−s)
[(1 + L)‖x+(s)−x+(s)‖X + |||Σ − Σ|||
]ds.
Utilizando as estimativas para ‖x+ − x+‖X obtemos
‖Φ(Σ)(τ, ζ)− Φ(Σ)(τ, ζ)‖X
6ρM
ω
[1+
ρM(1 + L)
ω−ρM(1 + L)
]|||Σ − Σ|||+ ρM2(1 + L)
ω − ρM(1 + L)‖ζ−ζ‖X .
(13)
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Seja
IΣ =ρM
ω
[1 +
ρM(1 + L)
ω − ρM(1 + L)
]e Iζ =
ρM2(1 + L)
ω − ρM(1 + L).
Como IΣ 6 ρMω (1 + L), segue de (7), (13) que IΣ 6 ϑ, Iζ 6 L e
‖Φ(Σ)(τ, ζ)− Φ(Σ)(τ, ζ)‖X 6 L‖ζ − ζ‖X + ϑ|||Σ − Σ|||. (14)
A desigualdade (14) para Σ = Σ juntamente com (11) implicamque Φ leva LB(D, L) nele mesmo. De (7), a estimativa (14) comζ = ζ mostra que Φ e uma contracao. Logo, existe um unicoponto fixo Σu = Φ(Σu) de Φ em LB(D, L).
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No que se segue provaremos que, if (x+(t), x−(t)), t ∈ R, e umasolucao global de (4) que fica limitada quando t → −∞, entaoexistem constantes M > 1 e γ > 0 tais que
‖x−(t)−Σu(t, x+(t))‖X6 Me−γ(t−t0)‖x−(t0)−Σu(t, x+(t0))‖X ,
(15)
t0 6 t. Fazendo t0 → −∞ na expressao acima obtemos quex−(t) = Σu(t, x+(t)) para cada t ∈ R. Isto tambem assegura queΣu(t, 0) = 0, ja que (0, 0) e uma solucao estacionaria de (4).
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Seja ζ(t) = x−(t)−Σu(t, x+(t)) e y+(s, t), s 6 t, a solucao de
y+(s)=Lf (s, t)x+(t) +
∫ s
tLf (s, θ)H(θ, y+(θ),Σu(θ, y+(θ)))dθ, s≤ t,
Assim,
‖y+(s, t)− x+(s)‖X
=
∥∥∥∥∫ s
tLf (s, θ)[H(θ, y+(θ, t),Σu(θ, y+(θ, t)))−H(θ, x+(θ), x−(θ))]dθ
∥∥∥∥X
6 ρM
∫ t
seω(s−θ)
[(1 + L)‖y+(θ, t)− x+(θ)‖X + ‖ζ(θ)‖X
]dθ.
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Se ψ(s) = e−ωs‖y+(s, t)− x+(s)‖X , entao
ψ(s) 6 ρM(1 + L)
∫ t
sψ(θ)dθ + ρM
∫ t
se−ωθ‖ζ(θ)‖X dθ, s 6 t.
Usando a desigualdade de Gronwall temos que, para s 6 t
‖y+(s, t)−x+(s)‖X 6ρM
∫ t
se−ω(θ−s)‖ζ(θ)‖X dθ eρM(1+L)(t−s). (16)
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Se s 6 t0 6 t, entao
‖y+(s, t)− y+(s, t0)‖X =∥∥Lf (s, t0)Q(t0)[y+(t0, t)− x+(t0)]
∥∥X
+∥∥∥∫ s
t0
Lf (s, θ)Q(θ)[H(θ, y+(θ, t), Σu(θ, y+(θ, t)))
− H(θ, y+(θ, t0), Σu(θ, y+(θ, t0)))]dθ∥∥∥X
6 ρM2eω(s−t0) eρM(1+L)(t−t0)
∫ t
t0
e−ω(θ−t0)‖ζ(θ)‖X dθ
+ ρM(1 + L)
∫ t0
s
eω(s−θ)‖y+(θ, t)− y+(θ, t0)‖X dθ
e, usando a desigualdade de Gronwall, temos que
‖y+(s, t)− y+(s, t0)‖X
6 ρM2eω(s−t0) eρM(1+L)(t−s)∫ t
t0
e−ω(θ−t0)‖ζ(θ)‖X dθ.(17)
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Utilizaremos a estimativa acima para estimar ζ(t). Note que
ζ(t)− Lf (t, t0)(I − Q(t0))ζ(t0)
=x−(t)−Σu(t, x+(t))−Lf (t, t0)(I−Q(t0))[x−(t0)−Σu(t0, x+(t0))]
=
∫ t
t0
Lf (t, s)(I−Q(s))G (s, x+(s),x−(s))ds
−Σu(t, x+(t)) + Lf (t, t0)(I − Q(t0))Σu(t0, x+(t0))
=
∫ t
t0
Lf (t, s)(I−Q(s))[G (s, x+(s),x−(s))−G (s, y+(s, t),Σu(s, y+(s, t)))]ds
−∫ t0
−∞Lf (t, s)(I − Q(s))[G (s, y+(s, t),Σu(s, y+(s, t)))
− G (s, y+(s, t0), Σu(s, y+(s, t0)))]ds.
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Portanto, de (16) e (17), obtemos que
‖ζ(t)− Lf (t, t0)(I − Q(t0))ζ(t0)‖X
6ρM
∫ t
t0
e−ω(t−s)[‖x+(s)−y+(s, t)‖X +‖x−(s))−Σu(s, y+(s, t))‖X
]ds
+ ρM(1 + L)
∫ t0
−∞e−ω(t−s)‖y+(s, t)− y+(s, t0)‖Xds
6 ρM
∫ t
t0
e−ω(t−s)‖ζ(s)‖X ds
+ ρ2M2(1 + L)
∫ t
t0
e−ω(t−s)∫ t
se−(ω−ρM(1+L))(θ−s)‖ζ(θ)‖X dθ ds
+ ρ2M3(1 + L)
∫ t0
−∞e−ω(t−s)
∫ t
t0
e−(ω−ρM(1+L))(θ−s)‖ζ(θ)‖X dθ ds,
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assim
‖ζ(t)− Lf (t, t0)(I − Q(t0))ζ(t0)‖X 6 ρM
∫ t
t0
e−ω(t−s)‖ζ(s)‖X ds
+ ρ2M2(1 + L)e−ωt∫ t
t0
e−(ω−ρM(1+L))θ‖ζ(θ)‖X∫ θ
t0
e(2ω−ρM(1+L))s dθ
+ ρ2M3(1 + L)e−ωt∫ t
t0
e−(ω−ρM(1+L))θ‖ζ(θ)‖X∫ t0
−∞e(2ω−ρM(1+L))s ds dθ
6
[ρM +
ρ2M2(1 + L)
2ω − ρM(1 + L)
] ∫ t
t0
e−ω(t−s)‖ζ(s)‖X ds
+ρ2M3(1 + L)
2ω − ρM(1 + L)e−ω(t−t0)
∫ t
t0
e−(ω−ρM(1+L))(θ−t0)‖ζ(θ)‖X dθ
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e portanto
eω(t−t0)‖ζ(t)‖X6M‖ζ(t0)‖X +
[ρM+
ρ2M2(1+L)
2ω−ρM(1+L)
]∫ t
t0
eω(s−t0)‖ζ(s)‖Xds
+ρ2M3(1 + L)
2ω − ρM(1 + L)
∫ t
t0
e−(2ω−ρM(1+L))(s−t0)eω(s−t0)‖ζ(s)‖X ds
6 M‖ζ(t0)‖X +
[ρM +
ρ2M2(1 + L)(1 + M)
2ω − ρM(1 + L)
] ∫ t
t0
eω(s−t0)‖ζ(s)‖X ds.
Da desigualdade de Gronwall temos que
‖ζ(t)‖X 6 M‖ζ(t0)‖X e−γ(t−t0), (18)
onde
γ = ω −[ρM +
ρ2M2(1 + L)(1 + M)
2ω − ρM(1 + L)
].
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Isto prova que (15) e consequentemente
W u(0, 0) ⊂ {(τ,w) ∈ R× X : w = (Q(τ)w , Σu(τ,Q(τ)w))}.
Agora provamos que{(τ,w) ∈ R× X : w = (Q(τ)w , Σu(τ,Q(τ)w))} ⊂W u(0, 0).Considere z+
0 ∈ Q(τ)X e a solucao x+∗(t) do problema de valorinicial
x+(t) = Lf (t, τ)x+(τ) +
∫ t
τLf (t, s)H(s, x+, Σu(s, x+))ds,
x+(τ) = x+0 .
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Isto define uma curva (x+∗(t), Σu(t, x+∗(t))), t ∈ R. De (10)segue que, para t ∈ R,
Σu(t, x+∗(t))=
∫ t
−∞Lf (t, s)(I−Q(s))G (s, x+∗(s), Σu(s, x+∗(s))ds.
Portanto Σu(t, x+∗(t)) resolve
x−(t) = Lf (t, τ)x−(τ)+
∫ t
τLf (t, s)G (s, x+∗, Σu(s, x+∗))ds, t > τ,
e concluımos que (x+∗(t), Σu(t, x+∗(t))), t ∈ R, e a solucao de(4), passando por (x+
0 , Σu(τ, x+
0 )) no instante τ , comΣu(t, x+∗(t))→ 0 quando t → −∞.
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Existencia de variedades instaveis como grafico
Como Σu(t, 0) = 0, o raciocınio que nos levou a (12) pode serusado para assegurar
‖x+(t)‖X 6 Me(ω−ρM(1+L))(t−τ)‖x+(τ)‖X .
Assim, x+∗(t)→ 0 quando t → −∞ e a prova esta completa.
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