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Interpolação

Sistemas de Informação Geográfica II

1. Interpolação

• Autocorrelação

• Padrões de amostragem

• Métodos de interpolação

• Validação de resultados

Interpolação

• Predição do valor de atributos em pontos não-amostrados– Tempo– €– Outras impossibilidades físicas, legais, etc.– Mudança de resolução especial– Falta de dados

Autocorrelação

• Positiva – quando proximidade implica semelhança de atributos. • Zero – quando os atributos são independentes da proximidade• Negativa – quando proximidade implica dissemelhança de

atributos.

Padrões de amostragem

• Padrão regular / sistemático– fácil– todos com igual ponderação– necessária precisão do

posicionamento na recolha

Padrões de amostragem

• Padrão aleatório– provável menos

enviesamento

Padrões de amostragem

• Clusters– escolhem-se os centros dos

clusters– recolha mais rápida

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Padrões de amostragem

• Amostragem adaptada– mais leituras onde há mais

variação• necessita conhecimento

prévio da distribuição da grandeza a amostrar

Métodos de interpolação

• Há muitos métodos– diferenças na ponderação, no número de

observações, na incorporação das distâncias e direcções, etc.

– nenhum método é “melhor” que outro em todas as situações

– a precisão pode medir-se em pontos amostrados não considerados

– resultado: matriz, ou conjunto de pontos, ou isolinhas, etc.

Métodos de interpolação

• Diagrama de Voronoi (políg. Thiessen)

Métodos de interpolação

• Raio fixo– média local– raio muito grande suaviza– pode haver círculos sem pontos da amostra

Métodos de interpolação

• Raio fixo

Métodos de interpolação

• IDW (inverso da potência das distâncias)– inverso da distância ponderada– controlado por

• número de pontos a considerar como vizinhos

• expoente (quanto maior, mais significativa é a proximidade)

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Métodos de interpolação

• IDW

Métodos de interpolação

• Superf. tendência– geralmente

polinómios de grau pré-determinado

– ai são os coeficientes que resultam de algum modelo de regressão

– superfícies demasiado suavizadas e pouco sensíveis a variações locais

Métodos de interpolação

• Splines– forçam uma curva a

passar pelos pontos– normalmente conjunto

(soma) de polinómios– sensível às variações

locais– as ondulações podem

não ter origem nos dados, mas no modo de ajustamento dos polinómios

Métodos de interpolação

• Krigagem– assenta na

autocorrelação espacial (quanto maior, mais próximos estão os valores de pontos pouco distantes)

Métodos de interpolação

• Princípios gerais da krigagem

)()()( sssZ εµ +=

)()(ˆ1

i

n

ii sZsZ ∑

=

= λ

))()(ˆ()(min 2 sZsZVarsk −=σ 0))()(ˆ( =− sZsZE

Há vários tipos de krigagem que dependem das hipóteses assumidas para µ(s).• µ(s) é constante e conhecido krigagem simples• µ(s) varia mas é estacionária numa vizinhança do local onde se pretende

estimar o valor da variável krigagem ordinária

Métodos de interpolação

• Krigagem simples– Parte do princípio que se conhece a média

da grandeza, e assenta na covariância (o que nem sempre acontece na realidade). A média da população é utilizada para cada estimação local, tal como os pontos próximos.

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Métodos de interpolação

• Krigagem ordinária– Não se conhece a média da grandeza

E[Z(x)] = µ é constante mas desconhecida– Admite-se estacionaridade (há um patamar

para a variância em função da distância entre pontos)

– Assenta sobre as características do variograma γ(x,y) = E[(Z(x) − Z(y))2]

γ(h) = ½ E[{Z(x) – Z(x+h)}2]

Krigagem

• Krigagem – construção do semivariograma– para todos pares de pontos

• distância• diferença de valor

– cálculo da semivariância (γ), dada em função da distância

– γ é uma medida do grau de dependência espacial entre as amostras

n=nº de pares de pontos que distam h entre si

Krigagem

• O peso de cada ponto é estimado depois de estabelecido o semivariograma

• O semivariograma indica a variação da correlação espacial em função da distância

γ = variânciah = distâncias

variância realvariância teórica

γ

distância (h)

Krigagem

• Variograma experimental– todos os pares de pontos

(agrupados em intervalos porque o nº de pontos cresce quadraticamente)

– efeito de pepita (semivariância entre pares de pontos muito próximos)

– a partir de uma certa distância a semivariância estabiliza num patamar (variância da amostra)

Krigagem Krigagem

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Krigagem Krigagem

• Variograma direccional– Se existir dependência espacial da direcção,

a variável é anisotrópica.

Krigagem

• Ex.

Métodos de interpolação

• Krigagem

Métodos de interpolação

Raio fixoSuperf. tendênciaKrigagem

Diagr. VoronoiIDWSpline

Não exactosExactos

Métodos de interpolação

Superf. tendênciaKrigagem

Diagr. VoronoiIDWSplineRaio fixo

EscocásticosDeterminísticos

• Métodos determinísticos: não permitem avaliar o erro nos pontos da amostra• Métodos estocásticos: permitem avaliar o erro com base na variância estimada

'')(')()( εε ++= xxmxZ)(xm

)(' xε

''ε

valor médio da variação espacial

resíduo da VA cuja autocorrelação é quantificada através de variograma experimental

é um ruído aleatório não correlacionado

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Validação de resultados

• Usam-se pontos de teste– Matriz de validação– Cálculo de erros para cada ponto, erro

médio, etc.– Permitem escolher qual o melhor método

para cada caso: o melhor para um caso não é necessariamente o melhor para outros

Validação de resultados

• Validação cruzada– usa todos os dados para estimar o modelo

de autocorrelação; depois remove cada localização, à vez, e prediz o valor associado; compara-se o valor predito com o valor medido

• Validação– remove parte dos dados (test dataset) e usa

o resto dos dados (training dataset) para criar o modelo de autocorrelação; depois faz-se a comparação

Resumo