07 tópico 6 - autocorrelação

EconometriaTópico 6 – Regressão Múltipla

Quebra dos pressupostos: Autocorrelação

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Adjunto da Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

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O que acontece se os termos de erros são autocorrelacionados?

Natureza do problema de autocorrelação.A autocorrelação pode ser definida como “correlação entre integrantes de séries de observações ordenadas no tempo [ como as séries temporais] ou no espaço [como os dados de corte transversal – cross section]. No contexto da regressão, o modelo clássico de regressão linear pressupõe que essa autocorrelação não existe nos termos de erro . Simbolicamente


Ou seja, o modelo clássico pressupõe que o termo de erro relacionado a qualquer uma das observações não é influenciado pelo termo de erro de qualquer outra observação.Porém o quando observa-se essa influencia podemos representa-la como

Como exemplo poderíamos citar os fenômenos que ocorrem nas bolsas de valores, a presença de um novo polo de atração em um município, etc.Podemos verificar nas figuras a seguir alguns padrões, onde é possível verificar a autocorrelação.


Ausência de auto


Por quais motivos podem ocorrer a autocorrelação serial?

Inércia – Uma das principais características das séries temporais econômicas é a inércia ou lentidão. Como sabemos, séries temporais como o PNB, índices de preços, a produção, o emprego e o desemprego registram ciclos (econômicos). Partindo do fundo da recessão, quando tem início a recuperação econômica, a maioria dessas séries começam a mover-se em um sentido ascendente. Nesse movimento, o valor da série em um ponto do tempo é maior que o anterior. Há um impulso embutido nele que continua até que algo aconteça (um aumento nas taxas de juros, nos impostos ou em ambos) para desacelerá-lo. Portanto, em regressões que envolvem séries temporais, as observações sucessivas tendem a ser interdependentes.


Viés de especificação – podemos iniciar com um modelo de regressão que pode não ser o mais “adequado”. Depois de averiguarmos se tal modelo atendem ou não nossas expectativas, caso não atenda devemos verificar se a falta de alguma variável está influenciando nos resíduos ao ponto de causar os padrões que indicam a autocorrelação. Esse é o caso do VIÉS DE ESPECIFICAÇÃO DA VARIÁVEL EXCLUÍDA. Muitas vezes a inclusão de tais variáveis elimina o padrão de correlação observado entre os resíduos. Por exemplo, suponha o seguinte modelo de demanda:

Onde Y é a quantidade de carne bovina; X2 o preço da carne bovina; X3 a renda do consumidor; X4 o preço da carne suína; e t o tempo.


Agora suponha que o modelo seja especificado de forma equivocada como abaixo:

Ou seja, estaríamos afirmando que o nosso erro na verdade tem a característica de incorporar também o preço da carne suína, logo:

E na medida que o preço da carne suína afeta o consumo da carne bovina, o termo de erro, v, refletirá um padrão sistemático, criando assim uma (falsa) autocorrelação.


Viés de especificação: forma funcional incorreta – Já foi verificado em outras situações como a forma funcional pode afetar os resíduos, permitindo que seus resultados se afastem da reta de regressão. O mesmo fenômeno pode também gerar autocorrelação em nossa regressão. Imagine o modelo de Custo margina que segue um comportamento polinomial de grau dois, então:

Mas ajustamos o modelo

Ou seja, teremos uma distância entre o que foi estimado e o que é o verdadeiro comportamento do modelo


O fenômeno da teia de aranha - Esse aspecto está relacionado a influência que o comportamento de uma variável defasada causa e o tempo em que as alterações provenientes desse impacto levam para afetar a variável dependente.Um exemplo a ser verificado é o impacto dos preços sobre os produtos agrícolas. No início do plantio a safra deste ano, os agricultores estão influenciados pelo preço vigente no ano anterior, de modo que sua função oferta é:

Imagine que, no final do período t, o preço é menor que . Portanto, no período t+1, os agricultores podem decidir produzir menos que em t.


Defasagens – Em uma regressão de despesas sobre a renda cujos dados são séries temporais, verificamos frequentemente que as despesas do período atual dependem, dentre outras coisas, das despesas do período anterior. Isto é,

Uma regressão desse tipo é conhecida como autorregressão ou modelo autorregresivo. Isso porque, uma das variáveis explanatórias é o valor defasado da VARIÁVEL DEPENDENTE. A lógica destes modelos é simples, pois os consumidores não alteram facilmente os seus hábitos de consumo por motivos psicológicos, tecnológicos ou institucionais. Agora se negligenciarmos o termo defasado na equação o termo de erro resultante refletirá um padrão sistemático decorrente da influência do consumo anterior.


Manipulação e transformação dos dados – A manipulação de dados em séries temporais surgirá da necessidade de se preencher buracos nas séries. Por exemplo, se quisermos analisar o censo demográfico do Brasil temos eles apenas para os anos de 1970, 80, 90, 2000 e 2010. E os anos entre esses períodos, como analisa-los.Já no que se refere a transformação, devemos usar algumas técnicas para permitir que as séries temporais se tornem estacionárias ao logo do tempo.Imagine o modelo

O modelo acima pode ter um padrão nos resíduos não sistemático que aparentemente não possuem influências determinísticas, mas podem ter influências estocásticas. Quando essa influencias estão presentes devemos eliminá-las, para fazer isso temos que diferenciar a série.


A diferenciação da série ocorre pela subtração do modelo em nível com o modelo defasado, o modelo defasado seria:

Se tivermos , teremos:

Onde o é o operador de primeira diferença.


ESTIMATIVAS DE MQO NA PRESENÇA DE AUTOCORRELAÇÃOO que acontece aos estimadores de MQO e suas variâncias se introduzirmos autocorrelações nos termos de erro, supondo que , mas mantivermos todas as outras hipóteses do modelo clássico?Vamos partir dessa visão tendo como base o modelo simples onde:

Como estamos supondo que o erro de hoje afeta o amanhã , ou o de ontem afeta o hoje , poderíamos então estabelecer que:


O é conhecido como COEFICIENTE DE AUTOCOVARIÂNCIA e é o termo de erro estocástico, que segue as hipóteses padrão de MQO, onde:

Quando o termo de erro possui todas as propriedades acima apresentada ele é conhecido como RUÍDO BRANCO (WHITE NOISE). A regressão é conhecida como esquema AUTORREGRESSIVO DE PRIMEIRA ORDEM DE MARKOV, ou simplesmente processo autorregressivo de primeira ordem, designado por AR(1).


Caso tivéssemos um modelo onde:

Então teríamos um processo autorregressivo de segunda ordem AR(2).Podemos então representar a variância do processo AR(1) como:


Já a covariância é dada por

E

Assim temos que representa a covariância entre os termos de erro separados por s períodos e é a correlação entre os termos de erro separados por s períodos. Note que, devido à propriedade de simetria das covariâncias e correlações, , e


O que definirá se teremos um processo estacionário ou não é o valor de . Vamos analisar a partir da equação abaixo:

Note que se o for igual a 1 teremos o resíduo passado influenciando no resíduo presente. No entanto se ele for zero então teremos um processo ESTACIONÁRIO (que é o resultado ideal para os modelos de séries temporais), logo: - RUÍDO BRANCO


Voltando para o modelo de regressão verificamos que por MQO podemos obter:

E sua variância é dada por

Sob a presença de um processo AR(1) teremos o seguinte comportamento:


No caso desse estimador podemos verificar que sua variância é determinada pela existência ou não da autocorrelação. Se for diferente de zero então teremos uma variância que não será mínima.Com isso, não podemos concluir que o estimador seja EFICIÊNTE, apesar de ainda ser linear e não tendencioso.Porém, assim como o ocorrido com a heterocedasticidade, é possível encontrar, quando conhecemos a variância, o estimador de MQG, que por sua vez, será eficiente.

Quebra dos pressupostos: Autocorrelação***

O ESTIMADOR MELNT NA PRESENÇA DE AUTOCORRELAÇÃOTendo ainda como referência o modelo de duas variáveis e suponde um processo AR(1), podemos mostrar que o MELNT pode ser obtido pela seguinte expressão:

Onde C é um fator de correção que pode ser desconsiderado na prática. A variância desse estimador é dada por:

Onde D também é um fator de correção.


Nesse caso, o estimador de é obtido por MQG. Ou seja, é incorporada a natureza da autocorrelação para corrigir o problema da autocorrelação.


CONSEQUÊNCIAS DO USO DOS MQO NA PRESENÇA DE AUTOCORRELAÇÃOAssim como na heterocedasticidade, os estimadores de MQO ainda são lineares e não tendenciosos, porém tornam-se ineficientes. Vamos então verificar as consequências de se forçar a estimação dos betas ignorando o fenômeno da autocorrelação.Já verificamos que na presença da autocorrelação o estimador de MQG é o mais adequado, tendo em vista que esse estimador incorpora a influência que a autocorrelação estabelece nos erros.


Quando não consideramos a autocorrelação a situação torna-se potencialmente muito grave, pois além de não utilizarmos , ainda continuamos a utilizar a . Ou seja, estaremos incorrendo a erro pelas seguintes razões:1) A variância residual provavelmente subestimará o

verdadeiro .2) Como resultado, seremos levados a superestimar .3) Mesmo que não seja subestimado, a pode subestimar a ,

sua variância sob autocorrelação (de primeira ordem), embora esta última seja ineficiente em comparação com a .


4) Por isso, os testes comuns de significância t e F deixa de ser válidos e, se aplicados, provavelmente nos levarão a conclusões extremamente equivocadas sobre a significância estatística dos coeficientes de regressão.

Para demonstrarmos algumas dessas proposições, voltemos ao modelo de duas variáveis. Já vimos que:

Nos fornece um estimador não tendencioso de , isto é, . Porém, se houver autocorrelação, dada por AR(1), podemos demostrar que:


Em que , que pode ser interpretado como o coeficiente de correlação (amostral) entre os valores sucessivos dos X. Se e forem ambos positivos (o que não é improvável para a maioria das séries temporais econômicas), evidencia-se, pela equação acima, que ; a fórmula habitual da variância residual, em média, subestimará o verdadeiro .Em outras palavras, terá um VIÉS descendente. Desnecessário dizer que esse viés do será transmitido à , porque, na prática, estimamos esta última por meio da fórmula


No entanto, mesmo que não seja subestimado, a é um estimador tendencioso da , o que pode ser facilmente visto comparando-se as duas equações quando . Caso e os valores X forem positivamente correlacionados, então:

Ou seja, a variância de beta 2 calculado por MQO subestima sua variância calculada sob AR(1). Se usarmos a , estaremos inflando a precisão ou exatidão (subestimaremos o erro padrão) do estimador . Com isso podemos dizer que a razão t estará sendo superestimado, ou seja, rejeitaremos facilmente a hipótese nula.


Pelo gráfico abaixo podemos identificar que esse processo diminui a área de aceitação da hipótese nula:


Exemplo: Relação entre salários e produtividade no setor empresarial dos EUA, 1960-2005.Neste exemplo será utilizada a Tabela 12.4

https://www.youtube.com/watch?v=CjJs7KDoiO8


IDENTIFICAÇÃO DA AUTOCORRELAÇÃO: O TESTE DURBIN-WATSONÉ um dos mais conhecidos testes de detecção da autocorrelação serial. Conhecido também como Estatística d de Durbin-Watson, ele é definido como:

Que é a razão da soma das diferenças elevadas ao quadrado, entre resíduos sucessivos e a SQR. Perceba que, no numerador da estatística d, o número de observações é n-1, porque perde-se uma observação no cálculo das diferenças sucessivas.


A principal vantagem da estatística d é que ela se baseia nos resíduos estimados, que costumam ser calculados na análise de regressão. Em razão dessa vantagem, agora se tornou prática comum informar o d de Durbi-Watson com outras medidas, como o e o ajustado, t e F. Embora atualmente seja empregado como rotina, é importante estar atento às hipóteses que fundamentam a estatística d: 1) O modelo de regressão inclui o termo de intercepto. Se não estiver presente, como no caso da regressão que passa pela origem, é essencial refazer a regressão, incluindo o intercepto para obter a SQR.2) As variáveis explanatórias, os X, são não estocásticas, ou fixas, em amostras repetidas; (cont.)


3) Os termos de erro são gerados pelo processo autorregressivo de primeira ordem: . Portanto, não podem ser usados para detectar processos autorregressivos de ordem mais elevada.4) Pressupõe-se que o termo de erro seja distribuído NORMALMENTE.5) O modelo de regressão não inclui os valores defasados da variável dependente como uma das variáveis explanatórias. O teste não pode ser aplicado a modelos do seguinte tipo:

Onde temos o valor defasado de Y em um período. Já vimos anteriormente que esses modelos são conhecidos como autorregressivos. (cont.)


6) Não faltam observações nos dados. Na regressão de salários-produtividade para o período de 1959-1998, se por alguma razão estivessem faltando observações para, por exemplo, 1978 e 1982, a estatística d não faria a concessão para essas observações faltantes.


Outra forma de representação a estatística d é:

Devemos ainda considerar que

Assim podemos reescrever a estatística d como:


Definindo:

Então teremos:

Assim como então teremos:

Que são os limites de d, qualquer valor estimado deve ficar dentro desse limite.


A estatística de Durbi-Watson é analisada considerando a seguinte estrutura:


Há uma sistemática para se analisar o teste d. Verifique que se (que reflete a ausência de autocorrelação) teremos um . Ou seja, o valor que temos como parâmetro para indicar ausência de autocorrelação é o d=2.Já o quanto mais próximo d estiver de zero maior a possibilidade de termos autocorrelação na série.Essa autocorrelação pode ser tanto positiva , como negativa . Ou seja, o quanto mais nos aproximamos de zero ou de quatro temos indícios de autocorrelação, por conta disto, temos que tomar cuidado com um intervalo de indeterminação presente na análise da estatística d.


Podemos sistematizar então as seguintes etapas para a realização do teste d:1) Efetua-se a regressão por MQO, e obtemos os resíduos;2) Calcula-se d da equação 3) Para um dado tamanho da amostra e número de variáveis

independentes, determinamos o valor e críticos;4) Usamos a tabela abaixo para definir pela existência ou não

de autocorrelação:


Fazendo uso para o modelo de salários-produtividade vamos calcular passo a passo o teste de Durbin-Watson:

Um teste geral de autocorrelação: O teste de Breusch-Godfrey (BG)Verificamos que apesar de sua simplicidade e praticidade, o teste Durbin-Watson possui mais elementos contra que prós. Com isso foi implementado o teste BG também conhecido como teste LM. O Procedimento do teste é feito da seguinte forma:1º - Estima-se a regressão de interesse (esta pode ser com um número irrestrito de variáveis), usaremos o exemplo da regressão simples:

https://www.youtube.com/watch?v=XlCDvUlDAY4


Depois de estimada pegamos o resíduo da regressão e rodamos uma equação desses resíduos contra o número de defasagens do mesmo, ou seja, geramos, para os resíduos, um processo autorregressivo de ordem p, AR(p), pressupondo que os resíduos tenha um comportamento autorregressivo:

Com isso testaremos a seguinte hipótese nula:

Ou seja, a hipótese nula remete a inexistência de autocorrelação nos resíduos. A conclusão nesse caso seria pela NÃO EXISTÊNCIA DE AUCORRELAÇÃO SERIAL.


2º - Depois vamos para o segundo passo, que é rodar a regressão auxiliar, que consiste em rodar o modelo dos resíduos contra seus elementos defasados e a variável independente do modelo:

3º - Depois de rodada a regressão auxiliar, obtemos o seu R2 e aplicamos a seguinte estatística para obter o teste BG:

Ou seja, iremos comparar o valor obtido pelo teste BG com uma tabela qui-quadrado com os graus de liberdade estabelecidos pelo número de defasagens no processo autorregressivo dos resíduos.


A estatística BG possui algumas observações críticas:1) Os regressores incluídos no modelo de regressão podem

conter valores defasados do regressando Y, ou seja, . O que é uma restrição complicada no Dirbin-Watson.

2) Como notado, o teste BG é aplicável mesmo que os termos de erro sigam um processo de média móvel (MA) de ordem p, ou seja, que os sejam gerados como abaixo:

3) Se na equação tivermos apenas uma defasagem, p=1, teremos então apenas uma autorregressão de primeira ordem, dessa forma o teste BG passa a ter a denominação de teste M de Durbin.


4) Uma defasagem no teste BG , que é o valor de p, não pode ser especificada de antemão. É inevitável fazer experimentações com o valor de p. Às vezes, pode-se usar os chamados CRITÉRIOS DE INFORMAÇÃO de AKAIKE e SCHWARZ, para selecionar o número de defasagens. O melhor modelo será aquele que apresentar o menor valor para os dois critérios.

5) Dado os valores da variável X e os valores defasados de u, o teste supõe que a variância de u seja homocedástica.Vamos então verificar a aplicação do teste BG e o teste M de Durbin Utilizando ainda o exemplo da produtividade hora e remuneração média.

https://www.youtube.com/watch?v=zNawC9Cs-ps


Medidas corretivas da autocorrelaçãoBasicamente, as medidas corretivas da autocorrelação consiste em verificar 4 importantes pontos:1) Tentar verificar se trata-se de um caso de autocorrelação

pura e não resultado da especificação equivocada do modelo, ou até mesmo de ambas.

2) Se for autocorrelação pura, podemos usar a transformação adequada do modelo orignial de modo que, no modelo transformado não tenhamos o problema de autocorrelação (pura). Como no caso de heterocedasticidade, teremos de usar algum tipo de método de mínimos quadrados generalizados (MQG).


3) Em amostras grandes, podemos usar o método Newey-West para obter os erros padrão dos estimadores de MQO que estão corrigidos para a autocorrelação. Esse método na verdade é uma extensão do de erros padrão consistentes para heterocedasticidade de White examinado no tópico anterior.

4) Em algumas situações podemos continuar a usar o método dos MQO.


Especificação equivocada do modelo versus autocorrelação pura.Já verificamos antecipadamente o problema da forma funcional, mas pelo teste BG verificamos que ainda persiste o problema da autocorrelação, isso então é um forte indício da existência de autocorrelação pura.Dessa forma temos que passar a verificar outros procedimentos até chegar a correção.


Correção da autocorrelação pura: o método dos MQGPara verificar o processo de correção, vamos partir do modelo de regressão linear simples onde:

E vamos supor que os resíduos sigam um processo AR(1):

O que irá definir o método que utilizaremos é conhecer ou não esse valor do rô.


QUANDO O É CONHECIDOSe o coeficiente de autocorrelação de primeira ordem for conhecido, o problema da autocorrelação pode ser resolvido facilmente. Se a equação da regressão simples for verdadeira no tempo t, também será verdadeira no tempo defasado em um período, assim:

Multiplicando a última equação por e subtraindo da regressão no tempo t teremos:

Onde Assim teríamos


Uma vez que o erro da equação anterior satisfaz as usuais hipóteses de MQO, podemos aplicar o MQO às variáveis transformadas Y* e X* e obter os estimadores MELNT. Ou seja, essa transformação nada mais é que o MQG.A equação anterior é conhecida também como equação em diferenças generalizadas, ou quase equação de diferenças.


QUANDO O NÃO É CONHECIDODada a impossibilidade de conhecermos o rô, teremos que encontrar novas formas de corrigir a autocorrelação no modelo. A seguir veremos alguns métodos.

O método da primeira diferença. Um vez que podemos começar das duas posições extremas. Em um dos extremos, =0, não há autocorrelação serial (de primeira ordem) e no outro , há correlação serial positiva ou negativa.Assim, na equação de primeira diferenças teremos:


Quando utilizar a primeira diferença? Madalla sugere que esse processo seja utilizado quando a estatística de Durbin-Watson for sempre menor que o R2, ou seja, .Esse é o caso da regressão de remuneração e produtividade, pois o d=0,2176 e .No caso pelo desenvolvimento da própria diferença, não é comum entrar a constante no modelo, porém, geralmente nos testes de raízes unitárias poderemos inserir a constante assim como a componente tendência.Vamos agora verificar como fica o modelo com a inserção da primeira diferença.

https://www.youtube.com/watch?v=Ej2_nv1wh6E


O teste de Berenblutt-Webb: Existe um pequeno problema com a primeira diferença de variáveis, é que nessa situação temos que ter a condição de que =1. O teste que verifica essa hipótese é o teste de Berenblutt-Webb que será denominado por estatística g.Algebricamente podemos encontra-lo da seguinte forma:

Onde são os resíduos de MQO da regressão original (na forma de nível e são os resíduos de MQO da regressão de primeiras diferenças. Lembre-se de que na forma de primeiras diferenças não existe o intercepto.


Nos recorreremos novamente a tabela Durbin-Watson para realizar esse teste e teremos como hipótese nula:

Vamos verificar de forma prática o teste g utilizando o exemplo da remuneração média contra a produtividade.

https://www.youtube.com/watch?v=zbnEmUllUNU


FORMAS DE ENCONTRAR O .Temos agora que verificar algumas formas possíveis de encontrarmos o valor de rô. Vamos a algumas delas.

* com base na estatística Durbin-Watson: Caso estejamos impossibilitados de usar a transformação das primeiras diferenças, porque não está suficientemente próximo a 1, podemos a partir do teste de Durbin-Watson encontrar esse valor de . Para entender esse processo devemos lembrar que:

Assim podemos concluir que: Vamos verificar isso na equação de salários

https://www.youtube.com/watch?v=fbzw6W4EQHA


** O estimado pelos resíduos: a partir da regressão dos resíduos dada pelo processo AR(1), poderemos encontrar o valor de . Ou seja, o valor do coeficiente angular do resíduo defasado será uma proxy do rô.

https://www.youtube.com/watch?v=mBMpBhY1csE


O Método de Newey-West para corrigir os erros padrão do MQO.Em vez de utilizarmos o MQG, podemos corrigir os erros-padrão para autocorrelação por um procedimento desenvolvido por Newey e West. Essa técnica é nada mais nada menos que uma extensão dos erros-padrão consistentes de White. Esses erros corrigidos são conhecidos como erros padrão consistentes para heterocedasticidade e autocorrelação (CHA), ou simplesmente erros-padrão de Newey-West. Tal teste é válido apenas para grandes amostras e pode não ser adequado para pequenas amostras.Vamos ver no Gretl como estimar a regressão de salários fazendo uso desse método.

https://www.youtube.com/watch?v=SfXJplgGkc8

FIM DO TÓPICO 5

07 tópico 6 - autocorrelação

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