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Sistemas de Apoio à Decisão 1

Análise de decisão

• Decisão em ambiente determinístico - escolher a alternativa que assume o maior benefício ou o menor custo

• Decisão em ambiente não determinístico• decisão com risco• decisão com incerteza

• Decisão com critérios múltiplos


Modelos de decisão com risco

• Critérios– Critério do valor esperado ou de Bayes– Critério da máxima verosimilhança– Critério da razão insuficiente

• Utilização de árvores de decisão– Quadrado - ponto de decisão– Circulo - alternativa onde se originam ramos

representando os estados da natureza possíveis



Critério do valor esperado ou de Bayes

– calcular valor esperado para cada alternativa - soma ponderada dos benefícios da alternativa, em que os pesos são dados pelas probabilidades associadas a cada estado da natureza.



Probabilidades associadas a cada estado de natureza:

N1 - 10%N2 - 15%N3 - 25%N4 - 50%

A1 - 650*0,10 + 200*0,15 - 25*0.25 - 75*0.50 = 51,25A2 - 45*0,10 + 45*0,15 + 45*0.25 + 45*0.50 = 45A3 - 250*0,10 + 100*0,15 + 0*0.25 + 0*0.50 = 40

Critério do valor esperado ou de Bayes

A1A2A3

N1 N2 N3 N4

650 200 -25 -7545 45 45 45

250 100 0 0



Critério da máxima verosimilhança

– seleccionar o estado da natureza que apresente a maior probabilidade de ocorrência e, assumindo que esse estado vai mesmo ocorrer, escolhe-se a alternativa que apresenta o maior benefício para esse estado.



Critério da máxima verosimilhança

Estado de natureza com maior probabilidade de ocorrência - N4

Alternativa qie paresenta maior benefício para este estado - A2

A1A2A3

N1 N2 N3 N4

650 200 -25 -7545 45 45 45

250 100 0 0



Critério da razão insuficiente

– na ausência de informação, admitir que os estados da natureza são igualmente prováveis.



Critério da razão insuficiente (Laplace)

Estados de natureza igualmente prováveis:

N1 – N2 – N3 – N4 25%

A1 - 650*0,25 + 200*0,25 - 25*0.25 - 75*0.25 = 187,5A2 - 45*0,25 + 45*0,25 + 45*0.25 + 45*0.25 = 45A3 - 250*0,25 + 100*0,25 + 0*0.25 + 0*0.25 = 87,5

A1A2A3

N1 N2 N3 N4

650 200 -25 -7545 45 45 45

250 100 0 0



Árvores de decisão– Quadrado - ponto de decisão– Circulo – nós de mudança - onde se originam ramos

representando os estados da natureza possíveis

Os nós de mudanças:– São mutuamente exclusivos - só uma das mudanças

possíveis pode ocorrer;– São exaustivos – todas as mudanças possíveis estão

representadas e uma delas tem que ocorrer;– Estão representados segundo a sequência temporal

em que ocorrem.



Árvores de decisão

Alternativa 1Investir

Alternativa 2Não investir

50000

0

2500


Modelos de decisão com riscoÁrvores de decisão - Exemplo:Uma companhia enfrenta um problema relacionado com um produto (Px) desenvolvido por um dos seus laboratórios de pesquisa. Têm que decidir se prosseguem com o teste de mercado deste produto ou se simplesmente descontinuam o seu desenvolvimento. Foi estimado que o teste de mercado custará 100 mil euros. A experiência indica que apenas 30% dos produtos passam no teste de mercado.

Se Px passar no teste de mercado, a companhia terá que enfrentar uma nova decisão relacionada com as dimensões da plataforma de produção do produto. Uma pequena plataforma custa 150 mil euros a construir e permite a produção de 2000 unidades/ano, enquanto uma plataforma maior custa 250 mil euros e permite a produção de 4000 unidades/ano.

O departamento de mercado estimou que existe 40% de probabilidade da concorrência responder com um produto similar e que o preço por unidade vendida será o seguinte (em euros):

Assumindo que a vida de mercado para o produto Px está estimada em 7 anos e que os custos de funcionamento das plataformas é de 50 mil euros/ano, deve a companhia seguir em frente com o teste de mercado de Px?

Se a concorrência responder

Se a concorrência não responder

Plataforma grande Plataforma pequena

20

50

35

65


Modelos de decisão com incerteza

Critérios clássicos

– Maximínimo– Maximáximo– Minimax– Realismo



Critério maximínimo (Wald)

– maximizar o mínimo resultado que se pode obter, i.e.,– identificar o mínimo resultado que se pode obter para

cada possível escolha (30,20,0)– escolher a alternativa que maximiza este conjunto (30)

– critério pessimista - o decisor assume que o pior estado da natureza vai ocorrer

A1A2A3

N1 N2 N3

100 40 3070 80 2010 0 110



Critério maximáximo

– escolher a alternativa que maximiza o máximo benefício possível, i.e.

– escolher para cada alternativa o benefício máximo (100, 80, 110)

– escolher o maior entre estes valores (110)

– critério optimista - assume que o estado da natureza que vai ocorrer corresponde à situação que lhe é mais favorável

A1A2A3

N1 N2 N3

100 40 3070 80 2010 0 110



Critério minimax ou do arrependimento

– para cada estado da natureza, escolher o maior benefício e subtraí-lo dos restantes - pôr de parte as soluções ideais para cada estado da natureza

– escolher para cada alternativa, a maior diferença obtida (80,90,90) - escolher o estado da natureza mais desfavorável

– entre os valores assim determinados, escolher o menor (80)- tentar minimizar as maiores perdas possíveis

A1A2A3

N1 N2 N3

100 40 3070 80 2010 0 110

A1A2A3

N1 N2 N3

0 40 8030 0 9090 80 0



Critério do realismo (Hurwicz) balanço entre os critérios optimista (maximax) e pessimista

(maximin)

– escolher o índice de optimismo entre 0 e 1-a– a=0 critério pessimista– a=1 critério optimista

– escolher para cada alternativa, o maior e o menor benefícios possíveis

– ponderar da seguinte forma» (a) benefício máximo + (1-a) benefício mínimo

– escolher a alternativa com o maior benefício ponderado



Critério do realismo

Supondo a = 0,5

A1 – 0,5*100 + (1-0,5)*30 = 65

A2 – 0,5*80 + (1-0,5)*20 = 50

A3 – 0,5*110 + (1-0,5)*0 = 55

A1A2A3

N1 N2 N3

100 40 3070 80 2010 0 110


Modelos de decisão com critérios múltiplos

Modelos que se baseiam na existência de conflictos entre vários objectivos simultâneos.

Há que definir prioridades entre os vários objectivos.

Estas prioridades podem variar com o tempo e podem ser diferentes para cada decisor.

Modelos não compensatórios– comparação atributo a atributo

Modelos compensatórios– permitem compensações entre atributos



Modelos não compensatórios

• Maximin- máximo dos mínimos

• Maximax- máximo dos máximos

• Restrições conjuntivas - eliminar alternativas que não satisfazem os valores mínimos

• Restrições disjuntivas - seleccionar alternativas acima dos limiares de satisfação

• Lexicográfico - ordenação de alternativas com base no critério mais importante. Se houver empates utilizar o segundo critério e assim sucessivamente



Modelos compensatórios

• Ponderação aditiva

• Análise de concordância – método de Electre

• Método de análise hierárquica – método de Saaty

• Métodos de visualização de valores de Shilling



• Ponderação aditiva

– exige independência entre atributos– dificil atribuir pesos

Preço Fiabilidade Potência Aspecto 0.3 0.3 0.2 0.2

Preço Fiabilidade Potência AspectoA1 10 20 20 30A2 60 50 50 30A3 30 30 30 40

A1 - 10*0.3+20*0.3+20*0.2+30*0.2 = 19A2 - 60*0.3+50*0.3+50*0.2+30*0.2 = 49A3 - 30*0.3+30*0.3+30*0.2+40*0.2 = 32



• Análise de concordância – método de Electre

– criar a matriz de alternativas-impactos– estabelecer pesos para os impactos– normalizar a matriz– determinar os conjuntos de concordância e discordância– criar as matrizes de concordância e discordância a partir

dos conjuntos de concordância e discordância e dos pesos– determinar os índices de concordância e discordância para

as várias alternativas– seleccionar as alternativas com maior índice de

concordância e menor índice de discordância



• Método de análise hierárquica (AHP)– método de Saaty

– matriz cria-se através de comparações emparelhadas utilizando uma escala de 1 a 10;

– obtenção de pesos determinando o vector associado ao maior valor próprio da matriz;

– consistência nas comparações pode ser avaliada através de um índice



Preço Fiabilidade

X Y Z

Preço FiabilidadePreço -1 3Fiabilidade 1/3 -1 [ a b]

[ A - I ] = 0Vector associado ao maior

valor próprio da matriz

Escolha de um automóvel



PreçoX Y Z

X -1 3 2 Y 1/3 -1 1 Z 1/2 1 -1

[ c d e ]

FiabilidadeX Y Z

X -1 2 3 Y 1/2 -1 5 Z 1/3 1/5 -1

[ f g h ]

X - (a*c) + (b*f) Y - (a*d) + (b*g)Z - (a*e) + (b*h)



Avaliação de consistência

Se a matriz for 100% consistente apenas tem um valor próprio não nulo que é igual à sua ordem.

CI = max - M M - ordem da matrizM - 1

CR = CIRI

RI - média do valor de CI se as entradas de M fossem escolhidas aleatoriamente

n 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45

< 0.1



• Método de visualização de valores de Shilling

A1

A2

A3

100

0

Critérios

Alt

erna

tiva

s


Outros modelos

O primeiro algarismo

Sucessão de potências de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

Consideremos o primeiro algarismo significativo de cada termo:

2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, ...

(esta sucessão toma apenas valores entre 1 e 9).

Qual a frequência com que surge nesta sucessão cada um dos inteiros?

- todos surgem com igual frequência: 1/9 = 11,1% ?


Outros modelos


Resposta:

A frequência com que ocorre cada um dos inteiros aproxima-se de uma distribuição logarítmica, em que:

Lei de Benford

onde P(n) é a probabilidade de ocorrência do algarismo n.

O mesmo acontece para as potências de 3, 4, 5, 6, 7, ...; número da porta do endereço de 307 pessoas ao acaso; pesos moleculares de 1800 compostos químicos; população de 3500 cidades americanas.

nnP

11log)( 10


Outros modelos


A distribuição dos primeiros algarismos parece ser sempre a mesma distribuição logarítmica, independentemente da natureza dos números e, embora estes não estejam correlacionados entre si.

Descoberta:

Simon Newcomb (1881) e Frank Benford (1938) observam:

As tabelas de logaritmos apresentam muito mais desgaste nas primeiras páginas.


Outros modelos


Nem todas as tabelas numéricas verificam a lei de Benford: na lista telefónica portuguesa todos os números fixos começam pelo algarismo 2.

A lei de Benford é probabilística. A lei de Benford é a única distribuição de probabilidade invariante de base (Theodore Hill, 1996). É um teorema.


Outros modelos


Tipo de dados 1 2 3 4 5 6 7 8 9

30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6

Potências de 2 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,9 5,6 5,2 4,5

Moradas de Lisboa 32,5 16,6 14,6 11,4 7,8 6,2 3,9 3,6 3,2

Peso molecular 26,7 25,2 15,4 10,8 6,7 5,1 4,1 2,8 3,2

Populações (EUA) 33,9 20,4 14,2 8,1 7,2 6,2 4,1 3,7 3,0

n

11log10

Hill demonstra também que:Mesmo que cada distribuição individualmente não siga a lei de Benford, o conjunto de todas as distribuições segue.

(O mesmo acontece em relação às distribuições da tabela acima).

(Buescu, 2003)


Outros modelos


Aplicações

• Teste de modelos matemáticos: previsão da evolução das cotações da bolsa; previsão da evolução de dados demográficos.

• Fiscalização de impostos e auditorias financeiras: detecção de fraudes fiscais (as pessoas são “más” a inventar dados). A utilização da lei de Benford na detecção de fraudes fiscais foi proposta por Mark Nigrini na sua tese de doutoramento (orientada por Hill). (www.math.gatech.edu/~hill/)


Outros modelos


Se a declaração de IRS possuir, nos números que apresenta, desvios estatisticamente significativos em relação à lei de Benford, é provável que os dados sejam fictícios no todo ou em parte. Ou seja, este contribuinte deve ser investigado!

Esta técnica, proposta por Nigrini, está em vigor nos EUA, desde 1998.

Nigrini é consultor da administração fiscal de vários paises, incluindo a Holanda.

Tipo de dados 1 2 3 4 5 6 7 8 9

30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6

Dados fiscais verídicos 30,5 17,8 12,6 9,6 7,8 6,6 5,6 5,0 4,5

Dados fraudulentos 0 1,9 0 9,7 61,2 23,3 1,0 2,9 0

n

11log10

Hill, The first-digit phenomenon, American Scientist 86, 1996

sistemas de apoio à decisão 1 análise de decisão decisão em ambiente determinístico - escolher...

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