MOD Modelagem de Sistemas

Cap.05 - Sistemas de 1 Ordem

Prof. Tiago S Vtor

Referncia

Figuras retiradas do livro Engenharia de Controle Moderno, do autor Norman S. Nise, 6 ed., Ed. Wiley.

Introduo

Representao matemtica de Sistemas Funes de Transferncias

Eq. de Estado e de Sada

Aps representao Analisar respostas transiente e estacionria

Verificar se caractersticas fornecem comportamento desejado

Ordem do sistema Ordem da eq. dif.

Ordem do denominado da FT

Ordem do nmero de eq. de 1 ordem no espao de estados

5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema

Resposta do Sistema Soma de duas respostas: a resposta forada e a resposta natural.

Forada: reposta em regime permanente ou soluo particular

Natural: soluo homognia

Plos de uma FT Valores da varivel s que levam o valor da FT a tender ao infinito

Razes do polinmio caracterstico no denominador

Zeros de uma FT Valores da varivel s que anulam o valor da FT a tender ao infinito

Razes do numerador

5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema

Plos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem Exemplo para G(s)

Polo em s = -5

Zero em s = -2

5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema

Resposta ao degrau Multiplicando G(s) por uma funo degrau

1. Polo de entrada gera resposta forada

Polo na origem gerou degrau na sada

2. Polo da FT gera resposta natural

Polo em -5 gerou (e-5t)

3. Polo sobre eixo real

Gera resposta exponencial e-t

a localizao do polo no eixo real

Quanto mais esquerda, mais rpido o decaimento para zero

4. Zeros e polos geram amplitudes para ambas respostas forada e natural (A e B)

5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema

5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema

Tcnica para obter resposta por inspeo Cada polo do sistemas (sobre o eixo real)

Gera uma resposta exponencial da resposta natural

Polo de entrada Gera resposta forada

5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema

Exemplo Escrever sada c(t) em termo gerais. Identificar termos natura e forado.

TL-1

Lista 5A

Para G(s) Escrever por inspeo a sada c(t) em termos gerais para uma entrada degrau

Os polos determinam a natureza da resposta no domnio do tempo.

5.3 Sistemas de 1 Ordem

Comportamento destes sistemas Sem zeros para que as especificaes de desempenho sejam definidas

Para entrada degrau: R(s) = 1/s

TL-1

Parmetro a. Quanto t = 1/a :

3 especificaes de desempenho da resposta transiente: , Tr e Ts

5.3 Sistemas de 1 Ordem

Constante de Tempo () Fator 1/a

Tempo para o termo e-at decair 37% do valor inicial

Tempo necessrio para resposta ao degrau atingir 63% do valor final

Velocidade que o sistema responde a uma entrada degrau Mais afastado o polo do eixo imaginrio, mais rpida a resposta transiente

Inverso da Constante de Tempo Termo a, 1/segundo: frequncia exponencial

Derivada de e-at em t = 0 vale a. a representa a taxa inicial de variao da exponencial em t = 0

5.3 Sistemas de 1 Ordem

Tempo de subida, Tr Tempo necessrio para partindo de 10% atinja 90% do valor final

Diferena no tempo entre c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1

5.3 Sistemas de 1 Ordem

Tempo de assentamento, Ts Tempo para a resposta alcanar uma faixa de valores de 2% em torno do seu

valor final e ali permanecer

Fazendo c(t) = 0,98

5.3 Sistemas de 1 Ordem

FT de 1 ordem obtidas experimentalmente FT uma representao do sistema da entrada at a sada

Resposta a degrau pode conduzir uma representao mesmo no se conhecendo internamente o sistema

Com um degrau unitrio, pode-se Medir Constante de Tempo

Valor em Regime Estacionrio

Assim, encontra FT

Caractersticas da reposta 1 ordem: - no presena de sobre valor- Inclinao inicial no-nula

Valor Final: 0,72 Valor em : 0,63 x 0,72 = 0,45

Em 0,45: = 0,13 s a = 1/0,13 = 7,7

Resposta forada atinge valor em regime estacionrio de K/a = 0,72

Logo, K = 5,54

Grfico gerado de:

Lista 5B

Obter Tc, Tr e Ts

Para a FT