Teoria Eletromagnética

Profa. Úrsula do Carmo Resende

2014

SISTEMA E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

Teoria Eletromagnética

Introdução

� Em eletromagnetismo as variáveis são funções do espaço e dotempo. Assim para descrever corretamente as variações espaciaisdeve-se definir qualquer ponto de maneira única e adequada,através de um sistema de coordenadas apropriado.

� A escolha do sistema de coordenadas apropriado pode facilitar asolução do problema.

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Cartesiano

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Cartesiano

z

y

x

P(x, y, z)

Intervalos de variação:

- ∞ < x < ∞

-∞ < y < ∞

- ∞ < z < ∞

Vetor:

(Ax, AY, AZ) ou Ax ax + Ay ay + Az az

Para os vetores unitáriosortogonais tem-se:

1

0

x x y y z z

x y y z z x

x y z

y z x

z x y

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

× =

× =

× =

a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a a a

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Cilíndrico

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Cilíndrico

z

y

x

P(r, φ, z)

ρφ

Intervalos de variação:

0 < ρ < ∞

0 < φ < 2π

- ∞ < z < ∞

Vetor:

(Aρ, A φ, AZ) ou Aρ a ρ + A φ aφ + Az az

aφ não é dado em graus

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Cilíndrico

2 2 2zA A Aρ ϕ= + +A

Para os vetores unitáriosortogonais tem-se:

1

0z z

z z

z

z

z

ρ ρ ϕ ϕ

ρ ϕ ϕ ρ

ρ ϕ

ϕ ρ

ρ ϕ

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

× =

× =

× =

a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a a a

z

y

x

P(r, φ, z)

ρφ

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Cilíndrico

Pode ser demonstrado que:

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Cilíndrico

As relações entre os unitários são:

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Esférico

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Esférico

z

y

x

P(r, φ, θ)

r

φ

θ

Intervalos de variação:

0 < r < ∞

0 < θ < 2π

0 < φ < 2π

Vetor:

(Ar, A θ, Aφ) ou Ar ar + Aθ aθ + A φ aφ

aθ e aφ não é dado em graus

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Esférico

Para os vetores unitáriosortogonais tem-se:

1

0r r

r r

r

r

r

θ θ ϕ ϕ

θ θ ϕ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

ϕ θ

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

× =

× =

× =

a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a a a

z

y

x

P(r, φ, θ)

r

φ

θ

2 2 2rA A Aθ ϕ= + +A

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Esférico

Pode ser demonstrado que:

Teoria Eletromagnética

Sistema de Coordenadas Esférico

As relações entre os unitários são:

Teoria Eletromagnética

Transformação de Sistemas de Coordenadas

A transformação de uma quantidade vetorial de um sistema decoordenadas em outro é feita em duas etapas. Na primeira, Faz-se asubstituição das coordenadas de um sistema para a do outrosistema, empregando as relações apresentadas. Na segunda etapa,faz-se a transformação dos vetores unitários.

Teoria Eletromagnética

Vetor Posição

O vetor posição, r, de um ponto P é o vetor que começa na origem O dosistema de coordenadas e termina no ponto P, ou seja:

zyx zyxOP aaar ++==

z

y

x

P(x, y, z)

Diferença de ponto e vetor !!!

O

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Vetor Distância

O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro.

Teoria Eletromagnética

Vetor Distância

( ) ( ) ( )212

212

212

2 zzyyxxd −+−+−=

12 rrd −=

( ) ( )2121221

21

22

2 cos2 zzd −+−−+= φφρρρρ

)cos(sinsin2coscos2 12122112212

12

22 φφθθθθ −−−+= rrrrrrd

O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro.

P1

O

d

P2

r1

r2