sistema de coordenadas planas utm - apostila

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SISTEMA UTM

Sistema de coordenadas planas UTM Conceitos e aplicaes

1 - Introduo

O sistema de coordenadas planas UTM baseado na projeo de Mercator cria-do por Geradus Mercator em 1569.

Geradus Mercator o nome latino de Gerhard Kremer nascido em Rupelmonde, na regio de Flandres, atu-almente Blgica, no dia 5 de maro de 1512.

Em 1530, Mercator ingres-sou no curso de Humanida-des e Filosofi a na Univer-sidade de Louvain a mais antiga Universidade da Blgica (fundada em 1425) formando-se em 1532.

Em 1534, Mercator retor-nou a Universidade de Lou-vain para cursar matem-tica e se tornou assistente de Gemma Frisius (1508-1555) matemtico, astrno-mo e construtor de globos, mapas e instrumentos as-tronmicos onde aprendeu a arte de fazer globos e mapas.

Em 1536, construiu um glo-bo terrestre para o impe-rador Carlos V. O Primeiro mapa de Mercator foi feito

em 1537 e retratava a Pa-lestina no tempo de Moi-ss (desenhou o caminho percorrido pelos judeus na sada do Egito).

Em 1540, desenhou o mapa de Flandres e em 1564 elaborou o mapa das ilhas Britnicas.

Em funo de sua confi s-so Protestante (mesmo prestando servio para os catlicos), Mercator foi acusado de heresia pela inquisio espanhola sen-do preso em Rubelmonde em fevereiro de 1544. Aps ser solto, depois de sete meses, Mercator mu-dou-se para Duisburg, no oeste da Alemanha, onde construiu a sua prpria ofi cina para impresso de mapas.

Aps ter elaborado o mapa da Europa utili-zando a projeo cnica, tambm preparou os ma-pas da Frana, Alemanha, Holanda e Grcia.

Em 1569, criou a proje-o cilndrica e desenhou o mapa-mundi para a na-vegao.

Mercator foi o primeiro cartgrafo a efetuar a quadratura do circulo que transforma a esfera terrestre num pla-no retangular onde todos os oceanos e continentes se alinhavam a partir do Equador, separados por quadriculado com 24 traados verticais e 12 traa-dos paralelos (que se estendiam na direo dos trpicos). O mapa mundi de Mercator permitia aos pilotos do mar fi xar sobre a carta, uma rota entre dois pontos navegados em curva. Este traados, foi denominado por Mercator de Loxdromo.

Entre 1590 e 1592, foi abalado por dois derrames, falecendo em Duisburg no dia dois de dezembro de 1594.

Geradus Mercator divulgao / www.neumann-walter.de

Figura 01 - Projeo do Mercator

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SISTEMA UTM

2 - Projeo conforme de Grauss

O termo UTM (Universal Transversa de Mercator) atribudo a projeo de Mercator. No entanto, o sistema de coordena-das planas UTM, na concepo atual, levou em considerao o aperfeioamento introduzido por Gauss no sistema de proje-o utilizando o cilindro secante em substituio ao cilindro tan-gente. Gauss apresentou o modelo matemtico posteriormente aprimorado por Pierre Tardi, geodesista francs, na dcada de 1930.

Na dcada de 40 (1947) ofi ciais da marinha dos Estados Uni-dos especialistas em Cartografi a e Geodsia prepararam as tabelas para clculos geodsicos no sistema UTM utilizando os parmetro dos elipsides de Clarke (1880) - aplicado nos Estados Unidos e Hayford (1909) - aplicado nas demais pases do mundo como recomendao da Assemblia Geral da Asso-ciao de Geodsia da UGGI - Unio Geofsica e Geodsica Internacional.

As coordenadas retangulares utilizadas, inicialmente, nos ma-pas militares eram obtidas a partir das coordenadas geodsica Latitude/Longitude atravs de clculos onde eram aplicadas o coefi cientes previamente tabelados. E estima-se que aproxima-damente 500 ofi ciais trabalharam na preparao das tabelas usando rgua de clculo.

Na confi gurao atual, no sistema retangular, a Terra dividida em 60 fusos de 6 de longitude cada um tendo incio no antime-ridiano de Greenwich ( = 180) crescendo de oeste para leste. Na latitude os paralelos so divididos em zonas de 4 com limite na latitude 80 sul e 84 Norte (para contemplar reas de inte-resse dos Estados Unidos no hemisfrio norte).

Em 1967, a Assemblia Geral da Associao Geodsica e Geo-fsica Internacional, realizada em Lucerne, na Sua, recomen-dou a adoo do sistema Geodsico de referncia 1967. Em 1969, foi defi nido o sistema Geodsico Sul - Americano que adotou, para modelo geomtrico da Terra, o elipside de refe-rncia UGGI 1967.

A partir de 1980 o instituto Brasileiro de Geografi a e Estatstica defi niu e adotou o sistema Geodsico Brasileiro que coincide com o Sul-Americano.

Em 1981, o professor Luiz Carlos da Silveira - Professor de Ge-odsia no curso de Engenharia de Agrimensura da Escola Su-perior de Tecnologia de Cricima, atual universidade do Extre-mo Sul Catarinense, calculou, para as latitudes brasileiras, os coefi cientes geodsicos usados nas frmulas de transformao de coordenadas e cl-culo da convergncia meridiana.

Em 1984, a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul publicou as tabelas, frmulas e exemplos aplicativos com o ti-tulo Tabelas e Fr-mulas para Clculos Geodsicos no Siste-ma UTM - Calculadas para o elipside UGGI - ref.1967 - SAD 69. O livro teve o prefcio es-crito pelos professores Clvis Carlos Carrara e Francisco Humber-to Simes Magro, do Departamento de Ge-odsia do Instituto de Geocincias da Uni-versidade Federal do Rio Grande do Sul.

Em 1990, o professor Luiz Carlos da Silveira publicou o livro Clcu-los Geodsicos no sis-tema UTM Aplicadas a topografi a.

O livro foi referncia para mais de cinquen-ta teses de doutora-dos e dissertaes de mestrados em todo o Brasil . Atualmente en-contra-se com edio esgotada.

Johann Carl Friedrich Gauss nasceu em Braunschweig, na regio da Saxnia, no dia 30 de abril de 1777 e morreu em Gottingem no dia 23 de fevereiro de 1855.

Foi matemtico, astrnomo, fsico e geodesista.

Descobriu o mtodo dos mnimo quadrados para ajustamento de observaes geodsicas/topogrfi cas. Gauss foi o descobridor do Heliotrpio usado em triangulaes geodsicas.

Na rea de Cartografi a, aperfeioou o sistema da projeo de Mercator apresentando a modelagem matemtica para transformao de coordenadas geodsicas lat/long em coordenadas planas-retangulares.

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SISTEMA UTM

3 - Caractersticas tcnicas do sistema de coordenada pla-nas UTM

As principais caractersticas do sistema de coordenadas planas UTM so:

a - Projeo cilndrica de Mercator ou Projeo conforme de Gauss.

b - Fusos de 6 de amplitude limitados por meridianos nas lon-gitudes multiplicar de 6.

c - Limitao para o sistema UTM at a latitude 84 para norte e 80 para o sul a partir do equador.

d - Coefi ciente de escala no meridiano central.

K0 = 0,9996

e - Origem do sistema de coordenadas UTM.

Cruzamento do equador com o meridiano central (MC) do fuso.

E = 500.000 no meridiano central;N = 10.000.000 no equador para o hemisfrio sul;N = 0 no equador para o hemisfrio norte.

f - Designao das coordenadas.

Ordenada = N (Latitude)Abscissa = E (Longitude)

g - Sistema formado por eixos cartesianos ortogonais.

Eixo E paralelo ao equador;Eixo N paralelo ao meridiano central;

h - Representao grfi ca da projeo.

Figura 02 - A Terra no cilindro de projeo

Figura 06 - O fuso de projeo no cilindro

Figura 04 - Esquema de projeo no sistema UTM

Figura 05 - Detalhe do fuso de projeo no sistema UTM

Figura 06 - Detalhe do fuso em corte

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SISTEMA UTM

Na fi gura 06:

Zona de ampliao SPI > Se1 K > 1Zona de reduo SP2 < Se2 K < 1Zona de secncia SP = Se K = 1

Se = Distncia na superfcie do elipsideSP = Distncia plana no sistema de coordenadas UTM

4 - Transformao de coordenadas geodsicas lat/long em coordenadas planas UTM - Datum SIRGAS 2000

4.1 - Parmetros do elipside GRS - 80 Datum Sirgas 2000

Semi-eixo equatorial a = 6.378.137,000Semi-eixo polar b = 6.356.752,3141

1 excentricidade

e = 0,0818191910428

2 excentricidade

e = 0,0820944381519

4.2 - Determinao das coordenadas planas UTM

N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

N = 10.000.000 - N E = 500.000 EP = 0,0001 x

= | -MC | x 36004.2.2 - Determinao dos coefi cientes para o elipside

GR80

Elipside GRS80 Datum SIRGAS 2000

A = 1,005052501813

B = 0,005063108622

C = 10,62759026 x 10 - 6

D = 20,82037857 x 10 - 9

E = 3,932371371 x 10 - 11

F = 6,554547942 x 10 - 14

4.2.3 - Determinao dos coefi cientes das frmulas

I = Ko x S

K0 = 0,9996 (Ko do sistema UTM)

N = Grade Normal

IV = N x cos x sen 1 x Ko x 104

4.2.4 - Determinao de E

E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

E = 500.000 X

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SISTEMA UTM

+ E para ponto situado a leste do MC- E para ponto situado a oeste do MC

4.2.5 - Determinao de N

N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

N = 10.000.000 - N

5 - Transformao de coordenadas planas sistema UTM em coordenadas geodsicas Lat/Long

5.1 - Frmulas utilizadas

N = 10.000.000 - NE = 500.000 - E

5.1.1 - Determinao de (mtodo das aproximaes sucessivas)

1 Aproximao

2 Aproximao

3 Aproximao

4 Aproximao

5 Aproximao

6 Aproximao

Para o clculo de bastam 6 aproximaes.Determinao de q

q = 0,000001 x E

E = 500.000 E

5.1.2 - Clculo da latitude

Determinao dos coefi cientes

Clculo de N

5.1.3 - Clculo da longitude

Determinao dos coefi cientes

= MC

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SISTEMA UTM

Ponto a leste do MC - = MC -

Ponto a oeste do MC - = MC +

6 - Exemplo aplicativo

6.1 - Transformao de coordenadas geodsicas Lat/Long em coordenadas planas sistema UTM. Datum SIRGAS 2