sistema de contagem com morfologia matemática fuzzy · 2017-11-03 · elétrica da ufrn (área de...

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Sistema de Contagem com MorfologiaMatemática Fuzzy

Alexsandra Oliveira Andrade

Orientador: Profª. Drª. Ana Maria Guimarães Guerreiro

Co-orientador: Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Tese de Doutorado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica da UFRN (área de concentração:Sistemas Inteligentes) como parte dos requi-sitos para obtenção do título de Doutora emCiências.

Número de ordem PPgEEC: M131Natal, RN, Novembro de 2014

UFRN / Biblioteca Central Zila MamedeCatalogação da Publicação na Fonte.

Andrade, Alexsandra Oliveira.Sistema de contagem com morfologia matemática fuzzy / Alexsandra Oliveira

Andrade - Natal, RN, 2014139 f.: il.

Orientadora: Drª. Ana Maria Guimarães GuerreiroCo-orientador: Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro deTecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.

1. Morfologia Matemática Fuzzy - Tese. 2. Processamento de Imagem -Tese. 3. Morfologia Matemática - Tese. 4. Adjunções - Tese. 5. Automorfismo- Tese. I. Guerreiro, Ana Maria Guimarães. II. Santiago, Regivan Hugo Nunes.III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título.

RN/UF/BCZMCDU 519.6


Alexsandra Oliveira Andrade

Tese de Doutorado aprovada em 29 de novembro de 2014 pela banca examinadoracomposta pelos seguintes membros:

Profª. Drª. Ana Maria Guimarães Guerreiro(orientadora) . . . . . . . . DEB/UFRN

Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago (co-orientador) . . . . . . DIMAP/UFRN

Prof. Dr. Roque Mendes Prado Trindade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DCET/UESB

Prof. Dr Benedito Melo Acioly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DCET/UESB

Profª. Drª Heliana Bezerra Soares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DEB/UFRN

Prof. Dr Adrião Duarte Doria Neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DCA/UFRN

A Deus, Rafa, Gigi e amigos.

Agradecimentos

Primeiramente a Deus, este ser maior que rege todas as coisas.

À minha orientadora e ao meu co-orientador, professores Drª. Ana Maria GuimarãesGuerreiro e Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago, sou grata pela orientação.

Aos professores: Dr. Roque Mendes Prado Trindade, Dr. Benedito Melo Acioly, Drª.Heliana Bezerra Soares e Dr Adrião Duarte Doria Neto, os quais compuseram a bancaexaminadora.

A todos os funcionários do DCA e do PPgEEC, com um carinho especial para o professorDr. Luiz Marcos Gonçalves pelo apoio em todos os momentos.

Aos colegas Roque, Clenia, Vanêssa, Alzira, Reginaldo(in memorian), Divino, Ubirajarae discentes Deise, Alecio, Isadora, Juliane e Matheus pelo apoio durante todo o processo.

Aos demais colegas do DCET/UESB pelo apoio, especialmente Rose e Celina pela atençãoe cuidado.

Aos demais colegas de pós-graduação, em especial, Rafael Aroca, Nathalee, Rodrigo,Flaulles, Ronildo, Adriano e aos amigos Neide, Geraldo, Marcio e Soraia que foi depresença indispensável e apoio incondicional.

Aos membros do LoLITA;

À minha família pelo apoio durante esta jornada, especialmente a Giselle e Rafaella.

À UESB e UFRN, pelo apoio financeiro.

Resumo

A Morfologia Matemática apresenta um modelo sistemático para extrair característi-cas geométricas de imagens binárias usando operadores morfológicos que transformam aimagem original em outra, por meio de uma terceira imagem, chamada elemento estru-turante que teve origem em 1960 pelos pesquisadores Jean Serra e George Matheron. Amorfologia matemática fuzzy estende os operadores morfológicos para imagens em tonsde cinza e coloridas e foi inicialmente proposta por Goetherian utilizando a lógica fuzzy.Usando essa abordagem é possivel fazer um estudo dos conectivos fuzzy, que permite al-gumas possibilidades de analise para a construção de operadores morfológicos e suas apli-cabilidades no processamento de imagens. Neste trabalho, propõe-se o desenvolvimentodos operadores morfológicos fuzzy utilizando as R-implicações para auxiliar e aperfeiçoaro processamento de imagens e em seguida a construção de um sistema com esses opera-dores para contar os esporos de fungos micorrízicos e as células sanguíneas vermelhas.Utilizou-se como metodologias a hipotetico-dedutiva para a parte formal e a incremental-iterativa para a parte experimental. Esses operadores foram aplicados em imagens digitaise microscópicas. As conjunções e implicações da fundamentação matemática da morfolo-gia fuzzy foram utilizadas para escolher a melhor adjunção a ser aplicada dependendo doproblema a ser abordado, ou seja, utilizaremos automorfismos sobre as implicações eobservaremos a influência na segmentação das imagens e posteriormente no processa-mento das mesmas. Para validação do sistema desenvolvido, foi aplicado em problemasde contagem de esporos de fungos micorrízicos estendendo-se para imagens de célulassanguíneas vermelhas. Foi constado que para a contagem dos esporos o melhor operadorfoi a erosão de Gödel. Desenvolveu-se três grupos de operadores morfológicos fuzzy,Lukasiewicz, Gödel e Goguen que podem ter uma variedade aplicações.

Palavras-chave: morfologia matemática fuzzy, processamento de imagem, morfolo-gia matemática, adjunções, automorfismos.

Abstract

Mathematical Morphology presents a systematic approach to extract geometric fea-tures of binary images, using morphological operators that transform the original imageinto another by means of a third image called structuring element and came out in 1960by researchers Jean Serra and George Matheron. Fuzzy mathematical morphology ex-tends the operators towards grayscale and color images and was initially proposed byGoetherian using fuzzy logic. Using this approach it is possible to make a study of fuzzyconnectives, which allows some scope for analysis for the construction of morphologicaloperators and their applicability in image processing. In this paper, we propose the devel-opment of morphological operators fuzzy using the R-implications for aid and improveimage processing, and then to build a system with these operators to count the sporesmycorrhizal fungi and red blood cells. It was used as the hypothetical-deductive method-ologies for the part formal and incremental-iterative for the experimental part. Theseoperators were applied in digital and microscopic images. The conjunctions and impli-cations of fuzzy morphology mathematical reasoning will be used in order to choose thebest adjunction to be applied depending on the problem being approached, i.e., we willuse automorphisms on the implications and observe their influence on segmenting imagesand then on their processing. In order to validate the developed system, it was applied tocounting problems in microscopic images, extending to pathological images. It was notedthat for the computation of spores the best operator was the erosion of Gödel. It developedthree groups of morphological operators fuzzy, Lukasiewicz, And Godel Goguen that canhave a variety applications.

Keywords: fuzzy mathematical morphology, image processing, mathematical mor-phology, adjunctions, automorphisms.

.

Sumário

Sumário 8

Lista de Figuras 11

Lista de Tabelas 15

Lista de Símbolos e Abreviaturas 17

1 Introdução 11.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Organização da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Estado da Arte 52.1 Estado da Arte em Morfologia Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Estado da Arte em Morfologia Matemática Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Estado da Arte em Contagem usando as Morfologias . . . . . . . . . . . . 112.4 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Processamento de Imagens 153.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Fundamentos de Imagens Digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Aquisição e Digitalização de Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.2 Propriedades da Imagem Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Realce e Filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.1 Filtragem no Domínio Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 Filtragem no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Segmentação de Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.1 Detecção de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.2 Ligação de Bordas e Detecção de Fronteiras . . . . . . . . . . . . . 293.4.3 Limiarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.4 Segmentação Orientada a Regiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Morfologia Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5.1 Dilatação e Erosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5.2 Abertura e Fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9

3.5.3 Transformação Hit-or-Miss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.4 Algoritmos Morfológicos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Morfologia Matemática Fuzzy 434.1 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Ordens Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.3 Elementos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.4 Ideais e Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.5 Transformações sobre Ordens Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.6 Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Conjuntos Fuzzy e Lógica Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.1 Conectivos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.2 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Morfologia Matemática Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Operadores Morfológicos no Processamento de Imagens 575.1 Operadores Morfológicos em Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1 Ferramenta Computacional no Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1.2 Verificando as R-implicações de Weber e Fodor . . . . . . . . . . 63

5.2 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Morfologia Fuzzy e Contagem de Esporos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3.1 Micorrizas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3.2 Aplicação dos Conectivos de Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . 715.3.3 Aplicação dos Conectivos de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4 Morfologia Fuzzy e Contagem de Células do Sangue . . . . . . . . . . . . 855.4.1 Células Sanguíneas Vermelhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


6 Sistema de Contagem com Morfologia Matemática Fuzzy 916.1 Sistema de Contagem usando Morfologia Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.1 Planejamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.1.2 Implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.1.3 Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


7 Conclusão e Trabalhos Futuros 1017.1 Publicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Referências Bibliográficas 104

A Manual do Usuário 115

Lista de Figuras

3.1 4-vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Diagonal-vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 8-vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 (a) 8-vizinhos do pixel central, (b) m-vizinhos do pixel central. . . . . . . 193.5 Expansão de um pixel em 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6 Imagem Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7 Imagem Ampliada de 2 vezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.8 Imagem Reduzida de 2 vezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.9 Exemplo de Rotação de 90○ no sentido horário . . . . . . . . . . . . . . . 233.10 Exemplo de flipping horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.11 Exemplo de warping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.12 Resposta em frequência dos principais tipos de filtros. . . . . . . . . . . . 253.13 Exemplos de Dilatação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.14 Exemplos de Erosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.15 Exemplos de Abertura e Fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.16 Exemplos de Extração de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.17 Exemplos de Extração de componentes conectados . . . . . . . . . . . . . 383.18 Exemplos de Casco Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.19 Exemplos de Espessamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.20 Exemplos de Esqueletização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1 Processamento da letra g com elemento estruturante circular vermelho . . 55

5.1 (a) Imagem Original Cinza, (b) Imagem Original Colorida, (c) ElementoEstruturante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 (a) Erosão em Tons de Cinza , (b) Dilatação em Tons de Cinza. . . . . . . 585.3 (a) Erosão Lukasiewicz, (b) Erosão de Gödel, (c) Erosão de Goguen. . . . 585.4 (a) Dilatação de Lukasiewicz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação de

Goguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5 (a) Abertura de Lukasiewicz, (b) Abertura de Gödel, (c) Abertura de

Goguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6 (a) Fechamento de Lukasiewicz, (b) Fechamento de Gödel, (c) Fechamento

de Goguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.7 (a) Erosão de Lukasiewicz, (b) Erosão de Gödel,(c) Erosão de Goguen. . 605.8 (a) Dilatação de Lukasiewicz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação de

Goguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11

5.9 (a) Abertura de Lukasiewicz, (b) Abertura de Gödel, (c) Abertura deGoguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.10 (a) Fechamento de Lukasiewicz, (b) Fechamento de Gödel, (c) Fechamentode Goguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.11 (a) Histograma da Imagem Original, (b) Histograma da erosão de Lukasiewicz,(c) Histograma erosão de Gödel, (d) Histograma erosão de Goguen. . . . 61

5.12 Ferramenta Computacional no Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.13 (a )Imagem com Função Epsilon Weber Cinza, (b) Imagem com Função

Epsilon Weber Colorida, (c) Imagem com Função Epsilon Fodor Cinza,(d) Imagem com Função Epsilon Fodor Colorida. . . . . . . . . . . . . . . 64

5.14 (a) Erosão de Lukasiewcz, (b) Erosão de Gödel, (c) Erosão de Goguen. . 665.15 (a) Dilatação de Lukasiewcz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação de

Goguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.16 (a) Erosão de Lukasiewcz, (b) Erosão de Gödel, (c) Erosão de Goguen. . 675.17 (a) Dilatação de Lukasiewcz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação de

Goguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.18 (a) Erosão de Lukasiewcz, (b) Erosão de Gödel, (c) Erosão de Goguen. . 695.19 (a) Dilatação de Lukasiewcz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação de

Goguen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.20 (a) Imagem Original, (b) Elemento Estruturante. . . . . . . . . . . . . . . . 715.21 (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fun-

gos, (c) Imagem com Dilatacão, (d) Imagem com Detecção de Esporosde Fungos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.22 (a) Imagem com Abertura, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fun-gos, (c) Imagem com Fechamento, (d) Imagem com Detecção de Esporosde Fungos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.23 (a) Imagem com Erosão depois Abertura, (b) Imagem com Detecção deEsporos de Fungos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.24 (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fun-gos, (c) Imagem com Dilatação , (d)Imagem com Detecção de Esporosde Fungos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.25 (a) Imagem com Abertura, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fun-gos, (c) Imagem com Fechamento, (d) Imagem com Detecção de Esporosde Fungos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.26 (a) Imagem com Erosão depois Abertura, (b) Imagem com Detecção deEsporos de Fungos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.27 Gráficos de Análise de Regressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.28 Imagem Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.29 Elementos Estruturantes formados por quadrados . . . . . . . . . . . . . . 805.30 Elementos Estruturantes com Bordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.31 (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com detecção de esporos,(c) Ima-

gem com máscara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.32 Preto = pixel central; Vermelho = pixels nas extremidades a uma determi-

nada distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.33 Exemplo de esporos agregados e parte do esporo que se separou. . . . . . 855.34 Elementos Estruturantes usando quadrados pretos e cinzas . . . . . . . . . 885.35 Pixel preto circulado de azul é o pixel processado e os pixels circulados

de vermelho são os pixels em volta dele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.36 (1) Imagem Original, (2) Remover Células Brancas, (3) Imagem com

fundo preto, (4) Imagem com preenchimento do interior das células, (5)Imagem com Erosão, (6) Imagem binária com máscara. . . . . . . . . . . 89

6.1 (a) Imagem Original de Esporos, (b) Imagem Original de Célula Sanguínea. 926.2 (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com detecção de esporos, (c) Ima-

gem com máscara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3 (1) Imagem Original, (2) Remover Células Brancas, (3) Imagem com

fundo preto, (4) Imagem com preenchimento do interior das células, (5)Imagem com Erosão, (6) Imagem binária com máscara. . . . . . . . . . . 94

6.4 Versão 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5 Versão 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.6 Versão 2.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.7 Ferramenta Computacional no Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Lista de Tabelas

4.1 Algumas T-normas Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Exemplos de Algumas Implicações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Algumas R-Implicações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4 Comparação entre as R-implicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1 Comparação entre os métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Processamentos possíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3 Número de imagens com contagem acima de 80% do primeiro teste . . . 805.4 Número de imagens com contagem acima de 80% do segundo teste . . . . 805.5 Número de imagens com contagem acima de 80% do terceiro teste . . . . 815.6 Número de imagens com contagem acima de 80% do quarto teste . . . . . 815.7 Número de imagens com contagem acima de 80% do quinto teste . . . . . 815.8 Número de imagens com contagem acima de 80% no teste com elementos

circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.9 Faixas do sistema RGB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

15

Lista de Símbolos e Abreviaturas

IdA Função Identidade do conjunto A

∇ f notação do gradiente de f

∇2 f notação do laplaciano de f

BIH Beth Israel Hospital

BMP Extensão utilizada para imagens digitais

ECG Eletrocardiograma

FMAMs Fuzzy Morphological Associative Memories

FMAs Fungos Micorrízicos Arbusculares

FPA Filtro passa-Alta

FPB Filtro Passa-Baixa

GHz Giga-hertz é multiplo do Hertz

HSB Sistema de cores que utiliza matiz, saturação e brilho

HSI Sistema de cores que usa matiz, saturação e intensidade

JPEG Extensão utilizada para imagens digitais

kB Kilobyte é um múltiplo de uma unidade byte

MAs Micorrizas Arbusculares

MIT Massachusetts Institute of Technology

PNG Extensão para imagens digitais

QRS Corresponde a despolarização ventricular, ou seja, picos.

RGB Sistema de cores baseado no vermelho, verde e azul.

SVA Sistema de Visão Artificial

TF Transformada de Fourier

17

TFI Transformada de Fourier Inversa

UESB Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

XLS Extensão para planilha eletrônica

YIQ Sistema de cores onde temos luminância, matiz e saturação.

Capítulo 1

Introdução

Morfologia matemática é uma coleção de operações que produz resultados úteis naárea de processamento de imagem. As suas origens são os estudos de mídias porosas nadécada de 1960, pelo grupo de pesquisadores franceses liderado por Georges Matherone Jean Serra, da École Superieure de Mines de Paris [Serra 1969, Matheron 1967]. Elesintroduziram um formalismo relacionando a teoria de conjuntos para a análise de imagensbinárias. O princípio básico da Morfologia consiste em extrair de uma imagem a suageometria e topologia através da utilização de uma outra imagem completamente definida,chamada de elemento estruturante.

Pelo fato da morfologia matemática ser originalmente definida em imagens binárias,a maioria das teorias para a extensão da morfologia matemática tentou ampliar esse fatoa imagens em tons de cinza e coloridas [Serra 1982, Sternberg 1986b]. Algumas dessasteorias se baseiam nas seguintes abordagens:

1. Umbra. Uma imagem em escala de cinza é considerada como uma paisagem emtrês dimensões que utilizando ferramentas adequadas podem ser transformadas embidimensional.

2. Conjuntos Limiar. Em cada conjunto, no qual a imagem foi decomposta, pode-seaplicar um operador binário, que sintetiza uma transformada em escala de cinza daimagem.

3. Reticulados Completos. Abordagem algébrica de morfologia matemática, utilizareticulados completos como ferramentas matemáticas para a produção de operado-res morfológicos.

4. Lógica Fuzzy. Utiliza a lógica fuzzy e conjuntos fuzzy para a construção dos ope-radores.

O primeiro autor a se utilizar da lógica fuzzy na morfologia matemática foi Goetcherian[Goetcherian 1980]. Desde então vários autores vêm trabalhando com esta abordagemcomo por exemplo, Sinha e Dougherty [Sinha & Dougherty 1992, Sinha & Dougherty1993], Bloch e Maitre [Bloch & Maître 1994, Bloch & Maître 1995], De Beats, Nachte-gael e Kerre [Baets 1997, Baets & Kerre 1995, Nachtegael & Kerre 2001] e Deng e Heij-mans [Heijmans & Deng 2002].

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Morfologia matemática tem sido usada em muitas áreas, como, por exemplo, classifi-cação de raios solares [Romeo et al. 2011], classificação de soja [Benalcazar et al. 2011],digitalização de documentos [Dhore et al. 2011], separação de cérebro do crânio emimagens de ressonância magnéticas [Santillan et al. 2011], contagem de elementos, evárias outras [Bewes et al. 2008, Poomcokrak & Neatpisarnvanit 2008, Wenzhong &Shugun 2008]. A morfologia matemática fuzzy é muito utilizada no pré-processamentode imagens na fase de segmentação. Esta etapa em alguns casos pode ser uma tarefadifícil, haja vista que, por exemplo, na separação ou identificação de micro-organismos,proteínas ou células em imagens microscópicas, venha ocorre a sobreposição.

1.1 Motivação

O processamento digital de imagens vem sendo utilizada em várias áreas de con-hecimentos, especificamente na área de Medicina, o que tem facilitado o diagnóstico depatologias que pode ser visto na literatura. O crescente interesse pelo uso de ferramentasda morfologia matemática para isso é facilmente detectado. O foco maior de motivaçãofoi a possibilidade de criação de diferentes morfologias matemáticas fuzzy que poderiamter repercussões diferentes nas imagens e ter aplicações diferentes a depender de seu usoauxiliando e melhorando o processamento de imagem.

No desenvolvimento deste trabalho foi possível auxiliar o professor da UESB, DivinoLevi Miguel, da área de microbiologia do solo na contagem de esporos de fungos micor-rízicos. Micorrizas é uma associação entre um grupo de fungos do solo e a maioria dasplantas vasculares terrestres, epífitas, aquáticas e também com rizoides e talos de briófitase outros vegetais basais. Esse grupo de fungos é chamado de fungos micorrízicos arbus-culares. A contagem dos esporos desses fungos é de suma importância, pois indicam onível de absorção de água e nutrientes, principalmente fósforo, que melhoram o estadonutricional da planta e promovem redução de perdas por estresses, sejam eles bióticosou abióticos e é feita de forma manual com o auxílio de um microscópio estereoscópico,levando horas. Por isso, a contagem automática dos esporos de fungos micorrízicos éde grande relevância para a área de agronomia. Também junto ao professor da UESBUbirajara Cairo tratamos a contagem de células sanguíneas vermelhas com a morfologiafuzzy pelo fato de essas serem semelhantes aos esporos, onde adaptaríamos o método dosesporos à contagem destas células visando a aplicabilidade da contagem no diagnósticosde doenças como anemias.

1.2 Metodologia

Neste trabalho foram utilizados duas metodologias, devido ao carácter das pesquisasrealizadas. Pesquisas essas, divididas em duas vertentes: a formal e a experimental e, comisso, a metodologia teve de ser adequada à vertente utilizada.

1.3. OBJETIVOS 3

Para a vertente formal, utilizou-se da metodologia hipotético-dedutiva, que é ummétodo que se desenvolve através de raciocínios: seus fundamentos, sua realização eo valor das conclusões encontram-se no próprio raciocínio, o que leva o pesquisador doconhecido para o desconhecido; já que trabalha do geral para o particular, consequente-mente chega-se a uma verdade particular através de uma geral utilizando-se de conjecturas[Lakatos & de A. Marconi 1991].

Em se tratando da vertente experimental, utilizou-se da metodologia incremental-iterativa, que é uma estratégia de planejamento estagiado, em que várias partes do prob-lema são desenvolvidas em paralelo, e integradas quando completas, e reelaborada, emque o tempo de revisão e melhorias de partes do problema é pré-definido [Pressman 2002,Sommerville 2003].

1.3 Objetivos

Estabeleceram-se alguns objetivos a serem alcançados durante o desenvolvimento daspesquisas, que são descritos a seguir.

Objetivo Geral

Desenvolver diferentes morfologias matemáticas fuzzy que serão aplicadas na segmen-tação de imagens naqueles casos em que haja sobreposição a fim de analisar os resultados.

Objetivos Específicos

1. Definir os operadores morfológicos fuzzy a partir das adjunções detectadas;2. Desenvolver uma ferramenta computacional para o processamento de imagens com

os operadores morfológicos definidos;3. Avaliar os operadores morfológicos em segmentação de imagens;4. Aplicar automorfismos sobre as implicações fuzzy residuadas para a obtenção de

novos pares de (conjunção,implicação);5. Desenvolver novos operadores morfológicos a partir das novas adjunções resul-

tantes da aplicação dos automorfismos;6. Modelar e desenvolver um sistema para contagem como uma ferramenta computa-

cional do Matlab;7. Avaliar o desempenho do sistema na contagem de imagens microscópicas;

Além disso, propõe-se o desenvolvimento de novos operadores morfológicos fuzzyutilizando o conhecimento e fundamentação matemática de maneira a melhorar o pre-processamento e processamento de imagens.

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

1.4 Organização da TeseEsta tese foi organizada da seguinte forma: no segundo capítulo, apresenta-se o estado

da arte. No capítulo 3, desenvolve-se o conteúdo básico de processamento de imagens quepossibilitará um bom entendimento do trabalho para os capítulos seguintes. No capítulo4, vem o desenvolvimento de novos operadores morfológicos baseados na morfologiamatemática fuzzy. No capítulo seguinte apresenta-se uma análise desses operadores noprocessamento de imagens. No Capítulo 6, mostra-se o sistema desenvolvido para a con-tagem de esporos de fungos micorrízicos e para as células sanguíneas vermelhas. Final-mente, apresentam-se as conclusões do trabalho desenvolvido e trabalhos futuros com aspublicações realizadas e os artigos que foram submetidos.

Capítulo 2

Estado da Arte

Morfologia Matemática é uma área específica do processamento de imagens que éaplicada na análise das estruturas de materiais em várias disciplinas como mineralogia,petrografia, angiografia, citologia, etc. As suas origens são os estudos de mídias porosasna década de 1960, pelo grupo de pesquisadores franceses liderados por Georges Math-eron e Jean Serra, da École Superieure de Mines de Paris [Serra 1969, Matheron 1967].Eles introduziram um formalismo relacionado à teoria de conjuntos com a análise deimagens binárias. A partir dos anos 1980, a Morfologia Matemática começou a se di-fundir pelos Estados Unidos com Sternberg apresentando aplicações a imagens médicas[Sternberg 1986a, Sternberg 1986b]. Pelo fato de a morfologia matemática ser original-mente definida em imagens binárias, a maioria das teorias para a extensão da morfologiamatemática tentou ampliar esse fato à escala de cinza e imagens coloridas com as con-tribuições de Serra e Sternberg [Serra 1982, Sternberg 1986b]. Já na década de 1990,os pesquisadores Ronse e Heijmans fizeram um estudo aprofundado sobre os operadoresdilatação e erosão [Ronse & Heijmans 1990, Heijmans 1995]. No mesmo ano, Ronseexplorou a necessidade de usar reticulados para se desenvolver morfologia matemática[Ronse 1990]. Algumas teorias para estender o modelo de imagens binárias para tonsde cinza e coloridas usam a noção de reticulado completo e lógica fuzzy. O primeiroautor que fez esta extensão foi Goetcherian [Goetcherian 1980], que deu início à mor-fologia matemática fuzzy. Desde então, vários autores vêm trabalhando com esta abor-dagem como, por exemplo, Sinha & Dougherty [Sinha & Dougherty 1992, Sinha &Dougherty 1993, Sinha & Dougherty 1995], Bloch & Maître [Bloch & Maître 1994, Bloch& Maître 1995], De Baets, Nachtegael & Kerre [Baets 1997, Baets & Kerre 1995, Nachte-gael & Kerre 2001] e Deng & Heijmans [Heijmans & Deng 2002].

Encontram-se na literatura vários exemplos de utilização de morfologia matemática emorfologia matemática fuzzy, tanto teórica como aplicada.

Visando melhor entendimento do capítulo, ele está subdividido nas seguintes seções:

2.1 Estado da Arte em Morfologia Matemática;

2.2 Estado da Arte em Morfologia Matemática Fuzzy;

2.3 Estado da Arte em Contagem de Elementos usando Morfologia Matemática eMorfologia Fuzzy.

6 CAPÍTULO 2. ESTADO DA ARTE

2.1 Estado da Arte em Morfologia Matemática

Pesquisadores da UFRN, Cruz et al, propuseram um modelo de morfologia matemáticaintervalar para lidar com incertezas em algumas técnicas de processamento de imagens[M.M.C.Cruz et al. 2008].

Estudiosos de morfologia matemática, Zoungui et al, desenvolveram um modelo mor-fológico de precisão variável para ser usado na eliminação de ruídos de imagens digitais[Zhongui et al. 2008].

Mais uma contribuição de importância foi a tese de doutorado de Soares, onde foiusada a morfologia matemática no processamento de imagens de lesões de pele para suaclassificação usando algumas características da imagem como cor, textura e forma [Soares2008].

Foi proposto por Santana um sistema de recuperação de imagens baseado em con-teúdo, em imagens médicas utilizando a morfologia matemática para a extração das ca-racterísticas utilizadas da imagem em [Santana 2008].

Li et al propuseram um método de avaliação para as impressões visuais humanas comtexturas em escalas de cinza utilizando morfologia matemática em [Li et al. 2010].

Detecção de bordas é um aspecto importante no processamento de imagem. Quandouma imagem com ruído é apresentada para a detecção de borda, o ruído cria problemasno processo usando métodos convencionais. Uma das desvantagens dos métodos con-vencionais é que o ruído não é removido automaticamente. O artigo de Krishman et alpropôs uma nova abordagem para a remoção de ruído na detecção de borda tanto para es-cala de cinza como em imagens binárias utilizando operações morfológicas em [Krishnamet al. 2010].

O método utilizado por Jeyalashmi & Kadarkarai empregou um número de conheci-mento baseado em regras para localizar o objeto e os conceitos de morfologia matemática,como cropping, o algoritmo modificado de limpeza morfológica da imagem, abertura efechamento. Eles extraíram as características necessárias do mioma. O algoritmo pro-posto foi aplicado em 100 imagens de útero com miomas cheios de líquido e deu bonsresultados em [Jeyalashmi & Kadarkarai 2010].

A detecção de proteína em bolsões é um passo importante no sentido de encontrar aligação local de pequenas moléculas. O pesquisador Kawabata desenvolveu um eficientealgoritmo para cálculo de profundidade de bolsões rasos simultaneamente, usando váriostamanhos diferentes de sondas esféricas (sondas multi-escala) com o programa Ghecomem [Kawabata 2010].

Angulo contribui com a definição de uma imagem complexa como sendo composta departe real e imaginária e sobre esta definiu toda a morfologia matemática, exemplificandoalguns filtros em [Angulo 2011].

Sussner & Ermi apresentaram uma rede neural morfológica que é um tipo de rede neu-ral artificial que realiza uma operação elementar de morfologia matemática em cada nóseguida da aplicação de uma função de ativação. Apresentaram também o reticulado defundo teórico, os algoritmos de aprendizagem para perceptrons morfológicos para apren-dizagem competitiva com suas respectivas propriedades em [Sussner & Esmi 2011].

Bai & Zhou usaram a transformação hit-or-miss em escala de cinza para aumentar a

2.1. ESTADO DA ARTE EM MORFOLOGIA MATEMÁTICA 7

eficiência de um alvo infravermelho pequeno e apresentaram resultados experimentais em[Bai & Zhou 2011].

Welfer et al apresentaram um novo método de detecção de centro da fóvea paraimagens coloridas de fundo de olho. Este método baseou-se em restrições anatómicasconhecidas sobre as posições relativas das estruturas que formam a retina e morfologiamatemática. Este método auxiliou no diagnóstico de várias doenças da retina, tais comoEdema Macular Diabéticos. Foram feitos vários testes que comprovaram a eficácia dométodo em [Welfer et al. 2011].

Um grupo de pesquisadores indianos, Dhore et al propôs uma nova abordagem mor-fológica para a segmentação de imagens de documentos do banco de dados do InstitutoNacional de Padrões e Tecnologia nos Estados Unidos. A morfologia matemática foiutilizada para segmentar as imagens dos documentos; a segmentação orientada extraiucaracterísticas geométricas, tais como tamanho, forma, contraste, ou conectividade quefacilitou na digitalização dos documentos do referido instituto, [Dhore et al. 2011].

Rajaput et al apresentaram um método de localização do centro da fóvea em fo-tografias digitais coloridas da retina. O método proposto foi baseado no conhecimentoprévio do centro do disco óptico e do diâmetro, posteriormente foram utilizados operado-res morfológicos. Este método serviu como um pré-requisito para o diagnóstico assistidopor computador de várias doenças da retina, como diabetes maculopatia. Ocorreram testescom 33 fotografias da retina do banco de dados público DRIVE, [Rajaput et al. 2011].

No trabalho de um grupo de pesquisadores liderados por Santillan várias transfor-mações avançadas de morfologia matemática aplicadas à neuroanatomia foram desen-volvidas. Em particular, o cérebro foi separado do crânio em imagens de ressonânciamagnética com tempo de relaxamento longitudinal (T1) usando aberturas morfológicas.O uso dessas transformações permitiu a preservação de regiões, sem introduzir novasinformações. Como resultado, os cérebros segmentados preservaram as informaçõescompletas das imagens originais, sendo mais confiável para o especialista em [Santillanet al. 2011].

Um trabalho interessante na área médica foi [Kimori 2011], o qual apresentou umnovo método de processamento de imagem para melhorar as características morfológicasde massas e outras anormalidades em imagens médicas que consistiu em usar os opera-dores morfológicos para extrair as características e em seguida usou técnicas de contrastepara realçar o que se desejou. Foi aplicado o método em três tipos de imagens médicas:uma imagem mamografia, uma imagem de radiografia torácica e uma imagem da retina.

As pesquisas de um grupo de estudiosos liderados por Benalcazar resultaram na pro-posta de um algoritmo para segmentar e medir automaticamente a área foliar das plantasde soja. Esta informação é usada pelos especialistas para avaliar e comparar o crescimentode diferentes tipos de soja. Este algoritmo, baseado em filtragem de cor usando o modeloHSI, detectou objetos verdes a partir do fundo da imagem. A segmentação de folhas foifeita aplicando a Morfologia Matemática em [Benalcazar et al. 2011].

A segmentação de imagens representa o primeiro passo em muitas das tarefas para oreconhecimento de padrões. Portanto, o principal objetivo do artigo de Pujol et al foi des-crever um novo método de segmentação de imagens, usando algumas operações da mor-fologia matemática, mais precisamente o gradiente morfológico em [Pujol et al. 2011].


Burgeth et al apresentaram um método adaptativo usando equações diferenciais par-ciais e operações morfológicas para campos de matriz 3D resultantes, por exemplo, dadifusão de imagens de ressonância magnética no [Burgeth et al. 2011].

Zhang & Lian apresentaram um método de detecção de QRS (os picos) no sensorde eletrocardiograma (ECG). O sucesso do método proposto se deu pela combinação dedois procedimentos computacionalmente eficientes, um filtro morfológico e um envelopeaproximado. O filtro morfológico removeu o ruído e o deslocamento da componente DCenquanto que o envelope aproximado aumentou o QRS complexo. O desempenho doalgoritmo foi verificado no banco de dados MIT-BIH Arritmia em [Zhang & Lian 2011].

Romeo et al, apresentaram um novo método, baseado em técnicas de MorfologiaMatemática para a classificação das curvas de radiação solar. Para ilustrar o método foiusado um conjunto de dados reais de radiação recolhidos em um local situado no sul daEspanha em [Romeo et al. 2011].

Foi proposto um método tridimensional utilizando a morfologia matemática para aanálise de corpos geológicos por Zou et al. Além disso, o método foi testado no corpodo Xinwuli magmático Fenghuangshan no campo de minério em Tongling, província deAnhui, [Zou et al. 2011] .

Um método de análise 3D foi proposto para imagens de fibrilas de colágeno porAltendorf et al. Esta análise utilizou operadores de morfologia matemática, [Altendorfet al. 2012].

Um grupo de membros da IEEE liderados por Bouaynaya apresentou uma análiseabrangente de operadores morfológicos auto-dual e m-idempotentes. Um operador m-idempotente convergiu depois de m iterações. Foram indicadas as condições necessáriase suficientes para a idempotência de operadores morfológicos. Os operadores são ca-racterizados em termos da representação dos seus núcleos. Finalmente, foi ilustrada aimportância das propriedades de auto-dualidade e m-idempotência por um aplicativo paraa remoção de ruídos em imagens de radar em [Bouyanaya et al. 2012].

Alguns pesquisadores espanhóis liderados por Escribano desenvolveram um trabalhocom a continuidade em espaços digitais e com base nisso apresentaram uma nova abor-dagem para os operadores morfológicos, [Escribano et al. 2012].

As pesquisas de Sultana & Rajan propuseram um filtro geométrico definido sobreimagens 3D e utilizando operadores morfológicos e sua aplicação no processamento deimagens resultaram no artigo [Sultana & Rajan 2012].

Pastore et al apresentaram um método automático para detecção de diferentes tiposde tecidos, em biópsias de medula óssea usando Morfologia matemática em espaços decores, a fim de determinar a celularidade da medula com precisão em [Pastore et al. 2013].

Khehra & Pharwaha apresentaram um método para identificação de microcalcifi-cações em mamografias, onde utilizaram principalmente a lógica fuzzy, a medida de en-tropia de Kapur e a morfologia matemática em [Khehra & Pharwaha 2013].

Curic et al apresentaram um levatamento sobre a morfologia matemática adaptativadestacando semelhanças e diferenças de alguns métodos para adaptação do elemento es-truturante que proporcionam diferentes tipos de adaptatividade,[Curic et al. 2014].

González-Castro et al propuseram uma morfologia matemática adaptativa para ima-gens coloridas, cujo princípio básico é a definição de conjuntos de vizinhanças adaptáveis

2.2. ESTADO DA ARTE EM MORFOLOGIA MATEMÁTICA FUZZY 9

com relação a cor em cada pixel usando um elemento estruturante também adaptável paracada operador morfológico, [González-Castro et al. 2014].

Chen et al analisaram os defeitos dos troncos de árvores utilizando a técnica de seg-mentação da morfologia matemática, mais específicamente, gradiente e operador de fechoem [Chen et al. 2014]

2.2 Estado da Arte em Morfologia Matemática FuzzySinha & Dougherty propuseram uma extensão da morfologia matemática binária para

as imagens em tons de cinza com base na teoria dos conjuntos fuzzy de forma a corres-ponder a álgebra fuzzy de Minkowski,[Sinha & Dougherty 1992].

Os pesquisadores Bloch & Maître apresentaram uma morfologia que utiliza elemen-tos estruturantes fuzzy, descrevem os operadores erosão e dilatação fuzzy com suas pro-priedades em detalhes, [Bloch & Maître 1994].

No trabalho de Sinha & Dougherty foi desenvolvido a Algebra Fuzzy de Minkowskycom ênfase na caracterização da erosão e abertura fuzzy, examinando as propriedadeschaves e extendê-los da noção binária de Matheron, [Bloch & Maître 1995].

Bloch & Maître fizeram um estudo comparativo entre as seis definições existentes noperíodo e definiram quais as condições básicas para a construção de morfologia fuzzy em[Bloch & Maître 1995].

A morfologia matemática fuzzy provêm da extensão da morfologia binária utilizandoda lógica fuzzy, De Baets & Kerre, apresentaram as definiçoes dos operadores morfológi-cos erosão, dilatação, abertura e fechamento originados de Serra e a relaçao entre osoperadores erosão e dilatação, [Baets & Kerre 1995].

De Baets apresentou a possibilidade da abordagem lógica fuzzy para morfologiamatemática, onde os operadores dilatação e erosão são apresentados de forma indepen-dente e baseados nos conectivos lógicos conjunção e implicação em [Baets 1997].

Morfologia matemática fuzzy é uma extensão da morfologia binária à morfologia emescala de cinza, utilizando técnicas de teoria dos conjuntos fuzzy. Nachtegael & Kerre dis-cutiram várias abordagens novas e conhecidas no sentido da morfologia fuzzy e mostraramcomo as abordagens estão ligadas, não só entre si, mas também para o binário e morfolo-gia na escala de cinza clássica em [Nachtegael & Kerre 2001].

Existem várias maneiras de estender a morfologia das imagens binárias para as emtons de cinza, entre elas a da lógica fuzzy e adjunções. Ao combinar essas abordagensHeijman & Deng desenvolveram o trabalho [Heijmans & Deng 2002] em que produziramoperadores morfológicos usando implicações e conjunções que formam adjunções.

Bloch estabeleceu a ligação entre as duas principais abordagens para a morfologiamatemática fuzzy, uma baseada na dualidade em relação à complementação e a outra, napropriedade de adjunção. Além disso, apresentou as definições de erosão e dilatação fuzzycom conjuntos clássicos no [Bloch 2009].

Shi et al fizeram um estudo sobre as adjunções fuzzy e a importância das implicaçõese conjunções nesta construção e, além disso, propuseram um teorema onde a conjunçãoque forma uma adjunção com uma implicação não só pode gerar outras adjunções a partirde R-implicações mas também por outras implicações em [Shi et al. 2009].


Masford et al apresentaram uma abordagem tanto para a morfologia matemática comopara a morfologia fuzzy usando imagens coloridas com máquina de vetor suporte paradetecção de conexão de tubo que foi testado usando RGB, HSB e Gabor em [Masfordet al. 2010].

Posteriormente, Lettitia et al divulgaram um algoritmo usando morfologia fuzzy paradar uma alta definição às imagens aéreas de regiões urbanas com a identificação de quar-teirões. Este algoritmo consiste em: fuzzificação da imagem; aplicação da dilatação eerosão fuzzy; filtragem com o Top-Hat; uso de filtros adaptativos sequenciais e finalmentea desfuzzificação [Letitia et al. 2010].

Sussner et al estudaram a decomposição dos operadores morfológicos fuzzy de inter-valo valorado, onde foram investigados casos em que os intervalos de corte desses opera-dores podem ser escritos ou aproximados em termos dos respectivos operadores binários.Tal conversão reduziu o tempo de cálculo e forneceu uma ligação entre a morfologia fuzzyde intervalo valorado e a morfologia binária em [Sussner et al. 2010].

Foi proposto por Krihnan & Viswanathan um algoritmo de fuzzificação e enunciadosos operadores de erosão e dilatação fuzzy baseados em operadores lógicos [Krihnan &Viswanathan 2010].

Na Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo foi defen-dida uma tese de doutorado de Boaventura que que utiliza números fuzzy e morfologiamatemática fuzzy para o processamento de imagens especificamente para a detecção debordas [Boaventura 2010].

Os pesquisadores Fan & Wang propuseram um algoritmo para detecção de bordas daimagem com as seguintes fases: 1) Fuzzificar ; 2) Usar o elemento estruturante na aberturae fechamento fuzzy; 3)Aplicar a erosão e dilatação fuzzy; 4) Calcular as bordas usando asdiferentes direções do elemento estruturante: 5)Desfuzzificar obtendo a imagem em [Fan& Wang 2011].

Grupos de pesquisadores com Sussner, apresentaram dois trabalhos de grande relevân-cia para a morfologia matemática fuzzy. Um deles apresenta a construção de operadoresmorfológicos fuzzy que correlacionam a morfologia binária e a morfologia fuzzy inter-valar, onde o caso discreto se apresenta mais forte que o caso contínuo [Sussner, Nachte-gael, Mélange, Deschrijver, Esmi & Kerre 2011]. No segundo, eles apresentaram umaabordagem da morfologia matemática fuzzy intuicionista [Melangea et al. 2011].

Os pesquisadores brasileiros Sussner & Valle apresentaram um estudo sobre asmemórias morfológicas associativas difusas denotadas por FMAMs, onde apresentamsuas propriedades utilizando a definição de adjunção e vários teoremas sobre a capacidadede armazenamento, a tolerância, o ruído, os pontos fixos e a convergência das auto asso-ciativas. Finalmente, conseguiram empregar FMAMs em um aplicativo para um problemade previsão de séries temporais na indústria em [Sussner & Valle 2011].

A pesquisadora Bloch desenvolveu duas extensões da morfologia matemática, umapara os conjuntos fuzzy e outra para os conjuntos fuzzy bipolares utilizando duas diferentesordenações parciais. A estrutura algébrica forte fornecida pelos reticulados proveu a essasextensões todas as propriedades clássicas de morfologia matemática em [Bloch 2011].

Gasparri et al desenvolveram um método automatizado para a segmentação da vascu-latura em imagens da retina, a fim de ajudar o especialista na evolução do tratamento da

2.3. ESTADO DA ARTE EM CONTAGEM USANDO AS MORFOLOGIAS 11

retinopatia diabética. O sistema usado foi o HSI, que tem a capacidade de separar a inten-sidade da informação de cor intrínseca onde favorece o uso dos filtros de cor, juntamentecom as ferramentas de morfologia matemática fuzzy, mais especificamente a transfor-mada Top-Hat, constituem um método eficiente para a visualização dos vasos sanguíneosda retina em [Gasparri et al. 2011].

Um trabalho relevante para a morfologia matemática foi do grupo liderado por Suss-ner onde foi discutida a importante evolução da teoria dos conjuntos fuzzy no contextoda morfologia matemática, foi dado enfoque à vertente da ambiguidade e imprecisão dosconjuntos fuzzy. E apresentou novas extensões que levaram à construção de intervalosvalorados fuzzy e morfologia matemática fuzzy intuicionista em [Sussner, Nachtegael,Melange & Kerre 2011].

Em outro trabalho Sussner et al investigaram a construção de operadores fuzzy emintervalo valorado no caso binário. Essa investigação foi feita, tanto no caso contínuoquanto no caso discreto. Foi visto que a caracterização do supremo no caso discreto levaa relações mais fortes do que no caso contínuo e que a morfologia fuzzy de intervalo valo-rado estende a morfologia matemática fuzzy. Essa teoria permitiu o uso de incerteza nosvalores de cinza da imagem e do elemento estruturante em [Sussner, Melange, Nachtegal& Kerrea 2011].

Comas et al apresentaram um estudo sobre as diferentes aplicações dos conjuntosfuzzy tipo-2 em processamento de imagem e de sinal, analisando as principais vantagensdeste tipo de conjuntos fuzzy na modelagem de incertezas. Fizeram um relato com asdefinições de conjuntos fuzzy tipo-2, suas principais propriedades e as operações entreeles [Comas et al. 2011].

Um trabalho interessante foi proposto por Bloch, no qual foi feito o uso da morfologiamatemática em conjuntos fuzzy bipolares com a utilização de dois tipos de ordenação: ade Pareto e a lexicográfica. As suas vantagens e seus inconvenientes foram discutidos, emparticular para aplicações em processamento de informações espaciais [Bloch 2012].

Bouchet et al propuseram uma Fuzzy Mathematical Morphology Toolbox and Graph-ical Interface do Matlab onde pode-se construir os operadores morfológicos, filtros se-quenciais, Top-Hat, gradiente e também definir a forma, tamanho e dimensão, o tipo denorma e o número de iterações utilizadas no elemento estruturante, [Bouchet et al. 2013].

González-Hidalgo & Massanet propuseram uma nova abordagem para a morfologiafuzzy utilizando as T-normas discretas com a finalidade de preservar a maioria das pro-priedades algébricas e morfológicos usuais, tais como monotonia, idempotência, invari-ância dentre outras. E principalmente mostrar sua aplicabilidade no processamento deimagens.[González-Hidalgo & Massanet 2013]

Caponetti et al apresentaram um a pesquisa sobre a repercussão da morfologia fuzzyna segmentação em imagens de ovócitos humanos em[Caponetti et al. 2014].

2.3 Estado da Arte em Contagem usando as Morfologias

O processo de contagem de objetos ou elementos em imagens tem aplicações nas maisvariadas áreas: células, bactérias, árvores, frutas, amostra de solo, fungos, pólen, espigas,


entre outras. Existem alguns métodos que serão apresentados a seguir que foram baseadosem [Barbedo 2012].

Bewes et al propuseram um método de contagem de côlonias de células baseado naforma completa da Transformada de Hough. O pré-processamento utilizou erosão, di-latação e suavização gaussiana em [Bewes et al. 2008].

Poomcokrak & Neatpisarnvanit desenvolveram um método simples de contagem decélulas vermelhas do sangue que consiste em eliminar as células incompletas, extrair ascélulas individuais com detecção de borda usando morfologia matemática e identificaçãoe contagem usando redes neurais em [Poomcokrak & Neatpisarnvanit 2008].

No trabalho de Wenzhong & Shuqun foi proposto um algoritmo para a contagemautomática de cromossomos. Na primeira etapa do algoritmo, são aplicadas à imagemas técnicas de equalização de histograma, segmentação por limiar e operação de erosão.Em seguida, uma técnica de rotulagem é aplicada para atribuir um rótulo único a cadaobjeto na imagem. Objetos detectados como ruído são então eliminados. Na últimaetapa, a contagem dos objetos se realiza com taxa de erros em torno de 10%, [Wenzhong& Shugun 2008] .

No método proposto por Mello et al para a contagem de ovos de Aedes Aegypti (trans-missor da dengue) utilizou-se da segmentação das cores presentes nas imagens obtidas apartir das armadilhas de ovos. Foram testadas em duas representações de cores: HSLe YIQ. Em ambos os casos, foram aplicados filtros não-lineares baseados em morfolo-gia matemática a fim de destacar os ovos e tornar a contagem possível com taxa de erroaproximadamente 7,5% no [Mello et al. 2008].

Deng et al sugeriram um método para a contagem de cistos em ovários, no caso doovário policístico. O algoritmo inicia-se filtrando a imagem de ultrassom através de umfiltro morfológico adaptativo. Em seguida, foi utilizado um algoritmo de divisor de águasrotulado modificado para extrair os contornos dos cistos. E, por fim, um método de agru-pamento é aplicado para identificar os cistos foliculares esperados com acerto de 84%[Deng et al. 2008].

No trabalho desenvolvido pela Embrapa Informática Agropecuária por Miranda et aldescreveu-se um programa para a contagem não-supervisionada de cajueiros. O programafoi implementado em Java e utilizou técnicas de processamento de imagem, como mor-fologia matemática e filtro de difusão complexa, e um processo de otimização baseadoem algoritmos genéticos, para tornar possível a localização e contagem das árvores em[Miranda et al. 2009].

Zhao & Li desenvolveram um método para a contagem de grãos, no qual a capturadas imagens é realizada após os grãos terem sidos alocados em um contêiner vibratóriopara a dispersão. O método consiste das seguintes etapas: transformação da imagem paraa escala de cinza, filtragem do ruído, binarização da imagem, aplicação da técnica deerosão e contagem em [Zhao & Li 2009].

Um método para a contagem automática de ovócitos (óvulos não maduros) em ováriosfoi proposto por Skodras et al. O método é dividido em cinco etapas. Na primeiraetapa, pré-processamento, realizou-se uma transformação de componentes de cor, ajustede contraste, redução da profundidade de bits de 8 para 3 e filtragem de mediana. Naetapa seguinte, seleção de máscara, aplicou-se um limiar por histerese e fechamento mor-

2.3. ESTADO DA ARTE EM CONTAGEM USANDO AS MORFOLOGIAS 13

fológico seguido por dilatação. Na terceira etapa, separação de objetos, teve-se a buscapor máximos locais na imagem, uma reconstrução morfológica segundo certos critériose aplicação da transformada de divisor de águas. Na etapa subsequente, seleção de ob-jetos, teve-se a exclusão de objetos tocando as bordas da imagem, busca das bordas dosobjetos e rejeição de objetos que não atendem a alguns requisitos. Finalmente, teve-se aparte de cálculo dos dados, onde determinou-se o diâmetro dos objetos, coordenadas doscentroides e contagem dos ovócitos [Skodras et al. 2009].

Mezei e Darabant propuseram um sistema para a contagem de pessoas composto detrês partes. Na primeira parte, ocorre realce das imagens onde o algoritmo aplica uma sub-tração de fundo, um escalamento de cinza, binarização e erosão e dilatação. Na segundaparte, dá-se a detecção de manchas (cada mancha corresponde a uma pessoa), as manchassão detectadas de maneira a identificar quais delas estão fragmentadas ou fundidas paraposterior ajuste. Por fim, o algoritmo realiza a contagem no [Mezei & Darabant 2010].

Shen et al desenvolveram um método para contar afídeos (insetos) em folhas de soja,com a finalidade de fornecer subsídios para o controle dessa praga. Inicialmente, a ima-gem é filtrada para remover ruído. Em seguida, a imagem é convertida para o sistema decores HSI. Como terceira etapa é aplicado um limiar (binarização), tendo como imagemresultante composta pelos afídeos e pelas nervuras das folhas. Para eliminar as nervuras,erosão é aplicada. Por fim, é realizada uma contagem de baixa complexidade computa-cional com acerto de 98% em [Shen et al. 2010].

Um método para segmentação e contagem de esperma de ratos foi proposto por Ren etal, com o objetivo de melhorar a segmentação baseada no método de Ostu, principalmentepara minimizar o esforço computacional, que foi conseguido fazendo uso da iteração deNewton. O algoritmo foi aplicado para remover ruídos e artefatos, e um processamentomorfológico para marcar cada um dos espermas e finalmente foi realizada a contagem[Ren et al. 2010].

Pedrosa et al propuseram um método para detecção de crateras na superfície de Marte,por meio do uso conjunto de produtos de sensoriamento remoto e técnicas de morfologiamatemática. Foram realizados experimentos usando o Toolbox de morfologia matemáticadesenvolvida no Matlab. As imagens utilizadas foram adquiridas pela Mars Orbiter Ca-mera a bordo da sonda Mars Global Surveyor [Pedrosa et al. 2011].

Tratando-se de esporos de fungos micorrízicos, Andrade et al propuseram o uso damorfologia matemática fuzzy, mais especificamente, uma morfologia fuzzy que utilizou osoperadores morfológicos baseados na implicação e T-norma de Lukasiewicz para contarestes esporos em [Andrade et al. 2012].

Tafavogh et al propuseram um método para segmentar e contar células neuroblásticasdentro do tumor em imagens e usaram a morfologia matemática para analisar as células,[Tafavogh et al. 2013].

Como foi visto, a segmentação de imagens tem sido alvo de pesquisas tanto na área demorfologia matemática como na morfologia matemática fuzzy e a contagem de elementostem usado a morfologia matemática nos seus métodos, dando margem à utilização demorfologia fuzzy para a contagem. Por isso, este trabalho propõe um sistema de contagemde esporos de fungos micorrízicos e células sanguíneas usando a morfologia matemáticafuzzy.


2.4 Considerações FinaisNeste capítulo, foram relacionadas as contribuições de pesquisadores sobre as áreas

de morfologia matemática, morfologia matemática fuzzy e contagem de células usandoa morfologia. O trabalho que apresenta mais afinidade aqui foi o do Deng e Heijmans[Heijmans & Deng 2002]. A contribuição deste trabalho é a construção e análise dosoperadores morfológicos fuzzy oriundos das R-implicações que são residuadas e sua apli-cabilidade no processamento de imagens. E mostra-se especificamente sua aplicação nacontagem de imagens microscópicas. E no capítulo que segue serão apresentados os con-teúdos de processamento digital de imagens que serão utilizados posteriormente.

Capítulo 3

Processamento de Imagens

Neste capítulo apresenta-se a fundamentação teórica sobre processamento digital deimagens, necessário para desenvolvimento do trabalho proposto e baseado em[Gonzalez & Woods 2000, Filho & Neto 1999].

3.1 IntroduçãoA área de processamento de imagens possui um interesse crescente por permitir grande

número de aplicações em duas categorias bem distintas: (1) o aprimoramento de infor-mações visuais para análise humana; e (2) a análise feita através de computador de infor-mações obtidas de uma cena.

Uma das primeiras aplicações na primeira categoria foi a melhoria da qualidade daimpressão de imagens digitalizadas, transmitidas através do sistema Bartlane, por cabosubmarino, entre Londres e Nova Iorque. O primeiro sistema Bartlane, na década de 1920,codificava uma imagem em cinco níveis de intensidade; e esta capacidade foi aumentadapara 15 em 1929.

O primeiro computador digital de grande porte surgiu como consequência do pro-grama espacial norte-americano, em 1964; desde então, a área de processamento de ima-gem vem crescendo e as aplicações se expandindo com exemplos na Medicina, na Biolo-gia, no Sensoriamento Remoto, entre outros.

Pode-se dividir como elementos de um sistema de processamento de imagens asseguintes etapas: aquisição, armazenamento, processamento e exibição.

AquisiçãoA aquisição tem como função converter uma imagem em uma representação numérica

para o processamento digital que segue. Esta etapa compreende dois elementos. Oprimeiro é um dispositivo físico que produz na saída um sinal elétrico. O segundo, odigitalizador propriamente dito, converte o sinal analógico em sinal digital, isto é, quepode ser representado através de bits 0s e 1s.

ArmazenamentoO armazenamento de imagens digitais é um dos grandes desafios no processamento

de imagens, em razão da grande quantidade de bytes utilizados em uma imagem. Este

16 CAPÍTULO 3. PROCESSAMENTO DE IMAGENS

processo pode ser dividido em três classes: (1) armazenamento de curta duração; (2)armazenamento de massa para operações de recuperação de imagens rápidas; e (3) ar-quivamento de imagens para recuperação futura.

ProcessamentoO processamento de imagens digitais envolve procedimentos sob forma algorítmica.

Em função disso, a maioria das funções de processamento de imagens pode ser imple-mentada via software.

TransmissãoImagens digitalizadas podem ser transmitidas à distância utilizando-se redes de com-

putadores e formas de comunicação. O grande desafio da transmissão de imagens à dis-tância é a grande quantidade de bytes que se necessita transferir, muitas vezes através decanais de comunicação de baixa velocidade e banda passante estreita.

ExibiçãoO monitor de vídeo é um elemento fundamental para a exibição de imagens. Os

monitores em uso são capazes de exibir imagens com resolução de pelo menos 640×480pixels com 256 cores distintas.

3.2 Fundamentos de Imagens Digitais

Define-se um Sistema de Visão Artificial (SVA) como um sistema computadorizadocapaz de adquirir, processar e interpretar imagens correspondentes a cenas, pois tentaaproximar-se ao da visão humana.

3.2.1 Aquisição e Digitalização de Imagens

Definição 3.2.1. Uma imagem pode ser definida por f (x,y), onde o valor de f nas co-ordenadas (x,y) resulta na intensidade da imagem naquele ponto, onde f (x,y) deve serpositiva e finita.

A natureza básica de uma imagem, f (x,y), pode ser caracterizada por dois compo-nentes: (1) a quantidade de luz incidindo na cena e (2) a quantidade de luz refletida pelosobjetos na cena. Esses componentes são denominados: iluminância e reflectância, res-pectivamente, e são representados por i(x,y) e r(x,y), com as quais pode-se escrever aimagem como:

f (x,y) = i(x,y)r(x,y), (3.1)

onde 0 < i(x,y) <∞ e 0 < r(x,y) < 1.

3.2. FUNDAMENTOS DE IMAGENS DIGITAIS 17

Definição 3.2.2. Uma imagem digitalizada por amostragem pode ser expressa como:

f (x,y) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

f (0,0) f (0,1) ⋯ f (0,M−1)f (1,0) f (1,1) ⋯ f (1,M−1)⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

f (N −1,0) f (N −1,1) ⋯ f (N −1,M−1)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

, (3.2)

onde cada elemento é denominado pixel.

A imagem ainda pode ser digitalizada com relação à amplitude; esse processo échamado de quantização dos níveis de cinza.

3.2.2 Propriedades da Imagem Digital3.2.2.1 Vizinhança

Definição 3.2.3. Seja p um pixel de coordenadas (x,y) a "4-vizinhança"de p, denotadapor N4(p), é definida como:

(x+1,y),(x−1,y),(x,y+1),(x,y−1), (3.3)

ilustrado na Figura 3.1.

Figura 3.1: 4-vizinhança

FONTE:[Filho & Neto 1999]

Definição 3.2.4. Seja p um pixel de coordenadas (x,y). A "diagonal-vizinhança"de p,denotada por Nd(p), é definida como:

(x−1,y−1),(x−1,y+1),(x+1,y−1),(x+1,y+1), (3.4)

tendo como exemplo, a Figura 3.2.

Figura 3.2: Diagonal-vizinhança



Definição 3.2.5. Seja p um pixel de coordenadas (x,y). A "8-vizinhança"de p, denotadapor N8(p), é definida como:

N8(p) =N4(p)∪Nd(p), (3.5)

exemplificado na Figura 3.3.

Figura 3.3: 8-vizinhança


3.2.2.2. Conectividade

A conectividade entre pixels é um importante conceito, usado para estabelecer limitesde objetos e componentes de uma imagem.

Definição 3.2.6. Seja V o conjunto de valores de níveis de cinza. Pode-se definir osconceitos de conectividade:

(1) "4-conectividade": dois pixels p,q com valores de tom de cinza contidosem V , são "4- conectados"se q ∈N4(p);

(2)"8-conectividade": dois pixels p,q com valores de tom de cinza contidosem V, são "8- conectados"se q ∈N8(p);

(3) "m-conectividade (conectividade mista)": dois pixels p,q com valores detom de cinza contidos em V, são "m-conectados"se:

(i) q ∈N4(p); ou(ii) q ∈Nd(p) e N4(p)∩N4(q) =∅.

A Figura 3.4 seguinte apresenta um exemplo de 8-conectividade e m-conectividade.

3.2.2.3.Adjacência

Um pixel p é adjacente a um pixel q se eles forem conectados.

3.2.2.4.Caminho


Figura 3.4: (a) 8-vizinhos do pixel central, (b) m-vizinhos do pixel central.

(a) (b)


Definição 3.2.7. Dados dois pixels p,q de coordenadas (x,y),(s,t) respectivamente, umcaminho do pixel p ao pixel q é definido como a sequência

(x0,y0),(x1,y1),⋯,(xn,yn), (3.6)

onde:(x0,y0) = (x,y);(xn,yn) = (s,t);(xi,yi) é adjacente a (xi−1,yi−1), comn é chamado de comprimento do caminho.

3.2.2.5.Medições e Distâncias

Definição 3.2.8. Dados os pixels p,q,z, de coordenadas (x,y),(s,t),(u,v), respectiva-mente, define-se a função distância D, com as seguintes propriedades:

(i) D(p,q) ≥ 0 ((D(p,q) = 0) se e somente se p = q;)(ii) D(p,q) =D(q, p);(iii) D(p,z) ≤D(p,q)+D(q,z).

Enumera-se algumas distâncias importantes no processamento de imagens.

(1) Distância Euclidiana −De(p,q) =√

(x− s)2+(y− t)2;(2) Distância D4 (city-block) −D4(p,q) = ∣x− s∣+ ∣y− t ∣;(3) Distância D8 (tabuleiro de xadrez) −D8(p,z) =max(∣x− s∣, ∣y− t ∣);

3.2.2.6.Operações Lógicas e Aritméticas


Após uma imagem ter sido adquirida e digitalizada, ela pode ser vista como umamatriz de números inteiros e, portanto, podem ser utilizadas operações lógicas e/ou arit-méticas. Essas operações podem ser efetuadas pixel a pixel ou orientadas à vizinhança.No primeiro caso, elas podem ser usadas com a seguinte notação:

XopnY = Z,

onde X e Y podem ser matrizes ou escalares; Z tem que ser uma matriz; e opn é umoperador aritmético (+,−,×,/) ou lógico (AND, OR, XOR).

Ao utilizar-se as operações aritméticas sobre imagens, deve-se ter cuidado com osproblemas de underflow ou overflow do resultado. Por exemplo, a adição de duas imagensde 256 tons de cinza pode ter como resultado um número maior que 255 para algunspixels. Para resolver este problema, existem duas possibilidades:

(1) manter os resultados obtidos inicialmente em uma matriz onde para cadapixel possibilite a representação em valores maiores que 255 e em seguida procedera uma normalização destes valores;

(2) truncar os valores maiores que o máximo valor permitido e menores que omínimo permitido, igualando-os a 255 e 0, respectivamente.

3.2.2.7.Transformações Geométricas

Transformações geométricas são operações do processamento de imagens cuja prin-cipal função é alterar a posição espacial dos pixels. As principais transformações são: am-pliação e redução, alteração de dimensão, translação, rotação, espelhamento ewarping.

Ampliação e Redução(zoom)

As transformações de ampliação e redução de imagens (zoom in e zoom out, respec-tivamente) são processos onde as dimensões de uma imagem são aumentadas ou dimi-nuídas para efeito de visualização, não representando alterações nas dimensões reais. Amaneira mais simples de ampliar ou reduzir uma imagem é multiplicar ou dividir os va-lores dos pixels na direção x ou y, ou em ambas.

Para expandir uma imagem por um fator 2, cada pixel é copiado 4 vezes na imagemresultante, conforme ilustra a Figura 3.5.

Alterações de Dimensões (scaling e sizing)

Para alterar as dimensões de uma imagem é necessário aplicar duas técnicas distintas.

(1) o processo chamado scaling refere-se à situação em que a imagem é ampli-ada ou reduzida por um fator (que pode ser igual ou não para ambas as dimensões,preservando-se o aspecto original ou não);


Figura 3.5: Expansão de um pixel em 4


(2) a técnica de sizing é utilizada nas situações em que se especifica o tamanho,ao invés de especificar o fator de ampliação ou redução.

Como exemplo, temos as Figuras 3.6, 3.7 e 3.8.

Figura 3.6: Imagem Original


Translação

Definição 3.2.9. Dado um pixel representado pelas coordenadas (x,y), define-se umatranslação, como um deslocamento, ou seja

(x′,y′) = (x+Fx,y+Fy), (3.7)

onde Fx,Fy são o deslocamento vertical e horizontal, respectivamente.


Figura 3.7: Imagem Ampliada de 2 vezes


Figura 3.8: Imagem Reduzida de 2 vezes


Rotação

Uma imagem pode ser rotacionada com relação a um ângulo arbitrário, que podeser no sentido horário ou no anti-horário. Vai-se definir uma rotação com um ânguloarbitrário.

Definição 3.2.10. Sejam (x,y) um ponto de uma imagem e um ângulo qualquer α. Arotação de (x,y) em relação ao ângulo α é dada por:

x′ = xcos(α)+ysin(α)

y′ = xcos(α)−ysin(α)(3.8)

A Figura 3.9 traz um exemplo de rotação.


Figura 3.9: Exemplo de Rotação de 90○ no sentido horário


Espelhamento (Flip)

O espelhamento (flip) é uma transformação que combina a rotação por ângulos múlti-plos de 90○ com a matriz transposta. A Figura 3.10 mostra um flipping horizontal.

Figura 3.10: Exemplo de flipping horizontal


Warping

Warping é o nome dado ao processo de alteração de uma imagem, de tal modo quea relação entre os objetos e suas características é alterada de acordo com outra imagem(template). A Figura 3.11 mostra um exemplo do processo de warping aplicado a umaimagem binária simples.

Figura 3.11: Exemplo de warping



Projeção

Pode-se utilizar a transformação matemática muito comum, projeção afim, definida aseguir:

Definição 3.2.11. Dadas as coordenadas (x,y) e (x′,y′), chamadas de coordenadas velhase novas, respectivamente, pode-se definir as seguintes equações para a projeção afim:

x′ =ax+by+cix+ jy+1

y′ =dx+ey+ fix+ jy+1

(3.9)

onde a,b,c,d,e, f , i, j são calculados a partir de um conjunto de pontos que correspondemà congruência desejada entre as duas imagens ou entre a imagem original e o template.

Cropping, cutting e pasting

Pode-se recortar e colar trechos de imagens para compor novas imagens. Existem trêsformas de se recortar uma imagem.

(1) Utilizar uma região retangular, definida pelas coordenadas de dois de seusvértices;

(2) Utilizar uma figura geométrica regular qualquer ou um polígono;(3) Delimitar a área de recorte à ‘mão livre’.

3.3 Realce e FiltragemAs técnicas de realce de imagens consistem em processar uma certa imagem de modo

que a imagem obtida seja mais adequada para uma determinada aplicação que a imagemoriginal. Os métodos de filtragem de imagens explanados nesta seção são classificadosem duas categorias: as técnicas de filtragem espacial e as técnicas de filtragem no domínioda frequência.

3.3.1 Filtragem no Domínio EspacialOs processos de filtragem no domínio espacial são aqueles que atuam diretamente

sobre a imagem digitalizada.

Definição 3.3.1. Dada a imagem f (x,y) e o operador T, pode-se definir uma imagemprocessada na vizinhança de (x,y) como:

g(x,y) = T( f (x,y)). (3.10)

3.3. REALCE E FILTRAGEM 25

A filtragem no domínio espacial possui três tipos principais de filtros.

(1) Os filtros passa-baixa atenuam ou eliminam as componentes de alta fre-quência no domínio das transformadas de Fourier que correspondem a regiões debordas e/ou detalhes finos na imagem. O efeito dessa filtragem é a suavização daimagem, provocando um pequeno borramento na mesma;

(2) Os filtros passa-altas atenuam ou eliminam os componentes de baixa fre-quência, fazendo com que as bordas e regiões de alto contraste da imagem sejamrealçados;

(3) Os filtros passa-faixa são capazes de remover ou atenuar componentesacima de sua frequência de corte superior e abaixo de sua frequência de corte infe-rior, e são de pequena utilidade prática.

A Figura 3.12 mostra as respostas em frequência dos três principais tipos de filtros exis-tentes e os respectivos filtros espaciais correspondentes.

Figura 3.12: Resposta em frequência dos principais tipos de filtros.


Ainda podemos descrever dois filtros relevantes: o filtro da média e o filtro mediana.

Filtro da Média

Definição 3.3.2. Um filtro que possui como característica a existência de uma máscara3×3 constituída por coeficientes iguais a 1 e dividindo o resultado da convolução por umfator de normalização é chamado filtro da média.


Filtro Mediana

Neste filtro substitui-se o nível de cinza do pixel central da janela pela mediana dospixels situados em sua vizinhança.

Uma das principais deficiências do filtro da média em casos onde se quer removerruídos está na sua dificuldade em preservar bordas e detalhes finos da imagem. Pararesolvê-la se aplica um filtro da mediana

3.3.2 Filtragem no Domínio da Frequência

O teorema da convolução serve de fundamento matemático para as técnicas de fil-tragem no domínio da frequência.

Definição 3.3.3. Sejam f (x,y) uma imagem e um operador linear h(x,y). A imagemformada pela convolução é dada por:

g(x,y) = f (x,y)∗h(x,y). (3.11)

Teorema 3.3.1. (Teorema da Convolução). Sejam f (x,y),g(x,y) duas funções e f (x,y)∗g(x,y) sua convolução. Supondo que F seja o operador transformada de Fourier, tal queF( f (x,y)) e F(g(x,y)) sejam as transformadas de Fourier de f e g, respectivamente.Então,

F( f (x,y)∗g(x,y)) = F( f (x,y)) ⋅F(g(x,y)). (3.12)

Pelo teorema da convolução, a seguinte relação no domínio da frequência é ver-dadeira:

G(u,v) = F(u,v)H(u,v), (3.13)

onde G,F,H são as transformadas de Fourier (TF) de g, f ,h, respectivamente. A trans-formada H(u,v) é chamada função de transferência do filtro.

A noção básica da filtragem no domínio da frequência está em calcular a TF da ima-gem a ser filtrada, multiplicar este resultado pela função de transferência do filtro e cal-cular a Transformada de Fourier Inversa (TFI) do resultado. A seguir será dado umaexplanação sobre os filtros existentes.

3.3.2.1 Filtro passa-baixa (FPB)

Definição 3.3.4. Sejam F(u,v) a transformada de Fourier da imagem que será proces-sada e G(u,v) a transformada de Fourier da imagem de saída. A filtragem passa-baixaconsiste em calcular um H(u,v) tal que

G(u,v) = F(u,v)H(u,v). (3.14)

3.3. REALCE E FILTRAGEM 27

Filtro passa-baixa Ideal

Definição 3.3.5. Um filtro passa-baixa 2-D ideal é aquele cuja função de transferênciasatisfaz a relação:

H(u,v) = {1 se D(u,v) ≤D00 se D(u,v) >D0,

(3.15)

onde D0 é a ’distância de corte’ do filtro e D(u,v) é a distância Euclidiana do ponto(u,v) à origem do plano de frequência.

Filtro passa-baixa Butterworth

Definição 3.3.6. Um filtro passa-baixa Butterworth de ordem n e com frequência de cortea uma distância D0 da origem possui função de transferência dada pela equação:

H(u,v) =1

1+ [D(u,v)

D0]2n

, (3.16)

onde D(u,v) é uma distância Euclidiana de (u,v) a origem.

Diferentemente do filtro passa-baixa ideal, o filtro de Butterworth não possui umadiferença drástica entre banda de passagem e banda de rejeição. Por isso, é necessárioestabelecer alguma convenção para determinar o valor exato da frequência de corte dofiltro cuja mais frequente é quando D(u,v) =D0 é 0,707 do valor máximo de H(u,v).

3.3.2.2. Filtro passa-alta (FPA)

O maior objetivo do uso de filtros passa-alta em imagens é o realce das regiões de altafrequência, como bordas e texturas ricas em altas variações de níveis de cinza.

Filtro passa-alta ideal

Definição 3.3.7. Um filtro passa-alta 2-D ideal é aquele cuja função de transferênciasatisfaz a relação:

H(u,v) = {0 se D(u,v) ≤D01 se D(u,v) >D0,

(3.17)

onde D0 é a ’distância de corte’ do filtro e D(u,v) é a distância Euclidiana do ponto(u,v) à origem do plano de frequência.


Filtro passa-alta Butterworth

Definição 3.3.8. Um filtro passa-alta Butterworth de ordem n e com frequência de cortea uma distância D0 da origem possui função de transferência dada pela equação:

H(u,v) =1

1+ [D0

D(u,v)]2n, (3.18)

onde D(u,v) é uma distância Euclidiana de (u,v) a origem.

A filtragem passa-alta usando um filtro Butterworth apresenta como desvantagem aexcessiva atenuação dos componentes de baixa frequência.

3.4 Segmentação de ImagensO primeiro passo para a análise de imagem é a sua segmentação, que consiste em

subdividir essa imagem em suas partes ou objetos constituintes. Esse processo deve pararquando os objetos de interesse na aplicação tiverem sido isolados.

Os algoritmos de segmentação para imagens monocromáticas são baseados em umadas seguintes propriedades básicas de valores de níveis de cinza: descontinuidade e si-milaridade. Na primeira categoria, a abordagem é particionar a imagem com base emmudanças bruscas nos níveis de cinza. As principais áreas de interesse nessa categoriasão a detecção de pontos isolados e detecção de linhas e bordas na imagem. Na segundacategoria, as principais abordagens baseiam-se em limiarização.

3.4.1 Detecção de DescontinuidadeNesta seção apresenta-se algumas técnicas para detecção dos três tipos básicos de des-

continuidade em imagens digitais: pontos, linhas e bordas.

Detecção de Pontos

A detecção de pontos isolados em uma imagem pode ser obtida de forma direta con-forme definição que segue.

Definição 3.4.1. Dada uma máscara 3×3,

R =w1z1+w2z2+⋯+w9z9 =9∑i=1

wizi, (3.19)

um ponto foi detectado na posição da máscara se ∣R∣ > T, onde T é um limiar não-negativo.

Basicamente, é feita a medida das diferenças entre o ponto central e seus vizinhos.Simplesmente, os níveis de cinza do ponto isolado será diferente dos níveis de cinza dos

3.4. SEGMENTAÇÃO DE IMAGENS 29

seus vizinhos. A definição acima pode ser estendida para uma máscara de qualquer ordem.

Detecção de Linhas

Definição 3.4.2. Dada uma máscara 3×3

R =w1z1+w2z2+⋯+w9z9 =9∑i=1

wizi

a detecção de linha é feita com pontos destacados na posição da máscara se ∣R∣ > T,orientados horizontalmente na largura dos pixels.

Detecção de Bordas

A detecção de borda é a ferramenta mais comum para a detecção de descontinuidadessignificantes nos níveis de cinza.

Definição 3.4.3. Uma borda é o limite entre duas regiões com propriedades relativamentedistintas de nível de cinza.

A detecção de borda se faz por duas maneiras: o operador de gradiente, ∇ f e o lapla-ciano, ∇2 f .

Definição 3.4.4. Dada a imagem f (x,y), o gradiente de f na posição (x,y) é dado por:

∇ f =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∂ f∂x∂ f∂y

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.20)

e o laplaciano de f é definido como:

∇2 f =∂2 f∂x2 +

∂2 f∂y2 . (3.21)

3.4.2 Ligação de Bordas e Detecção de FronteirasAs técnicas de detecção de borda detectam as descontinuidades de intensidade. Teori-

camente, esses processos localizam os pixels sobre uma fronteira. Na prática, esses con-juntos de pixels raramente caracterizam completamente uma fronteira devido ao ruído, aquebra nas fronteiras por causa da iluminação não uniforme, dentre outros. Por isso, osalgoritmos de detecção de borda são seguidos de procedimentos de ligação.

Uma das maneiras mais simples de fazer essa ligação consiste na análise das caracte-rísticas dos pixels em uma pequena vizinhança em torno de cada ponto de uma imagemque tenha passado pelo processo de detecção de borda. Todos os pontos que forem simi-lares são ligados, formando uma fronteira.

As duas propriedades principais usadas na determinação da similaridade são:


(1) a força da resposta do operador gradiente na detecção do pixel da borda;(2) a direção do vetor gradiente que é dada pelo valor de ∇ f .Portanto, um pixel de borda com coordenadas (x′,y′), que esteja dentro da vizinhança

predefinida de (x,y), é similar em magnitude ao pixel (x,y) se

∣∇ f (x,y)−∇ f (x′,y′)∣ ≤ T, (3.22)

em que T é um limiar não-negativo. Esse processo deve ser repetido em cada posiçãodo pixel.

Uma maneira de fazer esse procedimento de forma mais global é a utilização da trans-formada Hough, que consiste em achar subconjuntos de n pontos da imagem que estejamalinhados em retas. Para isso, é necessário encontrar todas as linhas determinadas paracada par de pontos, seguido da busca de todos os subconjuntos de pontos que estejampróximos de determinadas linhas. O problema com esse procedimento é que requer umabusca de n(n−1)/2 ∼ n2 linhas, seguido de (n)n(n−1)/2 ∼ n3 comparações de cada pontocom todas as linhas, o que torna sua complexidade computacional grande.

Definição 3.4.5. Dados o ponto (xi,yi) e a equação geral da reta yi = axi+b, existem infini-tas retas que passam por (xi,yi), para diferentes a e b. Pode-se escrever a equação comob =−xia+yi e considerar o plano ab, chamado plano de parâmetros, que leva à equação deuma única linha dado o par (xi,yi) fixo. Em seguida, um segundo ponto (x j,y j) tambémpossui uma linha no espaço de parâmetros associado a ele, e essa linha intercepta a linhaassociada a (xi,yi) em (a′,b′), onde a′ é a inclinação e b′ é o ponto de interseção com oeixo y da linha contém (xi,yi) e (x j,y j) no plano xy. Todos os pontos contidos nessa linhapossuem linhas no espaço de parâmetros que se interceptam em (a′,b′). A precisão dacolinearidade desses pontos é determinada pelo número de subdivisões no plano ab. Comisso obtemos a partição do espaço em células acumuladoras que é denominada Transfor-mada de Hough.

A vantagem computacional da transformada de Hough advém da subdivisão do espaçode parâmetros nas chamadas células acumuladoras onde (amax,amin) e (bmax,bmin) são osdomínios esperados dos valores de inclinação e do ponto de interseção.

Um problema na utilização da equação y = ax+b está na representação das linhas tantona inclinação quanto na interseção, na medida em que se aproximam ao infinito ao passoque a linha se torna vertical. Uma maneira de contornar essa dificuldade é através do usoda representação normal de uma linha:

xcosθ+ysinθ = ρ. (3.23)

A construção da tabela de acumuladores é idêntica ao método anterior. Porém, nolugar de linhas retas, curvas senoidais formadas pelo plano ρθ. Como antes, M pontoscolineares de uma linha, xcosθ j + ysinθ j = ρi, levam a M curvas senoidais que se inter-ceptam em (ρi,θ j) no espaço dos parâmetros. Incrementando-se θ e resolvendo para o ρ

correspondente fornece M posições no acumulador A(i, j) associado à célula determinadapor (ρi,θ j).


Na literatura é proposto outra maneira de se fazer a detecção de fronteira e ligaçãode bordas, que consiste em usar grafos. Inicia-se com o desenvolvimento de algumasdefinições preliminares.

Definição 3.4.6. Um grafo G = (N,A) é um conjunto não vazio de nós N, juntamentecom um conjunto A de pares não ordenados de elementos N, onde cada par (ni,n j) de Aé denominado arco. Um grafo onde os arcos são orientados chamado grafo orientado.

Se um arco é orientado do nó ni para o nó n j, então n j é chamado sucessor de seunó pai ni. O processo de identificação dos sucessores de um nó é chamado expansão donó. Em cada grafo definimos níveis, de modo que o nível 0 consiste em um nó único,chamado nó inicial, e os nós de próximo nível são chamados nós objetivo. Um custoc(ni,n j) pode ser associado a cada arco (ni,n j).

Definição 3.4.7. Uma sequência de nós n1,n2,n3,⋯,nk, com cada nó ni sendo um suces-sor do nó ni−1, é chamada caminho de n1 a nk, cujo custo do caminho é dado por:

c =k∑i=2

c(ni−1,ni). (3.24)

Finalmente um elemento de borda é a fronteira entre dois pixels p e q, tal que p e qsão 4-vizinhos. Neste contexto, uma borda é uma sequência de elementos de borda. Cadaelemento de borda definido pelos pixels p e q possui um custo associado, definido como

c(p,q) =H − [ f (p)− f (q)], (3.25)

onde H é o maior valor de intensidade da imagem, f (p) é o valor da intensidade de pe f (q) o valor de intensidade de q. O problema está em achar o caminho de custo mínimoque computacionalmente não seja trivial.

3.4.3 Limiarização

O princípio da limiarização consiste em separar as regiões de uma imagem, quandoesta apresenta duas classes (o fundo e o objeto). Devido ao fato de a limiarização pro-duzir uma imagem binária à saída, o processo também é denominado, muitas vezes, bi-narização. A forma mais simples de limiarização consiste na bipartição do histograma,convertendo os pixels, cujo tom de cinza é maior ou igual a um certo valor de limiar (T),em brancos e os demais em pretos.

Definição 3.4.8. A limiarização é uma técnica de processamento de imagem onde umaimagem de entrada f (x,y) de N níveis de cinza produz uma imagem de saída g(x,y),chamada de imagem limiarizada, que apresenta 2 níveis de cinza:

g(x,y) = {1 se f (x,y) ≥ T0 se f (x,y) < T (3.26)


onde os pixels rotulados com 1 correspondem aos objetos e os pixels etiquetados com0 correspondem ao fundo (background) e T é um valor de tom de cinza pré-definido, aoqual denominamos limiar.

A iluminação desempenha um papel significativo no processo de limiarização, umavez que provoca alterações no histograma original da imagem, eventualmente eliminandouma região de vale entre dois picos, naturalmente propícia para a definição de um limiarglobal.

Definição 3.4.9. Considerem f (x,y) = i(x,y)r(x,y) e z(x,y) = ln( f (x,y)) = ln(i(x,y))+ln(r(x,y)) = i′(x,y) + r′(x,y), onde i′(x,y) e r′(x,y) são variáveis aleatórias indepen-dentes, o histograma de z(x,y) é dado pela convolução do histograma de i′(x,y) como de r′(x,y).

Uma técnica comum utilizada para compensar a não uniformidade da iluminação con-siste em projetar o padrão de iluminação em uma superfície refletora branca.

Definição 3.4.10. Dada a imagem g(x,y) = K.i(x,y), onde K depende da superfície uti-lizada, para qualquer imagem f (x,y) = i(x,y)r(x,y) obtida com a mesma função ilumi-nação, simplesmente, divide-se f (x,y) por g(x,y), obtendo-se uma função normalizada:

h(x,y) =f (x,y)g(x,y)

=r(x,y)

K. (3.27)

Logo, se r(x,y) puder ser limiarizada utilizando o limiar T, então h(x,y) poderá sersegmentada usando um limiar T

K .Pelo exposto até aqui, assumiu-se que a escolha do valor de limiar é arbitrária e subje-

tiva. Sabendo que o histograma é uma representação gráfica da distribuição de probabili-dade de ocorrência dos níveis de cinza em uma imagem, é lícito imaginar a possibilidadede uso de técnicas de cálculo do valor ótimo de limiar com base nas propriedades estatís-ticas da imagem.

Definição 3.4.11. A Limiarização ótima é a deteccção de partes de uma imagem daqual se conhecem as principais propriedades estatísticas (supondo que sua distribuição deprobabilidade é normal ou gaussiana), que são:

(1)µ1 ∶ média dos tons de cinza da região de interesse;(2)µ2 ∶ média dos tons de cinza da região de fundo;(3)σ1,σ2 ∶ desvios padrão;(4)P1,P2 ∶ probabilidade de ocorrência dos pixels pertencentes a esta ou aquela região.Com isso, pode-se definir um valor limiar ótimo, T , dado por uma das raízes de

AT 2+BT +C = 0, (3.28)

ondeA = σ2

1−σ22;

B = 2(µ1σ22−µ2σ2

1);C = µ2

2σ21−µ2

1σ22+2σ2

1σ22 ln(σ2P1

σ1P2).


Se forem encontradas duas raízes reais e positivas, isso indica que a imagem poderequerer dois valores de limiar para obter uma solução ótima.

Um dos mais importantes aspectos da seleção de limiar está na capacidade de iden-tificação confiável dos picos modais de um dado histograma. Essa capacidade é muitoimportante para a seleção automática de limiar em situações em que as características daimagem possam variar em uma larga faixa de distribuição de intensidade. É óbvio que aschances de seleção de um limiar adequado deveria ser melhor se os picos do histogramafossem altos, estreitos, simétricos e separados por vales profundos. Uma maneira demelhorar o formato dos histogramas é considerar apenas aqueles pixels que estejam lo-calizados sobre ou próximo das fronteiras entre objetos e o fundo. Um melhoramentoclaro e imediato advém do fato de os histogramas tornarem-se menos dependentes dostamanhos relativos dos objetos e do fundo. Essa abordagem ainda não é satisfatória. Oque resolveria o problema seria a utilização do gradiente para indicar se o pixel pertencea uma borda e a utilização do laplaciano fornecendo informações sobre se o pixel está nolado claro(objeto) ou escuro(fundo) de uma borda.

Definição 3.4.12. O gradiente, ∇ f , e o laplaciano, ∇2 f , podem ser utilizados na formaçãode uma imagem de três níveis da seguinte maneira:

s(x,y) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0 se ∇ f < T+ se ∇ f < T,∇2 f ≥ 0− se ∇ f < T,∇2 f < 0

(3.29)

em que os símbolos 0,+,− representam quaisquer três níveis de cinza, T é o limiar,onde o gradiente e laplaciano são calculados em cada ponto da imagem.

Em imagens coloridas, a limiarização pode ser feita com relação a mais de uma vari-ável. Nesse caso, cada pixel é caracterizado por três valores, tornando possível a constru-ção de um histograma tridimensional. O procedimento básico é o mesmo usado para umavariável baseando-se em propriedades, como nuance e saturação.

3.4.4 Segmentação Orientada a RegiõesNesta seção serão discutidas as técnicas de segmentação que são baseadas na desco-

berta das regiões.A condição necessária é que a segmentação seja completa, ou seja, cada pixel deve

pertencer a uma região. Uma segunda condição é a necessidade de que as regiões sejamconvexas e disjuntas.

Definição 3.4.13. O crescimento de regiões é um procedimento que agrupa pixels ousub-regiões em regiões maiores.

A mais simples abordagem para isso é a agregação de pixels, que começa com umconjunto de pontos ’sementes’ e, a partir deles, aumente as regiões anexando a cada pontosemente aqueles pixels que possuam propriedades similares (níveis de cinza, cor ou tex-tura)


3.5 Morfologia MatemáticaA morfologia matemática foi elaborada inicialmente por Georges Matheron e Jean

Serra [Serra 1969, Matheron 1967], e concentrou seus esforços no estudo da estruturageométrica das entidades presentes em uma imagem. A morfologia matemática pode seraplicada em várias áreas de processamento e análise de imagens, com objetivos tão distin-tos como realce, filtragem, segmentação, detecção de bordas, esqueletização, afinamento,dentre outras. O princípio básico da morfologia matemática consiste em extrair as infor-mações relativas à geometria e à topologia de um conjunto desconhecido (uma imagem),pela transformação através de outro conjunto completamente definido, chamado elementoestruturante. Portanto, a base da morfologia matemática é a teoria de conjuntos.

3.5.1 Dilatação e ErosãoDefinição 3.5.1. Sejam A e B conjuntos no espaco Z2 e seja ∅ o conjunto vazio. Adilatação de A por B, denotada A⊕B, e definida como:

A⊕B = {x∣(B)x∩A ≠∅}, (3.30)

onde (B)x é a reflexão de B em relação a x.

A dilatação de A por B é o conjunto de todos os x deslocamentos para os quais ainterseção de (B)x e A inclui pelo menos um elemento diferente de zero. Com base nestainterpretação, a equação anterior pode ser escrita como:

A⊕B = {x∣[(B)x∩A] ⊆ A}. (3.31)

O conjunto B é denominado elemento estruturante. A Figura 3.13 traz dois exemplosde dilatação com elementos estruturantes diferentes.

Figura 3.13: Exemplos de Dilatação


3.5. MORFOLOGIA MATEMÁTICA 35

Definição 3.5.2. Sejam A e B conjuntos no espaço Z2. A erosão de A por B, denotadaAΘB, é definida como:

AΘB = {x∣Bx∩A]}. (3.32)

Em outras palavras, a erosão de A por B resulta no conjunto de pontos x tais que B, otransladado de x, está contido em A. A Figura 3.14 mostra dois exemplos de erosão comdois elementos estruturantes diferentes.

Figura 3.14: Exemplos de Erosão


3.5.2 Abertura e FechamentoComo foi visto anteriormente, a dilatação expande uma imagem, enquanto a erosão a

encolhe. Definir-se-á agora as operações morfológicas: a abertura e o fechamento.A abertura, em geral, suaviza o contorno de uma imagem e elimina proeminências

delgadas. O fechamento, por sua vez, funde pequenas quebras, elimina pequenos orifíciose preenche fendas no contorno.

Definição 3.5.3. Sejam A um conjunto e B o elemento estruturante, a abertura de A porB, denotada A○B, é definida como:

A○B = (AΘB)⊕B. (3.33)

O que equivale a dizer que a abertura de A por B é simplesmente a erosão de A por B,seguida de uma dilatação do resultado por B.

Definição 3.5.4. Sejam A um conjunto e B o elemento estruturante, o fechamento de Apor B, denotado A●B, é definido como:

A●B = (A⊕B)ΘB (3.34)


O que nada mais é que a dilatação de A por B, seguida da erosão do resultado pelomesmo elemento estruturante B.

Propriedades da abertura

(i) A○B é um subconjunto (subimagem) de A;(ii) Se C for um subconjunto de D, então C ○B será um subconjunto de D○B;(iii) (A○B)○B = A○B.

Propriedades do fechamento

(i) A é um subconjunto de A●B;(ii) Se C for um subconjunto de D, então C ●B será um subconjunto de D●B;(iii) (A●B)●B = A●B.

A Figura 3.15 mostra exemplo da operação de abertura utilizando um elemento estru-turante circular. Ela mostra a operação de abertura, indicando no alto o conjunto originalA, na linha intermediária a etapa de erosão e na linha inferior o resultado da operação dedilatação aplicada ao conjunto resultante da erosão.

Figura 3.15: Exemplos de Abertura e Fechamento


Essas propriedades auxiliam na interpretação dos resultados obtidos quando as opera-ções de abertura e fechamento são utilizadas para construir filtros morfológicos.


3.5.3 Transformação Hit-or-Miss

A transformação morfológica hit-or-miss é uma ferramenta básica para o reconheci-mento de padrões. Pode-se definir da seguinte maneira.

Definição 3.5.5. Sejam A um conjunto e B = (B1,B2) o elemento estruturante, define-se atransformação hit-or-miss, denotada por AhomB, por;

AhomB = (AΘB1)∩(AcΘB2), (3.35)

onde B1 é o conjunto dos elementos de B associados com um objeto e B2 o conjuntodos elementos de B associados com o fundo correspondente.

Logo, o conjunto AhomB contém todos os pontos para os quais, simultaneamente, B1encontrou uma correspondência (ou um ´hit’) em A e B2 encontrou uma correspondênciaem Ac.

3.5.4 Algoritmos Morfológicos Básicos

Quando se trabalha com imagens binárias, a principal aplicação da morfologia é ex-trair componentes da imagem que sejam úteis na representação e descrição de formatos.

Extração de Contornos

Definição 3.5.6. Sejam um conjunto A e o elemento estruturante B, a extração de con-torno, denotada por β(A), é definida como:

β(A) = A−(AΘB). (3.36)

A Figura 3.16 mostra a mecânica da extração de contornos. Na parte (a), tem-se oconjunto original, na parte (b), o elemento estruturante, em (c), o resultado da erosão efinalmente em (d), o resultado da diferença, que corresponde ao contorno de A.

Figura 3.16: Exemplos de Extração de Contorno



Preenchimento de Regiões

Seja um contorno fechado A, que pode ser expresso como um conjunto contendo umsubconjunto cujos elementos são pontos do contorno 8-conectados. Partindo de um pontop situado dentro do contorno, o que se deseja é preencher o interior desta região com 1.Assumindo que todos os pontos que não estão sobre a fronteira estão rotulados como 0,atribuímos o valor 1 a p para iniciar o procedimento. O procedimento a seguir preenchea região com 1:

Xk = (Xk−1⊕B)∩Ac, k = 1,2,3, (3.37)

onde X0 = p e B é o elemento estruturante. O algoritmo termina na k-ésima iteraçãose Xk = Xk−1. O conjunto união de Xk e A contém a fronteira e os pontos internos a ela.

Extração de componentes conectados

Definição 3.5.7. Seja Y um componente conectado contido em um conjunto A e suponhaque um ponto p de Y seja conhecido. Então, com a expressão iterativa a seguir se obtémtodos os elementos de Y ∶

Xk = (Xk−1⊕B)∩A k = 1,2,3,⋯, (3.38)

onde X0 = p e B é o elemento estruturante.

A expressão converge quando Xk = Xk−1.

Figura 3.17: Exemplos de Extração de componentes conectados

A Figura 3.17 mostra um exemplo de extração de componentes conectados. Em suaparte (a), são mostrados o conjunto original A e o pixel de partida, indicado pelo número0. O elemento estruturante utilizado está na parte (b). As partes (c) e (d) mostram,respectivamente, os resultados após a primeira e segunda iterações. O resultado final(após 6 iterações) é mostrado na parte (e).



Casco convexo

Pode-se definir casco convexo H de um conjunto arbitrário S como o menor conjuntoconvexo que ainda contem S. A seguir define-se casco.

Definição 3.5.8. Sejam um conjunto A e Bi, i = 1,2,3,4, quatro elementos estruturantes,define-se casco de A, como resultado do algoritmo:

X ik = (XhomBi)∪A i = 1,2,3,4 e k = 1,2,3,⋯, (3.39)

com X ik = A.

A Figura 3.18 mostra as etapas deste procedimento, iniciando pela exibição dos qua-tro elementos estruturantes utilizados, na parte (a). A parte (b) mostra o conjunto originalA. As Figuras (c), (d), (e) e (f) mostram o resultado final do processamento para cadaelemento estruturante, indicando numericamente a contribuição de cada iteração no re-sultado final para aquele elemento. O resultado final aparece na parte (g). Destaca-seque esses elementos estruturantes possuem pontos indicados com X que significam umacondição ’don’t care’, quer dizer, o pixel naquela posição pode ter valor 0 ou 1.

Afinamento

Definição 3.5.9. Sejam um conjunto A e o elemento estruturante B, para se obter o afina-mento, denotado por A⊗B, usa-se a expressão que segue:

A⊗B = A−(AhomB) = A∩(AhomB)c. (3.40)


Figura 3.18: Exemplos de Casco Convexo


Espessamento

Definição 3.5.10. Sejam um conjunto A e o elemento estruturante B para se obter o es-pessamento, denotado por AthiB, usa-se a expressão que segue:

AthiB = A∪(A hom B). (3.41)


Ressalta-se que o espessamento é o dual morfológico do afinamento. A Figura 3.19dá um exemplo de espessamento.

Figura 3.19: Exemplos de Espessamento

ã


Esqueletização

Uma maneira de se definir o esqueleto de um conjunto A é usando as definições deerosões e aberturas. Assim, tem-se.

Definição 3.5.11. Sejam um conjunto A e B um elemento estruturante, o esqueleto de A,denotado por S(A), é dado por:

S(A) =k⋃k=0

Sk(A), (3.42)

com

Sk(A) =k⋃k=0

{(AΘkB)− [(AΘkB)○B]}, (3.43)

onde (AΘkB) indica k erosões sucessivas de A. A Figura 3.20 mostra esses conceitos.


Figura 3.20: Exemplos de Esqueletização


3.6 Considerações FinaisNeste capítulo fez-se um apanhado das ferramentas de processamento digital de ima-

gens a serem utilizados neste trabalho. E no capítulo que segue estudar-se-á a morfologiamatemática fuzzy como extensão da morfologia matemática, utilizando a lógica fuzzy eonde se definirá os operadores morfológicos de Lukasiewick, Gödel e Goguen.

Capítulo 4

Morfologia Matemática Fuzzy

A Morfologia Matemática apresenta um modelo sistemático para extrair característi-cas geométricas de imagens binárias usando operadores morfológicos que transformama imagem original em outra usando uma terceira imagem, chamada elemento estrutu-rante. A morfologia matemática fuzzy estende os operadores morfológicos binários paraimagens em tons de cinza e coloridas. Para isso baseia-se nas seguintes abordagens:Umbra, Conjuntos Limiar, Reticulados e Lógica Fuzzy. O primeiro autor a utilizar alógica fuzzy na morfologia matemática foi Goetcherian [Goetcherian 1980]. Desde en-tão, vários autores vêm trabalhando com esta abordagem como por exemplo Sinha &Dougherty [Sinha & Dougherty 1992, Sinha & Dougherty 1993], Bloch & Maître [Bloch& Maître 1994, Bloch & Maître 1995], De Baets, Nachtegael & Kerre [Baets 1997,Baets & Kerre 1995, Nachtegael & Kerre 2001] e Deng & Heijmans [Heijmans & Deng2002]. Utilizou-se a 4a abordagem para estender a morfologia binária para a morfolo-gia em tons de cinza e colorida no mesmo contexto do trabalho do Deng & Heijmans[Heijmans & Deng 2002] com a diferença que, propõe-se uma análise de cinco pares de(T-norma, R-implicação). No caso em que esse par forme adjunção, poder-se-á definiroperadores de erosão a partir das implicações e operadores de dilatação obtidos daT-norma associada.Como uma das contribuições deste trabalho foi a construção dos ope-radores morfológicos fuzzy de Lukasiewicz, Gödel e de Goguen.

4.1 Conceitos Preliminares

Nesta seção, descreve-se os conceitos necessários para o entendimento do conteúdodas seções seguintes. Ela basea-se nas seguintes referências [Blyth & Janowitz 1972,Baczyznski & Jayaram 2008, Morgado 1962, Heijmans & Ronse 1990, Fodor & Roubens1994].

44 CAPÍTULO 4. MORFOLOGIA MATEMÁTICA FUZZY

4.1.1 Ordens ParciaisDefinição 4.1.1. [Blyth & Janowitz 1972] (Pré-ordem e Ordem parcial) Uma relaçãobinária R sobre uma classe A diz-se:

P1) Reflexiva, se para todo x ∈ A, então xRx;P2) Transitiva, se xRy e yRz então xRz;P3) Anti-simétrica, se xRy e yRx, então x = y.Se a relação atende P1 e P2, então ela é chamada pré-ordem, o sistema < A,R > é

chamado sistema pré-ordenado e A chama-se conjunto pré-ordenado. Se R é uma pré-ordem que atende P3, diz-se que a mesma é uma ordem parcial. Neste caso, diz-se que< A,R > é um sistema parcialmente ordenado e A é um conjunto parcialmente ordenado(PO).

Dada uma relação R sobre A, pode-se definir R−1(relação inversa) onde (x,y) ∈R−1 se,e somente se, (y,x) ∈ R. Da mesma forma pode-se também definir R2, onde (x,y) ∈ R2 se,e somente se, existe z ∈ A onde (x,z) ∈ R e (z,y) ∈ R.

Proposição 4.1.1. [Blyth & Janowitz 1972] A interseção de ordens parciais sobre umconjunto A é também uma relação de ordem parcial sobre A.

Corolário 4.1.1. O Conjunto de todas as ordens parciais sobre A é fechado sobre aoperação de interseção.

Proposição 4.1.2. [Blyth & Janowitz 1972] A relação inversa de uma relação de ordemparcial também é uma relação de ordem parcial.

A proposição que segue fornece uma condição suficiente e necessária para que umarelação binária R seja uma ordem parcial.

Proposição 4.1.3. [Blyth & Janowitz 1972] R é uma relação de ordem parcial sobre oconjunto A se, e somente se,

(1) R∩R−1 = IdA;(2) R2 ⊆ R.

4.1.2 DualidadeDefinição 4.1.2. [Blyth & Janowitz 1972] (Sistema Dual) Dado um sistema parcialmenteordenado < A,R >, o sistema < A,R−1 > será chamado de sistema ordenado oposto oudual e a relação inversa R−1 será chamada de ordem parcial oposta ou dual. Na literatura,o sistema < A,R−1 > é geralmente denotado por < A,Rop >.

Ao obter uma afirmação φ sobre um sistema ordenado < A,R > obtém-se uma afir-mação dual φop trocando-se cada asserção de R por Rop e vice-versa. Dessa forma, osconceitos e propriedades a respeito de sistemas ordenados andam em pares, como afirmao seguinte princípio.

Princípio da Dualidade: Dada uma asserção φ que seja verdadeira em todos os sis-temas ordenados, a asserção dual φop também será verdadeira em todos os sistemas orde-nados.

4.1. CONCEITOS PRELIMINARES 45

4.1.3 Elementos NotáveisEm um sistema pré-ordenado existem elementos e conjuntos de elementos que são

dignos de nota. Esta seção apresenta esses objetos.

Definição 4.1.3. [Blyth & Janowitz 1972] (Máximo e Mínimo) Dado um sistema pré-ordenado < A,R >, um elemento ⊺ ∈ A(� ∈ A) diz-se elemento máximo (mínimo), sempreque x ≤ ⊺(� ≤ x), para todo x ∈ A

Definição 4.1.4. [Blyth & Janowitz 1972] (Elemento maximal e minimal) Seja < A,R >

um sistema parcialmente ordenado e Q ⊆ A,a ∈ Q é um elemento maximal (minimal) deQ, se a ≤ x(a ≥ x) e x ∈Q implica a = x.

Definição 4.1.5. [Blyth & Janowitz 1972] (Ìnfimo e Supremo) Dado um conjunto parcial-mente ordenado A, S ⊆A e m,M ∈A, m diz-se minorante de S, se para todo x ∈ S, m ≤ x. Mdiz-se o majorante de S, se para todo x ∈ S, x ≤M. O conjunto de todos os minorantes de Sé denotado por Sl; enquanto o conjunto de todos os majorantes de S é denotado por Su. Omenor elemento de Su, (quando existe), denotado por ⋁S ou supS, chama-se o supremode S, enquanto que o maior elemento de Sl , (quando existe), denotado por ⋀S ou infS,chama-se o ínfimo de S.

4.1.4 Ideais e FiltrosDefinição 4.1.6. [Blyth & Janowitz 1972] Seja ⟨A,≤⟩ um conjunto parcialmente ordenadoe B ⊆ A,

(1) B chama-se ideal de A se, para todo x,y ∈ A, y ∈ B sempre que x ∈ B e y ≤ x.(2) B chama-se filtro de A se, para todo x,y ∈A, sempre que x ∈B e y ≥ x, tem-se

que y ∈ B

Proposição 4.1.4. [Blyth & Janowitz 1972] Dada uma ordem parcial ⟨A,≤⟩ e Q ⊆ A, osconjuntos ↓Q = {y ∈A ∣ (∃x ∈Q) y ≤ x} e ↑Q = {y ∈A ∣ (∃x ∈Q) y ≥ x} são ideais e filtros deA, respectivamente.

Proposição 4.1.5. [Blyth & Janowitz 1972] Dada uma ordem parcial ⟨A,≤⟩ e Q ⊆ A, ↓Qsatisfaz as seguintes propriedades:

(1) Q ⊆ ↓Q(2) Q ⊆ R⇒↓Q ⊆ ↓R(3) ↓↓Q = ↓Q

Um tipo de ideal (filtro) importante chama-se ideal (filtro) principal gerado por x ∈A.Esses ideais e filtros são representados respectivamente por:

↓x = {y ∈ A ∣ y ≤ x} e ↑ x = {y ∈ A ∣ y ≥ x}. (4.1)

Obviamente, ↓x = ↓{x} e ↑x = ↑{x}.


4.1.5 Transformações sobre Ordens ParciaisDefinição 4.1.7. [Blyth & Janowitz 1972] (Imagem e Pré-imagem) Seja f ∶ A→ B umafunção qualquer entre os conjuntos A e B.

1. Para cada S ⊆ A, o conjunto

→

f (S) = { f (x) ∣ x ∈ S} ⊆ B (4.2)

é chamado a imagem direta de S em B sobre f , ou simplesmente, quando o con-texto estiver claro, a imagem de S.

2. Para cada T ⊆ B, o conjunto

←

f (T) = {x ∈ A ∣ f (x) ∈ T} ⊆ A, (4.3)

é chamado a pré-imagem de T em A sobre f , ou simplesmente, quando se soubero conjunto, a pré-imagem de S.

Definição 4.1.8. [Blyth & Janowitz 1972] (Função Isotônica) Dadas duas ordens parciais⟨A,≤⟩ e ⟨B,≤⟩ e uma função f ∶ A↦ B, f é isotônica, se para todo x,y ∈ A

x ≤A y⇒ f (x) ≤B f (y).

Proposição 4.1.6. [Blyth & Janowitz 1972] [Caracterização das Funções Isotônicas] SeA e B são conjuntos ordenados e f é qualquer função de A em B, então as seguintescondições são equivalentes:

(1) x ≤A y⇒ f (x) ≤B f (y).(2) A pré-imagem de todo ideal principal é um ideal de A. 1

(3) A pré-imagem de todo filtro principal é um filtro de A.

Observando a definição de função isotônica e a propriedade (1), pode-se observarque as funções isotônicas são aquelas que preservam a relação de ordem entre sistemasordenados.

Definição 4.1.9. [Blyth & Janowitz 1972] (Imersões e Isomorfismo) Uma função isotônicaf ∶ A→ B chama-se imersão se ela satisfizer a seguinte propriedade:

x ≤A y⇔ f (x) ≤B f (y). (4.4)

Quando f é sobrejetora, então f chama-se isomorfismo. Se A = B o isomorfismo échamado de automorfismo.

Dentro da família das funções isotônicas existe uma classe de funções muito im-portante, aquela cuja pré-imagem preserva ideais/filtros principais. Essas funções sãochamadas funções residuadas e que são importantes dentro do deste trabalho. Nestecapítulo, a notação que utiliza-se para a operação composição é ○.

1Não necessariamente não vazio.

4.1. CONCEITOS PRELIMINARES 47

Definição 4.1.10. [Blyth & Janowitz 1972] (Funções Residuadas) Dadas duas ordensparciais A e B, uma função f ∶ A→ B diz-se função residuada, se ela satisfaz uma dasseguintes condições equivalentes:

1. f é isotônica e existe uma função isotônica h ∶ B→ A tal que:

h○ f ≥ idA e f ○h ≤ idB. (4.5)

Neste caso h chama-se resíduo de f ;

2. Para cada ideal principal ↓x de B,←

f ( ↓x) é um ideal principal de A.

O resíduo de uma função residuada f ∶A→B é único e é denotado por f R. Além disso,existe uma relação biunívoca entre f e f R.

Proposição 4.1.7. [Blyth & Janowitz 1972] Uma função isotônica f ∶ A→ B é residuadase, e somente se, a seguinte função é bem definida, f R ∶ B→ A, onde f R(b) = max{x ∈ A ∣

f (x) ≤ b}, para todo b ∈ B. 2

Definição 4.1.11. [Blyth & Janowitz 1972] (Adjunções) Dada uma função residuada,f ∶A→B, o par ( f , f R) chama-se adjunção, onde f chama-se adjunção à esquerda e f R

adjunção à direita.

A seguinte proposição apresenta uma caracterização das funções residuadas.

Proposição 4.1.8. Sejam A e B conjuntos parcialmente ordenados, f ∶ A→ B e g ∶ B→ Afunções quaisquer. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. f é residuada e g = f R;2. Para todo a ∈ A e b ∈ B, a ≤ g(b) se, e somente se, f (a) ≤ b;

3. f é isotônica e para cada b ∈ B, g(b) =max←

f ( ↓b) =max{x ∈ A ∣ f (x) ≤ b};4. g é isotônica e para cada a ∈ A f (a) =min

←g ( ↑a) =min{y ∈ B ∣ a ≤ g(y)};

4.1.6 ReticuladosUm tipo específico de ordens parciais que tem relevância na literatura e é importante

para a Morfologia Matemática são os reticulados. Essas estruturas são definidas a seguir.

Definição 4.1.12. [Morgado 1962] (Reticulados e Reticulados Completos) Uma ordemparcial ⟨A,≤⟩ em que para todo x,y ∈A,⋁{x,y},⋀{x,y} ∈A chama-se reticulado. Denota-se⋁{x,y} e⋀{x,y} respectivamente por: “x∨y” e “x∧y”. Se para todo subconjunto S ⊆A,⋁S ∈ A e ⋀S ∈ A, ⟨A,≤⟩ chama-se reticulado completo.

Proposição 4.1.9. [Morgado 1962] Sejam L um reticulado completo, B um conjuntoqualquer e f ∶ L → B uma função qualquer que preserva supremos — i.e. para todo

S ⊆L , f (supS) = sup→

f (S). Então, f é residuada e f R(b) =max←

f ( ↓b), para todo b ∈ B.

2Em outras palavras se existe max{x ∈ A ∣ f (x) ≤ b}.


4.2 Conjuntos Fuzzy e Lógica Fuzzy

Segundo a axiomática ZF [Halmos 1960], dado qualquer conjunto A tem-se a ele as-sociado o conjunto das partes de A, denotado por P(A). Sobre esse conjunto são definidasas conhecidas operações de interseção, união e complemento, além de relações como“está contido", “contém", etc. Essas operações e relações são generalizadas para o casoem que os conjuntos são aqueles cuja noção de pertinência obedece uma gradação; essesconjuntos são chamados de conjuntos nebulosos ou conjuntos fuzzy. Essa generalizaçãobaseia-se no fato de que associado a todo elemento S ∈P(A) encontra-se a chamada funçãocaracterística de S.

Definição 4.2.1. [Buckley & Eslani 2002] (Função Característica) A função caracterís-tica de um conjunto S ∈ P(A), denotada por χS, é uma função χS ∶ A→ {0,1}, onde

χS(x) = {1, se x ∈ S0, caso contrário (4.6)

Na década de 1960, Zadeh propôs a generalização de χS para funções da formaχS ∶ A→ [0,1], dando origem à teoria dos conjuntos fuzzy. Essas funções chamam-se defunção de pertinência ou simplesmente conjunto fuzzy S. A partir disso, pode-se expressarmatematicamente que a pertinência pode ser graduada.

Como as operações e relações entre conjuntos são definidas a partir da relação de per-tinência e dos operadores da lógica clássica, o mesmo é feito para os conjuntos fuzzy,só que a partir de operações sobre o intervalo [0,1]. Assim, operações como interseçãoe união continuam ligadas aos conectivos lógicos de conjunção e disjunção, respectiva-mente, mas agora sobre [0,1]. No caso clássico, o conectivo de conjunção e implicaçãosão usados para se definir a operação de interseção e a relação de continência, respectiva-mente.

No caso clássico, dados dois conjuntos S = {x ∈A∣P(x)} e T = {x ∈A∣Q(x)}, onde P(x)e Q(x) são as propriedades satisfeitas pelos elementos dos conjuntos S e T respectiva-mente, a interseção entre S e T , S∩T = {x ∈A∣P(x)∧Q(x)}, é o conjunto de elementos de Aque satisfaz a “P(x) ∧ Q(x)”. No caso da relação de continência,S ⊆ T ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ S→ x ∈ T. Assim, para se generalizar a operação de interseção paraconjuntos fuzzy é necessário generalizar a noção de conjunção, já para o caso da inclusãoé necessário generalizar a noção de implicação.

4.2.1 Conectivos Fuzzy

Na lógica fuzzy, os conectivos clássicos de conjunção, disjunção, negação e impli-cação são generalizadas para o reticulado [0,1]. Nesta seção, apresentam-se esses conec-tivos e algumas propriedades necessárias para o desenvolvimento deste trabalho.

4.2. CONJUNTOS FUZZY E LÓGICA FUZZY 49

Definição 4.2.2. [Sussner, Nachtegael, Mélange, Deschrijver, Esmi & Kerre 2011] (Con-junção Fuzzy)

Uma função C ∶ [0,1]2 → [0,1] é chamada conjunção fuzzy se satisfizer as seguintescondições:

(1) C é uma aplicação isotônica;(2) C(0,0) =C(0,1) =C(1,0) = 0 e C(1,1) = 1.

Definição 4.2.3. [Sussner, Nachtegael, Mélange, Deschrijver, Esmi & Kerre 2011] (Dis-junção Fuzzy) Uma função D ∶ [0,1]2→ [0,1] é chamada disjunção fuzzy se satisfizer asseguintes condições:

(1) D é uma aplicação isotônica;(2) D(0,0) = 0 e D(1,0) =D(1,1) =D(0,1) = 1.

Um caso especial de conjunção são as chamadas T-normas triangulares ou simples-mente T-normas. Por outro lado, T-conormas são casos especiais de disjunções.

Definição 4.2.4. [Baczyznski & Jayaram 2008] Uma T-norma é uma funçãoT ∶ [0,1]2→ [0,1] que satisfaz as propriedades:

(1) T é uma conjunção;(2) T é associativa;(3) T é comutativa;(4) T(1,x) = x.

A Tabela 4.1 apresenta alguns exemplos de T-normas fuzzy que utilizadas neste tra-balho.

Tabela 4.1: Algumas T-normas Fuzzy

Nome T-normaLukasiewicz TLK(x,y) =max(0,x+y−1)

Gödel TGD(x,y) =min(x,y)Goguen TGG(x,y) = x ⋅y

Weber TWB(x,y) = {1 se x < 1,y < 1min(x,y) c.c.

Fodor TFD(x,y) = {1 se x+y < 1min(x,y) c.c.

Produto Drástico TD(x,y) = {0 se (x,y) ∈]0,1[2

min(x,y) c.c.

FONTE:[Baczyznski & Jayaram 2008]

Um tipo de T-norma importante na construção de operadores morfológicos é a T-norma contínua à esquerda.


Definição 4.2.5. [Baczyznski & Jayaram 2008] Uma T-norma T ∶ [0,1]2 → [0,1] é con-tínua à esquerda se para cada y ∈ [0,1] e para toda sequência não decrescente(xn)n∈Ntivermos:

limn→∞

T(xn,y) = T( limn→∞

xn,y). (4.7)

Segundo Baczynski as T-normas de TLK,TGD,TGG são exemplos de T-normas con-tínuas à esquerda.

Definição 4.2.6. [Baczyznski & Jayaram 2008] Se para duas T-normas T1 e T2 for o casoque T1(x,y) ≤ T2(x,y), para todo (x,y) ∈ [0,1], então diz-se que T1 é mais fraca que a T2,ou equivalentemente, que T2 é mais forte que T1.

Com base nesta definição pode-se comparar as T-normas da Tabela 4.1.

TD ≤ T ≤ TGD, (4.8)

onde a T-norma do produto drástico é mais fraca e a T-norma de Gödel é a mais forte.A união fuzzy é definida a partir da generalização do operador clássico de disjunção,

que pode ser chamado de T-conorma triangular ou simplesmente T-conorma.

Definição 4.2.7. [Baczyznski & Jayaram 2008] Uma T-conorma é uma funçãoS ∶ [0,1]2→ [0,1] que satisfaz as propriedades:

(1) S é disjunção;(2) S é associativa;(3) S é comutativa;(4) S(x,0) = x.

Um conectivo importante que generaliza a negação clássica é a negação fuzzy.

Definição 4.2.8. [Baczyznski & Jayaram 2008] Uma função N ∶ [0,1]→ [0,1] é chamadade negação fuzzy se;

(1) N(0) = 1, N(1) = 0;(2) N é decrescente.

Uma negação fuzzy ,N, é chamada estrita se, além disso, N for estritamente decres-cente e contínua. Uma negação fuzzy ,N, é diz-se forte se for uma involução, ou seja,N(N(x)) = x com x ∈ [0,1].

Definição 4.2.9. [Buckley & Eslani 2002] Dados dois conjuntos fuzzy χS,χT ∶ A→ [0,1]e uma conjunção C ∶ [0,1]× [0,1]→ [0,1] a interseção fuzzy de χS com χT é a funçãoχS∩χT (x) =C(χS(x),χT (x)).


Definição 4.2.10. [Baczyznski & Jayaram 2008](Implicação Fuzzy) Uma funçãoI ∶ [0,1]2 → [0,1] é chamada de implicação fuzzy, se para todo x,x1,x2,y,y1,y2 ∈ [0,1]as seguintes condições são satisfeitas:

(i) Se x1 ≤ x2⇒ I(x1,y) ≥ I(x2,y);(ii) Se y1 ≤ y2⇒ I(x,y1) ≤ I(x,y2);(iii) I(0,0) = 1;(iv) I(1,1) = 1;(v) I(1,0) = 0.(vi) I(0,1) = 1.

Segundo [Fodor & Roubens 1994] existem implicações fuzzy que possuem algumasdas seguintes propriedades.

(1) I(1,x) = x, x ∈ [0,1];(2) I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z)), x,y,z ∈ [0,1];(3) I(x,x) = 1, x ∈ [0,1];(4) I(x,y) = 1⇔ x ≤ y, x,y ∈ [0,1];(5) I(x,y) ≥ y x,y ∈ [0,1];(6) I(x,0) =N(x) é uma negação forte;(7) I(x,y) é uma função contínua(8) I(x,y) = I(N(y),N(x)), x,y ∈ [0,1] e N uma negação forte.

Na Tabela 4.2 são apresentadas algumas implicações fuzzy básicas.

Tabela 4.2: Exemplos de Algumas Implicações Fuzzy

Nome ImplicaçãoReichenbach IRC(x,y) = 1−x+xy

Kleene-Dienes IKD(x,y) =max(1−x,y)

Rescher IRS(x,y) = {1 se x ≤ y0 se x > y

Yager IY G(x,y) = {1 se x = 0 e y = 0yx se x > 0 e y > 0

FONTE:[Baczyznski & Jayaram 2008]

Um grupo interessante de implicações são as R-implicações devido à sua semelhançacom a implicação intuicionista onde vale a lei lógica a∧c ≤ d⇔ c ≤ I(a,d). A implicaçãointuicionista chamada implicação residuada é importante no conceito de adjunções quesão básicas na Morfologia Matemática.

Definição 4.2.11. [Baczyznski & Jayaram 2008] A função I ∶ [0,1]2 → [0,1] é chamadade R-implicação se existir uma T-norma ,T, tal que

I(x,y) = sup{t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y}, (4.9)


Dentro dessas implicações tem-se uma classe de grande relevância, as implicaçõesresiduadas, que são R-implicações, onde o supremo em 4.9 coincide com o máximo doconjunto , isto é,

I(x,y) =max{t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y}. (4.10)

Na Tabela 4.3 apresentam-se algumas R-implicações que serão utilizadas neste tra-balho e uma comparação com relação as propriedades de Fodor & Roubens entre elas évista na Tabela 4.4.

Tabela 4.3: Algumas R-Implicações Fuzzy

Nome ImplicaçãoLukasiewicz ILK(x,y) =min(1,1−x+y)

Gödel IGD(x,y) = {1 se x ≤ yy se x > y

Goguen IGG(x,y) = {1 se x ≤ yyx se x > y

Weber IWB(x,y) = {1 se x < 1y se x = 1

Fodor IFD(x,y) = {1 se x ≤ ymax(1−x,y) se x > y

FONTE:[Fodor & Roubens 1994]

A Tabela 4.4 faz um comparativo das propriedades das R-implicações utilizadas.Segundo Baczynski [pg. 8] as implicações IGD,IGG,IFD são contínuas à esquerda na

primeira variável e contínua à direita na segunda variável. E a implicação IWB é contínuaà esquerda na segunda variável.

As R-implicações possuem uma classe denominada implicações residuadas, que sãoas implicações em que o par (T,I) formam uma adjunção, para isso utiliza-se o resultadoque segue.

Tabela 4.4: Comparação entre as R-implicações

Implicações (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)ILK

√ √ √ √ √ √ √ √

IGD√ √ √ √ √ √

x√

IGG√ √ √ √ √ √

x√

IWB√ √ √

x√ √

x√

IFD√ √ √ √ √ √

x√

FONTE:[Fodor & Roubens 1994]


Proposição 4.2.1. [Baczyznski & Jayaram 2008] Para uma T-norma ,T, as seguintes afir-mações são equivalentes:

(i) T é contínua à esquerda;(ii) T e I formam um par adjunção, isto é, se elas satisfizerem o princípio

residual:

Tz(x) = T(z,x) ≤ y⇔ x ≤ I(z,y) = Iz(x) x,y,z ∈ [0,1]. (4.11)

(iii) Se o supremo de 4.9 for o máximo, isto, é

I(x,y) =max{t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y}. (4.12)

Demonstração. (i)⇒ (ii) Suponha, primeiramente, que T seja uma T-norma contínua àesquerda e assuma que T(x,z) ≤ y, para algum x,y,z ∈ [0,1]. Isto implica que, em particu-lar, z ∈ {t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y}, e por isso I(x,y) ≥ z.

Reciprocamente, assuma que z ≤ I(x,y), para algum x,y,z ∈ [0,1]. Considere agoradois casos. Se z < I(x,y) então existe uma t′ > z tal que T(x,t′) ≤ y então, pela propriedademonotônica, implica que T(x,z) ≤ y. Se z = I(x,y), ou então z ∈ {t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y} e,portanto, T(x,z) ≤ y, ou z ∉ {t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y}. Assim, existe uma sequência crescente(ti)i∈N tal que ti < z, T(x,ti)≤ y, para todo i ∈N e limi→∞ ti = z. Pela continuidade à esquerdade T tem-se que

T(x,z) = T(x, limi→∞

ti) = limi→∞

T(x,ti) ≤ y.

(ii)⇒ (iii) Assuma que T e I formam um par de adjunção, isto é, elas satisfazem(4.11). Desde que I(x,y)≤ I(x,y), tem-se que T(x,I(x,y))≤ y, que significa, pela definiçãode I como R-implicação, que o supremo em (4.9) é o máximo.

(iii)⇒ (i) Como para qualquer T-norma ,T, ela é crescente e comutativa, isto é sufi-ciente para mostrar que T é infinitamente sup-distributiva, isto é,T(x,supy∈S ys) = sups∈S T(x,ys) onde x,ys ∈ [0,1] para cada s ∈ S. Observe primeiramenteque a partir da monotonicidade de T sempre tem-se a inequação

T(x,supy∈S

ys) ≥ supy∈S

T(x,ys).

Seja y = supy∈S T(x,ys). Isto implica que T(x,ys) ≤ y, para cada s ∈ S. Por isso, ys ∈ {t ∈[0,1]∣T(x,t)≤y}, para cada s ∈ S e, consequentemente, ys ≤ I(x,y), para cada s ∈ S. Então,supy∈S ys ≤ I(x,y). Pela monotonicidade de T, tem-se que

T(x,supy∈S

ys) ≤ T(x,I(x,y)) ≤ y = supy∈S

T(x,ys).

Com base nessas desigualdade, tem-se que T é infinitamente sup-distributiva, e com isso,contínua à esquerda.

Como foi mencionado, as T-normas apresentadas na Tabela 4.1 são contínuas à es-querda, exceto as T-norma de Weber e de Fodor. Pode-se concluir, utilizando desta in-formação e da proposição acima, que os pares (TLK,ILK),(TGD,IGD),(TGG,IGG) formam


adjunções. Como consequência pode-se obter operadores morfológicos para cada par deadjunção, como feito na proposição 4.3.1.

4.2.2 Automorfismos

Uma forma de obter novos conectivos lógicos a partir de conectivos conhecidos éatravés da aplicação de automorfismo. No caso deste trabalho, os automorfismos serãoaplicados ao conectivo de implicação, dando origem à noção de implicador.

Definição 4.2.12. [Bedregal & Santiago 2012] (Implicador) Uma função I ∶ [0,1]2→ [0,1]é chamada de implicador, se ela satisfizer as seguintes propriedades:

(1) I(1,0) = 0 e I(0,0) = I(0,1) = I(1,1) = 1;(2) Se x ≤ z então I(x,y) ≥ I(z,y);(3) Se y ≤ z então I(x,y) ≤ I(x,z).

Definição 4.2.13. [Bedregal & Santiago 2012] (Funções Conjugadas) Dadas duas funçõesf ,g ∶ [0,1]n → [0,1], g chama-se conjugada de f , se existir um automorfismo ρ sobre[0,1], tal que g = f ρ, isto é, g(x1,⋯,xn) = ρ−1( f (ρ(x1),⋯,ρ(xn))).

Como já mencionado, os automorfismos podem ser usados para se obter novos conec-tivos.

Exemplo: Dada a implicação de Lukasiewicz ILK(x,y) = min[1,1−x+y], tomando oautomorfismo ρ = x2, a conjugada de ILK é a expressão Iρ

LK =min(1,√

1−x2+y2).

4.3 Morfologia Matemática Fuzzy

De acordo com [Heijmans 1995], uma imagem binária pode ser vista como um con-junto das partes de E, P(Ed), onde Ed é o conjunto formado pelo produto d-dimensionalde E, e E pode ser R2,Z2. P(Ed) é um reticulado completo segundo a ordem da inclusão.Em reticulados completos são definidas duas operações importantes para a morfologiamatemática: a dilatação e a erosão.

Definição 4.3.1. [Heijmans & Ronse 1990] A dilatação de uma imagem A pelo elementoestruturante B é definida por

δB(A) = A⊕B = {y ∈ A∣By∩A ≠∅}, (4.13)

onde B = {−x∣x ∈ B} e By = {b + y∣b ∈ B}. A expressão A⊕B chama-se “Soma deMinkowski", que foi introduzida pelo mesmo em 1903 [Minkowisk 1903].

Definição 4.3.2. [Heijmans & Ronse 1990] A erosão de uma imagem A pelo elementoestruturante B é definido por

εB(A) = AΘB = {y ∈ A∣By ⊆ A}, (4.14)

4.3. MORFOLOGIA MATEMÁTICA FUZZY 55

onde By = {b+ y∣b ∈ B}, isto é, a translação do lugar geométrico B pelo ponto y. Aexpressão AΘB chama-se “Diferença de Minkowski"e foi introduzida por Hadwiger em1950 [Hadwiger 1950].

Exemplo: A Figura 6.3 apresenta uma imagem que sofre a erosão e a dilatação usandoum elemento estruturante na forma circular.

Figura 4.1: Processamento da letra g com elemento estruturante circular vermelho

FONTE:[Bousseau 2012]

No caso das imagens tons de cinza e coloridas, os operadores dilatação e erosão (ad-junção) são definidos da seguinte maneira.

Definição 4.3.3. [Sussner, Nachtegael, Mélange, Deschrijver, Esmi & Kerre 2011] Aerosão fuzzy de uma imagem A pelo elemento estruturante B no ponto x é dada pelaequação

εFBA(x) =⋀

y∈A{I(Bx(y),A(y))}, (4.15)

onde Bx é a translação de B por x.

Definição 4.3.4. [Sussner, Nachtegael, Mélange, Deschrijver, Esmi & Kerre 2011] Adilatação fuzzy de uma imagem A pelo elemento estruturante B no ponto x é dada por

δFBA(x) =⋁

y∈A{C(Bx(y),A(y))}, (4.16)

onde Bx é a reflexão de B em torno de sua origem.

De posse das definições de erosão e dilatação fuzzy, conjuntamente com as infor-mações das tabelas de T-normas 4.1 e de implicações 4.3, pode-se enunciar a proposiçãocom os operadores morfológicos fuzzy. A proposição seguinte é uma das contribuiçõesdeste trabalho.


Proposição 4.3.1. Sejam A e B imagens, pode-se definir os seguintes operadores mor-fológicos fuzzy.

(1) A erosão e a dilatação de Lukaciewicz de uma imagem A, pelo elemento estrutu-rante B no ponto x, denotadas por εLK

B A e δLKB A, respectivamente, são dadas por:

εLKB A(x) =⋀

y∈A{ILK(Bx(y),A(y))} =⋀

y∈A[1,1−Bx(y)+A(y)] (4.17)

δLKB A(x) =⋁

y∈A{CLK(Bx(y),A(y))} =⋁

y∈A[0, Bx(y)+A(y)−1]; (4.18)

(2) A erosão e a dilatação de Gödel de uma imagem A, pelo elemento estruturante Bno ponto x, denotadas por εGD

B A e δGDB A, respectivamente, são dadas por:

εGDB A(x) =⋀

y∈A{

1 se Bx(y) ≤ A(y)A(y) se Bx(y) > A(y) (4.19)

δGDB A(x) =⋁

y∈A[min[Bx(y),A(y)]]; (4.20)

(3) A erosão e a dilatação de Goguen de uma imagem A, pelo elemento estruturante Bno ponto x, denotadas por εGG

B A e δGGB A, respectivamente, são dadas por:

εGGB A(x) =⋀

y∈A

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 se Bx(y) ≤ A(y)A(y)B(y) se Bx(y) > A(y)

(4.21)

δGGB A(x) =⋁

y∈A[Bx(y).A(y)]; (4.22)

Demonstração. Direto das definições de erosão e dilatação fuzzy.

4.4 Considerações FinaisNeste capítulo apresentou-se os conceitos preliminares necessários para um bom en-

tendimento da morfologia matemática fuzzy, como extensão da morfologia matemática,utilizando a lógica fuzzy e a análise de cinco pares de R-implicações com suas T-normasassociadas, (Lukasiewicz, Gödel, Goguen, Weber e Fodor), onde se definiu os operadoresmorfológicos para as adjunções de Lukasiewicz, Gödel e Goguen. No capítulo seguinte,com o auxílio de uma interface desenvolvida no Matlab, apresentam-se os operadoresmorfológicos, aqui definidos, aplicados no processamento de imagens, a repercurssão dasfunções Delta e Épsilon de Weber e Fodor em imagens, a aplicação dos operadores nacontagem de esporos de fungos micorrízicos e na contagem de células sanguíneas. Opróximo capítulo também avaliará o impacto dos automorfismos na construção de maisoperadores morfológicos.

Capítulo 5

Operadores Morfológicos noProcessamento de Imagens

Neste capítulo, apresenta-se grande parte de contribuição deste trabalho. Com o au-xílio de uma interface desenvolvida no Matlab, expõe-se os efeitos dos operadores mor-fológicos definidos no capítulo anterior (Lukasiewick, Gödel e Goguen), e das funçõesDelta e Epsilon de Weber e Fodor. O capítulo provê a aplicação desses operadores na con-tagem de esporos de fungos micorrízicos e na contagem de células sanguíneas vermelhase também avalia o impacto dos automorfismos na construção de outros operadores mor-fológicos. O foco principal deste capítulo é a análise das morfologias de Lukasiewick,Gödel e Goguen na contagem de esporos de fungos micorrízicos, onde há um relato deexperiências para o desenvolvimento do algoritimo de contagem de esporos. Em seguida,o método desenvolvido utilizando a morfologia de Gödel para os esporos é adaptado paraa contagem de células sanguíneas vermelhas.

5.1 Operadores Morfológicos em ImagensNo que segue apresenta-se a repercussão dos operadores morfológicos utilizados, suas

peculiaridades e suas diferenças. Inicialmente pode-se verificar os efeitos das morfologiasLukasiewicz, Gödel e Goguen no processamento de imagens em tons de cinza usando aFigura 5.1(a) Lena.jpg e o elemento estruturante, Figura 5.1(c). Para melhor comparaçãoapresenta-se a imagem da Lena em tons de cinza sob o efeito da erosão clássica na Figura5.2(a) e a imagem sob o efeito da dilatação clássica na Figura 5.2 (b).Foi aplicada a mor-fologia de Lukasiewicz seguida da de Gödel e de Goguen. Para melhor visualização dasdiferenças entre os operadores, agrupou-se da seguinte maneira: as erosões nas Figuras5.3, as dilatações ilustradas em 5.4, as aberturas em 5.5 e os fechamentos nas Figuras 5.6.

Em seguida, faz-se a análise do processamento de imagens coloridas, que foi feito uti-lizando como as três matrizes de entrada, que representam o sistema RGB, matrizes emtons de cinza. Utilizou-se a Figura 5.1 (b), Lena.jpg colorida com o mesmo elemento es-truturante e repetiu-se a aplicação das morfologias, para melhor visualização das diferen-ças entre os operadores, agrupamo-nos da seguinte maneira: as erosões nas Figuras 5.7, asdilatações ilustradas em 5.8, as aberturas em 5.9 e os fechamentos nas Figuras 5.10. Paracomprovar a diferença entre as morfologias mostradas apresentam-se os histogramas das

58CAPÍTULO 5. OPERADORES MORFOLÓGICOS NO PROCESSAMENTO DE IMAGENS

imagens originais e com erosão em imagens coloridas de Lukasiewicz, Gödel e Goguenconforme as Figuras 5.11 (a), (b), (c) e (d).

Figura 5.1: (a) Imagem Original Cinza, (b) Imagem Original Colorida, (c) ElementoEstruturante.

(a) (b) (c)

Figura 5.2: (a) Erosão em Tons de Cinza , (b) Dilatação em Tons de Cinza.

(a) (b)

Figura 5.3: (a) Erosão Lukasiewicz, (b) Erosão de Gödel, (c) Erosão de Goguen.

(a) (b) (c)

5.1. OPERADORES MORFOLÓGICOS EM IMAGENS 59

Figura 5.4: (a) Dilatação de Lukasiewicz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação deGoguen.

(a) (b) (c)

Figura 5.5: (a) Abertura de Lukasiewicz, (b) Abertura de Gödel, (c) Abertura de Goguen.

(a) (b) (c)

Figura 5.6: (a) Fechamento de Lukasiewicz, (b) Fechamento de Gödel, (c) Fechamentode Goguen.

(a) (b) (c)

Pode-se observar nas figuras que as erosões destacam os pixels escuros enquanto asdilatações ressaltam os pixels claros, e ainda mais, isso acontece em intensidades diferen-tes. A erosão e a dilatação de Gödel são as mais intensas, seguidas pelas de Goguen e porfim as de Lukasiewicz.


Figura 5.7: (a) Erosão de Lukasiewicz, (b) Erosão de Gödel,(c) Erosão de Goguen.

(a) (b) (c)

Figura 5.8: (a) Dilatação de Lukasiewicz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação deGoguen.

(a) (b) (c)

Figura 5.9: (a) Abertura de Lukasiewicz, (b) Abertura de Gödel, (c) Abertura de Goguen.

(a) (b) (c)

Ao observar os histogramas pode-se concluir que a erosão de Lukasiewicz possui umavariedade menor de cores (um pouco mais de 2000), mas com amplitudes altas (acima de600). A erosão de Goguen possui uma variedade maior de cores (acima de 3000), contudoas amplitudes são em torno de 500. E a erosão de Gödel, é a que mais se assemelha àimagem original, onde a variedade de cores é superior a 2500 e a amplitude é superior a600.


Figura 5.10: (a) Fechamento de Lukasiewicz, (b) Fechamento de Gödel, (c) Fechamentode Goguen.

(a) (b) (c)

Figura 5.11: (a) Histograma da Imagem Original, (b) Histograma da erosão deLukasiewicz, (c) Histograma erosão de Gödel, (d) Histograma erosão de Goguen.

(a) (b)

(c) (d)

5.1.1 Ferramenta Computacional no Matlab

O Matlab tem uma excelente biblioteca nativa de Morfologia Matemática, entretantofoi necessário desenvolver uma nova aplicação (interface), uma vez que os operadorespropostos neste trabalho não estão disponíveis naquele software. Esta ferramenta foiutilizada nos experimentos contidos neste capítulo.


Figura 5.12: Ferramenta Computacional no Matlab

A interface, Figura 5.12 foi nomeada de Processamento de Imagens Fuzzy e foi de-senvolvida de tal forma que qualquer imagem e elemento estruturante podem ser utiliza-dos. O processamento de imagem pode ser feito em imagens tons de cinza ou coloridascom os diferentes pares de adjunção. A interface consiste de algumas caixas. Na primeiracaixa escolhe-se, a imagem que se deseja processar, com extensão jpg. Em seguida, pode-se inserir o elemento estruturante com a mesma extensão. Para localizar o pixel de origemdo elemento estruturante usa-se sua localização no eixo-x e eixo-y. O próximo passo é aescolha do tratamento, isto é, os operadores morfológicos: erosão, dilatação, abertura efechamento. Feito isso se escolhe a adjunção: Lukasiewicz, Gödel e Goguen. Finalmente,escolhe-se a função que faz a fuzzificação:

x255

ou sin(x).

A complexidade computacional é O(n2), com elemento estruturante fixo, em que n éuma função do número de pixels da imagem. Um algoritmo polinomial de segunda ordemé um resultado aceitável em matéria de processamento de imagens.


5.1.2 Verificando as R-implicações de Weber e Fodor

Apresenta-se a repercurssão das T-normas de Weber e Fodor. Como elas não sãocontínuas à esquerda, os pares (IWB,TWB) e (IFD,TFD) não dão origem à adjunções. Porisso, em vez de usar a terminologia, erosão e dilatação denomina-se de Funções Epsilone Funções Delta:

(1) A Função Epsilon de Weber é dada por

εIBA(x) = inf

x∈AIWB[B(x),g(x)]

εIBA(x) = inf

x∈A{

1 se B(x) ≤ 1A(x) se B(x) = 1

.(2) A Função Delta de Weber é dada por

∆TBA(x) = sup

x∈ACWB[B(x),A(x)]

∆TBA(x) = sup

x∈A

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 se B(x) < 1 e A(x) < 1min[B(x),A(x)] c.c.

.(3) A Função Epsilon de Fodor é dada por

εIBA(x) = inf

x∈AIFD[B(x),A(x)]

εIBA(x) = inf

x∈A{

1 se B(x) ≤ A(x)max(1−B(x),A(x)) se B(x) > A(x)

.(4) A Função Delta de Fodor é dada por

∆TBA(x) = sup

x∈ACFD[B(x),A(x)]

∆TBA(x) = sup

x∈A

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 se B(x)+A(x) < 1min[B(x),A(x)] c.c.

.

Essas funções foram aplicadas sobre as mesmas imagens utilizadas na seção anterior.Para o caso da imagem em tons de cinza, foi aplicada à função Epsilon de Weber como elemento estruturante, Figura 5.1 (c) que possui uma faixa da cor branca e obteve-sea Figura 5.13 (a). A função Delta de Weber não produziu qualquer efeito na imagemoriginal. Em seguida, aplicou-se a função Epsilon de Fodor com o mesmo elementoestruturante, resultando na Figura 5.13 (c). A função Delta de Fodor também resultounum efeito nulo.


Entretanto, no caso das imagens coloridas aplicou-se a função Epsilon de Weber como elemento estruturante 5.1 (c) que resultou na Figura 5.13 (b). A função Delta de We-ber não produziu qualquer efeito na imagem original. Em seguida foi aplicada à funçãoEpsilon de Fodor com o mesmo elemento estruturante conforme a Figura 5.13 (d). Apli-cando a função Delta de Fodor também obteve-se efeito nulo.

Fez-se um último experimento, mudou-se o elemento estruturante, que não possuia cor branca na sua composição, e se repetiu o experimento anterior com as funçõesEpsilon e Delta. Com as funções de Weber a imagem resultante foi totalmente branca ecom funções de Fodor; obteve-se imagem somente para a função de Epsilon.

Figura 5.13: (a )Imagem com Função Epsilon Weber Cinza, (b) Imagem com FunçãoEpsilon Weber Colorida, (c) Imagem com Função Epsilon Fodor Cinza, (d) Imagem comFunção Epsilon Fodor Colorida.

(a) (b)

(c) (d)

Tem-se a intenção de estudar a repercurssão das funções Epsilon de Weber e de Fodorno processo de contagem de esporos de fungos micorrízicos em lugar da erosão de Gödel.

5.2 Automorfismos

O estudo da lógica fuzzy teve como objetivo estudar as implicações que gerassemadjunções e com a qual, consequentemente, operadores morfológicos. Com isso, foramconstruidas três morfologias: Lukasiewicz, Gödel e Goguen. Seguindo o objetivo de obter

5.2. AUTOMORFISMOS 65

mais morfologias, utiliza-se a noção de automorfismos. Para isso, foram escolhidas trêsfunções:

(1) ρ ∶ [0,1]→ [0,1] ρ = x2;(2) ρ ∶ [0,1]→ [0,1] ρ = x+1;(3) ρ ∶ [0,1]→ [0,1] ρ = ln(x).

Utilizando a fórmula incluída na definição 4.2.13, obtêm-se os operadores morfológi-cos para cada automorfismo.

Operadores para o automorfismo ρ = x2

Definição 5.2.1. (1) A erosão e a dilatação de Lukaciewicz de uma imagem A pelo ele-mento estruturante B no ponto x, denotada por εLK

B A e δLKB A, respectivamente, é

dada por:

εLKρ

B A(x) =⋀y∈A

=⋀y∈A

[1,√

1−(Bx(y))2+(A(y))2], (5.1)

δLKρ

B A(x) =⋁y∈A

{CLK(Bx(y),A(y))} =⋁y∈A

[0,√

(Bx(y))2+(A(y))2−1]. (5.2)

(2) A erosão e a dilatação de Gödel de uma imagem A pelo elemento estruturante B noponto x, denotada por εGD

B A e δGDB A, respectivamente, é dada por:

εGDρ

B A(x) =⋀y∈A

{1, se Bx(y) ≤ A(y);A(y), se Bx(y) > A(y), (5.3)

δGDρ

B A(x) =⋁y∈A

[min[Bx(y),A(y)]]. (5.4)

(3) A erosão e a dilatação de Goguen de uma imagem A pelo elemento estruturante B noponto x, denotada por εGG

B A e δGGB A,respectivamente, é dada por:

εGGρ

B A(x) =⋀y∈A

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1, se Bx(y) ≤ A(y);A(y)B(y) , se Bx(y) > A(y),

(5.5)

δGGρ

B A(x) =⋁y∈A

[Bx(y).A(y)]. (5.6)


Figura 5.14: (a) Erosão de Lukasiewcz, (b) Erosão de Gödel, (c) Erosão de Goguen.

(a) (b) (c)

Figura 5.15: (a) Dilatação de Lukasiewcz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação deGoguen.

(a) (b) (c)

Pode-se observar que não houve alteração nos operadores morfológicos de Gödel e deGoguen, o que constata que não ocorre mudança na imagem. Na erosão de Lukasiewiczpode-se observar uma suavização, ou o efeito de um filtro passa-baixa, já na dilatação deLukasiewicz observou-se uma intensificação nas cores.

Operadores para o automorfismo ρ = x+1



dada por:

εLKρ

B A(x) =⋀y∈A

[1,−Bx(y)+A(y)−1], (5.7)

δLKρ

B A(x) =⋁y∈A

[0, Bx(y)+A(y)−1]. (5.8)

5.2. AUTOMORFISMOS 67



εGDρ

B A(x) =⋀y∈A

{0, se Bx(y) ≤ A(y);A(y), se Bx(y) > A(y), (5.9)

δGDρ

B A(x) =⋁y∈A

[min[Bx(y),A(y)]]. (5.10)


B A e δGGB A, respectivamente, é dada por:

εGGρ

B A(x) =⋀y∈A

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0, se Bx(y) ≤ A(y);A(y)B(y) , se Bx(y) > A(y),

(5.11)

δGGρ

B A(x) =⋁y∈A

[Bx(y).A(y)]. (5.12)


(a) (b) (c)


(a) (b) (c)


Observa-se que os operadores de dilatação de Lukasiewcz, Gödel e Goguen não sealteraram, o que resultou na não alteração nas imagens, enquanto que a erosões foramalteradas, a de Lukasiewicz de forma tão drástica que escureceram quase que totalmentea imagem. Existe uma possibilidade na área de criptografia para a erosão de Lukasiewicz,já que é a função ρ = x+1 possui inversa.

Operadores para o automorfismo ρ = ln(x)



dada por:

εLKρ

B A(x) =⋀y∈A

[emin(0,− ln(Bx(y))+ln(A(y)))], (5.13)

δLKρ

B A(x) =⋁y∈A

[emax(0,ln(Bx(y))+ln(A(y)))]. (5.14)



εGDρ

B A(x) =⋀y∈A

{eBx(y), se Bx(y) ≤ A(y);eln(A(y)), se Bx(y) > A(y),

(5.15)

δGDρ

B A(x) =⋁y∈A

[emin[ln(Bx(y)),lg(A(y))]]. (5.16)


B A e δGGB A, respectivamente, é dada por:

εGGρ

B A(x) =⋀y∈A

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0, se Bx(y) ≤ A(y);ln(A(y))

e ln(Bx(y)) , se Bx(y) > A(y),(5.17)

δGGρ

B A(x) =⋁y∈A

[eln(Bx(y)). ln(A(y))]. (5.18)

A função logarítmica foi escolhida por sua função no processamento de imagem,suavização. No processo de construção dos operadores morfológicos apareceram algu-mas dificuldades como, a não produção de imagem nas dilatações de Lukasiewicz e deGoguen e a erosão de Goguen produziu uma imagem toda preta o que pode acarretar umapossibilidade na área de criptografia para a erosão, já que é a função ρ = ln(x) possuiinversa. Na erosão de Gödel ocorreram a erosão e a suavização, que significa o uso deum filtro passa-baixa, enquanto que a erosão de Lukasiewicz ficou muito semelhante àimagem original.

5.3. MORFOLOGIA FUZZY E CONTAGEM DE ESPOROS 69


(a) (b) (c)


(a) (b) (c)

5.3 Morfologia Fuzzy e Contagem de EsporosNesta seção faz-se um relato do estudo das morfologias de Lukasiewicz, Gödel e

Goguen na contagem de esporos de fungos micorrízicos. Inicialmente, fala-se um poucodas micorrizas e a contagem manual dos esporos, a primeira proposta que usa a morfolo-gia de Lukasiewicz comparando com a morfologia utilizada pelo Matlab e em seguidadescobriu-se que a morfologia de Gödel torna-se mais eficiente.

5.3.1 MicorrizasOs organismos do solo estabeleceram diversas relações ao longo do processo evolutivo

das espécies como um todo, sendo umas das mais antigas que se tem conhecimento, asmicorrizas [Frank 1889]. Uma associação entre um grupo de fungos do solo e a maioriadas "plantas vasculares terrestres, epífitas, aquáticas e também com rizoides e talos debriófitas e outros vegetais basais"[de Souza et al. 2010]. Assim, considerando a variedadede espécies vegetais é de se esperar que as micorrizas representem uma variedade de tiposassociações, podendo ser encontrados a depender da classificação adotada, uma separaçãoem sete tipos. Entretanto, para o objetivo desde trabalho concentrar-se o foco somente nasmicorrizas arbusculares (MAs) bem como aos fungos micorrízicos arbusculares (FMAs).


Os FMAs desenvolvem-se junto ao sistema radicular vegetal formando uma rede dehifas, as quais funcionam como uma extensão das raízes, potencializando melhor ab-sorção de água e nutrientes[S.E. Smith 1997], principalmente fósforo, melhorando oestado nutricional da planta e promovendo redução de perdas por estresses, sejam elesbióticos ou abióticos [Filho et al. 2005]. Nas últimas décadas, os estudos sobre micor-rizas aumentaram de forma muito intensa, tanto no Brasil [Siqueira et al. 2010] quantono mundo, na busca pelo conhecimento dos efeitos, além de uma perspectiva de sua uti-lização prática em espécies vegetais de interesse econômico, principalmente, os agrícolas[Lovato et al. 1996, Junior & Siqueira 1996, Trindade & Junior 2010].

Uma das principais características dos FMAs é o de serem biotróficos obrigatórios, ouseja, necessitam de outro organismo, neste caso, de uma espécie vegetal para completarseu ciclo de vida, portanto, até o momento não é possível seu cultivo em meio axênico,como é normalmente feito no caso das bactérias. Entretanto, algumas metodologias parao estudo dos FMAs bem como das MAs são fundamentais. A extração de esporos defungos micorrízicos (FMAs) faz parte de um conjunto de análises básicas no estudo dasmicorrizas, uma vez que os esporos podem ser considerados a estrutura de sobrevivênciado fungo às adversidades do solo, como por exemplo, a falta do hospedeiro. Emboraexistam vários métodos para extração de esporos [Porter 1979, Gerdeman & Nicolson1963, Jenkins 1964, Ohms 1957, Sutton & Barron 1972, Allen et al. 1979, Mosse &Jones 1968, Tommerup & Carter 1982], ao final da execução destes, teremos um deter-minado volume de esporos para quantificar. Assim, após o procedimento de extração,os esporos são contados manualmente, mas fazendo uso apenas de um microscópio es-tereoscópico (lupa) para auxiliar na visualização dessas estruturas que variam de 22 a1050 µm [de Souza et al. 2010]. No momento da contagem propriamente dita, os es-poros podem ser colocados em uma placa de Petri comum, mas adicionalmente deve-secolocar uma folha quadriculada embaixo para servir de orientação. Entretanto, em labo-ratórios onde já existe a rotina da contagem de esporos de FMAs, faz-se uso de uma placade Petri com círculos concêntricos (placa canelada), confeccionada em acrílico. Essescírculos facilitam a separação de uma determinada porção de esporos a serem contados,sendo que os valores registrados ao longo da contagem são feitos pelos chamados conta-dores manuais e ou digitais, comuns em laboratórios de análises clínicas para contagemde células sanguíneas.

Uma das premissas numa análises dessas, é que o executor seja o único pelo menos nomesmo tratamento analisado naquele momento, no caso de pesquisa, sendo comum apare-cerem valores diferentes quando duas pessoas realizam uma contagem em uma mesmaamostra. Portanto, embora a observação seja com o auxílio do microscópio estereoscópicoe um registrador, a contagem pode ser considerada manual, uma vez que o registro dovalor ou da informação é feito manualmente. Por se tratar de uma quantificação pelaobservação de uma estrutura diminuta e em microscópio, o trabalho é cansativo e desgas-tante levando-se em consideração o número de amostras que normalmente são realizadas,além disso, as amostras vêm com partículas minerais e orgânicas, estruturas reprodutivasvegetais e de outros organismos, o que condiciona o executor a cometer erros.


5.3.2 Aplicação dos Conectivos de LukasiewiczNesta seção, será feito um relato da experiência realizada no Matlab na qual se utiliza a

morfologia matemática baseada na implicação de Lukasiewicz no processo de contagemde esporos de fungos micorrízicos. No final da seção se apresentará a avaliação dessemétodo frente à contagem a olho nu e a contagem com a morfologia padrão do Matlab.

Como passo inicial temos a escolha da imagem a ser utilizada. Foi escolhida a imagemcolorida em [Invam: International Culture Collection of (Vesicular) Arbuscular Mycor-rhizal Fungi n.d.], mais especificamente uma imagem com extensão jpg com 205,4 KB e430×311 pixels da espécie de esporos de fungos micorrízicos Glomus claroideum comona Figura 5.20(a).

O elemento estruturante, imagem com a qual a imagem original é processada, foi es-colhido com base em testes. Iniciou-se com um elemento menor, uma matriz 5x5. Foinecessário realizar mais erosões para melhorar a imagem. Depois foi usado um elementoestruturante, 9x9, que acabava apagando alguns esporos muito pequenos. Decidiu-se en-tão por um elemento de dimensões 7x7, com o qual foi obtido um resultado melhor,pois era necessário uma erosão e um operador de abertura1 que não apagassem os es-poros menores. Quanto ao formato, a cruz branca se mostrou melhor do que apenas umquadrado branco, pois separava os esporos com menor esforço computacional, de acordocom a Figura 5.20(b).

Figura 5.20: (a) Imagem Original, (b) Elemento Estruturante.

(a) (b)

O processo de contagem consiste de três etapas:

(1) Uso dos operadores morfológicos de Lukasiewicz;(2) Uso do algoritmo de detecção de esporos com fundo escuro;(3) Uso do algoritmo para contagem de esporos.

Apresenta-se a descrição das etapas do processo.

Normalização

As imagens de entrada são compostas por três matrizes de cores, que definem o níveldas cores vermelho, azul e verde de cada pixel. Antes de aplicar as funções de dilataçãoe erosão a cada imagem, os valores associados a cada pixel, que pertenciam ao intervalo

1erosão seguida de dilatacão.


[0,255], foram normalizados utilizando a função de Normalização f (x) = x255 , conver-

tendo assim as três matrizes (RBG) em matrizes no intervalo [0,1]. A partir das matrizesnormalizadas, os operadores morfológicos puderam ser aplicados separadamente a cadavalor nas três matrizes. Ao final do processo, as matrizes foram desnormalizadas uti-lizadas via a função d(x) = x∗255, para serem armazenadas como um arquivo JPEG.

Detecção de Esporos com Fundo Escuro

O banco de dados de imagens utilizados na pesquisa é formado por imagens de es-poros de fungos micorrízicos com um fundo mais escuro do que os próprios esporos.Basicamente, nas imagens coloridas, definiu-se que um pixel p1 é mais escuro do que umpixel p2 quando a média dos valores de p1 para R,B e G é menor do que a média de p2.Assim, a partir das médias de todos os pixels, encontra-se o pixel mais escuro da imagem(pd) e o mais claro (pl). Cada imagem foi transformada em uma imagem binária atravésda aplicação de uma função

f (p) = {0, se a média de p > do que o valor de corte;1, c.c.

Sendo que o valor de corte é (pd+pl)2 . Assim, no final do processamento tem-se uma

matriz binária que será armazenada em um arquivo de imagem BMP, no qual os pixelspretos representam os fungos detectados.

Contagem de Esporos

A contagem dos esporos realizou-se a partir de uma imagem binária, na qual o valor1 representa o fundo e o valor 0 representa os esporos. No algoritmo utilizado, todos ospixels da imagem são percorridos linha a linha. O resultado final da contagem representao número de conjuntos de pixels com valor 0 agregados, ou seja, se dois pixels pretos sãovizinhos, considera-se que eles compõem o mesmo esporo.

Experimentos

Fizeram-se alguns experimentos para determinar quais operadores morfológicos usarpara transformar os esporos de fungos em pontos. A imagem contada a olho nu possui249 esporos de fungos. Vai-se relatar todo o processo modificando os operadores mor-fológicos.

1o ExperimentoInicialmente, a erosão detectou 129 estruturas (esporos) das 249 na imagem original

em 33 segundos de acordo com a Figura 5.21(a) e (b).

2o ExperimentoUsou-se a dilatacão e conseguiu-se quantificar 8 de 249 esporos de fungos em 24

segundos, como pode ser visto na Figura 5.21 (c) e (d).


Figura 5.21: (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos,(c) Imagem com Dilatacão, (d) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos.

(a) (b)

(c) (d)

3o ExperimentoProcessou-se o operador abertura e conseguiu-se quantificar 11 de 249 esporos de fun-

gos em 46 segundos visto na Figura 5.22 (a) e (b).

4o ExperimentoUsou-se o operador fechamento e conseguiu-se quantificar 9 de 249 esporos de fungos

em 40 segundos de acordo com a Figura 5.22(c) e (d).

Figura 5.22: (a) Imagem com Abertura, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos,(c) Imagem com Fechamento, (d) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos.

(a) (b)

(c) (d)


Resultados

Baseado nos experimentos anteriores, combinaram-se os operadores mais adequadosque foram a erosão e a abertura; fez-se a erosão seguida da abertura e conseguiu-se quan-tificar 230 de 249 esporos de fungos em 61 segundos como na Figura 5.23.

Figura 5.23: (a) Imagem com Erosão depois Abertura, (b) Imagem com Detecção deEsporos de Fungos.

(a) (b)

Análise dos Resultados

Na primeira etapa, testou-se qual dos operadores morfológicos seria mais eficientepara a contagem dos fungos micorrízicos. O objetivo desta fase foi transformar as ima-gens dos esporos em pontos distintos, e para tal, foi utilizado o operador erosão queeliminou alguns pixels de acordo com a forma do elemento estruturante deixando os fun-gos menores e mais afastados permitindo, assim, separar fungos que estavam unidos naimagem. Em seguida, aplicou-se o operador de abertura; nessa nova erosão os esporosde fungos tornaram-se ainda menores, mas com a dilatação que seguiu expandiu os pon-tos dando ênfase na parte mais clara da figura, no caso os esporos de fungos. Com esseprocedimento, os esporos de fungos ficaram pequenos e bem definidos.

Na segunda etapa, aplicou-se o algoritmo que detecta os esporos de fungos (tornando-os adequadamente pretos) transforma o fundo da imagem em branco para aumentar ocontraste o que facilita a identificação das estruturas a serem quantificadas (os esporos),ou seja, tornando-os pontos escuros.

Por ultimo, usou-se o algoritmo para contar pontos, que possuiu uma eficiência de92,4 %, apresentando uma defasagem de 7,6 %. Entretanto, a contagem manual apre-senta também uma defasagem, que se for feita por pessoas diferentes obtêm-se resultadosdiferentes.

Pode-se observar neste experimento o tempo transcorrido para o processamento comcada operador morfológico. O melhor tempo não foi registrado no melhor operador. Comos operadores eficientes, o da erosão e o de abertura gastaram-se 61 segundos. Maslembra-se que a contagem de esporos de fungos micorrízicos é feita de forma manual,levando horas.


Aplicação da Morfologia Matemática

Submeteu-se a imagem usada na seção anterior ao processo de contagem proposto,mudando a morfologia fuzzy de Lukasiewcz para a morfologia matemática, usando oImage Processing Toolbox do Matlab, onde a erosão e dilatação são definidas, respec-tivamente, como:

εFBA(x,y) =⋀{A(x+x′,y+y′)−B(x′,y′)∣(x′,y′) ∈DB}, (5.19)

δFBA(x,y) =⋁{A(x−x′,y−y′)+B(x′,y′)∣(x′,y′) ∈DB}. (5.20)

Para efeito de comparação foi usado o mesmo elemento estruturante B.

1o Experimento

Inicialmente, a erosão detectou 123 estruturas (esporos) das 249 na imagem originalem 22 segundos, de acordo com a Figura 5.24 (a) e (b).

2o Experimento

Usou-se a dilatação e conseguiu-se quantificar 3 de 249 esporos de fungos em 12,2segundos, como visto na Figura 5.24 (c) e (d).

Figura 5.24: (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos,(c) Imagem com Dilatação , (d)Imagem com Detecção de Esporos de Fungos.

(a) (b)

(c) (d)


3o ExperimentoProcessou-se a abertura e conseguiu-se detectar 18 de 249 esporos de fungos em 22

segundos, como na Figura 5.25 (a) e (b).

4o ExperimentoUsou-se o fechamento e conseguiu-se detectar 32 de 249 esporos de fungos em 15

segundos, visto na Figura 5.25 (c) e (d).

Figura 5.25: (a) Imagem com Abertura, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos,(c) Imagem com Fechamento, (d) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos.

(a) (b)

(c) (d)

Resultados

Baseado nos experimentos anteriores, combinaram-se os operadores mais adequadosque foram a erosão e a abertura; fez-se a erosão seguida da abertura e conseguiu-se quan-tificar 233 de 249 esporos de fungos em 19,4 segundos de acordo com a Figura 5.26.

Figura 5.26: (a) Imagem com Erosão depois Abertura, (b) Imagem com Detecção deEsporos de Fungos.

(a) (b)


Análise dos Resultados

Na primeira etapa, testou-se qual dos operadores morfológicos seria mais eficientepara a contagem dos fungos micorrízicos. Os operadores mais eficientes foram a erosãoseguida da abertura.

Na segunda etapa, aplicou-se o algoritmo que detecta os esporos de fungos (tornando-os adequadamente pretos) e transforma-se o fundo da imagem em branco para se ter umamaior distinção dos esporos de fungos.

Por último, usou-se o algoritmo para quantificar pontos, que possuiu uma eficiênciade 93,6 %, apresentando uma defasagem de 6,4 %. O tempo gasto com o operador daerosão e o de abertura foi de 22 segundos.

Tabela 5.1: Comparação entre os métodos

Morfologia Acertos TempoLukasiewicz 230 61s

Matlab 233 22sOlho Nu 249 5 min

Análise Estatística dos Métodos

Para a análise estatística fez-se os testes em 20 imagens obtidas no [Invam: Interna-tional Culture Collection of (Vesicular) Arbuscular Mycorrhizal Fungi n.d.] de diversasespécies de esporos com os seguintes métodos: 1) Morfologia fuzzy usando os conectivosde Lukasiewicz; 2) Morfologia matemática do Image Processing Toolbox do Matlab e 3)Contagem a olho nu. Com os quais procedeu-se a correlação de Pearson 2 para analisara interação entre os métodos seguiu-se de uma Análise de Regressão3. Com os métodos1 e 2, obteve-se um coeficiente de correlação de 0,9702, isso significa que os métodospossuem uma correlação forte. Como observa-se na Figura 5.27(a), pois os pontos estãopróximos a uma reta.

Com os métodos 1 e 3, obteve-se um coeficiente de correlação de 0,8881, isso significaque os métodos possuem uma correlação forte, omo pode ser observado na Figura 5.27(b),pois os pontos estão proximos a uma reta.

Com os métodos 2 e 3, obteve-se um coeficiente de correlação de 0,8094, isso significaque os métodos possuem uma correlação forte, como pode ser observado na Figura 5.27(c)pois os pontos estão proximos a uma reta.

Pôde-se observar que os métodos da morfologia fuzzy de Lukasiewicz e a morfologiado Matlab são bem correlacionados. A morfologia fuzzy de Lukasiewicz proposto possuiuma correlação forte, 97,02% com a morfologia do Image Processing Toolbox do Matlab,

2É a forma matemática que mede a força, ou grau de relacionamento entre variáveis. Quanto maior acorrelação, maior a intensidade de relacionamento.

3Resulta em uma equação para descrever o relacionamento entre os métodos através de termos matemáti-cos.


Figura 5.27: Gráficos de Análise de Regressão

(a) (b)

(c)

que já é conhecida e utilizada. Podemos concluir que a morfologia de Lukasiewicz tãoboa quanto a morfologia do Image Processing Toolbox do Matlab e que ambas funcionambem para contagem de esporos de fungos micorrízicos.

5.3.3 Aplicação dos Conectivos de Gödel

Nesta seção, fez-se um relato da experiência realizada com o Matlab na qual se uti-liza a morfologia matemática fuzzy. Foi desenvolvido um método para contagem de es-poros de fungos micorrízicos utilizando operadores morfológicos fuzzy. No artigo deAndrade et al [Andrade et al. 2014] foram apresentados três grupos de operadores com asR-implicações: Lukasiewicz, Gödel e Goguen. Nesta seção foram usados os operadoresde Gödel, pois se apresentaram mais eficientes. Como passo inicial, temos a escolha daimagem a ser utilizada. Foi escolhida a imagem colorida em [Invam: International Cul-ture Collection of (Vesicular) Arbuscular Mycorrhizal Fungi n.d.], mais especificamenteuma imagem com extensão JPEG com 205,4 kB e 430×311 pixels da espécie de esporosde fungos micorrízicos Glomus claroidwh, conforme Figura 5.28

As experiências transcorreram em duas etapas: Na primeira fez-se o processamento


Figura 5.28: Imagem Original

combinando as possibilidades de um até três dos operadores morfológicos descritos natabela a seguir na imagem escolhida, resultando num total de 1.741 imagens . A seguir,realizou-se uma análise visual para determinar quais operadores eram mais eficientes naseparação dos esporos. A segunda etapa consiste no uso da contagem para determinar amorfologia e o elemento estruturante mais eficiente nos elementos separados da imagem.

Tabela 5.2: Processamentos possíveis

Número Operador Morfologia Fuzzificação1 Erosão Gödel f (x) =

x255

2 Erosão Gödel f (x) = sin(x)

3 Erosão Goguen f (x) =x

2554 Erosão Goguen f (x) = sin(x)

5 Erosão Lukasiewcz f (x) =x

2556 Erosão Lukasiewcz f (x) = sin(x)

7 Dilatação Gödel f (x) =x

2558 Dilatação Gödel f (x) = sin(x)

9 Dilatação Goguen f (x) =x

25510 Dilatação Goguen f (x) = sin(x)

11 Dilatação Lukasiewcz f (x) =x

25512 Dilatação Lukasiewcz f (x) = sin(x)

Como resultado da primeira etapa, onde analisaram-se as imagens processadas, temosque o passo inicial consiste em usar o operador de erosão. Isso devido ao fato desteoperador separar os esporos onde o elemento estruturante tem grande relevância.

Na segunda etapa, depois de determinar que a erosão é o primeiro passo deve-se esti-mar a quantidade de operadores, a morfologia e o elemento estruturante. Com isso foramfeitos 5 testes com o grupo de 37 imagens diferentes [Invam: International Culture Col-


lection of (Vesicular) Arbuscular Mycorrhizal Fungi n.d.]. Neste ponto, utilizou-se a con-tagem desenvolvida em Andrade et al [Andrade et al. 2012] e desenvolvido um método decontagem que utiliza a média do tamanho dos esporos que pode verificar se uma estruturaé um esporo ou vários esporos.

Figura 5.29: Elementos Estruturantes formados por quadrados

(a) (b) (c)

(d) (e)

1o TesteCinco erosões, uma dilatação e o elemento estruturante de ordem 3, conforme a Figura

5.29(a).

Tabela 5.3: Número de imagens com contagem acima de 80% do primeiro teste

Morfologia Contagem Contagem com médiaGödel 23 28

Goguen 10 21Lukasiewcz 13 8

2o TesteQuatro erosões, uma dilatação e um elemento estruturante de ordem 3, conforme a

Figura 5.29(b).

Tabela 5.4: Número de imagens com contagem acima de 80% do segundo teste




3o TesteDuas erosões, uma dilatação e um elemento estruturante de ordem 7, conforme a

Figura 5.29(c).

Tabela 5.5: Número de imagens com contagem acima de 80% do terceiro teste



4o Teste Quatro erosões, uma dilatação e um elemento estruturante de ordem 5, con-forme a Figura 5.29(d).

Tabela 5.6: Número de imagens com contagem acima de 80% do quarto teste



5o TesteTrês erosões, uma dilatação e um elemento estruturante de ordem 7, conforme a Figura

5.29(e).

Tabela 5.7: Número de imagens com contagem acima de 80% do quinto teste



A partir destes testes, conclui-se que a morfologia de Gödel teve melhor desempenhopara separar os esporos conseguindo maior acerto na maioria dos testes. Ainda em umamelhor análise; pode-se observar que a maioria dos resultados foi melhorada pelo cálculoda média, o que nos mostra que muitos fungos que não foram separados foram detectadospela média do tamanho.

Analisando a quantidade de operações e elemento estruturante, pode-se fazer umarelação: a quantidade de operações é inversamente proporcional ao tamanho do elementoestruturante pois nos casos onde o elemento usado foi maior e a quantidade de operaçõesfoi menor, o resultado ainda se manteve próximo dos demais. Já a mudança na cor doelemento estruturante mostra que quanto mais clara a cor, maior o número de operaçõespara separar os esporos de forma satisfatória.


Depois dos testes para escolher a morfologia e o operador, foi necessário a implemen-tação de uma máscara de corte de linhas e com isso os esporos que ficam juntos por linhasdepois do processamento podem ser separados.

Neste ponto, os testes fez-se para melhorar o desempenho em relação ao tempo etentar separar mais os esporos.

Sabendo que aumentando o tamanho do elemento estruturante o número de erosõespode ser diminuído, fez-se, então os testes com elementos estruturantes maiores modifi-cando a sua cor para tentar melhorar o resultado na separação dos esporos. Os experimen-tos foram feitos com apenas uma erosão, com a qual reduzimos drasticamente o tempode execução. A dilatação não foi utilizada porque este operador era usado para recuperarum pouco das características dos esporos após as erosões. Experimentaram-se elementosestruturantes cuja forma simula a de um círculo, pois era calculado um círculo em re-lação ao centro e apenas os pixels de dentro deste círculo foram utilizados, para que issofuncionasse a dimensão do elemento estruturante teria de ser ímpar.

Os resultados são ilustrados na Tabela 5.8 onde A= Contagem, B= Contagem commédia, C= Máscara e D= Máscara e contagem com média retartam os processos utiliza-dos. A Figura 5.30 ilustra os elementos estruturantes utilizados nos testes, os de (1) a (6)são de ordem 9, o (7) é de ordem 11, o (8) é de ordem 13 e o último é de ordem 15.

Tabela 5.8: Número de imagens com contagem acima de 80% no teste com elementoscirculares

Elemento Estruturante A B C D1 18 19 22 22

1 Círculo 12 14 20 232 16 19 23 23

2 Círculo 13 16 19 233 13 12 19 21

3 Círculo 9 11 14 214 6 6 4 8

4 Círculo 7 6 3 75 10 9 11 15

5 Círculo 8 9 9 146 12 13 18 20

6 Círculo 12 11 15 197 14 15 17 21

7 Círculo 11 12 18 228 7 10 17 17

8 Círculo 12 12 18 199 6 8 18 19

9 Círculo 8 9 21 19

Como conclusão dos resultados da Tabela 5.8 temos que o melhor processamento,onde se separaram e contaram melhor os esporos foi com o elemento estruturante número


Figura 5.30: Elementos Estruturantes com Bordas

1. O tempo variou de 10 a 34 segundos num processador de 4 núcleos com velocidade de2.6 GHz com aproveitamento de 85%.

O processo de contagem consiste de quatro etapas:

(1) Uso dos operadores morfológicos de Gödel;(2) Uso do algoritmo de detecção de esporos com fundo branco;(3) Uso de uma máscara;(4) Uso do algoritmo para quantizar pontos usando média.

Na primeira etapa, utilizou-se o operador de erosão que promoveu uma separação dosesporos com sobreposição. Em seguida, utilizou-se o algoritmo de detecção de esporoscom fundo branco que transforma a imagem em preto e branco, fundo branco e esporopreto. Na terceira etapa, utilizou-se de uma máscara com o objetivo de separar os esporosque se encontram unidos por pequenas regiões e finalmente utiliza-se um algoritmo decontagem que usa a média do tamanho dos esporos. Estas etapas estão ilustradas nasFiguras 5.31.

Apresentam-se algumas etapas do processo.


Figura 5.31: (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com detecção de esporos,(c) Imagemcom máscara.

(a) (b) (c)

Máscara

Após todo o processo de erosão, pontos pequenos podem surgir na imagem sendoestes resultados da divisão de algum fungo e estes pedaços interferem na contagem fi-nal sendo assim necessária sua remoção. Apesar de a erosão ter obtido um bom grau deseparação para os fungos, a máscara ainda aumenta essa separação, pois elimina linhasestritas que por ventura estejam ligando fungos adjacentes. A máscara funciona anali-sando a adjacência de cada pixel para decidir se ele pertence a uma grande estrutura ou seele é apenas um pequeno ponto ou traço estreito. A análise é feita verificando os pixelsnos extremos das retas diagonal, vertical e horizontal a uma determinada distância de umpixel central (na contagem utilizamos distância 2). Caso em uma destas retas o pixel cen-tral seja preto e os pixels nos extremos sejam brancos, o pixel central é convertido parabranco como ilustrado na Figura 5.32.

Figura 5.32: Preto = pixel central; Vermelho = pixels nas extremidades a uma determinadadistância

Contagem por Média

No algoritmo de contagem todos os pixels da imagem são percorridos linha a linha ecada conjunto de pixels com valor 0 (pixel preto) são agregado em uma única estrutura,ou seja, se dois ou mais pixels pretos são vizinhos, eles são considerados um único esporoo que nem sempre é uma realidade, sendo que estes podem ter vários esporos que nãoforam separados ou um pedaço pequeno de algum esporo que se separou. A Figura 5.33mostra os dois casos onde em vermelho estão dois fungos que foram agregados em umaúnica estrutura e dentro do circulo verde está uma parte de um fungo que se separou.

5.4. MORFOLOGIA FUZZY E CONTAGEM DE CÉLULAS DO SANGUE 85

Figura 5.33: Exemplo de esporos agregados e parte do esporo que se separou.

Para descobrir se um conjunto Q representa um único, vários ou um pequeno pedaçode esporo foi feito um calculo médio do tamanho destes conjuntos utilizando a quantidadede pixels em cada conjunto. Considerando que vários esporos únicos foram separados ocálculo médio terá valor próximo ao tamanho do esporo. Seja a média M =

(Q1+Q2+...+Qn)n

e Q1,Q1, ...Qn que representam a quantidade de pixels no conjunto, onde (n) é o númerode conjuntos. A partir da média M e de cada conjunto Q, a quantidade de esporos P écalculada da seguinte forma:

Primeiro calcula-se quantos esporos cada conjunto Q representa. p1 recebe o valorde quantos fungos inteiros o conjunto Q contém onde p1 =

QnM . Em seguida, calcula-

se o resto R da divisão. R=(Q Modulo M). Como terceiro passo p2 é calculado paraverificar se o resto corresponde a esporo com tamanho pelo menos 70% da media, sendo

p2 = (R+(M∗3

100 )

100 ). Por ultimo soma-se os dois valores para descobrir quantos fungos Qrepresenta. P = p1+ p2.

Pode-se concluir que algoritmo que for utilizado na morfologia de Gödel é muitomais eficiente na contagem de esporos do que o utilizado na morfologia de Lukasiewicz.Com este algoritmo desenvolvido, vai-se aplicá-lo na contagem de células sanguíneasvermelhas.

5.4 Morfologia Fuzzy e Contagem de Células do Sangue

Nesta seção fez-se um relato da experiência realizada com o Matlab na qual se uti-liza a morfologia matemática fuzzy para contar as células vermelhas do sangue, ondeaplicou-se o método de contagem de esporos de fungos micorrízicos, utilizando opera-dores morfológicos fuzzy de Gödel com algumas adaptações. Utilizaram-se imagens doPrograma Nacional de Controle de Qualidade Ltda, patrocinado pela Sociedade Brasileirade Análises Clínicas, HEMATOLOGIA II, Módulo Educativo, que possui um conjunto deimagens de células sanguíneas e algumas de suas variações, com o objetivo de familiarizaro associado com a coloração empregada bem como proporcionar um breve treinamento nacitomorfologia hematológica. Este módulo compõe-se de 12 casos dos quais escolheu-se53 imagens com o mesmo padrão de cor.


5.4.1 Células Sanguíneas VermelhasAs hemácias, também designadas eritrócitos ou glóbulos vermelhos, possuem formato

de disco bicônico; não possuem núcleo; medem cerca de 0,007 milímetros de diâmetro;dão a cor vermelha característica do sangue e isso ocorre porque contêm um pigmentovermelho, denominado hemoglobina. Essa proteína, por sua vez, tem a capacidade de sercomplexa com o O2 e CO2 realizando a principal função dos glóbulos vermelhos que é otransporte do O2 dos pulmões para as células e o retorno do CO2 liberado pelas células atéos pulmões. Seus índices normais no sangue variam entre 4,5 a 6,0×106/mm3 e vivemem média apenas 120 dias.

Ao estudar a célula vermelha do sangue(eritrócitos), faz-se um exame chamado eri-trograma que é composto por:

1. Contagem de Eritrócitos: quantidade de hemácias contadas em determinado volumede sangue. Exemplo: 4,38×106 hemácias/mm3.

2. Valor da Hemoglobina: é o valor obtido de hemoglobina em relação a um volumede sangue. Exemplo:14,3g/dL. Em geral, quando os valores de hemoglobinas estãomenores que 12g/dL, consideramos que o paciente possui uma anemia.

3. Valor do Hematócrito: é um índice, calculado em porcentagem, definido pelo vo-lume de todas as hemácias de uma amostra sobre o volume total desta amostra. Osvalores variam com o sexo e com a idade. Valores: Homem, de 40-50%; e Mulher,de 36-45%. Recém-nascidos têm valores altos que vão abaixando com a idade atéo valor normal de um adulto.

4. Índices Hemantimétricos:

(i) Volume Corpuscular Médio (VCM): é calculado dividindo-se ohematócrito pelo número de eritrócitos e multiplicando-se por 10. Representao tamanho médio dos eritrócitos e sua unidade é fentolitros(fL.) é o índiceque ajuda na observação do tamanho das hemácias e no diagnóstico da ane-mia. Se pequenas são consideradas microcíticas, se grandes são consideradasmacrocíticas e se são normais normacíticas.

(ii) Hemoglobina Corpuscular Média(HCM): é calculada dividindo-se a hemoglobina pelo número de eritrócitos e multiplicando-se por 10, suaunidade é picogramas(pcg ou pg.). É o peso da hemoglobina na hemácia.

(iii) Concentração de Hemoglobina Corpuscular Média(CHCM): écalculada pela razão entre a hemoglobina e o hematócrito e deve ser expressaem %. É a concentração da hemoglobina dentro de uma hemácia. Atravésdesse índice pode-se avaliar se as células vermelhas estão poucos coradas(hipocrômicas), com sua coloração normal (normocrômicas), ou muito coradas(hipercrômicas).

(d) Red Cell Distribution Width(RDW): índice fornecido por con-tadores automáticos, que indicam a variação do volume (tamanho) dos eri-trócitos determinando o grau de anisocitose. Geralmente esse valor apareceaumentado em pacientes que fizeram transfusão sanguínea e possui diferen-tes tamanhos de eritrócitos na mesma amostra (hemácias dele e da bolsa desangue).


Através das análises desses índices e associados aos exames clínicos feitos pelos pa-cientes, os médicos conseguem fechar o diagnóstico de algumas doenças relacionadascom as células de linhagem vermelha, tais como: diversas anemias (anemias ferroprivas,anemias sideroblásticas e anemia falciforme), hemoglobinopatias (talassemias), entre ou-tras [Failace & Fernandes 2009].

Inicialmente retiraram-se as células brancas do sangue. Para isso necessitou-se dautilização de filtros que retirassem faixas de cores; como as cores são representadas nosistema RGB estabelecemos algumas faixas conforme a Tabela 5.9.

Tabela 5.9: Faixas do sistema RGB

Filtro R G B1 [0,200] [0,110] [210,255]2 [215,255] [130,185] [210,255]3 [0,200] [0,200] [180,255]4 [170,210] [130,180] [160,200]

Analisaram-se todos os pixels da imagem e, para que um deles seja removido, os valo-res RGB deverão pertencer aos intervalos de uma das quatro opções de filtros utilizados.Caso isso ocorra, o pixel terá seu valor RGB substituído por um valor padrão, definido deacordo com observações sobre a cor do plasma presente nas imagens.

Para utilizar o operador erosão fuzzy de Gödel, necessitou-se transformar a cor dofundo das imagens para preto, pois a erosão de Gödel destaca o preto da imagem. Comessa transformação, destacou-se no preto a característica anucleada das células sanguíneasvermelhas e com isso necessitou-se da construção de uma máscara que preenchesse ointerior das células.

Em seguida, utilizou-se uma erosão de Gödel que se mostrou eficiente na separaçãodas células. Fizeram-se testes com os nove elementos estruturantes ilustrados na Figura5.34. Com o elemento 1, ordem 7, das 53 imagens, 28 apresentaram 75 % de acertos emrelação a contagem das células à olho nu.

A etapa seguinte consiste na transformação das imagens coloridas em imagens bináriaspara realizar-se o preenchimento das células, no qual usou-se uma função do Matlab (im-fill). Neste momento, os pixels de cor branca devem ser os pertencentes às células ver-melhas, enquanto que os de cor preta correspondem ao plasma. Depois disso, realizou-seuma conversão dos valores binários, em que os pixels de cor preta passaram a ser de corbranca, e vice-versa, para não haver a necessidade de alterar o algoritmo de contagemcriado anteriormente para a utilização com as imagens de esporos de fungos. A etapaseguinte foi a aplicação de uma máscara para remover os conjuntos de pixels cujas di-mensões fossem pequenas e, portanto, não pertencessem a algum glóbulo vermelho naimagem. Finalmente, realizou-se a contagem das hemácias, através de um algoritmo quese baseiou na média do tamanho das células para fornecer o resultado final. Depois disso,realizou-se uma conversão dos valores binários, em que os pixels de cor preta passaram aser de cor branca, e vice-versa, para que não houvesse a necessidade de alterar o algoritmode contagem criado anteriormente para utilização com as imagens de esporos de fungos.


Figura 5.34: Elementos Estruturantes usando quadrados pretos e cinzas

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8) (9)

O processo de contagem consiste das etapas:

(1) Retirar as células brancas com filtros;(2) Transformar a cor do fundo para preta;(3) Aplicar a máscara de preenchimento;(4) Uso da Erosão de Gödel;(5) Uso do algoritmo de detecção de esporos com fundo branco;(6) Preenchimento do interior das células;(7) Uso de uma máscara;(8) Uso do algoritmo para quantificar pontos com média.

Apresentam-se algumas etapas deste processo que ainda não foram explicados nosprocessos anteriores.

Máscara de Preenchimento

Após a filtragem que retira as células brancas e da função que troca o fundo parapreto, parte das células tem seu centro também preenchido com preto, sendo necessária amascara para repintar esses centros. Para verificar se um pixel preto está dentro de umacélula, a máscara analisa os pixels que estão em volta deste a uma certa distância, e se amaioria deles forem diferentes de preto, isso indica que este pixel esta dentro da célulaconforme a Figura 5.35.

Na imagem, o pixel preto circulado de azul é o pixel processado e os circulados devermelho são os pixels em volta dele que são utilizados para saber se ele esta dentro ou


Figura 5.35: Pixel preto circulado de azul é o pixel processado e os pixels circulados devermelho são os pixels em volta dele.

não da célula. Na contagem, a distância utilizada foi de 4 pixels e 7 dos 8 pixels tinhamque ser cor de célula para validar o pixel central como dentro da célula.

As etapas do processamento de contagem das células sanguíneas são ilustradas naFigura 5.36.

Figura 5.36: (1) Imagem Original, (2) Remover Células Brancas, (3) Imagem com fundopreto, (4) Imagem com preenchimento do interior das células, (5) Imagem com Erosão,(6) Imagem binária com máscara.

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

O método de contagem de esporos de fungos micorrízicos utilizando operadores mor-fológicos fuzzy de Gödel teve um excelente desempenho para a contagem de células san-guíneas vermelhas, contudo foram necessárias algumas adaptações que geraram a intro-dução de mais quatro etapas. O que requereu mais tempo de processamento apesar dacomplexidade computacional ter se mantido O(n2).


5.5 Considerações FinaisNeste capítulo foi apresentado as contribuições deste trabalho no processamento de

imagens, a insersão de três morfologias fuzzy distintas, Lukasiewicz, Gödel e Goguen. As-sim como, a utilização de automorfismos para a criação de novos operadores morfológicosfuzzy. Mais específicamente, os operadores morfológicos construídos foram aplicados nacontagem de esporos de fungos micorrízicos e na contagem das células vermelhas dosangue resultando no desenvolvimento de algoritmos. Estas aplicações originaram umsistema de contagem como ferramenta computacional do Matlab que será apresentado nopróximo capítulo.

Capítulo 6


Neste capítulo, apresenta-se uma contribuição deste trabalho, no sentido da imple-mentação dos opeadores fuzzy de Gödel num sistema para contagem de esporos de fun-gos micorrízicos e células sanguíneas vermelhas, baseado nos algoritmos apresentados nocapítulo anterior e uma análise quanto a sua usabilidade.

6.1 Sistema de Contagem usando Morfologia Fuzzy

Na década de 1990, deu-se a abertura da internet comercial: o engenheiro inglês TimBernes-Lee desenvolveu a World Wide Web, possibilitando a utilização de uma interfacegráfica e a criação de sites mais dinâmicos e visualmente interessantes. Como consequên-cia disso, o uso de computadores se popularizou, o que levou a uma busca por informaçõesde todos os tipos e a tecnologia teve que acompanhar as necessidades dos usuários, ouseja, as interfaces teriam de ser fáceis de usar, focadas apenas no trabalho a ser realizado.

A interface com o usuário é o meio pelo qual se comunica com o sistema para realizartarefas. Nos primórdios da computação, a comunicação humano-máquina era puramentetextual, realizada por meio de comandos e de respostas a perguntas geradas pelo sistema.Com o tempo, foram surgindo interfaces menos hostis, dotadas de menus que oferecemopções. As interfaces atuais têm como objetivo proporcionar a interação mais ‘amigável’possível entre a pessoa e o computador. Devem ser fáceis de usar; fornecer sequênciassimples e consistentes de interação; mostrar de modo claro as alternativas, sem confundiro usuário nem deixa-lo inseguro; devem permitir que o usuário se fixe exclusivamente noproblema que deseja resolver [Ferreira & Nunes 2011].

O termo usabilidade é empregado para descrever a qualidade da interação de umainterface com o usuário [Hix & Hartson 1993]. Determina-se pelas características defacilidade de manuseio, capacidade de aprendizado rápido, dificuldade de esquecimento,ausência de erros operacionais, satisfação do usuário e eficiência na execução das tarefasa que se propõe [Nielsen 2000, Nielsen & Tahir 2002, Nielsen & Loranger 2006].

92CAPÍTULO 6. SISTEMA DE CONTAGEM COM MORFOLOGIA MATEMÁTICA FUZZY

6.1.1 PlanejamentoO método de desenvolvimento que se utilizou foi o incremental e iterativo, que é uma

estratégia de planejamento estagiado em que várias partes do sistema são desenvolvidasem paralelo, e integradas quando completas, e de retrabalho, em que o tempo de revisãoe melhorias de partes do sistema é pré-definido, respectivamente.

A ideia básica por trás da abordagem iterativa é desenvolver um sistema de softwareincremental, permitindo ao desenvolvedor tirar vantagem daquilo que foi aprendido du-rante a fase inicial de desenvolvimento de uma versão do sistema. O aprendizado ocorresimultaneamente tanto para o desenvolvedor, quanto para o usuário do sistema, que nocaso foi o próprio desenvolvedor [Sommerville 2003, Pressman 2002].

O sistema desenvolvido serve para a contagem automática de esporos de fungos mi-corrízicos e a contagem das células sanguíneas vermelhas conhecidas como hemácias.Esse sistema se destina a um público bem específico: agrônomos que pesquisam micor-rízas; estudantes de agronomia que cursem microbiologia do solo; biólogos; médicos;bioquímicos; estudantes de medicina e de biologia que possuam uma noção do programaMatlab.

As imagens utilizadas para a contagem de esporos foram obtidas em [Invam: In-ternational Culture Collection of (Vesicular) Arbuscular Mycorrhizal Fungi n.d.] e es-tão com os fungos tratados, ou seja, limpos; nas imagens só possuem os esporos. Emse tratando das células sanguíneas, utilizaram-se as imagens do Programa Nacional deControle de Qualidade Ltda, patrocinado pela Sociedade Brasileira de Análises Clínicas,HEMATOLOGIA II, Módulo Educativo, onde as imagens são de células sanguíneas ver-melhas e brancas em lâminas especificamente coradas que são ilustradas na Figura 6.1.

Figura 6.1: (a) Imagem Original de Esporos, (b) Imagem Original de Célula Sanguínea.

(a) (b)

O sistema foi desenvolvido no sistema Windows 7 na plataforma do Matlab comoum toolbox da versão 12, pelo fato de ser um programa de fácil manipulação por meiodo usuário, de ampla performance na resolução de problemas matemáticos, construçãode gráficos, processamento de sinais, entre outros, devido a sua fundamentação nas ma-trizes. Contudo possui algumas limitações, como não possibilitar a inserção de teclas deatalho na interface e se baseia nos algoritmos descritos a seguir. Para efeito de ilustraçãoe conhecimento, descreve-se uma parte do código que explícita a parte do operadoresmorfológico: Erosão de Gödel.

6.1. SISTEMA DE CONTAGEM USANDO MORFOLOGIA FUZZY 93

Contagem de Esporos

O processo de contagem consiste de quatro etapas:

1. Uso do operador morfológico de Gödel;2. Uso do algoritmo de detecção de esporos com fundo branco;3. Uso de uma máscara;4. Uso do algoritmo para quantizar pontos usando média.

Figura 6.2: (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com detecção de esporos, (c) Imagemcom máscara.

(a) (b) (c)

Contagem de Células Sanguíneas

O processo de contagem consiste das etapas:

1. Retirar as células brancas com filtros;2. Transformar a cor do fundo em preta;3. Aplicar a máscara de preenchimento;4. Uso da Erosão de Gödel;5. Uso do algoritmo de detecção de esporos com fundo branco;6. Preenchimento do interior das células;7. Uso de uma máscara;8. Uso do algoritmo para quantizar pontos com média.


Figura 6.3: (1) Imagem Original, (2) Remover Células Brancas, (3) Imagem com fundopreto, (4) Imagem com preenchimento do interior das células, (5) Imagem com Erosão,(6) Imagem binária com máscara.

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

% Essa instrucao verifica se foi selecionado ’Erosao Godel’if (tipoProcessamento == 1 && tipoAdjuncao == 1)% E (imagem,elemento)(x)=inf(1 se elemento(x)<=imagem(x),imagem(x)seelemento(x)>imagem(x))fuzzyElemento=fuzzificacao(double(matrizElementoEstruturante),tipoFuzzificacao);matrizImagemAuxiliarFuzzyficada=fuzzificacao(matrizImagemAuxiliar,tipoFuzzificacao);[y , x , r]=size(matrizElementoEstruturante);r=y/2;for m = 1: linhasMatrizfor n = 1 : colunasMatrizfuzzyImagem=matrizImagemAuxiliarFuzzyficada(m:m+linhasElemento-1,n:n+colunasElemento-1);valorFinal = 2;for c = 1: colunasElementoif(false)if (r>c )xc=r-c;elsexc=c-r;endif (r>l )yc=r-l;elseyc=l-r;endr1=(sqrt((yc^2)+(xc^2) ));else


r=1;r1=0endif(fuzzyImagem(l,c)~= 2 && fuzzyElemento(l,c)>=0 && fuzzyElemento(l,c)<=1 && r>=r1)if fuzzyElemento(l,c) <= fuzzyImagem(l,c)valorFinal = min(valorFinal, 1);else % Se elemento(x) > imagem(x)valorFinal = min(valorFinal, fuzzyImagem(l,c));endendendendmatrizResultante(m,n) = valorFinal;endendend

6.1.2 ImplementaçãoOs passos fundamentais do processo de implementação estão em iniciar o desenvolvi-

mento com um subconjunto simples de requisitos do software e iterativamente alcançarevoluções subsequentes das versões até o sistema todo estiver implementado. A cadaiteração, as modificações de projeto são feitas e novas funcionalidades são adicionadas.

O projeto em si consiste da etapa de inicialização, iteração e da lista de controle doprojeto.

A primeira interface proposta tinha como objetivo facilitar o uso do algoritmo decontagem de esporos de fungos e os requisitos levantados foram:

1. Função para buscar a pasta das imagens;2. Modo de visualização das imagens na pasta;3. Opção para contar uma ou todas as imagens na pasta;4. Retorno visual dos resultados.

Para atender os requisitos citados, a interface, conforme a Figura 6.4, foi desenvolvida.Ela contém um botão para buscar a pasta das imagens, uma lista com as imagens dentroda pasta, uma área de pre-visualização, dois botões para iniciar o processo de contagem euma caixa de saída para os resultados. A cor escolhida foi a cinza como uma cor neutrapara trazer suavidade.

A segunda versão foi desenvolvida baseada nos mesmos requisitos da primeira, mas ainterface foi modificada de modo a deixá-la mais agradável para o usuário. Nesta interfacefoi acrescentado um botão com ícone de pasta com a função de voltar ao diretório superiore também a função de entrar na pasta que aparece na lista, dando um clique duplo sobreo nome da mesma (os nomes de pastas aparecem entre colchetes). Um botão de ajuda foiacrescentado (Help), o qual mostra uma caixa de diálogo com algumas instruções de uso


Figura 6.4: Versão 0.1

da interface. Outras duas partes foram modificadas: uma mudança simples no botão debusca da pasta que passa a ser o botão com três pontos (...) e na saída dos resultados queagora são formatados em uma tabela conforme a Figura 6.5, onde a cor foi mantida.


Na última versão, dois outros requisitos foram acrescentados: o uso do algoritmo decontagem de células e a opção para salvar os dados do processo. Para suprir estes re-quisitos, dois novos botões foram acrescentados. O primeiro, Contar Células, que faz o


processo de contagem utilizando o algoritmo de contagem de células e coloca o resultadona tabela e o segundo, Salvar Resultados, que salva todos os resultados da tabela para umarquivo XLS. Como resultado do uso de dois algoritmos de contagem em uma mesmainterface a função para contar todas as imagens de uma pasta em sequencia foi removidaevitando erros onde uma pasta contenha mais de um tipo de imagem (imagem com es-poros e imagens com células sanguíneas), o que impossibilita a contagem em sequencia,como pode ser visto na Figura 6.6.


6.1.3 Interface

Esta ferramenta computacional desenvolvida no Matlab, foi nomeada Contagem comMorfologia Fuzzy. Segue uma descrição que pode ser acompanhada na Figura 6.7.

1. Caixa que informa o diretório atual;2. Botão para escolher o diretório;3. Botão que faz subir para o diretório acima do atual;4. Lista com arquivos e pasta dentro do diretório (Pastas ficam entre[]);5. Caixa de pre-visualização, que mostra a imagem selecionada;6. Botão que processa a imagem selecionada com o algoritmo de contar esporos de

fungos;7. Botão que processa a imagem selecionada com o algoritmo que conta células san-

guíneas vermelhas;8. Tabela onde os resultados são visualizados;9. Botão para salvar os resultados da tabela;

10. Botão de ajuda; mostra uma breve explicação do sistema.


Figura 6.7: Ferramenta Computacional no Matlab

Na caixa 3, tem-se a opção de abrir um diretório que possuam imagens, em que semostrará o caminho na caixa 1. Os arquivos das imagens somente em JPG e PNG, serãolistados na janela 4 e será visualizada a imagem escolhida para o processamento na janela5. Após a escolha da imagem, deve-se escolher o processamento, se a imagem for esporosescolha a caixa 6, contar esporos; se a imagem for células sanguíneas vermelhas, escolhaa caixa 7, contar células. O resultado da contagem será visualizado na janela 8, e podeser salvo num arquivo XLS (planilha do Excel), utilizando-se a caixa 9. A caixa 10 podeauxiliar o usuário que possua alguma dúvida.

A interface não identifica na imagem qual o tipo, se esporos ou células sanguíneas,o que significa, que se escolher uma imagem de esporos e selecionar o processo de con-tagem de células ou vice versa, a interface fará o processo.

A cor do fundo da interface foi alterada para o azul, pelo fato de esta cor ser conside-rada uma cor fria e suave, a mais tranquila de todas, com grande poder de relaxamento ecalmante. A cor de fundo das caixas de textos 4,6,7,9 e 10 foi branca com as letras pretas,pois lhe confere maior legibilidade. Na barra de rolagem da caixa 4 foi utilizada a corcinza por ser uma cor intermediária e reduzir o contraste entre uma cor mais clara e umaescura de acordo com [Ferreira & Nunes 2011].

A complexidade computacional é O(n2), com elemento estruturante fixo, em que n éuma função do número de pixels da imagem. Um algoritmo polinomial de segunda ordemé um resultado aceitável em matéria de processamento de imagens.

A interface é fácil para usuários leigos, mas não flexível o bastante para se tornar ágilpara usuários avançados, pois não possui tecla de atalhos devido ao fato de não ter sidopossível implantá-las dentro do Matlab. Pode ser considerada uma interface minimalistapela sua simplicidade e objetividade. O manual do usuário pode ser encontrado em anexo.

6.2. CONSIDERAÇÕES FINAIS 99

6.2 Considerações FinaisEste capítulo apresentou a interface desenvolvida no Matlab para a contagem de es-

poros de fungos micorrízicos e para a contagem de células sanguíneas vermelhas cujosalgoritmos beseiam-se em morfologia fuzzy. Fez-se uma análise dessa interface quantoa sua usabilidade e uma descrição de sua implementação e funcionamento. O sistemaapresentou um otímo desempenho na contagem de esporos de fungos micorrízicos e nacontagem de células sanguíneas vermelhas.

Capítulo 7

Conclusão e Trabalhos Futuros

Neste trabalho, a morfologia matemática foi estendida para a morfologia matemáticafuzzy, utilizando-se de lógica fuzzy. Para isso, determinou-se alguns objetivos específicos.Definir os operadores morfológicos fuzzy a partir das adjunções detectadas. Desenvolveruma ferramenta computacional para o processamento de imagens com os operadores mor-fológicos definidos. Avaliar os operadores morfológicos em segmentação de imagens.Aplicar automorfismos sobre as implicações fuzzy residuadas para a obtenção de novospares de (conjunção,implicação). Desenvolver novos operadores morfológicos a partirdas novas adjunções resultantes da aplicação dos automorfismos. Modelar e desenvolverum sistema para contagem como uma ferramenta computacional do Matlab. Avaliar odesempenho do sistema na contagem de imagens microscópicas.

As pesquisas desenvolvidas nos anos de 2011 a 2014 tiveram frutos significativos queserão descritos nos parágrafos seguintes.

Definiu-se os operadores morfológicos a partir das adjunções de Lukasiewicz, deGödel e de Goguen. Contudo, não foi possível desenvolver os operadores para as im-plicações de Weber e de Fodor, mas foi possível definir funções que foram chamadasde Delta e Épsilon no lugar dos operadores de dilatação e erosão para efeito de imple-mentação para a visualização dos respectivos efeitos. Escolheu-se três funções bijetoras,automorfismos, para que a partir delas pudéssemos definir os operadores morfológicos decada morfologia de Lukasiewicz, Gödel e Goguen.

Desenvolveu-se uma ferramenta no Matlab para visualizar a repercussão destes opera-dores no processamento de imagens tons de cinza e coloridas; denominou-se de Processa-mento de Imagens Fuzzy. A mesma auxíliou na análise das diferenças entre os operadoresmorfológicos e entre as morfologias. Com isso, foi concluído que a melhor erosão foi ade Gödel e a melhor dilatação foi também a de Gödel, no que cada operador se propõe.

Analisou-se os operadores morfológicos na segmentação de imagens. As imagens es-colhidas como alvo inicial foram as dos esporos de fungos micorrízicos limpos num totalde 37 tipos. Foram analisados os operadores de erosão, dilatação, abertura e fechamentoda morfologia de Lukasiewicz e foi constatado que era necessária uma erosão e umaabertura. Continuou-se a investigação com as outras morfologias de Lukasiewicz, Gödele Goguen, mas agora somente com os operadores de erosão e dilatação e concluiu-seque o melhor operador seria somente uma erosão de Gödel, só que com outro elementoestruturante. Com essa mudança, ganhou-se tempo de processamento, que era a desvan-tagem da morfologia de Lukasiewicz. Desenvolvido o método de contagem de esporos de

102 CAPÍTULO 7. CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS

fungos micorrízicos com porcentagem acerto aceitável para o problema, resolveu-se usareste método para contar células sanguíneas vermelhas, pois estas se assemelhavam aos es-poros. Encontrou-se algumas dificuldades, que para saná-las foram necessárias algumasadaptações ao método, mas também obtivemos êxito.

O sistema com os algoritmos apartir da morfologia de Gödel foi desenvolvido paraa contagem de esporos de fungos micorrízicos e para a contagem de células sanguíneasvermelhas dentro do método incremental e iterativo, onde o usuário do sistema pode ter aliberdade de optar pela técnica que se deseja aplicar.

A análise das R-implicações de Lukasiewicz, Gödel, Goguen, Weber e Fodor com asdefinições dos operadores morfológicos de Lukasiewicz, Gödel, Goguen e das funçõesDelta e Épsilon de Weber e Fodor com suas repercussões no processamento de imagensgerou a publicação na revista Journal of Intelligent and Fuzzy Systems. Um estudo inicialda aplicação da morfologia de Lukasiewicz na contagem de esporos de fungos micorrízi-cos foi publicado no II Congresso Nacional de Sistema Fuzzy. A descrição do método decontagem de esporos de fungos micorrízicos utilizando a morfologia de Gödel e a com-paração com o método de contagem de células que usou morfologia matemática e redesneurais gerou o artigo submetido à revista Journal of Intelligent and Fuzzy Systems. Aindacom fruto das pesquisas realizadas, desenvolveu-se na UESB um projeto de pesquisa inti-tulado Projeto de Morfologia Fuzzy coordenado pelo professor Roque Trindade. Com esteprojeto submeteu-se à FAPESB o projeto de construção de um protótipo para a contagemde esporos de fungos micorrízicos. Tem-se o interesse de construção de um protótipode contagem de células sanguíneas (brancas e vermelhas) com o auxílio uma bolsa deiniciação científica e tecnológica da FAPESB.

Como trabalhos futuros deve-se analisar a repercussão das funções Épsilon de Webere de Fodor no processo de contagem de esporos de fungos micorrízicos. Na construção deoperadores morfológicos pode-se usar a implicação e conjunção de Kleene e sua aplicaçãona contagem de esporos de fungos micorrízicos. Na contagem de células sanguíneas,podem-se usar outros elementos estruturantes, feitos como combinação de segmentos deretas, para tentar melhorar a performance de acerto.

7.1. PUBLICAÇÕES 103

7.1 PublicaçõesNesta seção apresenta-se os trabalhos publicados e em submissão.

Artigos Publicados

1. ANDRADE, A.O.; TRINDADE, R.M.P.; MAIA,D.S.;MIGUEL,D.L.; SANTIAGO,R.H.N.; GUERREIRO, A.M.G.. Uso da Morfologia Matemática Fuzzy na con-tagem de esporos de fungos micorrízicos. No II Congresso Nacional de SistemaFuzzy, Natal, Novembro de 2012.

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Artigos Submetidos

1. ANDRADE, A.O.; TRINDADE, R.M.P.; BARROS,A.S.; SOARES, I.B.;MIGUEL,D.L.;NEVES, V.B.F ; SANTIAGO,R.H.N.; GUERREIRO, A.M.G.. Analysis of fuzzymorphology in spore counts of mycorrhizal fungi no Journal of Intelligent andFuzzy Systems submetido no dia 26/10/2014.

104 CAPÍTULO 7. CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS

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Apêndice A

Apêndice A

Manual do Usuário

Neste capítulo apresenta-se o Manual de Usuário do sistema de contagem usando amorfologia matemática fuzzy

Instalando e executando o Toolbox

1. Abra Matlab e click em File.

2. Click em Set Path.

116 APÊNDICE A. MANUAL DO USUÁRIO

3. Click em Add Folder para adicionar a pasta onde estão os arquivos do Toolbox.

4. Click em Save.

5. Execute o comando CONTAGEM COM MORFOLOGIA FUZZY para abrir a in-terface.

Executando uma contagem

1. Click no botão (...) e para escolher a pasta com a imagem para contagem.

2. Escolha a imagem a ser processada na lista.

117

3. Click no botão para contagem referente ao tipo da imagem.

Salvando os Dados

1. Click em salvar resultados e escolha um local e nome para o arquivo.

118 APÊNDICE A. MANUAL DO USUÁRIO

sistema de contagem com morfologia matemática fuzzy · 2017-11-03 · elétrica da ufrn (área de...

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