Sistemas Fuzzy

Sistemas especialistas Fuzzy

n Especialistas n Senso comum para resolver problemas n Impreciso, inconsistente, incompleto, vago Embora o transformador esteja um pouco carregado, pode-se

us-lo por um tempo n Nenhum problema para outro especialista, mas sim para o EC

n Lgica Fuzzy: n Idia: todas as coisas admitem graus (temperatura, altura,

velocidade, distncia, etc...) n Desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califrnia em Berkeley na

dcada de 60

Grau de Crena x Grau de Verdade n Grau de Crena x Teoria das Probabilidades

n 80% dos pacientes com dor de dentes tm cries n Uma probabilidade de 0.8 no significa 80% verdade mas sim um grau de

crena de 80% na regra Grau de verdade x Lgica Fuzzy

n Mrio alto n A proposio verdadeira para uma altura de Mario 1.65m ?

n ...mais ou menos.... n Observar que no h incerteza, estamos seguros da altura de Mario

n O termo lingustico alto vago, como interpret-lo? n Por exemplo, a teoria de conjuntos Fuzzy (semntica para lgica fuzzy) permite

especificar quo bem um objeto satisfaz uma descrio vaga (predicado vago) n O grau de pertinncia de um objeto a um conjunto fuzzy representado por algum nmero

em [0,1]

Caractersticas: Lgica Fuzzy (1/2)

n Lgica convencional: sim-ou-no, verdadeiro-ou-falso n Lgica Fuzzy (difusa ou nebulosa):

n Refletem o que as pessoas pensam n Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de deciso ou senso

comum

n Trabalha com uma grande variedade de informaes vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expresses do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.

Caractersticas: Lgica Fuzzy (2/2)

n Antes do surgimento da lgica fuzzy essas informaes no tinham como ser processadas

n A lgica fuzzy contm como casos especiais no s os sistemas lgicos binrios, como tambm os multi-valorados

n A lgica fuzzy vem sendo aplicada nas seguintes reas n Anlise de dados n Construo de sistemas especialistas n Controle e otimizao n Reconhecimento de padres, etc.

n Conjunto de princpios matemticos para a representao do conhecimento baseado no grau de pertinncia dos termos

Conjuntos Fuzzy (1/3)

n Conjuntos com limites imprecisos

Altura(m)

1.75

1.0

Conjunto Clssico 1.0

Funo de pertinncia

Altura (m)

1.60 1.75

.5

.9

Conjunto Fuzzy

A = Conjunto de pessoas altas

.8

1.70

Conjuntos Fuzzy (2/3) n Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X caracterizado por uma

funo de pertinncia A, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].

A:X[0,1]

n Desta forma, a funo de pertinncia associa a cada elemento x pertencente a X um nmero real A(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinncia do elemento x ao conjunto A, isto , o quanto possvel para o elemento x pertencer ao conjunto A.

n Uma sentena pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa n A(X) : x [0,1], A(X) = 0 0 < A(X) < 1 A(X) = 1

Conjuntos Fuzzy (3/3)

n Definio formal n Um conjunto fuzzy A em X expresso como um conjunto de pares

ordenados:

}|))(,{( XxxxA A =

Universo ou Universo de discurso

Conjunto fuzzy

Funo de pertinncia

(MF)

Um conjunto fuzzy totalmente caracterizado por sua funo de pertinncia (MF)

Como representar um conjunto Fuzzy num computador?

1. Funo de pertinncia n Reflete o conhecimento que se tem em relao a intensidade

com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy n Mtodos para adquirir esse conhecimento do especialista n Ex: Perguntar ao especialista se vrios elementos pertencem a

um conjunto

Funo de Pertinncia

n Vrias formas diferentes n Representadas uma funo de mapeamento n Caractersticas das funes de pertinncia:

n Medidas subjetivas n Funes no probabilsticas monotonicamente crescentes, decrescentes

ou subdividida em parte crescente e parte decrescente.

MFs

Altura (m)

alto no Brasil

1.75

.5

.8

.1

alto nos EUA

alto na Itlia

Funo de Pertinncia n Funo Triangular

n Funo Trapezoidal

n Funo Gaussiana

n Funo Sino Generalizada

trimf x a b cx ab a

c xc b

( ; , , ) max min , ,=

0

trapmf x a b c dx ab a

d xd c

( ; , , , ) max min , , ,=

1 0

gbellmf x a b cx cb

b( ; , , ) =

+

1

12

2

21

),,;(

= cx

ecbaxgaussmf

Funo de Pertinncia

0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

Grau

de

Perti

nnc

ia"

(a) Triangular

0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

Grau

de

Perti

nnc

ia"

(b) Trapezoidal

0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

Grau

de

Perti

nnc

ia

(c) Gaussiana

0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 Gr

au d

e Pe

rtin

ncia"

(d) Sino Gerneralizada

Funo de pertinncia: Universo Discreto

n X = {SF, Boston, LA} (discreto e no ordenado) n C = Cidade desejvel para se viver n C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA, 0.6)}

n X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto) n A = Nmero de filhos n A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6),

(5, .2), (6, .1)}

0 2 4 6 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

X = Nmero de filhos

Grau

de

Perti

nnc

ia

(a) Universo Discreto

Funo de pertinncia: Universo Contnuo

n X = (Conjunto de nmeros reais positivos) (contnuo)

n B = Pessoas com idade em torno de 50 anos

n B = {(x, B(x) )| x em X}

B x x( ) =

+

1

1 5010

2

0 50 100 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

X = Idade

Grau

de

Perti

nnc

ia

(b) Universo Contnuo

Partio Fuzzy

n Partio fuzzy do universo de X representando idade, formada pelos conjuntos fuzzy jovem, maduro e idoso.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2

X = Idade

Gra

u de

Per

tinn

cia Jovem Maduro Idoso

Variveis Lingsticas

n Uma varivel lingstica possui valores que no so nmeros, mas sim palavras ou frases na linguagem natural. n Idade = idoso

n Um valor lingstico um conjunto fuzzy. n Todos os valores lingsticos formam um conjunto de termos:

n T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,... Maduro, no maduro,... Velho, no velho, muito velho, mais ou menos velho,... No muito jovem e no muito velho,...}

n Permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semntica usada por especialistas

Exemplo: If projeto.durao is no muito LONGO then risco is ligeiramente reduzido

Hedges (modificadores)

n Termos que so usados para modificar a forma dos conjuntos fuzzy n Muito, algo mais ou menos, um

pouco

n So universais n Compostos de nome e frmula n Muito:

n Extremamente

n Muito muito

n Um pouco

n Mais ou menos

n Indeed ( )2)()( xx AMA =

( )3)()( xx AMA =

( ) 3,1)()( xx AMA =

)()( xx AMA =

( )( ) 15,0,)(121)(

5,00,)(*2)(2

2

A B, se B(x) A(x) para cada x X A = B, se A(x) = B(x) para cada x X A = X - A A(x) = 1 - A(x)

E(x) = Max [0, A(x) - B(x)]

C = A B c(x) = max(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)

C = A B c(x) = min(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)

Operaes Bsicas

n Subconjunto n Igualdade n Complemento n Complemento Relativo

n Unio

n Interseo

Representao

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 A est contido em B

Grau

de

Perti

nnc

ia

B A

(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy no A

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 A B

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 (c) Conjunto Fuzzy "A ou B"

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 (d) Conjunto Fuzzy "A e B"

Exemplo (Unio|Interseo)

n X = {a, b, c, d, e} n A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} n B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}

n Unio n C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}

n Interseo

n D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}

Propriedades n Comutatividade

n A B = B A A B = B A

n Idempotncia n A A = A A A = A

n Associatividade n A (B C) = (A B) C = A B C A (B C) = (A B) C = A B C

n Distributividade n A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

Propriedades padres: Comutatividade, Idempotncia Associatividade, Distributividade etc. so vlidas para os conjuntos fuzzy. Exceo:

A A A A X

Regras Fuzzy

Consistem: n Conjunto de condies IF

(usando conectivos and, or ou not) n Uma concluso THEN n Uma concluso opcional ELSE

Exemplo:

1. Se velocidade > 100 Ento DPP 30 metros

2. Se velocidade < 40 Ento DPP 10 metros

1. Se velocidade alta Ento DPP longa

2. Se velocidade baixa Ento DPP curta

Velocidade [0,220] Baixa, Mdia e alta

Regras Fuzzy

n E o raciocnio? n Avaliar o antecedente n Aplicar o resultado ao conseqente n As regras so ativadas parcialmente, dependendo do antecedente n Ex: Se a altura alta, o peso pesado (altura =1.85, peso = ?)

1.85

.5 .75

.1

Alto

90

.5 .75

.1

Pesado

Regras Fuzzy

n E no caso de existir vrios antecedentes?

n E no caso de existir vrios conseqentes?

1 FUZZIFICAO

2 INFERNCIA

AGREGAO

3 DEFUZZIFICAO

COMPOSIO

Etapas do raciocnio Fuzzy

Lingustico Numrico Nvel

Variveis Calculadas

Variveis Calculadas

(Valores Numricos)

(Valores Lingusticos) Inferncia Variveis de Comando

Defuzzificao

Objecto

Fuzzificao

(Valores Lingusticos)

Variveis de Comando (Valores Numricos)

Nvel

Etapas do raciocnio Fuzzy

Fuzzificao

n Etapa na qual as variveis lingsticas so definidas de forma subjetiva, bem como as funes membro (funes de pertinncia)

n Engloba n Anlise do Problema n Definio das Variveis n Definio das Funes de pertinncia n Criao das Regies

n Na definio das funes de pertinncia para cada varivel, diversos tipos de espao podem ser gerados: n Triangular, Trapezoidal, ...

TRIANGULAR

Frio Normal Quente

TRAPEZOIDAL

Lento Rpido

Fuzzificao

Inferncia Fuzzy n Etapa na qual as proposies

(regras) so definidas e depois so examinadas paralelamente

n Engloba: n Definio das proposies n Anlise das Regras n Criao da regio resultante

n O mecanismo chave do modelo Fuzzy a proposio

n A proposio o relacionamento entre as variveis do modelo e regies Fuzzy

n Na definio das proposies, deve-se trabalhar com:

n Proposies Condicionais if W is Z then X is Y

n Proposies No-Condicionais

X is Y

Inferncia Fuzzy

n AGREGRAO n Calcula a importncia de uma determinada regra para a situao

corrente

n COMPOSIO n Calcula a influncia de cada regra nas variveis de sada.

Defuzzificao n Etapa no qual as regies resultantes so convertidas em valores

para a varivel de sada do sistema n Esta etapa corresponde a ligao funcional entre as regies Fuzzy e

o valor esperado

n Dentre os diversos tipos de tcnicas de defuzzificao destaca-se: n Centride n First-of-Maxima n Middle-of-Maxima n Critrio Mximo

Exemplos:

z0 z0 z0

Centride First-of-Maxima Critrio Mximo

Defuzzificao

Inferncia Fuzzy: Um exemplo

n Objetivo do sistema: n um analista de projetos de uma

empresa que determina o risco de um determinado projeto

n Quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas no projeto

n Representao das variveis de entrada

n Base de conhecimento 1. Se dinheiro adequado ou

pessoal pequeno ento risco pequeno

2. Se dinheiro mdio e pessoal alto, ento risco normal

3. Se dinheiro inadequado, ento risco alto

Problema: dinheiro = 35% e pessoal = 60%

Inferncia Fuzzy: Um exemplo

n Passo 1: Fuzzificar

75,0)(&25,0)( == dd mi

Dinheiro

Inadequado Mdio

Adequado 35

.25

.75

Pessoal

60

Baixo Alto

.2

.8

8,0)(&2,0)( == pp ab

Inferncia Fuzzy: Um exemplo n Passo 2: Avaliao das regras

n Ou mximo e mnimo

Adequado

Regra 1:

Baixo 0,0 ou

0,2

Risco

mdio

Regra 2:

Alto 0,25

e

0,8

Risco

Inferncia Fuzzy

Risco

Inadequado

Regra 3:

0,75

Inferncia Fuzzy n Passo 3: Defuzzificao

Risco

0,75

0,25

10 20 30 40 70 60 50 100 90 80

4,708,35,267

75,075,075,025,025,025,02,02,02,02,075,0*)1009080(25,0*)706050(2,0*)40302010(

==+++++++++

+++++++++=C

Inferncia Fuzzy

n O mtodo de Sugeno n Igual ao Mandani n Conseqente Singleton

n Computacionalmente eficaz n Mais utilizado em otimizao e adaptao (controle de

sistemas