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Anlise deEstruturas

Dinmica de Estruturas

ACO DOS SISMOS

1

0,0399

f1 = 160KN

f2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133

0,0266

m

m

2

ss rrii ee EESSTTRRUUTTUURRAASS

joo guerra martins 9. edio / 2011

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Aco dos Sismos Aulas de Mecnica das Estruturas/ UFP

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ACO DOS SISMOS

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A Intensidade de um sismo uma medida da destruio observvel numa determinada regio

afectada

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A escala de intensidades mais vulgarizada foi proposta inicialmente por Mercalli e modificada

subsequentemente por Richter, designando-se Escala de Intensidades Modificadas de Mercalli, ou

simplesmente Escala de Mercalli modificada.

Esta escala baseada num reconhecimento subjectivo dos efeitos da vibrao no comportamento das pessoas

e no grau de destruio provocado. Uma verso desta escala apresentada, ilustrando-se, para cada grau, o

tipo de efeitos observveis:

I - A vibrao no perceptvel por pessoas.

II - Vibrao perceptvel por pessoas situadas em pisos elevados de edifcios.

III - Vibrao perceptvel dentro dos edifcios (semelhante produzida pela passagem de camies

leves) podendo no ser identificada como um sismo; Alguns objectos pendurados balanam.

IV - Vibrao semelhante provocada pela passagem de camies pesados; Sensao de sacudidela

como a provocada pela pancada de uma bola contra uma parede; Automveis estacionados balanam;

Portas e janelas rangem. Os vidros vibram;

V - Vibrao perceptvel fora dos edifcios; Acorda pessoas, agita lquidos dentro dos recipientes

podendo provocar extravasamento; Objectos menos estveis podem ser derrubados ou arrastados; As

portas oscilam; Os quadros nas paredes movem-se; Os pndulos dos relgios param;

VI - Vibrao sentida por todas as pessoas podendo mesmo provocar algumas reaces de pnico;

Pessoas a andar cambaleiam; Partem-se vidros de janelas; Objectos caem das prateleiras e quadros das

paredes. Mobilirio arrastado ou virado; rvores e arbustos agitam-se visivelmente; O reboco das

paredes e tectos estala;

VII - Dificuldade das pessoas se manterem em p; Vibrao sentida por condutores de automveis;

Mobilirio partido e danos em cantaria fraca; Runa de chamins pequenas; Runa de ornamentos dearquitectura; Queda de cornijas, floreiras, tijolos e telhas; Ondulao em lagos e deslocamento de areias

em dunas.

VIII - A conduo de automveis perturbada pelas vibraes; Danos em alvenaria, com colapso

parcial de alvenaria ordinria e danos leves em alvenaria armada; Runa de chamins, monumentos,

torres e depsitos elevados; Deslocamentos nas fundaes dos edifcios e eventualmente assentamentos

por compactao do solo. Quebram-se ramos de rvores;

IX - Pnico geral; Alvenaria fraca destruda e a alvenaria de boa qualidade seriamente danificada;

As fundaes so seriamente danificadas; Fendilhao generalizada do solo.

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X - A maior parte das construes em alvenaria so destrudas juntamente com as suas fundaes;

Estruturas de madeira e algumas pontes so destrudas; Danos srios em barragens, diques e taludes;

Grandes movimentos do solo; Linhas de caminho de ferro levemente encurvadas; gua de rios e lagos

projectada para fora das margens.

XI - Linhas de caminho de ferro completamente encurvadas e condutas destrudas.

XII - Destruio praticamente total; Grandes massas rochosas deslocadas e linha do horizonte

distorcida; Objectos projectados pelo ar.

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Requisitos com um adequado nvel de fiabilidade:

1- Requisito de no colapso - este requisito pretende precaver a ocorrncia do colapso estrutural, global e local,

assegurando simultaneamente uma capacidade residual de resistncia e estabilidade das estruturas e dos

restantes elementos construtivos. Est associado ao Estado Limite ltimo e a aco ssmica a considerar paraas verificaes do requisito de no colapso corresponde a um perodo mdio de retorno da ordem dos 500 anos,

para edifcios correntes. O aumento do perodo mdio de retorno sobe em conformidade com a importncia da

estrutura, sendo de cerca de 1300 anos (probabilidade de excedncia de 3.8% em 50 anos) no caso de

instalaes hospitalares, por exemplo. Esta diferenciao correspondente a diferentes afectaes da aco pelo

coeficiente de importncia i, bem como a alteraes no valor do coeficiente de comportamento relativo a

esforos, , para os edifcios cuja operacionalidade tenha de ser assegurada aps um sismo intenso Pode,

ainda, variar conforme o cenrio corresponder a um sismo afastado ou prximo.

2- Requisito de limitao de danos - pretende garantir a operacionalidade plena e a conteno dos danos no

estruturais nos edifcios, face aco de um sismo com um perodo mdio de retorno bastante inferior ao

perodo mdio de retorno do sismo correspondente ao Estado Limite ltimo (cerca de 4 a 5 vezes menor). Est

associado ao Estado Limite de Utilizao.

Ainda ser de observar:

Os edifcios no devero, em geral, ser construdos prximos de falhas tectnicas identificadas como activas

em documentos oficiais emitidos pelas autoridades nacionais competentes, nem em zonas em que os solos

existentes sejam das classes D e E, conforme classificao definida no Eurocdigo 8. Reproduz-se a Tabela 1das Especificaes tcnicas para o comportamento sismo-resistente de edifcios hospitalares ET 05/2007.

A possibilidade de ocorrncia de alteraes estruturais dos terrenos associadas aco ssmica, tais como,

deslizamento de taludes, liquefaco e adensamento de solos, deve ser explicitamente investigada com o

reconhecimento geolgico e geotcnico. Refira que liquefaco do solo identifica o comportamento de solos

que, quando carregados, repentinamente sofrem uma transio de um estado slido para um estado lquido

fictcio, ou ficam com a consistncia de um lquido grosso, sendo o fenmeno em solos granulados saturados

com drenagem pobre, como em areias finas, areia e cascalho ou contendo fendas de sedimentos impermeveis.

Por outro lado, adensamento corresponde s redues de volume do solo, quer (i) por purga de vesculas de ar,

como (ii) pela alterao da sua estrutura, medida que esta suporta maiores cargas (quebram-se ligaes inter-

partculas e h distores, do que resulta um menor ndice de vazios e uma estrutura mais densa).

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Contraventamentos horizontais:

+

Medidas de concepo + Pormenorizao (detalhe construtivo)

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Princpios de concepo de estruturas de edifcios (EC8):

Simplicidade estrutural caracterizada pela existncia de um sistema claro e directo de transmisso das

foras devidas aco ssmica; deve ser um objectivo a atingir em todas as fases, desde a modelao at anlise, dimensionamento e pormenorizao das estruturas; as estruturas devem apresentar formas simples e

regulares, quer em planta, quer em alado; se necessrio, este princpio poder ser conseguido dividindo as

estruturas, por meio de juntas estruturais, em unidades dinmicas independentes com adequada configurao;

Uniformidade e simetria relacionadas com a simplicidade das estruturas; devem ser asseguradas pela

configurao e disposio dos elementos estruturais e pela distribuio das massas da construo, das

instalaes bsicas e dos equipamentos; as estruturas devem ser, tanto quanto possvel, simtricas no plano

em relao s duas direces ortogonais, no que concerne rigidez e distribuio das massas; as estruturas,no seu desenvolvimento em altura, devem, tanto quanto possvel, manter, por piso, a constncia da rigidez

lateral e da massa ou, havendo variaes, que a reduo se faa de maneira gradual, sem variaes bruscas,

da base para o topo; embora possam ser considerados elementos no estruturais, os painis de alvenaria

alteram sensivelmente a distribuio de rigidez em planta e altura, pelo que a sua disposio dever evitar a

constituio de irregularidades em altura (que podero originar mecanismos de piso flexvel, soft storey),

assim como em planta, procurando minimizar as distncias efectivas entre os centros de massa e de rigidez

dos pisos;

Redundncia estrutural capacidade que uma estrutura tem em redistribuir esforos, ou seja, encontrar

caminho alternativo de transmisso de carregamento, garantindo que a presena de uma nica fractura em

qualquer elemento no conduz ao colapso total da mesma. Pode ser obtida pela capacidade de plastificao

das seces das peas estruturais, garantida que fique a estabilidade (sobretudo lateral, o que pode obrigar a

contraventamentos locais) dessas seces em rotao, bem como a prpria capacidade do material em resistir

a significativa deformao, sem perda acentuada de resistncia, antes da rotura. Est associada ao conceito

de ductilidade e de hiperestaticidade;

Resistncia e rigidez bidireccional s foras horizontais devem ser asseguradas a partir das

caractersticas geomtricas e mecnicas dos elementos estruturais, dispostos criteriosamente segundo a

malha estrutural, usualmente ortogonal, de forma a conferir estrutura a aptido para resistir s foras

horizontais, actuantes em qualquer direco, geradas pelo movimento ssmico;

Resistncia e rigidez toro; devem ser asseguradas, a par da resistncia e rigidez laterais, mediante a

disposio dos principais elementos resistentes junto periferia, desde que compatvel com a soluo

arquitectnica, de forma a dotar a estrutura de aptido para limitar o desenvolvimento dos movimentos de

toro; deve ser tido em conta que uma estreita relao entre a distribuio das massas e a distribuio da

resistncia e rigidez diminui a excentricidade entre massa e rigidez, minimizando os efeitos da toro;

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Diafragmas indeformveis ao nvel dos pisos (plano horizontal) devem desempenhar as funes de

ligao e transmisso das foras horizontais aos elementos verticais da estrutura e devem ainda contribuir,

com a resistncia e rigidez nos seus planos, para a resistncia do conjunto quando sujeito quele tipo de

foras;

Fundao adequada e seu travamento os elementos de fundao, sapatas ou estacas, devem ser ligados

por vigas de fundao, ao nvel das ligaes dos elementos verticais resistentes com os elementos de

fundao e segundo as duas direces, usualmente ortogonais, definidas pelos alinhamentos dos pilares.

Exceptuam-se as situaes em que as caractersticas geotcnicas permitam dispensar esta exigncia;

Dimensionamento das juntas estruturais as juntas estruturais entre edifcios contguos e independentes

devem ser dimensionadas tendo em conta os deslocamentos relativos devidos aco ssmica; estes ltimos

deslocamentos relativos assumem particular importncia no caso de as unidades dinmicas independentes

apresentarem caractersticas de deformabilidade ou de massa muito diferentes; no atravessamento que

procedem s juntas estruturais as instalaes bsicas devero ser pormenorizadas para que possam acomodar

esses deslocamentos relativos sem que haja roturas das mesmas instalaes; os edifcios contguos nessas

juntas estruturais devero ter as lajes de piso mesma cota;

Nos painis de parede de alvenaria inclusas entre os elementos estruturais principais, procurar no

posicionar as aberturas (portas, janelas, vos em geral) em zonas de contacto entre os elementos estruturais

principais (vigas, pilares e paredes) e o painel de alvenaria; na disposio dos painis de alvenaria, comparticular incidncia nos painis exteriores, evitar a constituio de vos rasgados ou de quaisquer outras

configuraes que propiciem a formao de mecanismos de coluna curta (short column).

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Mau Bom Mau Bom

Mau Bom Mau Bom

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Para um edifcio ser classificado como regular no plano, satisfar todas as condies listadas nos pargrafos

seguintes:

Com respeito rigidez lateral e distribuio de massa, a estrutura do edifcio ser

aproximadamente simtrica em plano com respeito aos dois eixos ortogonais;

A configurao no plano ser compacta, i.e., cada pavimento ser delimitado por uma linha

poligonal convexa. Se este pavimento tiver reentrncias/salincia (nos cantos ou no seu contorno), a

regularidade no plano ainda pode ser considerada se essas singularidades no afectarem a rigidez

desse plano, para cada reentrncia/salincia isso significa que a rea entre o contorno do piso e uma

linha convexa poligonal envolvendo o mesmo no excede 5 % da rea de pavimento.

A rigidez no plano dos pavimentos dever ser suficientemente grande, em comparao com a rigidez

lateral dos elementos estruturais verticais, de modo que a deformao do piso tenha um efeito

pequeno na distribuio das foras entre os elementos estruturais verticais;

Neste respeito, formas de pavimento em L, C, H, I e X devem ser cuidadosamente examinadas,

devendo ser notvel a preocupao com a rigidez dos ramos laterais, que deve ser comparvel parte

central, para satisfazer a condio rgida de diafragma;

A esbelteza = Lmax/Lmin (dimenses em planta) no ser mais alta que 4, onde respectivamente

temos a maior e a menor dimenso do edifcio em planta;

Em cada nvel, e para cada direco X e Y, a excentricidade estrutural, e 0, e o raio torsional, r,

estaro em condies de acordo com:

eox 0.30 rx

rx Ls

(considerando, no caso, a direco de Y de anlise)Onde:

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eox a distncia entre o centro de rigidez e o centro de massa, medida ao longo da direco de X,

a qual normal direco de anlise considerada (Y);

rx a raiz quadrada da razo entre a rigidez de torsional e a rigidez lateral na direco de Y

("raio torsional");

Ls o raio de girao da massa do piso no seu plano (raiz quadrada da relao de do momento

polar de inrcia da massa do piso cho em plano, com respeito ao centro de massa desse piso.

O critrio para regularidade em elevao para um edifcio ser classificado como regular em elevao,

dever satisfazer todas as condies alistadas nos seguintes pargrafos.

Todos os sistemas resistentes laterais (contraventamentos), tal como ncleos, paredes estruturais, ou

prticos, correro sem interrupo desde as fundaes ao topo do edifcio ou, se singularidades em

alturas esto presentes, ao topo da zona relevante do edifcio para cada uma destas partes;

Tanto rigidez lateral como a massa individual dos pisos permanecero constante ou a sua reduo

ser realizada gradualmente, sem mudanas bruscas, da base ao topo do edifcio;

Em edifcios porticados a relao da resistncia real de cada piso, em relao requerida pela

anlise, no deve variar desproporcionalmente entre pisos adjacentes;

Quando singularidades esto presentes, as seguintes condies adicionais aplicam-se:

Para singularidades graduais conservando simetria de axial, a singularidade em qualquer piso

no ser superior a 20 % da dimenso do piso na direco da singularidade, conforme figura (a)

e (b) abaixo;

Para uma nica singularidade abaixo dos 15 % da altura total do sistema principal, a

singularidade no ser maior que 50 % da dimenso do piso, conforme figura (c) abaixo. Neste

caso a estrutura da zona de base, dentro do permetro vertical projectado dos pisos superiores,

deve ser concebido para o resistir, pelo menos, a 75% das foras de corte horizontais que

desenvolveriam nessa zona num edifcio semelhante mas sem alargamento da base;

Se as singularidades no conservam simetria, em cada face a soma das singularidades de todos

os pisos no ser maior que 30 % da dimenso no plano do piso trreo acima da fundao, ou

acima do topo de uma base rgida, e as singularidades individuais podero ser superiores a 10 %da dimenso em planta, conforme a figura (d).

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Consequncias da regularidade estrutural na anlise e dimensionamento ssmico

Regularidade Simplificao permitidaCoeficiente deComportamento

Planta Altura Modelo Anlise elstica e linear (para anlise linear)

Sim Sim Plano Esttica (a) Valor de referncia

Sim No Plano Sobreposio Modal Valor reduzido

No Sim Espacial (b) Esttica (a) Valor de referncia

No No Espacial Sobreposio Modal Valor reduzido

(a) Se o perodo fundamental de vibrao T1 4Tc e T1 2.0, com Tc definido na tabela 3.2 e 3.3 do EC8.(b) Dentro das condies estabelecidas no ponto 4.3.3.1(8) do EC8, um modelo plano pode ser usadosegundo as duas direces principais horizontais (includo frente).

Assim:

Em geral a estrutura pode ser considerada como um nmero de sistemas resistentes verticais e

laterais, ligados por diafragmas horizontais.

Quando os pisos do edifcio podem ser tomados como diafragmas rgidos em seus planos, as massase os momentos de inrcia de cada um destes podem ser referidos ao seu centro de gravidade.

Para edifcios que se adaptam ao critrio de regularidade em planta, ou com as condies

apresentadas em 4.3.3.1(8) do EC8, a anlise pode ser executada partindo de dois modelos de planos,

um para cada direco principal (ver seguidamente).

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Notas de concepo de estruturas de beto e mistas de edifcios (EC8)

Em edifcios de beto e em edifcios ao-beto compostos e em edifcios de alvenaria resistente a

rigidez dos elementos que suportam a aco ssmica devia, em geral, levar em conta a avaliao da

fissurao. Sobretudo tendo em considerao o efeito no linear dos sismos. Tal rigidez deve

corresponder ao incio da cedncia dos vares de ao.

A menos que uma anlise mais exacta dos elementos fissurados, a rigidez de flexo elstica e a rigidez

ao corte de elementos de beto e alvenaria pode ser tomada semelhante a metade da rigidez

correspondente aos elementos no fissurados.

As paredes de alvenaria de enchimento que contribuem significativamente rigidez lateral e resistncia

do edifcio, devem ser levada em conta.

A deformabilidade da fundao ser levada em conta no modelo, sempre que pode ter uma influncia

total adversa na resposta estrutural

As massas sero calculadas com base nas cargas de gravidade aparecendo na combinao de aces.

Para explicar incertezas na situao de massas e na variao espacial do movimento ssmico, o centro

calculado de massa em cada piso a ser considerado ter que se deslocar da sua situao nominal, em

cada direco, de uma excentricidade acidental: eai = 0,05Li, sendo esta excentricidade acidental de

massa, do piso i, obtida da sua localizao nominal, aplicando na mesma direco em todos os pisos,

em que Li a dimenso do piso na direco perpendicular aco ssmica.

Os efeitos ssmicos e os efeitos das outras aces podem ser determinados pelo comportamento linear e

elstico da estrutura. Assim, o mtodo de referncia para determinar os efeitos ssmicos sero a anlise

modal por espectro de resposta, usando um modelo elstico (em termos materiais) e linear (em

termos geomtricos) da estrutura e o espectro (acelerao) de regulamentar projecto. Dependendo das caractersticas estruturais do edifcio, um dos seguintes dois tipos de anlise elstico e

linear podem ser usados:

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1) O "mtodo de anlise lateral esttico/fora" para edifcios encontrando as condies dadas em

4.3.3.2 do EC8 (este tipo de anlise pode ser aplicado a edifcios cuja resposta no afectada

significativamente por contribuies de modos de vibrao mais altos que o modo fundamental,

em cada direco principal, podendo a frequncia ser determinada pelo Mtodo de Rayleigh, por

exemplo);

2) A "anlise modal por espectro de resposta", que aplicvel a todos tipos de edifcios.

Como uma alternativa a um mtodo linear, um mtodo no-linear tambm pode ser usado, tal como:

1) Anlise esttica no-linear (pushover);

2) Anlise no-linear com integrao no tempo (dinmica).

Notas de concepo de estruturas metlicas de edifcios (EC8)

As recomendaes realizadas para edifcios de beto e mistos mantm-se em tudo que for aplicvel, sendo os

edifcios resistentes a sismos fabricados em ao projectados de acordo com um dos seguintes conceitos:

Conceito A) - Comportamento estrutural de baixa dissipao (de energia ssmica); Conceito B) - Comportamento estrutural de dissipativo (de energia ssmica).

Reparar que a admissibilidade dos pisos se comportarem como diafragmam rgidos no seu

plano condio base para todos os modelos descritos, da a importncia das lajes macias (de

beto armado ou mistas) no projecto em zonas ssmicas.

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Importncia do solo (EC8)

Tipos de solo (EC8)

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ZONAMENTO DO TERRITRIO [RSA art. 28]

Considera-se o pas dividido em quatro zonas, em que na ordem decrescente, de ndice de sismicidade, so

classificadas e designados por: A, B, C, D. A sua quantificao, em termos de incidncia ssmica, feita a

partir do coeficiente de sismicidade , conforme Quando I, do Captulo VII Aco dos Sismos, do RSA.

Tabela I Valores do Coeficiente de Sismicidade,

Zona Ssmica

A

B

C

D

1,0

0,7

0,5

0,3

A delimitao pormenorizada destas zonas est no ANEXO III do RSA, que se reproduz, bem como mapa

que tem por base todos os sismos sentidos em Portugal continental.

Zonas Ssmicas (EC8)

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Caractersticas principais (no so independentes):

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Durao Valores de pico da acelerao Contedo espectral

Durao no RSA dos sismos tipo:

Tipo I 10 segundos

Tipo II 30 segundos

Espectros de resposta:

Clculo a partir de espectros de potncia:

Clculo a partir de sismogramas.

Simulao numrica de sismogramas:

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Compatveis com espectros de potncia; Compatveis com espectros de resposta.

Princpio:

Um processo estocstico, estacionrio, ergdico e gaussiano de mdia nula completamentecaracterizado pela funo de auto-correlao ou, o que o mesmo, pela sua funo densidade

espectral de potncia:

A caracterizao da estrutura probabilstica pode ser feita atravs de distribuies de probabilidadeconjunta, funes caractersticas, momentos estatsticos, etc.

Numa identificao adjectiva dos princpios acima referenciados, clarifica-se:

Um processo diz-se estacionriose possuir uma caracterstica aleatria significativa; Um processo diz-se estacionriose a sua estrutura probabilstica no depender da origem de t

tempo de durao do fenmeno; Um processo diz-se ergdico se a sua estrutura probabilstica puder ser obtida de uma nica

realizao: Um processo diz-segaussianose puder ser completamente caracterizado pela funo densidade de

probabilidade de Gauss (em forma aproximada sinusoidal). Neste caso s existem momentosestatsticos at ordem 2 (mdia e desvio padro).

A ideia simplificar matematicamente o fenmeno ssmico, o que, mesmo assim, no deixa de ser complexa.

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Espectros de Resposta do RSA e do EC8:

ZZoonnaa AA,, TTeerrrreennoo ttiippoo II

Espectros de Resposta do EC8:

Comparao dos Espectros de Resposta do RSA e EC8:

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Conceito do espectro de Resposta Base actual (EC8):

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Exemplo prtico (da componente vertical e horizontal do sismo) :

Uma ponte:

A ttulo de exemplo, as piores situaes so:

(i) Na aco vertical do sismo: o esborrachar da ponte, pois ir destruir as cabeas dos pilares ou punoar

o tabuleiro (se a laje for fungiforme situao rara) e/ou;

(ii)Na aco horizontal do sismo: a destruio da zona das juntas extremas da ponte (batimento desta nos

apoios dos encontros).

Na quantificao da aco dos sismos apenas so tidas em conta as aces vibratrias transmitidas pelo

terreno estrutura.

QUANTIFICAO DA ACO DOS SISMOS [RSA art. 29]

Definies importantes:

Para alm do coeficiente de sismicidade, (Quadro I), relacionado com o local geogrfico dentro do

territrio nacional, tambm,para a definio dos Valores Caractersticos da aco dos sismos, a

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natureza do terreno importa. Deste modo, so preconizados trs tipos de terrenos. classificados

por: Tipo I, II, III. Sendo:

Tipo I: Solo rochoso ou coerente rijo;

Tipo II: Coerente muito duros, duros e de consistncia mdia; incoerentes

compactos;

Tipo III: Coerentes moles e muito moles; incoerentes soltos.

Valores reduzidos da aco dos sismos so nulos (incluindo o valor raro 0 = 1 = 2 = 0);

Em geral, apenas necessrio considerar direces de actuao da aco dos sismos no plano

horizontal, na medida em que na direco vertical s quando as estruturas sejam especialmente

sensveis a vibraes nesta direco. No que se refere ao disposto em 29.4 (R.S.A), como exemplo

de casos em que dever considerar-se a aco ssmica na direco vertical, podem referir-se as

estruturas com modos de vibrao caracterizados por frequncias prprias inferiores a cerca de 10

Hz, a que correspondam configuraes com deslocamentos significativos na direco vertical (o

que, na verdade, no alberga uma quantidade de construes significativa).

DETERMINAO DOS EFEITOS DA ACO DOS SISMOS [RSA art. 30]

A determinao dos efeitos da aco dos sismos deve ser efectuada por mtodos de anlise dinmica, de

acordo com o indicado em 30.2 e 30.3 (RSA), podendo, no entanto, utilizar-se tambm os processos

simplificados de anlise esttica apresentados em 30.4 e 30.5 (RSA).

Conceito importante:

MOBILIDADE Sensibilidade das estruturas aos deslocamentos laterais.

Ns FIXOSNs MVEIS

N N

N . = considervel = Madicional N . = no considervel = Mdesprezvel

FF

NM

NM

NM

NF

NF

NF

Estas duas figuras do continuidade ao que temos visto, relacionado a rigidez aos deslocamentos horizontais

com a sua classificao quanto mobilidade lateral, designando-se estruturas de ns MVEIS, ou de ns

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FIXOS, conforme os deslocamentos transversais sero considerveis ou no para o clculo dos esforos (se

so ou no geradas excentricidades significativas entre as bases e topos dos elementos verticais, gerando

efeitos de 2. ordem momentos adicionais: M = Mconvencionais + N.e).

Mtodos de anlise dinmica(RSA art. 30.2 e 30.3):

Primeiramente devemos relembrar que, simplificadamente, a Dinmica Estrutural estuda aco que o sismo

provoca nas construes, ao induzir-lhe aceleraes que tem como resposta o aparecimento de foras

inrciais nas massas da estrutura, pois que estas so mobilizadas pelo efeito vibratrio ssmico.

De forma ilustrativa, diramos que o sismo movimenta, por agitao, a base das estruturas, tendo as massas

destas (designadamente concentradas ao nvel dos pisos) tendncia para resistirem ao deslocamento que lhe

imposto, dado as suas grandes inrcias.

Devem-se ter em conta a quantificao das vibraes ssmicas (artigo 29 do RSA) e considerar as massas

correspondentes ao valor mdio das cargas permanentes e ao valor quase permanente das cargas variveis

que actuam na estrutura.

Por outro lado, as caractersticas de rigidez e amortecimento a adoptar devem corresponder a valores mdios

das propriedades dos materiais.


Eq. Equilbrio Dinmico: K.d + A.v + M.a = F

K, Rigidez (K.d = F) Conceito ESTTICO

A, Amortecimento (A.v = F) Conceito CINEMTICO

M, Massas (M.a = F) Conceito DINMICO

d deslocamento; v velocidade; a - acelerao

O quociente entre o menor dos valores mximos das componentes horizontais da reaco global da

estrutura sobre a fundao, nas diversas direces, e o valor das cargas correspondentes s massas

consideradas, no deve ser menor que 04,0 .

Se o valor do quociente for inferior ao limite indicado, os resultados obtidos pela analise dinmica devero

ser multiplicados por 04,0 .

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No caso de esse quociente ser superior a 16,0 e a estrutura apresentar uma certa ductilidade, os

resultados daquela anlise podero ser divididos por 16,0 .

Quantificao das massas

Estruturas porticadas e de uma s massa (reservatrios, silos, etc):

Edifcio em Altura Reservatrio Elevado

3 3 2 3m G Q= +

2 2 2 2m G Q= +

1 1 2 1m G Q= +

Um reservatrio de gua

m m/2

Ambas so desfavorveis para os SISMOS

Para o VENTO, a situao mais desfavorvel com odepsito vazio.

Efeitos das singularidades nas estruturas

A figura seguinte mostra-nos uma situao em que a existncia de meia parede no favorvel para a aco

dos sismos, pois ter momentos mximos no meio do pilar. Ora, muito provavelmente, os clculos de

projecto foram realizados com a estrutura sem este impedimento deformao desses elementos verticais,

surgindo situaes de imprevisibilidade em caso de sismo.

Esta tambm a situaomais desfavorvel

para fins de clculo deaces gravticas daestrutura

Esta a situao maisdesfavorvel

para fins de clculo dasparedes ( )3221 ou

RRR Q)100-0%(+G=m

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36/119= *l

EI12f

3 = *hEI3

f3

f2

f2

f1

f1

A situao comum, de clculo corresponde figura acima, admitindo os pilares soltos. Todavia, a situao

acima descrita poder ficar coberta pelo facto de, em princpio, as armaduras (de flexo-compresso e esforo

transverso) obtidas deste modo, no serem inferiores, pelo que sanar o problema.

nosns

que a

aco

ssmic

a tem

o seu

efeito

maisassina

lvel,

dado

o

valor dos esforos concentrados nessa zona.

Tipos de estruturas (e sua forma de deformao a aces horizontais)

PRTICOS PAREDES

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MISTAS

Nas estruturas em que os elementos no estejam dispostos em malha ortogonal, poder considerar-se que a

aco ssmica actua separadamente segundo as direces em que a estrutura se desenvolve, devendo-se ento

proceder a uma anlise complementarpara ter em conta os efeitos da toro.

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X

Y

- Centro de Rigidez

- Centro de Massa

Estrutura Regular de 9 Pilares Estrutura Irregular de 8 Pilares

A excentricidade entre CM e CRprovoca a toro da estrutura

NOTA: Numa estrutura perfeitamente regular, a aco ssmica conjunta nas duas direces pode provocar

um efeito idntico ao da toro em estruturas irregulares, atendendo a desfasamento nos modos de vibrao.

Contudo, esta situao difcil de poder coexistir: idntica magnitude em direces ortogonais.


DUCTILIDADE Capacidade do material se deformar sem perder a resistncia.

Em geral, pode admitir-se o comportamento linear para efeitos de clculo da aco ssmica e corrigir os

resultados, dividindo-os porcoeficientes de comportamento() que dependem do tipo de estrutura (prtico,

mista prtico-parede, parede) e das suas caractersticas de ductilidade (ductlidade normal ou ductilidade

melhorada).

Normalmente para o clculo das aces ssmicas, considera-se sempre, ou quase sempre, que os materiais

ultrapassam o seu Limite Elstico.

E= Coef. Comportamento para Esforos = Esforos Reais / Esforos Elsticos 1

d= Coef. Comportamento para Deslocamentos = Deslocamentos Reais / Deslocamentos Elsticos 1

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Deformao Elstica de Clculo

Deformao Real Inelstica

Limite Elstico

Real

Limite Elstico

Real

Sistema de 1 grau de liberdade em deslocamento crescente (Fonte: SMEE - DECivil IST)

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Segundo o art. 30 do RSA:

Poder admitir-se que a estrutura apresenta um comportamento elstico linear e corrigir os resultados assim

obtidos dividindo-os pelo correspondente coeficiente de comportamento. O coeficiente de comportamento

define-se para uma determinada grandeza (esforo, deslocamento, etc.), para uma determinada estrutura e

para uma determinada aco ssmica, tendo a pretenso de correlacionar o valor mximo da grandeza

determinada por modelos lineares (idealizados) e no lineares (reais).

(Fonte: SMEE - DECivil IST)

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Risco ssmico, grau de importncia das estruturas e ductilidade

O risco ssmico, de que depende a definio das aces ssmicas de projecto, est ainda relacionado com o

tipo de estrutura e com a sua importncia para a comunidade.

O tipo de estrutura fundamentalmente definido de acordo com as caractersticas de ductilidade dos

materiais utilizados e com a prpria geometria da estrutura. No RSA considerado um coeficiente de

comportamento () no clculo da aco ssmica, o qual depende no s da ductilidade e geometria da

estrutura mas tambm do grau admitido na explorao dessa ductilidade. Este coeficiente destina-se a

corrigir os efeitos da aco dos sismos obtidos atravs de uma anlise linear e elstica das estruturas, com

vista a transform-los em valores que se obteriam por uma anlise no-linear (material e geomtrica).

Estruturas de beto armado

No caso particular das estruturas de beto armado ou pr-esforado o regulamento nacional aplicvel o

REBAP (at 2010, data em que se prev a entrada em vigor dos Eurocdigos), o qual distingue dois tipos de

estruturas de acordo com a sua ductilidade:

Estruturas de ductilidade normal, as quais se limitam a obedecer s disposies de projecto e

disposies construtivas mnimas definidas nos captulos X e XI daquele regulamento. Estruturas de ductilidade melhorada, as quais obedecem a disposies de projecto e construtivas

adicionais definidas no captulo XII do mesmo regulamento.

Para alm das disposies construtivas que constam no captulo X e XI do REBAP, tambm o captulo XII

(complementar ao Cap. X e XI) encerra conceitos e disposies construtivas importantes no contexto sismo-

resistente (estruturas de ductilidade melhorada - art. 142 ao 176 do REBAP).

O REBAP apresenta valores do coeficiente de acordo com o tipo de estrutura resistente e com a ductilidadenos seus art./os 33.2 e 33.3. Estes valores encontram-se aqui resumidos no quadro abaixo. Neste domnio o

EC8 apresenta uma abordagem bastante mais completa, para alm de fornecer valores para outros tipos de

materiais.

No que respeita importncia das estruturas para a comunidade, estas devem ser classificadas de acordo com

os danos permitidos em caso de catstrofe ssmica. Um exemplo de classificao poderia ser a seguinte:

Estruturas crticas: Hospitais, esquadras de polcia e quartis de bombeiros, unidades militares,sistemas de comunicaes e rdio, fornecimento de gua, electricidade e gs, centros de proteco civil,

grandes barragens ou centrais trmicas, pontes em itinerrios fundamentais.

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Estruturas importantes: Hotis e edifcios de escritrios, edifcios pblicos, igrejas, escolas e grandes

complexos industriais e comerciais.

Estruturas comuns: Armazns, edifcios agrcolas, moradias unifamiliares.

Valores do coeficiente de comportamento em estruturas de beto armado e pr-esforado

Tipo de Estrutura resistenteCoeficiente relativo a esforos

Ductilidade normal / Ductilidade melhoradaEstruturas crticas Outras estruturas

Edifcios correntes com estrutura de: Prticos resistentes 1.75 / 2.45 2.5 / 3.5 Prticos e paredes resistentes 1.4 / 1.75 2.0 / 2.5 Paredes resistentes 1.05 / 1.4 1.5 / 2.0Pontes correntes em que a energia ,fundamentalmente, dissipada por:

Deformao de flexo dos pilares 1.4 / 2.1 2.0 / 3.0 Idem por esforo transverso 1.0 / 1.2 1.4 / 1.7 Encontros 1.0 1.2Coeficientes relativos a:

Devem ser tomados iguais a 1.0 Esforos gerados pela vibrao vertical Deformaes

Este tipo de classificao deve ser tido em conta quando da verificao da segurana estrutural, permitindo,

por exemplo, que as estruturas consideradas crticas ou importantes tenham mais reservas de resistncia e

tenham comportamento dctil na rotura, de forma a poderem dissipar grandes quantidades de energia durante

o sismo.

Estruturas metlicas

Segundo o REAE:

Art. 6.3 - Os coeficientes de comportamento, a utilizar segundo os critrios definidos no RSA para a

determinao dos efeitos da aco dos sismos, devem ser convenientemente justificados, tendo em conta o

tipo de estrutura e as caractersticas de ductilidade da construo.

No caso de edifcios correntes, tal como so definidos no RSA, podem adoptar-se os seguintes coeficientes

de comportamento para esforos:

1) Para vibraes nas direces horizontais:

Prticos sem elementos de rigidez... 2,5

Prticos com elementos de rigidez (paredes ou trelias)... 1,5

Prticos de tipo misto... 2,0

2) Para vibraes na direco vertical... 0,8

3) Para o mesmo tipo de edifcios o coeficiente de comportamento relativo a deformaes poder

tomar-se igual a 0,7.

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Como se sabe, os coeficientes de comportamento destinam-se a corrigir os efeitos da aco dos sismos

obtidos por uma anlise linear, de modo a transform-los nos valores que se obteriam por uma anlise

no linear. Compreende-se, assim, que estes coeficientes, alm de serem funo do tipo de estrutura e

das suas caractersticas de ductilidade, dependam tambm do efeito em causa e da quantificao dos

parmetros utilizados na anlise linear. No presente Regulamento apenas so quantificados os

coeficientes de comportamento para edifcios correntes, tendo-se considerado suficiente definir

coeficientes relativos aos esforos e s deformaes, sem distinguir o tipo de esforos ou de

deformaes.

O valor do coeficiente ssmico de referncia, () (ndice 0), definido no artigo 31 do RSA, diz respeito a

um amortecimento com o valor de 5% do amortecimento crtico, enquanto usualmente se admite para as

estruturas metlicas um valor da ordem de 2%.

Os valores dos coeficientes de comportamento apresentados tm, naturalmente, este facto em

conta.

Segundo o EC8 (valores mximos em complemento tabela anterior):

Lembra-se que por edifcios correntes se entendem aqueles que obedecem s condies para tal

especificadas no RSA e que implicam que as estruturas tenham uma distribuio de rigidez

aproximadamente uniforme em altura, o que no compatvel com grandes descontinuidades nadistribuio das alvenarias de andar para andar ou com o emprego de processos de construo que

possam facilitar que essa descontinuidade se crie durante a ocorrncia de um sismo.

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No caso de edifcios no correntes, os coeficientes de comportamento a adoptar devem ser

convenientemente justificados, devendo, porm, considerar-se os valores apresentados no artigo como

limites superiores.

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Condies ductilidade melhorada segundo o REBAP

REBAP / Artigo 142 (Generalidades)

Visa aumentar a ductilidade das estruturas face s aces ssmicas, sendo necessrio assegurar que as roturas

sejam condicionadas pelas armaduras e no pelo beto, evitando rupturas frgeis.

Por outro lado, o beto confinado suporta tenses mais elevadas do que aquele que no se encontra sob um

estado bi ou triaxial de compresso. A sua confinao pode-se obter utilizando boas cintagens, o que tambm

conduz a uma segurana adicional relativamente ao esforo transverso.

Utilizao de boas cintagens. Diminuindo o espao entre os estribos, teremos um melhoramento da

ductilidade da estrutura, tendo melhores armaduras e menores tenses no beto ( cdIIIcdIIcdI f

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a

f P1

f

b

2a

P2

m1 2

h

Vigas ALTASe CURTAS

REBAP / Artigo 143 (Vigas de prticos)

Refere-se a vigas em estruturas de ductilidade melhorada, em que:

4>hl

Esta condio imposta no sentido de limitar o MXIMO

4h

b da relao hl , pois sabemos que

lEI

=k , ou seja, como a

e rigidez de uma viga est directamente relacionada com o

cm20b comprimento ( l) e altura (atravs da inrcia [I]), podemos

concluir que as vigas curtas ( l pequeno) e altas (h grande)

so absorventes da aco dos sismos:A RIGIDEZ atrai a

fora do SISMO!!!

Por outro lado, sendo as vigas ser mais resistentes que os pilares, pode

conduzir a que as rtulas plsticas provocadas pela aco ssmica se formem nestes ltimos elementosresistentes, o que pode conduzir ao colapso da estruturas.

Exemplos prticos (algumas situaes):

Esta figura mostra-nos, mais uma vez, que nos NS que aco ssmica mais significativa para uma

estrutura.

Assim sendo, devemos evitar uma possvel rotura nos pilares e nas vigas, mas se tiver que acontecer, que

seja nas vigas, pois iremos estar visando os efeitos de segurana (dado que mesmo que estas formem rtulasnos seus extremos, ainda permanecem isostcticas, mas mesmo que desse o seu colapso, o seu efeito seria

restritamente local).

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f Viga ALTAf

Rtula noPILAR

Rtula daVIGA

Ento, caso tenhamos uma estrutura porticada com viga alta, a resistncia desta ser maior que nos pilares e

caso ocorra uma aco ssmica, esta poder causar roturas na cabea/base dos pilares e, consequentemente, o

colapso total do edifcio. Outro caso, ser uma estrutura compilares mais robustos que as vigas (e/ou lajes),

que poder conduzir a um possvel mecanismo das ltimas ou, mesmo, a uma rotura parcial do edifcio,

devido plastificao das vigas (mas sem colapso global).

REBAP / seco 143.2: indica-nos a percentagem e a localizao da ARMADURA LONGITUDINAL,

limitando a compresso mxima no beto para que a estrutura no sofra uma rotura frgile tambmlimitaa quantidade de armadura ( sA ) de flexo.

f1

f2

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2d

As+

As+ d

As

f ? f ?

As

f fAsAs

As21 As2

1

As As

+ As21

As = 26 >= 212

cdc ff

d3,0

x

Para limitar a compresso.

Deve-se ter a ateno que As no deve ser inferior a 50%

de +As na extenso 2de vice-versa (no existindo desequilbrios

acentuados entre estas armaduras).

Por outro lado, no caso de se dar um sismo, nunca se sabe de que lado vir, devendo-se reforar-se os ns de

ambos os lados devido a aco mais grave do peso das sobrecargas, como mostra figura abaixo. Verificando

estas condies, a viga poder se deformar sem que o beto fique previamente comprimido.

REBAP / Seco 143.3:

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f

Muitas vezes, as vigas so pormenorizadas com o mnimo de 2

vares de 6mm em cada face. Contudo, para estruturas de

ductilidade melhorada devero ser construdas no mnimo com 2

vares de 12mm.

A figura anterior mostra-nos uma situao em que se deve ter muita ateno. No centro da viga, os esforos

podero variar muito consoante a direco e a intensidade do sismo, por isso a necessidade de se ter

armaduras ao longo de todo o comprimento da viga (positivas e negativas). Nas extremidades, a situao sersemelhante, da a necessidade da armadura ter a extenso mnima 2de no possuir emendas ou interrupes

(Seco 143.4).

REBAP / Seco 143.4:

2d2d

A importncia de no ter emendas ou interrupes no intervalo de 2d so variadas para a estrutura de

ductilidade melhorada, a principal que se diminui o risco de colocar armaduras em excesso e

consequentemente aumenta a segurana de toda a estrutura.

REBAP / Seco 143.5:

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50/119

ff

finalsdrd V

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2d

15cm

10cm

2d

cm5

REBAP / Seco 143.6:

Exemplo prtico:

Qual a maior altura (h) que uma viga com 6m comprimento (l) pode ter para uma estrutura de ductilidade

melhorada?

m5,1hl

m6=l

REBAP / Artigo 144 (Pilares)

No REBAP / Seco 144.1, diz-nos que os pilares deve satisfazer a seguinte condio:

ccdsd AfN **6,0

Em casos normais teramos 0,85 a multiplicar pelo valor de clculo da tenso de rotura compresso do

beto e pela rea de seco transversal do pilar, mas como estamos a falar de estruturas de ductilidade

melhorada, temos 0,6,para que o beto no esteja demasiado comprimido, propiciando roturas frgeis.

Tambm houve uma reduo de metade do valor mximo da esbelteza(), em de 140 (artigo 64) passou a

ser70.

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Vsd Msd (Considerados)

rd (Existentes)

l

Alm disso, aumentou a menor dimenso da seco transversal do

pilar, que passou a ser de 30cm (contra 20 cm das estruturas

correntes - artigo 120).

J no REBAP / Seco 144.2 mostra-nos que em caso algum a seco total da armadura longitudinaldeve

ser inferior a 0,8% para o beto A235 e 0,6% para o A400 e A500. O artigo 121 (REBAP) nos dizia a

mesma coisa, porm com algumas excepes. Mais uma vez, esta condio justifica-se para que o beto no

esteja excessivamente compresso.

REBAP / Seco 144.3, para no fugir as ideias das seces anteriores, mostra-nos que a seco total da

armadura longitudinalno deve exceder6%, sendo que no artigo 121 (REBAP) 8%, mesmo em zonas de

emenda de vares por sobreposio.

REBAP / Seco 144.4:

interiorcA Esta medida tambm visa salvaguardar que as rtulas (caso

haja) se situem nas vigas e no nos pilares.

REBAP / Seco 144.5:

)(

pilarh

MMVA

drd

erd

sw =

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53/119

h

a

Pilar

b

8//10cm

lv lp

15cm

Esta situao possvel, porque caso ocorra um sismo, poder existir traces nos pilares. Se tivermos

compresses, podemos at considerar favorvel, pois ir aumentar a resistncia e quando no muito o beto

aguenta bem; enquanto as traces s iro prejudicar.

REBAP / Seco 144.6 e 144.7:

b

a

h61

C

Para conferir uma maior rigidez e,

sobretudo, confinamento do beto nas

zonas extremas do pilar.

No devem ser realizadas emendas ou interrupes nas zonas extremas do pilar e sim a meia altura,

pois os momentos so menores.

REBAP / Artigo 145 (Ns de Prticos)

REBAP / Seco 145.1: Igual s vigas.

REBAP / Seco 145.2:

Se pv ll e nenhuma viga com altura inferior a 43 de altura da viga mais alta, ento pode-se 2

swA .

REBAP / Artigo 146 (Paredes e Diafragmas):

60

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54/119

Cm

3

2 1

X

ph

10

1

Para evitar

paredel101

ou

2 e

Processos simplificados de anlise esttica (RSA art. 30.4 e 30.5):

Centro de massa

( )

=i

xiix

m

d*mCm

1 -22

15m

KN

m

q =

2 - 22 10 mKN

mq =

2l

ht

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55/119

f 1h

3 - 22 20 mKN

mq =

[ ]Kgf

smN

g

fmamf

2

* ===

Clculo do Centro de massa:

( ) ( ) ( )[ ]m

mmg

mmmg

CgCmm

KN

mmxdm

mKN

xx 85,1125*15*2010*35*1015*15*15

5,12*15*25*205*10*35*105,17*15*15*15

2

2

325,710)(11

=++

+

+

==

+=4847648476876444 8444 76

( ) ( ) ( )[ ]m

mmg

mmmg

CgCmm

KN

mmydm

mKN

yy 80,2125*15*2010*35*1015*15*15

5,7*15*25*205,32*10*35*105,42*15*15*15

2

2

325,735)(11

=++

+

+

==

+=4847648476876444 8444 76

Centro de rigidez

RigidezL

IEK *=

a

a

2a

Y

aCr

2a

6a

a X2a

5a

2aa

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Clculo do Centro de rigidez:

Normalmente temos que iEe iL so constantes. Assim sendo:

2

6aCry =

( ) ( )

== nxi

nxi

xi

n

i

xii

nxi

i

xii

nxi

nxi

xi

x

I

dI

LIE

dL

IE

K

dKCr

1

1

1

1

1

1

*

*

**

*

2 2a apI

a apI

( ) } ( )

( )

+

+

=

32143421

4847687648476

12

**2

12

2*2*2

25*12

**2*

12

2*2*2

33

33

aaaa

aaaa

aaa

Cr

dd

x

aapI

2*2 aapI*

Considerandoa = 1m, teremos:

( )( )

mCrx 2,118*2

5,4*11*8*216

=+

+=

876

mCry 32

6==

Exerccio:

Um edifcio de 14 pisos temf = 1,2 Hz. Classifique-o quanto sua deformabilidade face ao Artigo 30.6 do

R.S.A..

Temos que f = 1,2 Hz, em que

==

57,014

88

5,0

pisosn

e

Hz

f

Ento, de acordo com o R.S.A., podemos dizer que o edifcio no demasiado deformvel.

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57/119


57/119

f

b = 15m

COEFICIENTES SSMICOS [RSA art. 31]:

Exerccios:

a) Considere um edifcio com estrutura porticada de 12 pisos e diga qual a sua frequncia fundamental de

acordo com os critrios simplificados do RSA.

Em consonncia com a Seco 31.2, podemos calcular:

Hzfn

fpisos

112

1212===

Podemos ainda concluir: Quanto mais alto for o edifcio, menor a sua frequncia, maior a suadeformabilidade.

b) Considere um edifcio com estrutura prtico parede de 12 pisos e diga qual a sua frequncia

fundamental:

Em conformidade com a Seco 31.2, podemos calcular:

Hzf

n

fpisos

33,1

12

1616===

c) Considere um edifcio com estrutura parede de 12 pisos e o esquema da planta abaixo e diga qual a sua

frequncia fundamental:

De acordo com a Seco 31.2, podemos calcular:

Hzfh

b

f 5,23*12

15*6*6===

OBS.:

pisosn o n de pisos acima do nvel do terreno;

h Altura do edifcio acima do nvel do terreno;

b Dimenso em planta do edifcio segundo a direco do sismo;

f Expresso em Hz.

7/30/2019 Sismos_aulas 2010-2011

58/119


58/119

Y

6,0 m

6,0 m

0,30

0,30

6,0 m

6,0 m

0,30 2,0 m 2,0 m

4,0 m

1m

2

4,0 m

MTODO SIMPLIFICADO DO RSA (VALOR E DISTRIBUIO DAS FORAS ESTTICAS)

[RSA art. 32] versus ANLISE DINMICA

Exemplo N1 (ANLISE PELO MTODO ESTTICO EQUIVALENTE)

Considere o seguinte edifcio cuja estrutura no de ductilidade melhorada, ou seja, de ductilidade normal.

DADOS:

Carga Permanente (incluindo o Peso Prprio) =

26 mKN ;

Sobrecarga (Edifcio Habitao) = 22 mKN ;

2,02 = ;

Tipo de terreno: II;

Zona de ssmica: Porto; Estrutura em Beto Armado.

RESOLUO:

Clculo da carga total: 22 4,62*2,06* mKNCSCCPC tt =+=+=

Clculo do coeficiente ssmico nas duas direces ( ):

*0=

- Zona de ssmica: Porto 3,0= (R.S.A.- art.29.2, Quadro I);

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59/119


59/119

- Direces:

Direco X:

Temos uma estrutura mista prtico parede de ductilidade normal, logo 0,2=

(REBAP art.33.2). Ento:

=

===

;4,0:0,4,.

;82

1616

0fterrenoIIT

Hzn

f

(R.S.A. art.31.2 - Quadro II)

06,00,2

3,0*4,0 == xx

Direco Y:

Temos uma estrutura em prtico de ductilidade normal, logo 5,2= (REBAP

art.33.2). Ento:

==

=

===

048,05,2

3,0*4,0

;4,0:0,4,.

;62

1212

0

yy

fterrenoIIT

Hzn

f


Verificao dos valores:

Obtivemos:

048,0

06,0

=

=y

x

Temos ainda conferir a seguinte condio: *16,0*04,0

OK

KO

y

xx

=

4342143421

4342143421

048,0012,0

048,0012,0

3,0*16,0048,03,0*04,0

048,03,0*16,006,03,0*04,0

OBS.: Se a estrutura apresentar uma certa ductilidade no necessita ser considerado um valor maior que

*16,0 e neste caso, apesar de ser uma estrutura de ductilidade normal, ela em princpio apresentar essa

caracterstica (bastando adoptar as disposies construtivas elementares obrigatrias para uma estrutura de

ductilidade melhorada). Ento o coeficiente ssmico ser igual a 0,048. (R.S.A. art.31.2). Contudo, o valor

mnimo de *04,0 ter sempre de ser respeitado.

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60/119


60/119

C

Y

X

G G

Y

C

Clculo da aco do sismo:

=

ii

iiiKi Gh

GGhf

****

- 1Piso:

[ ] [ ]}

;12,22

2,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,4*048,0

2,6914,6*)6*18(*

;0,4

;048,0

21

11

22

1

1

KNff

KNm

KNmCAG

mh

GG

xKK

tpiso

=

+

=

===

=

=

=

}

.12,222,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,4*048,0

21

1 KNf

GG

yK =+

=

=

S porcoincidncia que yKf 1 igual ax

Kf 1 !!!

- 2Piso:

[ ] [ ]}

;24,442,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,8*048,0

2,6914,6*)6*18(*

;0,8

;048,0

21

22

22

2

2

KNff

KNm

KNmCAG

mh

GG

xKK

tpiso

=+

=

===

=

=

=

}

.24,442,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,8*048,0

21

2 KNf

GG

yK =+

=

=

S por coincidncia que yKf 2 igual ax

Kf 2 !!!

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61/119


61/119

9,0 m6,0 m

f 4

1

f 2

f 318,0 m

9,0 m

3,0 m

3,0 m

6,0 m

f 2

f 0

f 1

f 3

f 4

f 5

m

m

m

l

l

l

m

m

l

l

l

22,12 KN

44,24 KN

G1C

G2

1m

2m

Podemos concluir se os pisos tiverem a mesma massa e todas as alturas iguais, teremos:

OBS.: importante observar que o diagrama das foras ssmicas aumentaconforme tambm cresce a altura

do edifcio em relao ao solo, sendo perfeitamente triangular se as massas de todos pisos forem idnticas,

bem como a altura dos mesmos.

Exemplificando para o 1. piso:

Distribuio das foras (atendendo ao

art.32.2 do RSA: estruturas

simtricas na direco considerada e

elementos resistentes uniformemente

distribudos):

a

x6,01 +=

)( arregulamentfactorKj

Kiff

estruturadatotalrigidezdadentroiprticodorelativarigidez

alSsmicaTotiPrtico

=

43421

K

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62/119

KNKNff

m

m

KNKNff

m

m

estruturadatotalrigidezdadentroprticodorelativarigidez

xP

estruturadatotalrigidezdadentroprticodorelativarigidez

xP

034,01,1031,0][1,1*)12/3,03,02(2)12/0,23,02(2

12/3,03,0212,22

1,118

3*6,01

33,143,102,11][3,1*)12/3,03,02(2)12/0,23,02(2

12/0,23,0212,22

3,118

9*6,01

1

33

3

32

2

1

33

3

41

1

==

+

==

=+=

==

+

==

=+=

444444444 3444444444 21

444444444 3444444444 21

De reparar que no caso dos prticos XXs toda a fora ssmica absorvida pelos que possuem paredes

resistentes, dada a sua desproporcional rigidez face aos que apenas tem pilares.

No caso dos prticos em YYs, dado terem a mesma rigidez, basta dividir a fora ssmica total pelo seunmero.

{

KNKNffm

m

Prtin

yP 38,143,1*212,22

3,16

3*6,01

cos

211 ====+=

Estes so os valores da distribuio referente aos dois tipos de prticos!!!

TERMINAMOS DE VER UMA FORMA DE ANLISE:

- Processo Simplificado (mtodo esttico equivalente do RSA Aco Ssmica)

PARA DETERMINAR A ACO DO SISMO.

Porm, vejamos agora alguns exemplos prticos de UM MTODO DE CLCULO RIGOROSO DA

FREQUNCIA POR VALORES E VECTORES PRPRIOS:

Mtodos de Anlise Dinmica

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63/119


63/119

4,0 m

4,0 m

1m

2

4,0 m

4,0 m2m

m1

Exemplo N 2 - CLCULO DA FREQUNCIA POR ANLISE VIBRATRIA

Aproveitando o edifcio do exemplo anterior:

Dados:

[ ] [ ] KNm

KNmCAG

mKNC

tpisopiso

t

2,6914,6*)6*18(*

4,6

22

11

2

===

=

Massa do Piso1:

ton53,70ms8,9

2,691g

GM 2

1piso1piso ===

Massa do Piso 2 = Massa do Piso 1

Beto B25.

Equao de Equilbrio Dinmico: M.a + A.v + K.d = F

Viso simplista do fenmeno SSMICO: amf *=

Massa da estrutura Acelerao do sismo

1 Passo - Matriz de Massa da estrutura:

[1] [2]

=

53,700

053,70M

Y

6,0 m

6,0 m

0,30

0,30

6,0 m

6,0 m

,30 2,0 m 2,0 m

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64/119


64/119

2 Passo - Matriz de Rigidez (SIMTRICA):

K122

K111 K21

K22

4 m

4 m

=1

=1

Nota: Supondo que os elementos horizontais (Lajes) so indeformveis!

mKN

mKN

ParedesPilaresB

EE

l

EIK

E

E

pisosl

EIK

64,44

122*3,0

*4123,0*3,0

*4*29*1212

67,84

122*3,0

*412

3,0*3,0*4*29*12

*22*12

3

339

312

3

2*3,

3

3,0*3,0

325

9

311

=

+

==

=

+

==

4847648476

876

mKN

mKN

E

E

pisol

EI

K

E

E

l

EIK

64,44

122*3,0

*4123,0

*4*29*12

1*

12

64,44

122*3,0

*4123,0

*4*29*1212

3

349

322

3

349

321

=

+

==

=

+

==

A questo no contabilizar pilares ou prticos, por si, mas sim o nmero de pisos deformado para efectuar

o deslocamento pretendido. O que arrasta um nmero de pilares a contabilizar ao nvel do prtico (ou da

estrutura se a anlise for do seu conjunto).

)10(*4,44,4

4,47,8 6

=K

Por serem simtricas, so iguais!!!

Em geral, se a estrutura tiver elementos estruturais idnticos (seco e altura) e sendo n o seu nmero:

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65/119


65/119

~

3

0000000000

2000000000

200000000

20000000

2000000200000

..................

......000

...200

...20

...2

...2

.12

=

nn

nnn

nnn

nnn

nnnnnn

n

n

nnn

simtriconnn

nnn

nn

l

EIK

De notar que temos elementos estruturais do tipo parede, pelo que a sua rigidez seria mais correcta com o

uso, tambm aproximado e simplificado, da expresso:

K = 3EI/H3

com H a altura total do edifcio. Isto sucede porque a parede resistente funciona como uma grande consolaencastrada na fundao e livre no topo, uma vez que, na verdade, os pisos no conseguem absorver a rotao

que este elemento, muito mais rgido que os pavimentos, lhe provocam.

3 Passo - Clculo de frequncias da vibrao da estrutura:

[ ]{

[ ]{

{ }0*PrPr

2 =

prioVectorprioValor

MWK

[ ] [ ]( )0.

0. 2

=

=

ADet

MWKDet

66

2

26

10*53,700

053,70

104,44,4

4,47,8

53,700

053,7010*

4,44,4

4,47,8

=

=

WA

WA

= B

B

A *53,704,44,4

4,4*53,707,8

em que: 6

2

10

W

B =

( ) ( ) ( ) == 24,4*53,704,4**53,707,8. BBADet

=

==+

=+=

.162,0

;023,0092,18*94,923*48,4974

036,19*48,4974*33,310*61,61328,38

2

12

2

B

BBB

BBB

Como: 6

2

10

W

B = , ento teremos:

7/30/2019 Sismos_aulas 2010-2011

66/119


66/119

==

===

.49,40210*162,0

;66,15110*023,010*

62

616

srad

srad

W

WBW

E ainda, em acordo com a fsica, temos que: fW **2 = :

.06,64*2

49,402

*2

;14,24*2

66,151

*22

2

1

1

HzW

f

Hz

W

f

===

===

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67/119


67/119

f K1

3,0 m

f K2

3,0 m

P1PT4

PT3

P1

P1

PT2 P1

5,0 m

P1

5,0 m

P1

5,0 m

PT1 P1 P1

Exemplo N 3 (ANLISE PELO MTODO ESTTICO SIMPLIFICADO [R.S.A] E PELO

MTODO DINMINO SIMPLIFICADO DE RAYLEIGH)

1) ANLISE PELO MTODO ESTTICO SIMPLIFICADO [R.S.A]:

DADOS:

o P1 = 30*30cm;

o Tipo de terreno: II;

o Zona de ssmica: Porto;

o Estrutura em Beto Armado.

o E = 20 GPa.

o Ductilidade normal.

o Combinao Quase Permanente:

CP+ 2 *SC KNGt 25,640= .

RESOLUO:

Temos que KNGt 25,640= , ento por prtico1 teremos:

KNGGGGKNG

t

1601604

25,640

4321 =====

Assim sendo:

=

ii

iiiKi Gh

GGhf

****

1 indiferente resolver o exerccio por prtico ou pela estrutura no seu conjunto, porque a relao massa/rigidez semantm. Contudo, teremos que estar atentos para no existirem erros de contabilizao na distribuio de foras pelosprticos. Se fizermos o exerccio pelo conjunto da estrutura, dado os pisos serem indeformveis no seu plano, seriaapenas uma questo de distribuir as foras encontradas por esses prticos, tidos em conta os agravamentosregulamentares face toro global da estrutura.

7/30/2019 Sismos_aulas 2010-2011

68/119


68/119

5,12 KN

10,24 KN

PT1,2,3e4

*0=

Temos uma estrutura em prtico de ductilidade normal, logo 5,2= (REBAP art.33.2). Ento:

==

=

===

048,05,23,0

*4,0

;4,0:0,4f,terrenoII.T

;Hz6

2

12

n

12f

0 (R.S.A. art.31.2 - Quadro II)

Como: *16,0*04,0

OK4342143421

048,0012,0

3,0*16,0048,03,0*04,0

Com 048,0= , iremos calcular a aco da ssmica ao nvel dos prticos (PT1 a PT4) individualmente (dado

que todos tm a mesma estrutura: Pilares de 30 * 30cm):

1 Piso:

{

.12,5160*0,6160*0,3

160160*160*0,3*048,0

);..(0,3

2

11

1

KNff

solodoacimamh

h

KK =++

=

=

2 Piso:

.24,10160*0,6160*0,3

160160*160*0,6*048,0

);..(0,6

2

2

KNf

solodoacimamh

K =++

=

=

Corte basal = =+=+= KNfff KKKi 36,1524,1012,521

2) ANLISE DINMICA SIMPLIFICADA PELO MTODO DE RAYLEIGH

7/30/2019 Sismos_aulas 2010-2011

69/119


69/119

fi = Gi =160KN

i i 160KN

30

1mf1 = 160KNm1

d1

3,0 m

d2

30

30

2

1m

m

30

m2

3,0 m

2 160KN 2

EI

f

D-nos a frequncia elementar da estrutura (1 Modo de vibrao), sendo esta a frequncia mais baixa

(fundamental) e que representa em princpio situao dominante em termos de comportamento

dinmico/vibratrio da estrutura.

Continuando ainda com o exemplo n2, teremos:

So caractersticas fsicas

da estrutura REAL.

= *12

3l

EIf

Admitindo os pisos como indeformveis, temos que os deslocamentos so (de forma mais genrica e

incluindo a eventual presena de paredes resistentes):

1-.

1

.

133

.

312

ipilaresden paredesden

m

m

k

k

presentedoacimapisosden

i

j

i d

HEI

LEI

F

d +

+

=

Ou seja, deslocamento de um piso igual ao produto do total das foras aplicadas nesse piso e de todos os

que lhe so superiores pela rigidez do mesmo, a somar ao deslocamento transportado do piso que lhe

inferior.

Reparar que esta frmula provm da generalizao do Mtodo dos Deslocamentos: K.d = F.Aplicando:

7/30/2019 Sismos_aulas 2010-2011

70/119


70/119

{

][0266,00,0

23

*123,0102012

)1016010160(

330*30

4

..

9

33

1 md

Pilares

I

deElasticidadeMdulo

=+

+=

43421

43421

{

][0399,00266,0

23

*123,0102012

)10160(

330*30

4

..

9

3

2 md

Pilares

I

deElasticidadeMdulo

=+

=

43421

43421

1

0,0399

f1 = 160KN

f2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133

0,0266

m

m

2

=

=0266,0

0399,0

1

2

Piso

Piso (Modo Base de Vibrao Fundamental)

A posio dos pisos no vector indiferente. Apenas temos que ter presente como os distribumos nesse

vector, para no efectuar trocas de nveis nos clculos posteriores.

Tambm, no caso de existirem cabos, a sua contribuio poderia ser contabilizada pelo acrscimo da nova

parcela frmula anterior, simplificadamente:

1-

)(

.

1

.

1

.

133

.

cos312

i

horizontalacomngulo

cabosden

n n

n

pilaresden

k

paredesden

m m

m

k

k


ij

i d

C

EA

H

EI

L

EI

F

d +

++

=

== =

7/30/2019 Sismos_aulas 2010-2011

71/119


71/119

Como ilustrao do que se pretende evidenciar, temos a figura abaixo.

3

3

3

Parede

Cabo

Pilar9H =

L =

L =

L =

30

Se neste exemplo:

F = 1000 kN

Paredes: 1.5 0.2, E = 29E+6

Pilares: 0.3 0.3, E = 29E+6

Cabos: = 16mm, E = 210E+9

Surge:

1

23

1

1

3

3

1

1

3

))30sin(/3/()30cos(1)92104/016.0(3

12/3.03.092912

9

12/5.12.0929331000

+

+

=

E

EEE

[ ] mEEEE 0576,031940387003671331000 1 =++=

Se negligenciamos a presena dos cabos:

=

+=

1

3

1

1

3

3

1

1

3

312/3.03.092912

912/5.12.09293

31000EE

E 0,0649m

c) FRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2):

=

i ii

iii

dF

dFgf

22

1

Continuando os clculos por esta frmula, teremos:

7/30/2019 Sismos_aulas 2010-2011

72/119


72/119

( )

=

++

=

=

Hz68,2

0399,0*1600266,0*1600399,0*1600266,0*160*8,9

21

f

dF

dFg

21

f 22

i

2ii

iii

Diminuindo o valor da MASSA, e mantendo a RIGIDEZ da estrutura, aumenta ou diminui a

FREQUNCIA da mesma?

Simulemos com a mesma estrutura mas metade da massa.

Como o deslocamento proporcional massa, dado que o valor desta que surge como aco

horizontal:

( )

=

+

+==

HzfOBS

dF

dFgf

iii

iii

79,3)20399,0(*2/160)20266,0(*2/160

20399,0*2/16020266,0*2/160*8,9

2

1:.

2

1

222

.

( )

=+

+

=

=

Hz79,3)20399,0()20266,0(20399,020266,0*8,9

21

f:.OBSdF

dFg

21

f 22

i

2ii

iii

A frequncia aumentou!

Na verdade, quanto menor for a MASSA mais se tende para o valor da FREQUNCIAFUNDAMENTAL DO MTODO ESTTICO, que de 6Hz. Ou seja, com o M. De RAYLEIGH tem-

se um valor mais eficaz da frequncia fundamental (2,68Hz < 6Hz).

O regulamento tendo uma postura conservadora, do lado da segurana, conduz a frequncias mais

elevadas se adoptarmos o Mtodo Esttico, pois que tal atitude faz aumentar as foras ssmicas (veja-se o

que sucede com o Coeficiente Ssmico de Referncia 0, quando a frequncia aumenta, ou as relaes

entre frequncias e aceleraes dos Espectros de Resposta do anexo III do RSA);

E diminuindo a RIGIDEZ da estrutura e mantendo o valor da MASSA, aumenta ou diminui a

FREQUNCIA da mesma?

Simulemos com a mesma massa mas metade da rigidez da anterior estrutura.

Como o deslocamento proporcional rigidez e dado que o valor desta metade:

( ) =+ +==

Hz89,1

)2*0399,0(*160)2*0266,0(*1602*0399,0*1602*0266,0*160*8,9

21f:.OBS

dF

dFg

21f 22

i

2ii

i

ii

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73/119


73/119

( )

=+

+

=

=

Hz89,1)2*0399,0()2*0266,0(2*0399,02*0266,0*8,9

21

f:.OBSdF

dFg

21

f 22

i

2ii

iii

A frequncia diminui, pois a estrutura tornou-se mais flexvel!

e) Aplicando de novo o Mtodo Esttico Simplificado:

==

==

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74/119


74/119

{ }r

d*g/Q

d*g/Q

d*m

d*m

d*m*d

1*m*d

m

1m

M

L2ii

ii

2ii

ii

iii

ii

iTi

iTi

i

i ====

=

No caso, ainda mais elementar, de todos os pisos terem igual massa e rigidez:

{ }r

d

d

m

1m

M

L

RAYLEIGH.Mt

2

i

i

i

T

i

iTi

i

i ==

=

321

,

No referente ao exemplo em questo temos:

918,280399,00266,0

0399,00266,022

=+

+=

i

i

M

L= r.

Temos ainda: sradi 84,1668,2**2f2W === .

Sabemos que:

3,0= (Zona do Porto);

%5= (Coef. de amortecimento Est. de Beto);


f = 2,68 Hz.

Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtivemos:

e) Aceleraes espectrais (RSA):

=

==

.scm235S

;scm310SHz68,2f

2TipoIIa

2TipoIa

}

}

.sm705,01003,0

*235S

;sm93,0100

3,0*310S

2TipoII

a

2TipoIa

==

==

),f(S*W*M

LY a2

ii

ii =

f) Deslocamentos mximos:

=

==

=

==

1

2)(

00197,0

00295,0074,0*

0266,0

0399,0*

1

2)(

00261,0

00391,00981,0*

0266,0

0399,0*

11

11

Piso

PisommYZ

Piso

PisommYZ

IIII

II

g)Foras mximas:

074,0705,0*

84,16

918,292

==TipoIIY

0981,093,0*84,16

918,282

==TipoIY

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75/119


75/119

/***/**

),(*** 21

21 WYmWZm

fS

M

Lmf IIa

i

iisi ===

)(54,3

31,55,2

85,8

28,13

5,2

705,0*918,28*

0266,0

0399,0*

8,91600

08,9160

)(67,4

75,2

68,11

52,17

5,2

93,0*918,28*

0266,0

0399,0*

8,91600

08,9160

1

2

1

2

KNf

f

KNf

f

II

II

I

I

=

=

=

=

=

=

Recorrendo ao mtodo simplificado do EC8:

a) Se quisssemos obter o corte basal, Vb:

Nota: o coeficiente ssmico, , deve ser includo quando no unitrio, multiplicado pela acelerao da zonaA.

Vb = 0.4 160 (0,0399 + 0,0266) 2,682 310/100 0,3 = 28,9 kN

Note-se que o coeficiente de comportamento (relativo aquisio das foras ssmicas) s se aplica para

efeitos da posterior determinao dos esforos dos elementos resistentes e no no clculo das reaces de

apoio (foras totais), pelo que se no entra aqui com o referido coeficiente. De relembrar que o coeficiente de

comportamento relaciona a resposta do comportamento material em regime linear com o no linear, sendo

que no caso do corte basal se trata da contabilizao das foras absolutas totais geradas pelo sismo em toda aestrutura (geralmente representado por foras equivalentes concentradas ao nvel dos pisos).

ainda de notar que: 0,4 2/g, em semelhana com a frmula do mtodo de Rayleigh.

b) E nos pisos:

Fmx1 = 0.4 160 (0,0266) 2,682 310/100 0,3 / = 17,4 / kN = 17,4 / 2,5 = 7,0 kN

Fmx2 = 0.4 160 (0,0399) 2,682 310/100 0,3 / = 11,7 / kN = 11,7 / 2,5 = 4,7 kN

Aqui, como se trata de foras ssmicas para efeitos do clculo dos esforos internos das peas da estrutura, o

coeficiente de comportamento ter que estar includo, admitindo que a determinao desses esforos de faz

admitindo regime material elstico.

3) CONCLUSO:

Podemos concluir que pelo MTODO ESTTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), chegamos aos seguintes

resultados:

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76/119

.12,5

;24,10

;6

1

2

KNf

KNf

Hzf

=

=

=

Pelo MTODO ESTTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), mas com frequncia corrigida pelo Mtodo de

Rayleigh:

.KN3,4f

;KN6,8f

;Hz68,2f

1

2

=

=

=

J pelo MTODO DINMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos:

=

=

=

=

=

.54,3

;31,5

.67,4

;7

;68,2

1

2

1

2

KNf

KNfS

KNf

KNfS

Hzf

II

IITipoIIa

I

ITipoIa Ser este o condicionante!

Segundo o EC8:

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Exerccios propostos para resoluo (saram em teste):

1) Aco dos Sismos [2+4 val]

a) Para a estrutura da pequena ponte abaixo, localizada em Esposende e sobre terreno muito mole,calcule a sua frequncia fundamental no sentido longitudinal, admitindo um grau de liberdadehorizontal ao nvel do tabuleiro, sendo este admitido como indeformvel e permitindo os apoiosextremos do tabuleiro deslocamentos horizontais livres. Os pilares so todos iguais e com seco1,0m0,5m, com maior dimenso transversal ao tabuleiro. Esta estrutura fabricada em beto B35 e

poder considerar-se de ductilidade normal.

b) Na direco considerada, determine a fora ssmica regulamentar, o deslocamento mximo absolutodo tabuleiro e as reaces no apoio do pilar de 6 metros.

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78/119

8

3 0

Direco do e s tudo

11

6

C P = 5 0 k N / m S C = 3 0 k N / m

7 7

2) Aco dos Sismos [2+4 val]

Na Figura representa-se uma estrutura em que a dimenso em planta de D metros, destinada a um edifciode servios (escritrios), sendo a altura entre o 1. e 3. piso (medida B) o dobro da entre o 1 e 2. piso. Ir

ser construdo na zona urbana de Gaia, a 3km da beira-mar e sobre terreno de dureza dura/mdia. No seudesenvolvimento possui 4 prticos idnticos ao apresentando e igualmente afastados. Ser fabricada em aoestrtural (S355), com (coeficiente comportamento) = 3,0 e pilares tubulares ocos, de rea=0,01m2 e inrcia= 0,001m4, estimando-se a carga permanente 210 mKN= .

Calcule a aco do sismo na direco indicada, considerando os pisos como diafragmas rgidos no seu planoe admitindo apenas o modo fundamental de vibrao.

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EXEMPLO N 3.A - CALCULAR OS DESLOCAMENTOS TOTAIS DE CADA PISO ADMITINDOOS MESMOS COMO DIAFRAGMAS INFINITAMENTE RGIDOS NO SEU PLANO.

Dados:

Seces de ao = 0,001 m4

Eao = 210 GPa EB25 = 29 GPa Seco o pilar: 0,5 x 0,5 m2 Seco da parede 1: 1,0 x 0,1 m2 Seco da parede 2: 1,2 x 0,2 m2 Cabos = 25mm

Resoluo:

Frmula genrica de deslocamento com pisos infinitamente rgidos:

1-

)(

.

1

.

1

.

133

.

cos312

i

horizontalacomngulo

cabosden

n n

n

pilaresden

k

paredesden

m m

m

k

k


ij

i d

C

EA

H

EI

L

EI

F

d +

++

=

== =

Clculo dos deslocamentos relativos a cada piso (o deslocamento surge da relao entre a massa e a rigidezestrutural do piso):

1 Piso:

2 Piso:

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80/119

3Piso:

4Piso:

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81/119


81/119

5,0 m

PT2 P1 P1

PT1 P1 P1

f K1

3,0 m

f K2

3,0 m

f K3

3,0 m

2m

m1

m3

Exemplo N 4 (ANLISE PELO MTODO ESTTICO EQUIVALENTE ATENDENDO AO

CLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORO EM EDIFCIO REGULAR)

DADOS:

P1 = 40*40cm;


Zona de ssmica: Coimbra )5,0( = ;

Estrutura em Beto Armado de Ductilidade Melhorada B25;

Combinao Quase Permanente: (CP+ 2 *SC)210 mKNqt = .

Temos que:

KNAqQ tt 250)5*5(*10* === .

1) ANLISE SSMICA PELO MTODO ESTTICO EQUIVALENTE [R.S.A]:

=

ii

iiiKi Gh

GGhf

****

*0=

Temos uma estrutura em prtico de ductilidade melhorada, logo 5,3= (REBAP art.33.2). Ento:

==

=

===

057,05,3

5,0*4,0

;4,0:0,4,.

;43

1212

0

fterrenoIIT

Hzn

f


Como: *16,0*04,0

OK4342143421

08,002,0

5,0*16,0057,05,0*04,0

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(1PISO)

f 1 = 7,12KN

PT2

PT1

Cm

P1 P1

5,0 m

P1 P1

Com 057,0= , iremos calcular a aco da ssmica ao nvel dos prticos (PT1 e PT2) individualmente

(dado que todos tm a mesma estrutura: Pilares de 40 * 40cm):

1 Piso:

{ {

.12,7250*0,9250*0,6250*0,3

250250250*250*0,3*057,0

);..(0,3

32

11

1

KNff

solodoacimamh

hh

KK =++++

=

=

2 Piso:

{ { .25,14250*0,9250*0,6250*0,3

250250250

*250*0,6*057,0

);..(0,6

32

22

2

KNff

solodoacimamh

hh

KK =++

++

=

=

3 Piso:

{ {

.37,21250*0,9250*0,6250*0,3

250250250*250*0,9*057,0

);..(0,9

32

33

3

KNff

solodoacimamh

hh

KK =++++

=

=

Corte basal = =++=++= KNffffKKKKi 74,4237,2125,1412,7321 .

2) CLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORO DO EDIFCIO:

No caso de estrutura simtrica em relao a um plano que contm a direco considerada para a aco

ssmica, e os seus elementos resistentes estarem uniformemente distribudos, pode-se considerar que as

resultantes das foras estticas que actuam segundo aquele plano de simetria e multiplicar os efeitos assim

obtidos por um factordefinido por:

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83/119


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}

{

EstruturadauraL

PrticodoCoordenada

a

x

..arg

..

6,01+= (Art.32.2 do R.S.A.)

Ento:

{

.68,102

37,21

;12,72

25,14

;56,32

12,7

3

2

cos2

1

KNf

KNf

KNf

K

K

Prti

K

==

==

==

Utilizando a frmula:

.89,135

5,2*6,01*68,10

;26,95

5,2*6,01*12,7

;63,45

5,2*6,01*56,3

3

2

1

KNf

KNf

KNf

=

+=

=

+=

=

+=

f 1 = 4,63 KN

3 = 13,89KN

f 2 =9,26 KN

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Exemplo N 5 (ANLISE DINMICA SIMPLIFICADA PELO MTODO DE RAYLEIGH)

D-nos a frequncia elementar da estrutura (1 Modo de vibrao), sendo esta a frequncia mais baixa

(fundamental) e que representa, em princpio, a situao condicionante.

Continuando ainda com o exemplo n 4, teremos:

3

m

d3

d2 2

m

1d1 m

3m

1m

m2

3,0 m

f K3

3,0 m

f K2

3,0 m

f K1

b) Aplic

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