Disciplina Sistemas de Controle e Modelagem

(Material de Nivelamentos,Conceitos de Limite, Diferencial e Integral )

Prof. Wagner Santos C. de Jesuswsantoscj@gmail.com

Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas

Conceito de Limite

2

Definição Conceitual

O limite de uma função (se ele existir) para algum valor de(x), tendo (a), é a altura da qual a função cada vez mais sepróxima à medida que (x) se aproxima de (a) pelaesquerda e pela direita.

3

a x

y

Ilustrando o conceito de Limite

f(x) = 3x+1

4

a medida que x se aproxima de 2

x

f(x)

1 1.5 1.9 1.99 1.999

a = 2pela Esquerda

4 5.5 6.7 6.97 6.997

pela Direita

3

10

2.5

8.5

2.1

7.3

2.017.03

2.001

7.003

A altura y se aproxima de 7.

Afirmação de limite

5

Onde f(x) vem a ser afunção pertencente aodomínio do problema, (x)os parâmetros deconformação do problemae (a) o valor de tendênciadas aproximações.

a, vem ser um número real.

Exemplo Prático

6

Considere, f(x) = 3x + 1=

Exemplo – 2 (Prático)

7

Conceito de Limite Lateral

8

Definição Lim. Lateral

Limites lateral funcionam como limites bilaterais regularescom uma exceção, de que x, se aproximar do limiteapenas pela esquerda ou pela direita.

9

ou

Esquerda Direita

Discussão de Limite Lateral

10

3

6

2

Definição formalSeja a f(x) uma função e a um número real; existirá limitese e somente se.

11

1.

2.

3.

Limites infinitos

12

Exemplo Limite Infinito

13

Exemplo Limite Infinito

14

Limite de uma função Exponencial

15

148

Limites para memorizar

16

Limite de uma constante, será a própriaconstante.

Limite, tende a zero + caminha para infinito.

Limite, tende a zero – caminha para (-) infinito.

Limite tende a infinito caminhapara zero.

Limites para memorizar

17

Problema (0)

Considere um sistema de controle onde f(t) = [1:0.01:3];encontre os pontos por onde f(t) irá passar considerando oslimites tendendo a (1,2 e 3). Para a função:

18

Esboce os eixos com t, f(t) e mostre onde seriam os pontosdesta função regida por um sistema de controle.

Limites Algébricos

19

Conceito Limites Algébricos

Quando a substituição não funciona na função original,geralmente devido ao intervalo aberto na função, usa-seálgebra para manipular a função até que a substituiçãofuncione, isso funciona porque a manipulação preenche ointervalor aberto.

20

Exemplo Prático

21

Calculo

22

Não existe limite, por substituiçãodireta neste ponto .

Exemplo PráticoLimite Algébrico

23

Exemplo por substituição

24

x y

4.998 9.998

4.999 9.999

5 Erro

5.001 10.001

5.002 10.002

5.003 10.003

O valor se aproxima de 10.

Exemplo Octave

25

x = [4.998,4.999,5,5.001,5.002,5.003];lim = (x.^2 - 25)./(x - 5);plot(x,lim,"LineWidth",3,"k");

Problema Exemplo (1)Observe o sistema de controle acima e responda, quais asalturas dos pontos da função representada neste sistemapara x tendendo a [40,45,50].

26

Conceito de Diferencial(Derivada)

27

Definição de Diferencial

Define-se como diferencial de uma função, é o processo deencontrar a derivada, ou seja, encontrar a inclinação(declive) de uma reta ou de uma curva.

28

Relação Prática

29

3

Derivada de x emrelação a y.

Declive = 3

Inclinação = 3

Interpretação PráticaDerivada

30

O gráfico de uma função,desenhadas em preto, e umalinha tangente a essa função,elaborado em vermelho. Ainclinação da linha tangente éigual a derivada da função noponto marcado.

Exemplo Prático Ação da Derivada

31

32

Conceito Matemático de retabmxy += Onde (m) Coeficiente ângular em

relação ao eixo x.

Ângulo entre 0º e 45º com eixo x, o Coeficiente linear b dá o valor do eixo y.

01

01

xx

yym

−−= 11 mxyb −=

Ângulo entre 45º e 90º com eixo x.

Dados dois pontos no planoP1 e P2, pode-se obter m e bda seguinte maneira.

se

(1) (2)

1≥m

1≤mse

33

As equações (1) e (2) serão base para construir a de retas

0x 1x

0y

1y

Problema Exemplo (2)

Mario vendia marmitex e detectou, no quinto mês, maisdois que o valor de seu produto era 22,00, no decimo mêsde vendas mais dois, seu produto aumentou para 42,00reais, de quantas vezes foi o respectivo aumento.

34

x = Meses y = Preço do Produto

f(x) = mx+b

Análise do problema

35

5 10

22

42

f(x) = 4(5)+2 = 22

f(x) = 4(10)+2 = 42

f(x) = mx+b

Descobrindo o coeficiente Linear da reta

36

f(x) = 2x + b

22

5 10

42

11 mxyb −= => b = (22) – (4*(5))

p1(5,22)

p2(10,42)

Descobrir o coeficiente delinearidade da função f(x)

; b = 2

Definição Prática de Derivada

37

Inclinação da reta(Quociente da Diferença)

Existe um termo geral para expressar a fração geral dainclinação da reta.

38

O conceito matemático representado acima é denominadode quociente da diferença.

Definição formal de derivada

39

Basta substituir na equação do limite acima (x,f(x)),teremos uma definição geral de derivada como umafunção de x.

Exemplo: seja f(x) = x

40h

Demonstração Derivada

41

Razão InstantâneaA derivada de uma função f(x) em algum valor dex é a razão instantânea da mudança de f emrelação à x naquele valor.

42

Onde a Derivada Não Existe

43

Conceito (Não existe)

A derivada da função em dado ponto é a inclinação da retatangente nesse ponto. Então se não se pode desenhar areta tangente não há derivada.

Podem acontecer três casos onde a derivada não existe.

44

Caso-1

Não há uma reta tangente e assim não há derivada emnenhum tipo de descontinuidade : infinita, removível oupulos.

45

Caso-2Não há uma reta tangente e assim não há derivada novértice de uma função.

46

f(x)

Caso - 3

47

Onde a função tem um ponto de inflexão vertical ouhorizontal, a inclinação é indefinida e assim a derivada nãoexiste.

f(x)

g(x)

Problema Proposto (3)

48

f(x)3 9

Sabe-se que em sistema de controle sua entrada é VE = 3,e sua saída VS = 9, qual o deslocamento do sistemasabendo que seu processo de controle vem a ser umfenômeno f(x) = x2

Resolução

49

O deslocamento do sistema no ponto(3, 9) é 6, isto é, a saída (y) cresce seisvezes mais rápido, que a entrada em xe o sistema está indo para a direita.

Regras da Diferenciação

(Derivada)

50

Observação sobre Definição Derivada

As definições de conceitos anteriores baseados namatemática de técnicas envolvendo o limite do quociente dadiferença, são primordiais para entender os conceito dediferencial, no entanto existem, regras diretas, para seconseguir o processo de derivação.

51

Regra da ConstanteUma reta horizontal como uma inclinação igual zero

e assim sua derivada é igual a zero. Qualquer número c sef(x) = c, então f’(x) = 0.

52

Exemplo de derivada Constante

Seja f(x) = 9;

53

Regra da potência

54

Exemplo Prático

55

Regra Diferenciação

Regra do Múltiplo Constante

56

Conceito

57

O Coeficiente continua onde está até o passo finalquando se multiplica a resposta pelo coeficiente.

Regra da SomaDerivada de uma soma, e realizada pela soma das derivadas.

Exemplo:

58

Exemplo de Regra da Soma

59

Dada a função:

encontrar a sua derivada:

Regra da Diferença

Derivada de uma diferença, e realizada pela diferençadas derivadas.

Exemplo:

60

Exemplo de regra da diferença

61

Dada a função:

Derivada de funções

Trigonométricas

62

Derivadas das Três Funções Trigonométricas

63

Exemplo de Calculo de Derivadas

64

Exemplo Prático

65

== xxf )(' 1

== xxf 4)(' 4

== 34)(' xxf 212x

==10)(' xf 0

=+++= 352)(' 23 xxxxf

543 2 ++= xx

=+= )cos(3)(' xxxf

)(3 xsen−=

=+= )tan(3)(' 4 xxxf

Calculo Derivada de PolinômioOctave

Função polyder() Calcula a derivada de umpolinômio.

Exemplo:

x = [1 2 5 3];dx = polyder(p);

dx = 3 4 5

66

352)(' 23 +++= xxxxf

Regra Base de posicionamento octave

67

x5 x4 x3 x2 x c1 0 2

2 0 0 0 0 5

3 0 2 0 0

1 0 0 0 5 0

3 1

dx = 10x4

dx = 2x

dx = 12x3+4x

dx = 5x4+5

dx = 3

Posicionamento no vetor, conforme a grandeza do polinômio, adota-se a ordem de grandeza da esquerda para direita.c – Constante positiva ou negativa.

Exemplo – 2 função polyder()

68

Derivada da função exponencial e Logarítmicas

69

70

Função Logarítmicas

71

Problema proposto (4)

Uma empresa precisava projetar um tanque para armazenamento deum fluidos, no entanto, o espaço oferecido para a construção dotanque era em uma área plana e retangular, para cercar esserecipiente foi disponibilizado k metros de vidro, sabendo que orecipiente deveria ser cercado apenas em seus três lados, devido aoquarto estar aberto para a realimentação do sistema. Qual seria a áreamáxima do tanque que a empresa deveria cercar. Observação: Osistema está sendo observado em corte longitudinal.

72

x

y

Resolução

73

x

y

S y = (k – 2x)

S = xyS = x(k-2x) (1)

k-4x = 4x = k

Conceito de IntegraçãoDefinida

74

Conceito Integral

A integral indefinida de uma função f(x), vem a ser aantiderivação da função f(x). Tem como finalidade principalencontrar a área sob uma determinada curva.

75

Processo de Integração

O processo de se calcular a integral de uma função échamado de integração . A integral indefinida também éconhecida como antiderivação . (Isaac Newton and GottfriedLeibniz).

76

Aplicação GeralUma integral nada mais é do que uma soma de diversasáreas, que se, aproximam de um único valorcorrespondente a uma determinada área total de umevento ou fenômeno.

77

h

Exemplo calculo da área

78

0 5

c = 5

s = c(b – a)

c=(y2-y1)

79

Definição

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. Aintegral definida desta função é dada por:

80

Integral de umaConstante

A integral de uma constante é própria constante.Considere C uma constante:

81

10

3 4

Definição Técnica

82

Exemplo Prático

83

Soma todos os retângulos

n – Número de retângulos

Técnicas de Integração

84

Regras de Integração

85

cxdx +=∫(1)

∫ +=

+

1

1

p

xdxx

pp(2)

∫ ==> −p

pp x

xx

dx 1(3)

npn p xdxx /=∫(4)

Exemplos Práticos

86

Calculo da Integral Indefinida Método Analítico

87

=∫ dx8 =∫dx8a) cx+8

b) ∫ =dxx5=

+

+

15

15xdx

x

6

6

Continuação

88

c) ∫ =+ dxx 74 5

∫ ∫ =+ dxx 74 5

=++ cxx

76

46

cxx ++ 73

23

Continuação

89

∫ =9x

dxd)

9−x

∫ =5 3xd)5/3x

Teorema Fundamental do Calculo

Estabelece a importante conexão entreo Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. Oprimeiro surgiu a partir do problema de sedeterminar a reta tangente a uma curva em umponto, enquanto o segundo surgiu a partir doproblema de se encontrar a área de uma figuraplana.

90

Formalização

Se f é uma função continua nointervalo [a,b]. Se f for uma funçãodefinida por x. f(x) em [a,b].

91

∫=x

a

dttfxF )()(

Portanto

F’(x) = f(x)Para todo x em [a,b]

92

Consideração

Considere f uma função contínua devalores reais, definida em um intervalofechado [a, b]. Se F é uma função talque:

f(x) = F’(x) para todo x em [a,b].

93

Aplicação Teorema Fundamental do Calculo

A base das duas operações centraisdo cálculo, diferenciação e integração, que sãoconsiderados como inversos um do outro. Isto significaque se uma função contínua é primeiramente integrada edepois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na funçãooriginal. Este teorema é de importância central no cálculotanto que recebe o nome teorema fundamental para todoo campo de estudo.

94

Então

95

Onde:

Exemplo Prático de AplicaçãoTeorema Fundamental do Calculo

96

Exemplo Prático de AplicaçãoTeorema Fundamental do Calculo

97

Calculo Integral Definida

98

3)( xxf = ∫b

a

xf )(=>(1) (2)

Substituindo (1) em (2)

=∫b

a

x3 =−44

44 xx

−

44

44 ab

Exemplo Prático

99

=∫5

1

3x4

4x

1

5

4

4x=4

54

= =−4

14

=

−

=4

1

4

625156 Unidades de área

Problema proposto (5) Em um sistema de controle (x) foram observadas, instabilidadesconforme o gráfico abaixo, determine qual era a área sobre o gráficoque apresenta a instabilidade citada.

100

0 2

2

Sistema f(x) = x

101

0 2

2

2ua

Calculo de Integração

Usando Octave

102

Função polyint()Calcula a integral de um polinômio.

Sintaxe: <varInt> = polyint(<vetor_polinômio>);

<Varint> : Variável com resultado da integral.<vetor_polinômio>: Vetor de polinômios a ser calculado.

103

A função polyint(), calcula a integralindefinida.

Aplicação

104

Calculo de Integração definida

no Octave

105

polyval():

106

Sintaxe: polyval()

<varArea> = polyval (<vetor_integrado>, <Valinter>);

<varArea> = Valor do calculo da área.<vetor_integrado> = Calculo da integral indefinida.<Valinter> = Valor do intervalo de integração.

107

Exemplo Prático polyval()

c = [1, 0, 1];integral = polyint (c);area = polyval (integral, 3) - polyval (integral, 0);

108

area = 12