simulaÇÃo de um reator subcrÍtico tipo ads ...antigo.nuclear.ufrj.br/dscteses/teses2013/tese...

SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA

VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE

Mauricio Quelhas Antolin

Tese de Doutorado apresentada ao Programa

de Poacutes-graduaccedilatildeo em Engenharia Nuclear

COPPE da Universidade Federal do Rio de

Janeiro como parte dos requisitos necessaacuterios agrave

obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Doutor em Engenharia

Nuclear

Orientadores Aquilino Senra Martinez

Fernando Carvalho da Silva

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2013




TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE POacuteS-GRADUACcedilAtildeO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSAacuteRIOS PARA A OBTENCcedilAtildeO DO GRAU DE DOUTOR EM CIEcircNCIAS EM

ENGENHARIA NUCLEAR

Examinada por

________________________________________________

Prof Aquilino Senra Martinez DSc

________________________________________________ Prof Fernando Carvalho da Silva DSc

________________________________________________ Dr Daniel Artur Pinheiro Palma DSc

________________________________________________ Prof Alessandro Gonccedilalves DSc

________________________________________________ Dr Antonio Carlos Abreu Moacutel DSc

RIO DE JANEIRO RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2013

iii

Antolin Mauricio Quelhas

Simulaccedilatildeo de um Reator Subcriacutetico Tipo ADS Via

Monte Carlo para Validaccedilatildeo de Caacutelculo da Reatividade

Mauricio Quelhas Antolin ndash Rio de Janeiro

UFRJCOPPE 2013

XI 97 p il 297 cm



Tese (doutorado) ndash UFRJ COPPE Programa de

Engenharia Nuclear 2013

Referecircncias Bibliograacuteficas p 94 - 97

1 Caacutelculo da Reatividade 2 Reatores ADS 3

Simulaccedilatildeo Monte Carlo I Martinez Aquilino Senra et al

II Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE

Programa de Engenharia Nuclear III Tiacutetulo

iv

Dedicatoacuteria

Este trabalho eacute dedicado a todas as pessoas que me ajudaram em toda minha

caminhada acadecircmica em especial agrave minha amada esposa Gisele a minha filha que

mesmo sem ainda nascer jaacute eacute muito amada aos meus pais e amigos que me

apoiaram ateacute aqui

v

Agradecimentos

Agradeccedilo aos meus professores Aquilino Senra Martinez e Fernando Carvalho

da Silva pela dedicaccedilatildeo e ajuda no desenvolvimento deste trabalho e tambeacutem ao

amigo Daniel Artur Pinheiro Palma pelas suas contribuiccedilotildees neste trabalho

Tambeacutem agradeccedilo a Coordenaccedilatildeo de Aperfeiccediloamento de Pessoal de Niacutevel

Superior (CAPES) pelo apoio financeiro

Aos amigos do LMP pelo o apoio na elaboraccedilatildeo deste trabalho

Ao meu pai Manuel Angel Antolin Garcia por me incentivar a ingressar na

carreira acadecircmica e por todo o seu carinho

Agrave minha matildee Iliana de Carvalho Quelhas pela a paciecircncia amor carinho e

apoio em toda minha caminhada acadecircmica e pessoal

Agrave minha esposa pela paciecircncia e compreensatildeo

vi

Resumo da Tese apresentada agrave COPPEUFRJ como parte dos requisitos necessaacuterios

para a obtenccedilatildeo do grau de Doutor em Ciecircncias (DSc)




Fevereiro2013



Programa Engenharia Nuclear

Um dos grandes atrativos dos reatores ADS eacute decorrente da possiblidade de

transmutaccedilatildeo dos rejeitos produzidos pelas usinas nucleares convencionais

diminuindo a armazenagem dos rejeitos de longa meia-vida em repositoacuterios geoloacutegicos

de longa duraccedilatildeo Poreacutem o comportamento cineacutetico desses reatores ainda eacute uma

questatildeo em aberto tendo em vista que natildeo existe nenhum reator ADS em operaccedilatildeo

no mundo Portanto este trabalho propotildee um meacutetodo de caacutelculo de reatividade para

reatores subcriacuteticos guiados por fonte (ADS) utilizando o meacutetodo das derivadas

parciais da potecircncia nuclear que permite um caacutelculo mais raacutepido e sem a necessidade

do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator Os resultados foram

comparados com simulaccedilotildees numeacutericas realizadas pelo meacutetodo Monte Carlo e

mostram boa concordacircncia

vii

Abstract of Thesis presented to COPPEUFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (DSc)

SIMULATION OF A ADS SUBCRITICAL REACTOR VIA MONTE CARLO FOR

VALIDATION OF REACTIVITY CALCULATION


February2013

Advisors Aquilino Senra Martinez


Department Nuclear Engineering

One of the great attractions of ADS reactors is due to the possibility of

transmutation of waste produced by conventional power plants reducing waste by

reducing the storage of long half-life in long-term geological repositories But the kinetic

behavior of these reactors is still an open question given that there is no ADS reactor

in operation worldwide Therefore this work proposes a method for calculating reactivity

for subcritical reactors driven by source (ADS) using the method of partial derivatives of

nuclear power which allows a faster calculation and not need the storage the whole

history of reactor power The results were compared with numerical simulations

performed by the Monte Carlo method and show good agreement

viii

Sumaacuterio Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xi

1 Introduccedilatildeo 1

2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8

21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9

22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14

23 Cineacutetica Inversa 17



3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19

31 Meacutetodo de Agrupamento 19

32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21

33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23

34 Meacutetodo das Derivadas 24

341 Anaacutelise para k impar 25

342 Anaacutelise para k par 29

4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32



43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34



5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40

51 Potecircncia Linear 40



52 Potecircncia Constante 43



53 Potecircncia Exponencial 45



54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47

6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49

61 Potencia Linear 49

ix










7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54

71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57

72 Meacutetodo direto ou inverso 60

73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63

74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65

75 Conceito de Reatores ADS 66

8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68

9 Resultados 82

91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83

92 Potecircncia Nuclear Constante 83

93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84


95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86

951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87

952 Potecircncia constante 87



96 Paracircmetros Nucleares 90

10 Conclusatildeo 93

11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95

x

Lista de Figuras

Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3

Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de

Yoriyaz 2009 55

Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58

Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58

Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua

ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59

Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo

inverso (Salvat et al 2003) 61

Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62

Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64

Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65

Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um

teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66

Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte

httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67

Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72

Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72

Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72

Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73

Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77

Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78

Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79

Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do

reator PWR simulado 79

Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do

ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80

Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82

xi

Lista de Tabelas

Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-

nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2

Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71

Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71

Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR

CANDU e VVER 73

Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74

Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74


Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357

gcm3) 75

Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75

Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75

Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75

Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76

Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX

e no SERPENT 78

Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82

Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas

subcriacuteticos 83

Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84

Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85

Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da

potecircncia 85

Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos

apresentados 86

Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87

Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88

Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia

com β e Λ variaacuteveis no tempo 89

Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia


Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91

1

1 Introduccedilatildeo

Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo

provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco

enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo

bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das

centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses

reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)

Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma

grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos

transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de

107 anos)

Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute

na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e

agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al

2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo

Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado

em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o

armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o

aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo

que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1

Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos

rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores

Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para

esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de

uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem

dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da

criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)

dificultaram o seu uso

Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de

1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator

francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido

para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas

1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-

ManagementUTn-jaVtivM

2

estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10

meses em 13 anos

Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na

maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do

que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al

2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia

vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores

convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou

entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo

Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)

Paiacutes Reator Tipo Potecircncia

Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia

Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo

USA

EBR 1 02 14 1951-63

EBR II Pesquisa 20 625 1963-94

Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72

SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93

Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77

Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94

Franccedila

Rapsodie Pesquisa 40 1966-82

Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009

Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98

Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91

Iacutendia FBTR Pesquisa

40 1985-

PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-

Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-

Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96

2010-

Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99

Ruacutessia

BN 12

101 1950

BR 5 10 Obninsk Pesquisa

5 8 1959-71

1973-

BOR 60

Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-

BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-

BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-

China CEFR Pesquisa 20 65 2010-

3

Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os

reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores

nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica

(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de

combustiacutevel fechado

Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser

contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma

reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo

com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores

satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de

partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema

de funcionamento desses tipos de reatores

Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996

Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al

1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes

aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do

reator

Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor

utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo

altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a

operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em

Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4

que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de

partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com

energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)

Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares

atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto

esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes

quantidades de AM

Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no

espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de

fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se

caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e

grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et

al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de

multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente

20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias

catastroacuteficas

Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator

Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de

partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de

partiacuteculas

Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que

inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas

ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator

hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para

a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que

satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores

subcriacuteticos (Piera et al 2010)

Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de

enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10

agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo

(Rubbia et al 1995)

O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou

empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os

necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo

Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para

os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido

bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees

5

termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa

potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias

muito maiores

O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de

operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor

que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu

funcionamento

A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica

do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff

devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do

reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons

Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento

da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas

tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser

projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo

O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia

(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica

(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS

a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de

actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem

iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os

reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)

O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase

de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na

literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma

potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do

reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX

Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados

de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses

reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram

utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da

cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores

Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes

informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo

de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias

complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem

de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para

6

partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo

para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido

Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser

modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra

grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde

os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo

Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das

partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a

queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que

podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC

Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores

nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al

2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e

atualmente encontra-se na versatildeo 26e

O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a

interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle

eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de

partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo

adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes

do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de

usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados

disponiacuteveis

O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de

necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as

seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que

necessitam fonte externa de necircutrons

Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator

controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute

especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118

As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo

de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a

possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo

natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu

funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de

novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para

reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator

nuclear

7

Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator

subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o

intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma

expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS

jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o

funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam

de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo

programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade

uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia

A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita

atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores

subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura

No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da

cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa

Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no

Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado

em detalhes

Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em

que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)

satildeo dependentes do tempo

O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da

variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no

Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees

temporais de β e de Λ

Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7

juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares

No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados

neste trabalho

Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as

expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6

Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese

8

2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para

Reatores Subcriacuteticos

A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a

avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal

quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons

dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos

necircutrons evolui de maneira pontual

As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura

resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et

al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de

reatores subcriacuteticos

Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma

autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do

reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser

verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode

envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual

pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia

temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia

das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)

As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem

ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini

2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte

maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i

r t A r t F r t c r t qv t

β λ=

partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +

partsum

(21)

( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It

β λpart

= Ψ minus =part

(22)

onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i

e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i

Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos

9

reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da

metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de

Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna

significativo para reatores que operam longe da criticalidade

21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo

Generalizada (HGPT)

A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de

necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia

temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)

( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P

+ + + +minus minus Σ =

(23)

onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo

Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r

obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i

n n A n F n c n qv t

β λ+ + + + +

=


partsum (24)

Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema

0 A A Aδminus rarr minus + (25)

0 F F Fδrarr + (26)

(0) ext ext extq q qδrarr + (27)

10

onde 0Aminus 0F e (0)

extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados

Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=

partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +

part

minus Ψ + + +sum (28)

Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que

(0)

0 1ext

n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem

( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)

Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se

1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+

partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +

part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)

Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)

0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11

Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se

1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+

partΨ = + Ψ minus Ψ + +

part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que

( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp

(213)

onde ( )0 rφ

eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia

Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)

obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i

n v P t r n A F P t r n F P t rt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)

Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i

dP tn v r n A F r P t n F r P t

dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)

Dividindo a equaccedilatildeo (216) por

0 0 I n F φ+= (217)

a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma

( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=

Λ = minus + + minus + sum (218)

sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13

onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n

iC t eacute a

concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo

importacircncia

Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de

normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se

( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t

dtβ λ= minus (225)

onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)

Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico

proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de

necircutrons eacute escrito da seguinte maneira

( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q

dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)

( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)

onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o

iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da

criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de

precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons

14

22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)

Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de

fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de

criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)

foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)

Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r

obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt

ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +

=


partsum (230)

Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira


0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)

Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os

termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=

partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +

part

minus Ψ + +sum

(233)

15

Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo

(232) pode-se escrever

1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε

ε δ λ ε ε ε β

+ minus + + +

+ + + +

=

partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +

part

Ψ + + minus Ψsum

(234)

Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ

podemos escrever

segundo Silva (2011)

0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N

νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)

Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)

1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

partΨ = + Ψ minus Ψ +

part

minus Σ Ψ +sum (236)

Admitindo que

( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp

(237)

onde ( )0 rφ

eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo

a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)

16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN

ε φ ε δ δ φ ε β φ

νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f

N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)

Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se

( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=

Λ = minus + minus Γ +sum (240)

onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)

sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa

Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores

17

Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se

( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)


segundo Silva (2011) eacute escrito como

( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q

dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)

( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)

onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica

de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados

23 Cineacutetica Inversa

Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento

da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute

caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um

dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo

apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade

18

231 Teoria Heuriacutestica de

Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)

Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as

equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator

integrante obteacutem-se

( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)

Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem

( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n

P tdP t P tt P t e dt Q

dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)

onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para

( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)


Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees

(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q

t e e P t dtP t dt P t P t P t

λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ

= + Γ + minus minus minusint (254)

19

3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico

de Potecircncia

Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do

histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo

computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou

natildeo uma fonte externa de necircutrons

A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja

analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator

(Ansari et al 2001)

Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que

envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado

eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear

31 Meacutetodo de Agrupamento

Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser

considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica

inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t

λρ β β λ minus minus

minusinfin

Λ= minus minussum int (31)

A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de

amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas

Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto

20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ

minus ∆minus minus minus ∆

minusminusinfin

minus ∆minus ∆minus

minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)

Introduzindo a seguinte funccedilatildeo

( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i

g t e P t dtλβ λ minus minus

minusinfin=sum int (33)

e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se

( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t

ρρ β= minus minus (34)

Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte

externa de necircutrons (S) obteacutem-se

ou S S

PP

ρ ρρρ

= minus = minus (35)

Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos

No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de

mesma duraccedilatildeo

1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g

( )2 2P g e ( )3 3

P g

2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes

de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)

( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)

21

32 Memoacuteria Baacutesica Indexada

Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como

( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t

P t P t P t dtρ β λ

=

ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)

Segundo o autor o termo ( )

( )dP t

P t dt

Λ pode ser negligenciado pois o erro

inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo

(38) eacute escrita como

( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=

ΛΛ= minus minussum (39)

Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores

pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)

( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i

βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)

onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆

Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma

( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i

g t C t S P tλ β ρ=

equiv Λ = minus Λ + minussum (311)

onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser

considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)

Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na

operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e

tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma

22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)

onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de

amostras τ eacute a constante de tempo e i

P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)

A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo

ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por

[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)

A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons

retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note

que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim

ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do

meacutetodo de grupo

23

33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da

intensidade da fonte externa

A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e

assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt

jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j

n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)

6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=

∆Λ Λ Λ= + minus minus

∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ

minus ∆minusminus ∆

minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)

Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa

de necircutrons

Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais

( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)

tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos

quadrados (Diacuteaz 2007)

24

34 Meacutetodo das Derivadas

As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma

integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico

de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual

de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso

o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator

para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma

interrupccedilatildeo em seu caacutelculo

Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade

eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute

insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser

um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de

proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante

durante a operaccedilatildeo do reator

O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do

histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie

de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal

(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio

do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do

equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo

contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da

potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio

para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia

Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a

integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e

I t e P t dt P t e dt

λλ λ

λ λ λ

minusminus minus minus minus

equiv = minus minusint int (319)

onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo

Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se

25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1

t t tt tP t P e P t P e

I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ

minus sdot minus sdotminus sdot minus

= minus minus + minus int (320)

Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)

Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =

= minus minus minus minussum sum int (322)

ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ

+ minus minusminus minus

+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)

341 Anaacutelise para k impar

Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita

como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ

minus minusminus minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26

Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall

Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear

constante e exponencial entre outras


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n

P te P t dt P t e dt

P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus minus minus minus

minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t

= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n

P te P t dt P t P t e

P t

λ λ

λ λ

minus minusminus minus minus sdot

+ += =

minus minus minus = minus

sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t

e P t dt S t S tλminus minus

= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)

Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio

da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =

minus= minussum sum sum (332)

Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)

identificando ( ) ( )

( )

2

2

P tr

P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem

28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)

Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ

minus minus = minus minus

(336)

Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)

Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil

mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)

Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo

329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P

e P t dt P t P eP t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus

minus minusint (339)

29

342 Anaacutelise para k par

Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus minus minus minus minus

minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)

Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n

P tP t e dt P t e dt

P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)

Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt

P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)

Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos

obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

minusminus minus minus

minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)

Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se

30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t

P t e dt S t S tλminus sdot minus

= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)

Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)

Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de

potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t

P t P t P Pe P t dt P t P e

P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam

na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)

pode ser escrita da seguinte forma

31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P

P t e dt P t P eP t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

sdotminus minus= minus


Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo

proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como

( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minusΛ Λ= + minus minus minus minus

minus minus minus

minus minus

(351)

E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a

equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia

do histoacuterico de potecircncia

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

Λ Λ= + Γ + minus minus


minus minus

(352)

32

4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com

dependecircncia temporal de β e Λ

Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear

natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos

discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos

reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a

melhora do desempenho da central nuclear

Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons

retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o

caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto

na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares

permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)


Generalizada (HGPT)

As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da

fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n

dP tt t t P t C t P t q

dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)

( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)

Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da

equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo

( ) ( ) ( ) ( )

t t t

nC t t P t e dtλβ minus minus

minusinfin= int (43)

33

Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo

para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n

t dP t At t e A t e dt

P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ

minus minusminusΛ= + minus minus

minus Λ minus minus

int

(44)

onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ


As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia

temporal de Λ e β satildeo

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f


dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)

( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)

Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)

Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da

reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ

34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A

t t e A t e dtP t dt P t P t

t Q t

P t

λλλ λρ β minus minusminusΛ

= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)

onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ

43 Meacutetodo das Derivadas para

Dependecircncia Temporal de β e de Λ

De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser

resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e

I t e A t dt A t e dt

λλ λ

λ λ λ



onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo

Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35


Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita

como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minus sdotminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)

Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall


constante e exponencial

Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n

A te A t dt A t e dt

A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t

e A t dt S t S tλminus minus

= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)

Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =


Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se

escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)

Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes

simples manipulaccedilotildees algeacutebricas

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)

Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A

e A t dt A t A eA t A t A A

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus



Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-

se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)

Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)

pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

minusminus sdot minus minus

minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38

Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t

A t e dt S t S tλminus minus

= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)

Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)

Finalmente podemos escrever para valores pares de k

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus



na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma

39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A

A t e dt A t A eA t A t A A

λ λλ λ

λ λ

minus sdot minus minus

2 2

minus minus= minus


Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com

dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)

(equaccedilatildeo 44) como

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t

P tt dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2

minusΛ Λ = + minus minus minus


minus minus

(432)

Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se

( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2

Λ Λ= + minus minus Γ minus


minus minus

(433)

40

5 Caacutelculo da reatividade para algumas

variaccedilotildees da potecircncia nuclear

51 Potecircncia Linear



Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo

pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca

causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no

circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)

Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave

ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos

uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma

( ) 0 nP t P wt= + (51)

a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se

escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +

minus + Λminus + minus minus

+ + +int

(52)

Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem

41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +

minus + Λminus minus minus

+ + + +

(53)

Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se

( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ

= + minus minus minus+ + + +

(54)

Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever

( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

minus +Λ= + minus minus

+ + +

+ minus minus Λminus minus

+ +

(55)

Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem

( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)

Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas

equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo

do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)

42


Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da

potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)

( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q

t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt


= + Γ + minus minus + minus+ + + +int

(57)

Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se

( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ

= Γ + + minus minus+ + +

(58)

Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se

( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus

Λ= + Γ + minus minus

+ +


+ +

(59)

Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem

( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)

Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico

de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o

meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)

43

52 Potecircncia Constante

Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia

nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia

constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator

nessas condiccedilotildees



Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e

assim pode-se escrever

( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P

λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ

= minus minus minus minusint (511)


( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ

minus Λ= minus minus (512)

Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se

( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ


Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para

potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia

equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)


Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo

P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se

( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP

λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)

Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o

formalismo de Silva et al

0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)

Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se

( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)

Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos

0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45

Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo

idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado

53 Potecircncia Exponencial



Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial

Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se

avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo

( ) 0

tP t P e

α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se

( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot

= + Λ minus minus minus

minus Λminus

int (519)

Resolvendo a integral tem-se

( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α

λβ λβρ β α β

α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot

= + Λ minus minus + minus+ +

minus Λminus

(520)

Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever

46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e

P e P e P P QP e P e

e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus

minusΛ= + minus minus

minus minus Λ minus minus minus

minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)

As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando

resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas


Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo

exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)

( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ

= + Γ + Λ minus minus minusint (523)

Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem

( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ

= + Γ + Λ minus minus + minus+ +

(524)

Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se

47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus


minus minus Λ minus minus

minus minus

(525)

Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave

( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)

54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia

Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual

para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o

reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda

suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de

potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da

seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le

lt le= + lt le + lt le + lt le

(527)

onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws

Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o

resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade

se escreve da seguinte forma

48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h

P w t P w t P w t P w t

t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus

minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le

+ + + +

minus lt le

minus sdot minus +Λ= + minus

+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+

minus minus +Λ Λ + minus minus lt le

+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le

+ + + +

(528)

Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da

seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus

Λ ΛΓ + + minus minus lt le

+ + +

Γ lt le

Λ Λ= Γ + + minus minus lt le

+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +

Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +

(529)

49

6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com

Dependecircncia temporal de β e Λ

Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto

e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com

( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)

onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-

7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de

necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s

61 Potencia Linear



No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma

variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do

funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons

retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo

de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)

obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt

P wt P Bt Bwt w P B BwtBt

P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus

minus +Λ += + + minus minus

+ + +

+ + + minus minus minus minus +

+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)


Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees

(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem

( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus

Λ += + + minus minus Γ

+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51




Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila

constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)

equaccedilatildeo (432) obteacutem-se

( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ

minus = + minus minus minus minus

minus Λ +minus minus minus

(65)


Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as

equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se

( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ

minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus

(66)

52




Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0

tP t P e

α= obteacutem-se

substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na

equaccedilatildeo (432) vem

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α

λβ λ β α αλ β

λ β λ β α βα α

λ αλβ

λ α αminus +

minus Λ += + + Λ + minus minus

+ minus minus minusminus +

+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)


Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da

potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +

Λ += + + Λ + minus Γ minus


+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53

633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da

Potecircncia

Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada

por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)

Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t

P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt

P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)

onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o

formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se

( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54

7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica

O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo

de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de

vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma

estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido

Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios

campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras

aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas

(Leppaumlnen 2007)

O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav

Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo

foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas

nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e

estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este

meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)

O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los

Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os

aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo

seria possiacutevel sem esta ferramenta

O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte

determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de

necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo

computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no

espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade

em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo

explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees

complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC

mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)

Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para

simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia

apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator

subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo

de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para

55

uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem

multigrupo (Kady et al 2001)

Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de

quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem

sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos

processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de

processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da

produccedilatildeo de energia do sistema

No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as

respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de

seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas

simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do

processo real

Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as

funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras

de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de

variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para

paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em

cluster de computadores (Grisell 2004)

O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos

fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os

mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)

Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009

Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de

amostragem Resultados

Funccedilatildeo de densidade de probabilidade

56

Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de

probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias

Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma

histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a

partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas

sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo

Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma

partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser

produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees

quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma

meacutedia de mais histoacuterias simuladas



grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados

satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo

Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz

que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo

de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as

duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve

uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)

Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo

se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-

se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas

para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral

(Vaz 2010)

A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios

de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras

funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base

do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna

essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador

baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios

se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros

sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser

igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido

As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos

repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a

aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da

57

natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)

Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees

numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos

O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em

trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para

partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na

soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na

fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e

transporte de partiacuteculas

A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um

empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto

tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de

memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio

monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo

ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula

Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte

de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de

memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento

distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo

mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de

processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser

simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de

simulaccedilatildeo anterior

71 Funccedilotildees Densidade de

Probabilidades

Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece

diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as

variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada

de funccedilatildeo de densidade de probabilidade

Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as

variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de

58

densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de

que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando

calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos

calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um

intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria

contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute

zero

A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser

visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de

observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade

Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas

de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)

Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio

Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez

mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees

Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio

59

Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes

tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma

curva teoacuterica como mostra a Figura 74


ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo

Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um

evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira

pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a

variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo

densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo

matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual

a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da

variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x

As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes

condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int

Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no

intervalo (ab) eacute

Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b

aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint

Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na

implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou

inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois

meacutetodos

72 Meacutetodo direto ou inverso

Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo

gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo

anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como

( ) ( ) b

aP x p x dx= int (71)

Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e

assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)

definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave

probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode

ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa

1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)

Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por

x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz

da equaccedilatildeo

min

( ) x

xp x dxξ = int (73)

61

Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com

a P(x)

A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte

algoritmo conforme mostrado na Figura 75

1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ

2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado

3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x


inverso (Salvat et al 2003)

A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons

(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais

de acordo com (Vaz 2009)

( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E

r E C E E r dE d Q r E T r r E d r

Ψ Ω =

Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int

(74)

Com o termo de fonte podendo ser definido como

62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa

` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo

1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S

Q r R S r E F E E r dE d

r E F E E r dE dk

Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω

int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω

foi abreviado como S

Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de

transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer

variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas

Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)

( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i

P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)

onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por

( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω

(77)

Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula

P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63

73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo

Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa

eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a

distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees

numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar

os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma

abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)

O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem

pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da

variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra

funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que

( ) ( )f x cg xle (71)

para todos os valores de x

Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se

( )( )

f x

cg xε lt (72)

Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute

repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos

pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)

Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para

isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao

sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute

possiacutevel calcular o valor de π

Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do

ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos

sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual

agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado

64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N

onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados

Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o

resultado

Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo

Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que

satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a

uma curva de probabilidade

Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de

dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um

segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor

que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e

ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode

ser descrito como

1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)

2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio

3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio

4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido

5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1

a

b

65

74 Meacutetodos Monte Carlo para


Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC

Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que

os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares

chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo

Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte

Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses

coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que

resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees

de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo

Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo

com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro

grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o

coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o

caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De

acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente

utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo

f(x)

ε2

ε1

Figura 78 Processo de caacutelculo de π

66

75 Conceito de Reatores ADS

Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima

de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos

actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade

aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons

Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um

sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear

queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento

A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash

accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade

Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu

(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para

alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos

podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de

material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele

pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto

para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)


teacutermico Fonte Lodhi et al 2009

Extraccedilatildeo de

toacuterio e uracircnio

238

U

ABR

Reator teacutermico

Energia eleacutetrica

239

Pu

232

Th


67


httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS

Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de

partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um

alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes

de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis

Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios

isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos

(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)

Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera

et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR

Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma

grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa

criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)

Fonte de necircutrons raacutepidos

Fonte de

spallation

Refrigerante chumbo-bismuto

Acelerador de

proacutetons

68

8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos

Utilizados

Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo

de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes

modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de

multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas

para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos

Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados

experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos

de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al

2011)

Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido

a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev

et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz

2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute

uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX

O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo

escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas

plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o

MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)

O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um

desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A

versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo

sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)

com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA

Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria

que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro

infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel

deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)

Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula

carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites

informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto

as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio

69

Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em

dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que

devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies

O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada

ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia

de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute

eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das

partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo

computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema

Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta

colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do

mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo

O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem

existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O

que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso

de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser

abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da

geometria)

O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos

disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela

agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo

existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto

proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz

bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados

como moderadores

O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para

simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute

desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research

Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27

paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute

atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de

processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo

A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-

processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e

o aumento de desempenho pode-se tornar significativo

O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com

fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica

70

simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem

elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por

exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal

A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os

raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo

referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a

extremidade

Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que

compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o

combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar

de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada

void

A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser

terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por

exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que

eacute chamado de universo

Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o

pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas

com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada

universo na posiccedilatildeo desejada

Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo

de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes

passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os

coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio

Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a

mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo

que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa

O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus

nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238

Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que

vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para

o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto

no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o

SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a

biblioteca foi avaliada (600 K)

71

Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais

de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu

nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K

Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os

demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de

zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o

SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de

negativo

Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio

informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto

com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da

densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade

pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)

Tabela 81 Exemplo de um

revestimento de zircaloy no MCNPX

Elemento Fraccedilatildeo de

massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125

Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de

uracircnio no SERPENT

Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02

Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT

foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o

MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores

Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura

81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)

Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83

72

Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR

Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER

Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU

Refrigerante (aacutegua)

Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)



Combustiacutevel (UO2)

Vazio (ar)

Refrigerante (Aacutegua)



73


CANDU e VVER

Reator keff Diferenccedila2

(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799

Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para

reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM

(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com

soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do

reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX

As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis

utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e

barras de controle respectivamente

A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de

varetas do reator entre outras

Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX

2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|

Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74

Tabela 84Composiccedilatildeo

do Combustiacutevel 1

(densidade 10818

gcm3)

Elemento

Concentraccedilatildeo

(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08

Tabela 85 Composiccedilatildeo


(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75


do revestimento da vareta

de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00


do refletor (densidade

53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00


da barra de controle

(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02

Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR

Paracircmetro Valor (cm)

ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685

ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134

Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048

Espessura do revestimento 00523

Altura ativa do combustiacutevel 844108

76

A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente

com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O

refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de

22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm

Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura

durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as

bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os

resultados

A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os

uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com

1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons

produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na

queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR

Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR

Intervalo Duraccedilatildeo (dias)

1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956

O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT

1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de

ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura

85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT

77

Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT

A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero

de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX

Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao

reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila

de 83 pcm

Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo

sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute

especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral

Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma

mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo

Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos

das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas

respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se

torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo

Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)

Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)

Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)

MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT

00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT

Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT

1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|

3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|

79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT

Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT

Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a

possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo

representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da

fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico

relativo (ver Figuras 89 e 810)

Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado

80

Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute

fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das

aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro

estaacutegios diferentes de queima

Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias

A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que

os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com

diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave

geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir

esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de

simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a

falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator

ABTR

Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo

sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz

sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo

de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a

a b

c d

81

problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza

simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser

aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores

82

9 Resultados

As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas

subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter

dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando

potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria

A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por

permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade

associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para

aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS

A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos

simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87

88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a

composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91

Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado

Elemento Concentraccedilatildeo

(fraccedilatildeo de massa)

U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850

Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico

Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83

Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os

resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na

Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo

realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)


subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10

91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia

Nuclear

Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se

monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor

uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita

considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo

monitorado por um periacuteodo de 6 horas

A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e

a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa

92 Potecircncia Nuclear Constante

Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi

de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de

passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo

84

linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta

simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94

mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW

93 Variaccedilatildeo Exponencial da

Potecircncia

A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em

intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos

com uma taxa de aumento de 00001

Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear

Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)

Potencia

(MW)

Tempo

(h) SERPENT TAF HGPT

TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85

Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante


Tempo

(min) SERPENT TAF HGPT

TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14

Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia


Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86


A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante

sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma

suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A

Tabela 96 mostra os resultados obtidos


apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)


SERPENT TAF HGPT TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83

95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ

Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a

variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos

necircutrons

87

951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia

Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma

variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves

variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ

para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de

ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim

natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees

Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ

Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)


SERPENT TAF HGPT TAF ndash

SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141

952 Potecircncia constante

Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os

resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo

desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas

88

Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante

Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia

Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator

foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de

potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos

89


com β e Λ variaacuteveis no tempo


Potecircncia

Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a

avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi

realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados

obtidos

Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)


Serpent TAF HGPT TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90

96 Paracircmetros Nucleares

Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees

imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles

podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser

introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas

fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na

interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades

integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator

de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras

quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos

especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande

confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas

fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais

introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das

equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica

dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a

ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode

ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter

alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)

Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por

exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de

necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante

observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica

concebida para sistemas criacuteticos

Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas

atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de

transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos

necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e

podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e

computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos

modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em

qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento

fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do

sistema

91

O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para

sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais

medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar

especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados

Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto

combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns

paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de

combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons

retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo

SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo

Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares

Paracircmetro Combustiacutevel

fresco

Combustiacutevel

queimado

Referecircncia (Dulla et

al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s

A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados

tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de

se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja

tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como

eacute em seu iniacutecio

O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no

reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou

seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale

ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel

de subcriticalidade

Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e

para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta

dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades

et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para

reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o

valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor

encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual

92

de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e

tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento

93

10 Conclusatildeo

A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente

utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade

eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)

Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem

a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos

guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as

simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do

funcionamento desses reatores

Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da

cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem

satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo

das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o

formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)

Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares

de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β

(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)

Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o

monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o

histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o

caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo

necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo

natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo

pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da

reatividade

A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos

devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa

reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos

encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo

atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses

dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de

nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de

rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase

94

dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o

acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla

Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por

Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da

reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte

Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise

preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como

por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma

boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o

comportamento meacutedio do reator

Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores

encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel

melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de

histoacuterias simuladas

Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos

do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria

sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula

podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema

Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os

actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de

reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas

permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees

Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os

meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da

simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os

pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens

deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas

computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)

95

11 Referecircncias Bibliograacuteficas

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TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE POacuteS-GRADUACcedilAtildeO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSAacuteRIOS PARA A OBTENCcedilAtildeO DO GRAU DE DOUTOR EM CIEcircNCIAS EM

ENGENHARIA NUCLEAR

Examinada por

________________________________________________

Prof Aquilino Senra Martinez DSc

________________________________________________ Prof Fernando Carvalho da Silva DSc

________________________________________________ Dr Daniel Artur Pinheiro Palma DSc

________________________________________________ Prof Alessandro Gonccedilalves DSc

________________________________________________ Dr Antonio Carlos Abreu Moacutel DSc

RIO DE JANEIRO RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2013

iii





UFRJCOPPE 2013

XI 97 p il 297 cm










iv

Dedicatoacuteria





v

Agradecimentos












vi






Fevereiro2013















vii






February2013













viii


Lista de Tabelas xi


































ix

















9 Resultados 82













x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















iii





UFRJCOPPE 2013

XI 97 p il 297 cm










iv

Dedicatoacuteria





v

Agradecimentos












vi






Fevereiro2013















vii






February2013













viii


Lista de Tabelas xi


































ix

















9 Resultados 82













x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















iv

Dedicatoacuteria





v

Agradecimentos












vi






Fevereiro2013















vii






February2013













viii


Lista de Tabelas xi


































ix

















9 Resultados 82













x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















v

Agradecimentos












vi






Fevereiro2013















vii






February2013













viii


Lista de Tabelas xi


































ix

















9 Resultados 82













x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















vi






Fevereiro2013















vii






February2013













viii


Lista de Tabelas xi


































ix

















9 Resultados 82













x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















vii






February2013













viii


Lista de Tabelas xi


































ix

















9 Resultados 82













x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















viii


Lista de Tabelas xi


































ix

















9 Resultados 82













x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















ix

















9 Resultados 82













x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















x

Lista de Figuras



Yoriyaz 2009 55


























xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















xi

Lista de Tabelas






CANDU e VVER 73





gcm3) 75






e no SERPENT 78



subcriacuteticos 83




potecircncia 85


apresentados 86








1











107 anos)
























2


meses em 13 anos










Eleacutetrica (MWe)

Potecircncia


USA

EBR 1 02 14 1951-63



SEFOR

20 1969-72

Fast Flux Test

Facility Pesquisa

400 1980-93



Franccedila






40 1985-


Japatildeo

Joyo Pesquisa

140 1978-


2010-


Ruacutessia

BN 12

101 1950


5 8 1959-71

1973-

BOR 60





3

















reator





Acelerador

Nuacutecleo

Turbina

Condensador

Trocador de Calor

Gerador

4







quantidades de AM









catastroacuteficas




partiacuteculas











(Rubbia et al 1995)







5



muito maiores




funcionamento































6






















disponiacuteveis















nuclear

7

















em detalhes











neste trabalho




8























maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

I

i i ext

i


β λ=


partsum

(21)


β λpart

= Ψ minus =part

(22)




9






Generalizada (HGPT)




( ) ( )0 0 0 0

0

0f

f

wA n r F n r

P


(23)



obteacutem-se

( )0 0 0 0

1

11

I

o i i ext

i


β λ+ + + + +

=


partsum (24)





10




( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0 0

1

1

1

o

I

i i ext ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q n q

δ β

β δ λ δ

+ minus + + +

+ + + +

=


part



(0)

0 1ext


( )

( )

( )

1

0 0 0 00

(0)

0 0 0

1

0 0 0

1

1 1

o

I

i i ext

i

n v n A n A n Ft

n F n c n q

n F F n F

δ β

β δ λ

β δ β

+ minus + + +

+ + +

=

+ +


part

minus Ψ + + + +

+ Ψ minus Ψ

sum (29)


1

0 0 0 00

0 0 0

1

0

1

o

I

i i ext

i

n v n A n F n At

n F n c n q

n F

δ

δ λ δ

β

+ minus + + +

+ + +

=

+


part

Ψ + + + +

minus Ψ

sum (210)


0 0 00

0

0f

wn A n F

P

++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)

11


1

0 0 0

1

0

0

1

I

o i i

i

ext f

n v n A F n F n ct

wn q

P

δ δ β λ

δ

+ minus + + +

=

+


part

minus Σ Ψ +

sum (212)

Admitindo que


(213)

onde ( )0 rφ



obteacutem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

part= + minus +

part

+ minus Σ +sum

(214)


( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

1

o

I

i i ext f

i


dt

wn c n q P t r

P

φ δ δ φ β φ

λ δ φ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

+ minus Σ +sum

(215)

Sendo 0 0f

P w φ= Σ tem-se

12

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

1

o

I

i i ext

i


dt

n c P t n q

φ δ δ φ β φ

λ δ

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus + +sum

(216)


0 0 I n F φ+= (217)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 I

n n n n n

eff eff i i

i

dP tP t C t P t Q

dtρ β λ ζ

=


sendo

( )1

0

o

n

eff

n v r

I

φ+ minus

Λ equiv

(219)

( )0 0

nn A F r

I

δ δ φρ

+ +equiv

(220)

( )0 0

n

eff

n F r

I

β φβ

+

equiv

(221)

( )0

in

i

n cC t

I

+

equiv (222)

1

I

ζ equiv (223)

0

extn

n qQ

I

δ+

equiv (224)

13


iC t eacute a


importacircncia



( ) ( ) ( ) n n n

i i eff i i

dC t P t C t


onde

0 0

in

i eff

n F

I

β φβ

+

equiv (226)




( )

( ) ( ) ( )( ) 1n

n n

dP tt P t C t P t q


( )( )

( )n

dC tP t C t

dtβ λ= minus

(228)





14





foi

( ) ( )dagger

0 0 0 0

0

1

f

sub

A r F rk N

νε ε η+ + +

Σminus =

(229)


obteacutem-se

( )1

0 0 0 0

1

1 I

o i i ext

i

v A F c qt


=


partsum (230)



0

1

sub

F F Fk

δrarr + (232)


termos vem

( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1

11

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q

ε ε ε δ ε β

ε β δ λ ε ε

+ minus + + +

+ + +

=


part

minus Ψ + +sum

(233)

15



1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

o

sub

I

i i ext

i

v A A Ft k

F c q F

ε ε δ ε ε


+ minus + + +

+ + + +

=


part

Ψ + + minus Ψsum

(234)


podemos escrever


0 0 0 0

0

1

f

sub

A Fk N



1

0 0

0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

v A F Ft

c qN

ε ε δ δ ε β

νλ ε η ε

+ minus + +

+ +

=


part


Admitindo que


(237)

onde ( )0 rφ



16

( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0 0

1 0

o

I

i i f ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t qN


νλ ε η φ ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus Σ +sum (238)

e como 0 0f


( )( ) ( )

( )

1

0 0 0 0 0

0 0

1

o

I

i i ext

i

dN tv A F N t F N t

dt

c N t q


λ ε η ε

+ minus + +

+ +

=

= + minus +

minus +sum (239)


( )

( ) ( ) ( ) ( )1

I

eff i i

i

dN tN t C t N t q

dtρ β λ

=


onde

1

0

o

eff

v

I

ε φ+ minus

Λ equiv (241)

0 0

A F

I

ε δ δ φρ

+ +equiv (242)

0 0

eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (243)

( )0

i

i

cC t

I

ε +

equiv (244)

0

ext

qQ

I

ε +

equiv (245)

I

ηΓ equiv (246)



17


( ) ( ) ( ) i i eff i i

dC t N t C t


onde

0 0

i

i eff

F

I

ε β φβ

+

equiv (248)



( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f

dP tt P t C t P t q


( )

( ) ( )f

dC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

sdotΣ (250)









18






( ) ( )( )

t

t t

nC t P t e dt

λβ minus minus

minusinfin

= int (251)


( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )1

tnt tn n

n


dt

λζλβ

ρ β minus minus

minusinfin

minus= minus + + +

Λ Λ Λint (252)


( )tρ tem-se

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

0

0

1

ttt tn

n

n n n

n

n n

dP t P et P t e dt

P t dt P t P t

P t Q

P t P t

λλβ λβ

ρ β

ζ

minusminus minusΛ

= + minus minus

minus Λminus minus

int (253)

onde P0 = P(0)




( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t

t ttdP t P Q




19


de Potecircncia







(Ansari et al 2001)







inversa como

( )( )

( ) ( )( )

1 i

t t t

i i

i

c St e P t dt

P t P t


minusinfin





20

( ) ( )

1

1

1 1

1

in

i n i

i

i

tt t t t n

n n

i i

ttn

i i

P eI e P t dt e I

t

P ee

t

λλ λ

λλ

λ λ

λ λ


minusminusinfin


minus= = + minus

∆

minusminus minus

∆

int (32)


( ) ( ) ( ) i

t t t

i i

i




( )( )( ) ( )

Sg t

tP t P t




ou S S

PP

ρ ρρρ






( )2 2P g e ( )3 3

P g


de

( ) 3 1

3 1

g g

P Pβ ρ

minusminus =

minus (36)


21



( )( )

( )( )

( ) ( )( )6

1

i i

i

S t dP tt C t


=



( )dP t

P t dt




( )( )

( )( )

( )

6

1

i i

i

S tt C t

P t P tρ β λ

=





βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =

Λ (310)



( ) ( ) ( ) ( )6

1

i i

i








22

1

1 N

i j

j

P PN =

= sum (312)

e

( )1 1 i i i i

tP P P P

t τminus minus

∆= + minus

∆ + (313)






[ ] 1 1

6

1

1

i i

i

CM I

C

λ β

βλ

=

equiv

sum (314)






23





jn t n emicro

minus= onde

( )1log j j j


6

1

j

j eff i i j

ij j j

nC S

n t n nρ β λ

=


∆sum (315)

onde

1

1 1

i

i

t

j jt ii j i j

j

i

j

n n eC C e

n

n t

λ

λ β

λ


minus

minus= +

∆Λ+

∆

(316)


de necircutrons


( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)

e

0 0 S nρ = minusΛ (318)



24


























( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tP t P e


λλ λ

λ λ λ





25

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 2 2

0

0 0 1


I t P t e dt

λ λλ

λ λ λ λ λ




( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2

3

3 3 3

0

0 0

1

t t

t tt t

P t P e P t P eI t

P t P t eP t e dt

λ λ

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ

minus minus

minusminus minus

= minus minus + +

minus minus int

(321)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 10 0 0

0 1 1

n n k t tt tk kn n

n n kn n

P t P e P t eI t dt

λλ

λ λ λ

+ minus minusminus

+ + += =


ou ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(323)



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

m t tt tt t

m

n n tm mn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ


minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(324)

26


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n P tP t P t

P t

minus

minus

=

(325)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n P tP t P t

P t

=

(326)

onde ( ) ( )

( )

2

P t

cte tP t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

m

n nm m

n n t

n nn n


P t

P t P t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(327)

Como ( ) ( )

( )

2P t

cteP t


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1 2 1

1 10 00

1 11

n n nt m mt t n n t

n nn n


P t

λ λ

λ λ


+ += =


sum sumint

(328)

Logo

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (329)

27

sendo

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

nm

n

nnn

S P t

P t

P t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (330)

e

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

nm

n t

nnn

S P t e

P t

P t

λ

λ

minusminus sdot

+=

minusequiv minus

minus

sum (331)


da seguinte forma

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nm m mn

n n nn n n

P t P tP t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 22 1 1

1 2 20 0

1

nnm m

n

nn n

P t P t P tP t

P tλ λ λ λ

minusminus minus

+= =

minus = minus

sum sum (333)

Lembrando que

( )1

0

1

1

mm

n

n

a rar

r

+

=

minus=

minussum (334)


( )

2

2

P tr


28

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nm

n

nn

P t

P tP t P tP t

P t

P t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (335)


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

1 22

22

1

11

n

n

P tP t P t

P tS

P tP t

P tP t

λλ λ

λλ


(336)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

P t P tS P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (337)


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tP PS P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (338)


329) como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus


29



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t t

t t m t t

m

n n tm mn n

n nn n

P t e dt P t e dt

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(340)


( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

mt t

t t t t

m

n n tm mn n

n nn n


P t

P t P e

λ λ

λ

λ

λ λ

minus


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(341)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0

0

t tt t t tt



obteacutem-se

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt mt t n n t

m nn

mn n t

m m

P t e dt P t P e

P t

P t

P t P e P t

P tP t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(343)


30

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (344)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nm

n

m nn

S t P t

P t

P t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (345)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nm

n t

m nn

S t P e

P t

P t

λ

λ

λ

minusminus sdot

minus +=

minusequiv

minus

sum (346)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

P t P tS t P t

P t P t

λ

λ 2

minus=

minus (347)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tP PS t P e

P P

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (348)



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t t


P t P t P P

λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus





31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tP t P t P P


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2





( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

tnn

n n n n

n n n n

n n

n n n n n

t

P tdP t P e Qt

P t dt P t P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2


minus minus minus

minus minus

(351)




( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

dP t P Qt e

P t dt P t P t

P t P t P PP t P e

P t P t P t P P

λ

λ

βρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(352)

32














Generalizada (HGPT)



( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n

n n



( ) ( )( )

( )n

dC tt P t C t

dtβ λ= minus

(42)



( ) ( ) ( ) ( )

t t t



33


para a reatividade

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0

0

1

t t tn t

n n n

n

n


P t dt P t P t

P t t Q t

P t P t

λλλ λρ β

ζ



int

(44)





( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) f f



( )( )

( ) ( )f

tdC tP t C t

dt

βλ

ϖ= minus

Σ (46)


( ) ( ) ( ) ( )1

t t t

f

C t t P t e dtλβ

ωminus minus

minusinfin=

Σ int (47)



34

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

t t ttt dP t A


t Q t

P t


= + minus minus

ΛminusΓ minus

int (48)






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

0 0

0 1

tt tt t t tA t A e


λλ λ

λ λ λ





( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

1

0 0

1 10 0

01 1

k t tt tt t

k

n n tk kn n

n nn n

A t ee A t dt dt

A t A e

λλ

λ

λ

λ λ


+

minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(410)

35



como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

01 1

j t tt tt t

j

n n tj jn n

n nn n

P t ee P t dt dt

P t P e

λλ

λ

λ

λ λ



+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(411)


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

2 1 1

n

n A tA t A t

A t

minus

minus

=

(412)

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 1

n

n A tA t A t

A t

=

(413)

onde ( ) ( )

( )

2

A t

cte tA t

= forall




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0

2 1 2 1

1 10 0

1

1 1

nt t

t t t t

k

n nj jn n t

n nn n


A t

A t A t e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus minusminus

+ += =

+ =

minus minusminus

int int

sum sum

(414)

ou ainda

36

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

tt t


= +int (415)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

1 12 0

11

1

njn

nnn

S t A t

A t

A t

λ

minus

+=

minusequiv minus

sum (416)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 1

2 12 0

11

1

njn t

nnn

S t A t e

A t

A t

λ

λ

minusminus

+=

minusequiv minus

minus

sum (417)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1

1 2 1 2 20 0 0

1

n n nj j jn

n n nn n n

A t A tA t

λ λ λ

+minus minus minus

+ + += = =



escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

212 1

1 2 20

2

11

1

n

nj

n

nn

A t

A tA t A tA t

A t

A t

λ

λ λ λ

λ

minus

+=

minus

minus = minus minus

sum (419)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1 2

A t A tS A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (420)

37


mostrar que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

2 2

0 00

0 0

tA AS A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (421)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1

2 1

0 0

2 2 2 2

1 10 0

1

01 1

t tt t j t t

j

n n tj jn n

n nn n

A t e dt A t e dt

A t A e

λ λ

λ

λ

λ λ


minus

minusminus minus

+ += =

+ =

minus minus minus

int int

sum sum

(423)



( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12

00

2

12

1 2 12

2

11 0

1

01

1

nt jt t n n t

j nn

jn n t

j j

A t e dt A t A e

A t

P t

A t A e A t

A tA t

P t

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ


minus +=

minusminus

minus minus

minus= minus minus

minus

minus

minus

sumint

(424)

38


( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

tt t


= minusint (425)

sendo

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

3 1 12

0

2

11

1

nj

n

j nn

S t A t

A t

A t

λ

λ

minus

minus +=

minusequiv

minus

sum (426)

e

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )2 3

4 1 12

0

2

110

1

nj

n t

j nn

S t A e

A t

A t

λ

λ

λ

minusminus

minus +=

minusequiv

minus

sum (427)


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

3 2

A t A tS t A t

A t A t

λ

λ 2

minus=

minus (428)

e

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

4 2

0 00

0 0

tA AS t A e

A A

λλ

λ

minus

2

minus= minus

minus (429)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ

minus minus minus

2 2

minus minus= minus




39

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2

0

0 0 0

0 0

tt t tA t A t A A


λ λλ λ

λ λ


2 2

minus minus= minus





( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

1

0 00

0 0

nn t

n n n n

n

t


P t dt P t P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

ζλρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(432)


( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1 1

2 2

0 00

0 0

t

t

t dP t t Q tAt t e

P t dt P t P t

A t A t A AA t A e

P t A t A t A A

λ

λ

λρ β

λ λλ

λ λ

minus

minus

2 2



minus minus

(433)

40













( ) 0 nP t P wt= + (51)


escrever

( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

0

0

0 0 00

1

t

tt t

d P wt P et

P wt dt P wt

P wt QP wt e dt

P wt P wt P wt

λ

λ

βρ β

ζλβ

minus

minus minus

+Λ= + minus

+ +


+ + +int

(52)


41

( )

( ) ( )( )( )

0

0 0

0

0 0 0 0

1

t

P wtwt

P wt P wt

P wtw we Q

P wt P wt P wt P wt

λ

λβρ β

λ

ζβ β

λ λ

minus

+Λ = + minus +

+ +


+ + + +

(53)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(54)


( )( )( )

( )

00

0 0 0

0 0

0 0

1

t

t

P wtPwt e

P wt P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

ζβρ β

λ λλβ

λ λ

minus

minus


+ + +


+ +

(55)


( ) ( )( )

( )( )0

0 0 0 0

11 t

P wtw w Qt e

P wt P wt P wt P wt

λζβ

ρλ

minusminus +Λ Λ


(56)




42




( ) ( ) ( )00

0 0 0 00

tt ttPw Q




(57)


( )( )0 0 0

( ) 1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λ βρ

λminusΛ Λ


(58)


( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

t

t

Pwt e

P wt P wt

P wt w P w Qe

P wt P wt

λ

λ

βρ β

λ λβ

λ λ

minus

minus


+ +


+ +

(59)


( )( )

( )0 0 0

1 tw w Q

t eP wt P wt P wt

λβρ

λminusΛ Λ


(510)




43










( ) ( ) ( ) 0

0 00

1

t

t ttP Q

t e e dtP P




( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ



( )( )0

0

0 00 0

0 0 0 0

1

t

t

Pt e

P

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ζρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

minus= minus minus

Λminus minus

(513)

Assim vem

44

( )( )0

0 0

1

P Qt

P P

ζρ








( ) ( )

00

tt tt Q

t e e dtP




0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (516)


( )

0 00 0

0 0 0 0

t

t

t e

P P QP P e

P P P P

λ

λ

ρ β β

λ λλβ

λ λ

minus

minus

2 2

= + Γ minus minus

Λminus minus

(517)


0

( ) Q

tP

ρΛ

= Γ minus (518)

45









( ) 0

tP t P e


( ) ( )

( )

( )

0

0

0 0

1

ttt t

t

t t

t e e e dt

P e Q

P e P e

α λλ α λ

α

α α

ρ β α β λβ

ζ

+minus + minus

minus sdot


minus Λminus

int (519)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus sdot


minus Λminus

(520)


46

( )( )00 0

0 0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

1

tt t

t t t

t tt t

t t t t

P eP e P et

P e P e P e


e P e P e P P P e

αα λ

α α α

α αα λ

α α α α

ζα βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minusminus

minus



minus minus

(521)


( )( )

( )

( )

0

0 0

1

t

t

t

t t

et e

P e Q

P e P e

λ αλ α

α

α α


α λ α λ

ζ

minus +minus +

minus


minus Λminus

(522)






( ) ( ) ( )

00

tttt

t t

e Qt e e dt

e P e

λα λλ α

α α

λβρ β α β

minus+minus + Λ



( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(524)


47

( ) 0 0

0 0

0 0 0 00 02 2 2 2

0 0 0 0 0

t t

t t

t tt t

t t t t

P e P et

P e P e


e P e P e P P P e

α λ

α α

α αα λ

α α α α

α βρ β

λ α λ αλβ

λ α λ α

minus

minus



minus minus

(525)


( )( )

( )

( )( )

0

t

t

t

e Qt e

P e

λ αλ α

α


λ α λ α

minus +minus + Λ


(526)







seguinte maneira

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(527)





48

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 0 11

0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 22

0 2 0 2 0

1 1 0 1

1 2

1 1( )

t

t

e w P w tw Qt h


t h

e w P w twt

P w t P w t P

λ

λ

β ζ

λ

ζ

β ζρ

λ

minus

minus


+ + + +

minus lt le


+ + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 0 2

4 0 44

0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 55

0 5 0 5 0 5 0 5

2 4

1 1 4 5

1 1 5 6

t

t

Qt h

w t P w t

e w P w tw Qt h


e w P w tw Qt h


λ

λ

β ζ

λ

β ζ

λ

minus

minus

Λ

minus lt le+



+ + + +

(528)


seccedilatildeo 512

( )( )

( )( )

( )

1 1

0 1 0 1 0 1

2 2

0 2 0 2 0 2

4

0 4

1 0 1

1 2

( ) 1 2 4

1

t

t

t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

t h

w w Qt e t h

P w t P w t P w t

we

P w t

λ

λ

λ

β

λ

βρ

λ

β

minus

minus

minus


+ + +

Γ lt le


+ + +

ΛΓ + + minus

+ ( )

( )( )

4

0 4 0 4

5 5

0 5 0 5 0 5

4 5

1 5 6t

w Qt h

P w t P w t

w w Qe t h

P w t P w t P w t

λ

λ

β

λminus

Λ

minus lt le+ +


(529)

49





( ) 0t Btβ β= + (61)

e

( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)




61 Potencia Linear








obteacutem-se

50

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

t

t

P wtct w P et Bt

P wt P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(63)




( )( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

2

2

2

t

t

ct w P et Bt

P wt P wt


P wt P Bt Bwt Bw

ct QP w P BP e

P Bw P wt

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(64)

51







( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

0 0

1

1

t Bt Bt P e P

P ct QP B

P P

λρ β λβλ

ζ

λ



(65)




( ) ( )( )( )00

0 0 0 0

0

1 tct QP BB

t Bt P e PP

λρ β λβλ λ


(66)

52





tP t P e

α= obteacutem-se



( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

1

2

12

t

t

t

P e ct Qt Bt ct

P e P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

α

α

λ α

ζρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(67)




( ) ( ) ( )( )

( )

( )

0

0 0

0

0 002 2 2 2

0 0

00 2 2

0

2

1 2

t

ct Qt Bt ct

P

Bt B B tBt

Bt Bt

BPe

BP

λ α

ρ β α



λ αλβ

λ α αminus +



+ minus minus minus

minus ++ minus

minus minus

(68)

53


Potecircncia


por

( )

0 1

0 2

0 4

0 5

0 1

0 1 2

2 4

4 5

5 6

P w t t h

t h

P t P w t t h

P w t t h

P w t t h

+ lt le


(69)


( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

00 0 00

0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

1

2

2

2

tii

i i i

i i i i

i i i

i

i i

t

P w tct w P et Bt

P w t P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

ζβρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ + +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(610)



( )

( )( )

( )( )

0 0 00

0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 2 2

0 0 0 0

00 0 0 00 0 2

0 0 0

( )

2

2

2

ti

i i

i i i i

i i i

i

i i

t

ct w P et Bt

P w t P w t


P w t P Bt Bw t Bw

ct QP w P BP e

P Bw P w t

λ

λ

βρ β

λ β β βλ β

λ β β

λβ βλβ

λ β

minus

minus


+ +


+ + + minus

Λ + minus ++ minus

minus +

(611)

54









(Leppaumlnen 2007)

























55













processo real











Gerador de

nuacutemeros

aleatoacuterios

Teacutecnicas de



56

























(Vaz 2010)













57

























Probabilidades







58







zero










59















condiccedilotildees

( )

( ) ( )

0

1

f x x

F x f x dx

gt forall

= =int



Densidade de

probabilidade

Massa (kg)

60

( ) ( ) ( ) ( )b





meacutetodos





( ) ( ) b







1 1

( )( ) ( ) ( )

d dP xp p x p x

dx dxε

εε

minus minus

= =

(72)




min

( ) x


61


a P(x)











( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3

` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `

r E


Ψ Ω =


(74)


62

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

Fonte fixa


1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor

S


r E F E E r dE dk


int

int

(75)

onde ( ) S r E Ω






( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i




(77)


P4

P1

P2

P5

P3

P6

P

P0

63












( ) ( )f x cg xle (71)



( )( )

f x

cg xε lt (72)












64

2

4r 4

c

t

N πrsup2 π= =

N



resultado










ser descrito como






a

b

65



















f(x)

ε2

ε1


66






















238

U

ABR

Reator teacutermico


239

Pu

232

Th


67
















Fonte de

spallation


Acelerador de

proacutetons

68


Utilizados









2011)























69


















geometria)







como moderadores













70







extremidade





void
























71








negativo









massa

4000066c -098135

2400066c -000100

2600066c -000135

2800042c -000055

5000006c -001450

801606c -000125



Elemento Densidade

Atocircmica

9223409c 914E-02

9223509c 935E+00

9223809c 215E+02

O-1609c 449E+02







72









Vazio (ar)




73


CANDU e VVER


(pcm) MCNPX SERPENT

VVER 128763 128807 3417

CANDU 094169 094207 4034

PWR 100176 100184 799













Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

74



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 122E-04

U-235 322E-01

U-236 206E-02

U-238 202E+02

Np-237 384E-02

Pu-236 139E-07

Pu-238 959E-03

Pu-239 350E+01

Pu-240 374E+00

Pu-241 245E-01

Pu-242 175E-02

Am-241 142E-02

Am-242 285E-04

Am-243 613E-04

Cm-242 471E-04

Cm-243 741E-06

Cm-244 483E-05

Cm-245 191E-06

Cm-246 261E-08



(densidade 10851

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 100E-02

U-235 320E-01

U-236 195E-02

U-238 197E+02

Np-237 181E+00

Pu-236 908E-06

Pu-238 905E-01

Pu-239 235E+01

Pu-240 109E+01

Pu-241 294E+00

Pu-242 219E+00

Am-241 213E+00

Am-242 583E-02

Am-243 436E-01

Cm-242 735E-02

Cm-243 244E-03

Cm244 110E-01

Cm-245 977E-03

Cm-246 677E-04



(densidade 10818

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

U-234 150E-02

U-235 318E-01

U-236 186E-02

U-238 193E+02

Np-237 313E-02

Pu-236 911E-08

Pu-238 987E-03

Pu-239 431E+01

Pu-240 456E+00

Pu-241 295E-01

Pu-242 206E-02

Am-241 223E-02

Am-242 408E-04

Am-243 756E-04

Cm-242 563E-04

Cm-243 905E-06

Cm244 553E-05

Cm-245 200E-06

Cm-246 241E-08

75



de combustiacutevel

(densidade 75357

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Fe-54 408E+01

Fe-56 641E+02

Fe-57 148E+01

Fe-58 197E+00

Ni-58 293E+00

Ni-60 113E+00

Ni-61 491E-02

Ni-62 157E-01

Ni-64 399E-02

Cr-50 451E+00

Cr-52 870E+01

Cr-53 987E+00

Cr-54 246E+00

Mn-55 460E+00

Zr-nat 491E+00



53908 gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

Na-23 715E+01

Fe-54 277E+01

Fe-56 435E+02

Fe-57 101E+01

Fe-58 134E+00

Ni-58 199E+00

Ni-60 767E-01

Ni-61 333E-02

Ni-62 106E-01

Ni-64 271E-02

Cr-50 306E+00

Cr-52 591E+01

Cr-53 670E+00

Cr-54 167E+00

Mn-55 312E+00

Zr-nat 333E+00



(densidade 15643

gcm3)

Elemento


(aacutetomosbarns

cm)

C-12 407E+01

B-10 164E+02

B-11 662E+02








76








resultados








1 2739

2 2739

3 5478

4 10956

5 10956

6 10956

7 10956

8 10956

9 10956

10 10956

11 10956

12 10956





77






de 83 pcm










Legenda

Combustiacutevel 1

Combustiacutevel 2

Combustiacutevel 3

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

78


e no SERPENT

Tempo

(dias)


Diferenccedila3

reatividade

(pcm)

Diferenccedila1

Burnup

(GwdMTU)


00 4335 4418 0000 0000 83 0000

2739 4033 4114 1325 1324 81 0001

5478 3906 3788 2649 2649 118 0000

1096 3544 3462 5298 5297 81 0001

2191 2759 2343 10600 10594 415 0006

3287 1749 1642 15890 15891 106 0001

4382 1053 1255 21190 21188 202 0002

5478 15 106 26490 26485 91 0005

6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008

7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011

8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014

9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007

10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094

095

096

097

098

099

100

101

102

103

104

105

106

Kef

f

Tempo (Dias)

MCNPX SERPENT




79

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

10

20

30

40

50

60

burn

up (

Gw

dM

TU

)

tempo (Dias)

MCNPX 26 SERPENT








80













ABTR





a b

c d

81




82

9 Resultados
















U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850


Legenda

Combustiacutevel

Barra de controle

Refletor

Refrigerante

83






subcriacuteticos

Paracircmetro Valor

β 000706

Λ 121x10-5 s

λ 21979x10-1 s

Γ -077x10-10


Nuclear












84





Potecircncia






Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 1 -2069 -2125 -2119 56 50

84 2 -2050 -2125 -2125 75 75

88 3 -2122 -2134 -2134 12 12

92 4 -2077 -2143 -2143 66 66

96 5 -2142 -2151 -2151 9 9

100 6 -2119 -2158 -2158 39 39

85



Tempo


TAF -

SERPENT

Gandini -

SERPENT

0 -2133 -2146 -2146 12 12

10 -2152 -2146 -2146 6 6

20 -2144 -2146 -2146 2 2

30 -2167 -2146 -2146 21 21

40 -2151 -2146 -2146 5 5

50 -2127 -2146 -2146 18 18

60 -2177 -2146 -2146 31 31

70 -2145 -2146 -2146 0 0

80 -2152 -2146 -2146 6 6

90 -2160 -2146 -2146 14 14



Potencia

(MW)

Tempo


TAF -

SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2065 2120 2120 55 55

115 10 2108 2107 2107 0 0

165 20 2104 2115 2114 11 10

235 30 2070 2114 2115 44 45

337 40 2083 2115 2115 32 32

483 50 2126 2115 2117 11 9

86







apresentados

Potencia

(MW)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 0 2075 2029 2029 46 46

90 1 2075 2188 2188 113 113

0 2 2143 2118 2118 24 24

40 3 2050 2120 2120 70 70

80 4 2133 2231 2231 97 97

100 5 2080 2163 2163 83 83




necircutrons

87









Potencia

(MW)

Tempo

(h)

Λ (x10-5)

(s)

β

(pcm)



SERPENT

HGPT ndash

SERPENT

80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6

84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0

88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28

92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80

96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127

100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141





88


Tempo

(min) Λ (x10-5) (s)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7

10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6

20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5

30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17

40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4

50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18

60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31

70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0

80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1

90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14


Potecircncia




89




Potecircncia




obtidos


Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125

115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36

165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13

235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9

337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80

483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212

Potecircncia

(MW)

Λ (x10-5)

(s) β (pcm)

Tempo

(h)



SERPENT

HGPT -

SERPENT

80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102

90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2

0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79

40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51

80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140

100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23

90


































sistema

91













fresco

Combustiacutevel

queimado


al 2011)

β 000706 000340 000644

Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s










de subcriticalidade








92



93

10 Conclusatildeo
















(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)








reatividade









94





























95




















pp 633e ndash 644













96










Susono Japan













15 n 12 pp 553 ndash 559














97



v 38 pp 1489ndash1495














Laboratory







567-572












98






68ndash72










1098ndash1108
















simulaÇÃo de um reator subcrÍtico tipo ads ...antigo.nuclear.ufrj.br/dscteses/teses2013/tese...

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