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Simulação Numérica de Problemas de Poluição Térmica: Formulações e Solvers Renato Silva, Regina Almeida LNCC RSS-09/03 – p.1/60

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Simulação Numérica de Problemas dePoluição Térmica: Formulações e Solvers

Renato Silva, Regina Almeida

LNCC

RSS-09/03 – p.1/60

Conteúdo

� Introdução do Problema

� Equações

� Formulação

� Computação de Alto Desempenho

� Estratégias Adaptativas

� Resultados

RSS-09/03 – p.2/60

Introdução

Homem Meio Ambiente

Qualidade da Agua

RSS-09/03 – p.3/60

Projeto Geoma - www.geoma.lncc.br

� Objetivo: "Geração de Cenários para tomada dedecisões"

� Modelagem Computacional

RSS-09/03 – p.4/60

Nosso Interesse

� "Aguas Superficiais"

� Ex.:

� Acre - Instalação de 5 hidrelétricas (reservatórios)

� Termoelétricas (menor investimento - retornorápido)

RSS-09/03 – p.5/60

Poluição Térmica

� Efeito do aumento da temperatura na qualidade daÁgua

� Todo Processo Químico, Físico e Biológico éinfluenciado pela temperatura

� Exemplos:

� Densidade � Estratificação

� Viscosidade � Arastro

� Solubilidade diminui (

��� -

�� )

� Taxa de respiração Aumenta (

�� �

dobra ataxa)

RSS-09/03 – p.6/60

Propriedades Físicas versus Temperatura

T. P.V. � � �

�� ��

0 4.579 1.792 0.99987 75.6 14.6 23.15 6.543 1.519 0.99999 74.9 12.8 20.4

10 9.209 1.307 0.99973 74.2 11.3 18.115 12.788 1.140 0.99913 73.5 10.2 16.320 17.535 1.005 0.99823 72.8 9.2 14.925 23.756 0.894 0.99707 72.0 8.4 13.730 31.824 0.801 0.99567 71.2 7.6 12.735 42.175 0.722 0.99406 70.4 7.1 11.640 55.324 0.656 0.99224 69.6 6.6 10.8

RSS-09/03 – p.7/60

Consequências

� Estratificação + solubilidade

� barreira para o Oxigênio

� problema para aguas profundas, reservatórios

RSS-09/03 – p.8/60

Causas

�� Indústrias

� Metalúrgica, Papel, Textil....

� Desmatamento

� Urbanização

� Reservatórios - Hidroelétricas

� Termoelétricas (Nucleares, Óleo e/ou Carvão)

RSS-09/03 – p.9/60

Far-Field

� Simplificação do Problema

� Divisão do domínio em duas partes em relação afonte

Far-Field

Zona de Mistura

RSS-09/03 – p.10/60

Equação do Transporte

� Transporte Convectivo-Difusivo-Reativo

�� � ���� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � ���

� Difusão Turbulenta

� Campo de velocidade

� Termo de Reação

� Termo de força externas

é a batimetria

RSS-09/03 – p.11/60

Forças Externas

� � ��� � ��� � � ��� � ��� � �

��� fluxo de radiação solar (direto)

�� � fluxo de radiação da atmosfera

��� fluxo de radiação da água para o ar

��� fluxo de calor por convecção

��� Evaporação

� Não considerado:

� condução margens e fundo

RSS-09/03 – p.12/60

Radiação solar

��� � �� � � � � � � � � � � � � �� �� �

� �� radiação solar que chega no topo da Atmosfera(400 � � � )

� � �

fator the atenuação

� � fator de reflexão da superfície d’áqua (

� � � � � � �

grau de nuvens� � � � � �

RSS-09/03 – p.13/60

Radiação da atmosférica

� Radiação de Ondas Longas

��� � � � � � � � � � �

� � temperatura do Ar (Celsius)

� � constante de Stefan-Boltzmann

� � � �� � � �� � �

Wm � � K � �

RSS-09/03 – p.14/60

Radiação da Água

��� � � � � � � � � � �

� � emissividade � � � � � �

� � temperatura da superfície d’áqua

RSS-09/03 – p.15/60

Convecção

��� � � � � � � � �

coeficiente de troca de calor por convecção

� �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � �

� � é a densidade da água

� � é a velocidade do vento

RSS-09/03 – p.16/60

Evaporação

� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � umidade relativa do ar

� � calor especifico

calor latente

pressão de saturação

� � coeficiente de evaporação

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

RSS-09/03 – p.17/60

Observação

� Radiação da Atmosfera, Convecção e Evaporação

� Têm fatores empíricos

� Dependem da fatores locais como:

� direção do vento

� quantidade de "sujeira" na atmosfera

� Faixa de Temperatura

� Necessitam de uma verificação para Amazônia

RSS-09/03 – p.18/60

Formulação

� Formulação de Espaço-Tempo Petrov-Galerkincom Captura de Choque

� RVCAU

� Características

RSS-09/03 – p.19/60

� Domínio Espaço-Tempo unidimensional

t

x

t

t

t

t

t

∆ n+1

0

n

n + 1

n + 1+

-

+

~~

T T T T

T T T T

h h h

i-1,n i,n i+1,n i+2,n

i-1,n+1 i,n+1 i+1,n+1 i+2,n+1

e-1 e e+1

T T T Ti-1,n+1 i,n+1 i+1,n+1 i+2,n+1

+ + + +

- - - -

+ + + +

RSS-09/03 – p.20/60

Achar

� � � ��

tal que:

���� � � � �

� � � �� � � � � ��� � � � � � � � � � � �� �� �

� � � � � � ��

�� � � �� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �

�� � � �

� � � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � � � � � �� �

RSS-09/03 – p.21/60

Achar

� � � ��

tal que:

���� � � � �

� � � �� � � � � ��� � � � � � � � � � � �� �� �

� � � � � � ��

�� � � �� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �

�� � � �

� � � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � � � � � �� �

RSS-09/03 – p.21/60

Pertubação

�� � �� � � � �

� � � � � �� �

� SUPG

� � é a função de upwind

� � �

�� �

� � �� � �

� � �

RSS-09/03 – p.22/60

RVCAU

� �

� � � � �� �

� Definição de ��

�� �

�� � �� � �� � �

� �� � � ��� �

� � ��� � � � �

� � ��� � � � � �

RSS-09/03 – p.23/60

Definição de � ��

� � � � �� � �

� �

� � ��� �

� Com:

� � � � � � � � � � � � �

��� � � � � � � � � � � � �

RSS-09/03 – p.24/60

Não Linearidade

� Ex.:

��� � � � � � � � � � �

� Atrasar

�� � � � � �� � � � � � � �

RSS-09/03 – p.25/60

Resumo

� Grandes Domínios

� Não-Linear

� Transiente

� Forças Externas variam

� � � pequeno

� � � pequenoAlto Custo Computacional

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

01/01 31/01 02/03 02/04 02/05 02/06 02/07 01/08 01/09 01/10 01/11 01/12 01/01

Max

imum

Lon

gwav

e S

olar

Inci

denc

e [W

/m2]

Day / Month

Lat.:50N - Long.:10E - 1991Lat.:50S - Long.:10E - 1991

RSS-09/03 – p.26/60

Conceito

Alto Custo Computacional

Newton-Krylov-Schwarz

Computação Paralela Estratégias Adaptativas

Combinação Máquina Algoritmo

RSS-09/03 – p.27/60

Algoritmo Preditor-Corretor

1. - Initialization

� �

and

�� �

Do � � ��� � �� �� � � �

2. - Predictor phase

� � � ���

3. - Multi-Corrector phase

Do

� � �� � ��� � �

� � � �� � � � � � � � � ��

� �� � � � � � � � �Enddo

�� � � � � �� �Enddo

4. - Choose the new

��

RSS-09/03 – p.28/60

Algoritmo Preditor-Corretor

1. - Initialization

� �

and

�� �

Do � � ��� � �� �� � � �

2. - Predictor phase

� � � ���

3. - Multi-Corrector phase

Do

� � �� � ��� � �

� � � �� � � � � � � � � ��

� �� � � � � � � � �Enddo

�� � � � � �� �Enddo

4. - Choose the new

��

Sistema de Eq.

� � � ��

RSS-09/03 – p.28/60

Computação Paralela

� Cluster de PCs

� Alta Latência

� Protocolos Leves

� Topologias

� Análise de Desempenho

RSS-09/03 – p.29/60

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Com

mun

icat

ion

Tim

e

Number of Processors

k = 5

k = 10

k = 15

k = 20

RSS-09/03 – p.30/60

1e+08

1e+09

1e+10

0 5 10 15 20 25 30 35

Ave

rage

Cac

he M

iss

Number of Processors

L1 Total Miss

L2 Total Miss

RSS-09/03 – p.31/60

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Com

mun

icat

ion

Tim

e

Number of Processors

k = 5

k = 10

k = 15

k = 20

RSS-09/03 – p.32/60

Parâmetros - Delta

river velocity ��� � � � � � ���

thermal diffusivity

� � � �� � � �� ���

air temperature� � ��� � �� �

discharge temperature� � � � � �

wind velocity � � � � � � ���

degree of cloudiness

� � �

atmospheric attenuation factor

� � � �

RSS-09/03 – p.33/60

� Solução - 3736 ndofs

� 19min e 45s (tempo real) para chegar a saída

� Na saida do Delta

� � �

acima da temperatura do rio .

� Delta do Amazonas

�� � �� � �

.

� Levou 1:12 minutos em 32 Processadores

� 2495 iterações preditor-corretor

� 495227 Multiplicação matriz-vetor

RSS-09/03 – p.34/60

Métodos Newton-Krylov-Schwarz (NKS)

� Método Iterativo do tipo decomposição de domínio

� Ótimo para computação paralela

� alta granularidade (computação/comunicação)

� Solver local

� direto � caro

� iterativo � demora, não é reciclavel

� Decomposição Incompleta � boa aproximação,reciclavel

� Dilu, ilu(0), milu, ilu(k),.....

RSS-09/03 – p.35/60

Estratégias Adaptativas

� r,h,hp.....

� Congelamento do precondicionador (Schwarz)

� Passo no tempo

� �

� Solver local

RSS-09/03 – p.36/60

Controle

� � grande

� erro (pode) maior

� menor custo computacional

� � pequeno

� erro menor

� alto custo computacional

RSS-09/03 – p.37/60

Controle do

� Analise do Erro do método de integração

� Dependente do método

� limita seu uso

� Análise numérica - Erro de discretização no tempo

� depende da formulação utilizada

� pouco mais geral

RSS-09/03 – p.38/60

Controle

� Heurística

� Depende do problema

� Svem - Baseado em um parâmetro físico

� restrito ao tipo de problema

RSS-09/03 – p.39/60

Valli et all.

� Valli et all.

� Erro do método de integração

� Pode ser escrito como um problema de Controle(PID)

� �� � � �

� � �

��� �

��� �� � �

� � �

��

� ��

� �

�� � � � � �

��

RSS-09/03 – p.40/60

Valli et all.

� � � � � � � � � �

�� �

��� � � � �

� � � �

��

� � �

��� - Proporcional

� � - Integral

��� - Derivada

� Depende de parâmetros

�� ,

� � e ���

� O usuário ainda define:

� �� � � e � �� � �

� e uma tolerância (pouca influência)

RSS-09/03 – p.41/60

Problemas Gerais

� Depende de 3 parâmetros

�� ,

� � e � �

� Problema dependente

� Difícil de achar o ponto ótimo

� Não controla o erro da solução

� Ótimo para problemas estacionários

� Solução:

� Inserir o erro "verdadeiro"

� Função de Transferência

� � � � ��

RSS-09/03 – p.42/60

Controle PID

� Muito utilizado na Indústria

� Simples e robusto

Diagrama de Blocos

PID Processoref erro

� � � output

� � �� � � � � �� � � �� �

��

� �� � ��� � � ��� � �

��

RSS-09/03 – p.43/60

Controle PID

� Mesmo tendo

ainda falta a função detransferência

� Dado um valor para

como variar

� �

� Depende ainda

�� ,

� � e ���

� fica mais fácil achar os valores ótimos

RSS-09/03 – p.44/60

Resultados

� Problema Estacionário (Rio)

� Descarga de um efluente quente

� Solução exata

�� � � �

� Problema Transiente (Cone)

RSS-09/03 – p.45/60

Parâmetros - Rio

river velocity ��� � � � � � �

thermal diffusivity

� � � � � � �

air temperature� � � � � �� �

discharge temperature� � � � � �

surface transfer coefficient � � � � � � �� � �� � �

RSS-09/03 – p.46/60

16

18

20

22

24

26

28

30

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

Tem

pera

ture

[C]

Distance from discarge [m]

AnaliticNumerical Solution [4Km]

RSS-09/03 – p.47/60

Rio

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

0 m 20 km 40 km 60 km 80 km 100 km

Tem

pera

ture

Distance from discarge

Valli - IValli - IIIValli - III

RSS-09/03 – p.48/60

Rio -

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 20 40 60 80 100

ValliPIDFixo

RSS-09/03 – p.49/60

Rio - Erro.

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

100

10000

0 20 40 60 80 100

ValliPIDFixo

RSS-09/03 – p.50/60

Rio - Iter.

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

0 20 40 60 80 100

ValliPIDFixo

RSS-09/03 – p.51/60

Cone

RSS-09/03 – p.52/60

Cone - Solução

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

dt = 0.01Valli - IValli - II

Valli - III

RSS-09/03 – p.53/60

Cone -

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 20 40 60 80 100 120 140

Valli- IValli- II

Valli- III

RSS-09/03 – p.54/60

Conclusões

� Física

� Novos modelos - DBO, Nutrientes,sedimentos......

� Formulação

� o parâmetro de estabilização não é o adequado(tempo, reação)

� Estratégias

� Erro a posteriori para prob. parabólicos

� funcao de transferencia

� � � � � � � �

� estratégia

� custo

� convergênciaRSS-09/03 – p.55/60