Análise Numérica –DCC033

Renato Assunção

Departamento de Ciência da Computação

UFMG

O que é análise numérica?

Definição: Estudo de algoritmos ou métodos numéricos para a solução de problemas computacionais em ciência e engenharia.

Outros nomes:

• computação científica

• matemática computacional.

Algoritmo numérico

Encontrar o mínimo de uma função f(x) num intervalo [a,b].

Suponha que f(x) representa o custo associado com o uso de x unidades de um recurso

Por exemplo:

• f(x) = x2/4 - sin(x) + cos2(x) + log(x2 +1)

Mínimo de f(x) se x [-4, 4] ?

Gráfico de f(x)

Solução exata

Derive, iguale a zero e resolva a equação.

Por exemplo:

• Se f(x) = 3 + 2(x-1)2

• Então f’(x) = 4(x-1)

• f’(x)=0 x = 1

• então o mínimo de f(x) ocorre em x = 1

Solução analítica a solução é uma

fórmula matemática “perfeita”

Solução numérica

Não conseguimos resolver a equação f’(x)=0 na maioria dos casos REAIS

Por exemplo, se

• f(x) = x2/4 - sin(x) + cos2(x) + log(x2 +1)

Como fazer?

Obter uma solução aproximada por meio de um algoritmo.

Algoritmo de Newton

Comece com um valor inicial arbitrário x0

Por exemplo, comece com x0 = 0

A seguir, obtenha sucessivamente valores cada vez mais próximos da solução usando a iteração

• xn+1 = xn – f’(xn) / f’’(xn)

Algoritmo de Newton

x0 = 0.

A seguir, itere com:

• xn+1 = xn – f’(xn) / f’’(xn)

Assim,

• x1 = x0 – f’(x0) / f’’(x0) = 0 - f’(0) / f’’(0)

Precisa obter as formulas para f’(x) e f’’(x) para usar acima.

Algoritmo

Propriedades desejáveis de um algoritmo:

• Exatidão dos cálculos (ou acurácia)

• Eficiência (velocidade e uso da memória)

• Estabilidade das respostas.

Veremos muitas vezes em nosso curso que o algoritmo mais simples e óbvio não e’ sempre o melhor.

PEQUENAS modificações destes algoritmos simples trazem enormes ganhos.

Problemas

Exemplos de problemas que exigem analise numérica:• Page rank: algoritmo do Google

• Modelo econômico de input-output de Leontief

• Cálculos com circuitos elétricos

• reconhecimento de faces e dígitos, compactação de imagens...

• Maximização: otimização

• Simulação de sistemas de grande porte

Resumo do Conteúdo

Solução de Sistemas Lineares

Raízes de equações e maximização

Ajuste de curvas (regressão linear)

Integração numérica

Solução numérica de equações diferenciais ordinárias

Simulação Monte Carlo

Autovalores e autovetores (opcional)

Professores

Renato Assunção:

• PhD, Statistics, University of Washington, 1994

• Interesse de pesquisa:

modelos probabilísticos para análise e controle do risco (financeiro, saúde, atuária, etc.)

Algoritmos e métodos para análise de dados georeferenciados

• www.dcc.ufmg.br/~assuncao

• Márcio Bunte ( a segunda metade do curso)

Webpage do curso

Buscar link em • http://www.dcc.ufmg.br/~assuncao/an/

Página do curso vai conter as informações relevantes:

• Todas as transparências usadas no curso

• Exercícios

• Provas de anos anteriores

• Material de leitura suplementar

• Etc.

Livro-texto e outros materiais

Livro-texto:

• Algoritmos Numéricos de Frederico Ferreira Campos Filho, 2ª. Edição, LTC

Outros materiais

Outros materiais usados no curso:

• Cálculo numérico

Apostila escrita por Cláudio Asano e Eduardo Colli (USP).

Disponível no site do nosso curso.

EXCELENTE, muito didático.

• Links para outros cursos na Web

• Livro Numerical Computing with MATLAB. SIAM, Philadelphia, 2004.

Escrito por Cleve Moler, criador do MatLab.

DISPONIVEL GRATUITAMENTE EM http://www.mathworks.com/moler/index_ncm.html

Monitoria

?? A ser decidido

MATLAB - Cleve Moler

Matlab e SciLab

Vamos usar o programa SciLab

O Scilab é um software científico para computação numérica quase idêntico ao Matlab

Ele fornece um poderoso ambiente computacional para aplicações científicas.

E’ gratuito e pode ser baixado do site

http://www.scilab.org/

Provas

Teremos 4 provas regulares: escolhemos as 3 maiores notas e descartamos a menor nota.

Você não perderá nota se tentar as 4 provas.

Se perder uma prova, a nota será zero, a menor nota possível.

Lista de exercícios valendo 10 pontos.

Datas das provas

Dias:

• ?? A ser anunciado

• 30 pontos em cada prova. Apenas as 3 maiores notas são mantidas.

• 10 pontos de listas de exercícios.

Listas de Exercícios

Teóricos e práticos

• Teóricos: Papel e lápis

• Práticos: Scilab

Provas serão “idênticas” aos exercícios.

Não será necessário levar calculadora nas provas.

Será cobrada a familiaridade com o Scilab na forma de pseudocódigo.