simulaÇÃo da difusÃo de íons fÉrricos em dosímetros fricke-gel com coeficiente de difusÃo...

31/05/2015 SIMULAODADIFUSODEONSFRRICOSEMDosMETROSFRICKEGELCOMCOEFICIENTEDEDIFUSOVARIVEL

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SIMULAODADIFUSODEONSFRRICOSEMDosMETROSFRICKEGELCOMCOEFICIENTEDEDIFUSOVARIVEL

CaioJacobMilanP,JoycedaSilvaBevilacqualeOrlandoRodriguesJr.2

IDepartamentodeMatemticaAplicadaInstitutodeMatemticaeEstatsticaUSPRuadoMato,333,CidadeUniversitria

05508090,SoPaulo,[email protected]@ime.usp.br

2GernciadeMetrologiadasRadiaesInstitutodePesquisasEnergticaseNuclearesIPENCNEN/SP

Av.ProfessorLineuPrestes,2242,CidadeUniversitria05508000,SoPaulo,SP

[email protected]

RESUMO

DosimetriautilizandodosmetrosdeFrickeXilenolGel(FXG)permiteaconfirmaoeummelhorentendimentodetratamentosporRadioterapia.Atcnicaenvolveaavaliaodevolumesirradiadosporimageamentoporressonnciamagntica(IRM)ouCTptico.Emambososcasos,otempogastoentreairradiaoeamedioumfatorimportante,queinfluenciadiretamentenosresultados.Aqualidadedasimagenspodesercomprometidapelamobilidadedosonsfrricos(Fe3+),formadosduranteainteraodaradiaocomamatria,elevandoasincertezasnadeterminaodasisodoses.Nestetrabalho,simulamosadinmicaenvolvendoosonsfrricosformadosemumaregioirradiadaemumdomniobidimensionalcomumcoeficientededifusovarivel.EstefenmenomodeladoporumaequaodiferencialeresolvidonumericamenteporumalgoritmoeficientequegeneralizaomtododeCrankNicolson.Aestabilidadeeconsistnciadomtodogarantemaconvergnciadasoluonumricaparaumatolernciaprdefinida,baseadanasescolhasdospassosdediscretizaodotempoeespao.Diferentesfunescontnuasforamescolhidaspararepresentarocoeficientededifusoevisualizaesgrficasdofenmenosoapresentadasparaummelhorentendimentodoprocesso.

1.INTRODUO

ousodedosmetrosqumicosparaavaliaodedosesabsorvidasumatcnicaamplamente



utilizadaemDosimetriadasRadiaes.DosmetrosdotipoFrickeGelsoobtidosapartirdodosmetrodeFricke,constitudoporguadeelevadapurezaeSulfatoFerrosoamoniacal(ouSaldeMohr),aoqualadicionadoumagentegelatinoso(gelatina,agarose,gargar).Estesdosmetrosapresentamequivalnciaaotecidohumanoepodemsermoldadosemdiferentesgeometriastridimensionais[1].DosmetrosFrickeGelpodemserutilizadosnaavaliaodoplanejamentodedosesemradioterapia.

Apsairradiao,osonsferrosos(Fe2+)presentesnodosmetrosooxidados,transformandoseemonsfrricos(Fe3+),emumaquantidadeproporcionaldoseabsorvida,alterandoaspropriedadespticasdodosmetro.Aleiturapodeserfeitaportcnicasdeimageamentoutilizandoequipamentosderessonnciamagnticanuclear[2,3,4].Destaformapossvelmapeartridimensionalmenteestadistribuioeidentificararegioirradiada.

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Umdosproblemasdaavaliaodedosesporestatcnicaqueaolongodotempo,osonsfrricospodemsemovimentarpelamatrizdegelcausandoimprecisesnasleituraseconsequentemente,nasestimativasdedose.Estemovimentodosonsfrricospodesermodeladoporumaequaodiferencialparcialeresolvidonumericamente.Nestetrabalhoapresentamossimulaesdestefenmenoemumdomniobidimensionalconsiderandoumcoeficientededifusovarivelnoespao.AsoluonumricaobtidaporumaadaptaodomtododeCrankNicolson(CN)queenglobaocoeficientededifusovarivelnadiscretizaopordiferenasfinitas,mantendoaordemdeconvergnciaeestabilidadeincondicionaldomtodo.Paramaioreficinciacomputacional,utilizamosasdireesalternadasqueotimizamCNatravsdadecomposiodoproblemaemcadadimenso[7,8].

PartindodasLeisdeFick,naseo2apresentamosamodelagemmatemticadoproblemafsico.Oalgoritmoutilizadonaseo3eosresultadosdassimulaes,utilizandodiferentesfunesconhecidasparaocoeficientededifuso,naseo4.Conclusesepropostasdetrabalhosfuturosnaseo5.

2.MODELAGEMMATEMTICADOPROBLEMAFSICO

AdinmicadaconcentraodeonsfrricosemdosmetrosFrickeGelrepresentadaporumaequaodiferencialparcial.PelasegundaLeideFick,seemummeioexisteumgradientedeconcentrao,formaseumfluxodedifusoquetendeahomogeneizaromesmo.Estefluxotemamesmadireoesentidoopostoaogradiente,sendoproporcionala

ele[3].SendoC(x,t)adistribuiodaconcentraoemx=(x,y,z)enoinstantefeD:~r:JxC~~aR,(i,t)~D(x,t)umafunocontnuaquerepresentaocoeficientededifusodomeio,aequaodedifusodadapor(1).

ac(i,t)=V(D(i,t)VC(i,t)) (1)



afDomniosqueapresentamumcoeficientededifusovarivelocorremquandosocompostospordiferentesmateriais,oucujavariaodocoeficienteinfluenciadapelotempo.Aintroduodeumcoeficienteconstanteparaummeioservecomoumahipteserestritivadoproblemadadifusoquesimplificaosclculosnecessriossuaresoluo.Pequenasperturbaesnoalteramsignificativamenteoresultadodadifuso,masquandolidamoscommeiosnohomogneos(comoocorpohumano,porexemplo),ouseja,ondeocoeficientededifusosofregrandesalteraesdevidopresenadediferentesmeiosemummesmodomnio,umestudomaisdetalhadonecessrio.Nestetrabalhoconsideramosumcoeficientedependentedoespao,assumindoumafunocontnuapositivaconhecida,esimulamosadinmicadosonsfrricosemummeioqueapresentaestecoeficiente.

Paradeterminarasoluodaequao(1),necessrioconheceradistribuioinicialdeons

frricosnoinstanteinicial,C(i,O),eascondiesdefronteiradodomnioQ.Nocasododosmetro,comonoocorrefluxoatravsdobordo,temosque:

~~(i,t)=,iEao (2)

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ondefioversornormalexteriorfronteiraden.Foramrealizadassimulaesdadifusoconsiderandoumdosmetrohomogneo,casoondeocoeficientededifusonoapresentanenhumavariao,eumdosmetroondeocoeficientevariacomrelaoposio,conformeumafunoquedeterminaovalordocoeficienteemcadaponto.

Assimulaesforamrealizadasconsiderandoofenmenobidimensional,noqualo

dosmetronrepresentadoporumquadradounitrio.Estarestriosimplificaomodelosemprejudicaroobjetivodoestudo,quegerarsoluesaproximadascomumaprecisoprfixada.

3.MTODONUMRICO

Nestaseoapresentaremosomtodonumricoutilizadopararesolveraequao(1)numericamente.Estemtodoprovmdadiscretizaodaequao(1)pordiferenasfinitasegeneralizaosmtodosclssicosderesoluonumricadaequaodadifusocomcoeficientesconstantes.

Vamosconsideraroproblemadadifusoemumdomniobidimensional,definidoporumquadradounitrio.Adiscretizaonoespaoigualnasduasdimenses,



Xi+1=Xi+h,Y)+1=Y)+h,h=~,eadiscretizaodotempo,tambmhomognea,({final(inicial) .... .

{m+l=(m+k,k= M 'paraN,M,mtelrosPOSItiVOSdefillldosdeformaagarantir

convergnciaeeficinciadomtodo.EscrevemosC(xi,Y)'(m)=CD'aconcentraodeonsfrricosnopontok,Y))=(ih,jh),i,j=0,1,2,...Nenoinstante{m=mk,m=0,1,2...M

(i,j1)

(i1,11(i,j) (i+1,11

(ij+1)

Figura1:Domniodiscretizado

omtododeCrankNicolsonparaaequaodadifusocomcoeficientesconstantesummtodoincondicionalmenteestvelecomordemdeconvergnciaquadrticanasdiscretizaesdotempoeespao[5,6,7,8].Quandotemosumcoeficientededifusovarivel,

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podemosconstruirumadiscretizaopordiferenasfinitasquemantmasordensquadrticasparaoerrodediscretizao[9].Afigura(2)mostraaaplicaodomtododeCrankNicolsonemumpontododomniodiscretizado.

lo) "H



m m+l

Figura2:StencildomtododeCrankNicolson

NoCN,paracadapassodediscretizaonotempodevemosresolverumsistemalinearconstitudopormatrizestridiagonaisporblocosprovenientedadiscretizaodaequao(1)pordiferenasfinitas.Portanto,paraumpassodeintegrao,necessrioumesforo

computacionaldaordemdeO(N4 )operaes,oquetomaomtodocomputacionalmenteineficiente.Parareduzirsignificativamenteesteesforo,foiimplementadoummtodoqueutilizaasdireesalternadasquetransformaaevoluodeumpassodeintegraoemdoisproblemasunidimensionais.Portanto,osistematridiagonalporblocostransformadoemdoissistemastridiagonais.

AoaplicarmosCNemumadasdirees,obtemosumaaproximaoparaaconcentraonuminstantetI'AoaplicarmosnovamenteCNnaoutradireo,usandocomocondioinicial

m+2

aaproximaoobtidaanteriormente,obtemosumanovaaproximaoparaaconcentrao,masagoranoinstantetm

+!.Aoutilizarmosasdireesalternadas,temosumesforo

computacionaldaordemdeO(N2 )operaesacadapassodediscretizaonotempo.EsteummtodoimplcitodafamliaADI(AlternateDirectionImplicitmethods).Afigura(3)mostraaaplicaodomtodoemumpontododomniodiscretizado,primeiroemumadireoedepoisnaoutra.

m

,.1 ..m+l/2

..

Figura3:StencildomtodoADI

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f.......~u

m+l

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Autilizaodasdireesalternadasnaconstruodeummtodonumricoeficientemantm



asordensdeconvergnciaquadrticasparaasdiscretizaesespacialetemporal,bemcomoaestabilidadedomtodo[9].

Comonotemosovalorexplcitodaconcentraodeonsfrricosnafronteiradodomnio,esimaexpressodesuaderivadaemrelaosdirees,devemosincorporaroclculodosvaloresnestespontosemconjuntocomosoutrospontosdamalhacomputacional.Existemvriasmaneirasdeincorporarpontosdefronteiranadiscretizaoescolhidaquepodemservistasem[5,7,8].Paraomtodoconstrudo,foiescolhidaumadiscretizao,paraaprimeiraderivada,centradanopontodefronteiraaserdeterminadaaconcentrao,expressaem(6).

8C( )C~~,JC~Jxo'Y.,/~'="8x )m 2h

(6)

Utilizandoaexpresso(6)emconjuntocomoadiscretizaodaequao(1)pordiferenasfinitasaplicadaemC:Jeaexpressodaderivada(2),eliminamosovalorC':,J.Afrmula

(6)defineascondiesdefronteiraparax=O.Asexpressesparax=1,Y=OeY=1soanlogas.Estaformadeaproximaraderivadadafunoconcentraofoiescolhidaportratarsedeumaaproximaodesegundaordemqueconcordacomaordemquadrticadomtodo.

Aescolhadospassosdediscretizaodoespao(h)edotempo(k)garantemqueasoluoaproximadaparaC.jestejadentrodelimitesprdefinidosparaoerrolocaldediscretizaoe.

Nosdoiscasostratados,asreglOesquedelimitamasfronteirasdaregioirradiadaedoprpriodosmetroseroresponsveispelaescolhaadequadadehek,paraqueosresultadosnumricosparaCi,jatinjamaprecisonomenortempopossvel.Comoomtodoutilizadodeordemquadrticatantonadiscretizaoespacialquantonatemporal,hekdevemtambm

verificarasdesigualdades{h2e}Oeumvalorpararquegarantaaqualidadedasoluonumrica.Escolhemosopassodediscretizao,h,detalformaqueamalhacomputacionalgeradaporestepassosejaumaboarepresentaododomnioetalqueh2e,redefinimosrerepetimosoprocesso.Aofinal,teremosospassoshekdeformaque{h2e}



4.RESULTADOS

ocasotratadonestetrabalhosimulaaocorrnciadeumcoeficientededifusodependentedoespaoemumdomniobidimensional,umquadradounitrio.Paracadapontododomniodiscretizadofoiassociadoumvalorpositivodeacordocomumafunoconhecida.Assimulaesnumricasforamobtidasapartirdaimplementaodoalgoritmodescritonaseo3.Estealgoritmoutilizaumarotinaimplcita,alternadamentenasdireesxeyearmazenaadecomposioLUdamatrizdoscoeficientesemcadadireo.Cadaelementodestamatrizdependedovalordocoeficienteassociadoacadapontoeaseusvizinhos.Comoafunoassociadaaocoeficientededifusonodependentedotempo,asmatrizesdiagonaisinferioresuperiorforamarmazenadasapenasumavez.Apsadecomposio,acadanveldediscretizaonotempo,utilizamosumasubrotinaquefazasubstituioreversa.Paracadapassodeintegraonotempo,oalgoritmocumpreasseguintesetapas:

1.Recebeadistribuioinicialdeonsnodomnio2.Armazenaasmatrizestridiagonaisdomtodo3.ArmazenaadecomposioLUdasmatrizescalculadas4.Paraadireox,calculaanovadistribuiodeons5.Paraadireoy,calculaanovadistribuiodeons6.Retomaadistribuiodeonsnotempodiscretizado

Afunoutilizadaparaocoeficientededifusodeveserumafunopositivaederivvelat

aprimeiraordem.Paracadaponto(xi,Yj)dodomniodiscretizado,foinecessrioconhecero

valordocoeficicenteemseusvizinhos,xI'XI'YI'YI.Nobordo,algunsdestespontosi+ i i+

2 2 2 2

noestodefinidos,poisodomniodafunoatribudaaocoeficientededifusonoenglobataispontos.Assim,paracalcularovalordestespontosnodefinidos,foifeitaaextenso

mpardafuno,ampliandoodomniodedefinio.Portanto,paraumpontonaretax=O,temosque:

(7)

Asextensesparaasretasx=1,Y=0,Y=Isoanlogas.Paraassimulaesabaixo,utilizamosafuno(8)paraocoeficientededifuso.

(8)

Afigura(4)mostraadistribuiodosvaloresatribudosacadapontododomniopelafuno(8).Alinhabrancadelimitaaregioaserirradiada.Escolhemoscomoregioumacoroacircular,poisestaapresentaumatransioentrearegioondeforamformadosonsfrricoseondenoocorreuestaformao,caracterizandoumespalhamentodeonstambmparadentrodaregioirradiada.



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OO 0.2 O., 0.6

EtXO)( Eixo).

Figura4:DistribuiodoCoeficientedeDifusopelodomnio(esquerda)eregioirradiada(direita)

0.8

Afunodefinidapelaequao(8)foiescolhidaporapresentarumavariaoperceptvelentreasregiesondeadifusoocorredeformamaisrpidaeondeadifusoocorremaislentamente.Maisgeralmente,umadistribuiogenrica,conhecidaapriori,comoumaimagemdetomografiaporexemplo,poderiaserutilizada,desdequeapresentassetransiessuavesentreasfronteirasquedelimitamosmeiosidentificados.

Afigura(5)mostraumasequnciadeimagensdaevoluotemporaldadifusodosonsfrricos,correspondentea30minutosapsairradiaonumdosmetrobidimensionalde1em2

.AreairradiadaumacoroacircularderaiosR=0,4emer=0,2emcentradanoponto(0,50,5)dodomnio.

Acolunadadireitamostraaevoluotemporalassumindoumcoeficienteconstante

D=0,018em2/h.Nasequnciadaesquerda,consideramoscomocoeficientededifusoa

funodadapor(8).Assimulaesforamobtidascomosvaloresdeh=0,0039ek=0,0033e

rmax=1,95,considerandoumamalhaespacialhomognea.Estaescolhaparaosvaloresdospassosespacialetemporalfornecemumaprecisode103 .

Nafigura(5),asisolinhasmarcamreasdemesmaconcentrao,deacordocomumaescaladecores.Alinhabranca,presenteemcadaimagemmostraalocalizaodareairradiada.Comoesperado,nasregiesondeocoeficientededifusoapresentaumvalormaior,adifusofacilitada,havendoumamaiorpresenadeonsfrricos.Nasreasondeocoeficientededifusoapresentaumvalormenor,adifusomaislenta,havendomenorpresenadeons.



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Figura5:Dinmicadadifusodeonsfrricosemummeiocomcoeficientededifusovarivelaolongode30mino

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Afigura(6)forneceasobreposiodasisolinhasdemaiorconcentraoaolongodotempo,edoisperfisdesoluonoscasosemqueocoeficientededifusoconstante(esquerda)enocasoemqueocoeficientededifusovariaconformeafuno(8)(direita).

DislrilluiCaodaCOOcentracaoMax"".ao longode30mK1

0.81

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DiSlribtJicaodaConoenlracaonarOla0.5aolongode30mln

DistriboicaodaConcentracaoMaxlma30 longodo30min

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Figura6:Comparaoentreasconcentraesmximasdeonsquandoocoeficientededifusoconstante(esquerda)

ouvarivel(direita)

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Conformeesperado,paraosegundocasoadifusotendeasermaiorondeocoeficientededifusoassumemaioresvalores,aocontrriodeumcoeficienteconstante,ondeadifusotendeasersimtrica.

5.CONCLUSES

Nestetrabalho,simulamosadifusodeonsfrricosemdomnioscomumcoeficientededifusovarivelutilizandoumageneralizaodoalgoritmodeCrankNicolsonparameioscomcoeficienteconstanteeaplicandoasdireesalternadasparamaioreficinciadomtodo.Comasescolhasapropriadasparaospassosdeintegraoespacialetemporal,osresultadosmostraramsecondizentescomarealidadeedentrodaprecisoestipulada.Paratrabalhosfuturosseroconsideradososcasosemtrsdimensesediferentesgeometrias.

Asimulaodomovimentodosonsfrricosformadosapartirdeumaconcentraoinicialconhecidachamadaproblemadiretoefoioproblematratadonestetrabalho.Emgeral,omaiorinteresseprticodeterminaradistribuiodaconcentraoinicialbaseadonaobservaodadinmicadosons,transcorridoumperododetempo.Esteochamado



problemainverso,esertratadoemtrabalhosfuturos.ApartirdasimulaodadinmicadaconcentraodeonsemdosmetrosFrickeGel,podemosdeterminaradistribuiodosonsfrricosnamatrizdegeleestimar,comumaprecisoprdefinida,oimpactodestadifusonodomnio,almdeprepararparaoestudodoproblemainverso.Porestemotivo,importantetermosdomniodastcnicasdesimulaodoproblemadireto,quenosfornecemresultadosprecisoseconfiveis.

AGRADECIMENTOS

AgradeoaCAPES,CoordenaodeAperfeioamentodePessoaldeNvelSuperior,porfinanciaresteprojetodepesquisa.

REFERNCIAS

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