1

Universidade Salvador UNIFACS

Cursos de Engenharia - Equaes Diferenciais e Sries / Clculo III

Profa: Ilka Rebouas Freire (Texto elaborado pelos professores Adelmo Ribeiro de Jesus e Ilka Rebouas Freire)

Texto 02: Sries Numricas: Alguns exemplos. Alguns Critrios de Convergncia

e Propriedades

A Srie Geomtrica

O nosso primeiro exemplo de srie infinita 0,1 + 0,01 + 0,001 + .... um caso particular de uma

srie especial, chamada srie geomtrica.

Observao: A srie geomtrica tambm pode ser dada na forma ...araraar 2

0

n , ou

mais geralmente, ...arararaar 32

kn

kn

Exemplos:

1) 0,1 + 0,01+ 0,001 + 0,0001 + ... =

11n432 10

1

10

1...

10

1

10

1

10

1

10

1 uma srie

geomtrica de razo r = 1/10 e a = 1/10.

2) 3 3.2 + 3.22 3.23 + 3.24 ..... =

0

)2.(3 n uma srie geomtrica de razo r = 2 e a

= 3

Exerccio: Coloque as seguintes sries na forma padro ...arararaar 32

kn

kn

e

identifique a e r:

1)

1n

1

n

1 3

1

3

1

3

1

. A razo

3

1r e o 1 termo da srie

3

1a

Uma srie do tipo ....ar...arararaa.r 1-n32

1

1n onde a 0

chamada de srie geomtrica e o nmero r chamado de razo da srie.

2

2)

2n

2

2n

2

2n

2 2

1

4

1

2

1

2

1

2

1

. A razo

2

1r e o 1 termo da srie

4

1a

Observemos que se a srie tem ndice inferior igual a k a razo dever estar elevada a n k

3)

1n

111n

1n1n

1n2

nn

9

5

9

5

9.9

5.5)1)(1(

3

5)1(

. A razo

9

5r e o 1 termo da srie

9

5a

4)

3

3n2

3

1n 444 . A razo r = 4 e o 1 termo da srie a = 16.

O resultado seguinte nos diz quando a srie geomtrica convergente e quando divergente

Demonstrao:

1) 1r

i) r = 1

Se r = 1 a srie fica ....aaaaa1

; a n-sima soma parcial sn = na e portanto

nn

slim ( o sinal depende de a ) e a srie diverge.

ii) r = 1

Se r = 1 a srie fica .....aaaaaa1)a(1

1n

.

A seqncia das somas parciais nesse caso fica a, 0, a, 0, a, 0,..... e a srie diverge pois o limite de

sn no existe.

A srie geomtrica

1

1na.r a 0 e r R

Converge para r1

aS

se 1r

Diverge, se 1r

3

2) 1r

Consideremos a seqncia das somas parciais ns : 1n32

n ar...arararas ( I )

n1n32n arar...arararrs

( II )

Subtraindo ( II ) de ( I ): n

nn ararss . Logo, r1

)ra(1s

n

n

. Calculando o limite

obtemos:

1r se ;

1r se ;r1

a

r1

)ra(1limslim

n

nn

n

Exerccios:

1) Verifique se as seguintes sries geomtricas so convergentes e em caso afirmativo determine a

sua soma:

A)

1

1n2

A razo r = 2. Logo diverge.

B)

0

n

2

13. . A razo r = 1/2 e a = 3; logo convergente. A srie est na forma padro, ento

podemos aplicar diretamente a frmula r1

aS

para calcular a soma. Assim,

6

2

11

3

r1

aS

C)

1

1n

2

13.

-

. Observe que esta srie a mesma do exemplo anterior e tem portanto a mesma

soma.

Ela poderia se apresentar em outras formas:

3

3-n

2

2n

2

13.

2

1.3 , etc.

D)

n

0 0n

n

2

1

2

(-1)

. A srie est na forma padro ( a = 1 e r = 1/2). Converge e tem soma

igual a

3

2

2

11

1

r1

aS

4

E)

2n

1n

3

(-1).

Vamos inicialmente colocar a srie na forma padro: 2n

222n2

2n3

2n

1n

3

1

9

1

3.3

.(-1)(-1)

3

(-1)

.

A srie tem razo r = 1/3, logo convergente e a = 1/9.

A soma portanto 12

1

4

3.

9

1

3

11

9

1-

r1

aS

F)

n

0 3

2

Cuidado!!!. A srie corresponde a

n

0

n

0 2

3

3

2

. A razo r = 12

3 . Logo diverge.

2) Encontre os valores de x para os quais a srie

0n

n

2

)3x( converge e a soma da srie para esses

valores.

A srie

0n

n

2

)3x( pode ser identificada como uma srie geomtrica

n

00n

n

2

3x

2

)3x(

de

razo 2

3xr

e a = 1.

Logo, a srie converge para 12

3x

.

1x523x223x12

3x

.

Assim, a srie converge para [1,5]x e sua soma x1

2

3x2

2

2

3x1

1

5

A p- srie

Uma p- srie, tambm chamada de srie hiper-harmnica, uma srie da forma 1

pn

1 ( p > 0 )

Exemplos:

1) 1 n

1; p-srie com p = 1. Tambm chamada srie harmnica

2) 1

2n

1; p-srie com p = 2.

3) 1

2/11 n

1

n

1; p-srie com p =

4) 1

2/31 n

1

nn

1; p-srie com p = 3/2

Vamos assumir sem demonstrao o seguinte resultado

O resultado acima pode ser demonstrado atravs de um critrio chamado de Critrio da Integral

atravs do qual podemos concluir que a convergncia da srie 1

pn

1 equivalente

convergncia da integral imprpria

1px

dx.

Exemplos

1) 1 n

1 diverge ( p = 1 )

2) A srie 1

2n

1 converge ( p = 2 )

3) A srie 1 n

1 diverge ( p = )

A p-srie 1

pn

1 ( p > 0 )

converge se p > 1

diverge se 0 < p 1

6

Alguns Critrios de Convergncia e Propriedades

Em geral difcil decidir atravs do estudo das seqncias das somas parciais se uma srie

convergente ou divergente, principalmente porque nem sempre possvel estabelecer uma

expresso geral para sn.

Vimos, at ento, o caso da srie geomtrica, que sabemos atravs da sua razo se converge

ou no e, no caso de convergir, qual a sua soma. Calculamos tambm a soma de algumas sries

em que a expresso de sn foi obtida com certa facilidade.

Vamos apresentar alguns resultados e estudar alguns testes ou critrios que nos permitem

decidir sobre a convergncia de uma srie, mesmo que no caso da srie ser convergente no

possamos dizer o valor da sua soma. Neste caso, podemos aproximar a soma por uma soma parcial

com termos suficientes para atingir o grau de preciso desejado.

Critrio do Termo Geral ou Teste da Divergncia

Observaes:

1. O resultado acima tambm chamado de Critrio do Termo Geral (CTG) para a convergncia de srie, ou condio necessria para a convergncia de uma srie.

2. Se 1

na converge ento 0alim nn

.

3. Atravs do resultado do limite do termo geral, podemos garantir a divergncia de certas

sries. Como dito acima, se 0alim nn

nada podemos afirmar sobre a srie 1

na . Ela pode ou

no convergir. Ou seja, 0alim nn

no conclui convergncia!!!

Por exemplo: A p-srie 1

pn

1 ( p > 0 ) tem limite do termo geral igual a 0 , no entando

algumas convergem ( p > 1 ) e outras divergem ( p 1)

Exemplos:

1) 1

n diverge, pois

nlimn

.

2) 1 1n

n diverge pois 01

1n

nlim

n

Teste da divergncia

Se 0alim nn

ento 1

na divergente

Se 0alim nn

ento 1

na pode convergir ou divergir

7

Algumas Propriedades

1. A convergncia ou divergncia de uma srie no afetada pela retirada ou o acrscimo de um

nmero finito de termos. Em outras palavras:

Se 1

na converge ( diverge), a srie 1

nb obtida de 1

na acrescentando-se ou suprimindo-se

alguns termos tambm converge (diverge) . .

No caso de convergir, a convergncia da nova srie para valor diferente da soma 1

na

Exemplos:

1.1) As sries

112

1

n e

3

12

1

n so ambas convergentes, mas para valores diferentes.

1.2) As sries

1

12n e .....1684211253bn so ambas divergentes

2. Se 1

na e 1

nb so duas sries convergindo a S e R respectivamente, ento

i) A srie 1

nn ba converge a S R.

ii) A srie 1

nka converge a kS., k R

Exemplos:

2.1) A srie 1

2n

3 convergente pois o produto de uma srie convergente

12n

1 por uma

constante k = 3

2.2) A srie

1n2 2

1

n

1 converge pois a soma de duas sries convergente:

A p-srie 1

2n

1 e a srie geomtrica

1n2

1

2.3) A srie

1

n1n 2

1

3

1 convergente pois a soma de duas sries geomtricas de razo

menor que 1. Podemos obter a soma da srie separando as duas:

2

51

2

3

2

11

2/1

3

11

1

2

1

2

1

3

1

2

1

3

11n

111n

1n1n

8

3. Se 1

na convergente e 1

nb divergente, ento 1

nn ba divergente.

Exemplo:

3.1) A srie

12n

1

n

1 divergente pois a soma de uma srie divergente

1 n

1 com uma

convergente 1

2n

1

4. Se 1

na divergente e k 0 , ento 1

nka divergente.

Exemplo:

4.1) A srie 1 n

2 divergente

Observao: Se 1

na e 1

nb so duas sries divergentes nada se pode afirmar sobre

1

nn ba . Pode divergir ou no.

Exemplo: As sries nn 2 e 2 divergem e nn 22 converge a 0.

As Sries Alternadas

Exemplos:

1) ...4

1

3

1

2

11

n

1)(

1

1n

; n

1a n

2) ...8

1

4

1

2

1

2

1)(

1n

n

; nn 2

1a

Uma srie alternada uma srie que se apresenta numa das formas

14321n

1n ...aaaaa1)( an > 0; n ou

1

4321nn ...aaaaa1)( an > 0; n

9

3) A srie

1

1n senn)1( no alternada pois senna n no positivo ou negativo para todo n.

O resultado a seguir nos d um teste para analisar a convergncia das sries alternadas

Exemplos:

1) A srie alternada ...4

1

3

1

2

11

n

1)(

1

1n

convergente pois satisfaz s condies do

Critrio de Leibniz:

i) 0n

1lim

n

ii) A seqncia ,...3

1,

2

1,1

n

1

decrescente.

2) A srie n

sen1)(

2

n convergente pois satisfaz s condies do Teste de Leibniz:

i) 0n

senlim

n

;

ii) Para mostrar que a seqncia

n

sen decrescente, consideramos a funo

x

senf(x) e

calculamos a sua derivada. x

cosx

(x)f

2

< 0 o que garante que a funo decrescente para

x > 2. ( De fato: 2

x

02x . O arco est no 1o quadrante e o cosseno positivo )

Teste de Leibniz

Se a srie alternada

14321n

1n ...aaaaa1)( (an > 0 ; n ) tal que

i) 0alim nn

ii) n aa n1n ( a seqncia decrescente )

Ento a srie dada convergente.

10

Somas Aproximadas de Sries Alternadas

Se uma srie alternada

14321n

1n ...aaaaa1)( satisfaz s condies do Teste de

Leibniz e S a sua soma temos o seguinte resultado:

Observao: A desigualdade 1nn asS significa que o erro que resulta em aproximar S por

sn menor que o primeiro termo que no foi includo na soma parcial

Com este resultado podemos avaliar somas de sries alternadas com preciso de k casas decimais

usando que

Exemplo:

Vimos que a srie alternada ...4

1

3

1

2

11

n

1)(

1

1n

convergente satisfazendo as

condies do Critrio de Leibniz:

Se considerarmos, por exemplo, a soma 4

1

3

1

2

114 s = 0,58333.. o erro cometido menor

que a5 = 1/5 = 0,2

De fato, veremos mais tarde que esta srie tem por soma ln2. Se calcularmos ln2 = 0,69314718... e

tomarmos a diferena 0,69314718... 0,58333.... = 0,1098... que menor que 0,2 Esta srie no uma boa srie para aproximar ln2 pois a convergncia muito lenta. S obtemos

uma boa aproximao tomando um nmero muito grande de termos.

Por exemplo, para conseguirmos preciso de uma casa decimal deveremos calcular a soma sn para

n satisfazendo a condio 05,01n

1

o que nos d 19n !!!

Se o erro de uma aproximao, ento esta ter preciso de k casas decimais se k10x5,0 .

Se S for aproximada por sn, ento o erro absoluto nsS tal que 1nn asS .

11

Exerccios:

1) Calcule o erro cometido quando a soma da srie

15

1n

n

)1( aproximada por s3.

Soluo:

Observemos, inicialmente, que a srie alternada e satisfaz s condies de Leibniz. Logo, ao

aproximarmos a soma da srie por s3, 55 3

1

2

11S o erro menor que o termo a4, isto ,

0009,04

15

2) Dada a srie

0

n

)!n2(

)1( , determine

a) A soma com preciso de 2 casas decimais.

b) Qual a preciso se considerarmos a soma !6

1

!4

1

!2

11s3

Soluo:

a)

Observemos, inicialmente, que a srie alternada e satisfaz s condies de Leibniz.

Para obtermos preciso de 2 casas decimais o erro 210.5,0 , ou seja, 005,0

...!10

1

!8

1

!6

1

!4

1

!2

11

)!n2(

)1(

0

n

O termo 005,0...0013,0720

1

!6

1a3 . Logo, basta somarmos at a2. .

!4

1

!2

11S

b)

Se somarmos !6

1

!4

1

!2

11s3 o erro menor do que

444 10.5,010.248,0...0000248,0

40320

1

!8

1a . Logo, esixte preciso em 4 casas decimais

Observao: Existem outros mtodos para avaliar erros nas aproximaes de sries no

alternadas

12

Os Testes da Razo e da Raiz

Para enunciar os testes da Razo e da Raiz vamos introduzir o conceito de sries absolutamente

convergentes

Analisando exemplos vistos anteriormente podemos observar que

A srie

1

1n

n

1)( convergente e a srie

11

1n

n

1

n

1)( divergente

A srie

12

1n

n

1)( convergente e a srie

12

1n

n

1)(=

12n

1tambm convergente

Temos a seguinte definio:

Exemplos:

1) A srie

1

1n

n

1)( condicionalmente convergente

2) A srie

12

1n

n

1)( absolutamente convergente

3) A srie n

sen1)(

1

n condicionalmente convergente

Observaes:

1) Temos que se 1

nu converge, ento 1

nu converge. A recproca no verdadeira. O fato de

1

nu convergir no implica que 1

nu tambm converge.

Dada a srie 1

nu temos que:

1) Se a srie 1

nu converge dizemos que a srie 1

nu absolutamente convergente

2) Se a srie 1

nu converge e 1

nu diverge dizemos que 1

nu condicionalmente

convergente.

Toda srie absolutamente convergente convergente, ou seja:

Se 1

nu converge ento 1

nu tambm converge

13

Exemplo:

1

1n

n

1)( converge e

1 n

1 diverge

2) Se 1

nu diverge nada podemos afirmar sobre 1

nu . Pode convergir ou divergir.

3) Se 1

nu diverge podemos garantir que 1

nu diverge pois, caso contrrio, 1

nu seria

convergente.

Observaes:

1) Os Testes da Razo e da Raiz so gerais podendo ser aplicados em qualquer srie.

Garantem a convergncia absoluta ( k < 1 ) ou a divergncia da srie 1

nu ( k >1 ).

2) Tanto no Teste da Razo quanto no Teste da Raiz podemos concluir a divergncia se os

respectivos limites forem +

3) Se k = 1 no Teste da Razo ento k = 1 no Teste da Raiz. Ou seja, se encontrarmos k = no Teste da Razo, no mais necessrio testar com o outro critrio.

Teste da Razo para a Convergncia Absoluta ( TRZ)

Seja a srie 1

nu e considere o limite ku

ulim

n

1n

n

Se k < 1 a srie 1

nu absolutamente convergente, logo convergente

Se k > 1 ( ou ) a srie 1

nu diverge

Se k = 1 nada podemos concluir por este critrio

Teste da Raiz para a Convergncia Absoluta ( TRI )

Seja a srie 1

nu e considere o limite kulimn

nn

Se k < 1 1

nu absolutamente convergente, logo convergente

Se k > 1 ( ou ) a srie 1

nu diverge

Se k = 1 nada podemos concluir

14

Exemplos:

1) 1

n

n!

2

Em geral quando a expresso do termo geral da srie envolve fatorial o critrio mais indicado o da

razo

1n

2

1)n!(n

2n!

2

n!

1)!(n

2

u

u

n!

2u

n

1n

n

1nn

n

0

1n

2lim

u

ulim

nn

1n

n

.

Conclumos ento que a srie convergente

2)

1

2n

n

12n

Vamos usar o teste da raiz: 4n

1n2lim

n

12nlimulim

2

n

n2n

n

nn

n

. Portanto,

a srie diverge

Referncias Bibliogrficas:

1. O Clculo com Geometria Analtica, vol II Louis Leithold 2. Clculo Um Novo Horizonte, vol II Howard Anton 3. Clculo vol II James Stewart