TEOREMA

Se a série converge, então

OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o:

TESTE DA DIVERGÊNCIA

Dada a série  ,  diverge.  

SÉRIE GEOMÉTRICA

TIPO:    com a 0

r é a razão.

Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

a = 1

r =

   SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA

   A série geométrica 

   Converge e tem soma       se | r | < 1.

   Diverge se | r | 1.

 

TESTE DA COMPARAÇÃO

Sejam  e   duas séries de termos positivos. Então:

* Se      , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes.

* Se     e se converge, então também converge.

* Se     e se  diverge, então também diverge.

OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de bn somente os termos de maior importância.

Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:

      é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:

   

Logo, conclui-se que a série CONVERGE.

SÉRIE-P

   

CONVERGE se p > 1

DIVERGE se p 1

Se p = 1, a série

é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o teorema, é divergente.

SÉRIE ALTERNADA

É da forma:

SÉRIES DE POTÊNCIA

Séries de potências de x:

ou

Séries de potência de (x-c):

Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.

Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir.

Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por 0 a série se reduz a a0.

Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.

Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão.

 

TESTE DE LEIBINZ

Uma série alternada CONVERGE se:

* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.

* A série dos módulos é decrescente.

Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.

a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f é decrescente.

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos

é convergente.

Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos

módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.

 

TEOREMA

Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.

 

TESTE DE D'ALEMBERT

Seja uma série de termos não nulos e seja  . Então:

* Se L < 1, a série é ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.

* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.

* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).

RESUMO 

TESTE SÉRIECONVERGÊNCIA ou

DIVERGÊNCIACOMENTÁRIOS

da DIVERGÊNCIA ou do N-ÉSIMO TERMO

DIVERGE  se  

Nada se pode afirmar se

SÉRIE GEOMÉTRICA

* CONVERGE e tem soma

    se | r | < 1.

* DIVERGE se | r | 1

Útil para testes de comparação

SÉRIE-P* CONVERGE se p > 1

* DIVERGE se p 1

Útil para testes de comparação

da COMPARAÇÃO no limite

e

an > 0, bn > 0

* Se    , , então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM.

* Se   e 

CONVERGE, então CONVERGE.

* Se     e 

DIVERGE, então DIVERGE.

A série de

comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p.

Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito.

de LEIBNIZ

ALTERNADA

an > 0

CONVERGE se:

*

* A série dos módulos é decrescente.

Aplicável somente a séries alternadas.

Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA.