série de problemas n.º 2 - novembro 2009
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Os itens de grau de dificuldade mais elevado, a incluir nos dois testes intermédios que se irão realizar em Janeiro e em Maio do corrente ano lectivo, poderão ser adaptações dos itens disponibilizados nos três meses anteriores à realização de cada um dos testes.TRANSCRIPT
Matemática A
Novembro de 2009
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade – Página 1
No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau
de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir
se apresentam.
Matemática A
Itens – 10.º Ano de Escolaridade
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 2
Nota: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exacto.
1. Na figura 1 estão representados, num referencial ortogonal e monométrico , a circunferência deBSC
equação e o rectângulo� � � �B � # � C � $ œ & ÒEFGHÓ# #
Sabe-se que: • os vértices do rectângulo pertencem àÒEFGHÓ
circunferência • a recta tem equação EF C œ &
1.1. Determine as coordenadas dos vértices do rectângulo
ÒEFGHÓ
1.2. Considere a região do círculo que está acima da recta
EF e a região do círculo que está à esquerda do eixo
das ordenadas. As duas regiões têm áreas iguais. Justifique a afirmação anterior.
1.3. Escreva uma condição que defina a região representada
a sombreado, incluindo a fronteira.
Figura 1
2. Na figura 2 está representada, num referencial ortogonal e monométrico , a circunferência deBSC
centro no ponto , definida pela equaçãoE
ÐB � %Ñ � ÐC � 'Ñ œ #&# #
Tem-se:
• é a corda que está contida no eixo ÒGKÓ SC
• é uma corda paralela ao eixo ÒGHÓ SB
• é um raio da circunferência, paralelo ao eixo ÒEJ Ó SC
• é um trapézio rectânguloÒEFGHÓ
• é um losangoÒEHIJÓ
2.1. Mostre que o ponto tem coordenadas e queG Ð!ß *Ño ponto tem coordenadas H Ð � )ß *Ñ
Figura 2
2.2. Determine uma equação da mediatriz do segmento ÒEHÓ Apresente a sua resposta na forma C œ + B � , e designam números reaisÐ+ , Ñ
2.3. Defina, por meio de uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a fronteira.
2.4. Determine o perímetro do trapézio ÒEFGHÓ
2.5. Determine a área do losango ÒEHIJÓ
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 3
3. Considere, num referencial ortogonal e monométrico , a circunferência de centro na origem doBSC
referencial e raio igual a È' Sejam e os pontos dessa circunferência com abcissa igual a , considerando que, destes doisE F #
pontos, o ponto é o que pertence ao primeiro quadrante.E Seja o ponto da circunferência que pertence ao semi-eixo negativo G SB
3.1. Determine as coordenadas de e as coordenadas de E F
3.2. Mostre que metade da área do triângulo é um valor aproximado de com erro inferiorÒEFGÓ 1
a !ß !"
4. Considere, num referencial ortogonal e monométrico , a semi-recta que é a bissectriz do BSC
1.º quadrante.
Sejam e os pontos dessa semi-recta com abcissas e , respectivamente.E F " $
4.1. Seja um ponto que pertence à mediatriz do segmento de recta . Sabe-se que a ordenadaT ÒEFÓdo ponto é igual ao dobro da sua abcissa.T
Determine as coordenadas do ponto T
4.2. Considere que a semi-recta roda º em torno da origem, no plano . Nessa rotação,SE %& BSCÞ
o segmento de recta , que está contido na semi-recta , descreve uma região que é parteÒEFÓ SEÞ
de uma coroa circular.
Determine a área dessa região.
5. Na figura 3 estão representados, num referencial ortogonal e monométrico , um triângulo e BSC ÒESFÓ
a respectiva circunferência circunscrita.
Sabe-se que: • a semi-recta é a bissectriz do 2.º quadranteSE
Þ
• a semi-recta é a bissectriz do 1.º quadranteSÞF
• a ordenada do ponto excede em unidades aF $
ordenada do ponto E • a área do triângulo é igual a ÒESFÓ "!
5.1. Determine as coordenadas dos pontos e E F
5.2. é um diâmetro da circunferência.ÒEFÓ Justifique esta afirmação.
Figura 3
5.3. Seja o ponto médio de Q ÒEFÓ Prove que as áreas dos triângulos e são iguais.Ò Ó ÒSQFÓEQS
5.4. Assinale, na figura, a intersecção do círculo com a definida pela condição região
C B • C � B
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6. Num referencial ortogonal e monométrico BSC , considere:
• o ponto de coordenadas T Ð!ß "Ñ
• um ponto tal que o quadrado da sua abcissa é igual ao quádruplo da sua ordenadaU ,
Seja a ordenada do pontoC U
Mostre que a distância do ponto ao ponto é U T C � "
7. Na figura 4 está representado, num referencial ortogonal e
monométrico ,SBCD um sólido que pode ser decomposto
num prisma quadrangular regular e num sólido que é parte de
uma esfera. As duas partes em que o sólido representado pode
ser decomposto têm em comum um círculo de raio , cujo)
centro é também o centro da base superior do prisma.
Sabe-se ainda que:
• uma das arestas do prisma está contida no eixo , outraSBno eixo e outra no eixo SC SD
• um dos vértices do prisma tem coordenadas Ð$!ß $!ß "&Ñ
• o ponto do sólido que tem cota máxima tem cota igual a $"
7.1. Determine a área total do prisma.
Figura 4
7.2. Escreva uma equação do plano mediador da diagonal espacial do prisma que tem a origem do
referencial como um dos extremos. Apresente a sua resposta na forma +B � ,C � -D œ . ( , , e designam números reais)+ , - .
7.3. Defina, por meio de uma condição, a face do prisma que está contida no plano BSD
7.4. Tal como foi referido, o sólido representado na figura 4 pode ser decomposto num prisma e num
sólido que é parte de uma esfera. Defina, por meio de uma condição, o sólido que é parte de uma esfera.
8. Considere, num referencial ortogonal e monométrico , a superfície esférica cujo centro é o pontoSBCD
de coordenadas e que é tangente ao plano de equação � � È"ß "ß " D œ " � $
8.1. Esta superfície esférica contém apenas dois pontos que têm as três coordenadas iguais. Determine as coordenadas desses dois pontos.
8.2. O segmento de recta cujos extremos são os pontos da superfície esférica que têm as três
coordenadas iguais é um diâmetro dessa superfície esférica. Justifique esta afirmação.
8.3. Determine o volume de um cubo inscrito nessa superfície esférica.
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9. Considere, num referencial ortogonal e monométrico , dois pontos, e SBCD T U
Sabe-se que:
• o ponto tem coordenadas , sendo um número realT aÐ" � +ß + � #ß & ÑÈ
• o ponto é o ponto simétrico do ponto em relação ao eixo das ordenadasU T ,
9.1. Determine o conjunto dos valores de para os quais o ponto pertence ao 3.º octante (não + Tincluindo os planos coordenados).
9.2. Determine os valores de para os quais o ponto pertence à superfície esférica de centro a TÐ"ß � %ß !Ñ e raio igual a 5
9.3. Mostre que a área de um quadrado que tenha [ ] como diagonal é dada, em função de , TU +por #+ � %+ � "##
10. Na figura 5 está representada, num referencial ortogonal e
monométrico , a pirâmide quadrangular regularSBCD
ÒZ SEFGÓ E G cujos vértices e pertencem aos eixos
coordenados e , respectivamente.SB SC
Sabe-se que:
• B � C � D � %B � % C � "' D œ !# # # é uma equação da
superfície esférica que tem centro no ponto e queZcontém os quatro vértices da base da pirâmide ÒZ SEFGÓ
• o quadrado é a secção produzida na pirâmideÒHIJKÓÒZ SEFGÓ BSC por um plano paralelo ao plano
• o volume da pirâmide é a oitava parte doÒZ HIJKÓvolume da pirâmide ÒZ SEFGÓ
10.1. Calcule o volume da pirâmide ÒZ SEFGÓFigura 5
10.2. Determine as coordenadas dos vértices da base da pirâmide ÒZ HIJKÓ
10.3. Considere a esfera que tem um diâmetro contido na altura da pirâmide e que é tangente quer à
base da pirâmide , quer à base da pirâmide ÒZ HIJKÓ ÒZ SEFGÓ Escreva uma condição que defina essa esfera.
10.4. Defina analiticamente a linha descrita pelo ponto quando a pirâmide dá uma volta completaV
em torno da aresta ÒESÓ
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 6
11. A figura 6 representa, num referencial ortogonal e monométrico um sólido que se podeSBCDß
decompor num cubo e num cilindro.
Sabe-se que:
• A base superior do cilindro tem centro em e está contidaO
no plano BSC
• A face inferior do cubo está inscrita na base superior do
cilindro e tem as diagonais contidas nos eixos e SB SC
• A altura do cilindro e a aresta do cubo são iguais
• O volume total do sólido é igual a 32� �1 � #
11.1. Mostre que o cubo tem aresta igual a 4
11.2. Determine as coordenadas dos vértices do cubo.
11.3. Defina analiticamente:
11.3.1. A aresta [ ]HL
11.3.2. A base inferior do cilindro
11.4. Calcule a área da secção determinada no sólido pelo
plano de equação C œ #ÈFigura 6
Matemática A
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Matemática A
Itens – 10.º Ano de Escolaridade – Soluções
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Itens de Matemática A - 10º Ano de Escolaridade
Soluções
1.1. E Ð"ß &Ñ F Ð$ß &Ñ G Ð$ß "Ñ H Ð"ß "Ñ
1.2. As áreas são iguais porque as cordas que limitam as duas regiões têm igual comprimento.
1.3. � � � �B � # � C � $ Ÿ & • ÐB Ÿ " ” B $ ” C Ÿ " ” C &Ñ# #
2.2. C œ B �% $"
$ #
2.3. � � � �B � % � C � ' Ÿ #& • B � % • B Ÿ ! • C Ÿ '# #
2.4. 20
2.5. 20
3.1. E Ð#ß #Ñ FÐ#ß � #ÑÈ È e
4.1. T ߊ ‹% )
$ $
4.2. #1
5.1. E Ð � #ß #Ñ F Ð&ß &Ñe
5.2. As semi-rectas SÞE SF
Þ e são perpendiculares. Logo, o ângulo inscrito é recto, pelo que oESF
arco tem ° de amplitude. Portanto é um diâmetro da circunferência.EF ")! ÒEFÓ
5.3. A altura do triângulo eÒESFÓ ÒEFÓ, relativa à base é também a altura dos triângulos Ò ÓEQS
ÒSQFÓ ÒEQÓ ÒQFÓ, relativa às bases e , respectivamente. Como estas duas bases são iguais, os dois
triângulos têm bases iguais e alturas iguais, pelo que têm áreas iguais.
: Outro processo Traçando a altura do triângulo ÒSQFÓ Qß ÒSQFÓ a partir de o triângulo fica
dividido em dois triângulos geometricamente iguais, semelhantes ao triângulo Como é oÒESFÓ Þ Q
ponto médio do segmento , a razão de semelhança é igual a e, portanto, a área de cada umÒEFÓ"
#
destes dois triângulos é igual a da área do triângulo . Assim, a área é"
%ÒESFÓ ÒSQFÓdo triângulo
metade da área do triângulo , pelo que ÒESFÓ as áreas dos triângulos e são iguais.Ò Ó ÒSQFÓEQS
5.4.
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Soluções - Página 3
7.1. 3600
7.2. %B � %C � #D œ "$&
7.3. ! Ÿ B Ÿ $! • C œ ! • ! Ÿ D Ÿ "&
7.4. � � � � � �B � "& � C � "& � D � #" Ÿ "!! • D "&# # #
8.1. Ð!ß !ß !Ñ Ð#ß #ß #Ñ e
8.3. 8
9.1. Ó"ß #Ò
9.2. � % #e
10.1. "#)
$
10.2. HÐ$ß "ß %Ñ I Ð$ß $ß %Ñ J Ð"ß $ß %Ñ K Ð"ß "ß %Ñ
10.3. � � � � � �B � � C � � D � # Ÿ2 2 4# # #
10.4. � �B � � C � D œ ') • B œ #2 # # #
11.2. E Ð# #ß !ß !Ñ F Ð!ß # #ß !Ñ G Ð � # #ß !ß !Ñ H Ð!ß � # #ß !ÑÈ È È È I Ð# #ß !ß %Ñ J Ð!ß # #ß %Ñ K Ð � # #ß !ß %Ñ L Ð!ß � # #ß %ÑÈ È È È11.3.1. B œ ! • C œ • ! Ÿ D Ÿ %� # #È
11.3.2. B � C � D � % Ÿ ) • D œ � %# # #� �
11.4. ) # � ) 'È È