Série de FourierAs séries trigonométricas infinitas formadas por seno e/ou co-seno são chamadas séries de Fourier.

Seja a série na forma ).sen()cos((2 1

0

L

xmb

L

xma

amm m

No conjunto de pontos onde ela converge, ela define uma função f, cujos valores em cada ponto x é a soma da série para aquele valor de x. Dizemos então que esta série é a série de Fourier de f.

Periodicidade das funções seno e co-seno.

Uma função é dita periódica com período T > 0 se o domínio de f contém (x+T) sempre que contiver x e se f(x+T) = f (x) para todo x.

Nota-se claramente que, se T (período fundamental) é um período de f, então 2T também o é como qualquer múltiplo inteiro de T. Em particular, as funções

sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ..., são periódicas com período fundamental T = (2L / m).

Ortogonalidade das funções sen e co-seno

Duas funções u e v são ditas ortogonais em x se seu produto interno é nulo, isto é, se

0)()( dxxvxu

As funções sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...

formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo

-L x L. Senão vejamos

nmsedxL

xn

L

xm

nmseL

L

L

0cos.cos

nmse

nmseL

L

Ldx

L

xn

L

xm 0)sen(.)sen(

.,,0)sen(.)cos( nmtodoparadxL

xn

L

xmL

L

Supondo que uma série da forma

).2

sen()2

cos(2

)(1

0 xmb

xma

axf mm m

converge. E considerando as propriedades de ortogonalidade vistas, temos que os coeficientes an e bn são dados por

...2,1,0,)cos()(1

ndxL

xnxf

La

L

Ln

...2,1,)sen()(1

ndxL

xnxf

Lb

L

Ln

Exemplo: Seja

),3

sen()3

cos(2

)(1

0 xnb

xna

axf nm n

e suponha que f (x+6) = f (x). Encontre os coeficientes da série de Fourier de f.

Como f tem período 6, segue que L = 3. Então a série de Fourier de f tem a forma

31,0

11,1

13,0

)(

x

x

x

xf

onde os coeficientes an e bn são dados por

3

2

3

1)(

3

1 1

1

3

30 dxdxxfa

,2,1),3

sen(3

2)

3cos(

3

1 1

1 n

ndx

xnan

Similarmente,

,2,1,0)3

sen(3

1 1

1 ndx

xnbn

Logo a série de Fourier de f é

),3

sen()2

)(3

cos((3

1)(

1

xn

n

xnxf

n

)]3

sen()3

[cos(2

3

1)(

xxxf

Funções pares e ímpares:

Analiticamente, f é uma função par se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f (x) = f (-x) para cada x do domínio de f.

Analogamente, f é uma função ímpar se seu domínio contém –x sempre que contiver x e se f (-x) = - f (x) para cada x no domínio de f.

Exemplos:

Funções pares : 1, x2, cos(nx), |x| e x2n.

Funções ímpares: x, x3, sem(nx) e x2n+1.

A maioria das funções não é par nem ímpar. Por exemplo ex.

A função identicamente nula é ímpar e par ao mesmo tempo.

Propriedades elementares:

a) A soma (diferença) e o produto (quociente) de duas funções pares é par.

b) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar; o produto (quociente) de duas funções ímpares é par.

c) A soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é par nem ímpar; o produto (quociente) é ímpar.

d) Se f é uma função par, entãodxxfdxxf

LL

L 0

)(2)(

0)( dxxfL

L

e) Se f é uma função ímpar, então

Como consequência das propriedades d e e, os coeficientes de Fourier de f são dados por (caso em co-seno, par)

...2,1,0,)cos()(2

0 ndx

L

xnxf

La

L

n

bn = 0, n = 1, 2, . . .

Logo ).cos(2

)(1

0

L

xna

axf

n n

e no caso em senos, ímpar, temos:

an = 0, n = 0, 1, 2, . . .

...2,1,)sen()(2

0 ndx

L

xnxf

Lb

L

n

E a série é dada por

).sen()(1 L

xnbxf

n n

Equação do calor

A equação do calor tem a forma

2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0

Onde 2 é uma constante conhecida como difusividade térmica. O parâmetro 2 depende, apenas, do material do qual é feita a peça e é definida por 2 = k / s, onde k é a condutibilidade térmica, é a densidade e s é o calor específico do material utilizado. As unidades de 2

(comprimento)2 / tempo.

Alguns valores de difusividade térmica.

Material 2 (cm2 / s)

Prata 1,71

Cobre 1,14

Alumínio 0,86

Água 0,00144

O problema fundamental de condução de calor é encontrar u(x, t) que satisfaz a equação diferencial

2uxx = ut, 0 < x < t, t > 0, a condição inicial

u(x,0) = f(x), 0 x L quando t = 0 e as condições de contorno u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t > 0.

A equação de onda

A equação da onda é dada por 2uxx = utt, 0 < x < L, t > 0.

O coeficiente constate 2 é dado por 2 = T / onde T é a tensão na corda e é a massa por unidade de comprimento do material da corda. Assim, a unidade de é comprimento / tempo.

Supondo-se que as extremidades permanecem fixas, logo as condições de contorno são u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t 0.

Como a equação é de segunda ordem em t, é razoável ter 2 condições iniciais.

u(x, 0) = f(x), 0 x L e a velocidade inicial

ut(x, 0) = g(x), 0 x L, onde f e g são funções dadas.

Para a consistência da equação, faz necessário supor que

f(0) = f(L) = 0 e g(0) = g(L) = 0.

Equação de Laplace

Em duas dimensões, a equação de Laplace, que tem inúmeras aplicações, é uxx + uyy = 0, e tem três dimensões.

uxx + uyy + uzz = 0.

Por exemplo, em um problema de calor a duas dimensões espaciais, a temperatura u(x, y, t) tem que satisfazer a equação 2 (uxx+ yxx) = ut, onde 2 é a difusividade térmica. O problema de encontrar uma solução da equação de Laplace com valores dados na fronteira é conhecido como um problema de Dirichilet.