SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA

GENEVALDO CARNEIRO OCANHA

UNIDADE DIDÁTICA

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

“UTILIZAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA

ALTERNATIVA PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA PARA OS ALUNOS DA SALA

DE APOIO”

PONTA GROSSA

2008

1

GENEVALDO CARNEIRO OCANHA

UNIDADE DIDÁTICA

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

“UTILIZAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA

ALTERNATIVA PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA PARA OS ALUNOS DA SALA

DE APOIO”

Unidade Didática apresentada como

requisito de avaliação parcial referente ao

Programa de Desenvolvimento Educacional –

PDE.

Universidade Estadual de Ponta Grossa

Orientador: Prof. Ms. João Luiz Domingues

Ribas

PONTA GROSSA

2008

2

SUMÁRIO

TEMA DA UNIDADE DIDÁTICA 03 INTRODUÇÃO 03

I - UM POUCO DE HISTÓRIA 05

II - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 07 Atividades .............................................................................................................. 08

III - A ORIGEM DO ALGARISMO ZERO 08

IV - NECESSIDADE DE VER QUANTOS CABE E DE DIVIDIR EM PARTES IGUAIS

10

Atividades .............................................................................................................. 12

V - NECESSIDADE DE SOMAR PARCELAS IGUAIS, DE COMBINAR E DE PROPORCIONALIDADE

13

Atividades .............................................................................................................. 15

VI - NECESSIDADE DE AGRUPAR OU ACRESCENTAR 16 Atividades .............................................................................................................. 19

VII - NECESSIDADE DE TIRAR QUANTIDADES E VERIFICAR QUANTO A MAIS

20

Atividades .............................................................................................................. 22

VIII - MODELO MATEMÁTICO 23

IX - AVALIAÇÃO 25

X - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 25

3

UNIDADE DIDÁTICA

Operações com números Naturais

Utilização da Modelagem Matemática como metodologia alternativa para o ensino de Matemática para os alunos da sala de apoio.

Como nas Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado

do Paraná, no caderno de Matemática é contemplado números e álgebras, como parte dos

conteúdos estruturantes e a Modelagem Matemática, como um dos encaminhamentos

metodológicos. Temos como proposta para esta Unidade Didática, a elaboração de material

didático para que os professores ao trabalharem com os alunos da sala de apoio com esta

metodologia, tenham subsídios necessários no transcorrer de todo o processo, sem perder de

vista as operações básicas que é o objetivo principal de todo este trabalho.

Partindo da idéia de BASSANEZI (1994, p. 45): “A Modelagem Matemática é um

processo dinâmico de busca de modelos adequados, que sirvam de protótipos de alguma

entidade”. e que a Matemática faz parte do nosso cotidiano, está implícita em quase todas as

nossas atividades, portanto não é possível viver sem ela, assim “devemos encontrar meios

para desenvolver, nos alunos, a capacidade de ler e interpretar o domínio da Matemática”

(BIEMBENGUT, 2003) e utilizando-se de etapas, destacadas na obra “Modelagem

Matemática no Ensino” de BIEMBENGUT e HEINPOR, Interação, Matematização e Modelo

Matemático. Quando seguimos as etapas da modelagem muitas vezes não podemos adaptar ao

currículo escolar, quando o adaptamos temos então o que BIEMBENGOUT denomina de

Modelação Matemática.

Portando, como temos um currículo escolar a ser cumprido, estaremos focalizados

na modelação o encaminhamento desta unidade.

Nesta Unidade Didática temos como objetivos:

Desenvolver a criatividade dos alunos;

Despertar o interesse pelos conteúdos de Matemática;

Levar os alunos a compreender o que levou à criação dos números;

4

PARA FACILITARPARA FACILITARPARA FACILITARPARA FACILITAR

Associar as idéias de “juntar” ou “acrescentar” a operação de adição;

Associar as idéias de “tirar”, “quanto falta” ou “comparar” a operação de

subtração;

Associar as idéias de “soma de parcelas iguais”, “combinação” e

“proporcionalidade” a operação de multiplicação;

Associar as idéias de “repartir em partes iguais” e “quanto cabe” a operação de

divisão;

No transcorrer de toda a Unidade Didática, estaremos recorrendo à seguinte

situação problema, com a intenção de demonstrar a aplicação desta Unidade Didática

vinculada a Modelagem Matemática.

Sou proprietário de uma sala comercial de 7m x 9m, de dimensões. Pretendo neste

espaço abrir uma Lan House. Necessito portanto fazer os seguintes levantamentos:

Quanto devo investir em equipamentos de informática e mobiliário;

Qual a estimativa, mês, com gasto de manutenção em despesas fixas;

Qual o custo, de mercado para utilização dos equipamentos, a ser cobrado dos

meus clientes;

Em quanto tempo terei o retorno de 100% do meu investimento;

Quais os outros tipos de serviços que podem ser prestados pelo meu

estabelecimento, e quanto posso cobrar por cada serviço deste;

É viável levar a frente à proposta de instalar a Lan House;

Com a situação problema que temos, começamos a estruturar a Modelagem

Matemática.

Dessa forma, a modelagem matemática no ensino pode ser um caminho

para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ainda desconhece, ao

mesmo tempo em que aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso porque é

dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio de pesquisa,

desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico. (BIEMBENGUT, 2003

p.18)

5

PARA FACILITARPARA FACILITARPARA FACILITARPARA FACILITAR

OPERAÇÕES BÁSICAS COM NÚMEROS NATURAIS

A primeira etapa da Modelagem Matemática é a Interação, é o instante em que o

aluno faz a pesquisa, o aprofundamento sobre a situação problema. Será neste momento, em

que estiver pesquisando sobre a Lan House, que ele vai constatar a necessidade que o homem

teve de registrar as quantidades, que culminou na criação de sistemas de numeração.

UM POUCO DE HISTÓRIA

Não temos muitos relatos sobre a origem das Lan House, embora se acredite que

foi inicialmente introduzido e difundido na Coréia em 1996 e no Brasil no ano de 1998. A

mesma tem por característica a associação de diversos computadores de última geração

conectados em rede, e para melhor atender seus freqüentadores, deve proporcionar o maior

conforto possível, como: ar-condicionado, poltronas confortáveis, atendimento por pessoas

habilitadas para dar o atendimento necessário no momento de dúvidas dos clientes, etc.

6

SUGESTÃO DE ATIVIDADE

Tendo em vista os relatos anteriores e despertando a curiosidade dos alunos, o

professor junto com os mesmos, deve fazer visitas à Lan House já instaladas, para que os

mesmos consigam ver em que pontos, a Lan House que eles têm como projeto de instalação

terá como diferencial na prestação de serviço.

Nestas visitas os alunos irão se deparar com certas quantidades de objetos e

equipamentos, dos quais deverão fazer cotação de preço, no intuído de responder parte da

situação problema.

ATENÇÃO

Na visita as Lan House, o professor deverá solicitar que os alunos registrem a

quantidade de todos os itens que consideram fundamental para o bom andamento da loja, para

isto, poderá ser utilizado o método aplicado na estatística - . Surgiu então o momento

adequado para contar um pouco da história de como os homens começaram a contar e entrar

no sistema de numeração.

Uma das histórias contadas aos alunos relata como era feito a contagem há muito

tempo atrás, quando os pastores de ovelhas utilizavam o processo de comparação para

registrar a quantidade de animais que estavam sobre sua responsabilidade, já que ao tirar as

ovelhas pela manhã ele recolhia uma pedrinha para cada ovelha que saia e ao recolhê-las a

noite ele comparava cada ovelha que entrava a uma das pedras que estava com ele, assim pela

comparação ele sabia se nenhuma ovelha havia se perdido ou se algum carneiro nasceu neste

meio tempo.

IFRAH (1994) trás esta história como uma das maneiras para aplicar esta

correspondência, pois outros procedimentos parecidos poderiam ser utilizados, como gravar

as quantidades em pedaços de ossos, madeiras, nós em pequenas cordas, ou conchas enfiadas

numa espécie de rosário. Utilizavam-se também dos dedos das mãos ou membros das

diferentes partes do corpo humano.

Esta relato mostra um pouco da idéia que todos têm quanto a quantidades, mesmo

que muitas vezes nem sempre se conhece os números.

7

Se deixarmos uma criança que não conheça ainda o nosso sistema de numeração

brincar com uma quantidade grande de brinquedos e retirarmos dois deles muitas vezes ela

nem percebe a falta dos mesmos, mas se quantidade for pequena, três, por exemplo, e

retirarmos dois ela sente falta, embora ela não saiba ainda contar, mas tem a noção de

quantidade.

O mesmo acontece com os animais, IFRAH (1994:20) relata a história de um

homem que resolveu matar um corvo que tinha feito seu ninho na torre de um castelo, mas

quando ele entrava o corvo saia e só retornava quando o homem deixava o local, este então

resolveu utilizar-se de uma artimanha, entram em dois homem e um saiu logo em seguida mas

a ave não retornou até que ele saísse, e assim ele foi fazendo, entram 3 homens e saíram dois a

ave não retornou, só foi possível matar o animal quando entram 5 homens e saíram 4, pois a

partir desta quantidade a ave não tinha noção de quantidade, é deste senso que os serem

humanos também são dotados, mas com o passar dos seus dias ele vai evoluindo e adquiri a

capacidade de contar e fazer a associação entre quantidades e sua representação numérica.

SISTEMA DE NUMERAÇÃO

A criação dos números veio com a necessidade de contar. Seja para contar

animais, alimentos, mas o importante é sabermos que a matemática está presente na vida do

homem há tanto tempo que as histórias dos dois se confundem, muitas vezes tornando

impossível contar uma sem utilizar a outra. Com a evolução, aparecem as necessidades, e com

estas surgiram os sistemas de numeração: egípcio, babilônio, romano, chinês, etc. O sistema

utilizado em nosso país é o SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO, que possui

como base de contagem um sistema decimal, e teve origem com os Hindus que habitavam o

vale do rio Indo, onde hoje localiza-se o Paquistão.

Este sistema utiliza-se de dez símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 0 com os quais é

possível representar qualquer quantidade por maior que seja. Estes símbolos recebem o nome

de algarismo em homenagem ao matemático árabe, Mohammed Ibu Musa al-Khowarizmi,

que viveu entre 780 e 850 d.C. e os algarismos tem um valor posicional, pois dependendo da

posição que ele se encontra o mesmo tem um valor significativo.

Exemplo: O número 13432 apresenta dois algarismos 3 em sua representação

embora os mesmos não representem a mesma quantidade.

8

O primeiro 3, que está entre o 4 e o 2, representa um grupo com três dezenas ou

seja 30, já o segundo 3, que está entre 1 e o 4, representa um grupo com três unidades de

milhar isto é 3000 o que deixa claro o valor posicional do algarismo.

ATIVIDADES

1. Após a leitura dos textos encontrados nos sites:

http://educar.sc.usp.br/matematica/l1t5.htm

http://educar.sc.usp.br/matematica/l1t6.htm

Agrupar os alunos de três em três, onde cada grupo irá criar um sistema de

numeração.

2. Com o sistema de numeração que cada grupo criou, representar os seguintes

números:

a) 08

b) 14

c) 30

d) 106

3. Estabelecer semelhanças e diferenças entre os sistemas de numeração e

comparar com o Sistema Indo-Arábico em relação à:

a) Símbolo para o zero;

b) Ser decimal – base dez;

c) Ser multiplicativo;

d) Ser aditivo;

A ORIGEM DO ALGARISMO ZERO

A revista SUPERINTERESSANTE do mês de abril de 2001, apresenta um artigo

escrito por Maria Fernanda Vomero que trata da origem do algarismo zero, pois este número,

que por tantos anos foi discutido sem uma conclusão. Tendo em vista que representar algo

que nada representa foi o grande desafio de muitas gerações.

9

Você sabia?

A cultura indiana antiga já trazia uma noção de vazio bem antes do conceito

matemático de zero. "Num dicionário de sânscrito, você encontra uma explicação

bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que é shúnya", afirma o físico

Roberto de Andrade Martins, do Grupo de História e Teoria da Ciência da

Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shúnya significa

vazio, deserto, estéril. Aplica-se a uma pessoa solitária, sem amigos; a um indivíduo

indiferente ou insensível. O termo descreve um sentimento de ausência, a falta de

algo, uma ação sem resultados. Como substantivo, shúnya refere-se ao nada, ao

vácuo, à inexistência. A partir do século VIII d.C., os árabes levaram para a Europa,

junto com os outros algarismos, tanto o símbolo que os indianos haviam criado para

o zero quanto a própria idéia de vazio, nulo, não-existente. E difundiram o termo

shúnya – que, em árabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zéfiro,

zefro e, por fim, zero.(VOMERO,2001)

Depois que temos noção do que é necessário colocarmos dentro do espaço que

temos, uma sala de 9m x 7m, devemos verificar a distribuição dos mesmos dentro deste

espaço. Sabemos que de parede livre onde podem ser distribuídas as baias é um perímetro de

9 metros em uma parede e 7 metros em outra parede, conforme mostra a figura.

7 metros

2,1 metros

9 metros

Podemos colocar uma baia central, de dupla entrada de comprimento 2,1 metros.

Sabemos que o espaço destinado para cada equipamento de informática é de 70 cm

de comprimento por 68 cm de profundidade.

A T E N D I M E N T O

10

ATENÇÃO

Começamos a entrar com estes dados, dentro da matematização, momento este em que

o professor terá a oportunidade de refletir sobre as idéias conceituais das operações com os

números naturais que constatamos a seguir.

NECESSIDADE DE VER QUANTOS CABE E DE DIVIDIR EM PARTES IGUAIS

Tomando como base uma das paredes, a de 7 metros, vamos verificar quantos

equipamentos podem ser colocados nela. Sabendo que o comprimento destinado a cada

equipamento é de 70cm.

Para facilitar este raciocino é viável que se transforme as medidas em unidades de

mesma grandeza _ como 1 metro equivale a 100cm então 7 metros valem 700cm

700:70= 10 ⇔ na parede de 7 metros cabem 10 equipamentos, o mesmo devemos

fazer para os demais espaços

900:70 ≅ 12⇔ na parede de 9 metros cabem 12 equipamentos

210:70=3⇔ na baia central cabem 3 equipamentos em cada lado, num total de 6

equipamentos centrais;

ATENÇÃO PROFESSOR

Ao verificarmos quantos equipamentos poderiam ser colocados nos espaços

determinados, começamos a pensar nos conceitos da divisão, que estaremos fixando com os

exemplos a seguir.

Sabemos que uma das maiores preocupações da humanidade é a questão da água

potável, embora o Brasil seja responsável por 50% da água potável do mundo – Revista

EmbalagemMarca – Fev 2007, somos o oitavo produtor, com aproximadamente 8 bilhões de

litros anuais.

11

Uma fonte de água mineral tem vazão de 5 640 litros diários, em quantos garrafões

de 20 litros poderão ser armazenados a capacidade diária desta fonte?

Para resolvermos este problema, seguimos o raciocínio de irmos tirando do total

de 5 640 litros de água uma quantidade de 20 litros de cada vez, para podermos verificar

quantos garrafões foram necessários. 5 640 : 20 = 282 garrafões serão necessários.

Carlos tem uma coleção de 6 318 bolinhas de gude e deseja repartir esta coleção

entre seus 26 alunos, de tal forma que cada aluno fique com a mesma quantidade de bolinhas.

Quantas bolinhas cada aluno vai receber?

Na solução desta questão o professor Carlos deverá repartir o total de bolinhas em

partes iguais. 6 318 : 26 = 243 bolinhas para cada aluno.

Os exemplos acima trazem as idéias de divisão, embora tenham apresentado

divisão exata, mas nem sempre isto é possível, e para fecharmos as quatro

operações básicas, adição, subtração, multiplicação e divisão dentro do

enfoque do valor posicional, o algoritmo da divisão pode ser escrito da

seguinte forma:

6318 26 6000 + 300 + 10 + 8 26

-52 243 -52 -26 230 +11 + 2 243

111 80 40

-104 -78 - 26

78 20 14 10 8 Os restos não podem

-78 ser divididos por 26

00 então somamos para

depois dividir

20+ 14 + 10 + 8 52

-52

00

12

230 é o quociente da divisão de 6000 por 26;

11 é o quociente da divisão de 300 por 26;

2 é o quociente da divisão da soma dos restos que eram menores que 26 (20, 14,

10 e 8) por 26;

O quociente da divisão de 6 318 por 26 é a soma dos quocientes anteriores,

230+11+2.

ATIVIDADES

1. Observando a forma como foi desenvolvido o algoritmo, faça igual ao resolver

o seguinte problema:

6318 26 6000 + 300 + 10 + 8 26

-52 243 -52 -26 230 +11 + 2 243

111 80 40

-104 -78 - 26

78 20 14 10 8 Os restos não podem

-78 ser divididos por 26

00 então somamos para

depois dividir

20+ 14+ 10 + 8 52

-52

00

b) A direção do Colégio necessita levar todos os alunos a uma atividade

extraclasse. Sabendo que no dia desta atividade compareceram 874 alunos, e os mesmos serão

transportados em ônibus de 38 lugares cada um, quantos ônibus iguais a este será necessário?

2. Em grupos de três alunos, identificar situações do dia a dia que temos as idéias

de divisão em partes iguais e de quanto cabe, escrevendo quatro destas situações em forma de

problema.

13

NECESSIDADE DE SOMAR PARCELAS IGUAIS, DE COMBINAR E DE

PROPORCIONALIDADE

Já temos base agora de quantos equipamentos de informática podemos ter nessa

Lan House. Iremos neste momento nos preocupar apenas no básico a ser disponibilizado aos

clientes: Computador completo, web cam e fone de ouvido.

TABELA DE CUSTO DOS EQUIPAMENTOS DE INFORMÁTICA

Custo

Equipa

Custo por Unidade Custo das 28 Peças

Computador 1.450,00 40.600,00

Web Cam 49,00 1.372,00

Fone 39,00 1.092,00

Tendo em vista que temos o custo unitário dos equipamentos, como necessitamos

de 28 para Lan House, devemos determinar o produto entre a quantidade pelo valor unitário.

ATENÇÃO PROFESSOR

Ao verificarmos o custo a ser pago pelos equipamentos, começamos a pensar nos

conceitos da multiplicação, que estaremos fixando com os exemplos a seguir.

Uma indústria de suco embala sua produção em caixas contendo 12 litros de suco

longa vida. Sabendo que em um dia de produção esta indústria embalou 144 caixas iguais a

esta, qual foi a produção em litros de suco neste dia?

Sabemos que em cada caixa contém 12 litros, basta apenas somarmos 144 parcelas

de 12 litros cada, que totaliza 1 728 litros de suco.

Para fazer 30 brigadeiros dona Ana utiliza:

1 lata de leite condensado

1 colher de sopa de margarina

2 colheres de sopa de cacau sem açúcar.

14

Sabendo que dona Ana recebeu uma encomenda de 60 brigadeiros, quantas latas

de leite condensado, quantas colheres de sopa de margarina e quantas colheres de sopa de

cacau sem açúcar ela necessita?

Visto que 60 = 30 + 30, ou seja, 2 x 30 = 60 60 é o dobro, então dona

Ana vai necessitar de:

2 x 1 lata de leite condensado = 2 latas de leite condensado

2 x 1 colher de sopa margarina = 2 colheres de sopa de margarina

2 x 2 colheres de cacau sem açúcar = 4 colheres de cacau sem açúcar;

Marina foi a uma pastelaria onde informaram que poderia solicitar um pastel com

dois sabores combinando um tipo de carne, frango, atum ou carne moída, com um tipo de

queijo, mussarela, prato, edam ou gouda, de quantas maneiras Marina poderá montar o seu

pastel?

Carne

Queijo

Moída Frango Atum

Mussarela Mussarela/Carne moída Mussarela/Frango Mussarela/Atum

Prato Prato/ Carne moída Prato/Frango Prato/Atum

Edam Edam/Carne moída Edam/Frango Edam/Atum

Gouda Gouda /Carne moída Gouda/Frango Gouda/Atum

Um total de 12 maneiras diferentes de montar seu pastel.

Os exemplos citados representam as idéias de multiplicação:

• Soma de parcelas iguais – Quando estamos trabalhando com a reunião de

várias parcelas de mesmo valor podemos representar este agrupamento através do produto do

número de parcela pelo valor da mesma.

• Combinar – Quanto pretendemos organizar determinadas situações, em que é

apresentado possibilidades diferentes, determinamos o números destas possibilidades através

do produto das quantidades a serem associadas.

• Proporcionalidade - Quando pensamos em aumentar certa quantidade, em

razão de uma grandeza, podemos representar este aumento através do produto da quantidade

pela grandeza.

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Que apresentam como algoritmo:

144 100 + 40 + 4

x12 x 10 + 2

288 200 + 80 + 8

+1440 + 1000 + 400 + 40

1728 1000 + 600 + 120 + 8 1728

1000 + 600 + + 8

+ 100 + 20

1000 + 700 + 20 + 8 1728

Na multiplicação ainda observamos a questão posicional dos algarismos,

lembrando que o sistema utilizado é o decimal e que cada ordem superior é

obtida por dez vezes a ordem inferior:

Dez unidades formam uma dezena

Dez dezenas formam uma centena

Dez centenas formam uma unidade de milhar

ATIVIDADES

1. Observando a forma como foi desenvolvido o algoritmo do produto, resolva os

seguintes problemas:

144 100 + 40 + 4

x12 x 10 + 2

288 200 + 80 + 8

+1440 + 1000 + 400 + 40

1728 1000 + 600 + 120 + 8 1728

1000 + 600 + + 8

+ 100 + 20

1000 + 700 + 20 + 8 1728

E assim por diante teremos:

16

a) Observando a disposição das carteiras em sala de aula, de quantas maneiras

diferentes os alunos da sala poderão estar assentados?

c) Sabendo que em um colégio as carteiras estão distribuídas nas salas em 6

fileiras de 7 carteiras cada uma.

I) Quantas carteiras têm em uma sala?

II) Quantas carteiras têm no colégio sabendo que o mesmo conta com 22 salas

iguais a esta?

2. Em grupos de três alunos, identificar situações do dia a dia que temos a idéia de

proporcionalidade, escrevendo duas situações em forma de problema.

NECESSIDADE DE AGRUPAR OU ACRESCENTAR

Analisando a tabela de custo dos equipamentos de informática a seguir.

TABELA DE CUSTO DOS EQUIPAMENTOS DE INFORMÁTICA

Custo

Equipa

Custo por Unidade Custo das 28 Peças

Computador 1.450,00 40.600,00

Web Cam 49,00 1.372,00

Fone 39,00 1.092,00

Podemos ainda totalizar os gastos nesta etapa temos:

TABELA DE CUSTO DOS EQUIPAMENTOS DE INFORMÁTICA

Custo

Equipa

Custo por Unidade Custo das 28 Peças

Computador 1.450,00 40.600,00

Web Cam 49,00 1.372,00

Fone 39,00 1.092,00

Total 1.538,00 43.064,00

17

Para totalizarmos os custos na tabela, tivemos que determinar a soma dos valores

das colunas.

ATENÇÃO PROFESSOR

Ao verificarmos o total dos custos a ser pago pelos equipamentos, começamos a

pensar nos conceitos da adição, que estaremos fixando com os exemplos a seguir.

Vamos observar a seguinte tabela de produção de uma fábrica têxtil:

Produção Primeiro semestre Segundo semestre

Calças 7 450 11 670

Bermudas 4 690 8 734

Camisas 4 300 5 875

Camisetas 18 064 18 934

Saias 3 342 3 786

Com os dados relacionados na tabela acima poderemos retirar várias

possibilidades de agrupamento de quantidades em um só valor:

a) A produção anual de cada item produzido pela indústria

Produção Primeiro semestre Segundo semestre Anual

Calças 7 450 11 670 19 120

Bermudas 4 690 8 734 13 424

Camisas 4 300 5 875 10 175

Camisetas 18 064 18 934 36 998

Saias 3 342 3 786 7 128

b) A produção total das peças tanto nos semestres como anual produzida por esta indústria

Produção Primeiro semestre Segundo semestre Anual

Calças 7 450 11 670 19 120

Bermudas 4 690 8 734 13 424

Camisas 4 300 5 875 10 175

Camisetas 18 064 18 934 36 998

Saias 3 342 3 786 7 128

Total 37 846 48 999 86 845

18

Quando totalizamos os dados nas tabelas, estamos agrupando ou reunindo os

valores em um só.

Vamos nos deter agora na seguinte possibilidade:

A biblioteca de uma escola possuía o seguinte acervo:

32 volumes de livros de Língua Portuguesa

28 volumes de livros de Matemática

19 volumes de livros de Ciências

15 volumes de livros de História

14 volumes de livros de Geografia

09 volumes de livros de Língua Estrangeira

Sabendo que o diretor deste estabelecimento de ensino ampliou o acervo

adquirindo:

17 volumes de livros de Língua Portuguesa

11 volumes de livros de Matemática

09 volumes de livros de Ciência

09 volumes de livros de História

08 volumes de livros de Geografia

06 volumes de livros de Língua Estrangeira.

Deste exemplo, podemos tirar a idéia de acrescentar, pois se queremos saber

quantos livros de cada área ficou na biblioteca deste estabelecimento, basta acrescentar ao que

ela possuía a quantidade comprada.

32+17= 49 volumes de livros de Língua Portuguesa

28+11= 39 volumes de livros de Matemática

19+09= 28 volumes de livros de Ciências

15+09= 24 volumes de livros de História

14+08= 22 volumes de livros de Geografia

09+06= 15 volumes de livros de Língua Estrangeira.

Assim, teremos:

19

Ao notarmos os dois exemplos dados, percebemos que a necessidade de agrupar

ou acrescentar está relacionada à operação da adição que apresenta como algoritmo o

seguinte:

32 Parcela

+17 Parcela

49 Soma ou total

Outro fator importante a ser lembrado é que ao desenvolver a adição

não podemos esquecer que o valor posicional de cada número é de

extrema importância, pois estaremos fazendo a operação com este valor

posicional:

32 30 + 2

+17 10 + 7

49 40 + 9 = 49

ATIVIDADES

1. Com a quantidade de objetos observados na sala de aula, verificar as diferentes

formas, totalizando cada possibilidade encontrada.

2. Em grupos de três alunos, escrever situações do dia a dia em que utilizamos as

idéias de agrupar ou acrescentar, sistematizando estas situações em problemas;

3. Observe exemplo a seguir:

32 30 + 2

+17 10 + 7

49 40 + 9 = 49

20

Agora, faça o mesmo efetuando as seguintes operações:

a) 12+49=

b) 8+27=

c) 104+32=

d) 267+28+109=

e) 1045+409+72+9=

Outro fator importante a ser analisado é a questão das despesas, supondo que a

Lan House ficará 10 horas abertas diariamente e que em 60% do horário ela estará com 100%

dos equipamentos ocupados, então em 6 horas diárias teremos 28 pessoas utilizando o

equipamento, que é o mesmo que dizer que teremos em média 28 x 6 = 168 horas diárias de

rendimentos.

Outro fato é que a média cobrada por hora de utilização em uma Lan House é de

R$ 2,50 (dois reais e cinqüenta centavos) o que levaria a ter como entrada no caixa, um total

de 168 x 2,50 = R$ 420,00 diariamente. Se a loja ficar aberta todos os dias do mês, 30 dias

⇔ 30x420,00 = R$ 12.600,00 de entrada ao mês.

NECESSIDADE DE TIRAR QUANTIDADES E VERIFICAR QUANTO A MAIS

Pensando nas despesas temos que levar em consideração o seguinte:

Impostos R$ 3.780,00

Funcionários R$ 3.000,00

Despesas fixas R$ 1.200,00

Para sabermos quantos teremos de sobra ao final do mês temos que tirar cada

despesa desta da entrada que foi R$ 12.600,00.

12.600,00 – 3.780,00 = 8.820,00

8.820,00 – 3.000,00 = 5.820,00

5.820,00 – 1.200,00 = 4.620,00

ATENÇÃO PROFESSOR

Quando foi retirado da entrada em caixa as despesas, começamos a pensar nos

conceitos da subtração, que estaremos fixando com os exemplos a seguir.

21

Jorge ao somar suas notas de matemática dos três primeiros bimestres, obteve 142

pontos, sabendo que ele tem que totalizar 200 pontos para ser aprovado, quantos pontos

necessita tirar no quarto bimestre?

Ao analisarmos a situação acima concluímos que se tirarmos do total de pontos

que Jorge necessita para aprovação a quantidade que ele já possui obtemos 58 pontos que é a

quantidade que ele terá que tirar no quarto bimestre.

Se pegarmos a tabela utilizada anteriormente:

Produção Primeiro semestre Segundo semestre

Calças 7 450 11 670

Bermudas 4 690 8 734

Camisas 4 300 5 875

Camisetas 18 064 18 934

Saias 3 342 3 786

E tivéssemos que verificar quanto foi produzido a mais no segundo semestre que

no primeiro teríamos:

Produção Primeiro

semestre

Segundo

semestre

Quantidade a mais do segundo

semestres

Calças 7 450 11 670 4 220

Bermudas 4 690 8 734 4 044

Camisas 4 300 5 875 1 575

Camisetas 18 064 18 934 870

Saias 3 342 3 786 444

Total 37 846 48 999 11 153

Das duas situações anteriores, retiramos as idéias da subtração que são:

• Tirar quantidades – Temos que retirar de um montante certa quantidade.

• Quanto a mais – Através da comparação entre duas quantidades verificar o

quanto uma tem a mais do que a outra.

22

Esta operação tem por algoritmo:

200 200 + 0 + 0 100 + 90 + 10

- 142 -100 + 40 + 2 100 + 40 + 2

58 100 000 + 50 + 8 58

- 40 + 2

60

- 2

58

Voltamos a reforçar a questão posicional dos algarismos no número, tendo

em vista que no sistema de numeração indo arábico, esta relação é super

importante para resolução das operações.

ATIVIDADES

1. Com base no modelo a seguir,

200 200 + 0 + 0 100 + 90 + 10

- 142 -100 + 40 + 2 100 + 40 + 2

58 100 000 + 50 + 8 58

- 40 + 2

60

- 2

58

Resolva o seguinte problema:

De todos os objetos que temos na sala, verificar o que possui a maior quantidade e

determinar quantos tem a mais deste em relação aos demais objetos, operacionalizando cada

comparação.

1. Em grupos de três alunos, escrever situações do dia a dia em que utilizamos as

idéias de tirar quantidades e de quanto temos a mais, sistematizando estas situações em

problemas.

23

PARA FACILITARPARA FACILITARPARA FACILITARPARA FACILITAR

MODELO MATEMÁTICO

A terceira etapa da Modelagem Matemática é a Modelo Matemático. Nesta etapa se

faz necessário uma avaliação com o objetivo de verificar o grau de confiabilidade na sua

utilização. Portanto respondermos a questão da viabilidade ou não da instalação da Lan House

verificamos não apenas a confiabilidade do modelo proposto, mas também a postura do aluno

no momento de decisão, indo para linha do empreendedorismo.

Temos como parte do modelo a que nos propomos o seguinte:

O esquema de como será a disposição dos equipamentos na loja de 9m por 7m

7 metros

2,1 metros

9 metros

A T E N D I M E N T O

24

O número de equipamentos que podem ser disponibilizado na Lan House

700:70= 10 ⇔ na parede de 7 metros cabem 10 equipamentos

900:70 ≅ 12⇔ na parede de 9 metros cabem 12 equipamentos

210:70=3⇔ 3x2 = 6

Total de 28 equipamentos.

Levantamento de custos dos equipamentos

Custo

Equipa

Custo por

Unidade

Custo das

28 peças

Computador 1.450,00 40.600,00

Web Cam 49,00 1.372,00

Fone 39,00 1.092,00

Total 1.538,00 43.064,00

Levantamento das entradas

A média cobrada por hora de utilização em uma Lan House é de R$ 2,50 (dois

reais e cinqüenta centavos), como temos uma média de 60% das 10 horas diárias sendo

utilizados os equipamentos temos 6 horas x 28 equipamentos, o que levaria e ter como entrada

no caixa, um total de 168 x 2,50 = R$ 420,00 diariamente. Se a loja ficar aberta todos os dias

do mês, 30 dias ⇔ 30x420,00 = R$ 12.600,00 de entrada ao mês.

Levantamento das despesas

Impostos R$ 3.780,00

Funcionários R$ 3.000,00

Despesas fixas R$ 1.200,00

Totalizando as despesas e retirando das entradas

Entradas 12.600,00

Despesas 7.980,00

Sobra 4.620,00

Conclusão:

Como houve um gasto em equipamentos de 43.064,00 e uma sobra de 4.620,00

mês somente no décimo mês o proprietário terá todo seu dinheiro empregado de volta e

começará a ter lucro real.

O que levará os alunos a refletirem com estes dados da viabilidade ou não da

instalação da Lan House.

25

Neste momento estamos fechando todo o processo da Modelagem Matemática,

sendo importante ainda realizar a avaliação de todo o encaminhamento e verificar se as metas

propostas foram atingidas.

AVALIAÇÃO

Nas Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica

do Estado do Paraná – Matemática vemos que, “No processo

avaliativo, é necessário que o professor faça uso da observação

sistemática para diagnosticar as dificuldades dos alunos e criar

oportunidades diversificadas para que possam expressar seu

conhecimento” (DCE, 2008 p. 44)

Para dar prioridade a esta linha de pensamento, a avaliação será realizada por

meio da observação do desenvolvimento das atividades propostas aos alunos e também da

compreensão dos processos das quatro operações, onde foi oportunizado aos alunos

construírem seu raciocínio

Enfatizamos ainda que este material de apoio seja avaliado dentro da proposta

do projeto a que ele se destina.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como estamos tratando de uma metodologia de ensino, Modelagem

Matemática, na qual os alunos deverão ter liberdade aos desenvolver o modelo e o professor

em momento algum poderá perder de vista os conteúdos a serem atingidos, apresentamos esta

unidade didática como uma referência de trabalho, onde cada profissional envolvido deverá

somar sua experiência de sala, com a finalidade de enriquecer o aprendizados dos alunos.

REFERÊNCIAS

1- ANDRINI, Álvaro. Novo Praticando Matemática / Álvaro Andrini, Maria José C. de V.

Zampirolo. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

26

2- BASSANEZI, Rodney. Modelagem Matemática. Blumenau: Dynamis, 1994.

__________. Modelagem Matemática: uma disciplina emergente nos programas de

formação de professores. Blumenau. Apostila.

3 - BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. 3.

Ed. - São Paulo: Contexto, 2003.

4- BONJORNO, José Roberto. Matemática: fazendo diferença / José Roberto Bonjorno,

Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares. – 1. Ed. São Paulo: FTD, 2006.

5- GIOVANNI, José Ruy. A conquista da matemática: a + nova / José Ruy Giovanni,

Benedito Castruci, José Ruy Giovanni Junior. – São Paulo: FTD, 2002

5- IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção / Georges Ifrah:

tradução Stella Maria de Freitas Senra: revisão técnica Antonio José Lopes, Jorge José de

Oliveira. – 7ª Ed. – São Paulo: Globo, 1994.

6- RIBEIRO, Jackson. Construindo consciências: matemática / Jackson Ribeiro, Elizabeth

Soares. – 1. Ed.. São Paulo: Scipione, 2006.

7- PARANÁ, Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do

Paraná de Matemática. Curitiba. 2008. Disponível em<

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/livro_e_diretrizes/diretrize

s/diretrizesmatematica72008.pdf> Acesso em 1 mai. 2008

_____. Instrução Nº 001/2008-SUED/SEED. Critérios para a abertura da demanda de

hora-aula, do suprimento e das atribuições dos profissionais das salas de apoio à

aprendizagem – 5ª série do ensino fundamental, da rede pública estadual. Disponível em

< http://www.diaadia.pr.gov.br/deb/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=62> Acesso

em 1 mai. 2008

27

_____. Resolução Secretarial Nº 371/2008, que regulamenta a criação das Salas de Apoio à

Aprendizagem. Disponível em <

http://www.diaadia.pr.gov.br/deb/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=62> Acesso em

1 mai. 2008

8- VOMERO, Maria Fernanda. Tudo o que o nada tem / SUPERINTERESSANTE, abril de

2001 – Ed. Abril – Edição 163.

9- Informações sobre água mineral disponível em

<http://www.aguamineral.com.br/index.php?cont=novidades> Acesso em 23 de Nov. 2008.

10- Consultores da U.O. Orientação Empresarial do SEBRAE, Comece Certo – Lan House,

disponível

http://www.biblioteca.sebrae.com.br/bds/bds.nsf/C030F697CBE4A8350325712600687852/$

File/NT000AED3E.pdf, consultado em 09/12/2008.

11 - As imagens foram retirados do Microsoft Media Gallery – Emoções.