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Notas Teóricas e PráticasÁlgebra Linear e Geometria Analítica

Edite Martins CordeiroDepartamento de Matemática

2012/2013

Conteúdo

1 Números complexos 11.1 Representações algébrica e cartesiana de números complexos e suas operações . . . . 11.2 Representações trigonométrica e exponencial de númeroscomplexos . . . . . . . . . 4

1.2.1 Operações com números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . 51.3 Representação gráfica de condições emC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 81.5 Soluções - Exercícios propostos 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 9

2 Matrizes e determinantes 112.1 Cálculo matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

2.1.1 Definição e tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 112.1.2 Operações com matrizes e suas propriedades . . . . . . . . .. . . . . . . . 122.1.3 Escrita de matrizes em escada de linhas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 152.1.4 Inversa de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 15

2.2 Determinante - propriedades e aplicações . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 172.2.1 Definição de determinante e Teorema de Laplace . . . . . . .. . . . . . . . 172.2.2 Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 182.2.3 Cálculo deA−1 a partir da matriz adjunta da matrizA . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 202.4 Soluções - Exercícios propostos 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 23

3 Sistemas de equações lineares 273.1 Classificação de sistemas de equações lineares quanto à existência de soluções . . . . 273.2 Forma matricial de um sistema de equações lineares . . . . .. . . . . . . . . . . . . 283.3 Métodos para a resolução de sistemas lineares . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Resolução de sistemas através da inversa da matriz dos coeficientes . . . . . 293.3.2 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.3 Método de eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 30

3.4 Discussão e classificação de sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 333.6 Soluções - Exercícios propostos 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 36

4 Geometria analítica emR2 e emR

3 394.1 Retas e cónicas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 394.2 Retas e planos no espaço tridimensional,R

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Formas quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 484.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 51

4 CONTEÚDO

4.5 Soluções - Exercícios propostos 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 52

5 Espaços vetoriais 555.1 Definição de espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 555.2 Subespaços vetoriais e sua dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 565.3 Matriz mudança de base e bases ortogonais . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 59

5.3.1 Matriz mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 595.3.2 Projeções ortogonais e processo de ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . 63

5.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 665.5 Soluções - Exercícios propostos 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 68

6 Transformações lineares 716.1 Definição e elementos de uma aplicação linear . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 716.2 Matrizes de transformações lineares relativas a bases dadas . . . . . . . . . . . . . . 756.3 Aplicações lineares invertíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 786.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 796.5 Soluções - Exercícios propostos 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 81

7 Valores e vetores próprios 837.1 Definições e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 837.2 Matrizes diagonalizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 867.3 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 887.4 Soluções - Exercícios propostos 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 89

Bibliografia 90

Capítulo 1

Números complexos

Os números complexos surgiram no séculoXV I na procura de procedimentos gerais para reso-lução de equações algébricas.

Para solucionar equações, como por exemplo

x2 + 1 = 0,

foi considerado um número especial que denotamos pori e designamos deunidade imaginária, talquei2 = −1. Portantoi =

√−1 ou i = −

√−1.

Tem-se, por exemplo,√−4 = 2

√−1. Isto é, as raízes quadradas de−4 são2i e−2i.

Aos os números do tipobi, comb ∈ R, chamamosimaginários puros. O nome deve-se ao factode ao inicio os matemáticos acharem que tais números não tinham aplicações ao mundo físico.

Tendo os números complexos surgido como solução para um problema algébrico, a representa-ção geométrica destes números aparece no século XIX, motivada pela necessidade de considerar oconceito de vetor no plano nos domínios da Geometria, da Topografia e da Física.

Atualmente, os números complexos são aplicados em várias áreas do conhecimento humano,dentro e fora da Matemática. Certos procedimentos no plano complexo permitem modelar fenóme-nos, aparentemente imprevisíveis (teoria do caos), do âmbito da meteorológica, da astronómica, daeconómica, entre outras áreas.

1.1 Representações algébrica e cartesiana de números comple-xos e suas operações

As soluções algébricas de equação que são impossíveis emR correspondem a números complexosque surgem representados na designadaforma algébrica.

Exemplo 1.1.A equaçãox2 − 4x+ 13 = 0 tem soluções determinadas pela fórmula resolvente,

x2 − 4x+ 13 = 0 ⇔ x =4+−

√−36

2⇔ x =

4+−6i

2⇔ x = 2 + 3i ∨ x = 2− 3i.

2 1. Números complexos

As soluções obtidas neste exemplo surgem como a soma de um número real com um númeroimaginário puro.

Designamos o conjunto dos números do tipoa + bi, coma, b ∈ R, deconjunto dos númeroscomplexos, que denotamos porC,

C = {a+ bi : a, b ∈ R, i2 = −1}.

Denotamos a parte reala do complexoz porRe(z) e o coeficienteb da parte imaginária porIm(z).

Dado um complexoz = a+ bi, sea = 0, entãoz é um imaginário puro e seb = 0 entãoz é umnúmero real. Tem-se por isso,R ⊂ C.

Quanto à igualdade de dois complexos, tem-se quez1 = z2 somente seRe(z1) = Re(z2) eIm(z1) = Im(z2).

Chamamosconjungadodez = a+ bi ao número complexoz = a− bi. Tem-se por isso,

Re(z) = Re(z) e Im(z) = −Im(z).

O designadoplano de Argand-Gaussou dediagrama de Argand, é um plano cartesiano usadopara representar números complexos, onde a parte imaginária de um complexo é representada pelaordenada e a parte real pela abcissa.

Por exemplo,z = −2 + i é representado através do ponto (afixo ou imagem) P = (−2, 1) noplano de Argand-Gauss.

Figura 1.1: Afixos de um complexo, seu conjugado e simétrico

O conjugado dez = −2+i, z = −2−i, tem afixoP ′ = (−2,−1) e o simétrico dez,−z = 2−i,tem afixoQ = (2,−1) encontram-se representados na Figura 1.1.

O módulo de um número real é a distância desse número ao zero (ponto de referência na retareal). Analogamente, omódulo ou valor absolutode um número complexoz = a+ bi é a distânciaentre os afixosO = (0, 0) eP = (a, b), isto é, a norma de

−→OP ,

|z| =√a2 + b2.

1.1. Representações algébrica e cartesiana de números complexos e suas operações 3

Operações com complexos definidos algebricamente e sua geometria no plano de Argand:

A definição da unidade imagináriai, as propriedades das operações com números reais e os con-ceitos sobre números complexos já introduzidos, determinam aadição e multiplicaçãode númeroscomplexos como se segue:

Dados os números complexos,z1 = a+ bi e z2 = c+ di,

• z1 + z2 = (a+ c) + (c+ d)i;

• z1z2 = ac+ adi+ cbi+ bidi = (ac− bd) + (cb+ ad)i.

Exercício 1.2.Sejam os números complexosz1 = 1− i e z2 = −2 + i. Determine:

1. z1 + z2; 2. z1 · z2; 3. 3z1 − 2z2.

O simétrico de um número complexoz1 = a + bi é z2 = −a − bi, porquez1 + (−z1) = 0(elemento neutro da adição emC).

Exemplo 1.3.O simétrico dez1 = 2− 3i é z2 = −2 + 3i, porque

z1 + z2 = (2− 2) + (−3 + 3)i = 0.

Naturalmente, denotamos o simétrico dez = a+ bi por−z = −a− bi.Graficamente, um número complexoz = a+ bi pode ser considerado como um vetor

−→OP , onde

O = (0, 0) eP = (a, b). Isto permite observar a soma e a subtração de números complexos atravésda regra do paralelogramo usada para a adição de vetores.

Figura 1.2: Afixo dez1 + z2

Para as sucessivas potências da unidade imaginária tem-se

i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1

e em geralin = ir, onde n = 4q + r ∈ N e 0 ≤ r < 4.


Exemplo 1.4. (2i)11 = 211i11 = 2048i2×4+3 = 2048i3 = −2048i.

A potenciação (multiplicação sucessiva) de outros númeroscomplexos dados na forma algébrica,pode ser bastante mais trabalhosa.

Exercício 1.5.Calcule(1− 2i)4.

Observamos que para qualquerz = a+ bi ∈ C, se tem

zz = a2 + b2 = |z|2.Usamos este facto para efetuarmos adivisão de números complexos.

Com efeito, dadosz1 = a + bi e z2 = c + di, determinamos oquocientedez1 por z2 na formaalgébrica, efetuando:

z1z2

=z1z2z2z2

=(ac+ bd) + (cb− ad)i

|z2|2=

ac+ bd

c2 + d2+

cb− ad

c2 + d2i.

Exercício 1.6.Dados os números complexosz1 = 1− 2i, z2 = −2 + 3i e z3 = 23i, calcule:

a) 2z1 − z2; b) z1z3; c) z1z2; d) z1/z3.

1.2 Representações trigonométrica e exponencial de números com-plexos

Outra forma de representar números complexos é através do designado sistema polar que a seguirapresentamos e relacionamos com o sistema cartesiano.

O sistema polar é constituído pelopolo (ponto que fazemos coincidir com a origem do sistemacartesiano) e peloeixo polar, e, que fazemos coincidir com o semi-eixo positivo das abcissas. Nestesistema, cada pontoA do plano tem coordenadas(r, θ), onde

r = |OA| e θ = ∠(OA,Oe).

A Figura 1.3 sugere que um número complexo pode ser representado na designadaforma trigo-nométrica, a partir da sua representação emcoordenadas polares. Com efeito, o afixoZ = (a, b)do número complexoz = a+ bi é representado em coordenadas polares(r, θ), tais que

a = r cos(θ) e b = r sen(θ).

Tem-se por isso, a forma trigonométrica de um complexo:

z = r cos(θ) + ir cos(θ).

Habitualmente denotamoscos(θ) + i cos(θ) por cis(θ) e escrevemosz = rcis(θ).

Relacionando a forma algébricaz = a + bi com a sua forma trigonométricaz = r cos(θ) +ir cos(θ) de um complexo, observamos quer =

√a2 + b2 = |z| e oargumento θ, habitualmente

denotado porArg(z), é tal que

cos(θ) = a/r e sen(θ) = b/r.

Dados dois complexosz1 = r1cis(θ1) e z2 = r2cis(θ2), tem-se:

1.2. Representações trigonométrica e exponencial de números complexos 5

Figura 1.3: Relação entre coordenadas polares e coordenadascartesianas

• z1 = r1cis(−θ1).

• z1 = z2, quandor1 = r2 e θ1 − θ2 = 2kπ, para algumk ∈ Z.

• z1 = z2 quandor1 = r2 e θ1 + θ2 = 2kπ, para algumk ∈ Z.

Exemplo 1.7. O afixo dez = 1 − i tem coordenadas cartesianasZ = (1,−1) e tem coordenadaspolares(r, θ), tais quer =

√2 e θ = −π/4. Então a forma trigonométrica dez é

√2cis(−π/4).

Podemos também considerarz =√2cis(7π/4) e z =

√2cis(π/4).

A representação de funções por séries e a comparação das séries que representameix, cos(x) esen(x), permitiu a representação dos números complexos através daforma exponencial, tambémdesignada defórmula de Euler:

eix = cos(x) + i sen(x).

Por aplicação desta fórmula, podemos representarz pela sua forma exponencial

z = reθi.

Tem-se tambémez = ex+iy = exeiy = ex(cos(y) + isen(y)).

Exemplo 1.8. O complexoz = −1 − i tem a forma trigonométricaz =√2cis(5π

4) e tem forma

exponencialz =√2e

5π

4i.

1.2.1 Operações com números complexos na forma trigonométrica

As operações multiplicação, divisão e radiciação com números complexos na forma trigonométrica,são facilmente efetuadas através das designadasfórmulas de Moivre (em homenagem ao matemá-tico francês Moivre).

Dados os complexosz1 = r1cis(θ1) e z2 = r2cis(θ2), por consideração de fórmulas trigonomé-tricas, determina-se:


• z1 × z2 = r1r2cis(θ1 + θ2).

• z1/z2 = r1/r2cis(θ1 − θ2).

• n√z1 = n

√r1cis(

θ1+2kπn

), k ∈ {0, 1, · · · , n− 1}.

A multiplicação sucessiva e as fórmulas trigonométricas, determinam a fórmula da potênciação denúmeros complexos:

zn1 = rn1 cis(nθ1), n ∈ Z.

Exemplo 1.9.Provemos que o complexo1 + i é uma das raízes cúbicas dez = −2 + 2i e determi-nemos as restantes duas raízes cúbicas.

Começamos por observar que

(1 + i)3 = (√2cis(π/4))3 = 2

√2cis(3π/4)

= 2√2(cos(3π/4) + i sen(3π/4)) = 2

√2(−

√2/2 + i

√2/2)

= 2 + 2i,

logo1 + i é raiz cúbica dez = −2 + 2i.

Determinamos as raízes cúbicas dez, efetuando

3√−2 + 2i =

3

√√8cis(

3π/4 + 2kπ

3),

comk ∈ {1, 2, 3}. Tem-se então para conjunto das3√z, o conjunto{

√2cis(π

4),√2cis(11

12π),

√2cis(19

12π}).

A fórmula da radiciação mostra que um dado número complexoz = |z|cis(θ) temn raízes deíndicen, todas com o mesmo módulo e argumentos dados por

θ

n+

2kπ

n.

Portanto os afixos das raízes estão todos sobre uma mesma circunferência de centro na origem e raion

√

|z|, dividindo a circunferência em n partes iguais. A seguir representam-se as raízes cúbicas doexemplo anterior.

Foi Euler quem demonstrou que qualquer número reala tem exatamenten raízes complexas,provando que no universoC a equação polinomialxn − a = 0 de graun possui exatamentensoluções. Este facto foi provado para qualquer equação polinomial de graun, através do designadoTeorema Fundamental da Álgebra:

Teorema 1.10.Teorema Fundamental da Álgebra: Toda equação polinomial de graun com coefi-cientes reais ou complexos tem no universo dos números complexosn soluções.

Exemplo 1.11.A equaçãox4 − 1 = 0 tem raízes−1, 1,−i, i.Notar que se tem(−1)4 = 1, 14 = 1, i4 = 1 e (−i)4 = 1.

1.3. Representação gráfica de condições emC 7

1.3 Representação gráfica de condições emC

Sejam os complexosz1 = a + bi e z2 = c + di e sejamZ1 = (a, b) eZ2 = (c, d) os seus corres-pondentes afixos. Começamos por observar que o módulo da diferença de dois complexos é igual àdistância entre os seus afixos, isto é,

|z1 − z2| = | ~Z1Z2|

Figura 1.4: Módulo da diferença de dois complexos é igual à distância entre os seus afixos

Com efeito, tem-se|z1 − z2| = |(a− c) + (b− d)i| =√

(a− c)2 + (b− d)2 = |Z1Z2|.

No sentido de interpretar algumas condições emC, sejam os complexosz1 e z2. Então, o lugargeométrico dos complexosz tais que:

• |z − z1| = r, r ∈ R+, é a circunferência centrada no afixoZ1 com raior.

• |z − z1| = |z − z2| é a mediatriz do segmento de reta[Z1Z2].

Naturalmente, tem-se:

• |z − z1| < r representa o círculo centrada no afixoZ1 com raior.

• |z − z1| < |z − z2| representa o semiplano determinado pela mediatriz de[Z1Z2], que contemZ1.

Figura 1.5: Mediatriz de um segmento de reta e circunferência


Dado um complexoz1 = a+ bi e uma constantek ∈ R:

• A condiçãoRe(z − z1) = k ⇔ x = a+ k representa uma reta vertical.

• A condiçãoIm(z − z1) = k ⇔ y = b+ k representa uma reta horizontal.

A condiçãoArg(z − z1) = α , para uma amplitude fixaα, define a semirreta com origem noafixo dez1, formando um ângulo de amplitudeα com a semirreta paralela ao eixoOx e com origemno afixo dez1.

Como um exemplo, consideremos a representação da Figura 1.6.

Figura 1.6: Lugar geométrico de0 ≤ Arg(z − 1) ≤ π/2

1.4 Exercícios propostos

1. Efetue as operações seguintes, apresentando o resultadona forma algébrica:

(a) 1− 3i− (2− i)(1− i).

(b) (1− i)3 + 2i17.

(c) 3i123+2i+1

+ 3i.

(d) (1−2i)(2+i)−i+2

.

2. Mostre que6i6n + 2i =+− 6 + 2i, para qualquern ∈ N.

3. Prove que paraz = a+ bi, se temz + z = 2a, z − z = 2bi e zz = a2 + b2.

4. Represente na forma trigonométrica cada um dos complexos aseguir:

(a) 1 +√3i.

(b) −3− 3i.

(c) 1+i tan(α)1−i tan(α)

.

(d) 1− cos(θ) + i sen(θ).

5. Sendoz1 = 3− 2i e z2 = −1 + i, escreva na forma algébrica:

(a) z31 − 2z1 + z2.

(b) z21 − z22 .

(c) z12z2

.

(d) z1z2.

6. Dado o complexow = z + 3zi − 2i3 + z, comz = x + yi, determinex e y ou uma relaçãoentrex ey de modo quew represente:

1.5. Soluções - Exercícios propostos 1.4 9

(a) Um número real. (b) Um imaginário puro.

7. Considere os númerosz1 = 1−√3i e z2 = −3i+ 3 e determine:

(a) z1z2.

(b) z2/z1.

(c) ( z23)7.

(d) 3√z1.

8. Determine e represente graficamente as raízes índicen dez = 1− i, para

(a) n = 2. (b) n = 3. (c) n = 5.

9. Considerez1 = −1 +√3i.

(a) Prove quez1z2 = −2z1 ⇔ z2 = 2cis(π3).

(b) Resolva, emC, a equaçãoz4 + z1 = 2.

(c) Determine e represente no plano de Argand as raízes quartas dez1.

10. Resolva emC as equações seguintes:

(a) 4z4 + 8(1 + i√3) = 0.

(b) 4z2 − 8|z| = 0.

(c) z3− 6z2+13z− 10 = 0, sabendo que umadas raízes é2.

(d) z4 + 2z2 + 1 = 0.

11. Represente no plano de Argand, os conjuntos definidos pelas condições de variável complexaseguintes:

(a) |z − 1 + i| < 2.

(b) |Re(z + z)| ≤ 2.

(c) (|z + 1i| ≤ 1 ∧ |Arg(z − i)| < π

4) ∨ (Im(z − zi) < 1 ∧ |z − z| < 2).

(d) Im(iz) = 2 ∧ |z − 2| > 2.

12. Defina por uma condição emC, as regiões sombreadas a seguir:

RegiãoA RegiãoB

1.5 Soluções - Exercícios propostos 1.4

1. .


(a) 0.

(b) −2.

(c) −12+ 1

2i.

(d) 115− 2

5i.

2. .

3. .

4. .

(a) 2cis(π3).

(b) 2cis(π3).

(c) 2cis(π3).

(d) cis(2α).

5. .

(a) −16− 43i.

(b) 5− 10i.

(c) −54− 1

4i.

(d) −5 + i.

6. .

(a) x = −23; (b) x = 3

2y.

7. .

(a) (3− 3√3)− (3 + 3

√3)i;

(b) 3+3√3

4+ −3+3

√3

4i,

(c) 8 + 8i;

(d) 3√2cis(−π

9), 3√2cis(5π

9), 3√2cis(11π

9).

8. .

(a)√2cis(−π

8),√2cis(7π

8).

(b) 3√2cis(− π

12), 3√2cis(7π

12), 3√2cis(15π

12).

(c) 5√2cis(− π

20), 5√2cis(7π

20), 5√2cis(15π

20), 5√2cis(23π

20), 5√2cis(31π

20).

9. .

(a) .

(b) 8√12cis(− π

24), 8√12cis(−5π

24), 8√12cis(11π

24), 8√12cis(17π

24).

(c) 4√2cis(2π

12), 4√2cis(8π

12), 4√2cis(14π

12), 4√2cis(20π

12).

10. .

(a) C.S. = { 4√2cis(π

3), 4√2cis(5π

6), 4√2cis(8π

6), 4√2cis(11π

6)}.

(b) C.S. = {0, 2}.

(c) C.S. = {2, 2− i, 2 + i}.

(d) C.S. = {cis(π2), cis(3π

2}.

11. .

12. A = {z : (|z − 4| ≤ 4∧ (0 ≤ arg(z− 4) ≤ π2)∨ 0 ≤ arg(z) ≤ π

2)∨ (|z − 4| ≥ 4∧ Im(z) ≤

0 ∧ 0 ≤ Re(z) ≤ 2)};

B = {z : (|z − 1| ≤ 2 ∧ (0 ≤ arg(z − i) ≤ π2) ∨ Im(z) ≤ 0 ∧ −1 ≤ Re(z) ≤ 0}.

Capítulo 2

Matrizes e determinantes

Uma matriz é um quadro de valores dispostos em filas, linhas e colunas. Tais valores podem serreais ou complexos. O conceito de determinante como um valorreal ou complexo associado a certotipo de matrizes, será dado na Secção 2.2. As matrizes e o conceito de determinante são usadas emdiversos contextos da modelação matemática.

Neste curso, usaremos matrizes e determinantes para resolver problemas traduzidos por sistemasde equações lineares.

2.1 Cálculo matricial

2.1.1 Definição e tipos de matrizes

SejaK o conjunto dos números reais,R, ou o conjunto dos números complexos,C.

Definição 2.1.Chamamosmatrizdo tipom × n sobreK a todo o quadro que se obtém dispondom× n números segundom linhas en colunas.

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...am1 am2 ... amn

Abreviadamente escrevemos:

A = [aij]i=1,...,m,j=1,...,n,

ouA = [aij]m×n.

Os valoresaij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n dizem-seentradasou componentesda matrizA. Aposição de cadaaij é dada pelo índicei (i-ésima linha) da matriz e pelo índicej (j-ésima coluna) damatriz.

Denotaremos porLi a i-ésima linha da matriz e porCj a sua j-ésima coluna.

Exemplo 2.2. • A matrizA =

2 1 0 01 −1 4 −1−1 1 −1 0

é do tipo3× 4.

12 2. Matrizes e determinantes

• A matrizB =[

1 + 2i]

é do tipo1× 1.

Uma matriz com uma só coluna diz-se umamatriz coluna e uma matriz que só tenha uma linhaé umamatriz linha .

Uma matrizm× n com todas as entradas iguais a zero diz-sematriz nulae denota-se0m×n.Uma matriz do tipom× n diz-seretangularsem 6= n e diz-sequadrada de ordemn sem = n.

Exemplo 2.3. • A =

−132

tem entradasa11 = −1, a21 = 3, a31 = 2.

• B =

i 1 12 −2 3i1 −1 1

é uma matriz quadrada de ordem3 e tem como algumas das suas

entradasa11 = i, a22 = −2, a33 = 1.

Os elementosaii, i = 1, ...n de uma matriz quadrada de ordemn, A, dizem-seelementos prin-cipaise constituem a designadadiagonal principal da matriz.

Chamamostraço de uma matrizA, tr(A), à soma dos elementos principais deA, isto é,tr(A) =∑n

1 aii.

Matriz triangular superior é aquela que abaixo da diagonal principal só tem 0’s. Uma matrizA=[aij ] é triangular superior sseaij = 0 quandoi < j. Matriz triangular inferior é aquela queacima da diagonal principal só tem 0’s ou seja, uma matriz é triangular inferior seaij = 0 quandoi > j.

Matriz diagonal é toda a matriz quadrada, cujos elementos não principais sãotodos nulos. Emparticular, umamatriz escalaré uma matriz diagonal, cujos elementos principais são todosiguais.

Exemplo 2.4. • O traço da matrizA =

2 + i −1 00 −1 −11 0 −i

é dado portr(A) = 2+i−1−i =

1.

• T =

1 −i 20 −1 10 0 1

é triangular superior e os seus elementos principais sãot11 = 1, t22 =

−1, t33 = 1.

• I3 =

3 0 00 3 00 0 3

é uma matriz escalar.

Duas matrizesA eB são iguais se e só se forem do mesmo tipo e os seus elementos homólogosforem iguais isto é, seaij = bij, para quaisqueri e j.

2.1.2 Operações com matrizes e suas propriedades

Definição 2.5.A adição de duas matrizesA = [aij ]m×n eB = [bij]m×n do mesmo tipo é uma matrizdesse tipo, cujas entradas são obtidas por adição das entradas homologas das matrizesA eB, istoé,

[aij]m×n + [bij]m×n = [aij + bij]m×n.

Notar que só podemos adicionar matrizes do mesmo tipo.

2.1. Cálculo matricial 13

Exemplo 2.6.[

1 −2 0−1 1 2

]

+

[

3 −1 2−2 1/2 1

]

=

[

4 −3 2−3 3/2 3

]

.

Propriedades 2.7.SejamA = [aij]m×n eB = [bij]m×n. Tem-se:

1. A+ B = B + A; (comutativa)

2. (A+B) + C = A+ (B + C); (associativa)

3. A+ 0 = 0 + A = A. (a matriz nula é o elemento neutro)

Definição 2.8.O produto de uma matrizA = [aij]m×n por um escalarc ∈ K, cA = [caij ]m×n,diz-se matrizproduto escalar

Exemplo 2.9.1/2×[

2 −13 4

]

=

[

1 −1/23/2 2

]

.

Propriedades 2.10.SejamA = [aij ]m×n eB = [bij]m×n e sejemα, β ∈ K. Tem-se:

1. α(A+ B) = αA+ αB;

2. (α + β)A = αA+ βA;

3. α(dA) = (αβ)A.

Exercício 2.11.Provar que, paraA = [aij]m×n eα ∈ K, se temtr(αA) = αtr(A).

Definição 2.12.O produto de uma matrizA = [aij]m×l por uma matrizB = [bij]l×m é a matrizAB = [cji]n×m, cujas entradascij se obtêm como o produto interno dai-ésima linha deA com aj-ésima coluna deB.

Exemplo 2.13.[

1 −1 0−1 1 −1

]

1 −10 10 0

=

[

1 −2−1 2

]

.

Observar que:

• Só podemos multiplicar a matrizA pela matrizB se o número de colunas deA for igual aonúmero de linhas deB.

• Em geral, a multiplicação de matrizesnão é comutativa.

Definição 2.14.Matriz identidade de ordemn, In, é uma matriz escalar, cujos elementos principaissão iguais a1.

Em geral,In é o elemento neutro da multiplicação de matrizes quadradas de ordemn, isto éMIn = InM = M , para qualquer matriz quadrada de ordemn.

Exemplo 2.15.I3 =

1 0 00 1 00 0 1

é o elemento neutro da multiplicação de matrizes de ordem3.


Propriedades 2.16.SeA,B eC forem matrizes do tipo conveniente eα ∈ K, então:

1. (AB)C = A(BC);

2. A(B + C) = AB + AC;

3. (A+ B)C = AC + BC;

4. α(AB) = (αA)B = A(αB).

Definição 2.17.Chamamostranspostade uma matrizA = [aij]m×n à matrizAT = [aji]n×m, que seobtém trocando as linhas para colunas deA.

Uma matrizA diz-sesimétricaseAT = A e diz-seanti-simétricaseAT = −A.


−1 11 20 −1

6= AT =

[

−1 1 01 2 −1

]

.

• A matrizB =

[

−1 −2−2 2

]

é simétrica.

Propriedades 2.19.SeA eB forem matrizes do tipom× n, então:

1. (A+ B)T = AT + BT ;

2.(

AT)T

= A.

3. (A ·B)T = BT · AT .

Definição 2.20.Chamamosmatriz conjugadada matrizA, A, à matriz que se obtém substituindocada elemento deA pelo respetivo conjugado.

Propriedades 2.21.Por definição de matriz conjugada, tem-se o seguinte:

1. A = A;

2. A+ B = A+ B.

3. A ·B = A ·B.

A matrizA∗ = AT , diz-sematriz transconjugada. SeA = A∗, entãoA diz-sehermiteana.

Exemplo 2.22.A =

3 −2 1 + i−2 −5 −i1 + i −i −7

é simétrica, mas não é hermiteana.

2.1. Cálculo matricial 15

2.1.3 Escrita de matrizes em escada de linhas

Uma matrizA = [aij]m×n diz-se emescada de linhasse verificar o seguinte:

1. Cada linha não nula encontra-se antes de todas as linhas nulas que existam;

2. Seaij for a primeira entrada não nula, todos os elementos da colunaj nas linhas seguintes sãonulos;

3. A primeira entrada não nula dai-ésima linha (não nula) está numa coluna posterior à daprimeira entrada não nula das linhas a seguir. Tal entrada diz-sepivot.

Exemplo 2.23.

−1 1 −1 1 −10 1 0 1 00 0 0 0 0

é uma matriz em escada de linhas.

Qualquer matriz pode ser transformada numa matriz em escadade linhas. Para isso, efetuamosas designadasoperações elementaressobre as linhas da matriz:

Definição 2.24.As operações elementares sobre as linhas de uma matriz são:

E1 : Troca de linhas;

E2 : Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo;

E3 : Adição a uma linha de um produto de um escalar por outra matriz.

Estas operações também são válidas quando realizadas sobreas colunas da matriz.Chamamoscondensaçãoao processo de transformação de uma matriz em uma matriz triangular

ou em escada de linhas.Designamos decaracterísticade uma matrizA ao número de linhas não nulas da matriz depois

de transformada em escada de linhas e, denotamos porcar(A).

A seguir observamos que um dos algoritmos para determinar a matriz inversa de uma dada matrizquadrada, recorre às operações elementares sobre as linhasou colunas da mesma.

Exemplo 2.25.A matrizA =

1 −3 2−3 3/2 36 −3 −6

−→

1 −3 20 15/2 90 0 0

tem caraterística2.

2.1.4 Inversa de uma matriz quadrada

Definição 2.26.Uma matrizA = [aij]n×n diz-seinvertívelse existir outra matrizB = [bij ]n×n, talqueAB = BA = In. A matrizB é designada dematriz inversa deA.

Uma matriz que não admite inversa, diz-sematriz singular.


[

1 2−1 2

]

eB =

[

1/2 −1/21/4 1/4

]

são inversas uma da outra, porque

AB = BA =

[

1 00 1

]

= I2.

• As matrizes

[

1 −3−1 2

]

e

[

2 −11 1

]

não são inversas uma da outra, porqueAB =

[

−1 −40 3

]

6=I2.


Se A for uma matriz invertível, denotaremos a sua inversa porA−1. Por definição, tem-seAA−1 = I eA−1A = I.

Propriedade 2.28.A inversa de uma matrizA = [aij]n×n, caso exista, é única.

Com efeito, seB eC forem ambas inversas de uma matrizA, tem-seAB = BA = In = AC =CA. MasAB = ABIn = ABAC = AInC = AC. Considerando agora a existência deA−1, tem-seAB = AC ⇔ A−1AB = A−1AC ⇔ InB = InC ⇔ A = C.

Fazendo uso das operações elementares sobre as linhas (ou colunas) de uma matriz, podemosdeterminar a sua inversa (caso exista), procedendo do seguinte modo:

Algoritmo 2.29. i) Escrever a matriz ampliada[A|In] ;

ii) Usando as operações elementares sobre as linhas de[A|In], transformar[A|In] em [C|D],comC em escada de linhas;

iii) CasoC tenha alguma linha nula, entãoA não é invertível; caso contrário, transformar[C|D]em[In|E] e identificarE comA−1.

Exemplo 2.30.Para calcular a inversa da matrizA =

1 1 −22 3 11 1 −1

, efetuamos

1 1 −2 | 1 0 02 3 1 | 0 1 01 1 −1 | 0 0 1

−→−2L1+L2

−L1+L3

1 1 −2 | 1 0 00 1 5 | −2 1 00 0 1 | −1 0 1

−→L1+2L3

L2−5L3

1 1 0 | −1 0 20 1 0 | 3 1 −50 0 1 | −1 0 1

−→L1−L2

1 0 0 | −4 −1 70 1 0 | 3 1 −50 0 1 | −1 0 1

Logo,A−1 =

−4 −1 73 1 −5−1 0 1

.

Exercício 2.31.Determinar, caso exista, a inversa da matrizD =

[

1 23 4

]

.

Propriedades 2.32.SejamA eB matrizes de ordemn invertíveis. Então:

1. AB é invertível e(AB)−1 = B−1A−1;

2. A−1 é invertível e(A−1)−1 = A;

3. seα 6= 0, αA é invertível e(αA)−1 = 1αA−1;

4. AT é invertível e(AT )−1 = (A−1)T ;

5. I−1n = In.

Definição 2.33.Uma matriz invertívelA tal queA−1 = AT diz-sematriz ortogonal.

2.2. Determinante - propriedades e aplicações 17


[

cos(θ) sen(θ)sen(θ) − cos(θ)

]

é ortogonal, porque

ATA = AAT =

[


] [


]

=

[

1 00 1

]

.

Propriedade 2.35. 1. O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal;

2. A inversa de uma matriz ortogonal é também ela ortogonal.

2.2 Determinante - propriedades e aplicações

Nesta secção introduzimos o conceito de determinante de umamatriz quadradaA, apresentamosum método para o cálculo do determinante de matrizes quadradas de qualquer ordem e damos umalgoritmo para o cálculo da inversa de uma matriz regular. Trata-se de um algoritmo com importantesimplicações na resolução de sistemas de equações lineares.

2.2.1 Definição de determinante e Teorema de Laplace

A definição de determinante de uma matriz quadrada recorre aoconceito depermutaçãode umconjunto den elementos, dado pelo número den! rearranjos desses elementos. Por exemplo, há seispermutações do conjunto{1, 2, 3} :

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (3, 2, 1), (3, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1).

A primeira permutação, cujos elementos aparecem pela ordemnatural, diz-sepermutação prin-cipal. Numa dada permutação existe umainversãosempre que um número precede outro maispequeno. Uma permutação diz-separ se o número de inversões que nela ocorrem para a transformarna permutação principal for par e diz-seímpar, caso contrário.

Definição 2.36.O determinantede uma matriz quadradaA = [aij ]n×n, é a soma den! termos,onde cada termo é o produto den elementos deA, cada um dos quais pertencendo a uma linha e auma coluna diferente. O sinal de cada termo é+ se a permutação que o origina é par e é− se apermutação que o origina é ímpar.

Denotamos pordet(A) ou |A|, o determinante de uma dada matriz quadradaA.

Determinante de ordem 1:SeA = [a11],, |A| = a11.

Determinante de ordem 2:

SeA =

[

a11 a12a21 a22

]

, então|A| = a11a22 − a21a12.

O sinal− deve-se à permutação ímpar(2, 1).

Determinante de ordem 3:

Os seis termos do determinante deA =

a11 a12 a12a21 a22 a23a31 a32 a33

são

(a11a22a33), (a12a23a31), (a13a21a32), (a13a22a31), (a11a23a32), (a12a21a33),


os três primeiros positivos e os três últimos negativos. Assim,

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.

Notar que o determinante de uma matriz de ordem4 é, por definição, a soma algébrica de4! = 24parcelas.

Definição 2.37.SejaA uma matriz quadrada de ordemn.

• Chamamosmenor associado à entradaaij, Mij, ao determinante da submatriz que se obtémdeA, por eliminação dai-ésima linha e daj-ésima coluna.

• Ao número(−1)i+jMij diz-secomplemento algébrico ou cofator associado aaij, que deno-tamos porCij.

Exemplo 2.38.dada a matrizA =

−1 2 13 1 22 −1 0

, tem-se:

M22 =

∣

∣

∣

∣

−1 12 0

∣

∣

∣

∣

= −2 e C12 = (−1)3∣

∣

∣

∣

3 12 −1

∣

∣

∣

∣

= 5.

O designadoTeorema de Laplacefornece um algoritmo para o cálculo de determinantes dematrizes de qualquer ordem.

Teorema 2.39.O determinante de uma matrizA de ordemn é igual à soma dos produtos dasentradas de qualquer linha ou coluna pelos respectivos cofactores.

Exemplo 2.40.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 2 13 1 22 −1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2×∣

∣

∣

∣

2 11 2

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

−1 13 2

∣

∣

∣

∣

+ 0 = 6− 5 = 1.

Observamos que o teorema de Laplace fornece um procedimentoque permite calcular determi-nantes de matrizes de ordemn a partir de determinantes de matrizes de ordemn − 1. O processo éfacilitado quando as matrizes são esparsas (muitas das suasentradas são nulas). Em geral, um maiorvalor den torna o processo mais trabalhoso.

O cálculo de determinantes de matrizes pode ser facilitado através da aplicação de propriedadesdos mesmos.

2.2.2 Propriedades dos determinantes

Dadas duas matrizesA eB de ordem conveniente e um escalarα, verifica-se o seguinte:

1. A multiplicação de uma linha (ou uma coluna) deA porα, determina uma matriz com deter-minanteα|A|;

2. SeA tiver uma linha (ou uma coluna) de zeros, então|A| = 0;

3. A troca de duas linhas (ou colunas) consecutivas deA, determina uma matriz cujo determi-nante é igual a−|A|;

4. Se uma linha (ou coluna) deA for múltipla de outra, então|A| = 0;

2.2. Determinante - propriedades e aplicações 19

5. A matriz que resulta da matrizA por substituição de uma linha (coluna) pela soma da mesmacom um múltiplo escalar de outra tem o mesmo determinante quea matrizA.

6. |AB| = |A||B|;

7. SeA tem ordemn, então|αA| = αn|A|;

8. |AT | = |A|;

9. Se uma linha (ou uma coluna) deA for observada como uma soma de parcelas, o determinantedeA pode considerar-se como uma soma de determinantes das matrizes que resultam deA pordecomposição dessa fila.

O exemplo a seguir é uma aplicação desta última propriedade.

Exemplo 2.41.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 7 52 0 3

1 + 0 4 + 1 7− 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 7 52 0 31 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 7 52 0 30 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Exemplo 2.42. |A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −7 22 0 41 4 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0, porque a 3a coluna é múltipla da 1a. Use a definição de

determinante para confirmar que|A| = 0.

Proposição 2.43.SeA é uma matriz invertível, então:

1. |A| 6= 0.

2. |A−1| = 1|A| .

Demonstração. 1. SeA−1 existe, então|A||A−1| = |AA−1| = |In| = 1 6= 0;

2. Se|A| 6= 0, então|A−1A| = |I| ⇔ |A−1||A| = 1 ⇔ |A−1| = 1|A| .

Proposição 2.44.SeA é uma matriz ortogonal, então|A| = ±1.

Demonstração.SeA é ortogonal, entãoA−1 = AT . Logo |AA−1| = |In| ⇔ |A||AT | = 1 ⇔|A||A| = 1. Mas se|A|2 = 1, então|A| = ±1.

Proposição 2.45.O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonalprincipal.

Utilizando as propriedades dos determinantes já referidas, podemos transformar uma matriznuma matriz triangular e calcular o seu determinante.

Exemplo 2.46.

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 1−2 2 −2−1 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=L2+2L1

L3+L1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 10 2 00 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=L3−1/2L2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 10 2 00 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2.

Exercício 2.47.Prove, recorrendo às propriedades dos determinantes, que∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1a b ca2 b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (b− a)(c− a)(c− b).


2.2.3 Cálculo deA−1 a partir da matriz adjunta da matriz A

Podemos também calcular a inversa de uma matriz com recurso ao conceito de determinante. Oprocedimento considera o cálculo damatriz adjunta, que a seguir definimos.

Definição 2.48.Chamamosmatriz adjuntade uma matriz quadradaA à matriz transposta da matrizdos cofatores e denotamosAdj(A) = Cof(A)T .

Exemplo 2.49.Adj(

3 2 −11 6 32 −4 0

) =

−3 3 62 −4 −7−1 2 5

T

=

−3 2 −13 −4 26 −7 5

.

O teorema a seguir dá-nos esse outro método para o cálculo da inversa de uma matriz invertível.

Teorema 2.50.SejaA uma matriz invertível. Então,

A−1 =1

|A|Adj(A).


3 2 −11 6 32 −4 0

do exemplo anterior, tem inversa

A−1 =1

|A|

−3 2 −13 −4 26 −7 5

= −1

3

−3 2 −13 −4 26 −7 5

=

1 −2/3 1/3−1 4/3 −2/3−2 7/3 −5/3

.


1. Considere as matrizes

A =

1 3 20 1 22 0 3

, B =

1 −3 02 1 −13 0 −2

, C =

2 41 03 −1

e D =

[

−1 01 −1

]

.

Calcule, se for possível:

(a) 12C

(b) A− 2B;

(c) C +D;

(d) B − CT ;

(e) AB eBA;

(f) BCD;

(g) CD2;

(h) DCT .

2. Determinex ey, tais queA =

[

3 1 x−1 2 y

]

, B =

0 12 −13 0

eAB =

[

3 2−1 −3

]

.

3. Verifique se as matrizesA =

[

1 23 0

]

eB =

[

6 23 5

]

comutam.

4. Prove que, dadas matrizesA, B eC de ordem conveniente, se temAT (BC)T = (CA)TBT .

5. SejamA = [aij ]m×k eB = [bij]k×n duas matrizes tais queAB = C = [cij]m×n. Indique comocalculamos:

2.3. Exercícios propostos 21

(a) A terceira coluna deC.

(b) A primeira linha deC.

(c) c35

(d) c53

6. Calcule a expressão geral deAn (n ∈ N), sendoA a matriz real seguinte:

(a) A =

1 1/n 1/n0 1 00 0 1

.(b) A =

[

a 00 b

]

, coma 6= b.

7. Transforme as seguintes matrizes escrevendo-as em escada de linhas e indique a sua caracte-rística:

(a) A =

1 2 −44 1 −27 −3 6

(b) B =

[

2 3 11 −1 0

]

(c) C =

1 2 −10 1 0−1 −1 33 2 3

(d) D =

3 1 02 0 11 2 0

8. Considere a matriz, em função dos parâmetros reaisλ, µ ∈ R, a seguir:

B =

1 0 −1 01 λ λ2 + µ λµ0 1 λ µ1 λ λ2 + µ λ+ λµ

.

(a) Determine a caraterística deB em função dos parâmetros.

(b) Diga para que valores dos parâmetros, a matrizB é invertível.

9. Determine a inversa de cada uma das seguintes matrizes, através do algoritmo da matriz am-pliada:

(a) A =

[

1 23 4

]

(b) B =

2 3 −40 −4 21 −1 5

.

10. No cálculo do determinante de uma matrizA = [aij ]6× 6, diga qual o sinal que afeta cadauma das seguintes parcelas:

(a) a23a31a42a56a14a65; (b) a21a42a13a54a35a66; (c) a14a23a35a41a52a66.

11. Calcule o determinante das matrizes a seguir e diga quais delas são invertíveis:

(a) A =

[

2 3−6 −9

]

;(b) B =

2 3 5−6 −1 7−1 0 1

;


(c) C =

2 1 −1−6 −1 2−4 −2 2

;(d) D =

0 1 −1 1−1 −1 0 1−1 −2 0 1−3 −2 2 0

.

12. Considere a matriz real

A4 =

x 0 0 00 x 1 00 1 x 01 0 0 x

.

(a) Determine os valores dex para os quaisA4 é invertível.

(b) Considerex = 2 e determine o elemento da segunda linha e terceira coluna deA−14 .

13. Considere a matrizA =

[

2 01 −1

]

, determine a matrizB tal que

((A+ B)−1)T =

[

3 1−5 −2

]

.

14. SejamA = [aij ]n×n uma matriz real,B a matriz que resulta de multiplicar a primeira colunadeA por α ∈ R e C a matriz que resulta de multiplicar a segunda coluna deA por β ∈ R.Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:

(a) |B| = |αA|;(b) |B + C| = (α + β)|A|;(c) |BC| = βα|A|2;(d) SeA é invertível eα 6= 0, então|B−1A| = α−1.

15. Resolva a equação

∣

∣

∣

∣

x −13 1− x

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 −32 x −61 3 x− 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

16. Verifique, sem calcular o determinante que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 4 181 3 121 0 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

é múltiplo de6.

17. Determine as matrizes adjunta e inversa das matrizes seguintes:

(a) A =

1 2 −1−1 1 22 −1 1

; (b) B =

1 0 −23 1 45 2 −3

;(c) C =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

.

.


18. Sejam as matrizes

A =

1 0 00 1 01 0 1

, B =

1 1 13 1 00 −2 2

e C =

−2 0 02 1 01 1 1

.

Resolva as seguintes equações:

(a) 2A−X = B−1

(b) CX + B = BX + C

(c) AT − A−1 = (A+ B + C)T +X

19. SejamA e B matrizes do tipo4 × 5, C uma matriz do tipo5 × 4 e D uma matriz do tipo4 × 2. Determine quais das seguintes expressões matriciais estão bem definidas, e nessescasos, indique o tipo da matriz resultante.

(a) (AT + C)D. (b) CT (A+ B)2 (c) (AT + C)(AT + C)T .

20. Considere a matrizA =

1 k k1 k 41 4 k

(a) Sem efetuar qualquer cálculo, diga o que se pode concluirquanto ao valor da caracterís-tica deA quandok = 4.

(b) Determinek de modo que a matriz seja regular.

21. Sabendo que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c2 1 01 2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1, calcule:

(a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c6 3 0

−1/2 −1 −1/2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3a+ 1 3b+ 2 3c+ 11 2 12 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

22. Considere a matriz

A =

0 0 a−2 3 a+ 11 −a −1

, a ∈ R.

(a) Determine os valores dea para os quais a matrizA tem inversa;

(b) Determine a caraterística deA em função dos valores dea.


1. (a) 12C =

1 21/2 03/2 −1/2

;


(b) A− 2B =

−1 9 2−4 −1 4−4 0 7

;

(c) C +D não existe, porqueC eD não são do mesmo tipo;

(d) B − CT não existe;

(e) AB =

13 0 −78 1 −511 −6 −6

eBA =

1 0 −40 7 3−1 9 0

;

(f) BCD =

5 −47 −914 −14

;

(g) CD2 =

−6 41 05 −1

;

(h) DCT =

[

2 −1 −4−2 1 4

]

.

2. x = 13

ey = −53

.

3. Sim,AB = BA.

4. Porque(BC)T = ATCT e pela propriedade associativa da multiplicação de matrizes.

5. .

(a) Multiplicando cada linha da matrizA pela terceira coluna da matrizB.

(b) Multiplicando a primeira linha da matrizA pela todas as colunas da matrizB.

(c) Multiplicando a 3a linha da matrizA pela 5a coluna da matrizB.

(d) Multiplicando a 5a linha da matrizA pela 3a coluna da matrizB.

6. (a) An =

1 1 10 1 00 0 1

.(b) An =

[

an 00 bn

]

.

7. As matrizes escrevem-se em escadas de linhas, usando as operações sobre as suas filas.

(a) Car(A) = 2; (b) Car(B) = 2; (c) Car(C) = 3; (d) Car(D) = 3.

8. (a) Seλ = 0 ∧ µ 6= 0, entãoCar(B) = 3; Seλ 6= 0 ∧ µ = 0, entãoCar(B) = 3; Seλ 6= 0 ∧ µ 6= 0, entãoCar(B) = 4; Seλ = 0 ∧ µ = 0, entãoCar(B) = 2.

(b) B é invertível quandoλ 6= 0 ∧ µ 6= 0.

9. .


(a) A−1 =

[

−2 13/2 −1/2

]

.(b) B−1 =

923

1146

523−1

23−723

223−2

23−546

−423

.

10. (a) +; (b) +; (c) −.

11. .

(a) |A| = 0, logoA não admite inversa;

(b) |B| = −10, logoB admite inversa;

(c) |C| = 0, logoC não admite inversa;

(d) |D| = 1, logoA admite inversa.

12. (a) x4 − x2 6= 0, isto é,x ∈ R | {−1, 0, 1};

(b) −4.

13. B =

[

0 −50 −2

]

.

14. .

(a) Falsa, porque|B| = α|A| e |αA| = αn|A|;(b) Falsa, porque|A+ B| 6= |A|+ |B|;(c) Verdadeira;

(d) Verdadeira, porque|B−1A| = |B−1||A| = 1|B| |A| = 1

α|A| |A| = α−1.

15. x ∈ {3−√21

2, 3+

√21

2}.

16.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 4 181 3 121 0 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2× 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 31 3 41 0 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

17. .

(a) Adj(A) =

3 −1 55 3 −1−1 5 3

eA−1 =

314

−114

514

514

314

−114−1

14514

314

.

(b) Adj(B) =

−11 −4 229 7 101 −2 1

eB−1 = − 113Adj(B).

(c) Adj(C) = C−1 =

1 −1 0 00 1 −1 00 0 1 −10 0 0 1

18. .

(a) X =

115

−25

−110−3

5115

310

75

15

95

.


(b) X = I3

(c) X =

0 5 11 3 −10 0 4

19. .

(a) (AT + C)D é do tipo5× 2.

(b) CT (A+ B)2 não está bem definida.

(c) (AT + C)(AT + C)T é do tipo5× 5.

20. .

(a) Sek = 4, entãoCar(A) = 1;

(b) k 6= 4.

21. .

(a) −32; (b) −3

22. .

(a) a ∈ R | {0, 3/2};

(b) Sea ∈ R | {0, 3/2}, entãoCar(A) = 3; caso contrárioCar(A) = 2.

Capítulo 3

Sistemas de equações lineares

Começamos por introduzir alguma terminologia, para a seguirapresentarmos três processos de re-solução de sistemas de equações lineares. Mais tarde, resolveremos problemas que traduzimos poreste tipo de sistemas.

3.1 Classificação de sistemas de equações lineares quanto à exis-tência de soluções

Uma equação do tipoa1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b,

ondea1, a2, ..., an são valores fixos ex1, x2, ..., xn são incógnitas diz-se umaequação linear. Seb = 0, a equação diz-sehomogénea.

Caso contrário, a equação diz-senão homogénea.Um sistema de equações linearesé uma conjunção de equações lineares. Em particular, um

sistema homogéneo de equações linearesé uma conjunção de equações lineares homogéneas.

Exemplo 3.1. 1. Todas as equações do sistema

{

x+ y − 2z = 02x− y + z = 1

são lineares, por isso este é

um sistema de equações lineares.

2. O sistema

{

x2 + 2y − z = 1x− y + 3z = 1

não é linear, porque o termox2 faz com que a última equação

não seja linear.

Exemplo 3.2.Como um exemplo de um sistema homogéneo, tem-se:

−x− y + z = 0x− 3y + 2z = 0x+ y − z = 0

.

Definição 3.3.(Classificação de sistemas)

1) Um sistema linear que não tem soluções diz-seimpossível.

2) Um sistema com pelo menos uma solução, diz-sepossível.

28 3. Sistemas de equações lineares

i) O sistema diz-sepossível e determinado, caso tenha solução única;

ii) O sistema diz-sepossível e indeterminado, caso tenha várias soluções.

Notar que, todo o sistema de equações lineares com mais de umasolução, tem uma infinidade desoluções.

Definição 3.4.Dois sistemas de equações lineares dizem-seequivalentesse tiverem o mesmo con-junto solução.

Exemplo 3.5. 1. O sistema

{

x+ y − z = 7x+ y − z = 0

é impossível, porque as duas equações são in-

compatíveis.

2. O sistema

−x− y + z = 1x+ y − z = −1−x+ y = 0

é possível e indeterminado, porque as duas primeiras equa-

ções são equivalentes, isto é, têm o mesmo conjunto solução.Logo

−x− y + z = 1x+ y − z = −1−x+ y = 0

⇔{

x+ y − z = −1−x+ y = 0

.

Na prática, temos três incógnitas e apenas duas equações, pelo que o valor de duas dasincógnitas depende do valor de uma terceira.

Exercício 3.6.Prove que sistema homogéneo

−x− y + z = 0x+ y − z = 0x+ y = 0

é indeterminado e indique o seu

conjunto solução.Um sistema homogéneo é sempre possível. Porquê?

3.2 Forma matricial de um sistema de equações lineares

As matrizes são particularmente úteis na simplificação da escrita e na resolução de sistemas deequações e as propriedades do cálculo matricial podem ser usadas nessa resolução.Consideremos um sistema de equações lineares genérico comm equações en incógnitas:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

.

Sejam as matrizes

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ...am1 am2 ... amn

, X =

x1

x2

...xn

, B =

b1b2...bm

.

3.3. Métodos para a resolução de sistemas lineares 29

Por definição de multiplicação de matrizes, podemos reescrever o sistema de equações na forma

AX = B,

designada deforma matricial do sistema.À matrizA chama-sematriz dos coeficientesou matriz simples do sistema, X é a matriz das

incógnitas eB é a matriz coluna dostermos independentes.QuandoB 6= 0, temos um sistema homogéneo.Chamamosmatriz ampliada do sistema, à matriz[A|B], especificamente

[A|B] =

a11 a12 | b1a21 a22 | b2... ... | ...am1 am2 | bm

.

Em geral, se um sistema de equações lineares tiverm equações en incógnitas, então a sua matrizsimples será do tipom× n e a sua matriz ampliada será do tipom× (n+ 1).

3.3 Métodos para a resolução de sistemas lineares

3.3.1 Resolução de sistemas através da inversa da matriz dos coeficientes

O sistemaAX = B pode ser resolvido, efetuando

AX = B ⇔ X = A−1B,

desde queA seja uma matriz invertível. Com este método, determinar a solução do sistema corres-ponde a multiplicar duas matrizes.

Observar que este método apenas se aplica quando a matriz doscoeficientes é quadrada e inver-tível, isto é, só resolve sistemas de solução única.

Exemplo 3.7.Consideremos o sistema

{

x+ y = 1x− y = 0

⇔[

1 11 −1

] [

xy

]

=

[

10

]

⇔[

xy

]

=

[

1 11 −1

]−1 [10

]

.

Como[

1 11 −1

]−1

=

[

1/2 1/21/2 −1/2

]

,

tem-se[

xy

]

=

[

1/2 1/21/2 −1/2

] [

10

]

=

[

1/21/2

]

.

Trata-se de um sistema com solução(x, y) única e igual a(1/2, 1/2).


3.3.2 Regra de Cramer

A designada regra de Cramer usa o conceito de determinante e suas propriedades, para resolversistemas de equações lineares. Este método é especialmenteútil para a resolução de sistemas desolução única, não se justificando o seu uso em outros casos.

Teorema 3.8(Regra de Cramer). SejaAX = B um sistema den equações lineares comn incógnitastal que|A| 6= 0. Então, o sistema tem solução única e pode ser obtida como:

x1 =|A1||A| , x2 =

|A2||A| , ..., xn =

|An||A| .

sendoAi a matriz que se obtém deA substituindo ai-ésima coluna porB.

Exemplo 3.9.Seja o sistema de equações lineares

x+ y + 2z = 1x+ y − z = 2x+ z = 0

A matriz dos coeficientes tem determinante

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 21 1 −11 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −3.

Pela Regra de Cramer, tem-se

x = −1/3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 22 1 −10 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1/3, y = −1/3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 21 2 −11 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 4/3 e z = −1/3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 11 1 21 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1/3.

3.3.3 Método de eliminação de Gauss

O designadométodo de eliminação de Gauss, considera a matriz ampliada do sistema

[A|B]

à qual se aplicam as operações elementares sobre as filas de uma matriz (ver Definição 2.24), o quecorresponde à troca de equações, à multiplicação de equações por um número diferente de zero e àsubstituição de uma equação pela soma de outras duas. Todas estas operações transformam o sistemaem outros sistemas equivalentes.

Este método transforma a matriz ampliada numa matriz em escada de linhas e esta representaum sistema equivalente ao primeiro, embora de soluções maisobvias.

Exemplo 3.10.

x− 2y + z = 2x− 2y + 2z = 6x− y + z = 1

⇔

x− 2y + z = 2z = 4

x− y + z = 1,

porque a segunda equação deste último sistema resultou de subtrair ordenadamente a primeiraequação à segunda equação do sistema inicial.

3.3. Métodos para a resolução de sistemas lineares 31

Agora, subtraindo a primeira equação à segunda, tem-se o seguinte sistema equivalente aosanteriores:

x− 2y + z = 2z = 4y = −1

.

Considerandoz = 4 e y = 1 emx− 2y + z = 2, determinamosx = 0, logo o sistema tem solução(x, y, z) = (0, 1, 4).

Matricialmente, o exemplo anterior corresponde ao seguinte:

• Considerar a matriz ampliada

1 −2 1 | 21 −2 2 | 61 −1 1 | 1

.

• Escrever a matriz ampliada em escada de linhas

1 −2 1 | 20 0 1 | 40 1 0 | −1

. ⇔

1 −2 1 | 20 1 0 | −10 0 1 | 4

.

• Regressar ao sistema

x− 2y + z = 2y = −1z = 4

e resolver por substituição.

Este método é designado demétodo de eliminação de Gausscujo cujo procedimento descreve-mos:

Algoritmo 3.11. 1. Escrever a matriz ampliada do sistema;

2. Transformar a matriz ampliada numa matriz em escada de linhas, recorrendo a operaçõeselementares;

3. Escrever o novo sistema correspondente a essa matriz;

4. Resolver o sistema.

Exercício 3.12.Usando o método de eliminação de Gauss, resolver o seguinte sistema de equaçõeslineares:

2x+ y + 2z = 1x+ y − z = 2x+ z = 3

Referimos ainda, o designadométodo de eliminação de Gauss-Jordanpara a resolução desistemas de equações lineares, que acrescenta um passo ao Algoritmo 3.11.

Algoritmo 3.13. 1. Seguir os passos do Algoritmo 3.11.

2. Começar na última linha não nula e regressivamente usar cada pivot para anular todos osrestantes elementos da coluna a que pertence.


3.4 Discussão e classificação de sistemas de equações lineares

Dado um sistema de equações lineares, a observação do númerode incógnitas, da características damatriz dos coeficientes e da característica da matriz ampliada, permite a sua classificação quanto àexistência de soluções.

Teorema 3.14.Seja um sistema de equações lineares comn incógnitas, característica da matriz doscoeficientesr e característica da matriz ampliadas. Então,

• O sistema é possível somente ser = s.

i) Possível e determinado, quandor = s = n

ii) Possível e indeterminado, quandor = s < n

• O sistema é impossível quandor 6= s.

Lembrar que a característica de uma matrizA, car(A), corresponde ao número de linhas nãonulas da matriz, depois de escrita em escada de linhas. De acordo com o teorema anterior, ossistemas de equações linearesAX = B comn incógnitas, são classificados como:

1. Impossíveis, quandocar(A) < car(A|B);

2. Possíveis indeterminados, quandocar(A) = car(A|B) < n;

3. Possíveis de solução única, quandocar(A) = car(A|B) = n.

Exemplo 3.15.O sistema de equações lineares{

x− y = 1−3x+ 3y = −3

.

é possível de soluções indeterminadas, porquecar(A) = car(A|B) = 1 < n = 2. Com efeito,tem-se

[

1 −1 | 1−3 3 | −3

]

−→[

1 −1 | 10 0 | 0

]

.

Na resolução de problemas traduzidos por sistemas de equações, por vezes é conveniente consi-derar algumas das suas incógnitas como parâmetros em funçãodos quais classificamos e resolvemoso sistema. Por exemplo, o sistema a seguir não é linear se for considerado como um sistema nas in-cógnitasx, y, z, α eβ:

x+ y = 1x+ αy = β3x− 3y = 0

.

Podemos no entanto, considerarα como um parâmetro e classificar o agora sistema de equaçõeslineares em função das incógnitasx, y, z eβ. Tratando-se de um sistema com três equações e quatroincógnitas ele não será possível de solução única para nenhum valor do parâmetroα.

Este sistema pode ainda ser observado como um sistema de equações lineares em função dasincógnitasx, y e z, a classificar em função dos parâmetrosα eβ:


Exemplo 3.16.Para classificar o sistema linear,

x+ y = 1x+ αy = β3x− 3y = 0

,

em função dos parâmetrosα eβ, condensamos a sua matriz ampliada:

1 1 | 11 α | β3 −3 | 0

−→

1 1 | 10 α− 1 | β − 10 −6 | −3

−→

1 1 | 10 −6 | −30 α− 1 | β − 1

.

A avaliação do sistema em função dos parâmetrosα eβ é a seguinte:Seα = 1 eβ = 1, o sistema é possível determinado (car(A) = car(A|B) = n = 2).Seα = 1 eβ 6= 1, o sistema é impossível, porquecar(A) < car(A|B).Seα 6= 1, então

1 1 | 10 −6 | −30 α− 1 | β − 1

α−16=0→

1 1 | 10 −6 | −30 0 | −1

2(α− 1) + β − 1

.

Neste caso, se−12(α − 1) + β − 1 = 0, isto é, seβ = 1

2(α + 1), o sistema é possível determinado.

Caso contrário, o sistema é impossível.

Notamos que nos sistemas homogéneosAX = 0 tem-se semprecar(A) = car(A|B), logosão sempre possíveis. De facto tais sistemas têm pelo menos asolução nula. tais sistemas sãoindeterminados quandocar(A) < n.

Exercício 3.17.Classifique o sistema homogéneo a seguir, em função do parâmetro α:{

αx+ y = 0x+ αy = 0

.

Muitos dos problemas de interesse prático que aparecem, porexemplo, no cálculo de estruturas,nas redes de transporte, na comunicação ou nas áreas de economia e engenharia, são traduzidos porsistemas lineares. A este propósito, sugere-se a tradução do problema a seguir por um sistema deequações lineares e posterior resolução.

Problema 3.18.Um fabricante de objetos de cerâmica produz vasos e pratos decorativos. Cadavaso exige16 minutos de moldagem,8 minutos de polimento e30 minutos de pintura. Cada pratodecorativo necessita de12 minutos de moldagem,6 de polimento e15 de pintura. Sabendo que,por semana, são reservadas8 horas para a moldagem,4 horas para o polimento e13 horas para apintura, determine quantos objetos de cada tipo poderão serfabricados por semana.


1. Identifique se as equações a seguir são lineares:


(a) x+√2y − 25/3z = 1;

(b) x+ xy − 2z = 0;

(c) x = −√3y + 2

3z;

(d) x2/3 − 2y − 5z = 3√6.

2. Considere o sistema de equações lineares

{

x− 2y = 16y − 3x = −3

.

(a) Prove que(3, 1) é solução do sistema;

(b) Determine as restantes soluções do sistema e classifique-o.

3. Entre notas de50 euros e de10 euros, o João possui um total de50 notas. Sabendo que essasnotas somam um montante de900 euros, quantas notas de50 euros e quantas notas de10 euroso João possui?

4. Escreva os sistemas a seguir na forma matricial:

(a)

3x− 2y = 1y = 0

5x = 1(b)

2x+ z = −1y − x = 0x+ 5z = 1

(c)

{

2x+ 3y = 1x− 2y + z = 5 (d)

x+ 2y − z = −1y − z = 5

2x+ z = 3

5. Sejam os sistemas de equações lineares:

(I)

{

x− y = 42x+ y = 1 (II)

2x− y − z = −3−x+ 3y + z = 2

x+ 3y = 1

(III)

x+ y + z = −1x+ 2y + 3z = 3

y + 2z = 4(IV)

2x− y + 2z = −12x− 8y − z = 8

x+ 3z = 8−x+ 4y + z = −4

(a) Resolva pelo método da inversa da matriz dos coeficientes,o sistema de equaçõesI;

(b) Resolva pela regra de Cramer, o sistema de equaçõesII;

(c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss, os sistemasIII e IV .

6. Um comerciante de café vende três tipos de misturas de grãos. Um pacote com a "‘mistura dacasa"’ contém300 gramas de café colombiano e200 gramas de café torrado. Um pacote coma "‘mistura especial"’ contém200 gramas de café colombiano,200 gramas de café quenianoe 100 gramas de café torrado. Um pacote com a "‘mistura gourmet"’ contém100 gramas decafé colombiano,200 gramas de café queniano e200 gramas de café torrado. Com30 quilosde café colombiano,15 de café queniano e25 de café torrado, quantos pacotes de cada misturapode o comerciante preparar?

7. Considere o sistema

αx+ αz = 1αx− y + z = 0x− y + αw = 1

y + z = α

, α ∈ R.


(a) Calcule em função deα:

i. O determinante da matriz dos coeficientes do sistema;ii. A característica da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada.

(b) Classifique o sistema em função dos valores do parâmetroα;

(c) Calcule a inversa da matriz dos coeficientes, paraα = 1.

8. Classifique os seguintes sistemas em função dos parâmetrosα eβ:

(a)

x+ 2y + z = 5αx− y + 3z = 6x− y + αw = 12x+ y − z = β

(b)

x+ y + z = α + 1x+ αy + z = 1x− y + αz = 1

(c)

x+ z = 02x+ y − αz = −1

3x− y = β3z − y = β

(d)

2x+ 4y + βz = 2x+ (α + 2)y = 1

x+ 2y = βx+ 2y + αz = 1

9. Determine o valor deλ para o qual o sistema de equações

2x− 5y + 2z = 0x+ y + z = 02x+ λz = 0

tem soluções distintas do solução nula e calcule-as.

10. Considere as matrizes

A =

α 0 α −22α 1 1 10 1 1 10 α α 1

, e B =

101β

.

(a) Calcule a característica da matrizA em função do parâmetroα ∈ R;

(b) Classifique o sistemaAX = B, em função dos parâmetrosα, β ∈ R;

(c) Paraα = 2, determineβ ∈ R, tal que(−1/4, 1/4, 3/4, 0) seja solução do sistemaAX = B.

11. Considere o sistema de equações, em função dos parâmetrosα, β ∈ R:

x+ y + z = 1x+ αy + z = 2

3x+ 3y + βz = α

Classifique-o em função dos parâmetrosα eβ.

12. Certo dia, o Paulo trocou40 dólares e20 libras por78 euros. Nesse dia, na mesma instituiçãoo Pedro trocou50 dólares e40 libras por120 euros. Qual foi a cotação do dólar nesse dia? Eda libra?



1. .

(a) Equação linear;

(b) Equação não linear;

(c) Equação linear;

(d) Equação não linear;

2. (a) .

(b) {(1 + 2y, y) : y ∈ R}.

3. O João possui10 notas de50 euros e40 notas de50 euros.

4. .

(a)

3 −20 15 0

·[

xy

]

=

101

; (b)

2 0 1−1 1 01 0 5

·

xyz

=

−101

;

(c)

[

2 3 01 −2 1

]

·

xyz

=

[

15

]

; (d)

1 2 −10 1 −12 0 1

·

xyz

=

−153

.

5. .

(a)

{

x− y = 42x+ y = 1

⇔[

xy

]

=

[

1 −12 1

]−1

·[

41

]

⇔[

xy

]

=

[

5/3−7/3

]

;

(b) x =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 −1 −12 3 11 3 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −1 −1−1 3 11 3 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 311

, y =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −3 −1−1 2 11 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −1 −1−1 3 11 3 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −211

, z =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −3 −1−1 2 11 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −1 −1−1 3 11 3 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 911

;

(c) O sistemaIII tem conjunto solução{(x,−2x − 6, x + 5) : x ∈ R}; O sistemaIV temconjunto solução{(x, 2x+ 2z + 1, z) : x, z ∈ R}.

6. O comerciante pode preparar65 pacotes com a "‘mistura da casa"’,30 pacotes com a "‘misturaespecial"’ e45 pacotes com a "‘mistura gourmet"’.

7. .

(a) .

i. −α3;

ii. Seα 6= 0, a característica da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada é4; Seα = 0, a característica da matriz dos coeficientes é3, mas a característica da matrizampliada é4.

(b) Seα 6= 0, o sistema é possível e determinado. Seα = 0, o sistema é impossível.


(c)

2 −1 0 −11 −1 0 0−1 1 0 1−1 0 1 1

.

8. .

(a) Seα 6= 4, então o sistema é possível determinado; Seα = 4 e β = −8/7, então osistema é possível indeterminado; Seα = 4 eβ 6= −8/7, então o sistema é impossível;

(b) Seα 6= 1, então o sistema é possível determinado; Seα = 1, então o sistema é impossí-vel;

(c) Seβ = 1, então o sistema é possível determinado; Caso contrário, o sistema é impossível;

(d) Seα 6= 0 ∧ β = 1 ou α 6= 0 ∧ β = 2α, então o sistema é possível determinado; Seα = 0 ∧ β = 1, o sistema é possível indeterminado; Para outros valores deα e β, osistema é impossível.

9. λ = 2. C.S. = {(x, 0,−x) : x ∈ R}.

10. .

(a) Seα = 0, entãoCar(A) = 2; Seα = 1, entãoCar(A) = 3; Casoα ∈ R | {0, 1}, entãoCar(A) = 4.

(b) Seα = 0, então o sistema é impossível; Seα = 1 6= β, então o sistema é impossível; Seα = 1 = β, o sistema é possível indeterminado; Se Seα ∈ R | {0, 1}, então o sistema épossível de solução única.

(c) β = 2, porque a solução deAX = B é (−14, 2a− 15

4, 11

4− a, 2− a).

11. Seα 6= 1 e β 6= 3, o sistema é possível determinado; Seα = β = 3, então o sistema éindeterminado; O sistema é impossível seα = 1 ouα 6= 3 ∧ β = 3.

12. A cotação do dólar foi de 1,2 e a cotação da libra foi de 1,5.

Capítulo 4

Geometria analítica emR2 e emR

3

A geometria analítica estuda a representação de objetos geométricos num sistema de referência(sistema de eixos coordenados), com recurso a princípios daálgebra e da análise matemática.

Começamos por relembrar alguns conceitos da geometria no plano.

4.1 Retas e cónicas no plano

Uma reta no plano cartesiano pode ser definida por:

• Dois pontos da reta;

• Um ponto da reta e o seu declive;

• Um ponto e um vetor diretor da reta.

Dados dois pontos fixos no plano,A = (a1, a2) eB = (b1, b2), a retaAB tem a direção do vetor

~AB = B − A = (b1 − a1, b2 − a2) = (v1, v2).

Umaequação vetorialda retaAB é

(x, y) = (a1, a2) + k(b1 − a1, b2 − a2), k ∈ R,

isto é,AB é o lugar geométrico dos pontos(x, y), que comA definem vetores com a mesma direçãode ~AB.

Da equação vetorial deduzimos uma equação cartesiana

y − a2 =b2 − a2b1 − a1

(x− a1).

Esta equação pode ainda ser escrita naforma reduzida y = mx+ b, onde

m =b2 − a2b1 − a1

=v2v1

é o seudeclive.

40 4. Geometria analítica emR2 e emR3

Por exemplo, dados os pontosA = (−1, 1) eB = (2,−2),a equação vetorial da retaAB é dada por

(x, y) = (−1, 1) + k(3,−3), k ∈ R.

Por eliminação do parâmetrok, obtemos a equação reduzida

y = −x

Esta reta interseta o eixoOy na origem e tem declive−1.

O declive de uma reta é a tangente trigonométrica do ângulo dareta com o eixoOx, designadode inclinação da reta ou coeficiente angular.

A retaAB do exemplo anterior tem inclinação34π, porque

tan(3

4π) = −1 = mAB.

A posição relativa de duas retas no plano (concorrentes ou paralelas) é determinada pelos seuscoeficientes angulares: coeficientes angulares iguais geram retas paralelas coeficientes angularesdiferentes geram retas concorrentes.

Exercício 4.1.Por observação do declive e da ordenada na origem das retas deequação

r : 3x− y = 1, s : 3x− 2y + 2 = 0 e t : 4y − 6x = 1,

indique a posição relativa das retas:

a) r es; b) r e t; c) s e t.

Dados dois pontosA = (a1, a2), B = (b1, b2) ∈ R2, adistân-

cia deA aB corresponde à norma do vetor~AB. A figura aolado sugere que por aplicação do teorema de Pitágoras, se tem

| ~AB| =√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2.

O ponto médiodo segmento de reta[AB] tem coordenadas

(b1 + a1

2,b2 + a2

2).

Definição 4.2.Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano aigual distância deum ponto fixo (chamado centro). A essa distância chamamos raio da circunferência.

4.1. Retas e cónicas no plano 41

Exemplo 4.3.Seja a circunferência, cujos extremos de um diâmetro são os pontos

A = (3, 4) e B = (5,−2).

Então o seu centro é o ponto,

C = (3 + 5

2,4− 2

2) = (4, 1)

e o seu raio,

r =d(A.C)

2=

√1 + 9 =

√10.

O conjunto de pontosP = (x, y), tais que| ~CP | =√10, determina a equação cartesiana da

circunferência:(x− 4)2 + (y − 1)2 = 10.

Em geometria,cónicassão as curvas geradas (ou encontradas), na interseção de um plano queatravessa um cone reto.

Figura 4.1: Secções de um cone

De acordo com a Figura 4.1, a interseção de uma superfície cónica com um plano pode determi-nar uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

No caso do plano de corte intersetar o vértice da superfície cónica, obtemos uma das designadascónicas degeneradas, que correspondem a um ponto, uma reta ou duas retas.

Para uma melhor identificação das cónicasnão degeneradas(elipse hipérbole e parábola), lem-bremos as suas representações através das designadasequações reduzidas:

Elipse centrada emP0 = (x0, y0), cuja distância dis-tância aos vértices sobre o eixo de simetriax = x0 é2a e cuja distância distância aos vértices sobre o eixode simetriay = y0 é2b:

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1

Sea = b então a elipse é a circunferência

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = a2.

A geometria da elipse foi aplicada desde cedo, pelos antigosromanos, na construção de pontescujos arcos são semi-elipses.


Hipérbole com centro de simetria emP0 = (x0, y0) evértices emV1 = P0 + (a, 0) eV2 = P0 + (−a, 0):

(x− x0)2

a2− (y − y0)

2

b2= 1

Em Mecânica Aplicada, são consideradas hipérboles com os mesmos focos para a resolução deproblemas relativos ao fluxo estacionário de eletricidade.

Parábola com vértice emP0 = (x0, y0) e eixode simetria horizontal:

(y − y0)2 = k(x− x0)

Parábola com vértice emP0 = (x0, y0) e eixo de si-metria vertical:

(x− x0)2 = k(y − y0)

Como uma aplicação destas curvas, destacamos que quando um espelho parabólico é apontadopara o sol, os raios de sol são refletidos para um mesmo ponto (foco da parábola). Este princípiotambém é usado na construção de telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas.

Definição 4.4.Em geral, as cónicas são representadas por equações de segundo grau nas variáveisx ey,

Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, A,B, · · · , F ∈ R, (4.1)

sendoa, b e c não simultaneamente nulos.

Relativamente à classificação de uma curva dada por uma Equação 4.1, prova-se o seguinte:

• SeB2 − 4AC < 0, a equação define uma elipse;

• SeB2 − 4AC > 0, a equação define uma hipérbole;

• SeB2 − 4AC = 0, a equação define uma parábola.

Por exemplo, a equação4x2−y2+2y = 0 representa uma hipérbole, porqueb2−4AC = 16 > 0.A equação dada pode ser escrita pela sua equação reduzida, efetuando

4x2 − y2 + 2y = 0 ⇔ 4x2 − (y2 − 2y + 1) = 1 ⇔ x2

1/4− (y − 1)2 = 1,

Exercício 4.5. Identifique e represente graficamente as cónicas de equação:

4.2. Retas e planos no espaço tridimensional,R3 43

a) x2 = 6y;

b) (y − 2)2 = 6x;

c) 4x2 + 9y2 = 4.

d) 3x2 − 4y2 = 9.

4.2 Retas e planos no espaço tridimensional,R3

Tal como para a representação de elementos no plano recorremos ao sistema de eixos cartesianoOxy, também para a representação de elementos do espaço recorremos ao referencial cartesianotridimensionalOxyz. Por exemplo, dizer que um pontoP tem coordenadas cartesianas(2, 3, 2),significa dizer queP se escreve como a combinação linearP = 2i + 3j + 2k dos vetores unitáriosi, j, k, que dão a orientação dos eixos do referencial, tal como a imagem a seguir sugere:

Figura 4.2: Representação de um ponto deR3

A soma de um pontoA = (a1, a2, a3) com um vetoru é o pontoB = (b1, b2, b3), tal que ~AB = u.Além disso,~u temcomprimento (ounorma) igual à distância deA aB,

|u| = d(A,B) =√

(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + (a3 − b3)2.

O ponto médiodo segmento de reta[AB] tem coordenadas

(b1 + a1

2,b2 + a2

2,b3 + a3

2).

Exemplo 4.6.Para determinar a equação cartesiana da superfície esférica que tem como extremosde um diâmetroA = (−1, 0, 2) eB = (0,−2, 4), calculamos o seu centro,

C = (−1 + 0

2,−2 + 0

2,2 + 4

2) = (

−1

2,−1, 3)

e o seu raio,

r =d(A.C)

2=

√

1/4 + 1 + 1 = 3/2.

A equação da superfície esférica é então

(x+ 1/2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 9/4,

isto é, o lugar geométrico dos pontosP = (x, y, z) tais qued(P,C) = 3/2.


Definição 4.7.O produto interno usualouproduto escalarde dois vetoresu ev, é definido como

u • v = |u||v| cos(uv).

O produto interno de vetores deRn verifica as propriedades a seguir:

Propriedades 4.8.Sejamu, v ew vetores deRn e sejak ∈ R. Então,

1. u • v = v • u;

2. u • v = 0 somente seu = 0 ouv = 0 ouu⊥v;

3. k(u • v) = ku • v = u • kv;

4. u • (v + w) = u • v + u • w;

Seu = (u1, u2, . . . , un) ev = (v1, v2, . . . , vn) são vetores deRn, então tem-se

u • v = (u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn) =[

u1 u2 · · · un

]

·

v1v2·vn

.

Identificamos a norma de um vetoru = (u1, u2, . . . , un) como,

|u| =√u • u =

√

u21 + u2

2 + · · ·+ u2n.

Exemplo 4.9.|(2, 3)| =

√

(2, 3) • (2, 3) =√4 + 9 =

√13

e|(−1, 2, 1)| =

√

(−1, 2, 1) • (−1, 2, 1) =√1 + 4 + 1 =

√6.

O ângulo de dois vetoresuv ∈ [0o, 180o], é determinado como

uv = arccos(u • v|u| · |v|).

Propriedades 4.10.Sejamu, v ∈ Rn ek ∈ R. Então,

1. |u| ≥ 0;

2. |ku| = |k| · |u|;

3. |u+ v| ≤ |u|+ |v| (desigualdade triangular);

4. |u • v| ≤ |u| · |v| (desigualdade de Cauchy Schwarz).


Definição 4.11.A projeção ortogonalde um vetoru sobre um vetorv, Projv(u), é um vetorv1,cuja origem é a origem comum av eu e cuja extremidade é o pé da perpendicular deu sobre a retacom a direção do vetorv

Figura 4.3:Projvu = v1

A Figura 4.3 e a definição de produto interno facilitam a compreensão da equivalência

Projv(u) = |u| cos(uv) · v

|v| ⇔ Projv(u) =u • v|v|2 · v.

Trata-se de um vetor colinear comv, cuja norma é dada por

|u • v||v| .

Exemplo 4.12.A projeção ortogonal do vetoru = (1, 2, 3) sobre o vetorv = (2, 0,−1) é o vetor

Projvu =(1, 2, 3) • (2, 0,−1)

5(2, 0,−1) = −1

5(2, 0,−1) = (−2/5, 0, 1/5).

Vamos agora definir um produto de vetores, cujo resultado é umvetor:

Definição 4.13.O produto vetorialde dois vetoresu, v 6= 0 não colineares é um vetor denotado poru× v, tal que:

1. u× v é perpendicular aos vetoresu ev;

2. Seθ é o angulo formado pelos vetoresu, v, então|u× v| = |u||v|sen(θ);

3. u× v tem sentido determinado pela mão direita: considerando o polegar na direção e sentidodeu e os restantes dedos da mão direita no sentido dev, então o sentido deu×v é o da palmada mão.

Figura 4.4: Sentido deu× v


Na figura acima,n é um vetor unitário perpendicular tanto au como av e tem-se

u× v = |u||v|sen(θ)n.

Definição 4.14.No sistema cartesiano tridimensional, oproduto externoou produto vetorialdedois vetoresu = (u1, u2, u3) ev = (v1, v2, v3) é definido como o vetor

u× v = (u2v3 − v2u3, v1u3 − u1v3, u1v2 − v1u2).

Trata-se de um vetor perpendicular aos vetoresu e v e pode mais facilmente ser representadomatricialmente como

u× v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (u2v3 − v2u3)i− (u1v3 − v1u3)j + (u1v2 − v1u2)k.

Propriedades 4.15.O produto vetorial de vetores verifica as propriedades a seguir:

• u× v × w = u× (v × w) (associativa);

• u× v = −v × u (anti-comutativa);

• u× v = |u| · |v| sen(uv)n, sendon um vetor unitário perpendicular au ev;

• u× v = 0 somente seu = 0 ∨ v = 0 ∨ uv = 0o ∨ uv = 180o.

Das propriedades acima determinamos ainda que|u×v| = |u| · |v| sen(uv). Este valor representaaárea do paralelogramodefinido pelos vetoresu ev.

Figura 4.5: Paralelogramo definido pelos vetoresu ev

Com efeito, de acordo com a figura acima, a área do paralelogramo é dada porA = |v| ·h. Alémdisso,|u| sen(uv) = h.

No caso deu e v serem vetores colineares, o produto vetorialu × v é o vetor nulo. Esta é umasituação limite em que o paralelogramo não existe.

Definição 4.16.Oproduto mistode três vetoresu = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ew = (w1, w2, w3),é o escalar determinado como

u • (v × w) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u1 u2 u3

v1 v2 v3w1 w2 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.


O seu valor absoluto,|u • (v × w)|, representa ovolume do paralelipípedodefinido por trêsvectoresu, v ew.

Figura 4.6: Paralelepípedo de dimensões|u|, |v| e |w|

Exercício 4.17.Sejam os vetoresu = (1,−2, 3), v = (0, 1, 1) ew = (1, 0,−1).

a) Determine a área do paralelogramo definido poru ev.

b) Determine volume do paralelipípedo definido por três vectoresu, v ew.

Reta no espaço tridimensional,R3:À semelhança da equação vetorial da reta no plano, também dados dois pontosA = (a1, a2, a3), B =

(b1, b2, b3) ∈ R3, a retaAB é o lugar geométrico dos pontosP = (x, y, z) do espaço, tais que

P = A+ k ~AB, para qualquerk ∈ R. Assim, aequação vetorialda retaAB, é a seguinte:

AB : (x, y, z) = (a1, a2, a3) + k(b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3), k ∈ R.

Eliminando o parâmetrok, obtemos a equação cartesiana:

AB :x− a1b1 − a1

=y − a2b2 − a2

=z − a3b3 − a3

.

Exercício 4.18.Sejam os pontosA = (1, 0, 2) eB = (−1, 3, 2) e seja a retar : x = y−23

= z4.

a) Determine uma equação cartesiana deAB.

b) Determine o ângulo das retasAB e r.

Plano no espaço tridimensional,R3:Existem várias formas de definir um plano no espaço, especificamente através de:

• Três pontos não colineares;

• Duas retas concorrentes;

• Um ponto e um vetor perpendicular ao plano.

Em particular, o plano que contém o pontoA e é perpendicular ao vetorv é o lugar geométricodos pontosP = (x, y, z) tais que

~AP • v = 0.


Exemplo 4.19.Determinemos a equação do plano que contémA = (1, 0, 2) e é perpendicular av = (−1, 3, 2):

(x− 1, y, z − 2) • (−1, 3, 2) = 0 ⇔ −x+ 1 + 3x− 3 + 2z − 4 = 0 ⇔ −x+ 3x+ 2z − 6 = 0.

No exemplo anterior, obtivemos aequação geraldo plano, isto é, uma equação linear nas variá-veisx, y, z do tipo

Ax+ By + Cz +D = 0.

Quanto à posição relativa de dois planos, eles podem ser paralelos (estritamente paralelos oucoincidentes) ou secantes (perpendiculares ou obliquos).

E quanto à posição relativa de três planos, o que poderá acontecer?

Exercício 4.20.Determine a posição relativa dos planos definidos pelas equaçõesx− 2y + z = 1,x+ y = 3 e−2x+ 4y − 2z = −2.

4.3 Formas quadráticas

Definição 4.21.Uma superfície quádrica é uma superfície, que emR3, é definida por uma equação

polinomial de2o grau em três variáveis,

Ax2 + By2 + Cz2 +Dxy + Eyz + Fxz +Gx+Hy + Iz + J = 0,

ondeA,B, . . . , J são constantes reais.

Como exemplos de algumas superfícies deR3, são as geradas pela rotação de cónicas em torno

de um eixo que as bissete;

• Uma esfera é gerada por uma circunferência;

• Um elipsoide de revolução é gerado por uma elipse;

• Um paraboloide de revolução é gerado por uma parábola;

• Um hiperboloide de revolução é gerado por uma hipérbole.

A identificação de curvas de interseção de uma superfície quádrica com planos paralelos aosplanos coordenados,xOy, xOz eyOz, facilitam a sua classificação.

Tais interseções são mais facilmente identificadas se as quádricas forem descritas por equaçõesna forma reduzida, como se segue:

Equação reduzida doelipsóide decentro na origem e semi-eixosa, b, c > 0:

E :x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

4.3. Formas quadráticas 49

Um elipsoide de centro num ponto(x0, y0, z0), tem equação

E :(x− x0)

2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1.

Exercício 4.22.Qual a relação entre a esfera e o elipsoide?

Equação reduzida dohiperboloidede uma folhade centro na origem esemi-eixosa, b, c > 0, com eixo aolongo deOz:

H1 :x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1.

As interseçõesH com planosz = k, são elipses;As interseçõesH com planosx = k, são hipérboles ou é o vazio;As interseçõesH com planosy = k, são hipérboles ou é o vazio.

A equaçãox2

a2− y2

b2+ z2

b2= 1 representa o hiperboloide de uma folha com eixoOy.

A equação−x2

a2+ y2

b2+ z2

b2= 1 representa o hiperboloide de uma folha com eixoOx.

Equação reduzida dohiperboloide de duas fo-lhas de centro na origem e semi-eixosa, b, c >0, com eixo ao longo deOz:

H2 : −x2

a2− y2

b2+

z2

c2= 1.

A interseção deH2 com os planosz = k, é vazia ou é uma elipse;A interseção deH2 com os planosx = k, é vazia ou é uma hipérbole;A interseção deH2 com os planosy = k, é vazia ou é uma hipérbole.

Equação reduzida doparaboloide elíptico,centrado na origem e ao longo deOz:

PE :x2

a2+

y2

b2=

z

c, c > 0

Notar que sec < 0, o paraboloide fica voltadopara baixo.


Equação reduzida doO paraboloide hiperbó-lico, centrado na origem,ao longo deOz:

PH :x2

a2− y2

b2=

z

c

Equação reduzida docone elíptico, cen-trado na origem,ao longo deOz:

x2

a2+

y2

b2=

z2

c2.

As interseções do cone elíptico com planosz = k, é a origem ou são elipses;As interseções do cone elíptico com planosx = k, são retas ou são hipérboles;As interseções do cone elíptico com planosy = k são retas ou são hipérboles.

Exercício 4.23.Quais serão as equações dos cones elípticos com eixo ao longodeOx e com eixoao longo deOy, respetivamente?

Equação reduzida docilindro elíptico ,centrado na origem e ao longo deOz:

x2

a2+

y2

b2= 1.

Equação reduzida docilindro hiperbólico ,centrado na origem e ao longo deOz:

x2

a2− y2

b2= 1



1. Considere os pontosA = (2, 3) eB = (−1, 2) e determine:

(a) Uma equação cartesiana da retaAB;

(b) Uma equação da retas que passa na origem do referencial e é perpendicular aAB;

2. Identifique e represente graficamente as cónicas de equação:

(a) x2 + 4x+ y + 2 = 0;

(b) 21y2 − 4− x = 0;

(c) 4x2 + 9y2 = 36;

(d) y2 − 4x2 = 4.

(e) 4x2 − 8x+ y2 + 2y + 1 = 0.

(f) y2 − 4y + 2x+ 6 = 0.

3. Escreva uma equação cartesiana dos elementos geométricos deR3 seguintes:

(a) Reta que passa nos pontos(−1, 3, 5) e (−4, 2, 3);

(b) Plano que contém o ponto(0, 1, 2) e é paralelo ao planox− y − 3z − 1 = 0;

(c) Plano que contém o ponto(0, 1, 2) e é perpendicular ao planox− y = 0;

(d) Plano que contém os pontos(1, 0, 2), (0, 1, 2) e (2, 0, 1).

4. Mostre que a reta de equaçãox−13

= y−2−9

= 3 − z é paralela ao plano de equação2x + y −3z − 4 = 0.

5. Determine a posição relativa dos seguintes pares de retas:

(a) x−12

= y = z − 3 ex− 2 = y+1−4

, z = −1;

(b) 2x−13

= y−12

= −z e x−3

= y−1−4

= z+32

;

6. Mostre que a reta de equaçãox−13

= y−2−9

= 3− z é paralela ao plano2x+ y − 3z − 4 = 0.

7. Resolva cada um dos seguintes sistemas interprete geometricamente:

(a)

x+ 2y + 2z = 13x+ 2y + 10z = 52x− y + 9z = 8

(b)

{

x− 2y + 4z = 24x− 5z = −17

8. Considere a superfícieS : x2

4+ y2 + z2

9= 1.

(a) Determine as curvas de interseção da superfície com os planosπ1 : z = 2 eπ2 : y = −1;

(b) Identifique a superfície.

9. Considere a superfíciesS1 :(x+1)2

4+ y2

9= z

3eS2 :

x2

4+ z2

9= y2.

(a) Determine as curvas de interseção das superfícies com osplanosπ1 : x = 2 eπ2 : y = 3;

(b) Identifique as superfícies.

10. Indique a equação reduzida da superfícieS : 9x2− 4y2− 6z2 = 36 e determine as suas curvasde interseção com os planos coordenados.


11. Obtenha a equação da superfície esférica que passa pelospontosA = (1, 0, 2) eB = (3, 1, 5)e cujo centro se encontra sobre o eixoOy.

12. Dada a superfície quádricax2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 2z + 4 = 0, prove que representa umasuperfície esférica e determine o seu centro.

13. Considere os pontosP1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 3) eP3 = (2,−1, a).

a) Determine os valores do parâmetroa para os quais os três pontos dados são colineares;

b) Considerea = 2 e determine o plano definido pelos três pontos.

14. Considere as equaçõesx+ ay+2 = 0, 2x+(a+1)y+(a− 1)z = 1 ex+ ay+(b+2)z = 2de três planos deR3. Determine, caso existam, os valores dea e b para os quais os três planossão paralelos.


1. .

(a) AB : −x+ 3y − 7 = 0;

(b) s : y = −3x.

2. Identificação de cónicas:

(a) Parábola voltada para baixo com vértice em(−2, 2);

(b) Parábola voltada para a direita com vértice em(−4, 0);

(c) Elipse centrada na origem e eixos2a = 6 e2b = 4;

(d) Hipérbole centrada na origem e eixos2a = 2 e2b = 4;

(e) Elipse centrada em(1,−1) e eixos2a = 2 e2b = 4;.

(f) Parábola voltada para a esquerda com vértice em(−1, 2).

3. Uma equação cartesiana de elementos geométricos deR3:

(a) x−13

= y−31

= z−52

;

(b) x− y − 3z + 7 = 0;

(c) x+ y + 1 = 0;

(d) −x+ y − z + 3 = 0.

4. Sugestão: Verificar que o vetor diretor(3,−9,−1) da reta é perpendicular ao vetor(2, 1,−3),que é ortogonal ao plano.

5. Posição relativa de retas.

(a) Retas não coplanares;


(b) Retas paralelas;

6. .

7. Resolução de sistemas e interpretação gráfica.

(a) Sistema impossível, o que significa que os três planos nãose intersetam.

(b) Sistema possível indeterminado. O conjunto solução{(x, y, z) : 10y−5021

= x = 5z−174

},representa a reta de interseção dos3 planos.

8. .

(a) S ∩ π1 : x2/4 + y2 = 5/9 é uma elipse do planoz = 2 e S ∩ π2 = {(0, 0)} do planoy = −1.

(b) Elipsoide centrado na origem com semieixosa = 2, b = 1 e c = 3.

9. .

(a) S1∩π1 : z = 1/3y2+27/4 é uma parábola do planox = 2 eS1∩π2 : z = 3/4(x+1)2+3é uma parábola do planoy = 3. S2∩π1 : y

2− z2/9 = 1 é uma hipérbole do planox = 2eS2 ∩ π2 : x

2/36 + z2/81 = 1 é uma elipse do planoy = 3.

(b) S1 é um paraboloide elítico eS2 é um hiperboloide de duas folhas com eixo ao longo deOz.

10. S : x2/4 − y2/9 − z2/6 = 1 é um hiperboloide de duas folhas com centro na origem e eixoao longo deOz. S ∩ {(x, y, z) : x = 0} = {}, S ∩ {(x, y, z) : y = 0} = {(x, y, z) :x2/4− z2/6 = 1} eS ∩ {(x, y, z) : z = 0} = {(x, y, z) : x2/4− y2/9 = 1}.

11. x2 + (y − 5)2 + z2 = 30

12. C = (1, 2,−2).

13. .

a) a = 2;

b) −x+ y + 1 = 0.

14. a = 1 e b = −2.

Capítulo 5

Espaços vetoriais

No final do séculoXIX, no âmbito do estudo da teoria de matrizes, foi observado queentida-des matemáticas diferentes possuem propriedades semelhantes. Por exemplo, as operações adiçãoe multiplicação escalar de vetores deR

2, deR3, de funções polinomiais ou de funções diferenciá-veis, apresentam as mesmas propriedades da adição e da multiplicação escalar de matrizes. Talconstatação deu origem à definição de espaço vetorial.

5.1 Definição de espaço vetorial

Definição 5.1.Um espaço vetorial realé um conjuntoV 6= ⊘ munido das operações adiçãoV ×V → V e multiplicação escalarR × V → V , tais que para quaisqueru, v, w ∈ V e a, b ∈ R, aspropriedades a seguir se verificam:

1. (u+ v) + w = u+ (v + w) (associativa);

2. u+ v = v + u (comutativa)

3. Existe0 ∈ V , tal queu+ 0 = u (elemento neutro);

4. Existe−u ∈ V , tal que−u+ u = 0 (simétrico);

5. (a+ b)v = av + bv;

6. (ab)v = a(bv);

7. 1v = v.

Se na definição anterior considerarmos escalares complexosem vez de escalares reais, entãoVdiz-se umespaço vetorial complexo. Seguem-se alguns exemplos de espaços vetoriais:

1. Para cadan ∈ N, Rn é um espaço vetorial sobreR;

2. O conjuntoMn(R) das matrizes quadradas de ordemn com elementos reais é um espaçovetorial sobreR;

3. O conjuntoMn(C) das matrizes quadradas de ordemn com elementos complexos é um espaçovetorial sobreC;

56 5. Espaços vetoriais

4. O conjuntoMm×1(R) dos vetores-linhas com elementos reais é um espaço vetorialsobreR;

5. O conjuntoM1×n(R) dos vetores-colunas com elementos reais é um espaço vetorial sobreR;

6. O conjuntoF (R) = {f : R → R} das funções reais cujo domínio é o conjunto dos númerosreais é um espaço vetorial sobreR;

7. O conjuntoPn[R] de todas as funções polinomiais de grau inferior ou igual an é um espaçovetorial sobreR.

5.2 Subespaços vetoriais e sua dimensão

Definição 5.2.Dado um espaço vetorialV , dizemos que um subconjuntoW ⊆ V diferente do vazioé umsubespaço vetorialdeV , se verificar as seguintes propriedades:

i) Para quaisqueru, v ∈ W , tem-seu+ v ∈ W (fecho da adição);

ii) Para quaisquera ∈ R ev ∈ W , tem-seav ∈ W (fecho da multiplicação escalar).

Um subespaço vetorialS ⊆ V também é um espaço vetorial, já que corresponde a um sub-conjunto não vazio de um espaço vetorial tal que o resultado das operações adição e multiplicaçãoescalar sobre os seus elementos ainda é um elemento deS.

Exemplo 5.3.O conjuntoW = {(x, 2x) : x ∈ R}

é um subespaço deR2.

Com efeito, para quaisquer vetoresu = (u1, 2u1) ev = (v1, 2v1) deW e para qualquer escalara ∈ R, tem-se:

i) u+ v = (u1 + v1, 2(u1 + v1)) ∈ W (fecho da adição);

ii) au = (au1, 2au1) ∈ W (fecho da multiplicação escalar).

Notar ainda queO = (0, 0) ∈ W .

Todo o espaço vetorialV admite pelo menos dois subespaços, o conjunto formado somente pelovetor nulo e o próprioV . A estes subespaços chamamossubespaços triviais. O espaçoV poderáter outros subespaços, que designamos desubespaços próprios.

Exemplo 5.4. 1. O conjunto{(x, 2x) : x ∈ R} é um subespaço vetorial do espaço bidimensio-nalR2;

2. O conjuntoR dos números reais é um subespaço próprio do conjuntoC dos números comple-xos, munido das operações adição e multiplicação usuais;

3. O conjuntoSn(R) das matrizes simétricas é um subespaço próprio do espaçoMn(R) dasmatrizes quadradas.

5.2. Subespaços vetoriais e sua dimensão 57

Exercício 5.5. Provar que o conjuntoS = {X ∈ M22(R) : det(X) = 0} das matrizes singulares,não é um subespaço deM22(R).

Definição 5.6.SejaV um espaço vetorial sobre um conjuntoR e sejaC = {v1, v2, . . . , vn} umconjunto de vetores emV . Dizemos que um vetorv é combinação lineardos elementos deC, seexistem escalaresk1, k2, . . . , kn ∈ R tais que

v = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn.

Exemplo 5.7.O vetorv = (3,−2, 1) ∈ R3 escreve-se como uma combinação linear dos vetores de

C = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.

Com efeito, existem escalaresk1 = 5, k2 = −3 e k3 = 1 tais que(3,−2, 1) = 5(1, 0, 0) +(−3)(1, 1, 0) + 1(1, 1, 1).

Exercício 5.8.Prove que o vetorv = (1, 1, 2) ∈ R3 não é combinação linear dos vetores(1, 0, 2) e

(0,−1, 1).

Definição 5.9.Definimosespaço geradopor um subconjuntoS de um espaço vetorialV , que de-notamos por〈S〉, como o conjunto de todas as combinações lineares de elementos deS. SeS é umconjunto finito então o espaço〈S〉 diz-sefinitamente gerado.

Exemplo 5.10.O espaço gerado pelo vetorv = (1, 2, 3) ∈ R3 é representado pela reta que passa

pela origem deR3 e possui a direção do vetorv = (1, 2, 3). Tem-se:

〈(1, 2, 3)〉 = {k(1, 2, 3) : k ∈ R}= {(1k, 2k, 3k) : k ∈ R}= {(x, y, z) : x = 1k, y = 2k, z = 3k, k ∈ R}= {(x, y, z) ∈ R

3 : x = y/2 = z/3}

O espaço vetorial do exemplo anterior é finitamente gerado, mas o conjunto de geradores não éúnico. Com efeito, tem-se por exemplo

〈(1, 2, 3)〉 = 〈(1, 2, 3), (2, 4, 6)〉. (5.1)

Isto é, o conjuntoA = {(1, 2, 3), (2, 4, 6)} também gera o espaço vetorial do exemplo anterior. Notarque o vetor(2, 4, 6) é combinação linear de(1, 2, 3).

Nesse sentido, é relevante considerar o conceito dedependência linearde um conjunto de ve-tores, relacionado com a existência de pelo menos um vetor que é combinação linear dos restantes.

Definição 5.11.Um conjuntoA = {v1, v2, . . . , vn} de vetores de um espaço vetorialV , diz-selinearmente dependente,(LD), se existirem escalaresk1, k2, . . . , kn, não todos nulos tais que

k1v1 + k1v2 + k1v3 + · · ·+ knvn = 0. (5.2)

Caso a Igualdade 5.2 se verifique apenas quandok1 = k2 = · · · = kn = 0, entãoA diz-se umconjuntolinearmente independente, (LI).


Exemplo 5.12.O conjuntoA = {(1, 2,−3), (−2, 0, 1), (0, 4,−5)} de vetores deR3 é linearmentedependente, porque o sistema homogéneok1(1, 2,−3) + k2(−2, 0, 1) + k3(0, 4,−5) = (0, 0, 0) temoutras soluções para além da solução nula.

O conjuntoB = {(1, 2,−3), (−2, 0, 1), (0, 0,−1)} de vetores deR3 é linearmente independente,porque o sistema homogéneok1(1, 2,−3)+k2(−2, 0, 1)+k3(0, 0,−1) = (0, 0, 0) tem solução única.

Definição 5.13.Um conjuntoB = {v1, v2, . . . , vn} de vetores de um espaço vetorialV , diz-se umabasedesse espaço quando verifica as seguintes condições:

• B é linearmente independente;

• 〈v1, v2, . . . , vn〉 = V , isto é, o subespaço gerado porB é igual aV .

Teorema 5.14.Quaisquer duas bases de um espaço vetorial finitamente gerado, têm sempre omesmo número de vetores.

Definição 5.15.O número de vetores de qualquer base de um espaço vetorial finitamente geradoV ,diz-sedimensãodeV , que denotamos pordim(V ).

Exemplo 5.16.O conjuntoA = {(1, 2), (0,−1)} representa uma base deR2, porque o conjuntoAé linearmente independente e para qualquer(x, y) ∈ R

2, existem escalaresk1, k2 tais que

(x, y) = k1(1, 2) + k2(0,−1).

Com efeito,{

k1 = x2k1 − k2 = y

⇔{

k1 = xk2 = 2x− y

.

O espaço vetorialR2 tem dimensão2, o que significa que todas as bases deste espaço são con-juntos de dois dos seus vetores linearmente independentes.

Definição 5.17.Um Espaço euclidianoé qualquer espaço vetorial real de dimensão finita munidode um produto interno.

A operação produto interno induz uma métrica, isto é, determina o comprimento de cada vetorvdo espaço como|v| = √

v • v.

Exemplo 5.18.O espaço vetorialR2 é um espaço euclidiano, por se tratar de um vetorial real dedimensão2 (finita) e estar munido do produto interno usual definido por

(x1, y1) • (x2, y2) = x1x2 + y1y2,

que determina o comprimento de cada vetorv = (v1, v2) como

|v| =√

v21 + v22.

5.3. Matriz mudança de base e bases ortogonais 59

A designadabase canónicadeR2 é definida pelo conjunto dos vetores unitáriosC = {(1, 0), (0, 1)}.As coordenadas cartesianas de pontos ou vetores deR

2 são os escalares que escrevem esses pontosou vetores como combinação linear desta base. Por exemplo,(3, 5) = 3(1, 0) + 5(0, 1).

Naturalmente, abase canónicadeR3 é definida pelo conjunto dos vetores unitários

C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

e qualquer ponto de coordenadas cartesianas(x, y, z) se escreve como combinação linear

x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1).

Em geral, as coordenadas de um vetorv de um espaço vetorialE, relativamente a uma baseB,são os escalares que escrevemv como combinação linear dos vetores deB.

Exemplo 5.19.Seja o vetorv = (2, 5) ∈ R2, isto é, sejav = 2(1, 0) + 5(0, 1). As coordenadas de

v segundo a baseA = {(1, 2), (0,−1)} sãovA = (2,−1), porque2(1, 2)− (0,−1) = (2, 5).

Operações com subespaços vetoriais

• Interseção de subespaços: A interseçãoW1∩W2 dos subespaços vetoriaisW1 eW2 do espaçovetorialV , ainda é um subespaço deV .

• Soma de subespaços: A somaW1 + W2 = {v : v = w1 + w2, w1 ∈ W1, w2 ∈ W2} dossubespaços vetoriaisW1 eW2 do espaçoV , ainda é um subespaço deV .

Quanto à dimensão de subespaços vetoriais finitamente gerados, dados dois subespaçosU,W ⊆ V ,tem-se:

dimU + dimW = dim(U +W ) + dim(U ∩W ).

Exemplo 5.20.SejaV = M22(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem2 e sejam os subes-paços

S1 =

{[

a b0 0

]

: a, b ∈ R

}

, e S2 =

{[

0 bc 0

]

: b, c ∈ R

}

.

Então,

S1 ∩ S2 =

{[

0 b0 0

]

: b ∈ R

}

e S1 + S2 =

{[

a bc 0

]

: a, b, c ∈ R

}

.

Além disso,dim(S1) = dim(S2) = 2, dim(S1 ∩ S2) = 1 edim(S1 + S2) = 3Observamos que,dimS1 + dimS2 = dim(S1 + S2) + dim(S1 ∩ S2).

5.3 Matriz mudança de base e bases ortogonais

5.3.1 Matriz mudança de base

SejamA = {v1, v2, . . . , vn} eB = {w1, w2, . . . , wn} duas bases de um mesmo espaço vetorialE dedimensãon. Para qualquerv ∈ E, existem escalaresk1, k2, . . . , kn e r1, r2, . . . , rn, tais que

v = k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn e v = r1w1 + r2w2 + . . .+ rnwn.


A matriz mudança de base relaciona as coordenadas de uma dadabaseA de um espaço vetorialcom as coordenadas de outra baseB desse espaço. Por exemplo, podemos escrever os vetoreswi dabaseB como combinação linear dos vetores da baseA:

w1 = a11v1 + a12v2 + · · ·+ a1nvnw2 = a21v1 + a22v2 + · · ·+ a2nvn· · ·wn = an1v1 + an2v2 + · · ·+ annvn

Tem-se

w1

w2

· · ·wn

=

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

.

v1v2· · ·vn

.

Definição 5.21.Dadas duas basesA e B de um espaço vetorial, chamamosmatriz mudança debaseda baseA para a baseB, PA

B à matriz cujas colunas representam as coordenadas dos vetoresda baseB em relação aos vetores da baseA.

De acordo com esta definição, amatriz mudança de basedeA paraB é atranspostada matrizque multiplicada pela matriz cujos vetores linha são os elementos da baseA determina a matriz cujosvetores linha são os vetores da baseB, isto é,

PAB =

a11 a21 · · · an1a12 a22 · · · an2· · · · · · · · · · · ·a1n a2n · · · ann

.

Tem-sePAB = ((w1)A(w2)A · · · (wn)A),

isto é, as colunas desta matriz representam as coordenadas de cada vetor da baseB em relação àbaseA.

Exemplo 5.22.SejamA = {(1, 1), (1, 0)} e B = {(1, 2), (−4,−3)} duas bases deR2. A matrizmudança de base deA paraB é a matriz transposta de

M =

[

a11 a12a21 a22

]

, tal que

{

(1, 2) = a11(1, 1) + a12(1, 0)(−4,−3) = a21(1, 1) + a22(1, 0)

Resolvendo o sistema, tem-seM =

[

2 −1−3 −1

]

, logoPAB =

[

2 −3−1 −1

]

.

Notar que[

1 2−4 −3

]

=

[

2 −1−3 −1

]

·[

1 11 0

]

,

isto é, a matriz cujas linhas correspondem aos vetores deB é igual ao produto da matrizM pelamatriz cujas linhas correspondem aos vetores deA, ou equivalentemente,

[B] = [A] · PAB ,

onde[A] e [B] representam matrizes cujas colunas são os vetores das basesA eB, respetivamente.


Proposição 5.23.SejamA eB duas bases de um espaço vetorialV . Então,

PAB = [A]−1 · [B],

onde[A] e [B] representam matrizes cujas colunas são os vetores das basesA eB, respetivamente.

Uma matriz mudança de base é sempre invertível e verificam-seas seguintes propriedades:

Propriedades 5.24.SejamA eB duas bases de um espaço vetorialE de dimensãon e sejaPAB a

matriz de mudança da baseA para a baseB. Então, tem-se:

• (PAB )

−1 = PBA ;

• Dadov ∈ E, tem-se[v]A = PAB · [v]B;

• Dadov ∈ E, tem-se[v]B = (PAB )−1 · [v]A.

• B = P T · A;

• PAC = PA

BPBC .

Exemplo 5.25.A matriz mudança de base, da base canónicaB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} deR

3 para a baseC = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} é

PBC =

1 1 11 0 10 1 1

,

porquePBC = [B]−1[C] = C (pela Proposição 5.23 e porque[B]−1 é a matriz identidade). Notar

também que as suas colunas representam as coordenadas de cada vetor da baseC em relação àbaseB e as coordenadas dos vetores deC são relativas à base canónica.

Determinamos as coordenadas dev = (1, 2, 3), em relação à baseC, fazendo(PBC )−1v = vB,

onde

(PBC )−1 =

1 1 11 0 10 1 1

−1

=

1 0 −11 −1 0−1 1 1

.

Tem-se então,

vC =

1 0 −11 −1 0−1 1 1

·

123

=

−2−14

.

Definição 5.26.Duas matrizes quadradasM eN dizem-sesemelhantesse existir uma matriz in-vertívelP tal que

N = P−1MP.


Naturalmente, qualquer matriz quadrada é semelhante a ela própria, porqueA = I−1AI.

Também, dada uma matrizM = [mij]n×n e dadas duas basesA e B de Rn, como a matriz

mudança de baseP = PAB é invertível, podemos determinar uma matrizN = P−1MP semelhante

aM .No Exemplo 5.22, determinámos que

P =

[

2 −3−1 −1

]

é a matriz mudança de base da baseA = {(1, 1), (1, 0)} para a baseB = {(1, 2), (−4,−3)} deR2.Então, dada por exemplo a matriz

M =

[

1 52 7

]

,

podemos determinar uma outra matrizN semelhante aM , efetuando:

N = P−1MP =

[

2 −3−1 −1

]−1

·[

1 52 7

]

·[

2 −3−1 −1

]

=

[

6/5 31/59/5 34/5

]

.

Notar ainda que,

|N | =∣

∣

∣

∣

6/5 31/59/5 34/5

∣

∣

∣

∣

= |M | =∣

∣

∣

∣

1 52 7

∣

∣

∣

∣

= −3.

Propriedade 5.27.Matrizes semelhantes têm o mesmo determinante.

Na Secção 2, definimos matriz ortogonal como uma matriz invertível, cuja inversa é a sua trans-posta. Além disso, o determinante de uma matriz ortogonal é1 ou−1. Podemos agora considerarum conceito alternativo de matriz ortogonal:

Propriedade 5.28.Uma matriz é ortogonal somente se os seus vetores coluna formam uma baseortonormal.

Uma matriz ortogonal é por isso uma matriz cujas colunas (ou linhas) formam uma base orto-normal. Este conceito implica que as designadas matrizes derotação são matrizes ortogonais.

A rotação em torno da origemde um dado ângulo de um espaço vetorial é uma aplicação quepermite rodar os elementos do espaço desse ângulo, preservando a ortonormalidade e mantendo aorigem inalterada.

Por exemplo, a matriz de ordem2,

R =

[

cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)

]

,

roda o sistema cartesiano bidimensional de um ânguloθ, em torno da origem.Com efeito, de acordo com a figura a seguir, consideremos o ponto P = (x, y). As coordenadas

polares(r, ϕ) deP determinamx = r cosϕ ey = r sin(ϕ).


Figura 5.1: Rotação deP em torno deO de um ânguloθ

A rotação deP de um ângulo de amplitudeθ determina o pontoP ′ = (x′, y′), tal que{

x′ = r cos(ϕ+ θ)y′ = r sin(ϕ+ θ)

⇔{

x′ = r cos(ϕ) cos(θ)− r sin(ϕ) sin(θ)y′ = r cos(ϕ) sin(θ) + r sin(ϕ) cos(θ)

⇔{

x′ = x cos(θ)− y sin(θ)y′ = x sin(θ) + y cos(θ)

.

Assim, temos[

x′

y′

]

=

[


]

·[

xy

]

.

A matriz de rotação do plano bidimensional em torno da origem,

R =

[


]

,

é uma matriz ortogonal e as suas linhas (ou colunas) representam os vetores de bases ortonormaisdo espaço vetorialR2.

Também a matriz de rotação do sistema tridimensional, em torno do eixoOx,

A =

1 0 00 cos(θ) − sen(θ)0 sen(θ) cos(θ)

,

determina uma base ortonormal deR3. Observe que o conjunto dos vetores linha são ortonormais, o

mesmo acontecendo aos vetores coluna.

5.3.2 Projeções ortogonais e processo de ortogonalização de Gram-Schmidt

No Capítulo 4, observámos que a projeção ortogonal de um vetoru sobre um vetorv, é dada por

Projv(u) =u • v|v|2 · v.

Consideremos o espaço vetorialR2 (ou R

3) e o subespaçoW que representa uma reta (ou umplano) contendo a origem do referencial. As imagens a seguirevidenciam que cada vetoru ∈ R

2 (ouu ∈ R

3) se pode escrever como a somav1 + v2, comv1 ∈ W ev2 é perpendicular aW , v2 ∈ W⊥.


Figura 5.2:ProjWu Figura 5.3:ProjWu

Observamos quev1 representa a projeção ortogonal deu sobre o espaço vetorialW , que denota-mos porProjWu. O vetorv2 diz-secomponente deu ortogonal aW . Assim, escrevemos:

u = ProjWu+ ProjW⊥u.

Esta propriedade é generalizada peloteorema da decomposição ortogonal, a seguir:

Teorema 5.29.SeW é um subespaço de um espaço vetorialV munido de produto interno, entãocadav ∈ V pode escrever-se comov = v1 + v2 tal quev1 ∈ W e v2 ∈ W⊥ (subespaço vetorialperpendicular aW ).

A projeção ortogonal de um vetor de um espaço vetorialV sobre um subespaçoW de V , édeterminada como se segue:

Teorema 5.30.SejaW um subespaço de um espaço vetorialV munido de produto interno e sejav ∈ V .

• SeA = {a1, a2, . . . , an} é uma base ortonormal deW , então

ProjWv = (v • a1)a1 + (v • a2)a2 + · · ·+ (v • an)an;

• SeA = {a1, a2, . . . , an} é uma base ortogonal deW , então

ProjWv =(v • a1)|a1|2

a1 +(v • a2)|a2|2

a2 + · · ·+ (v • an)|an|2

an.

Exemplo 5.31.SejamV = R3, W = 〈(1, 2, 0), (2,−1, 0)〉 eu = (1, 2, 3) ∈ R

3.Como{(1, 2, 0), (2,−1, 0)} é um conjunto ortogonal, tem-se:

ProjWu =(1, 2, 3) • (1, 2, 0)

|(1, 2, 0)|2 · (1, 2, 0) + (1, 2, 3) • (2,−1, 0)

|(2,−1, 0)|2 · (2,−1, 0)

=4

5(1, 2, 0)

= (4

5,8

5, 0)

CalculamosProjW⊥u, considerando a identidadeu = ProjWu+ ProjW⊥u e efetuando

ProjW⊥u = (1, 2, 3)− (4

5,8

5, 0) = (

1

5,−2

5, 3).


Figura 5.4:ProjW2u eProjW⊥u

Graficamente, tem-se:

Dado um espaço vetorialE de dimensãon munido de produto interno, sejaB = {v1, v2, . . . , vn}uma qualquer base desse espaço. Podemos obter uma outra baseortogonalC = {e1, e2, . . . , en} deE, a partir da baseB, efetuando:

Algoritmo 5.32. 1) Considerare1 = v1;

2) Determinare2 a ser ortogonal ae1, considerando a componente dev2 que é ortogonal aosubespaçoW1 = 〈e1〉,

e2 = v2 − ProjW1v2 = v2 −

v2 • e1|e1|2

· e1;

3) Determinare3 a ser ortogonal aos vetorese1 e e2, considerando a componente dev3 que éortogonal ao subespaçoW2 = 〈e1, e2〉,

e3 = v3 − ProjW2v3 = v3 −

v3 • e2|e2|2

· e2 −v3 • e1|e1|2

· e1;

i) Para i ∈ {4, · · · , n}, efetuar

ei = vi − (vi • ei−1

ei−1 • ei−1

)ei−1 − (vi • ei−2

ei−2 • ei−2

)ei−2 − · · · − (vi • e1w1 • e1

)e1.

A este processo chamamos deprocesso de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Exemplo 5.33.Seja o subespaçoS = 〈(1, 1, 1, 1), (3, 3,−1, 1), (−2, 0, 6, 8)〉 ⊆ R4. Determinamos

uma base ortogonalC = {w1, w2, w3} deS, fazendo:

• w1 = (1, 1, 1, 1);

• w2 = (3, 3,−1, 1)− (3,3,−1,1)•(1,1,1,1)|(1,1,1,1)|2 (1, 1, 1, 1) = (3/2, 3/2,−5/2,−1/2);


• w3 = (−2, 0, 6, 8)− (−2,0,6,8)•(1,1,1,1)|(1,1,1,1)|2 (1, 1, 1, 1)− (−2,0,6,8)•(3/2,3/2,−5/2,−1/2)

|(3/2,3/2,−5/2,−1/2)|2 (3/2, 3/2,−5/2,−1/2).

Assim, determina-seC = {(1, 1, 1, 1), (3/2, 3/2,−5/2,−1/2), (−2, 0,−2, 4)}.

A partir de um conjunto ortogonal de vetores, podemos sempreobter umconjunto ortonormal ,multiplicando cada vetor pelo inverso da sua norma.

O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt determina a seguinte propriedade:

Propriedade 5.34.Todo o espaço vetorial munido de produto interno possui uma base ortonormal.


1. Verifique se os seguintes subconjuntos do espaço vetorialR3 são subespaços vetoriais:

(a) A = {(x, y, z) : y = 3x ∧ z = −x};

(b) B = {(x, y, z) : 2x− y + 3z + 1 = 0};

(c) C = {(x, y, z) : x+ 3y + 2z = 0}.

2. Determine se os vetores dados geramR3:

(a) u = (1, 1, 2), v = (1, 0, 1) ew = (2, 1, 3);

(b) u = (2, 2, 2), v = (0, 0, 3) ew = (0, 1, 1);

(c) u = (3, 1, 4), v = (2,−3, 1), w = (1, 4,−1) e t = (5,−2, 9).

3. Quais as condições para que dois vetores deR3 gerem uma reta? E um plano?

4. Verifique se o conjunto de vetores{(1, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} é linearmente independente.

5. Determine os valores dek para os quais os vetoresu = (1, 0, 0, 2), v = (1, 0, 1, 0) e w =(2, 0, 1, k) são linearmente dependentes.

6. Quais dos seguintes conjuntos do espaço vetorialP3 dos polinómios de grau não superior a3,são linearmente independentes?

(a) {1, x, x2, x3};

(b) {1 + x+ x3, 1− x− x3, x2, 3 + 2x2}.

7. Determine se os seguintes conjuntos do espaço vetorialM22 das matrizes de ordem2, formamum base. Caso responda negativamente, indique o espaço gerado por esses vetores.

(a)

{[

1 00 0

]

,

[

0 −12 0

]}

.

(b)

{[

2 00 0

]

,

[

0 0−1 0

]

,

[

0 10 0

]

,

[

0 00 1

]}

.

8. SejamV = 〈(1, 1, 1), (1, 2, 2)〉 eE = 〈(0, 1, 1), (1, 1, 2)〉 dois subespaços deR3. Determine:

(a) A dimensão do espaçoV + F ;


(b) A dimensão do espaçoV ∩ E.

9. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras:

(a) R2 = 〈(1, 2), (2, 1)〉;

(b) R2 = 〈(−1, 1), (1, 3), (2, 5)〉;

(c) R3 = 〈(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)〉;

(d) R3 = 〈(1, 1,−1), (1, 1, 2), (2, 2, 1)〉;

(e) P3(x) = 〈1 + x, 1 − x, 1 + x2, x + x2 − x3〉, ondeP3(x) é o espaço dos polinómios degrau não superior a3.

10. Determine as componentes de:

(a) (1, 1, 1) em relação à base{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0)} deR3;

(b) 2− 3i em relação a{1 + i, 1− i)} deC;

(c) (1, 2, 3, 4) em relação à base{(1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (0,−1, 0, 1)} deR4;

11. SejamA = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)} eB = {(1, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 0, 1)} bases deR3.

(a) Determine a matriz mudança de base[P ]AB;

(b) A partir deA, determine uma base ortonormal deR3.

12. A partir da baseB = {(1, 2,−3), (3, 0, 1), (1,−5,−3)} deR3, determine uma base ortonor-mal.

13. Determine as componentes de:

(a) (5,−4) em relação à baseA = {(1, 2), (0, 3)} deR2;

(b) 2− x em relação à baseA = {1+ x, 1− x} do espaço de polinómios de grau inferior ouigual a1;

(c) (1, 2, 3, 4) em relação à baseA = {(1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0)} deR4.

14. Considere no espaçoR4 os subespaços vetoriaisS = 〈(1, 0, 1, 0), (2,−3, 2, 0), (1,−1, 1, 0)〉 eG = {(x, y, z, w) : x = w, z = 0}. Determine:

(a) Uma base e a dimensão de cada um dos subespaços;

(b) A interseção dos dois subespaços e a dimensão deS +G;

(c) Uma base deR4 que inclua dois vetores deG.

15. Sejam as basesA = {(1, 2,−1), (3, 4, 2), (1, 1, 1)} eB = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} deR3.Prove quePA

B = [A]−1[B], onde[A] e [B] representam matrizes cujas colunas são os vetoresdeA eB, respetivamente.

16. SejamA = {(1, 0), (1, 1)} e B = {(2,−1), (3, 2)} e C três bases deR2 e seja a matrizmudança de base

[P ]BC =

[

2 0−1 3

]

.

Determine[P ]AC e indiqueC.



1. Subespaços vetoriais:

(a) A é subespaço vetorial;

(b) B não é subespaço vetorial;

(c) C é subespaço vetorial.

2. Vetores que geramR3:

(a) {u, v, w} não geraR3, gera o subespaço{x+ y, x, 2x+ y) : x, y ∈ R} de dimensão2;

(b) {u, v, w} geraR3;

(c) {u, v, w, t} geraR3.

3. Dois vetores deR3 geram uma reta se um for combinação linear do outro. Dois vetores geramum plano se formarem um conjunto linearmente independente.

4. O conjunto{(1, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} é linearmente independente.

5. k = 0.

6. Conjuntos do espaço vetorialP3 dos polinómios de grau não superior a3.

(a) {1, x, x2, x3} é linearmente independente;

(b) {1 + x+ x3, 1− x− x3, x2, 3 + 2x2} é linearmente dependente.

7. O espaço vetorialM22 tem dimensão4.

(a) O conjunto não é base deM22, apenas gera o subespaço

{[

x −y2y 0

]

: x, y ∈ R

}

.

(b) O conjunto é base deM22.

8. Dimensão dos espaços:

(a) dim(V + F ) = 3;

(b) dim(V ∩ F ) = dim(v) + dim(E)− dim(V + E) = 1.

9. Valor lógico das afirmações:

(a) Verdadeira;

(b) Falsa;

(c) Verdadeira;

(d) Falsa;

(e) Verdadeira

10. Componentes de elementos em relação a bases dadas:

(a) (1, 1,−1);


(b) −1/2 + 5/2i;

(c) (2/3, 1/3, 7/3, 2/3);

11. .

(a) [P ]AB =

0 0 −11 1 10 2 1

;

(b) {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)}.

12. {(1/√14, 2/

√14,−3/

√14), (1/

√35,−5/

√35,−3/

√35), (2/

√10, 0, 1/

√10)}.

13. .

(a) (5,−4) = (5,−14/3)A;

(b) 2− x = (1/2− 3/2x)A;

(c) (1, 2, 3, 4) = (−2/3, 1/3, 7/3, 4/3)A.

14. .

(a) B = {(1, 0, 1, 0), (2,−3, 2, 0)} é base deS e a sua dimensão é2; C = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0)}é base deG e a sua dimensão é2.

(b) S ∩G = {(0, y, 0, 0) : y ∈ R} edim(S +G) = 3;

(c) A = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}.

15. .

16. [P ]AC = [P ]AB[P ]BC = [A]−1[B][P ]BC =

[

5 3−4 6

]

e C =

[

1 9−4 6

]

.

Capítulo 6

Transformações lineares

6.1 Definição e elementos de uma aplicação linear

Uma aplicaçãoT : E → V de um espaço vetorialE em outro espaço vetorialV é uma transformaçãolinear que verifica as propriedades da linearidade a seguir:

Definição 6.1.Dados dois espaços vetoriaisE eV , sobre o universoR, dizemos que uma aplicaçãoT : E → V é linear (ou transformação linear)deE emV , quando:

i) T (x+ y) = T (x) + T (y), para quaisquerx, y ∈ E;

ii) T (kx) = kT (x), para quaisquerx ∈ E ek ∈ R.

A noção de transformação linear pressupõe que os dois espaços vetoriais têm o mesmo universode escalares, que nós em regra consideramos a serR.

Uma transformação linear também se diz umhomomorfismo. Em particular, diz-se ummono-morfismo se for injetiva, umepimorfismose for sobrejetiva e umisomorfismose for bijetiva.

Exemplo 6.2. a) A aplicaçãof : R → R, definida porf(x) = ax, ondea ∈ R é uma dastransformações lineares mais simples. De facto,f(x+y) = a(x+y) = ax+ay = f(x)+f(y)ef(kx) = a(kx) = kf(x).

b) A função quadráticag : R → R, definida porg(x) = ax2, coma ∈ R não é uma datransformação linear. Com efeito,g(x+ y) = a(x+ y)2 = ax2 + ay2 + 2axy 6= g(x) + g(y).

Como uma consequência da definição de aplicação linear, temosas propriedades seguintes:

Propriedades 6.3.SejamE eV espaços vetoriais sobre o universoR e seja uma aplicação linearT : E → V . Tem-se:

1. T (0E) = 0V ;

2. T (−x) = −T (x), para qualquerx ∈ E;

3. T (x− y) = T (x)− T (y), para quaisquerx, y ∈ E;

72 6. Transformações lineares

4. Sex = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn, comvi ∈ E, ki ∈ R e i = 1, 2, . . . , n, entãoT (x) = T (k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn) = k1T (v1) + k2T (v2) + · · ·+ knT (vn).

Exemplo 6.4.A aplicaçãof : R3 → R2, definida porf(x, y, z) = (x, z−y) é uma aplicação linear.

Com efeito, dados os vetoresu = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ R3 e o escalark ∈ R, tem-se

f(u+ v) = f(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1 + v1, u3 + v3 − u2 − v2)

= (u1 + v1, u3 + v3 − u2 − v2) = (u1, u3 − u2) + (v1, v3 − v2)

= f(u) + f(v),

ef(ku) = (ku1, ku3 − ku2) = kf(u).

As operaçõesadição, multiplicação escalar e composição, de aplicações lineares são aindaaplicações lineares, caso estejam bem definidas.

A adição de duas aplicações está bem definida quando adicionamos aplicações cujos espaços departida e de chegada são os mesmos. A composição de duas aplicações está bem definida quando oespaço de chegada da primeira aplicação coincidir com o espaço de partida da segunda. Tem-se porisso:

A adiçãof + g das aplicações linearesf : V → E eg : V → E, é definida por

(f + g)(v) = f(v) + g(v);

A transformaçãokf , comf : V → E ek ∈ R, é definida por

(kf)(v) = kf(v);

A compostaf ◦g das aplicações linearesf : V → E eg : E → W , é a transformação linear definidapor

(f ◦ g)(v) = f(g(v)).

Exemplo 6.5.Seja a aplicação linearf : R3 → R2 definida por

f(x, y, z) = (y, x− z).

A aplicação3f , definida por(3f)(x, y, z) = 3f(x, y, z) = (3y, 3x− 3z) também é linear.

Seja agora a aplicação linearg : R2 → R2, definida por

g(x, y) = (x+ y, x− 2y).

A aplicação compostag ◦ f : R3 → R2 é definida para cadav = (x, y, z) ∈ R

3 por (g ◦ f)(v) =g(f(v)) = g(f(x, y, z)) = g(y, x− z) = (y + x− z, y − 2(x− z)) = (x+ y − z,−2x+ y + 2z) eé linear.

Notar quef ◦ g não existe.

6.1. Definição e elementos de uma aplicação linear 73

Definição 6.6.Definimosnúcleode uma aplicação linearf : E → V (do espaço vetorialE sobreo espaço vetorialV ) como o conjunto dos vetores deE cuja imagem através def é o vetor nulo doespaçoV , isto é,

Nuc(f) = {x ∈ E : f(x) = 0V }.

Definição 6.7.Definimosimagem(ou contradomínio) de uma aplicação linearf : E → V (doespaço vetorialE sobre o espaço vetorialV ) como o conjunto dos elementos deV que são imagemde algum vetor deE, isto é,

Im(f) = {f(x) ∈ V : x ∈ E}.

Exemplo 6.8.Sejaf : R3 → R2 a transformação linear definida porf(x, y, z) = (x−y, z). Tem-se

a) Nuc(f) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : f(x1, x2, x3) = (0, 0)}. Efetuandof(x1, x2, x3) = (0, 0) ⇔

(x1 − x2, x3) = (0, 0) ⇔ x1 − x2 = 0 ∧ x3 = 0 ⇔ x = y ∧ z = 0, obtemosNuc(f) ={(x, x, 0) ∈ R

3 : x ∈ R}.

b) Im(f) = {f(v) ∈ R2 : v ∈ R

3} = R2. Com efeito, considerandov = (x, y, z) ∈ R

3, tem-sef(v) = (x − y, z) = (u1, u2). Como a diferença de números reais é um número real, tem-se(u1, u2) = (x− y, z) ∈ R

2.

Propriedades 6.9.SejamE eV espaços vetoriais e seja a aplicação linearf : E → V . Então:

• O núcleo def é um subespaço do espaço vetorialE.

• A imagem def é um subespaço do espaço vetorialV .

• Se o espaço vetorialE tem dimensão finita, entãodim(Nuc(f)) + dim(f(E)) = dim(E).

• SeNuc(f) = {0E}, entãof é uma aplicação injetiva.

• SeIm(f) = V , entãof é uma aplicação sobrejetiva.

Exemplo 6.10.Seja a aplicação linearf : R3 → R2, definida por

f(x, y, z) = (x+ y − z, 2x+ 3y + z).

O núcleo def é o espaço vetorial

Nuc(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : f(x, y, z) = (0, 0)} = {(x, y, z) : (x+ y − z, 2x+ 3y + z) = (0, 0)}.

Resolvendo o sistema{

x+ y − z = 02x+ 3y + z = 0

⇔{

x = −y + z−2y + 2z + 3y + z = 0

⇔{

x = 4zy = −3z

,

obtemosNuc(f) = {(4z,−3z, z) : z ∈ R}. Trata-se de um subespaço deR3 de dimensão1.

Como a dimensão do espaço de partida é3, por uma das propriedades acima, tem-se

1 + dim(f(R3)) = 3,

isto é, o subespaço imagem tem dimensão2.


Definição 6.11.Um operador linearf bijetivo (injetivo e sobrejetivo) também se diz umisomor-fismo.

Observar que, dada por exemplo uma aplicação linearf : R3 → R2, a imagemf(x, y, z) =

(u, v) ∈ R2 do objeto(x, y, z) ∈ R

3 é dada por

(u, v) = (a11x+ a12y + a13z, a21x+ a22y + a33z).

Tal corresponde à seguinte representação matricial da aplicação linearf :

f(x, y, z) =

[

a11 a12 a13a11 a12 a13

]

·

xyz

Além disso, as transformações lineares podem ser definidas através das imagens dos vectoresde qualquer base do espaço vetorial de partida. Com efeito, associada a uma matrizA = [aij]m×n,definimos uma transformação linearfA : Rn → R

m, tal que

fA(v) = A · v.

Exemplo 6.12.SejaA = {(1, 2), (0,−1)} uma base deR2 e sejaf : R2 → R3 uma aplicação

linear tal quef(1, 2) = (2, 3, 1) ef(0,−1) = (1, 0, 3).

o vetor(x, y) ∈ R2 tem coordenadas(a, b) na baseA, tais que(x, y) = a(1, 2) + b(0,−1), isto

é,a = x e b = 2x− y.Então tem-sef(x, y) = f(x(1, 2) + (2x− y)(0,−1) e pelas propriedades da linearidade def ,

f(x, y) = xf(1, 2) + (2x− y)f(0,−1) = x(2, 3, 1) + (2x− y)(1, 0, 3) = (4x− y, 3x, 7x− 3y).

Exemplo 6.13.A matriz

A =

1 0 2 30 −1 1 01 0 −1 2

tem ordem3× 4, por isso induz uma transformação linearfA deR4 emR3, definida por

fA(

xyzw

) =

1 0 2 30 −1 1 01 0 −1 2

·

xyzw

=

x+ 2z + 3w−y + z

x− z + 2w

.

Isto é,fA(x, y, z, w) = (x+ 2z + 3w,−y + z, x− z + 2w).

6.2. Matrizes de transformações lineares relativas a basesdadas 75

6.2 Matrizes de transformações lineares relativas a bases dadas

Consideremos um espaço vetorialV de dimensãon, um espaço vetorialE de dimensãom e umatransformação linearT : V → E. Sejam as bases{v1, v2, . . . , vn} deV , {e1, e2, . . . , em} deE e umvetorv = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn ∈ V , comk1, k2, . . . kn ∈ R. Tem-se

T (v) = T (k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn)

= k1T (v1) + k2T (v2) + · · ·+ knT (vn). (6.1)

Além disso,T (v) ∈ E, portanto

T (v) = r1e1 + r2e2 + · · ·+ rmem, (6.2)

comr1, r2, . . . rm ∈ R.ComoT (vi) ∈ E, para qualqueri = 1, 2, . . . m, então

T (v1) = a11e1 + a21e2 + · · ·+ an1en

T (v2) = a12e1 + a22e2 + · · ·+ an2en

· · · = · · ·T (vn) = a1me1 + a2me2 + · · ·+ anmen (6.3)

Substituindo 6.1 em 6.3, tem-se:

T (v) = k1(a11e1 + a21e2 + · · ·+ an1en) + · · ·+ kn(a1me1 + a2me2 + · · ·+ anmen)

= (k1a11 + k2a12 + · · ·+ kna1n)e1 + · · ·+ (k1am1 + k2am2 + · · ·+ knamn)em. (6.4)

Comparando 6.4 com 6.2, tem-se

r1 = k1a11 + k2a12 + · · ·+ kna1n

r2 = k1a21 + k2a22 + · · ·+ kna2n

· · · = · · ·rm = k1am1 + k2am2 + · · ·+ knamn (6.5)

Podemos agora escrever na forma matricial,

r1r2· · ·rm

=

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...am1 am2 ... amn

·

k1k2· · ·kn

,

ou seja[T (v)]B = [T ]AB · [v]A.

A matriz [T ]AB diz-sematriz associada à transformação linearT , relativamente às basesA eB.


Exemplo 6.14.Consideremos a transformação linearT : R2 → R3 tal queT (x, y) = (x, y, x− y).

SejaA a base canónica doR2 eB a base canónica deR3. Tem-se

T (1, 0) = (1, 0, 1) = 1 · (1, 0, 0) + 0 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1)

eT (0, 1) = (0, 1,−1) = 0 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0)− 1 · (0, 0, 1),

logo

[T ]AB =

1 00 11 −1

.

Por exemplo,

[T (2, 3)]B =

1 00 11 −1

·[

23

]

=

23−1

.

No exemplo anterior,A eB são as bases canónicas dos espaçosR2 eR

3, respetivamente. Nestecaso a matriz mudança de base matriz[T ]AB é denotada simplesmente por matriz[T ]. Além disso,

T (x, y) = (x, y, x− y) =

1 00 11 −1

·[

xy

]

= [T ]

[

xy

]

.

Exemplo 6.15.Sejam as bases não canónicasC = {(1, 2), (3, 5)} deR2 eD = {(1, 2, 0), (2,−3, 1), (0,−1, 1)}deR3. Seja a transformação linearT : R2 → R

3 definida porT (x, y) = (x, y, x− y).

Então, tem-se

T (1, 2) = (1, 2,−1) = 2/3 · (1, 2, 0) + 1/6 · (2,−3, 1)− 7/6 · (0,−1, 1)

eT (3, 5) = (3, 5,−2) = 2 · (1, 2, 0) + 1/2 · (2,−3, 1)− 5/2 · (0,−1, 1).

Assim,

[T ]CD =

2/3 21/6 1/2−7/6 −5/2

.

Exemplo 6.16.Seja a aplicação linearT : R2 → R2 definida na baseB = {(1,−1), (0, 3)} por

[T ]BB =

[

2 11 −1

]

.

Determinemos a expressão analítica que defineT .

Os valores das colunas desta matriz representam os escalares que correspondem à escrita decada um dos vetores deB como combinação linear dos vetores dessa mesma base. Então:

{

T (1,−1) = 2(1,−1) + (0, 3) = (2, 1)T (0, 3) = (1,−1)− (0, 3) = (1,−4)

6.2. Matrizes de transformações lineares relativas a basesdadas 77

Além disso,

(x, y) = k1(1,−1) + k2(0, 3) ⇔ k1 = x ∧ −k1 + 3k2 = y ⇔ k1 = x ∧ k2 =y + x

3.

Então, qualquer vetor(x, y) deR2 se escreve como(x, y) = x(1,−1) + y+x3(0, 3). Pela linearidade

deT , temos:

T (x, y) = xT (1,−1) +y + x

3T (0, 3) = x(2, 1) +

y + x

3(1,−4) = (

y + 7x

3,−4y − x

3).

Definição 6.17.Uma transformação linearT : Rn → Rn, cujos espaços de partida e de chegada

são iguais, diz-seoperador linear.

O operador linearT : R2 → R2, definido porT (v) = prouv, representa a projeção no plano

sobre a retar que passa na origem e tem a direção do vetoru.

Exemplo 6.18.O operador linearT que define a projeção sobre a retar : y = 4x é definido por

T (v) = prouv =u • v|u|2 u,

ondeu = (1, 4) é a direção der.Assim, por exemplo

T (−1, 3) = prou(−1, 3) =(1, 4) • (−1, 3)

1 + 16(1, 4) = (

11

17,44

17).

Seguem-se outros exemplos de operadores lineares do espaçoR2, relativamente à base canónica:

[T ]AB · [v]A = T [v]B

Reflexão em torno do eixoOx

[

1 00 −1

]

·[

xy

]

=

[

x−y

]

Ampliação/redução de um fatork

[

k 00 k

]

·[

xy

]

=

[

kxky

]

Rotação

[

cos(θ) − sin(θ)

sin(θ) cos(θ)

]

·[

xy

]

=

[

x cos(θ)− y sin(θ)x sin(θ) + y cos(θ)

]

Exemplo 6.19.A imagem do vetor(3,−2) ∈ R2, através da rotação em torno da origem de um

ângulo deπ/3rad é

(3 cos(π/3) + 2 sin(π/3), 3 sin(π/3)− 2 cos(π/3)) = (3 + 2

√3

2,3√3− 2

2).


Alguns exemplos de operadores lineares sobreR3:

[T ]AB · [v]A = T [v]B

Ampliação/redução de um fatork

k 0 00 k 00 0 k

·[

xy

]

=

[

kxky

]

Rotação em torno de Ox

1 0 00 cos(θ) − sin(θ)

0 sin(θ) cos(θ)

·

xyz

=

xy cos(θ)− z sin(θ)y sin(θ) + z cos(θ)

Definição 6.20.Um operador linearf diz-sesimétricose a matriz que o representa numa baseortonormal é simétrica, isto é, quando[f ] = [f ]T .

Exemplo 6.21.O operador linearf : R3 → R3 definido por

f(x, y, z) = (2x− y + 2z,−x− 3y + 5z, 2x+ 5y + 3z)

é simétrico, porque a matriz que o representa é simétrica.

6.3 Aplicações lineares invertíveis

SejamE um espaço vetorial sobre o conjuntoR, a aplicação linearT : E → E e a função identidadeIE : E → E. Se existir uma aplicação linearR : E → E , tal queT ◦ R = R ◦ T = IE, dizemosqueT é invertível eT−1 = R.

Propriedades 6.22. • Se a transformação linearT : E → E é um isomorfismo, entãoT éinvertível eT−1 também é uma aplicação linear isomorfa.

• Uma aplicação linearT : V → E, tal quedim(V ) = dim(E) é invertível somente sedet([T ]AB) 6= 0, sendoA eB bases quaisquer deV eE, respetivamente.

Lembrar que, em geral, uma função admite inversa quando é injetiva. Uma aplicação linear cujonúcleo seja diferente do vetor nulo é uma aplicação não injetiva, logo não é invertível.

Exemplo 6.23.Dada a transformação linearT : R3 → R3, definida por

T (x, y, z) = (x− 2y, y + 3z, x+ y + z),

determinamos queT é invertível, se a matriz que lhe está associada,

[T ] =

1 −2 00 1 31 1 1

tem determinante diferente de zero,det[T ] 6= 0.Observar queNuc(T ) = {(0, 0, 0)}.


Definição 6.24.Um operador linearf diz-seortogonal quando a matriz que o representa numabase ortonormal é ortogonal, isto é, quando[f ]−1 = [f ]T .

Exemplo 6.25.A matriz de rotação no plano

[f ] =

[

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

]

define o operador linear ortogonal

f(x, y) = (cos(θ)x− sin(θ)y, sin(θ)x+ cos(θ)y).

Propriedade 6.26. Uma matriz é ortogonal somente se os seus vetores linha formam uma baseortonormal, ou equivalentemente se os seus vetores coluna formam uma base ortonormal.


1. Verifique se as aplicações a seguir são lineares:

(a) T : R3 → R2, definida porT (x, y, z) = (y2, x+ z);

(b) T : R3 → R, definida porT (x, y, z) = x− 2y + z;

(c) T : R2 → R2, definida porT (x, y) = (y − x, 2x);

(d) T : R3 → R3, definida porT (x, y, z) = (x+ 2y, z + 1, 2y).

2. Calcule o núcleo e a imagem das aplicações lineares a seguir:

(a) T : R3 → R2, definida porT (x, y, z) = (x− y + 3z, 3x− z);

(b) T : R2 → R3, definida porT (x, y) = (x+ y, 2x, 3y);

(c) T : R2 → R2, definida porT (x, y) = (y + 2x, y/3).

3. Determine uma transformação linearT : R3 → R

2, cujo núcleo é gerado pelo vetorv =(1, 1, 0).

4. Considere a aplicação linearT : R3 → R2, definida porT (x, y, z) = (x + y + 2z, 2y + z).

Determine.

(a) A matriz[T ] (da aplicação linear considerando as bases canónicas deR3 eR2);

(b) A matriz [T ]AB, sendoA = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} eB = {(1, 0), (1, 1)}.

5. Determine o operador inverso,T−1, para os seguintes operadores lineares:

(a) T : R2 → R2, definida porT (x, y) = (x− 2y,−x);

(b) T : M2×2 → R4, definida porT (

[

x yz t

]

) = (t, z, y, x).


6. Considere o operador linear deR3 definido porT (1, 0, 0) = (1, 1, 1), T (0, 0, 1) = (1, 0, 1)e T (0, 1, 2) = (0, 0, 3). Verifique deT é um isomorfismo e, caso afirmativo, determine oisomorfismo inverso.

7. Considere a aplicação linearT : R2 → R3, definida porT (x, y) = (x + y, x − y, 2y − x) e

determine:

(a) A matriz[T ];

(b) A matriz [T ]AB, sendoA = {(1, 2), (−3, 1)} eB = {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)};

(c) [T (v)]B, parav = (1, 1).

8. Determine o operador linearT : R2 → R2 que representa a projeção sobre a retay = x/2.

9. Determine dimensão do núcleo da transformação linearT , dim(N(T )), sabendo que:

(a) T : R6 → R8 é tal quedim(Im(T )) = 3;

(b) T : R5 → R3 é sobrejetiva;

(c) T : R4 → R4 é invertível.

10. Seja a transformação linearf definida pela matriz

[f ] =

3 01 00 −5

.

(a) Indique a expressão analítica que definef ;

(b) Calculef(2,−1);

(c) Determine oNuc(f).

11. SejaA = {(1, 0, 1), (0,−1, 1), (0, 0, 1)} uma base deR3 e seja

TA =

3 0 00 1 00 0 −3

a matriz associada a um operadorT : R3 → R3, relativamente à baseA. Determine a expres-

são analítica que defineT .

12. Verifique se os operadores lineares a seguir são operadores invertíveis e/ ou ortogonais:

(a) T : R2 → R2 definido porT (x, y) = (3x+ 2y,−2x+ 3y);

(b) T : R3 → R3 definido porT (x, y, z) = (2x+ y, x+ y + z, y − 3z);

(c) T : R3 → R3 definido porT (x, y, z) = (2x+ y, x+ 2z, x+ y − 2z).

(d) T : R3 → R3 definido porT (x, y, z) = (z,

√3/2x− 1/2y, 1/2x+

√3/2y).

13. Indique um exemplo de um operador linear simétrico, justificando a sua escolha.

14. Considere a transformação linearf : R2 → R3 definida porf(x, y) = (3x, y,−y) e as bases

A = {(1, 2), (−2, 3)} eB = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0,−1, 0)} deR2 e deR3, respetivamente.


(a) Indique, justificando, uma base deR2 que contenha o vetor(2,−1);

(b) Determine as componentes def(1, 2) em relação à baseB e indique a matriz[f ]AB;

(c) CalculeNuc(f) e conclua sef é injetiva.


1. Verifique se as aplicações a seguir são lineares:

(a) A aplicaçãoT não é linear;

(b) A aplicaçãoT é linear;

(c) A aplicaçãoT é linear;

(d) A aplicaçãoT não é linear;

2. Núcleo e imagem deT :

(a) Nuc(T ) = {(x, 10x, 3x) : x ∈ R}, Im(T ) = R2;

(b) Nuc(T ) = {(0, 0)} ; Im(T ) = {(x, y, z) ∈ R3 : 6x− 3y − 2z = 0}

(c) Nuc(T ) = {(0, 0)}, Im(T ) = R2.

3. T : R3 → R2 é definida porT (x, y, z) = (z, y − x).

4. Matrizes da transformação

(a) [T ] =

[

1 1 20 2 1

]

(b) [T ]AB =

[

1 0 13 3 1

]

.

5. T−1:

(a) T−1(x, y) = (−y,−1/2x− 1/2y);

(b) T−1(x, y, z, t) = (t, z, y, x).

6. T é um isomorfismo eT−1(x, y, z) = (y,−1/3x+ 1/3z, 1/3x− y + 2/3z).

7. T (x, y) = (x+ y, x− y, 2y − x):

(a) [T ] =

1 11 −1−1 2

;

(b) A matriz [T ]AB =

−2 20 −41/2 −7/2

;

(c) [T (v)]B = [T ]BA · [v]A = (−10/7, 4/7, 4/7).


8. T (x, y) = (4/5x+ 2/5y, 2/5x+ 1/5y).

9. dim(N(T )):

(a) dim(N(T )) = 3;

(b) dim(N(T )) = 2;

(c) dim(N(T )) = 0, isto é,N(T ) = {(0, 0, 0, 0)};

10. f : R2 → R3.

(a) f(x, y) = (3x, x,−5y);

(b) f(2,−1) = (6, 2, 5);

(c) Nuc(f) = {(0, 0)}.

11. T (x, y, z) = (3x, y, 6x− 4y − 3z).

12. Operadores lineares invertíveis e/ou ortogonais?

(a) T é invertível, mas não é ortogonal;

(b) T é invertível, mas não é ortogonal;

(c) T não é invertível, logo não é ortogonal.

(d) T é invertível e ortogonal.

13. T : R3 → R3 definido porT (x, y, z) = (2x+ y, x+ y + z, y − 3z).

14. .

(a) .

(b) (f(1, 2))B = (3,−5,−7) e [f ]AB =

3 −6−5 9−7 6

;

(c) Nuc(f) = {(0, 0)}, logof é injetiva.

Capítulo 7

Valores e vetores próprios

Frequentemente a matriz de um operador linearf não é diagonal, mas em muitos dos casos po-demos determinar uma base diferente da base canónica onde a matriz [f ] é diagonal. Neste capítuloserá tratado o processo de determinar matrizes mudança de base a fim de obter uma representaçãodiagonal de um operador, chamado processo de diagonalização.

7.1 Definições e propriedades

Dado um operador linearf : E → E, vamos determinar que vetores se transformam num múltiplodeles próprios, isto é, queremos determinar os vetoresv ∈ E para os quais existeλ ∈ R tal que

f(v) = λv.

Definições 7.1.SejaE um espaço vetorial sobreR e sejaf : E → E um operador linear.

• Dizemos queλ ∈ R é umvalor próprioouautovalordef se existir um vetorv ∈ E | {0}, talquef(v) = λv.

• Seλ ∈ R é um autovalor def e v é qualquer vetor tal quef(v) = λv, então dizemos quev éumautovetorouvetor própriodef associado aλ.

Exemplo 7.2.Seja o operador linearf : R2 → R2, definido porf(x, y) = (x,−y).

Tem-sef(x, 0) = (x, 0), pelo que os vetores(x, 0), comx ∈ R | {0} são vetores própriosassociados ao valor próprioλ = 1.

Tambémf(0, y) = (0,−y) = −(0, y), pelo que os vetores(0, y), comy ∈ R | {0} são vetorespróprios associados ao valor próprioλ = −1.

O conjuntoEλ = {v ∈ E : f(v) = λv} de autovetores de um operador linearf associados aoautovalorλ é um subespaço deE.

Com efeito, considerando a matriz identidadeI, tem-seEλ = {v ∈ E : (f − λI)v = 0}, isto é,Eλ é o núcleo do operadorf − λI.

Definição 7.3.Sejaλ um valor próprio do operador linearf : E → E. Chamamossubespaçopróprio ouauto-espaçodef associadoλ ao espaço nulo def(v)− λv, isto é, ao conjunto

Eλ = {v ∈ E : f(v)− λv = 0}.

84 7. Valores e vetores próprios

Notar queλ é um autovalor def somente se o operadorf − λI é não injetivo. Como umaconsequência, tem-se:

Teorema 7.4.Seja o operador linearf : Rn → Rn, definido na base canónica deRn pela matriz

[f ]n×n. Entãoλ é autovalor def somente se

det([f ]− λIn) = 0.

Ao polinómiodet(f − λI)

na variávelλ, chamamospolinómio caraterísticodef e as soluções da equação caraterística

det(f − λI) = 0

representam os valores próprios def .

Exemplo 7.5. Seja o operador linearf : R2 → R2 do exemplo anterior, que podemos definir pela

matriz

[f ] =

[

1 00 −1

]

A equação caraterística

det(f − λI) = 0 ⇔ det(

[

1 00 −1

]

− λ

[

1 00 1

]

) = 0 ⇔ det(

[

1− λ 00 −1− λ

]

) = 0,

determina os valores própriosλ = −1 eλ = 1, já observados.

O conjunto dos vetores próprios associados ao valor próprioλ = 1 é dado por

E1 = {v ∈ R2 : f(v) = v} = {(x, y) ∈ R

2 : (x,−y) = (x, y)} = {(x, 0) : x ∈ R}.

O conjunto dos vetores próprios associados ao valor próprioλ = −1 é dado por

E−1 = {v ∈ R2 : f(v) = −v} = {(x, y) ∈ R

2 : (x,−y) = (−x,−y)} = {(0, y) : y ∈ R}.

Os conjuntosE−1 eE1 do Exemplo 7.5 são subespaços próprios deR2 associados aos valores

próprios−1 e1 do operadorf .

Neste exemplo, observamos que o determinante da matriz[f ] é igual ao produto dos seus valorespróprios.

Teorema 7.6.O produto dos valores próprios de uma matriz é igual ao seu determinante.

Exemplo 7.7.O operador linearf definido por

[

0 22 0

]

possui polinómio caraterístico

det(A− λI) = det(

[

0 22 0

]

−[

λ 00 λ

]

) = det(

[

−λ 22 −λ

]

) = λ2 − 4.

Os autovalores deT são determinados por resolução da equação caraterística

det(A− λI) = 0,

7.1. Definições e propriedades 85

isto é,λ2 − 4 = 0 ⇔ λ1 = 2 ∨ λ2 = −2.Observar queλ1 × λ2 = 4 = det([T ]).

O conjunto dos vetores próprios associados ao valor próprioλ = 2 é dado por

E2 = {(x, y) ∈ R2 :

[

−2 22 −2

]

·[

xy

]

= 0} = {(x, x) : x ∈ R}.

Calcule espaço próprioE−2.

Para determinar os valores e vectores próprios de uma matrizA = [aij]n×n, que define umoperador linear sobre um espaço vetorial de dimensãon, consideramos o seguinte procedimento:

Algoritmo 7.8. • Resolver a equação característica

|A− λI| = 0,

sendo as suas soluçõesλ1, λ2, . . . , λr (r ≤ n) os valores próprios deA;

• Para cadaλi comi = 1, · · · , r, determinar o núcleo do operador linear associado à matrizA− λiI, isto é, o espaço dos vetores próprios associados aλi,

Eλi= {v ∈ R

n : |(A− λi)v| = 0}.

Definição 7.9.A multiplicidade de cada raiz do polinómio caraterístico (cada valor próprio) diz-semultiplicidade algébricadesse valor próprio.

Definição 7.10.A dimensão do subespaço dos vetores próprios associados a umvalor próprio,diz-semultiplicidade geométricadesse valor próprio.

Exemplo 7.11.Determinemos a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica dos valorespróprios da matriz

A =

1 1 00 2 10 0 1

.

O polinómio caraterístico|A− λI| = (1− λ)2(2− λ) tem a raizλ = 1 de multiplicidade2 e a raizsimplesλ = 2, logoλ = 1 tem multiplicidade algébrica2 eλ = 2 tem multiplicidade algébrica1.

Os subespaços própriosE1 = {(x, 0, 0) : x ∈ R} e E2 = {(x, x, 0) : x ∈ R} têm ambosdimensão1, logoλ = 1 eλ = 2 têm ambos multiplicidade geométrica igual a1.

Propriedades 7.12.Dado um operador linearT : E → E, tem-se o seguinte:

• Cada vector próprio está associado a um único valor próprio, isto é, valores próprios distintosestão associados a vetores próprios distintos.

• A matrizA do operador linearT é singular somente se zero é valor próprio deA.


Exemplo 7.13.Seja o operador linearT : R3 → R3 definido em relação à base canónica deR

3

pela matriz

1 2 02 0 10 −4 1

.

Os valores próprios deT são dados por

det(

1− λ 2 02 −λ 10 −4 1− λ

) = 0 ⇔ λ = 0 ∨ λ = 1.

Observar queT não é invertível, porque[T ] é singular.

7.2 Matrizes diagonalizáveis

A diagonalização corresponde ao processo para transformaruma matriz ou operador diagonalizávelnuma matriz diagonal.

Exemplo 7.14.Seja o operador linearf : R2 → R2 definidof(x, y) = (x + y, 2y), cuja matriz

relativamente à base canónica é

[f ] =

[

1 10 2

]

.

Os valores próprios def sãoλ1 = 1 eλ2 = 2. Os subespaços dos vetores próprios são

E1 = {v ∈ R2 : f(v) = v} = {(x, 0) : x ∈ R}

eE2 = {v ∈ R

2 : f(v) = 2v} = {(x, x) : x ∈ R}.Os vetores própriosv1 = (1, 0) ev2 = (1, 1) associados a cada um dos valores próprios, formam

uma base deR2.Justificaremos a seguir que, a matriz[f ]B do operador linearf em relação à baseB = {v1, v2}

é diagonal e que os seus elementos principais são os valores próprios def , isto é,

[f ]B =

[

1 00 2

]

.

Como uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes, apropriedade a seguir garante a existência de bases constituídas por auto-vetores.

Teorema 7.15.Um conjunto de auto-vetores não nulos de um operador linear correspondentes aauto-valores distintos, é linearmente independente.

A propriedade a seguir relaciona o problema da diagonalização de uma matriz quadrada com osseus vetores próprios.

Teorema 7.16.Um operador linearf sobe um espaço vetorial de dimensãon é diagonalizávelsomente se temn vetores próprios linearmente independentes.

7.2. Matrizes diagonalizáveis 87

Assim, se a matriz[f ] do operador linearf : Rn → Rn tiver n vetores próprios linearmente

independentes, então o conjunto desses vetores corresponde a uma base ortogonal deRn.

Corolário 7.17. Uma matriz quadrada[f ] de ordemn é diagonalizável se tivern valores própriosdistintos.

Definição 7.18.Dizemos que um operador linearf : E → E é diagonalizável, se existir uma basedeE formada por autovetores def .

Em geral, seB = {v1, v2, . . . , vn} é uma base do espaçoE constituída por autovetores def , istoé, se

fvi = λivi, i = 1, · · · , n,então a matriz do operadorT : E → E, com relação a esta base, é definido pela matriz diagonal

[f ]B =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn

.

Lembrar que, duas matrizes quadradasM e N se dizemmatrizes semelhantesse existir umamatriz invertívelP , tal que

N = P−1MP.

Além disso, prova-se o seguinte:

Teorema 7.19.Duas matrizes quadradas são semelhantes se e só se representam a mesma transfor-mação linear.

Método para a diagonalização de uma matrizA = [aij]n×n

1. Determinarn vetores próprios linearmente independentesv1, v2, . . . , vn deA;

2. Considerar a matrizP , cujas colunas são os vetoresv1, v2, . . . , vn;

3. Calcular a matrizB = P−1AP semelhante aA, que é diagonal e cujos elementos principaissão os valores próprios deA.

Exemplo 7.20.Seja o operador linearf : R3 → R3, definido pela matriz

[f ] =

1 0 00 −2 12 0 3

.

A equação caraterísticadet([f ] − λI) = 0, tem soluçõesλ1 = −2, λ2 = 1, λ3 = 3, logo, f édiagonalizável.

Os vetores própriosv1 = (0, 1, 0) associado aλ1, v2 = (−3, 1, 3), associado aλ2 ev3 = (0, 1, 5)associado aλ3, formam a baseB = {(0, 1, 0), (−3, 1, 3), (0, 1, 5)} deR3. A matriz

D =

−2 0 00 1 00 0 3

.

é uma matriz diagonal semelhante a[f ].


No Exemplo 7.20, o operador linearf é definido pela matriz

[f ] =

1 0 00 −2 12 0 3

,

sobre o espaço vetorialR3. O conjuntoB = {(0, 1, 0), (−3, 1, 3), (0, 1, 5)} dos vetores própriosassociados aos valores própriosλ1 = −2, λ2 = 1 eλ3 = 3 de [f ], corresponde a uma base deR

3.

Notamos agora que a matriz[f ] e a matriz diagonalD (cujos elementos principais são os valorespróprios de[f ]) são semelhantes. Com efeito, verifica-se a igualdade:

−2 0 00 1 00 0 3

=

0 −3 01 1 10 3 5

−1

·

1 0 00 −2 12 0 3

·

0 −3 01 1 10 3 5

.

Matrizes semelhantes, além de terem o mesmo determinante, também verificam as propriedadesa seguir:

Propriedades 7.21.SejamA eB matrizes semelhantes. tem-se:

• A é invertível somente seB é invertível.

• A eB tem os mesmos valores próprios e com a mesma multiplicidade.


1. Determine os vetores e valores próprios do operador linear T : R2 → R

2, definido porT (x, y) = (x− 2y,−2x+ 4y).

2. Prove que o operadorT : R2 → R2, definido em relação à base canónica deR

2 por

[T ] =

[

2 30 2

]

,

não é diagonalizável.

3. Prove queλ = 3 é valor próprio da matriz

A =

1 2 −30 3 −4−1 1 5

.

Determine o subespaço próprio deR3 associado aλ = 3.

4. Determine quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine arespetiva matriz diagonal.


(a) A =

[

−2 21 −1

]

.

(b) B =

2 0 20 3 00 0 3

.

(c) C =

[

−1 32 0

]

.

(d) D =

−1 0 10 3 10 0 −2

.

5. Verifique sev = (5, 5) é um vetor próprio da matriz de reflexão em relação à retay = −x,

R =

[

0 −1−1 0

]

,

associado ao valor próprioλ = 1.

6. Calcule os valores próprios, os subespaços dos vetores próprios e indique um conjunto de trêsvetores próprios linearmente independentes da matrizA+ 2I, sendo

A =

1 0 00 0 10 1 0

.


B =

5 0 11 1 0−7 1 0

.

(a) Prove queB não é diagonalizável.

(b) Determine os subespaços vetoriais associados aos valores próprios deB e indique a suadimensão.


C =

1 2 00 4 40 0 7

.

(a) Verifique queC é diagonalizável.

(b) Determine uma matriz invertívelS e uma matriz diagonalD, tais queD = S−1CS.


1. λ1 = 0, λ2 = 5, E0 = {(2y, y) : y ∈ R} eE5 = {(x,−2x) : x ∈ R}.

2. T não é diagonalizável porque não tem dois valores próprios distintos e consequentementenão existe nenhuma base deR

2 definida por vetores próprios deT .

3. Provar que|A− 3I| = 0 e determinarE3 = {(x, x, 0) : x ∈ R}.

4. Matrizes diagonalizáveis e respetiva matriz diagonal.

(a) A é diagonalizável, porque tem dois valores próprios distintos. .


(b) B é diagonalizável, porque tem valores próprios2 e3, sendo3 raíz dupla.

(c) C é diagonalizável por

P =

[

−3 00 2

]

,

porque tem valores próprios−3, 2.

(d) D é diagonalizável por

P =

−2 0 00 −1 00 0 3

,

porque tem valores próprios−2,−1, 3.

5. Provar que existeλ ∈ R, tal queR · v = λv.

6. λ1 = λ2 = 3, λ3 = 1, E1 = {(x, y, y) : y ∈ R} eE3 = {(0, y,−y) : y ∈ R}.

7. .

(a) B não é diagonalizável porqueλ = 2 é raiz tripla da equação caraterística.

(b) E2 = {(x, x,−3x) : x ∈ R} tem dimensão1.

8. .

(a) .

(b) S =

1 2 40 3 120 0 9

eD =

1 0 00 4 00 0 7

.

Bibliografia

[1] R., Harshbarger e J., Reynolds,Matemática Aplicada,Administração, Economia e Ciências so-ciais e Biológicas, McGraw-Hill (2006).

[2] G, Strang,Linear Algebra and its Applications, Harcourt Brace Jovanovich College Publishers(1986).

[3] E., Giraldes, M Smith e V., Fernandes,Álgebra linear e Geometria Analítica, McGraw- Hill(1995).

[4] L., Magalhães,Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, Texto Editora (1989).

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