I N S T I T U T O D E P E S Q U I S A S E N E R G É T I C A S E N U C L E A R E S SECRETARIA DA INDÚSTRIA, COMÉRCIO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SAO PAULO

S O L U Ç Ã O D A E Q U A Ç Ã O D E T R A N S P O R T E L I N E A R , M O N O E N E R G É T I C A E M M U L T I - R E G I Õ E S C O M E S P A L H A M E N T O A N I S O T R Ó P I C O

A T R A V É S D O M É T O D O FN

Elizabeth May Braga DulIey Pontedeiro

Dissertação apresentada ao Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares como parte dos requisitos para a obtsnçfto do Grau de IMeatre • Área de Reatores Nucleares de Potência e Tecnologia do Combustivel Nuclear".

Orientador Dr. José Rubens Maiorino

Sâo Pauto 1982

INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES

SECRETARIA DA INDUSTRIA, COMÉRCIO, CIENCIA E TECNOLOGIA

AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SAO PAULO

SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE TRANSPORTE LINEAR, MONOENERGÉTICA

EM MULTI-REGlOES COM ESPALHAMENTO ANISOTRÓPICO

ATRAVÉS DO MÉTODO

Elizabeth May Braga DulIey Pontedeiro

Orientador: Dr. José Rubens Maiorino

Dissertação apresentada ao Instituto de

Pesquisas Energéticas e Nudrares como

parte dos requisitos para a obtençio do

grau de "Mestre — Área de Reatora

Nucleares de Potência e Tecnologia do

Combustível Nuclear".

L 1 " '- '

A meus pais , Paul W.Dulley e Eunice B. Dulley e a meu marido Auro

AGRADECIMENTOS

- Ao Instituto de Pesquisas Energéticas e Nuclea

res pelo apoio material e financeiro.

- Ao PRONUCLEAR pelo apoio financeiro prestado.

- Ao Instituto da Radioproteção e Dosimetria, na

pessoa do Dr. Carlos Eduardo Veloso de Almeida, que possibi^

litou o término deste trabalho.

- Ao Dr. José Rubens Maiorino, pela amizade, in

centivo e valiosa orientação demonstrada na execução deste

trabalho.

- Ao colega Mitsuo Yamaguchi pela grande ajuda

na parte computacional.

- Ao Centro de Processamento de Dados do IPEN na

I pessoa do Sr. Gelson Toshio Otami pelas sugestões dadas. <*

- Aos colegas Arlindo Gilson Mendonça e José Luiz

Batis^ta pelo apoio e incentivo.

- Ao grupo de apoio computacional da CNEN pelo

auxílio computacional prestado.

- A Sra. Eliane Sarmento de Melo pelo trabalho de

datilografia.

- Aos colegas do Centro de Engenharia Nuclear pe

Io apoio, críticas e discussões.

Solução de Equação de Transporte Linear, Nfonoenergé-

tica em Milti-regi5es com Espalhamento Anisotropico

através do Método Fj .

ELIZABETH MAY BRAGA DULLEY PONTEDEIRO

RESUMO

Este trabalho tem por objetivo a resolução da e

quação de transporte linear, em geometria plana, monoenergé

tica, com espalhamento anisotropico, em multi-regiões, atra

vês do método Fj^. Com esse intuito, um conjunto de equações

é derivado e um programa de computador, feito em linguagem

FORTRAN IV, é confeccionado a fim de se obter resultados nu

méricos.

O programa de computação (Modulo FNAM-1) possibi^

lita um número máximo de 20 regiões, com ordem máxima de a

proximação igual a 10. A ordem limite de espalhamento em

cada região é L=30 , e as condições de contorno permitidas

são (em ambas as faces) : superfície livre, incidência cos

senoidal, incidência isotropica, refletividade especular e

difusa e incidência monodirecional, sendo que esta última

somente para face esquerda.

Os dados de entrada necessários são : ordem da a

proximação Fj , número médio de partículas secundárias em

cada região, fontes externas, grau de anisotropia em cada

região, a espessura ótica da região, tipo de condição de

contorno nas faces externas e os coeficientes da função"trans^

ferência em cada região.

O modulo possibilita cálculos como albedo, fator

de transmissão, fluxo e corrente total, fluxo angular nas

I N S T I T U T O DE PE SQU -S Ag E RG É^ IC • « E N UCI P ARE S I. P E. N.

interfaces e fator de desvantagem térmica (no caso de cálcu

, los celulares), sendo que neste trabalho apresenta-se resu]^

tados numéricos para estas grandezas, usando-se o modulo ,

para vários problemas padrões.

Solution of the Linear Transport Equation, Monoener

getic, in Multiregions with Anisotropic Scattering

by the Method F^.

ELIZABETH MAY BRAGA DULLEY PONTEDEIP.O

ABSTRACT

This work has as a goal the resolution of the linear transport equation, in slab geometry, monoenergetic, with anisotropic scattering, in multiregions, by the method Fj . For this porpose , a group of equations is derivated and a computer program is made, in the FORTRAN-IV language, in order to get numerical results.

The computer program (FNAM-1 Module) makes possible a limit number of 20 regions, with the maximal apro ximation order equal to 10. The limit order of scattering in each region is L = 30 , and the permitted boundary condj^ tions are (in both sides) : free surface, cosine incidence, isotropic incidence, especular refletivity and difuse and monodirectional incidence, being this last one just to the left side.

The input data must be : Fj aproximation order, average number of secondary particles in each region, exter nal sources, level of anisotropy in each region, optical thickness of the region, type of boundary condition at the boundaries and coefficients of the transfer function in each region.

The program makes possible to calculate albedo, transmission factor, total flux and current, angular flux at the boundaries and the disadvantage factor (in the case of celular calculus). Numerical results to these factors are shown, using the FNAM-1 Module, for several standard problems in this work.

ÍNDICE

Pag,

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO 1

CAPÍTULO II

REVISÃO DE LITERATURA 10

CAPÍTULO III

OBJETIVOS E DIVISÃO DO TRABALHO 16

CAPÍTULO IV

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DESENVOLVIMENTO

ANALÍTICO 18

4.1 - Formulação do Problema 18

4.2 - Análise e Desenvolvimento 23

CAPÍTULO V

RESULTADOS NUMÉRICOS

5.1 - Problemas Padrão 43 5.2 - Análise de Resultados 62

CAPÍTULO VI

CONCLUSÃO E SUGESTÕES 64

BIBLIOGRAFIA 65

APÊNDICE A

A.l - Equação de Boltzmann 73

A. 2 - Autovalores 80

pâg,

A.3 - Modificação na computação dos po

linômios g^C"^) e das funções

A^^^ (v). B^^^ ( V ) para grandes

valores de v e dos coeficientes

contínuos A(± 87

A.4 - Desenvolvimento analítico das

funções de interesse no método

APÊNDICE B

B.l - Diagrama de bloco e dados de en

trada do FNAM-1 97

Manual de instruções para usuário. 100

B.2 - Listagem do programa e cartões de

controle 105

B.3 - Problemas Amostra e resultados

obtidos 146

I . S T I T U T O O E P e S O U ^ S . B E . E R G É T t C S E N U C L E A R E S

INDICE DE FIGURAS E GRÁFICOS

Pag.

Figura 1 19

Figura 2 34

Figura 3 44

Figura 4 45

Figura 5 45

Figura 6 47

Figura 7 ' 49

Figura 8 51

Figura 9. 53

Figura 10 56

Figura 11 56

Figura 12 58

Figura 13 61

Figura 14 146

Figura 15 ^46

GRÁFICO I 55

GRÁFICO II 55

GRÁFICO III 59

GRÁFICO IV 60

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

Teoria de Transporte é a descrição matemática da

migração de partículas, ou radiação, através de meios mate

riais. Uma vez que não se pode especificar a posição e velo

cidade de cada partícula individualmente, devido ao número

colossal destas, a equação de transporte baseia-se no com­

portamento médio de uma população de partículas.

Os processos de transporte podem envolver diferen

tes tipos de partículas, tais como, neutrons, moléculas de

gâs, ions, elétrons, fotons ou ondas. Assim as principais a

plicações diretas da teoria de transporte são no estudo e

projeto de reatores nucleares, projetos de blindagens para

reatores, na astrofísica (difusão da luz em atmosferas es

trelares e penetração da luz em atmosferas planetárias) , di

nâmica dos gases rarefeitos (propagação do som e difusão de

moléculas nos gases) e física do plasma (teoria cinética do

plasma).

Historicamente a equação de transporte foi intro­

duzida por Boltzmann em 1S72, sendo em sua forma mais ge­

ral, uma equação integro-diferencial não linear. Contudo,pa

ra descrever o transporte de partículas não carregadas (co

mo fotons e neutrons), é possível utilizar-se a equação de

Boltzmann linearizada, a qual é adequada a esse tipo de pro

blema (vide Apêndice A-1).

Na primeira parte deste século investigações de

transferência da radiação através de atmosferas estrelares le

vou a estudos elementares da Equação de Transporte. Entre

tanto, nenhum progresso matemático realmente importante foi

feito até a solução do chamado "problema de Milne" por

Wiener e llopf em 1931 /7.y. Com a descoberta do neutron, o

interesse na teoria de transporte £oi estimulado devido a

necessidade do desenvolvimento dos reatores nucleares e da

grande urgencia de obter-se resultados numéricos da equação

de Boltzmann. Tal necessidade resultou em vários métodos de

solução "aproximada" da Equação de Transporte / 3/.

Uma vez que o comportamento de um reator nuclear

é governado pela distribuição no espaço, energia, direção e

tempo dos neutrons no sistema, o problema central da teoria

do reator é predizer essa distribuição.

Teoricamente o problema da teoria do reator pode

ria ser solucionado inserindo-se na equação de transporte um

conjunto completo de seções de choque apropriadas, as quais

representassem as probabilidades de interação do neutron com

o sistema, e usar-se um método de solução para obtenção de

resultados numéricos. Porém, na prática isto prova não ser

possível, uma vez que a variação das seções de choque do

neutron com a energia é extremamente complexa, o que difi

culta o tratamento matemático para a solução da Equação de

Transporte /13/.

Desta forma, alguns dos primeiros trabalhos em

Teoria de Transporte foram concebidos com a distribuição de

partículas somente no espaço e angulo, removendo-se a depen

dência energética por integração. Por essa razão, foi deno

minada teoria a uma velocidade. Essa aproximação, apesar de

não ser muito precisa, tem sua importância baseada no fato

que é um método conveniente para resolver problemas auxilia

res / 9/.

Para aplicação em projetos de reatores, desenvol^

veu-se inicialmente uma versão simplificada da Teoria de

Transporte, conhecida como Teoria de Difusão /38/. Nesta a

proximação considera-se os neutrons como um "fluído", des^

crevendo-se apenas a distribuição espacial dos mesmos, e im

pondo-se uma direção preferencial para as partículas atra

I N S t I T U T O ÒE P E S O U i S A S E \ E R ô É TlC 8 E N U C L F A f ? E S

I. P. E. N.

vês da Lei de Pick. A teoria de difusão oferece bons resuj^

tados para grandes distâncias, falhando para cálculos de

pequenos sistemas ou perto de fontes e fronteiras.

Contudo, para aplicação em cálculo do transporte

de radiação em blindagem (deep penetration problems) neces^

sita-se métodos mais precisos, baseados em considerações mais

exatas acerca da migração de neutrons. Assim, usa-se a E

quação de Boltzmann para esses cálculos, uma vez que neces^

sita-se conhecer a distribuição de partículas na superfí^

cie da blindagem. Desta forma, na medida em que a teoria

de difusão assume espalhamento isotropico e não leva em

consideração a componente angular do campo de radiação en

tão não ê conveniente na solução de problemas de transpor

te aplicados a blindagem, onde ê necessário levar-se em

conta a componente espalhada, a qual ê altamente anisotro

pica em problemas de penetração profunda.

No que concerne ã obtenção de soluções da Equa­

ção de Transporte, vários métodos foram desenvolvidos. No

tratamento da dependência energética, pode-se tratar a ener

gia como uma variável contínua, o que dificulta a obtenção

de soluções rigorosas, uma vez que os parâmetros nucleares

possuem complicada dependência energética. Um procedimento

comum, nesse caso, é expandir-se os termos dependentes da

energia em polinómios, tendo o mesmo intervalo de variação

que a energia, isto é, de zero a infinito, e que sejam or

togonais, como por exemplo os polinomios de Hermite ou La

guerre / 1 , 21 /.

Outro método utilizado é o de "multigrupos", no

qual o intervalo de energia de interesse dos neutrons ê ài

vidido em um número finito de sub-intervalos (grupos). As

sume-se então que as seções de choque em cada grupo são

constantes, isto é, possuem um valor médio sobre o interva

lo de energia.

Para tratamento da dependência angular do fluxo,

expande-se este em um conjunto completo de funções elementa

res, tais como uma série de polinomios. Em geral usa-se har;

mônicos esféricos, mas no caso particular de geometria pia

na ou esférica tal expansão pode ser reduzida a polinomios

de Legendre. Dentre os métodos matemáticos que utilizam es

se tipo de aproximação pode-se citar o "método Pj^" /44/, o-

qual utiliza uma expansão finita de polinomios de Legendre

truncada na ordem (N+1). Neste método, a equação integro-

diferencial é transformada, devido a aproximação acima de¿

crita, em um conjunto de (N+1) equações diferenciais acopla

das para os coeficientes da expansão polinomial, as quais

são solucionadas por técnicas convenientes.

O método Pj apresenta bons resultados numéricos

quando aplicados a problemas simples, em geometria plana e

esférica. Em geral, contudo, apenas as aproximações de 0 £

dem ímpar são consideradas, por apresentarem melhores resul^

tados. Dentre os códigos que utilizam essa técnica, pode-

se citar o modulo MPN-í /74/, que soluciona a Equação de

Transporte em geometria plana, com multi-regiões e ordem de

espalhamento anisotropico geral.

Para obter-se soluções numéricas da equação de

Boltzmann pode-se usar o método de ordenadas discretas ou

Sj / 7/, o qual tem sido utilizado com frequência nos codj^

gos empregados em cálculos de reatores. A base essencial do

método é que a distribuição angular é calculada em um núm£

ro de direções discretas, ao invés de usar harmônicos esfé

ricos. Na solução de problemas práticos pela técnica de or

denadas discretas, uma variável discreta da energia é intro

duzida através da aproximação de multigrupo, e uma malha de

espaços discretos é usado para as coordenadas espaciais.Des^

ta forma, todas as variáveis independentes da Equação de

Transporte são tratadas como discretas.

O método Sj apresenta algumas vantagens, na medi­

da em que pode ser utilizado para geometria esférica, plana

ou cilíndrica, e dependendo da sofisticação desejada, os

i N S r i T U l O DE P E S O U S * S E N . f R G È T l C ' ; 6 E N U C L F A R E !

I. P . E . N. '

cálculos Sj são fáceis de preparar. Os cálculos unidimensio

nais são mais rápidos (em tempo de computador) que o método

de Monte Cario. Entretanto, a convergencia do procedimento

terativo não é sempre uniforme e bem definida, necessitando

que se determine, apos cada iteração, o máximo erro no flu

xo escalar. Além disso, aberrações no fluxo são frequentemen

te observadas em duas dimensões , devido a fontes localizadas

e ã propagação de neutrons em direções discretas (ray effect )

/21/ .

Dentre os códigos computacionais que fazem uso da

técnica de ordenadas discretas e que utilizam método de mul^

tigrupos, pode-se citar o código ANISN / 2 2 / e o DTF-IV /+8/,

os quais podem ser usados diretamente para o transporte de

neutrons e gamas em geometria cilíndrica, esférica ou plana

unidimensional, com ordem de espalhamento anisotropico g£

ral, oferecendo uma grande variedade de opções de condição

de contorno e opções de fonte. A duas dimensões tem-se os

códigos DOT e TWOTRAN /49/, com características similares

aos citados acima.

Outro método numérico de solução da Equação de

Transporte que recentemente tem sido bastante usado, é o mé

todo de elementos finitos. Este método permite reduzir o nu

mero de pontos de malha e representar qualquer geometria com

plexa em detalhe, sem usar um número excessivo de nos na ma

lha.

A essência do procedimento , em elementos finitos, é

dividir a região sob consideração em um numero finito de

regiões , geometricamente simples, denominados "elementos f^

nitos". Adota-se, então, a técnica de Ritz-Galerkin / 5 1 /

com o funcional expandido em termos de funções bases, as

quais são polinómios contínuos por partes (definidos para

cada malha).

Inicialmente chamado TRIPLET, o TRIDENT / 2 1 / foi

o primeiro código a empregar o método de elementos finitos.

nie combina técnica de ordenadas discretas para o ângulo

com o esquema de elementos finitos para a varlaj^cl espacial.

Na solução do processo de transporte pode-se tam

bem aplicar o método de Monte Cario, que é a simulação de

um problema físico ou matemático, através da técnica de a

mostragem estatística. Em resumo, este consiste na amostra

gem aleatoria de eventos distribuidos de acordo com uma dis

tribuição de probabilidades, a qual usualmente representa uma

situação física, e através de técnicas estatísticas conve

nientes estima-se as respostas requeridas.

Em cálculos de transporte de neutrons, a aplicaba^

lidade da técnica de Monte Cario /7l/ vem do fato que a se

cao de choque macroscópica pode ser interpretada como uma

probabilidade de interação por unidade de distancia percor­

rida pelo neutron. Assim, nesse método um conjunto de his^

tórias de neutrons é gerado, seguindo-se cada partícula in

dividualmente ao longo de sucessivas colisões. A técnica de

Monte Cario tem demonstrado ser poderosa principalmente em

geometrías complexas.

O método acima descrito apresenta incertezas, as

quais são devido ã limitação que existe no número de histó

rias examinadas, decorrentes das limitações na capacidade dos

computadores digitais / 21/. Em códigos que solucionam a Equa

ção de Transporte através de Monte Cario, pode-se citar o

MORSE, que é extremamente geral e flexível, capaz de descre

ver transporte de neutron e radiação gama ou neutron-gama a

copiados, em geometrías arbitrárias. Este código utiliza

ainda, técnica de multigrupo, e tem grande aplicação no cál^

culo de ambiente de radiação na contenção de reatores nu

cleares /40/.

Também há os códigos,TART, baseado no formato de

multi-grupo, embora um tratamento contínuo da energia, para

emissão de neutrons secundários, é incluido e o KENO-IV que

é próprio para cálculo de criticalidade, também baseado na

técnica de multigrupo.

O método dos momentos foi formulado por Spencer e

Fano e foi a primeira técnica a ser aplicada com sucesso pa

ra transporte de raios gama, com aplicação em blindagem. O

uso do método, na solução da Equação de Transporte, é limi­

tado quanto a configuração de fontes e ã geometria da blin

dagem, sendo o método dos momentos usualmente aplicado em

meios homogêneos infinitos com fontes planas, pontuais ou

lineares / 73/.

A técnica acima citada permite o calculo dos fato

res de crescimento, que então podem ser usados para corri­

gir a componente penetrante do fluxo. RENUPAK é um dos codi^

gos computacionais que usa o método dos momentos para solu

cionar a equação de Boltzmann em meio infinito homogêneo,ba

seado na técnica de multi-grupo, com fontes pontuais de fis^

são e em geometria esférica /21/.

A vantagem obtida pela solução aproximada da Equa

ção de Transporte em problemas complexos, é diminuida pela

precisão numérica conseguida. Além disso, é de importância

obter-se soluções rigorosas da equação de Boltzmann, mesmo

que restritas a problemas simples, na medida em que os re­

sultados obtidos por soluções matematicamente exatas permi^

tem uma comparação entre os vários métodos aproximados, a

través de problemas padrão.

Soluções rigorosas da Equação de Transporte podem

ser obtidas através do método de Transformada de Fourier / 3/,

ou pelo método de Case /45/. A idéia básica deste último mé

todo é construir um conjunto completo de auto-funções ou

seja, a solução homogênea é expressa como uma combinação li

near de modos normais, e uma solução particular apropriada é

proposta para o termo não homogêneo de interesse. Os coefi­

cientes da expansão são determinados de forma que a solução

completa satisfaça as condições de contorno para o problema ,

usando-se as propriedades de ortogonalidade destas auto-

funções.

O método de Case (ou de auto-funções singulares )

é também denominado método "exato", pois fornece soluções

analíticas do problema, servindo como teste de aproximações

da Teoria de Transporte. Além disso, o método fornece infor

mações sobre fenômenos que ocorrem na fronteira do reator ,

como a determinação precisa da "distância extrapolada".

Um outro método de solução de problemas de trans^

porte, conhecido como "invariant imbedding", foi introduzj^

do por Ambarzumian e Chandrasekhars/73/, com o intuito de

resolver problemas sobre a reflexão difusa da luz em atmos­

fera estrelar. Esse método é radicalmente novo na formulação

de problemas de transporte, uma vez que não utiliza a equa­

ção de Boltzmann. Em essência, consiste na formulação de e

quações integrais para as funções que descrevem a reflexão

e a transmissão da radiação com base nos princípios da inva

riança. Este foi generalizado para neutrons, devido ao tra

balho de Bellman e Kalaba / 4/. Um dos códigos que utiliza

essa técnica é o SLDN, específico para calculo de blindagem ,

utilizando método de multigrupos para uma dimensão. O meto

do também ê aplicável a outras radiações, como neutron e ga

ma, sendo utilizado na engenharia nuclear na solução de pro

blemas ligados a projetos de blindagem de reatores /21/.

Recentemente, Siewert e colaboradores desenvolve­

ram um novo método aproximado, denominado método ¥^ (F de

fácil) / 4 V . O método usa parcialmente a técnica de Case pa

ra derivar um conjunto de equações singulares para as di£

tribuições angulares nos contornos, e então essas distribui^

ções são aproximadas por um polinomio de ordem N para deri^

var-se um conjunto de equações algébricas lineares para os

coeficientes da expansão polinomial.

O método acima descrito é de valor na resolução

de problemas de transporte de radiação, apresentando a van

tagem da análise matemática ser simples, apresentando resul^

I N S T I T U T O Oe P E S Q U S A S E'M E R G E^^tC • S E NUd . T A R E S

I. P . E, N.

tados numéricos tão precisos quanto as técnicas que forne

cem "soluções exatas". Contudo, como o ¥^ faz uso da técn^^

ca de Case para solucionar a Equação de Transporte, a sua

aplicação torna-se restrita a problemas com geometria pia

na ou a geometrias que possam ser reduzidas a geometria pia

na.

10

CAPITULO II

REVISÃO DE LITERATURA

Neste capítulo uma revisão dos principais traba

Ihos em Teoria de Transporte é apresentado de maneira sucin­

ta, dando-se ênfase maior aos trabalhos que utilizaram o mé­

todo Fjj.

Os primeiros trabalhos referentes ã Teoria de

Transporte foram iniciados na primeira parte deste século ,

visando as aplicações no transporte da radiação luminosa em

atmosfera planetarias e estrelares (transferência radiati­

va) . Dentre varios outros trabalhos, citam-se os de Milne /47/,

Ambarzumian / 2 / , Schwarzschild /58/, e o clássico trabalho

de Eddington /20/. Uma excelente revisão dos problemas clâs^

sicos, em transferência radiativa, e os métodos de solução

destes, pode ser encontrada no livro de Chandrasekhars /12/.

Com a construção dos primeiros reatores nuclea

res, resultados numéricos através da solução da equação de

Boltzman se fizeram necessários, dando origem aos métodos a

proximados. Dentre estes, o primeiro a ser usado foi a Teo

ria de Difusão, onde uma descrição geral e aplicações em fí

sica de reatores pode ser encontrada, entre outros, nos li­

vros de Lamarsh /38/ , e Dudersdat /16/.

Outros métodos usados em Teoria de Transporte

foram desenvolvidos, tais como método Pj^/44/ devido a Mark ,

método DPj^ /76/ devido a Ivon, e o Sj / 7/ ou ordenadas dis­

cretas, devido a Carlson. \M resumo destas e outras técnicas aproxi­

madas de solução da equação de Boltzmann podem ser encontra­

das nos livros de Bell e Glasstone /3/, Davison /13j e

Dudersdat e Martin /17/. Além destes textos básicos, uma ex

posição dos primeiros métodos usados em Teoria de Transpor-

11

te com aplicação na difusão de neutrons, pode ser encontra

da na monografia de Case, Hoffmann e Placzek/10/.

Soluções analíticas da equação de transporte fo

ram obtidas por Case /9 / em 1960. O método proposto con

siste em se construir um conjunto completo de auto-funções

ortogonais, sendo a solução do problema expressa.por uma

combinação linear destas auto-funções com coeficientes ar

bitrârios, que podem ser determinados a partir de condições

de contorno e de propriedades de ortogonalidade das auto-

funções. Uma excelente revisão da técnica de Case pode ser

encontrada nos livros de McCormick e KUscer /45/, e de Case

e Zweifel / H / .

A partir do trabalho de Case, centenas de pu

blicações foram feitas usando este método, visando a apli­

cação e a generalização em diferentes geometrias, em pro

blemas dependentes do tempo e aplicação em multigrupo. Den

tre os vários trabalhos citam-se,em um grupo de energia ,

os de Zelcizny /77/, Pahor /53/, KUscer e 2,weifei/36/, Shure

e Natelson /59/, McCormick e KUscer /45/; em outras geome­

trias diferentes da plana, citam-se os trabalhos de Mitsis/4o/

e Erdmann e Siewert /23/, em problemas dependentes do tempo

o de KUscer e Zweifel iZbl, e em multigrupos os de Metcalf

e Zweifel /46/ Reith e Siewert /Sb/, Siewert e Ishiguro/66/,

Ishiguro /32/, Ishiguro e Maiorino /35/ e Yoshimura e

Katsuragi /75/.

Um método aproximado da equação de transporte,

que possue semelhança com o método , é o denominado ,

introduzido por Benoist e Kavenoky / 5/, os quais aplica

ram este método em geometria plana e uma velocidade.

Em 1977, Ishiguro /33/, Ishiguro e Garcia /34/

resolveram o problema de multi-regiões para um e dois gru

pos de energia, em geometria plana, usando um novo método

(método da regularização das equações integrais singulares)

apresentando resultados para um e dois grupos de energia.

12

O método Fj £oi introduzido por duas publica­

ções simultaneas, onde Siewert e Benoist /62/ apresenta

ram a teoria do método e em seguida Grandjeane Siewert/30/

aplicaram a técnica para resolver problemas básicos,co

mo o problema clássico do albedo e o problema da fonte con£

tante, bem como o cálculo do albedo para uma placa finita

Nesse mesmo ano, Siewert /61/ publicou um trabalho onde

problemas em transferência radiativa, com geometria plana

e espalhamento anisotropico são solucionados através des

sa técnica, porém sem publicar resultados numéricos.

Apos essas publicações, várias outras as se

guiram, onde o método F ^ foi utilizado para solucionar di

versos problemas em Teoria de Transporte.

Soluções da equação de Boltzmann com espalha­

mento anisotropico, usando o Fj , foram apresentadas por

Siewert, Ishiguro, Grandjean e Devaux /14/, onde grande­

zas como albedo e fator de transmissão foram calculados

para multi-regiões com geometria plana. Pela primeira vez

Maiorino e Siewert /67/ usaram a nova técnica a fim de

estabelecer a intensidade média de corrente, e fluxo no

interior de uma esfera finita com uma fonte puntual de ra

diação localizada no centro da esfera. Nesse mesmo ano ,

Siewert, Yuan e Devaux /15/ apresentaram o formalismo ne

cessãrio para solucionar, através do método problemas

em transferência radiativa sem simetria azimutal, em geo

metria plana. Nessa publicação, considerou-se apenas uma

região, com incidência monodirecional e resultados da dis^

tribuição angular nas interfaces foram tabulados.

A seguir, Neshat e Maiorino /50/ utilizaram

a nova técnica a fim de solucionar o problema de critica­

lidade para um reator de placas planas com um refletor fi

nito. Resultados numéricos para espessura crítica e espe_s

sura do refletor são mostradas, para diferentes ordens de

aproximação e diferentes valores do número médio de neu­

trons secundários por colisão. A seguir Maiorino e Siewert/41/

13

apresentaram resultados para o problema crítico num reator

a tres regiões e para o fator de utilização térmica também.

O método foi também aplicado a fim de se computar o

fluxo de calor líquido radiativo, relevante em transieren

cia de calor por radiação, em meios espalhadores anisotro­

pico, em geometria plana e com reflexão especular e difusa

nos contornos, publicação feita por Siewert, Maiorino e

Ozisik /70/.

Maiorino e Siewert /43/ estabeleceram em seguj^

da, resultados numéricos básicos para estudos do transpor

te de luz polarizada em atmosferas finitas através da téc

nica Fj^. Fernandes e Ishiguro /24/ utilizaram o método pa

ra solucionar um problema em geometria plana, com tres re

giões para um e dois grupos de energia, embora os resulta

dos para dois grupos não tenham sido considerados satisfa­

tórios .

Em 1980, Dunn e Maiorino /18/ investigaram cer

tas características da formulação inversa da equação de

Boltzmann com espalhamento anisotropico, em transferencia

radiativa. Especificamente, soluções aproximadas para o

problema direto foram construídas pelos métodos Fj e Monte

Carlo, sendo empregado diversos esquemas numéricos a fim

de demonstrar-se características computacionais para o cal

culo do problema inverso. Neste trabalho concluiu-se que o

albedo para espalhamento simples pode ser calculado com

precisão, mas para leis de espalhamento de alta ordem tor

na-se mais difícil de se obter bons resultados.

Nesse mesmo ano, Siewert e Maiorino fizeram duas

publicações, onde a técnica F-^ é usada para solucionar, de

maneira concisa, o problema completo concernente ã difusão

de luz polarizada em uma atmosfera planetária com espalha­

mento tipo Rayleigh e isotropico /68/, assim como a solu

ção para um problema de uma atmosfera finita com refle

xão de Lambert nos contornos fóS/, onde valores do coefici

14

ente de reflexão são calculados bem como albedo para espa

lhamento simples (problema inverso).

cálculos para problema em multi-regiões, na teo

ria de difusão de neutrons , foram feitos por Garcia e

Siewert /28/, onde resultados do fluxo para um problema pa

drão de quatro regiões são apresentados, e comparados com

o método "exato".

No campo da dinâmica dos gases rarefeitos

Siewert, Garcia e Grandjean / 65/ usaram o método para

estabelecer uma solução concisa e precisa para o escoamen

to de um gás rarefeito entre dois planos paralelos. O mode

lo usado foi o de Bhatnagar, Gross e Krook (BGK), para

descrever o fenômeno físico, e resultados numéricos da ta

xa de fluxo foram apresentados para uma extensa faixa do

numero de Knudsen.

Solução e resultados numéricos foram estabel£

eidos por Siewert e Garcia /64/ para o albedo e distribui^

ção de radiação de fuga relevante para um meio espaço semó^

infinito com um albedo para simples espalhamento variando

exponencialmente. Nessa publicação, a aproximação ¥^ ini

cialmente introduzida foi modificada, a fim de se obter me

lhores resultados. Desta maneira, fazendo uso da nova apro

ximação, um trabalho foi publicado por Siewert, Garcia e

Pomraning /26/ aplicando o método em teoria cinética do

plasma. Assim sendo, o modelo linear da equação de Boltzmann

adequada ao transporte de átomos neutros de hidrogênio em

um plasma foi solucionada. As condições de contorno consi­

deradas foram de reflexão nos contornos , com o termo de in

cidência considerado conhecido. Apresentou-se resultados nu

méricos para problema do meio espaço e placa finita.

Finalmente Siewert e Benoist / 63/ mostraram que

o método Fj pode ser aplicado a problemas de multigrupo

onde a teoria desenvolvida para moderação de neutrons, ou

transporte de radiação gama, reduzindo-se o problema acima

15

a uma seqüência de problemas a uma velocidade. Desta mane^^

ra, torna-se evidente a vantagem do Fj em relação a técni­

cas de resolução da equação de transporte estritamente nu

méricas, pois o método citado não necessita incremento de

tempo de computador para solucionar problemas de multigru­

po .

Complementando essa publicação, Garcia e

Siewert /27/ apresentaram resultados numéricos para fluxo

angular transmitido e refletido para uma placa plana, de

monstrando a precisão do método e o baixo custo computacio

nal requerido. Também um estudo dos aspectos computacio­

nais foi realizado, assim como uma apreciação acerca de

auto-valores degenerados. Os resultados numéricos apresen­

tados referem-se ao problema do albedo para o transporte

de raios gama em 16 e 19 grupos, os quais são comparados

com os resultados apresentados pelo código DTF 69 /57/.

Salienta-se que apesar de ter-se apresentado t£

dos os trabalhos referentes ao método Fj , que foram publi^

cados até o momento em que esta dissertação estava sendo

escrita, não se pretende que nesta revisão bibliográfica se

encontre todos os trabalhos referentes a teoria de trans­

porte, mesmo porque existem na literatura excelentes revi

soes bibliográficas deste campo, como por exemplo, o recen

te livro de Dudersdat e Martin /17/ e o livro de McCormick

e KUscer /45/.

; ; - 7 : : ^ 0 E P E S O U S . S e . . R O É T , C ^ S E N U C L E A R E S

1. P . E . N .

16

CAPITULO iir

OBJET:VOS E DIVISÃO DO TRABALHO

A meta deste trabalho ê desenvolver o modulo FNAM-

1 (Método Fj , anisotropico, multi-região, 1 velocidade) ,que

é um programa de computação feito em linguagem FORTRAN, que

utiliza o método Fj para a solução da Equação de Transporte

linear e monoenergetica, em multi-regiões e meios espalhado­

res anisotrõpicos.

O modulo possibilita escolha de ordem de aproxima

ção e número arbitrário de regiões, limitado apenas por ques

toes de memoria de computador. Além disso, o espalhamento a

nisotrépico em cada região é tratado por uma expansão em Po

linômios de Legendre de ordem L.

Apesar de limitado em geometria plana e um grupo

de energia (no caso de neutrons) ou, em uma frequência (no

caso de fotons), o programa permite cálculos preliminares em

projetos de blindagens, especialmente no cálculo de albedo e

fator de transmissão, assim como enquadra-se dentro de uma

filosofia de "Problemas Padrões", permitindo comparar resul^

tados com ANISN /22/, MPN-1 /74/, soluções exatas (quando

houver).

O desenvolvimento analítico do método empregado é

apresentado no Capítulo IV,onde se discute a solução geral

da Equação de Transporte linear e monoenergetica usando-se o

método Fj , bem como as condições de contorno permitidas. Os

resultados numéricos são apresentados no Capítulo V, onde

diferentes problemas são propostos.

Conclusões, sugestões e discussões são apresenta

das no Capítulo VI sendo que o Apêndice A contém desenvolvi^

mento da Equação de Boltzmann, discussão acerca da obtenção

17

de auto-valores e equações algébricas utilizadas. O Apêndi­

ce B contém o procedimento computacional utilizado, um ma­

nual de instruções para utilização do modulo, problemas pa

drões, bem como listagens dos mesmos.

18

CAPITULO IV

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO

4.1 - Formulação do Problema

Neste capítulo desenvolveu-se a analise que é usada,

através do método Fj para solucionar a Equação de Transporte

em 1 velocidade (ou freqüência), com geometria plana,espalha

mento anisotropico de ordem L, em multi-regiões.

A equação descrevendo o transporte de partículas em

cada região pode ser escrita como , (vide Apêndice A-1) :

W. ^i 3^ I.(x,u) . I. (x ,y ) = ^ (2U1) f.^^ P^ ( u ) .

P^ (y') I. (x,y') dy' H- 4^ , (4.1)

onde i refere-se ã região de interesse, x^é a variável o£

tica, y é o cosseno diretor de propagação da radiação medido

a partir do eixo x , I^ (x,y) é o fluxo angular, ê o nüm£

ro de partículas secundárias por colisão na região i,as con£

tantes f. . são os coeficientes da expansão da função trans

ferência em polinomios de Legendre, S. ê a intensidade da

fonte externa em cada região, a geometria do problema como

mostrado na Figura 1 , e L^ representa o grau de anisotropia.

i com : ^ ^

j=l ^

I^ (Ti,y) = I^^^ (.T.,y) ; y € (-1,1) e y O , (4.1.a.)

e as condições de contorno aqui consideradas :

^3

lc-1

< !

Figu

ra 1

: Ge

omet

ria

do p

robl

ema

cons

ider

ado.

20

X, \y 1

1(0,y) = f^Cy^) + 1(0,-y) + ^ / 1(0,-y')y' dy', y>0 ,

(4.1.b.)

I(T^,-y) = £^ (y^) . I(Tj^,y) + ^ í I(T^,y')y dy' , y>0 ,

o (4.1.C0

onde e representam os coeficientes de ref letividade

difusa e ^2 e À2 de refletividade especular /70/. As fun

ções Í Q ( V Q ) e • k ' k- dadas de acordo com as incidências

de radiação nos contornos, sendo que aqui se permite as se­

guintes opções :

i) Incidência Monodirecional :

'o^%^ - 2 ¥ ^ ' -1 = 1 . (4.2.a.)

ii) Superfície livre :

(y^) = O , (4.3.a.)

e/ou

fj^(y^) = O , (4.3.b.)

iii) Incidência Isotropica

f^ (y^) = 1 , (4.4.a.)

e/ou

21

= 1 (4.4.b.)

iv) Incidência Cossenoidal

N 1 E d y

6=0 ^ (4.5.a.)

e/ou

N

3 = 0 c . y (4.5.b.)

0 problema como formulado acima permite sua aplica

ção no transporte de neutrons, ou de fotons (luz, raios ga

ma, etc), apenas com a diferença que no caso de neutrons ,

W. ê a razão da seção de choque de espalhamento para a se_

ção de choque total, enquanto que para fotons ê a razão

entre os coeficientes de espalhamento e total. Além disso ,

os coeficientes f. . retratam a lei de espalhamento que a _ 1 , X,

radiação sofre ao interagir com o meio, e portanto para ca

da tipo de radiação estes devem ser encontrados de acordo

com os mecanismos físicos de interação com a matéria. Assim

para neutrons, o espalhamento deve ser elástico, e inelastic

C O , e para fotons (no caso de luz) pode ser o espalhamento

Rayleigh ou do tipo MIE, e para gamas o espalhamento Compton.

Obviamente, por hipótese, pode-se assumir que os

mecanismos de espalhamento de radiação sejam isotropicos no

sistema laboratorio, ou seja, L. = O , f. r. = 1. Entretanto, 1 ' 1 , 0

tal suposição nem sempre pode ser aceita, principalmente no

rcMPRC - É T l C S E N U C L E A R E S

• ; ; r S T . T U T O O E P E S O U - , S > S E N E R C ^ ^

22

transporte de fotons e desta forma considerar-se-á, para o

problema proposto, qualquer grau de anisotropia.

A geometria do problema (multi-região) e as condi­

ções de contorno utilizadas, permitem que esta formulação

seja aplicada a uma grande variedade de situação físicas ,

mesmo tendo-se em conta que aqui não se considera a dependen

cia energética do campo de radiação*. Assim, por exemplo ,

no caso de neutrons, problemas do tipo de interesse em blin

dagera (multi-regiões, fonte fixa e penetração profunda) po

dem ser simuladas pelo modelo acima, assim como problemas ce

lulares, necessárias ao cálculo do fator de desvantagens,de

utilidade na homogenização de seções de choque para cálcu­

los de física de reatores, podem ser solucionados. Para tan

to, basta considerar, por exemplo, duas regiões onde uma é

combustível e outra o moderador, onde este último possui uma

fonte constante (que representa os neutrons produzidos no

combustível como rápidos mas que são moderados e portanto tor

nam-se térmicos no moderador) e condições de contorno de re

flexão total nos contornos , ou seja , sendo f^(y)=f,(y) =

= O , = ^ 2 = O e = = 1 . Finalmente, problemas

do transporte de luz na atmosfera podem ser consideradas ,

tais como o problema planetário, no quâl se tem radiação in

cidindo no topo da atmosfera , e esta sendo refletida difu

sámente pelo chamado coeficiente de D'Alembert no solo, po

de ser simulado considerando-se f especificado , X, e I o t -L

X2 sendo zero , f]^(y) = 0 , X-j = O e X2 = coeficiente

de D'Alembert.

Intzfizii&antíL òalZuntan. c^ae. m maltoò pfiohlmoa, de lnt2.Kzò_ ¿e. pKatlco (¿¿ta dzpzndzna^a não z mc&¿¿á.Ala. Ve.¿ta maneÃAa, e.6ta tquação podz/ila fi(Lph.z¿zntaft, pofi íxmpZo, o tKanòpofitd d<¿ ntutAonò Aapldoò, ou no caòo dz ^ladlaçao ¿aminora e co-nlizc-ido qaz aò ¿ntz^acoiL¿ não pAoduzm cittiLH.aq.ozo ¿tgn¿{¡¿ca tivaò . Alm dt¿¿,o, 2. Impofitantz IzmhKafi qaz qualquzM. pfioblz ma dz multtgHupo {dzpn.zzando-i> z zòpalkamznto pafia cima, ^ co_ mo ocoAAz com n.ato& gama) podz òzn. zncaKado como ama ¿'zn.tz dz pKoblzma& zm ixm gfiapo .

23

Varias são as aplicações de transferencia de calor

por radiação em meios participantes, nos quais condução e

convecção são desprezíveis. Por exemplo, em transferência

de calor através de materiais porosos tais como fibras ou

pos, tendo aplicação tanto em baixa quanto em alta tempera

tura, radiação é a forma dominante de transferência de e

nergia.

Em aplicação de foguetes, quando propulsores sõli^

dos aluminizados são queimados,, o gâs de escape contém um

número significante de micro-partículas as quais espalham

radiação. Assim sendo, transferência de calor no fluxo de

um gâs altamente turbulento a altas temperaturas contendo

partículas espalhadas é caracterizado como um problema de

radiação em um meio espalhador, emissor e absorvedor.

4.2 - Analise e Desenvolvimento

A solução geral da eq. 4.1 pode ser escrita em ter

mos das conhecidas auto-funções de Case /45/ e uma solução

particular Ip^(x,y) na forma ,

K.-l -x/v. I (x,y) = l C A (V ) <t>.iv y ) e ^'^ + 1 6=0 1 1 , p

A(-v.^g) ()). (-v.^3,y) e ^'^-] + A, (v) (í.,(v,y)e -1

1 ^ ^1

+ Ipi (x.y) , (4.6.)

S. onde I . (x, y) = - - - , para x ^ [j. x. , i = 1,2,3,.. .k,

4TT(1 - W^) ^"^ ^

e as auto-funções sendo dadas por /14/ :

24

(í..(v,y) = ^ v g - C v . i i ) P v C ^ ) + X.(v) 6(v-y) , [4.7.)

com

gi(v,y) = l C2A+1) fi,£gi,£(^) P¿ (^) . (4.8.)

£=0

A.(v) = 1 + V Pv ij^.(x) 1^ , (4.9.)

4^i(x) =1 W. g. (x,x) , (4.10.)

onde Pv indica que a integral sobre a função, deve ser reali^

zado no senso do valor principal de Cauchy /6(y, os polino­

mios g. .(v) podendo ser gerados da seguinte maneira (vide

apêndice A.4.).

V

com

gi^o (v) = 1 e g. - (v) = v(l-W.) , (4.12.a,b.)

h.^^ = (.2£+l) (1 - W. f.^p . (4.13.)

As auto funções são dadas por :

25

9

•i'^i.e-^'' - ? "i «iO'i.g.»') C ^ ^ ) , (4.14.) 1 , P

onde V. são os zeros da função dispersão / 60/ (Vide Apên-

dice A.2) , V e(O.l) e A(± v. „) e A(v) são constantes

as quais devem ser determinadas a partir das condições de

contorno.

E conhecido que as auto-funções de Case são ortogo

nais /45/ para Ç = , ou Ç 6(-l,l) , ou seja :

1 / M (í)(Ç,y) W ,y) dy = O ; Ç ^' , (4.15.)

-1

= N(Ç); Ç = Ç' , (4.16.)

onde Ç e Ç' 6(-l,l) ou igual aos auto-valores discretos ,

e os fatores de normalização N(Ç) , dados por :

N(±v.) = |i W. g(v.^ V . ) A- ( V . ) (4.17.)

N ( ± o = ± KZx'a) + ji^'y^H'g' íí,02 > çe(-i,i) ,

(4.18.)

onde A' (Ç) ê a derivada da função dispersão /60/, (Vide A

pêndice A.2) e A(Ç) dado por :

^ (4.19.) A(.0 = 1 + Ç Pv / i|;(x) ^

26

e pode ser calculada por :

X(0 = 1 + Z (2JI+1) g^íO T^iO l o g ^ > (4.20.) 1+Ç

onde os polinomios são discutidos no Apêndice A.4 .

Desta forma, se a eq. (4.6.) for escrita para valo­

res de X nos contornos e nas interfaces, multiplicada por

IJ (p(^X,v) ou y <í)(Ç,u) e integrada em y é(-l,l), pode-se de­

senvolver um sistema de equações integrais singulares acopla

das para as distribuições angulares nas interfaces :

f y N * ! ^ - ? ' ^ ) 1^(0,y) - ct)^(Ç,y) 1-^(0,-y);] dy +

+ e -'/ / Ç Il) (Ç,y) I ^ ( T ^ , - y ) - <}) (-Ç,y) I^(T^,y);] dy =

-A

-1 / y (i) (-Ç,y) ClpiCo.^) e - Ip^d-L.y)^ dy , Ç 6

(4.21.)

/ y [])-^(-Ç,y) I ^ ( T ^ , - y ) - (j)-|^(Ç,y) I^(T-|^,y)^ d y +

+ e ^^/^ ^/^ y Q)^CÇ,P) 1^(0,]J) - 4)i(-Ç,y) 1^(0,-y);] dy

-1 / y 4)1(5,y) He lpi(0,y) - Ipi(T^,y)II dy , Ç e P^

(4.22.)

27

/ y [;<}). y) I.(T._py) - <t>^a,v) ^i^^i-l' -^^J dy -

- e / y[4 . . ( -Ç,y) I . ( T . , y ) - (Ç,y) I.(T . , - y J ] dy =

-A. y (^.(-Ç,y) ClpiC-Ti . i^y) - e I p i C ^ ^ . - y ) ! dy , Ç £ P. ,

(4.23.)

^ / y [;<!,. (-C, y) l iC-r^.-y) - í-^C^.y) I^ÍT- .y) ] ] dy +

-A.,^ 1 e ^ / yn< i(ç,y) r ( T ^ _ p y ) - *^(-ç,y) I^(T^_;^^-y)_] dy =

-1 / y (? ,y)

-A. ,

I-e Ipi(- i_i,v) - Ipi (T.,y)n dy , Ç G P. ,

(4.24.)

/ y [ j ) ^ ( Ç , y ) " 'Î 'k'^"^'^^ ^

+ e / yQ)^(-ç,y) l^CTj^.y) - 4)^(5,y) I],CTJ^,-i^I] dy

28

1

(4.25.)

+ e '^/^ / u[^j^a,y) i^cvi,»^) - *kf-^'^) k^Vi.-^a dy =

= \(Ç,y)Le"'^/? IpkfVl,y^ - Ipkf-k'^3 • (4.26)

onde P. = {v. „ U(0,1)}, e 1 1 > p

= - T ^ _ ^ , i = 1,2,.,. k .

Introduzindo as aproximações Fj^, para as

nas interfaces , ou seja ,

distribuições

N I (T. , -y) = E a. y"' , y > 0 ^ ^ a=0 ^'^

(4.27.)

i = 0,1, • • • f lC~X y

* e

>

O a=o y > 0

(4.28.)

5

29

onde o termo exponencial e a função usada para representar

a componente penetrante quando houver incidencia monodire

cional na face esquerda da placa, obtem-se o seguinte con

junto de equações algébricas acopladas para os coeficien

tes da aproximação polinomial ;

a, -A (1/Çt 1/p 1 , (4.29.)

' B f ^ C ) . ^ B ¿ " (O - A i " iOl a=o "'^ " 2TT(A+2) °

1 (1 - e 1/ ) 2TTW.

a. -A , -A,/y (4.30.)

N -A.

"a. B' '- (Ç) - b. A* "- iO • i ,A , A i , A A

S.

2ITW

-A.

30

-T.

o- ^ i-i/y,

(4.31 .)

N . . -A Z r{a. A* ^ (Ç) - b. B ^ ^ ( Ç)J+e / Fb- -, B* ^ ín -L"- i,ct a i,a a ^ - ^ ki-i^a a

S. -A.,^ ^ (1 - e ^ / ^ )

2TrW. 1

(4.32.)

N a=0 '' "

^ (O 2TÍ a „ 2 ,(k) , ^

+ e Ta , T A^^^ (O - k \, B* ^ ( Ç ) ! } 1 - k-l,a a k-l,a a ' . J-'

2TTW, (1 - ^ ''^ - *ktt.Po5 He"" / - '""-''-o - r^K-^

(4.33.)

31

N

A=0

^1 B^^^ rn ^2 (k) . . _ \ _ / V ç ^ ^ 2i " 2^(A+2) ^ ^ - ^ } - „ F L E ^

-k-l/y^ _ ;Vy„-A,/ç_^ ^

A , -Ar

^ ^2 "'i "k/C M rn + A _ R rn (4.34.)

onde as funções B^(Ç) e A^(C) podem ser calculadas por uma A

relação de recorrência /14/ dada por :

L..

411 = - ^ ^ A Í2£.l) f (-1)^ gi o(OA , (4.35.) ¿=0

com A^^^ = y""" (y) dy (4.36.)

A^^^ (O = 1 - C iJ^iíOlog (1 + 1/Ç) + i

N

+ E (2£ + l) f.^^ g.^^ a) N, (Ç) , i = 1,2, ... k , ¿=0

(4.37.)

32

(i) L.

1

com

^o'^ ( O = ^ - 2 + A ^ ^ ( O , i = 1, 2, . . . , k . (4.39)

Além do mais, os polinomios n^podem ser gerados (£>0) de :

(2£+i) Ç n ^ ( ç ) = í-if (2£+i) Aq^^+ (£+1) n¿^i ( 0 + ^ n ^ _ ^ ( Ü ,

(4.40)

com

= 1 e n., = I KU- 1/2)

(4.41.a,b,c)

e ainda ;

R„ (5) a.

27 ^ 1 ^ - ^ ' % ^

ou

^1 ^ rn o - V ^o^

a. = 1

I d A^^J (Ç) , a, ^ 3=0 ^ ^

= O

a, = o

(4.42)

(4.43)

(4.44)

S , ( 0 a -A /C

2¥ ^ 1 ^ ^ ' % ^ ^ a. = 1

w, Ç -A

o 2

(4.45)

e - / Z d„ B¿^^ ( O , a, = O (4.46) 2 B=0 ^ ^ ^

(Ç) , a- = O , (4.47)

33

^ 3 = 0 (4.48)

(4.49)

" 2

3=0

r A C. A. (3)

w k C 2~"

A (k) o

a) (4.50)

(4.51)

Assim sendo, pode-se gerar 2(N+l)k equações algébricas li

neares , onde N é a ordem da aproximação e k indica o nume­

ro de regiões, utilizando 2(N+l)k valores de Ç 6 nas e

quações (4.29 a 4.34). O sistema de equações algébricas

lineares pode então ser solucionado por técnicas numéricas

convenientes , e as constantes a. e b. serem obtidas.

A matriz coeficiente que se obtém para esse sistema de equa

ções não é densa, constituindo-se de blocos não nulos, como

pode-se observar para o caso em que tem-se 3 regiões e or­

dem de aproximação 2 (vide figura 2 ) .

Ê evidente, pelas equações (4.27) e (4.28) que

o método Fj^ fornece , em primeiro lugar, as distribuições an

guiares nas interfaces , para qualquer valor do cosseno di­

retor y .

Para estabelecer a solução para as distribuições

angulares era qualquer ponto x, pode-se usar as propriedades

de ortogonalidade das funções 0 ^ ( Ç , y ) a fim de determinar-se

os coeficientes requeridos na equação (4.6). Desta forma

m S T i t U T O DE P E S Q U ' S A S E N E R G E T I C S E N U C L E A R E S

I. P . É .

^ Q X K X X K X

34

J

I K >í X st >< •<

¿ >« «C X M X

I I

I I

X X X > ^ X X X - K X

O

^ X X X X X X X X X X x X

r¿ x ^ x x x x X x » < x x * t

* I X X X X X X X X x ' W O o

x x x x X X X X X X X

X X j ( X X X X J t x X X

x x ^ t x X X X X X X X

X x X X K X X t C K ^ X

y j T X X X X « X X K «

X X X X X X o o

V

X »< V V X X

X X X X >« *ç ¿>— ¿ y

Csl II

a>

II

c <u

• H u

• H m

o o N

•H u +-)

s

BO • H

para uma região genérica i , tem-se :

35

1 1

/ I(T._^ , u)0. (C,y)ydy - / Ip. 0.(Ç,y)ydy=

-1 -1

-T .

= A.(Ç) N.(C) e i-l/í (4.52)

/ I ( T . , y ) 0 . ( - Ç , y ) y d y - / Ip. 0 . ( - Ç , y ) y d y =

-1 -1

T .

= A . ( - a N.(-Ç) e i/K (4.53)

Introduzindo as aproximações nas eq. (4.52) e (4.53), ob

tem-se as seguintes expre'ssoes para os coeficientes da ex

pansão.

+ ,2 , R(1) rn-i 4TT

w Ç N . . - 4 — 2 a A*---' (C)\ 2 o,a a ^-«J

onde

(4.54)

%(K) ^ 3=0 ^ ^

( O ,

4ïï 2 o ^

(4.55)

(4.56)

36

a-

2u ''l^^'^o «1 = 1 (4.57)

-T l/Ç- C N

— ^ ^^1 a ^a^^ ^ a = 0 - ' " a. B^ ^ ^ ( C ) )

al e 0 R-r y 1 + 1"] (4.58)

i ^ . ^ i e-^i-/^o ,^,,.,^3)

(4,59)

C S. UT - T - /

, ç Ê p^ , (4.60)

k-l/Ç , w. Ç ^ N (k)

Ç S , a, -T

4TT 27T 1 e ^"^/^o 0, (Cy^)] ,Ç 6 Pj^ , (4.61)

37

- T v / C k' ^ Ç S, a. -T

N,(0 471

k " 1

w, Ç N A (k) + - V - E b, (A*- ^ (Ç) - ^ B (n

a = 0 ' »°' 27T a ^ •' 27r(a+2) °

2TT 271 2 o e í / o _ ^ (O - (O J, C e Pj , (4.62)

onde

N,

j=0 C. BJ^^ (Ç)^

47T 2 " o '

(4.63)

(4,64)

Onde : N.(± v. ) e N.(±v) como definidos nas eqs. (4.17)

e (4.18) , respectivamente.

Determinados os coeficientes A(±v. ) e A(±v), po-1 , P

de-se reconstruir o fluxo angular. Embora a equação para se

obter os coeficientes discretos seja sempre regular, não acon

tece o mesmo com os coeficientes contínuos. Apesar das mes

mas operações serem aplicadas aos dois casos, o calculo de

A(±v) implica na resolução de integrais singulares, cujas

singularidades são removidas por técnicas convenientes. (Vi

de Apêndice A.3).

Para determinar-se uma expressão analítica para o

fluxo escalar, basta integrar a equação (4.6) de y=-l a y=l,

obtendo-se :

38

^ - 1 • . K I.(x) = E H A C v . J e ^ ' ^ / 0.(v y) dy +

-x/v .

AC - v . J e' '^' '^'^ / 0 . ( - v . „ , y ) dyH + / A. (Ç) e ' ' ' /^^^ 0 .(Ç,y)dydÇ 1,3 _i 1 1,3 Q 1 1

+ f A[-Oe^^^ f 0 .(-Ç,y)dydÇ + - - / dy , o -1 ^ 47TC1-W,) -1

(4.65)

sendo / 0(Ç,y)dy = 1 , reduz-se a expressão final a : -1

<-l I, (x) = Z [;A(v. 3) e + A(-v )

1 3 = 0 '

-x/v. „ e^^'i'M +

1 -x/Ç 1 + / A(Ç) e dÇ + / A(-Ç) e"' dÇ +

o o

. x / C ^i 27r(l-w.) '

onde C E ( 0 , L ) , (4.66)

Para o cálculo de corrente total, integra-se de y=-l

a y 1 em ydy a eq. (4.6) e obtem-se

J.(x) = E C A ( v ) e ^'^ / 0. (v. p,y) ydy + 1 3^^3 1,3 1 i,ts

x/v • A ( - v . J e"'^^ ^ / 0 . ( - v . „ ,y ) y d y l + / A(ç) e"""/ / 0. (Ç,y)ydydç

1,3 1 1 )P —' -1 o -1

/ A(-0 e^/^ / 0 . ( - C , y ) y d y + ^ ^ ^ ^ ^ ) / y d y , (4.67) S.

o -1 -1

INST ITUTO DE P E S Q U ^ ^ ^ ^

onde

39

/ 0.(-Ç,y)ydy = - a i - w . ) ,

-1

(4.68)

/ 0.(Ç,y)ydy =,Ç(l-w.) ,

-1

(4.69)

obtem-se

-x/v. J. (X) = Z [_Aiv ) e V n - w ) + 1 >- 1,3 1,6 1

^ A(-v,^3) e ^'^ v,^3 (l-w.)_ + / A(Ç) e~^/^ Ç(l-w.)dÇ

o

+ / A(-C) e""/^ Ç ( l - w . ) dÇ , (4.70)

Para computar o fator de desvantagem térmica, re

querido no cálculo de utilização térmica em células de rea

tores, pode-se também aplicar o método Fj , sendo esse fa­

tor definido em geometria plana como :

Ç =

h 1 / dx / 4j^(x,y)dy

T, -1

/ dx / ijj, (x,y)dy o -1

(4.71)

40

onde o índice 1 refere-se ao combustível e o índice 2

ao moderador, da célula do reator, e "x^" e "x^" suas es

pessuras óticas, com A = X 2 - x^ .

O equacionamento básico para a célula é dada por:

9 -1 '1 '

-1

li j (x , y ' ) d y ' , O £ X <_ T-j (4.72)

9 w/^2 1

y 95 2*^^'^^ ^ 4 2* ' ^ = T ^q(2¿+1) £2^^ Pj (y) / P^(y') 4 2(x,y')dy'

4TT(1-wO - ll ^ 1^ 2 (4.73)

com as seguintes condições de contorno

i|; (o,y) = ^p^(0, -y) , y>0 , (4.74)

\¡J2 (T2 ,y) =4^2 ''2 ' "t ^ ' ^i^O (4.75)

(x-^,y) = 4/2(T^I-y) . y>o (4.76)

ip^C^i» -y) = 'í'2' 1 ' "^^ ' ' (4.77)

i N O T i T ' J l O DE P E S O U S A S E \ t R C - . É - M C S E N U C L E A R P S

I. P . E . N.

41

1

1

/ y ip^(T2,y) dy = O . (4.79)

-1

E com

^ 2 i|;2(x,y) = ^2^^^^^ " 4 7T(1-W2 ) ' ^^.80)

Assim, integrando-se as equações (4.72) e (4.73) de y = -1

a y = 1 ;

1 1

¿ / y ij;-^(x,y)dy + (1-w^) / i|;^(x,y) dy = O , (4.81)

-1 -1

1 2 S

^ _/ y 4^2f^.^)dy + ( 1 - W 2 ) _ / 4 ^ 2 ^ ^ ' ^ ) = '

(4.82)

Desta forma, integrando-se a equação (4.81) de O até e

a equação (4.82) de a T 2 , além de aplicar as condições

de contorno, obtem-se :

-1

/ y ijj-j^(0,y) dy = O (4,78)

42

(1-w^) / dx / i];^(x,y) dy =

-1

- / iJj(T-|^,y) y d y

-1

(4.83)

'2 1 (1-w ) / dx / i|;,(x,y)dy

2 -1 2 2Tr(l-wn *- 2 T ^ ) ' ^ ií^-,^(T-^,y)ydy

(4.84)

Introduzindo as aproximações F ^ , obtem-se a seguin

te expressão para o fator de desvantagem térmica :

Ç = T

( 1 - W , ) _ T S., N a , - b ^ , 1 I 1 • 2 ^ ^ 1 ,a 1 .cXj -3n

1 ( I - W 7 ) L~ A 2TT ( 2 a = 0

a + 2

(4.85) ,

onde representa uma fonte constante e isotropica resultan

te dos neutrons que são moderados na região do moderador.

43

CAPITULO V

RESULTADOS NUMÉRICOS

Com o propósito de demonstrar a confiabilidade do

Módulo FNAM-1 , uma serie de problemas foram solucionados e

seus resultados comparados com aqueles disponíveis na litera

tura ou obtidos através dos códigos disponíveis no IPEN.

Uma vez que os coeficientes Fj^ , são, obrigatória

mente, um dos valores iniciais a serem computados , grande

zas tais como albedo e fator de transmissão foram os primei^

ros resultados a serem tratados. Posteriormente, com o cálcu

lo dos coeficientes A(± ) e A(±v) , obteve-se valores pa

ra fluxo total, corrente total e fator de desvantagem térmi­

ca (no caso de células). Assim, uma série de resultados são

s apresentados a seguir, a fim de demonstrar a precisão e apli^

cabilidade do Método , através do Módulo FNAM-1.

5.1 - Problemas Padrão

De acordo com uma das idéias básicas que norteou e£

te trabalho, no qual se pretendeu confeccionar um programa

que possibilitasse cálculos preliminares em blindagem de rea

tores, o primeiro teste realizado com o Módulo foi um "Pro

blema de Penetração Profunda" , cujos resultados foram com

parados com os obtidos pelo Método de Monte Cario e o código

ANISN / 55/.

Este problema (Problema 1) consiste de uma placa pía

na, com espessura de vinte livres caminhos médios, uma fonte

plana e monoenergetica incidindo na face esquerda, superfície

livre a direita, com espalhamento isotropico e seção de cho

que de espalhamento igual a de absorção. Os resultados obti^

dos encontram-se na Tabela 5.1 e a geometria do problema na

figura 3.

•*~™~~" ^ r a C - ir E N U n r A R E S H . S I I T U U I D E P E S O U í - v S E - R E ' C . E N U . .

I. P- E. N. _ _ _ _ _ _ _ _

44

L

S

VA;

0

. 0

Figura 3 : Geometria do Problema 1.

TABELA 5,1 : Resultados do problema de "penetração profunda".

Método ALBEDO F. Transmissão

14

ANISN

Monte Cario

Exato

0.1465

0.1470

0.1465

2.672 X 10"^

2.630 X 10"9

2.618xl0"9±l°ô

Os dois problemas seguintes foram feitos visando tes^

tar os resultados com uma publicação em transferência radia­

tiva , que fez uso do Método F ^ , sendo de grande importân­

cia para este trabalho, uma vez que serviu, em parte, de mo

delo para seu equacionamento /14/. O primeiro deles (Proble-

0.5

o2.0.0

45

ma 2 ) , trata-se de uma placa plana com incidencia isotropica

na face esquerda (vide figura 4) e o segundo caso ( Problema

3) , refere-se a um problema cora 6 regiões e incidencia eos

senoidal na face esquerda (vide Figura 5 ) . Nos dois casos

a face direita apresenta superfície livre ; na tabela 5.2

encontra-se a lei de espalhamento utilizada em ambos os ca

S O S , e nas tabelas 5.3 e 5.4 , os valores do Albedo e Fa

tor de Transmissão para os problemas 2 e 3 , respectivamen

te.

L = S

S = 0

O

Figura 4 : Geometria do Problema 2.

1(0.Híf^ 0 5 ^ 0

1í_=i i.O

S = O

w - .•)•

¿ = O

L = 8 5= o

L = 8

-ío.o

S= O

^ =.85

S

S = o

L a 8

W s . 5

6>

«- ° i " 3

Figura 5 : Geometria do Problema 3.

•'4

46

TABELA 5.2 : Lei de Espalhamento para os problemas 2 e 3

(.2£+lJ±^

0 1.0

1 2.00016

2 1.56339

3 0.67407

4 0.22215

5 0.04725

6 0.00671

7 0.00068

8 0.0

TABELA 5.3 : Resultados do Problema 2.

w • T

1 All edo F. de Tr£ nsmissáo

F4 Exato F4 Exato

0.9 1. 0. 17193 0.17192 0.65426 0.65427

0.9 10. 0. 29071 0.29070 0.03294 0.03294

0.99 1. 0. 22653 0.22662 0.75377 0.75368

0. 99 10. 0. 622106 0.62206 0.21078 0.21078

0.999 1 0. 23301 0. 23310 0.76491 0.76490

0. 999 10. 0. 70695 0. 70694 0.27344 0.27344

0.9999 1. 0. 23375 0.23376 0.76604 0.76604

a 9999 10. 0. 71691 0.71691 0.28109 0.28109

I N S m U i O DÉ P E S O U ¿At £ R L I C íbNU. Ak . :A

1. P . E . N .

47

TABELA 5.4 Resultados do Problema de 6 Regiões

6 L ALBEDO "FATORDE TRANSMISSÃO

Exato ANISN Exato ANISN

1 0 0.2148 0.2148 0.2148 0.7181(-6) 0.7180(-6) 0.7098(-6)

2 0 0.2079 0.207S 0.2079 0.7905(-6) 0.7906C-6) 0.7815(-6)

1 8 0.08058 0.08058 0.08059 0.8543(-4) 0.8543(-4) 0.8512(-4)

3 8 0.07051 0.07052 0.07051 0.9307(-4) 0.9707(-4) 0.9274(-4)

9

Os resultados apresentados a seguir referem-se ao

caso de uma placa com incidência monodirecional /42/, sendo

apresentados os resultados obtidos com o Modulo FNAM-1

MPN-1 e Exato. O Problema 4 ê relevante no sentido em que

utiliza uma lei dé espalhamento alta, usando para obter os

coeficientes dessa lei a função dada pela equação A. 51

A geometria ê apresentada na Figura 6 e os resultados na Ta

bela 5.5 .

S = O

±,0

Figura 6 : Geometria do Problema 4.

( V S T I T U T O D E P E , ^ p, N SQU

1

- G T L C V S E N U C L E A R E S

48

TABELA 5.5 : Resultados do Problema 4.

L ALBEDO FATOR DE TRANSMISSÃO

^15 P4 Pl5

4 0.2621 0.2604 0.6322 0.6315

6 0.2224 0.0.2226 0.6667 0.6666

8 0.1963 0.1951 0.6913 0.6921

10 0.1740 0.1737 0. 7121 0.7119

15 0.1363 0.1355 0.7471 0.7477

25 0.0918 0.0907 0.6552 0.6549

Exato Exato

30 0.07757 0. 07713. 0.6695 0.6700

O outro problema solucionado foi o de uma placa com

incidencia isotropica na face esquerda e refletividade ou

difusibilidade na face direita (Problema 5 ) . Os dados são

apresentados na Tabela 5.6 e a geometria considerada encon

tra-se na Figura 7 /52/.

49

L ^ o

Figura 7 : Geometria do Problema 5.

TABELA 5.6 : Resultados do Problema 5, usando refletividade

e difusibilidade na face direita.

ALBE DO FATOR DE TRANSMISSÃO

"l w

^1 ^2 P4 Exato P4 Exato

2 0.7 0.5 0.0 0.2721 0.2657 0.0917 0.0880

2 0.8 0.5 0.0 0.3564 0.3527 0.1183 0.1172

2 0.9 0.5 0.0 0.4842 0.4837 0.1702 0.1689

5 0.7 0.5 0.0 0.2607 0.2566 0.0074 0.0070

5 0.8 0.5 0.0 0.3512 0.3420 0.0148 0.013 7

5 0.9 0.5 0.0 0.4875 0.4783 0.0406 0.0349

2 0.7 0.0 1.0 0.2831 0.2827 0.0 0.0

2 0.8 0.0 1.0 0.4081 0.3859 0.0 0.0

2 0.9 0.0 1.0 0.5949 0.5626 0.0 0.0

5 0.7 0.0 1.0 0.2586 0.2567 0.0 0.0

5 0.8 0.0 1.0 0.3555 0.3425 0.0 0.0

5 0.9 0.0 1.0 0.4954 0.4818 0.0 0.0

50

A seguir considerou-se o problema celular (problema

6 ) , também solucionado pelos métodos B ^ S / ó / , E § M

/19/, L-S-V-K /37 / e MPN-1 / 74/ , onde considera-se a

célula básica de um reator constituida de 2 regiões, con

forme figura 8, onde o combustível é a região l e o mode

rador é a região 2 , com uma fonte de neutrons no moderador.

Na tabela 5.7 reportou-se fator de desvantagem térmica pa

ra meios espalhadores isotropicos, com v^^ = 0.55370 e

W 2 = 0.99163 , e na tabela 5.8 com espalhamento linearmen­

te anisotropico no moderador.

[ Covo\:iü5trv;eL M Q de, Ra.olor.

1 5 z 0 S = i A

1

¡ 0\± Q

Figura 8 : Geometria do Problema Celular,

51

TABELA 5.7 : Resultados do F.D.T. para diferentes células

Método Célula 1 Célula 2 Célula 3 Célula 4

P-1 1.028 1.113 1.253 1.447

Difusão AssintÓtica /54/ 1.06 1.18 1.34 1.56

A-B-H Modificado /72/ 1.08 1.20 1.36 1.58

S-8 /41/ 1.090 1.231 1.410 1.632

Teoria T.Integral / 8 / 1.0979 1.2318 1.408 1.629

Ferziger e Robinson /25/ 1.094 1.227 1.401 1.623

B 5 S / 6/ 1.0978 1.2317 1.4077 1.6284

^6 1.0974 1.2317 1.4075 1.6284

As dimensões para as células da tabela acima são :

célula 1 : x = = 0.0717 T 2 = 0. 8872

Célula 2 : T = = 0.1434 -2 = 1- 7744

Célula 3 : T = = 0.2150 T 2 = 2. 6615

Célula 4 : T = = 0.2868 T 2 = 3. 5488

TABELA 5.8 : Tabela para problema celular

52

Método Coe£. Aniso­tropico

Célula 1 Célula 2 Célula 3 Célula 4

B 5 S 1.0970 1.2283 1.4001 1.6151

0.0333... 1.0963 1.2279 1.3999 1.6153

1.0968 1.2284 1.3999 1.6152

ho 1.0969 1.2284 1.3999 1.6152

B 5 S 1.0953 1.2215 1.3849 1.5885

0.1 1.0946

1.0951

1.2211

1.2215

1.3848

1.3847

1.5887

1.5885

ho 1.0952 1.2215 1.3847 1.5885

B a s 1.0927 1.2113 1.3621 1.5485

h ^8

0.2 1.0920

1.0925

1.2109

1.2113

1.3620

1.3620

1.5486

1.5485

^10 1.0926 1.2113 1.3619 1.5485

B a s 1.0901 1.2010 1.3392 1.5083

P4

^8

0.3 1.0894

1.0899

1.2006

1.2011

1.3391

1.3391

1.5085

1.5083

PlO 1.0900 1.2011 1.3391 1.5083

Finalmente na Tabela 5.9 encontra-se os valores do

£ator de desvantagem térmica para a célula 4 , calculado

por vários métodos, e com os coeficientes de expansão da

função transferência dados por f2 Q = 1.0 , f2 0.32362667

e f2 2 = 0.048856.

TABELA 5.9 : Resultados para o problema 6

53

Caso MPN-1

^15 E a M L-S-V-K

Célula 4 1.4984 1.5002 1.4049 1.5002

Apos os cálculos requeridos para obtenção das cons­

tantes A(± V . o) e A(± Ç) , pode-se obter valores para flu

xo total e corrente total. Desta forma, nos problemas que

se seguem os resultados relacionados serão apenas referen

tes a fluxo e corrente total.

O primeiro problema, (Problema 7) da série, trata­

se de uma placa com incidencia isotropica na face esquerda

e espalhamento linearmente isotropico, como mostrado na Fi

gura 9 e com resultados tabelados na tabela 5.10 /74/ .

L =-L

s = o

Vv/ - o. 8

L -0.333.. .

Figura 9 : Geometria do Problema 7.

TABELA 5.10 : Resultados do Problema 7.

54

POSIÇÃO FLUXO TOTAL

MPN-UP^g) FNAM-1 (F )

0.0 1.3104 1.3117

0.5 0.8264 0.8265

1.0 0.5747 0.5745

1.5 0.4040 0.4003

2.0 0.2698 0.2698

2.5 0.1516 0.1506

O caso seguinte (Problema 8) considerado,foi o de

3 regiões espalhadoras isotropicas, com uma fonte unitária

na região central, conforme ilustrado na Figura 10. Obvia

mente este problema é simétrico e pode-se solucioná-lo co

mo um problema de duas regiões, impondo-se a condição de

reflexão na face de simetria (X=0). Os resultados na Tabe

Ia 5.11 foram obtidos também pelo cédigo ANISN e pelo MPN-

1, cujo comportamento do fluxo total pode ser observado nos

gráficos I e II. / 74/ .

TABELA 5.11 : Resultados do Problema 8.

POSIÇÃO FLUXO TOTAL POSIÇÃO

MPN-1 ANISN '8

1 1.2206 1. 2193 1.1732

2 1.1780 1.1780 1.1475

3 1.0736 1.0624 1.0595

4 0.8733 0.8829 0.8720

5 0.7264 0.7267 0.7264

6 0.6120 0.6132 0.6101

7 0.5112 0.5124 0.5129

8 0.4167 0.4180 0.4165

9 0.3206 0.3181 n. 3 1 Q Í ;

55

1.5

.S

. 6

.1

.33 GRAFICO I Í..OO

1 1

. 6

ti

.33 GRAFICO II

i.oo 1.33

56

O terceiro problema (Problema 9 ) , trata-se de duas

regiões espalhadoras isotropicas, com uma fonte unitaria

na primeira região, e com incidência isotropica na face es

querda, como mostrado na Figura 11. Valores de fluxo to

tal e de corrente total encontram-se na Tabela 5.12, bem

como o comportamento dessas grandezas e ilustrado no grã

fico III . mi.

S a 0 S »|l 3 a 0

w a .g

4 5 6 ? 8 d ^

Figura 10 : Geometria do Problema 8.

s =1 S = 0 L -0

w =.8 w = . 5

«

Figura 11 : Geometria do Problema 9.

fl«iSTFfUTO D E P E S Q U ' S A S E \ ' E R ' É ^ I C ' S e N U C L E A R E S

I, P E . N.

57

TABELA 5.12 : Resultados para problema com fonte na primej^

ra região.

X FLUXO TOTAL CORRENTE TOTAL

X MPíN-1

^6 MPN-1

^6

0.0 2.7532 2.7436 -0.3803 -0.3799

0.5 3.3679 3.3652 -0.1929 -0.1925

1.0 3.5602 3.5653 -0.0415 -0.0406

1.5 3.5227 3. 5118 0.1026 0.1042

2.0 3.2529 3.2267 0.2617 0.2649

2.5 2.5791 2.5794 0.4642 0.4641

3.1 1.7078 1.7079 0.3390 0.3390

3.7 1.1182 1.1187 0.2532 0.2532

4.3 0. 7989 0.7989 0.1944 0.1944

4.9 0.5006 0.5006 0.1557 0.1557

5.5 0.2244 0.2230 0.1337 0.1337

A seguir, um problema (Problema 10), de quatro re­

giões, com diferentes leis de espalhamento em cada uma de-

las , ê ilustrado na Figura 12, onde tem-se incidencia mo­

nodirecional na face esquerda e superficie livre na face di

reita ; resultados de fluxo e corrente total são tabelados

na tabela 5.13 , juntamente com dados obtidos pelo MPN-1 ,

e o comportamento do fluxo total pode ser observado no gra

fico IV / 72/.

58

W = . 5 U = ±

v\/=

-Si

L = 3

Figura 12 : Geometria do Problema 10.

TABELA 5.13 : Resultados do Problema 10

X FLUXO TOTAL CORRENTE TOTAL

X MPN-1 ^6 MPN-1 • 6

0. 0 1.3656 1.3233 0.4226 0.4222 0. 5 0.5810 0.6049 0.2025 0.1859 1. 0 0.2775 0.2808 0.9974(-l) 0.8428(- 1) 1. 5 0.1340 0.1485 0.5058(-l) 0.4984(- 1) 2. 0 0.6745(-l) 0.7841(- 1) 0.2645(-l) 0.2548(- 1) 2. 5 0.373 (-1) 0.401 (-1) 0.1391(-1) 0.1019(- 1) 3. 0 0.251 (-1) 0.270 (-1) 0.967 (-2) 0.864 (- 2) 3. 5 0.162 (-1) 0.182 (- 1) 0.681 (-2) 0.550 (- 2) 4. 5 0. 860 (-2) 0.905 (- 2) 0.260 (-2) 0.243 (- 2) 5. 5 0.641 (-2) 0.732 (- 2) 0.184 (-2) 0.182 (- 2) 6. 5 0. 463 (-2) 0.490 (- 2) 0.129 (-2) 0.126 (- 2) 8. 0 0.318 (-2) 0.356 (- 2] 0.100 (-2) 0.094 (- 2) 9. 8 0.165 (-2) 0.175 (- 2) 0.783 (-3) 0.654 (- 3) 10 . 1 0.128 (-2) 0.138. C- 2) 0.761 C-3) 0.632 (- 3)

59

M P N - J .

F N

(o.O > . 0 Io

GRAFICO III

èû

Lo

.9

.6,

.4

.1

Gráfico IV

Finalmente, como último problema dessa série foi es­

colhido um com duas regiões, incidência cossenoidal na face

esquerda e superfície livre na face direita. Os resultados

encontram-se na Tabela 5.14, onde são comparados com o Meto

do de Regularização, apresentado por Ishiguro /32/. A geome

tria é mostrada na Figura 13.

I N S T I T U T O D E P E S Q U ' P * S E M F R Õ É-T | C > S E N U C l F A R E S

I. "= F . f-J

61

i(o,>A,)=4r

Figura 13 : Geometría do Problema 11.

TABELA 5.14 : Resultados do Problema 11

. FLUXO TOTAL

X Caso 1 Caso 2 X

Ishiguro ^6 Ishiguro

^6

0.0 2.1129 2.1128 2.0932 2.0932

0.1 2.1924 2.1924 2.1683 2.1687

0.2 2.1605 2.1609 2.1329 2.1329

0.4 2.0167 2.0168 1.9823 1.9821

0.6 1.8331 1.8332 1.7919 1.7919

0.8 1.6350 1.6350 1.5866 1.5866

1.0 1.4221 1.4224 1.3662 1.3662

1.2 1.1846 1.1849 1.1537 1.1537

1.4 0.9832 0.9832 0.9719 0.9719

1.6 0.8009 0.8008 0.8057 0.8056

1.8 0.6286 0.6286 0.6468 0.6468

2.0 0.4389 0.4389 0.4675 0.4675

Caso 1 : £2 -j = 0 .0

Caso 2 : ¿ 2 1 " 0 . 5 / 3 .

62

5.2 - Analise de Resultados

Na seção anterior, uma série de problemas foram a

presentados com o intuito de demonstrar a confiabilidade do

Modulo FNAM-1. A escolha dos problemas foi feita procurando

abranger o maior número de casos disponíveis que testassem

as varias opções que o programa possue. E evidente que não

foram colocados todos os casos testados pelo Modulo, uma

vez que não apresentaram diferenças sensíveis de dados de

entrada, ou seja, sempre eles poderiam se enquadrar em um

dos casos aqui mostrados. Também é necessário salientar que

outros problemas, com novas opções, não foram testados de^;i

do ao exiguo número de publicações que apresentassem resul­

tados em geometria plana e um grupo de energia.

Gom referência a um estudo detalhado de cálculo de

erro, quando da comparação com outros métodos, não foi fe¿

to, uma vez que seria necessário estudos mais cuidadosos quan­

to aos resultados ; apenas pretendeu-se mostrar que o meto

do Fj , e consequentemente o programa FNAM-1 , apresenta re

sultados confiáveis dentro de uma precisão de 5%.

Em todos os problemas selecionados, a escolha dos

pontos Fj^(C) foi realizada através da formula :

^j+K-1 IW-^+l) ' J = 1. 2, ... , (N-K-1)

onde usou-se = ^1 3 ' ^ ~ ^' ' ^ °^ pontos re£

tantes como dados pela eq. (5.1) ,escolha essa consideradapor

Maiorino /4l/ como a qual converge mais rapidamente com a

ordem da aproximação.

Obviamente, como o programa está disponível em duas

versões diferentes, uma breve observação deve ser feita quan

to ao tempo gasto pela unidade central de processamento (U.

C.P.). Para um problema de 4 regiões, com qualquer ordem de

anisotropia, onde todos os cálculos anteriormente apresenta

dos foram feitos para uma dada aproximação, o tempo de U.C.

P. gasto no IBM/370 é da ordem de 2 minutos, enquanto que

63

no HB-GCOS/64 gastou-se 10 minutos.

Ê necessário ainda, ressaltar que os resultados que

apresentaram maior erro relativo, foram aqueles os quais fj^

zeram uso da condição de reflexão nos contornos, não sendo

ainda possível avaliar se devido a problemas com a estrutu

ra do programa ou se o método utilizado não é tão eficiente

nesses casos.

64

CAPÍTULO VI

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

De acordo com os resultados apresentados no Capí­

tulo V, demonstrou-se que o método Fj apresenta boa preci­

são, além de ser de fácil generalização. Até o presente mo

mento, o método mostra-se eficiente era geometria plana, com

um grupo de energia. Contudo, seria interessante fazer o

mesmo procedimento aqui utilizado aplicado a multi-grupos ,

ou a outras geometrías.

Quanto aos resultados apresentados pelo Modulo ,

seria necessário que um estudo futuro fosse feito em rela­

ção aos erros percentuais apresentados, melhorar o tempo de

U.P.C. e testar, ainda, novas opções de condição de contor­

no ou novos problemas.

Também sugere-se um estudo quanto ao problema de

reflexão nos contornos, para estabelecer assim , a total e_

ficiência do método nesses casos.

Em resumo, talvez uma frase de Jaynes (*) possa

melhor descrever o estado de arte do Método Fj :

"A introdução de qualquer novo método em ciência

introduz um transiente, o qual requer vários anos

para se estabilizar. No início ocorrem expectati^

vas e afirmações extravagantes sobre as possibi­

lidades de aplicação do novo método, seguidas de

críticas e negativas daqueles que possuíam inte

resses nos métodos anteriores ; . . . , Eventualmen

te, atinge-se um ponto de reavaliação e possível^

mente, pode-se então fazer um julgamento objeti­

vo acerca de exatamente o que o método pode e o

que não pode contribuir. Este ponto é raramente a

tingido em menos de 10 anos".

(*) - D A Y N E S , r . T . Trans. Inform. Theorv.1 EEE:.14 : 611,1968.

65

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73

APÊNDICE A

A.l - Equação de Boltzmann

A fim de melhor situar num contexto maior o probl£

ma que nesta dissertação foi abordado, faz-se necessário uma

breve explicação acerca da equação utilizada.

O objetivo maior da teoria de transporte ê a descri^

ção do comportamento médio de uma população de partículas

num meio material, e a obtenção de parâmetros de fenômenos

macroscopicamente observáveis a partir da descrição do pro

cesso microscópico de transporte. Desta forma, a teoria de

transporte ê um ramo da Mecânica Estatística. Cumpre desta

car que a Mecânica Estatística possui dois ramos distintos;

um que trata dos sistemas em equilíbrio (Termodinâmica) e

outro dos sistemas em não equilíbrio (Teoria Cinética). As­

sim sendo, a teoria de transporte se enquadra nos objetivos

da teoria cinética , qual seja : o estudo e a derivação de

equações que descrevam a distribuição de partículas em va­

rias situações físicas.

Tais "equações cinéticas" são exemplos típicos da

equação de Boltzmann para gases diluidos, transporte de neu

trons ou da equação de Vlasov para plasma, salientando-se que

um ramo muito restrito da teoria cinética é aquele ligado ã

solução de tais equações e sua aplicação ao estudo dos pro

cessos de transporte ou "equações de transporte". /3l/.

No caso particular de partículas não carregadas (neu

trons e fotons) , a descrição matemática do processo de

transporte assume uma forma linear. Entretanto no caso das

partículas poderem interagir entre elas, além de interagirem

com o meio no qual o processo de transporte se efetua, a

descrição matemática assume uma forma não linear extremamen

te complexa. O objetivo desta Seção é mostrar que é possível

derivar a equação utilizada neste trabalho (linear), a par

74

tir da equação mais geral (não linear).

A £im de derivar uma forma genérica da equação de

transporte, é necessário obter uma expressão exata para a

densidade no espaço de fases, caracterizando o processo de

perdas ou ganhos de partículas em um certo volume do espaço

de fases. Para tal çeja :

f - (r , V . , t) d r d" v. = função distribuição - provável nu

mero de partículas de espécie i ,

cujas coordenadas de posição "va

riam em d^r sobre r e de velocida

de em d' v sobre v^ , no tempo t .

F.(r , t) = forças externas por unidade de massa (acelera-

ção) .

Desta forma, com esta definição, tem-se :

f ( r + V. dt , V. + F. dt , t + dt) = f. (r , V. , t) , (A.l),

e se houver colisões

f.(r + V. dt , y. + F. dt , t + dt) = f. (r , y. , t) +

9f. dt

^ íyr^ colisões ° 2 )

Assim sendo, para derivar uma expressão para o ter­

mo de colisão :

df. 3f. 3r. 8v.

( N S T I T U Í Ò D E P E S O U ' S A S E N Í F R C - É ' ^ I C ' S E N U C L E A R E S

I to p . N

75

onde V e v é o gradiente em relação as coordenadas w> i ^i

posição e velocidade , respectivamente , e sendo :

3r.

^ = V. (velocidade) (A.4)

^^i a

^ = F. (2. lei de Newton) , (A.5)

obtem-se :

9t colisão ) - = 4 ^ ifi ^ ^ h ^ Oh^l . V , , t) .

(A.6)

Definindo :

3f.

(• Y~) ^^-j^^^-^ como a taxa na qual a função distribuição de

velocidade altera-se através de colisões, pode-se definir :

d" r d^ v^ dt = número esperado de colisões ocorrendo du

rante o tempo t e t + dt na qual o es

tado final está em d^r d^ v^ ,ao redor

de r e v.

- 3 3

d r d v^ dt = numero esperado de colisões ocorrendo du

rante o tempo t e t + dt no qual o esta­

do inicial esta em d" r d^ v^ , ao redor

de r e V .

Assim sendo :

3f.

(g- i ) dt_ = (r. - rT) dt . (A.7) colisão

Analisando a dinâmica do processo de colisão e u

sando as seguintes hipóteses :

76

- somente colisões binarias são consideradas, ou

seja, as partículas interagem somente duas a duas.

- as partículas são consideradas esféricamente simê

tricas.

- não há correlação entre as posições de duas partí^

cuias que colidem (meio amorfo).

Desta forma, pode-se obter uma expressão para o ter

mo de colisão, podendo a eq. (A.6) ser reescrita :

(Ir + V . . Vr + F. . V V . ) £-(r , V . , t) =

Z // (f! f: - f. f.) a (V. ,v./v: .yj) d^ v. dfi (A.8),

onde a(v., y./y^ , y!) representa a seção de choque dife

rencial .

E ainda

£2 = f(r, , t) , f¿ = f(r , y; , t)

Considerando, agora, que ha j a apenas dois tipos de

partículas, ou seja , f e f2 :

(^1' ^2 / ' ^ / d^/d' v^(f' fi - f^ f^) a(y^/y;) ,

(A.9)

77

ou

• ^ ' 1 / ^ 2 ' ^ ^d^^d^ ^ 2 ^ ^ 2 - h '^^l^ri')'

(A. 10)

A.1.1 - Derivação da Equação de Transporte de Neutrons a

partir da Equação de Boltzmann.

Para se derivar a equação de transporte de neutrons

a partir da equação de Boltzmann ê necessário fazer-se algu­

mas hipóteses básicas. Supondo que haja apenas dois tipos de

partículas, tais como neutron (f- ) e partículas moderadoras

{í^^ > assume-se que :

- f-j ^ 2 ' seja, a densidade de partículas de

neutrons é menor que a densidade de partículas

moderadoras.

- o moderador está em estado de equilíbrio comple M M - ~ ~

to ( f 2 = f 2 ) , onde e a distribuição de

Maxwell - Boltzmann.

- Não há forças externas, ou seja, F E 0.

Assim sendo, a equação de Boltzmann torna-se

% ^ Y i • ^ 5 ^ 1 - ^ -i « i i L q f i - f i £ i _ j

+ / d^ V 2 w ^ 2 ^ 2 • ^1 ^ 2 ^ f^'^^^

onde w^j r e f e r e - s e a p r o b a b i l i d a d e de i n t e r a ç ã o da p a r t í c u

78

la i com j .

Assim, a equação para neutroiB torna-se

pois £^ << £ 2 , £-| ^ O O , onde :

n l '1 v Z V i "'iZ ^ 2 (A.13)

(A.14)

sendo V^(v^) a seção de choque total e E (v^ -> y-j) a seção

de choque de espalhamento.

De£inindo

V £(r, t)d y^ = i^r, E^, g , t) , (A.15)

í^l = v-j Í 2 ) com

d V ' = d V ' d = ¿ V ' dE- dÇl' v-l 1 i v , m l i ^ ' (A.16)

tem-se

L T r l t ^ 5i • ^ ^ ^ t f ^ i ^ ^ ^ f j ^ ' 1 ' í i '

= // d E ' d ü{ (E- , - E^ , Q^) Hr, E- , fi- , t) .

(A.17)

que é a equação £inal de Boltzmann para partículas não carre

79

gadas.

Supondo, agora, que a equação (A. 17) esteja em e_s

tado estacionãrio, e assim não havendo dependência temporal:

L^i ' \ ' h^-^i^ 3 ' 1 ' Si =

= // d E ' dü[ E C E ^ ' ^1 ' Sl *fl' ' ' (A-18)

onde ainda mais uma vez pode-se eliminar o parâmetro energê

tico , supondo-se que a equação final desejada seja mono£

nergêtica. Obviamente isto pode ser feito procedendo-se ã

integração da eq. (A.. 18) em todo espaço de energia (O-») ,

tornando-se :

^h. • \ ' h^h^^ "^^^^ 5i^ = Si ^(?i íi) •

. I | I ( r , Í Í ' ) ( A . 1 9 )

Expandindo-se a dependência angular em polinomios

de Legendre, e supondo-se que a dependência espacial seja a

penas em x , obtem-se :

i>ix,v) + 4^(x,y) = l (2 £ + 1) fj (y) •

5/"~ O

1 / P.(y') ^Pix,M') dy' , ( A . 2 0 )

•1 ^

a qual ê a Equação de Boltzmann linear, monoenergetica e em

geometria plana.

80

A.2 - Autovalores

todo F N

Para a solução dos problemas considerados, pelo mé-

, o cálculo dos autovalores discretos é essencial ,

desde que este ê sempre um ponto em que as equações Fj são

válidas. Uma vez que as equações Fj são fáceis de generali­

zar e resolver, a computação dos autovalores discretos é ,

talvez, o aspecto mais difícil do método. Sendo assim, nes^

ta seção mostrar-se-á como essas quantidades são computadas.

Para o modelo de espalhamento isotropico, os auto-

valores requeridos são os zeros da função dispersão /60/ :

X (z) = 1 - I wz log 1^ , Z ^ (-1,1) , (A.21)

a qual possui somente um par de zeros IbOl- Para w < l , os

zeros são reais e para w 1 os zeros da função são i m a g i n a

rios purss.

Para obter-se , usa-se /60/

/ 1 - W ^ o ^ (A.22)

onde

6(t) = tan -1 pWTTt - 1

LixitlJ (A.23)

t é (0,1) com

X(t) = 1 - wt tanh -1

(t) (A.24)

Na tabela 7.1 , computou-se alguns valores de

para espalhamento isotropico. Todos os auto-valores apresen

tados foram refinados usando-se um esquema iterativo de

Newton-Raphson além do uso de 80 pontas de quadratura de

Gauss a fim de computar-se as integrais necessárias para ob

81

ter-se as soluções explícitas dos auto-valores.

TABELA 7.1 : Auto-valores refinados para espalhamento iso

trópico.

w V 0

W 1 ^

Ü.20 1.000090887 • 0.95 2.635148834

0.30 1.002592888 0.96 2.934020561

0.40 1.101458582 0.97 3.374031386

0.50 1.044382034 0.98 4.115520476

0.60 1.110213202 0.99 5.796729451

0.70 1.206804254 0.999 18.264725726

0.80 1.407634309

0.90 1.903204856

Para o modelo geral de espalhamento anisotropico,os

auto-valores discretos são os zeros da função dispersão :

A ( Z ) = 1 - Z /

-1

dx Z-x '

(A.25)

Z ^(-1,1) e onde

L i>ix) = 5 Z (2£ + 1) f^ g^(x) P^(x) , e a (A.26)

5/ O

função característica , com

(A. 27)

J N S T Í T U T O D E P E S O U I S A ^ H -P R C É - ^ l C S e N U C L E A R E S

82

e g ^ ( v ) = 1 , g ^ ( v ) = (1 - w ) V , (A.28 a,b)

sendo = (2£+l) ( 1 - w , (A.29),

e Pj^(x) os polinomios de Legendre.

Desta forma, obtem-se :

L

A (Z) = 1 + E (2£ + 1) g^(Z) r j z ) ^ — 1

- Z i|j(Z) l o g ^ l ^ , (A.30)

com

(2£ . 1) z r ^ ( Z ) = - 2 6^^Q H- (£.1) r , , , (Z) . £ r ^ _ ^ ( z ) ,

(A.31)

sendo :

r ^ ( Z ) = 0 e r ^ ( Z ) = 2 . (A.32.a.b).

Pode-se mostrar /60/ que J\_(Z) possui (K-1) pares de

raizes, sendo que o número de pares pode ser determinado por:

A fim de obter-se os auto-valores discretos, pode-se

usar as formulas dadas por Siewert /(,{}/. Desta maneira, para

K = 1 , tem-se :

Da mesma forma, se k = 2 usa-se

onde

com

83

2 1 r 2 dt -1 , "o C- ^ ^ eCt) - J , K = 1 (A.34)

com 0 (t) ^ -1 r"^ t i¡)it)

(A.35)

_ K M = n (1 - w f„) . 1 = 0 ^

C A . 3 6 )

= A . (A2-B)1/^ K = 2 (A.37)

= A - (A2-B)1/2 K = 2 (A.38)

, 1 L A = 1 - é / t 0(t)dt + 4 E f„ B,

O (A.39)

(2£.l) B,,^ = B, . (2i¿ + 5) (2JI + 3) 2£-l

(A.40)

com B = \ e B T = - | ^ h , o 3 1 5 o

(A.41.a,b)

e também (2£ + l) W -, = h^W^^ (A.42)

com W = 1 o

84

E ainda

B = 1 r 2 7 dt -r (A.43)

Finalmente, para o caso em que K = 3 , tem-se 3 equa

çoes :

2 2 2

^0 ^ ^2 = A R ^ exp C- i / 0(t) , K = 3 , (A.44)

2 . 2 ^ 2 3 - B t +

L

1 •ÃFT \ w (A.45)

- (Vg + V Q V2 + V2) = 3(1 - 0 ^ ) + 0 ^ + 4 0 ? + 3 2 "1

+ (3 -

onde

w

¿=0 (A.46)

0

a - / t" 0 (t) dt , ^ O

(A.47)

(2£.l) C^,, = ^ (2£ + 5) (2Ji + 3)

V

2£-l T £-1 '

(A.48)

( A .49) 2£+5 2£+ 7 2£+3

(A .9) .a,b)

85

A fim de demonstrar a precisão das soluções explicó^

tas dadas pelas equações acima para os casos de K = 1 , 2 e 3,

listou-se nas Tabelas 7.2 e 7.3 os auto-valores discre­

tos obtidos para diferentes leis de espalhamento. Na Tabe­

la 7.4 a lei de espalhamento que foi utilizada ê dada pela

formula /4l/ ; com L = 20 :

(2JI+1) f = ^ r £ f hil r " ' 2L L " "£-1

+ (2£+l) f\-^ +

+ (£+1) f L-1 -,

£ + 1 com (A. 51)

f^ = 1 e fo = O se £ > L . o £

TABELA 7.2 : (a) lei de espalhamento. (b) Auto-valores Discretos,

(a)

£ {21+1) f

0 1.00000

1 2.35789

2 2.76628

3 2.20142

4 1.24514

5 0.51215

6 0.16096

7 0.03778

8 0.00667

9 0.00081

10 0.00000

w V

o

0.2

0.8

0.95

1. 0630333

2.4371617

5. 347618

1.0519660

1,1490146

86

TABELA 7.3 : (a) Lei de espalhamento. (b) Auto-Valores Dis

cretos.

(a) (b)

l (2¿+l) £^

0 1.0

1 2.00916

2 1.56339

3 0.67407

4 0.22215

5 0.04725

6 0.00671

7 0.00068

8 0.00005

W V

o ^1

0.65

0.80

0.95

0.9999

1.548109

2.105221

4.440365

100.456833

1.00005

1.001131

TABELA 7.4 : L = 20

^0 ^2

w Explícito Refinado Explícito Refinado Explícito Refinado

0.1

0.5

0.95

1.030043

1.536814

7.480699

1.030042

1.536814

7.480699

1.054989

1.019561

1.054987

1.0195586 1.666787 1.666787

8-7

A.3 - Modificação na Computação dos Polinomios g^Cv) e

das funções A ' - (v) , B^^-^ (v) para grandes valores

de V e dos coeficientes continuos A(± Ç ) .

A principal dificuldade numérica encontrada nos pro

blemas apresentados no Capítulo IV foi a computação das fun

ções A^^-' (v) e ^^^^ quando w (número de partículas s£

cundarias) aproxima-se da unidade. De acordo com as equações

(4.11) e (4.12.a,b), as auto-funções g^C^) podem ser calcu­

ladas através de uma formula de recorrência. Entretanto, es

sas formulas não fornecem resultados numéricos que reprodu

zem seu comportamento correto, quando |v. -|p3 ,especialmen

te para grandes valores de £ (onde v. , denota o maior auto

valor), devido a problemas de precisão numérica no computa

dor digital. Assim sendo, para contornar esse problema, e

baseando-se no fato que go(v. ,) tende a zero se v. , tende

a infinito, define-se para grandes valores de 2,, por exem

pio £ = 30 , as funções g* (v) = 0 e g^-^C^) = 1 > e u

sando-se a formula de recorrência dada pela equação (4.11)

de forma inversa, ou seja :

§£-1 = ^ ^£ §£ " f^^^^ §£ + 1 f" - f^-"^

e uma vez que g (v) = 1 , pode-se obter as funções g, (v) a O A/

traves de :

g.Cv) = ; £ = 0,1,2 ... . (A.53)

^ g* (v)

Outra dificuldade encontrada, quando w é perto da

unidade, é a computação das funções A ^ - (v^ ,) e B' " - ( v ^ , )

01 P , J- c p , 1

usando a relação de recorrência dada pela equações (4.35) e

(4.38). Para superar esse problema computacional, usou-se sé

ries truncadas as quais foram derivadas da definição origi­

nal das equações de A*- - (v. ,) e B!- -' ( v . , ) . Oí. I j X CX I 9 X

Assim, da definição original de A ' -' (v. ,) e

a ^ 1 , 1 ^

88

^ (Vi,,) = / g(v,,,, -U) (A.54)

^ (Vi,l) = / y ' ^ g(v. ,,y) ^ . (A.55)

Desta forma, pode-se expandir -j— y em séries de po

tência a fim de obter-se , apos integração,

1 1 1

i,l i,l

(A.56)

"i,l t^.l' = . 1 f* 'aj. * ^ A

séries essas truncadas em uma determinada ordem conveniente.

Como já discutido no Capítulo IV, o cálculo dos coe­

ficientes contínuos A(±v) requeridos na eq. (4.6) implica na

resolução de integrais singulares, cujas singularidades de­

vem ser removidas. A fim de ilustrar o procedimento utiliza­

do, seja a seguinte integral :

89

a i 1 „-x/Ç

o 1

onde 0i(C,y^) = I ^ ^ Py ^ F ^ ^ '

+ A. ( O 6(Ç - y ^ ) , ( A . 5 9 )

com Ç . y ^ e(0,l) .

-x / Ç Denominando-se F^ ' (Ç) - ^ - , (A . 60)

F r ( Ç ) = F . (Ç) * I w. Ç g. a, y ^ ) , ( A . 6 1 )

F p ( 0 = F. (Ç) . A. (Ç) , ( A . 6 2 )

inserindo essas equações na eq. (A.^58) , tem-se :

^ 1 p 1

I = T è ( O ^ ' + / F | * (Ç) Ô(Ç - y ^ ) D N ,

Z T T ^ r - y . o _ i o ^ ^0 o

(A.63)

Pode-se , assim, fazer

1 P ^ F - ( Ç ) - F* (y ) ^

n ° O O O

(A.64)

9 0

e sabendo-se que a segunda integral do lado direito da equa

ção pode ser calculada no senso do valor principal de Cauchy:

) log ^ , (A.65) x-c ^ c-a

a

obtem-se a forma final para o cálculo da integral da eq.

(A. 6 3 ) :

1 F ! ( 0 - FAm) * 1 - y

* *

(A.66)

lembrando ainda que as funções N^(Ç) e e^íK^V^) são as expl^^

citadas no Capítulo IV pelas eq. (4.18) e (4.11), respectif

vãmente.

A.4 - Desenvolvimento Analítico das Funções de Interesse

no Método F^.

Nesta seção, algumas considerações sobre quantidades

utilizadas no Capítulo IV serão feitas, uma vez que a forma

pela qual as constantes A - (Ç) e B^^-' (Ç) são apenas ci

tadas, um tratamento matemático mais rigoroso se faz necessa

rio.

Sabendo-se que :

^o''' ^ ^ ^ ^iC-^.Vi) dy , (A.67)

onde

91

L.

com

PoCy) = 1 e P^(y) = y . (A.71.a,b)

Substituindo-se as eqs. (A .68) , (A.69) e (A .70) na

equação ( A .67), obtem-se

L. 1

^ o ' ^ ( O = l (-1)^ £ . ^ ^ g . ^ ^ ( O / P,(y) ' £ = 0 Q

(A.72)

Usando a relação de recorrência dos Polinomios de

Legendre (eq. A . 7 0 ) , na equação acima, determina-se :

A^'^ U) = 1 - í l o g (1 + ) . | ; . (0 +

L. 1

" h,Z gi,£ ' (A.73)

onde as funções ^.(K) e ir. (Ç) são dadas no Capítulo IV.

Para determinar-se B^^-' (Ç) , tem-se

1

^o'^ f ^ = F I ^ 0 i (Ç.y)y dy , (a.74) ^ o

g i ( - Ç , y ) = (2£ ^ 1) f^^, (-1)' g . ^ , ( 0 P,(y) , (A.69)

92

ou então

1 1

^o'^ = TT ^ 0 i (S ,y ) ydy + f 0 . ( - Ç , y ) y d y ,

° (A.75)

onde a segunda integral da expressão acima pode ser substi­

tuida por A^^^ ( Ç ) .

Desta maneira

1

^ o ' ' ' = F S 0 i(Ç ,y) ydy + A^^^ ( O , (A.76)

-1

onde

/ 0 . ( Ç , y ) y d y = Ç(l -w. ) , (A.77)

-1

ou seja

B^'^ U) = - 2 + A^i^ ( O . (A.78)

Para determinar-se uma expressão geral para B^(Ç) ,

usa-se a equação de transporte :

w ^i y ^ (x,y) + ip.(x,y) = -f E (2il+l) P^(y) g^iK)

ÍL 0 (A.79)

e substitui-se

ii;^Cx,y) = 0 . (Ç ,y) e • ( A .80)

93

Multiplicando-se a eq. (A.79), apos a substituição

proposta, por — e integrando-se em y 6 (0,1) , i

L.

(A.81)

Da mesma maneira, para conseguir-se uma expressão

para ^^(.K) , faz-se :

i|;.(x,y) = 0 - ( -Ç ,y) e""/^ . (A.82)

e substitui-se em (A . 79) . Procedendo-se da mesma fôrma em

relação a eq. (A. 82) , como descrito acima, obtem-se :

L. 1

A^^^ U) = - í A^i^ ( O + Z (-1)^ (2£+l) f g (Ç) A . Oí i,£ i,£ a 1,

(A.83)

Para gerar a relação de recorrência para gj (' ) . é

necessário partir-se da equação de transporte linear, mono

energética e em geometria plana. Seja :

y 4^(Z,y) + i|>(Z,y) = f / i|j(Z,y')dy' , (A.84)

-1

onde Z = X , pode-se solucionar esta equação, propondo

se :

^ 7 0 + 1

iii(Z,y) = Z 0 (Z) P (y) . (A.85) £ = 0 4TT ^ ^

Inserindo-se (A.85) em (A.84), obtem-se :

E (2£ + l)y P^(y) ^ 0^(Z) + E (2£ + l) 0JZ) P^(y) = w 0q(Z)

^ = 0 ^ = 0 (A.86)

94

Agora usando a relação de recorrência dos Polinomios

idre na equação acima, multi

e integrando em (-1,1) , obtem-se :

de Legendre na equação acima, multiplicando tudo por P^ (y)

4 ^£-1^^^ ^ t ^ ^ l ) éh.l^^^ ' (2£.l) 0 , ( z ) = c 0 , ( z ) 6^^, .

Para solucionar a equação acima, propõe-se :

0¿(z) = g^(v) e -x/v

(A. 8 7.)

(A.88)

e assim tem-se

(A.89)

onde

(A.90)

A f im de d e t e r m i n a r a r e l a ç ã o de r e c o r r ê n c i a dos p o -

; nu CÇ) , b a s t

eq . (A,67), f azendo :

linômios ndCÇ), basta partir da expressão de A^(Ç) dada na

£ = 0 (o) = = fi,0 Si,O ^

0 y+ç dy , (A.91)

e resolvendo a integral:

xf° = 1 - Ç log (1+1/Ç) . (A.92)

Para £ = 1 , X^^^ = - 3 Ç f^ g^(0 log (1+1/Ç) P^ÍO +

+ 3 f g^(Ç) n- (C) (A.93)

onde

I N S T I T U T O D E P E S Q U I S A S e ^ . ! F R G É T l C » S E N U C L E A R E S

1, P. E. N.

95

Jl^iO = Ç - 1/2 . (A. 94)

Para 1 = 2, tem-se :

n^W) = I - 1/2) . (A.95)

Assim sendo, usando sempre a relação de recorrência

dos Polinomios de Legendre, obtem-se :

(2£ + l) í n^(Ç) = (-1)^(2£ + 1)A^^^ + (£ + 1) Hj^^^CO + £ Ij^^CÇ).

(A.96)

Por último,ê necessário determinar-se a relação de

recorrência para os polinomios r^(Ç) . Assim, a partir da

expressão :

A C Z ) = 1 + Z / ^píix) 1^ , (A.97)

-1

onde

L

^PM =^ E (2£ + l) g^(x) P^(x) . (A.98)

£ = 0

Para £=0 , tem-se :

A(Z) . 1 . Z ? f„ g j z ) P j z ) _ / ^ , (A.S9)

e resolvendo a integral acima :

A(z) = 1 - Z 5 g^(z) P^(z) l o g ( ^ ) : (A.100)

Para £ = 1 :

96

A-^z) = 1 . Z I £^ g(Z) P(Z) log(F ) .

+ Z Ç / g^(x) P^(x) , ( A . 1 0 1 )

ou seja :

A(z) = 1 + 3 f E £ g (z) P (z) log(f^) + 3 f. g, (z) . 2 ,

( A . 1 0 2 ) onde

2 = r^(z) . (A.103)

Para 1 = 2 :

ACz) = 1 - z ? £, g,(z) P,(z) log (f^l) .

+ E £ g (z ) (2£+l) f Z , ( A . 1 0 4 )

onde

r2(z) = I z. ( A . 1 0 5 )

Desta maneira, usando as relações de recorrência dos

p o l i n o m i o s g^(z) e P^C^) , obtem-se :

( 2 £ + l ) z (z) = - Ô^^Q + ( £ + 1 ) r^^^ (z) + IY^_^ (z).

( A . 1 0 6 )

97

APÊNDICE B

Neste apêndice ê apresentado informações referen

tes ao programa computacional confeccionado. Primeiramente,

o diagrama de blocos base do módulo e um manual de instru­

ções para o usuário ê mostrado. A seguir , uma listagem com

pleta ê anexada, bem como os cartões de controle utilizados

para procesar o módulo nas versões IBM 370/155 e HB-GCOá/64,

nas quais o programa se encontra disponível.

Também problemas previamente selecionados são e

xibidos , acompanhados de uma listagem contendo os dados de

entrada e saída requeridos.

B.l Diagrama de Bloco e Dados de Entrada do FNAM-1

Nesta seção apresenta-se de maneira geral, a s e q u e n

cia lógica utilizada no módulo FNAM-1 através de um diagra

ma de blocos simplificado. Além disso, um manual de instru

ções para utilização do programa é fornecido, onde procurou

se instruir o usuário de forma lógica e sucinta da maneira

mais conveniente de se obter os resultados desejados.

DIAGRAMA DE BLOCO

DADOS DE ENTRADA

JL Calculo e refinamento

dos autovalores

Condições de

Contorno

98

Calculo dos coeficientes

SAÍDAS

cálculo das constantes

Determinação das constantes

A(±v.^p) e A(±Ç)

SA DAS

r 1

FLUXO TOTAL CORRENTE TOTAL

ALBEDO

^ FATOR DE TRANSMISSÃO

FLUXO ANGULAR NAS

INTERFACES

FATOR DE DESVATAGEM TÉRMICA

FLUXOGRAMA DO FNAM - 1

I N S T I T U T O D E P E S Q U ' S A S E E R G É ' • ' I C « S E N U C Í E A R F S

99

Biblioteca de dados a serem gravados em unida-

de periférica (disco ou fita) os quais são utilizados pela

subrotina AMUFNl, a qual calcula os auto-valores. Esses da

dos devem ser gravados com o nome CP888. BUGGY. LIB , na u

nidade um.

10 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 S 9 7 Q 3 520 0 . 0 9 7 4 G 8 3 9 8 4 4 1 5 8 4 5 9 9 0 6 2 0 Ü . 9 S D C 530 0 . 0585C443715242 06 6 8 63 3 0 0 . 9 9 8 C 0 540 0 . 01 951 1 38325679399765 A O 0 . 9 9 9 8 D 0 550 0 . 001 1 4495000 31 8694 1 53 5 0 0 . 9 9 9 9 5 D 0 560 0 . 0 0 2 6 6 5 5 3 3 5 8 9 5 1 2 6 8 1 6 7 60 0 . 9 9 9 9 9 8 D C 570 0 . 0 0 4 1 8 0 3 1 3 1 2 4 6 9 4 8 9 5 2 1 70 0 . 9 9 9 9 9 9 R D G 58C 0 . 0 0 5 6 9 0 9 2 2 4 5 1 4 0 3 1 9 8 6 5 80 0 . 9 9 9 9 9 9 9 S C C 590 G . 0 0 7 1 9 2 9 0 4 7 6 8 1 1 7 3 1 2 7 5 90 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 D C 6C0 C . 00868 39452692608584 3

100 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 D 0 610 0 . 0 1 0 1 6 1 7 6 6 0 4 1 1 0 3 0 6 4 5 2 1 1 Ü 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 D C 620 C . 01 1 6241 1 4 1 2079782692 1 ?0 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 S D 0 630 C . 01306 8 7 6 1 5 9 2 4 0 1 3 3 9 2 9 130 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 D 0 640 0 . 01 4495508C405090761 2 1 t*Q 8G 650 0 . 0 1 5 8 9 6 1 8 3 5 8 3 7 2 5 6 8 8 0 4 150 0 . 9995538226516 3 06 2938 660 0 . 017274652C562 6 9306 160 G . 9 9 7 6 4 9 8 6 4 3 9 8 2 3 7 6 8 8 9 0 670 0 . 0 1 8 6 2 6 8 1 4 2 G 8 2 9 9 G 3 1 4 3 1 ?0 c . 9 9 4 2 2 7 5 4 G 9 6 5 6 8 8 2 7 7 8 9 68 0 0 . Ü 1 9 9 5 0 6 1 G 8 7 8 1 4 1 9 9 8 9 3 180 G . 9 8 9 2 9 1 3 0 2 4 9 9 7 5 5 5 3 1 0 3 690 0 . 0 2 1 2 4 4 0 2 6 1 1 5 7 S 2 0 0 6 3 9 190 G . 9 8 2 8 ^ 8 5 7 2 7 3 8 6 2 9 0 7 0 4 2 700 0 . Ü 2 2 5 C 5 0 9 0 2 4 6 3 3 2 4 6 1 9 3 200 G . 9 7 4 9 C 9 1 4 0 5 8 5 7 2 7 7 9 3 3 9 7 1 0 0 . 0 2 3 7 3 1 8 8 2 8 6 5 9 3 0 1 0 1 2 9 21C C . 9 Ó 5 4 8 5 Ü 8 9 C 4 3 7 9 9 2 5 1 4 5 7 2 0 0 . 0 2 4 9 2 2 5 3 5 7 6 4 1 1 5 4 9 1 1 1 2?G G . 9 5 4 5 9 0 7 6 6 3 4 3 6 3 4 9 0 5 4 9 73 0 0 . 0 2 6 0 7 5 2 3 5 7 6 7 5 6 5 1 1 7 9 0 ?3Ü 0 . 94224276130 9 8 7267475 7 4 0 G . 0 2 7 1 8822 750048638067 2 A 0 G , 9 2 8 4 5 9 8 7 7 1 7 2 4 4 5 7 9 5 9 5 750 0 . 0 2 8 2 5 9 8 1 6 0 5 7 2 7 6 8 6 2 4 0 250 G . 9 1 3 2 6 3 1 0 2 571757654 1 6 7 6 0 C . 0 2 9 2 8 S 3 6 9 5 8 3 2 6 7 8 4 7 6 9 26C G . 8 9 6 6 7 5 5 7 9 4 5 8 7 7 0 6 8 3 1 9 770 0 . 0 3 0 2 7 2 3 2 1 7 5 9 5 5 7 9 8 0 6 6 270 0 . 8 7 8 7 2 2 5 6 7 6 7 8 2 1 3 8 2 8 7 0 780 C . 03121017418 8114 70 164 280 G . 8 5 9 4 3 1 4 0 6 6 6 3 1 1 1 0 9 6 9 8 790 0 . 032 1G04986734877731 5 290 C . 83883 147358025527562 300 G . 0 3 2 9 4 1 9 3 9 3 9 7 6 4 5 4 0 1 3 8 300 G . 8169541386 8146347037 81 0 0 . 0 3 3 7 3 3 2 1 4 9 8 4 6 1 1 5 2 2 8 2 310 0 . 7 9 3 8 3 27175046 0 5449 9 5 820 0 . 0 3 4 4 7 5 1 2 C 4 5 1 7 5 3 9 2 8 7 9 3 20 G . 7 6 9 5 C 2 4 2 Q 1 3 5 Ü 4 1 3 7 3 3 7 830 0 . 0 3 5 1 6 0 5 2 9 G 4 4 7 4 7 5 9 3 5 0 3 30 C . 7 4 4 C C n 2 9 7 5 8 3 5 9 7 2 7 2 3 2 840 0 . 0 3 5 7 9 4 5 9 3 9 5 3 4 1 6 0 5 4 6 0 3 40 G . 7 1 7 3 6 5 1 8 5 3 6 2 0 9 9 8 8 0 2 5 850 G . 0 3 6 3 7 3 7 4 9 9 0 5 8 3 5 9 7 8 0 4 350 0 . 6 8 9 6 3 7 6 4 4 3 4 2 0 2 7 6 0 0 7 7 860 0 . 0 3 6 8 9 7 7 1 4 6 3 8 2 7 6 0 0 8 8 4 560 G . 6 6 G 8 5 9 S 9 8 9 8 6 1 1 9 8 0 1 7 4 870 0 . 0 3 7 3 6 5 4 9 0 2 3 8 7 3 0 4 9 0 0 3 370 G . Ò 3 1 C 7 5 7 7 3 C 4 6 8 7 1 9 6 6 2 5 880 0 . 0 3 7 7 7 6 3 6 4 3 6 2 0 0 1 3 9 7 4 9 380 0 . 6 0 C 3306 2282 97 5 1 7 4 3 1 5 890 0 . 0 3 8 1 2 9 7 1 1 3 1 4 4 7 7 6 3 8 3 4 3 90 0 . 5 6 8 6 7 1 2 6 8 1 2 2 7 0 9 7 8 4 7 3 9C0 0 . 0 3 8 4 2 4 9 9 3 C 0 6 9 5 9 4 2 3 1 9 400 C . 53 6 14592GS97131932C2 910 0 . 0 3 8 6 6 1 7 5 9 7 7 4 0 7 6 4 6 3 3 3 410 0 . 5028 0 4 1 1 1 8 8 8 7 8 4 9 8 7 5 9 920 0 . 0 3 8 8 3 9 6 5 1 C 5 9 0 5 1 9 6 8 9 5 420 0 . 4 6 869661517 0 5444 7 70 4 930 0 . 0 3 8 9 5 3 3 9 5 9 6 2 7 6 9 5 3 1 2 0 430 0 . 4 3 3 8 7 5 5 7 0 8 3 1 7 5 6 0 9 3 0 6 940 C . 03901781365630665481 4 4 0 0 . 3 9 8 3 9 3 4 0 5 8 8 1 9 6 9 2 2 7 0 2 950 5 450 0 . 362 3C4 7 534994 8731 5 61 960 - 0 . 5 D 0 460 G . 3 2 5 6 6 4 3 7 0 7 4 7 7 0191462 970 • 0 . DC 4 70 0 . 2 8 8 5 2 8 0 5 4 8 8 4 5 1 1 8 5 3 1 1 980 + C . 5DC 4 8 0 0. 25C95235 8 39227212 0 4 9 4 9 0 0. 2 1 2 9 9 4 5 0 2 8 5 7 6 6 6 1 3 2 5 7 500 0 . 1747122 9183264681256 510 C , 1 3 6 1 6 4 0 2 2 8 0 9 1 4 3 8 8 6 5 6

MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUÁRIO

CARTÃO

NOME

COLUNA

FORMATO

DESCRIÇÃO

1

TITLE

1-72

18A4

TITULO DO PROBLBIA

2

NOP

1-3

13

= 0

rodar somente para a aproximação N

(N^^ = 10)

> 0

rodar para todos os N < 10

NA

4 - 6

13

ordem de aproximação do método (caso NOP=0)

K

7-9

13

número de regiões (K

=20)

max

3

LM

1 - . 72

13.

ordem da lei de espalhamento para cada região (K ele­

mentos^

4

LEO

1-3

13

= 0

0 próprio programa calcula os coeficientes da ex

pansão em polinomios de Legendre fnão é necessá­

rio 0 Cartão 8).

> 0 0 usuario devera fornecer os coeficientes (vide

instruções LE)

LE

4 .- . 6 . • . .

13-

Lei de espalhamento da seção choque.

= 0 -> espalhamento isotropico (não é necessário cartão

8)

> 0 lei de espalhamento igual para todas as regiões

(fornecer no cartão 8 apenas para uma região)

< 0 •> lei de espalhamento diferente para as

regiões

(Obs: caso LEO = 0 , fazer LE = 0)

IE

7-9

13

tipo de condição de contorno na face esquerda

= 0

superfície livre ou fluxo incidente (ver cartão

9)

o o

MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUÁRIO

CARTÃO

NOME

COLUNA

FORMATO

DESCRIÇÃO

> 0 -> somente refletividade e/ou difusibilidade (ver

cartão

10

1 <

0 fluxo incidente com reflexão e/ou difusibilida­

de fver cartões 9 e

10

1 Obs: caso lE >

0 , fazer NFE =

0

ID

10-12

13

tipo de condição de contorno

na face direita

= 0

superfície livre ou fluxo incidente (ver cartão

> 0

somente refletividade e/ou difusibilidade

(ver

rart

ãn

1

21 fcaso ID >

0. faser NFD

=01

< 0

fluxo incidente com refletividade e/ou difusibi­

lidade fver cartões 11 e

12

1

5

W

1-72

6D12

.0

número médio de partículas secundárias (K elemen-

tosl.

6

S

1-72

6D12

.0

fontes externas normalizadas (K elementos)

7

TAU

. . . .1-72. .....

6D12

.0

espessura ética (para cada região)

8

F

1-72. .. . ,

6D12

.0

coeficientes da exgansão em polinomios de Legendre da

função de transferencia fver LE do cartão

41

(N+1 elementos para cada região, cada região começando

com um novo cartãol

9

NFE

1-3

13

= 0 -> superficie livre ou feixe isotropico (.i^iv) =

• ••"

t

Ni

g

> 0

incidencia cossenoidal (f

(y)

= „

1, d3

y

) 0

p

—J

-

< 0 ->• incidência monodirecional (fgda) -

(5

(y-y

))

Obs: caso IE>0 , fazer NFE=0

•9

MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUÁRIO

CARTÃO

NOME

COLUNA

FORMATO

DESCRIÇÃO

Nl

4-6

13

valordeN,(N^^^ = 4)

Dl

7-16

DIO.O

valor de d

D2

17-26

DIO.O

valor de d2

D3

27-36

DIO.O

valor de d^

D4

37-46

DIO.O

valor de d.

FEIX,

47-56

D10.0

valor de 1(1

=0.0

, caso superfície livre)

COSE

57-66

D10.0

valor de

10

CFl

1-12

D12.0

valor do coeficiente de reflexão (A^)

CF2

13-24

• ^

.D12.0

valor do coeficiente de difusibilidade

(A

2)

11

, NFD

1-3 , ... . .

13

=0 superfície livre ou feixe isotropico(f]ç(y)=

I2

)

N^

>0 -> incidencia cossenoidal(f. (y) = .Z, C. y.)

Obs.: caso ID>0 , fazer NFD=0

N2

4-6

13

Cl

7-16

DIO.O

valor de C-j

C2

17-26

DIO.O

valor de

C2

o

N

MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUÁRIO

CARTÃO

NOME

COLUNA

FORMATO

DESCRIÇÃO

C3

27-36

DIO.O

valor de C^

C4

37-46

DIO.O

valor de C^

FEIX

2 47-56. .• ...

DIO.O

valor de

I2

O-^O , caso superfície livre)

12

CFIL

1-12

. .

.

D1

2.0

. valor do coeficiente de reflexão (X^)

CF2

L

13-24

. D

12

.0,

valor do coeficiente de difusibilidade

(X

2)

13

LI

1-3

13.

. .

inprime albedo se >

0

NPl

4-6

13

. .

< 0

albedo da face esquerda

= 0

albedo da face direita

> 0

albedo das

2 faces

L2

7-9- •

• .

13

uiqjrime fator de transmissão se >

0

• N

P2

10-1

2 13

< 0

-y fator de transmissão da face esquerda

= 0

fator de transmissão da face direita

> 0

- fator de transmissão das duas faces

14

NP3

1

-3

13

imprime fluxo total se >

0

NP4

4-6

13

imprime corrente total se >

0

MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUARIO

CARTÃO

NOME

COLUNA

FORMATO

DESCRIÇÃO

NPX

7-9

13

= 0 calcula fluxo total e corrente total somente em

um ponto "x" dado (vide cartão 15)

> 0

calcula fluxo e corrente total de acordo com o

numero desejado de divisões de cada região ívi-

de cartão 15)

15

XP

1-12

D12,0

se NPX = 0 valor do ponto onde se deseja calcular

fluxo ou corrente total

15

ND

1-60

2013

se NPX > 0 número de divisões (< 20) de cada região,

para a impressão do fluxo total e da corrente total

(K elementos).

Obs.: Cartão 15 deve ser fornecido somente se NP3 ou

NP4>0

16

NP5

1-3

13

imprime fluxo angular se > 0

NP6

13

inçrime o fator de desvantagem térmica (para o caso

de células) se > 0

Obs.: no caso de células , o problema deve ter apenas

2 regiões, onde a região leo combustível

de

meia espessura ética TAU(l) e a região 2 é

o

moderador com espessura TAU (2)

o

O Modulo permite solucionar varios problemas, cada problema iniciando com um novo cartão 1.

105

B.2 - Listagem do Programa e Cartões de Controle

Cartões de Controle Versão IBM 370/155

MEMBER NAME MONTA

/ / 0 0 1 0 ) , • , T I M E = 0 0 Q 5 » C L A S S = A **************

/ / * MCNTAGEM DE A R Q U I V O DA F I T A PARA D I S C O

//:<t*!(t:(!«««« ******************

/ /

/ / S Y S P R I N T DD / / S Y S I N / / S Y S U T l / / / / S Y S U T 2 / / / /

E X E C P G M = I E B G E N E R S Y S 0 Ü T = A

OD DUMMY DO DSNAME = fiUGGY,LIB,LA6ÉL=(lySL) • V O L = ( , R E T A I N t S E R = I T B U G G ) , U N I T = T A P E , D I S P = ( O L D » K E E P ) 00 D S N A M E = C P 8 8 8 . B U G G y , L I B , D I S P = ( N E W » C A T L G ) , L A B E L = R £ T P O = ? , U N I T = S Y S S E M , V Q L = S E R = T R A 8 0 5 , S P A C e = ( T R K , { 1 0 , 5 ) , R L S E J

/ / «

/ / * MGNTAGEM DE MODULO DE C A R G A DA FITA PARA C I S C O

/ / E X E C PGM=IEBCaPY / / S Y S P R I N T DO S Y S O U T = A / / E N T R A D A DO O S N A M E ^ B U G G Y . L C A O , L A B E L = t 2 , S L ) , 0 I S P = ( O L C , K E E P > , / / U N I T = T A P E , V O L = S E R = I T G U G G / / S A I D A DD 0SNAME = C P 8 8 8 . B U G G Y . L O A D , O I S P = (NEk^,CATLG) » / / L A B E L - = R E T P D = 7 , U N I T = S Y S S E M , V 0 L = S E R = T R A B 0 5 » / / S P A C E = t T R K , ( 4 0 , 2 0 , I ) , R L S E ) / / S Y S I N DC *

C O P Y I N D D = E N T R A D A , Q U T D D = S A I C A / *

MEMBER NAME E X E C / / 0 0 7 0 ) , ' * * « ' * ' * * * * « * • , T IME= 0 0 6 0 , C L A S S = K

/ / « / / * / / *

C A R T C E S OE E X E C U Ç Ã O

:^ ,5c , « ^ ^ jj, ^

/ / E X E C P G M = B U G G Y , R E G I C N = 1 5 0 0 K , T I M E = 6 0 / / S T E P L I 8 DD D S N A H E = C P 8 e 8 .B U G G Y . L O A D , D I S P = S H R / / F T O l F O O l DO D S N A M E - C P S a a .B U G G Y , L I B , D I S P = S H R / / F T 0 6 F 0 0 I DD S Y S C U T = A / / F T 0 5 F 0 0 1 OD *

C A R T Õ E S DE D A D O S

/ *

106

Cartões de Controle versão HB-GCOS/64

'£. <t

CC o

CX Q. O

00

LU II

s :

o n

u. UJ UJ o CC LO

Q CC • %

V • S o l_>

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O LT II »—« Là-«I «t II O LU LO II

» ^ Q. ~> LJ rvl U. 57 13 • 1/5 »—* LA CC l—I «r u. • L/1 O o

LU (— t-J 1— u_ X < O Lu •— u

lU Li_ »— CC 1— LU \ cr ¿i. £; CC < - 1— o II M \

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CC CL O LU H- LTl II

<t <X \ Lu rsj L/1 LU a. '~> ír\ •-• LT» fvl

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107

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117

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CALL SPAMA1(LX1,EPS,IS,N7'.i,lr> RIlURN £1,0

SUl R UT INE SPAPAI (N,f PS, 1 S,NZ M, I F )

- (CF2L«'Ad,1)/DFlOAT(J+1))

SCLUCAO OC SISUCA DC EDUACOES ALOEHRICAS AXoB/ AIPAVIS 00 MEtCOO DE ELIMINACAO OE'GAUSS, APLICA\0O lECNICAS PARA MAIRWCS FSPARSAS,

IMPLICd RE AL «B ( A-IL,0-7 > I N T ( r, i P • 4 I C , I N / , I X , I V , W OI».EN-dCN IX(4*0>,lr(44o),d(440> COFX CN/Cl / * (440,8S) ,fj (440) ,X (440) , IC(440/88) , 1N2( 440)

CALL EPRSET(206,256,-1,41,0,209)

Ou 1 1 • 1 , N I » ( I ) - I

1 U d ) » I I F (N 7 M .ED. 1)

APRANJC DOS ELEM, 0 0 200 1«1,N

TQ 20 5 A EM ORDEM CRESCENTE.

118

Ol. ir,r<.

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206

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119

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001 1 C'^ 25 DO 40 L=3»NM 001 1 10 lloIXL) 001111 A2 = A< i 1.1) 001112 A( I 1 , 1 )«0.000 0011 1 i N / I N 7 í 1 ) 0011 14 IF(t.; .OT. 1) CO TO 5 7 001115 C DESLOCAMENTO DE ELEMENTOS NUMA LINHA. 001 1 1-. I((lr-Z(I1)-.£Ci. 1) GO TO 50 001117 «; 3 = I N 7 ( I 1 ) - 1 0011ló DO 30 3 K4o1r<3 Ü011 IV IC(11,r4).IC(11/K4.1 ) 001120 A(I1,lt4).A(n,K4»1) OC1121 303 CCN1INUE 001122 IN7(I1)«107(11)-1 00112J 00 TC 5 6

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00 113V IN7 ( I 1 ).INZ( I1 )-1 00 1140 00 53 x»I2.NN OLÍ 141 |f ( X(» ) .EC. 0) GO TO 53 001142 X 1 = H 11 001143 A(I1,K1)=X(K) COI 144 IC(I1,X1).X 001145 33 CONTINUE CO1144 IN7(I1)«x1 001147 56 D(i1>»Í!(I1)-A2«B(I) , 00114P If(IN7(11) .GI. N7M) NIM-INZ(I1) 00114"; 4C CONTINUÉ C01150 1 f( IS .EH. 1) CO TO 10 001151 20 CüNI¡NUE

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orir,2 001153 Oti154 001155 001156 001 157 C O 1 1 5 f. 00115V CC1 160 OC1161 001162 001 U3 001164 001165 001166 001167 00116h 00 116V 001 1 7( 001171 001172 00 1173 001174 001175 001176 ÜO 1 177 CO 1 I 7>, COI 17V 00116 0 (j(M 161 001 l>s2 0011Ã 3 001 1 í'4 0(n i>. j 001 1 F.6 no 11s 7 00 1 líC, 001 if.v oo11vo 0011VI 00 1172 001 IV i 0011V4 001 lí 5. 001196 001197 00119í 00119 9

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30 (CNIINUC 00 TC 10 1'

32 P (J ) = (J )/A( J/X ) 0 0 90 Js2,N I11 = N-J»1 J1=I7(¡P) > 07=IN 7(J 1 > 1 r(IC(Jl,N7) .EQ. 0) GO TO í D O • 9 O X = 1 , N 7 IA=IC(J1,X) I1= 17 ( lA )

e ( Jl ) »0(Jl )-A<J1,X)«D(I1) COr.TINUE DO 94 |.1,N J'l»( I) >:• I 7 ' J ) x(l)=0(x) PEtUPN END 'jUPPOUTIIit CCC1(X,L»A1) IfrPLICIT REAL«8(A-H,0-Z)

CO<-.i'ON/¡iP/PI CC«.VON/r-LOCXl/WC,f (65) CC;'HÜN/í)LOC X 2/f CNTC/N

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120

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CQ.MIt.Od 1 2 ( 1 ) = F l / o m P I - T i U l D / r M l D )

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0 0 1 5 J >• 1 / 0 J >; = J • 1

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124

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126

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C fORPOLA PARA CALCULAR OS AUTOVALORES CONTINUOS i.

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130

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00 3011 I « 1 , L Ü I G • I B • 1 - I IBA . T B C « ( t A ( J » I G ) / < F M ( 1 ) • Y A ( J « I G - 1 ) > ) TOC » 1 . 0 0 • IBA

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I F C . M . G T . » ) GO TO 3005 3012 LE « 1 8 » 1

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SUBROUTINE T £ S T ( A , B / N D ) C C C C C C C C C C T C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

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2 0 2 1

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CALCULO OE 8 - A L F A £ A - A L F A PARA AUTOVALORES CONTÍNUOS

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se » 1 . 0 0

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K 1 • DO 1 0

Y •

K « 1 , M L 4 5 J ' Î / K L « M ( K )

131

0'J2?5í (IBZR,/ 002¿'j>'. 002259 002240 0022 6 1 002262 002263 00226» 002265 00 2 26 6 Ü0 2 26 7 00226)-C02269 0022 20 C02221 OC2272 002273 002276 002275 002276 Ü02277 00227P 002279 Ü022'.t-002261 C02262 00 2 26 3 0022'4 002265 OL2266 C02267 0022Í6 002269 0022VC 002291 002292 ÜC2 29 3 002294 002295 002296 002297 0C229Í: 002299 ü023Ct O R •> » R. j ÜC2302 0023(13

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10

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«[:f.TTA(5),0FE,0F 0,F£LX1,f£IX2 C O ; ' L ' 0 O / S A I 0 A 1 / FU I ( 1 1 ) , A ( 1 6 , 1 6 ) »B (16»16>

C OF 'PÜO/AU« /AL ( 100, 16) » D 1 ( 1 0 0 / 1 6 ) COI'PCFL/f LUX/XP COMVOt./AP£A/VARALÍ2ü),COSOA(2Ü) . CALCULO DOS COEfICIEHIES CONTINUOS r I F C P F 4 • COSE 1 COSE ' IFIX(RE 4)

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002 3 '.4 002 305 002306 C02307 002 306 ÜC23L9 C0231O OC2311 002312 002 313 002314 002 315 002316 002 3 1 7 002316 002 ¡19 002 i20 002321 002322 002 32 3 C02324 OC2325 002326 C02327 . C02326 G0232V 0O253C 002 3 31 002332 CC2333 002334 C0?335 CC233t CC2337 002336 002339 UG2340 002541 00 2 3 42 002343 C02344 002345 0C2346 C02347 002346 C02J49 002350 002351

22 20

30

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4 1 4 2

43

44 4S

47

46

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132

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0 O 2 4 í >.

0024i 'v O0244'.i 002441 002442 0024 43 002444 OC2Í.45 0C2446 002447

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CALCULO PARA DUAS RtCIOES

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CALCULO PARA DUAS REGIÕES

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0 0 55 52 f'JNC I •'•( ' i f i i ; . ( ; , ) 0 0 3 5 5 i I l ' P L l C I T R E A L « ' 3 ( A - H , 0 - ? ) » I N T E 6 E i ; « 4 ( I - N ) 00350 4 C O l ' - J l i / u L ' J C K l / . C . f ( 0 5 ) 3C3 555 Mf U l i = CF L O » T ( 2 « r i - I ) • ( 1 . O Ü - W C • F ( N ) ) 00 3 5 51 P E I O R l i 0035 5? £ f.D 0 0 3 5 56 f U N C T I C f . F X ( » ) 0 0 3 5 5 V I 1 P L I C I T R E A L - ; ( A - H , 0 - 7 ) . I I ) T E G E R « 4 ( I - N )

GO 3 5 6-) C O ^ / I - . 7 r L 0 C " . I 7^iC >f (65 ) 0 0 3 5 6 1 C ' j : ' ' ' " ) ; ; / 0 L 0 C x 2 / f O M E / N ;j 0 5 5 6 2 C O f l C V / S A I O A 1 7 » H Ï ( 3 ) » N 7 0 0 5 5 6 5 5 A •> I l . 0 0 ( ) l i 3 5 6 i . D'J 6 I » 2 . l t 003565 SA > 5A » a r L O A I ( 2 • I - 1 ) ' F ( 1 ) ' G f U N ( t . I ) « G A M i y , I ) 0 o 3 5 < 6 6 C C f . F I l .U f

00 35 6 ? S ' I » 0 . 0 0 00' 01. ? I • 1 , N Û 0 3 5 6 V 5 f = S'I • Û f L O A T ( 2 « 1 -1 ) • f ( 1 ) « C f UN( y . I) « P O L E C ( y , I ) 0 0 ! 5 ? i , 7 C C M l V O t 00 35 ?1 SC » 0 . 0 n

'10 ! 5 ?2 a L/ ? I • 2 . IL O 0 3 5 73 5 t = se • O f L Û A I < 2 « I - 1 ) « F ( I ) « C f U N ( » , I ) « O G A M A C y , I ) UC '.5 ?4 t tCMl'.UE 00 35 7 5 se = O .CO 00 3 5 ? ! 00 V 1 = 2 , fi

00 35 7 7 S 3 = SO • D f L 0 A T ( 2 ' I - 1 ) ' f ( I ) « D C f l J f J ( y , I ) « O A H ( y , l ) 0 0 3 ? 6 V COMÍ MIT 0 0 ! 5 7 V S i . = 0 . 0 0 0 0 ! 5 6 0 DO 10 1 = 1 , M 0 0 1 5 6 1 S t = s t • O f L O A T ( 2 « I - 1 ) • f ( I ) « G f U N ( y , I ) • O O L E G ( y , 1 ) B O î l " 2 10 l o f . i m u t O C 3 5 - 3 S i = i ; . D O 0 0 ) 5 - 4 00 11 1 = 1, IL 00 55 65 5F t SF • O F L O A 1 ( 2 - 1 - 1 ) • F ( I ) . P O L t S ( y , I ) • O C F U N C Y , I ) C C 3 5 > 6 1 1 Cum ii.oe O C ! 5 - 7 F c I = c • U . 5 0 0 • ( s E • S F ) O O S V ^ c 5 I L Í ; ' = U « 0 . 5 0 0 « ( S A « y « S C « y * S O ) - W C « 0 . 5 0 0 « S H » Í D L O G ( ( » » 1 . 0 0 ) / ( y - 1 . 0 ü ) 00 35 ' . V • ) - y « 2 . c i / ( y « « 2 - i . o o ) ) - F D l « y « C L O G ( ( » « l . û U ) / ( y - l . o u ) ) C C 3 5 V 0 SP = O . D Ü Ü 0 3', V I D v 1 2 1 = 1,N O 0 3 5 V 2 Si = 5 « » Of L O A T ( 2 « 1 - 1 ) • f ( 1 ) . G f U f K y , 1 ) « P O L £ G ( Y , 1 ) C 0 3 t v ; 12 C O M Í V U E 003 5 V 4 1« ' 0 . 5 D 0 « W C • ( y • ' 2 ) • S 'M ' .D f L AM C0 5 5 V 5 P t l U P l i 0 0 3 5 V I ( v u

0 0 3 5 V 7 f u f U I I O n O G A H A ( y , N ) 0 0 3 5 v > I i ' P L I C I T R t A f 6 ( A - M , 0 - 7 ) C 0 5 5 V V D l P t n S I C I I 00 ( 33)

1

145

JL M t ( 1 ) = C . ü l ; IJLV.M 0 ' ; ( 2 ) = 0 . 0 1 ; i ; C . ! f , 0 2 l f d . , L E . ? ) 00 10 1 O O J ' . C i DC 2 l=J,IJ O O J f . i i . r. « 1-1 Ü O J t O i D G ( I ) » ( D f L O U T (2«<-1)•X«OC ( I -1) • CO ; » , l ; i , •!,( LC« 1 (K-1 ) ' O G i I - 2 ) ) / D F L O A I (K )

o o ; c 0 7 2 C C M l ' . u i . O O J t O t 1 O O A . - À ' » 0 0 ( 1 . ) 0 0 S',1 V t E I u>- 'I' 0 Ü 5 M 0 EIIL 0 0 5 ( , ! 1 R l l f .C T 101. O C f U I . ( Y , l l )

o o î t i ? i i i " L l c l i iifal«î;(a-h,o-7) Ù 0 J 6 I ! (1 I f CI. 3 10 : . O C f ( J J ) O O Î Î , 14 D i f ( 1 ) » 0 . 0 0 00-'tis C C f ( 2 ) » i t f U N d ) 0 O Î 6 U I f Cl.Lu . 2 ) GO T O 1 C 0 î t 1 7 DC 2 1=5,Il O U Î o l i i X • 1-1 C 0 - ' ( . 1 i ; Cr.f( l) « ( Mf UN( 1-1 ) • ( Y « D G f ( I -1 ) • (10 ! 2 0 • D 0 1 ( I - 2 ) ) / 0 f L 0 A T ( H ) 0 0 5 6 2 1 2 C O M l ' a i t 0 0 5 6 2 2 1 D C F l J ' i = OCf(IJ) 0 0 5 6 2 5 oiTLHIi 0 0 56 2«. t i . D O 0 i < 2 V f u l . C T I O ' . 0 O L E G ( Y , N ) 0 0 Í 6 2 6 l l l ' I . I C M f ' tAL'!'(A -M,0-7) O O î ' , 2 2 O l ' t n ' . i n - . D O ( 5 5 ) 00 ;6'"' O'.i ( 1 ) " 0 . 0 0 0 0 J 6 ¿ ' , 3 C ( 2 ) " 1 . 0 0 0 0 5'. '.0 l f ( l . .LL.2) GO 10 1 OC 56 5 1 00 2 l " i , N 00 56 52 < . 1-1 0 0 5 6 53 00 ( 1 ) » ( D f L O A T ( 2 « K - 1 ) » ( Y ' D O ( 1 - 1 ) 0 0 36 56 . f i l 1 - 2 ) ) / O F L Ü A I (K) 0 0 S 6 35 2 C O M l o o t 0 0 5 6 3 6 1 O ' J L t C » D O ( N ) 0 0 36 3 7 i l i T C l .

0 0 3 6 :2; tt .o

O f L O A T ( 2 « K - 1 ) » G A N i Y , I - 1 )

G f t H ( Y , l - 1 ) ) - O f L C A I ( K - l ) «

• P 0 L E G ( Ï , I - 1 ) ) - O f L O A T ( K - l ) .

146

B.3 - Problemas Amostra e Resultados Obtidos

A fim de ilustrar o correto procedimento na utiliza

ção do modulo, dois problemas amostras foram selecionados com

o intuito de facilitar a compreensão do manual de instru­

ções .

O Problema l.B refere-se a tres regiões de espessu­

ras óticas T-j^ > e com incidência isotropica na face

esquerda e superfície livre na face direita, como ilustrado

na Figura 14,

5 = 0 5 = o S = O

W - o . 5 w -0.7 w =o.8ô

.5.8

L - i L z 3 L - 5

>

Obs.: Os coeficientes £^ são calculados pelo programa.

Figura 14: Geometria do Problema l.B.

O Problema 2.B considerado é uma célula básica de

um reator constituido de duas regiões, o combustível (regi^

ão 1) e o moderador (região 2 ) , com uma fonte de neutrons

no moderador, conforme ilustrado na Figurais. Além disso

considerou-se espalhamento isotropico para a i- região . 1

' Corr,BUST R V Ü L

; s ^ 0

1 ^A/ = 0.5

5 = i

W =0.95 1 L -- 0 L z X

1 a.=0.38

I - 0.5

b =3.5

1-, ° ^

Figura 1 5 : Geometria do Problema 2.B .

147

Dados de entrada dos Problemas 1 e 2

1 Ü P R O B L E M A A M O S T R A 1 ¿Ü G fe 7

-J

3 0 1 5 5 ¿C 0 -¿ G G

5C (J. 5 0 C 0 . 7 D Ü 0 . & 5 D 0

6 0 0. D 0 7Ü '¿.5 DO 1 . 3 D 0 ¿'. 0 0 E Û G 0 0. DO 0. DO 0 .DO

'yQ O.DÜ Ü . DO 1 ÜO 0 0 0 . DG 0. DO O.DO 1 1 Û G . D 0 O.DO 1 2 0 1 - 1 1 0

1 30 1 1 1

U O 5 5 u 1 5 0 Ü G

10 PROBLEMA AMOSTRA Z 2 0 0 7 2

3 0 0 1

4 0 1 - 2 1 1

5Ü 0. 5DC 0 .95D0

6 0 0 . DO 1 .DO

7 0 0 . 9 8 D 0 3 . 5 D 0

8 0 1 . DO

9 0 1 .DO . 3 D 0

1 0 0 0 0 0. DO 0.00

1 1 0 1 .DO O.DO

1 2 0 0 0 0. DO 0. DO

130 1 .DO O.DÜ

1 4 0 0 0 0 0

150 0 G 1

160 1 1

1 70 0 1

G' . O O 1 . O C O.DO

C.DO O.DO

Ü.DC O.DO 0 , 0 0 O.DO

O.DO O.DC O.DO

148

Dados de saída dos Problemas 1 e 2

P R O B L E M A A M O S T R A 1

O R O E M DE A P R O X I M A Ç Ã O « 6 N U M E R O D E R E G I Õ E S • 3

N U M E R O D E ' P A R I I C U L A S S E C U N D A R I A S • O . S C 0 0 0 0 0 C O * O C f O N I E S E X T E R K A S ' C . O O Ü O O O O O D • 0 0 E S P E S S U R A ( L C M ) « 0 . 2 5 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1

C O E F I C I E N T E S O t E X P A N S Ã O F I O ) f « N ) " 0 . 1 D 0 Ü 0 O 0 O 0 + C 1 0 . 3 33 3 3 3 3 3 0 * 0 0

R E G I Ã O 2 N U M E R O DE P A R T Í C U L A S S E C U N D A R I A S « 0 . 7 0 0 0 0 0 0 0 D * 0 0 / O N I E S E X I E R N A S ' 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 E S P E S S U R A ( L C M ) • 0 . 1 3 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 C O E F I C I E N T E S OE E X P A N S Ã O F Í O ) f í M -

C . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 0 . 6 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 2 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 2 8 5 7 1 4 2 9 0 - 0 1

R E G I A C 3 N U M E R O OE P A R T Í C U L A S S E C U N D A R I A S • 0 . 6 5 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 F O N T E S E X - T E R N A S s 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 E S P É S S U R A C t C M ) « 0 . 2 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 C O E F I C I E N T E S DE E X P A N S Ã O F ( 0 ) f ( N ) -

0 - 1 0 C 0 C 0 C 0 D * C 1 0 . 7 1 4 2 8 5 7 1 0 * 0 0 0 . 3 5 7 1 4 2 8 6 0 * 0 0 0 . 1 1 9 0 4 7 6 2 0 * 0 0 0 . 2 3 8 0 9 5 2 4 0 - 0 1 0 . 2 1 6 4 5 0 2 2 0 - 0 2

C O N D I Ç Ã O DE C C N T O R N O DA F A C E E S C U E R O A O E F L E T I O A • C . C D Ü O O D + O C D I F U S A •= 0 . 0 0 0 0 0 0 * 0 0

C O N D I Ç Õ E S DE C O N T O R N O - F A C E E S C U E R O A O O C . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 C . O O O O O O O l

, C O N D I Ç Ã O D f C O N T O R N O OA F A C E D I R E I T A ^ R E F L E T I D A • 0 . 0 0 0 0 0 0 * 0 0

; D I F U S A >= 0 . 0 0 0 0 0 0 * 0 0

C O N D I Ç Õ E S DE C C K T O R N C - F A C E D I R E I T A o o 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0

A U T O V A L O R E S »

C S K D » 0 . 1 1 1 7 5 1 8 4 0 1 6 5 7 6 4 0 * 0 1

A U T O V A L O R E S R E F I N A D C S

C S I < 1 > = 0 . 1 1 1 7 5 1 6 9 9 4 1 2 3 0 4 0 * 0 1 A U I O V A L O R E S »

C S K D » 0 . 1 5 9 2 0 1 6 9 6 5 7 8 9 0 7 0 * 0 1

A U T O V A L O R E S R E F I N A D O S

C S K D » 0 . 1 5 9 2 0 1 5 3 1 0 9 6 3 5 8 0 * 0 1 A U T O V A L O R E S »

C S K D » 0 . 2 5 8 8 0 7 1 8 0 5 7 3 8 4 7 0 * 0 1

A U T O V A L O R E S R E F I N A D O S

C S K D » 0 . 2 5 6 8 0 7 1 5 2 7 1 3 2 6 0 6 * 0 1

A L B E D O OA F A C E E S Q U E R D A " 0 . 1 0 4 2 4 5 4 2 8 0 * 0 0

F A T O R OE T R A N S M I S S Ã O D A F A C E D I R E I T A » 0 . 1 7 0 7 9 4 9 5 1 0 - 0 1

F L U X O T O T A L

R E G I Ã O 1

' Í ^ - O Q Q . 5 Ü 1 . C 0 1 . 5 0 J . C C F L U X O C X ) 0 . 1 2 0 3 3 0 9 0 0 * 0 1 0 . 5 5 8 8 2 1 0 3 0 * 0 0 0 . 3 1 7 3 3 9 9 7 0 * 0 0 0 . 1 8 8 8 4 29 3 0 * 0 0 0 . 1 1 5 1 6 2 9 5 0 * 0 0

R E G I Ã O 2

' ^ - 5 0 2 . 7 6 3 . 0 2 3 . 2 8 3 . 5 4 F L U X O I X ) 0 . 7 8 7 S 5 5 5 1 0 - 0 1 0 . 6 7 0 4 9 8 3 5 0 - O 1 0 . 5 7 1 2 6 3 8 0 0 - 0 1 0 . 4 8 7 6 8 6 5 2 0 - 0 1 C . 4 1 8 C 4 1 2 4 D -O 1

R E G I Ã O 3

' 3 . 8 0 4 . 3 0 4 . 8 0 5 . 3 0 5 80 F L U X O ( X ) 0 . 3 9 8 0 1 1 2 5 0 , 0 1 0 . 3 0 5 4 8 2 6 5 0 - Ü . 1 0 . 2 4 92 7 8 6 4 0 - 0 1 0 . 1 9 6 6 6 8 7 2 0 - 0 1 0 . 1 3 6 3 4 1 66 0 - 0 1

C O R R E N T E T O T A L

149

R E G I Ã O 1 « 0 . 0 0 C O R R E f i I E í x ) 0 . 4 6 5 5 9 8 2 0 0 * 0 0

R E G I Ã O 2 « 2 . 5 0 C O R R E N I E I X ) 0 , 3 7 3 2 0 4 2 9 0 - 0 1

• E G I A O 3 X 3 . 8 0 C O R R E t i T E Í X ) Q . 3 2 8 3 T 0 4 1 0 - 0 1

0 . 5 0 0 . 2 6 5 1 5 3 6 7 B . O O

2 . 7 6 0 . 3 1 6 4 5 5 5 0 0 - 0 1

4 . 3 0 0 . 1 3 5 5 9 0 2 2 0 - 0 1

1 . 0 0 0 . 1 5 9 0 7 6 3 4 0 . 0 0

3 . 0 2 0 . 2 6 8 1 3 5 8 5 0 - 0 1

4 . 8 0 0 . 1 1 4 8 0 9 7 0 0 - 0 1

1 . 5 0 0 , 9 7 5 4 7 6 6 4 0 - 0 1

3 , 2 8 0 , 2 2 6 9 3 1 7 9 0 - 0 1

5 , 3 0 0 , 9 8 1 0 3 1 2 4 0 - 0 2

2 . 0 0 0 . 6 0 1 6 3 1 4 4 D - Ü 1

3 . 5 4 0 . 1 9 1 6 9 5 4 3 0 - 0 1

5 . 8 0 . 0 . 8 5 3 9 6 5 0 5 0 - " '

P R O B L E M A A M O S T R A 2.

O R O E M O E A P R O X I M A Ç Ã O = 7

N U M E R O OE R E G I Õ E S •• 2

R E G I Ã O T N U M E R O O E P A R T Í C U L A S S E C U N D A R I A S ' 0 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0

f O N T E S E X T E R N A S = 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 E S P E S S U R A < L C M ) » 0 . 9 8 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 C O E f I C I E N T E S OE E X P A N S Ã O f í Q ) f < N ) -

0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1

R E G I Ã O 2 N U M E R O O E P A R T Í C U L A S S E C U N D A R I A S ' 0 . 9 5 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0

f O N I E S E X T E R N A S = 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 E S P E S S U R A Í L C M ) » 0 . 3 5 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1

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