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Cálculo II (Cursão)Aula 18 – Teorema de Green.

Marcos Eduardo ValleDepart. Matemática Aplicada

IMECC – Unicamp

Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 1 / 22

Introdução

O segundo teorema fundamental do cálculo para integrais de linhaestabelece que

∫C∇f · dα = f(b) − f(a), em que a e b são os extremos

de C e ∇f é um campo vetorial contínuo.

Na aula de hoje apresentaremos umaformulação do segundo teorema funda-mental do cálculo envolvendo integraisduplas sobre uma região D do plano de-limitada por uma curva fechada de com-primento finito que não se cruza em ne-nhum ponto. (Figura extraída do livro de James

Stewart, Calculus, 5 edição.)


Curvas Fechadas Simples

Considere uma curva α : [a, b]→ Rn contínua.• Dizemos que α é uma curva fechada se α(a) = α(b).• Dizemos que α é uma curva fechada simples se, além da condição

anterior, tem-se α(t1) , α(t2) se t1 , t2 com t1, t2 ∈ (a, b].Em palavras, parâmetros distintos resultam pontos distintos docaminho exceto nos extremos.

Curvas fechadas simples em R2 são chamadas curvas de Jordan.

Um círculo é um exemplo de uma curva de Jordan.


Teorema de Green

Teorema 1 (Teorema de Green)

Sejam P e Q campos escalares continuamente diferenciáveis em umconjunto aberto S ⊆ R2. Seja C uma curva de Jordan suave por partese seja D o interior da região delimitada pela curva C, incluindo a própriacurva. Se D ⊆ S, então"

D

(∂Q∂x−∂P∂y

)dA =

�C

Pdx + Qdy,

em que a integral de linha é obtida percorrendo C de modo que a regiãoR fique sempre a esquerda, referida como orientação positiva.

A notação�

CPd + Qdy é usada para enfatizar que a integral é

calculada sobre uma curva fechada C usando a orientação positiva.


Ideia da demonstração

Mostraremos que ∫C

Pdx = −

"D

∂P∂y

dA .

Para tanto, vamos supor que a região D pode ser escrita como

D ={(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

},

onde g1 e g2 são funções contínuas.

Por um lado, pelo teorema fundamental do cálculo, temos"D

∂P∂y

dA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∂P∂y

dydx =

∫ b

a

[P(x, g2(x)

)− P

(x, g1(x)

)]dx.


Por outro lado, podemos escrever a fronteira C de D como a união doscaminhos C1, C2, C3 e C4 mostrados abaixo:

(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)


O caminho C1 pode ser descrito por

α1(x) = xi + g1(x)j, a ≤ x ≤ b .

Logo, ∫C1

Pdx =

∫ b

aP(x, g1(x)

)dx.

De um modo similar, −C3 pode ser descrita por

α3(x) = xi + g2(x)j, a ≤ x ≤ b .

Assim, ∫C3

Pdx = −

∫C3

Pdx = −

∫ b

aP(x, g2(x)

)dx.

Finalmente, sobre C2 e C4, x é constante e, portanto, dx = 0.Consequentemente, ∫

C2

Pdx = 0 =

∫C4

Pdx.


Concluindo, a integral de P sobre a curva C com respeito a x é∫C

Pdx =

∫C1

Pdx +

∫C2

Pdx +

∫C3

Pdx +

∫C4

Pdx

=

∫ b

aP(x, g1(x)

)dx −

∫ b

aP(x, g2(x)

)dx

=

∫ b

a

[P(x, g1(x)

)− P

(x, g2(x)

)]dx

= −

∫ b

a

[P(x, g2(x)

)− P

(x, g1(x)

)]dx

=

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∂P∂y

dydx =

"D

∂P∂y

dA .


De um modo similar, podemos mostrar que∫C

Qdy =

"D

∂Q∂x

dA ,

descrevendo D da seguinte forma:

D ={(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)

},

onde h1 e h2 são funções contínuas.

Finalmente, combinando as equações∫C

Pdx = −

"D

∂P∂y

dA e∫

CQdy =

"D

∂Q∂x

dA ,

concluímos que ∫C

Pdx + Qdy =

"D


)dA .


Região Simples

Na demonstração do teorema de Green, assumimos que a região Dpode ser escrita tando como

D ={(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

},

comoD =

{(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)

},

em que g1, g2, h1 e h2 são todas funções contínuas. Chamamos taisregiões de regiões simples.

O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que D é umaregião mais geral dita simplesmente conexa.


Região Simplesmente Conexa

Definição 2 (Região Simplesmente Conexa)

Um conjunto aberto S ⊆ R2 é dito simplesmente conexo se, para todacurva de Jordan C em S, a região D delimitada por ela estáinteiramente contida em S.

Intuitivamente, uma região simplesmente conexa não possui buracos.

Alternativamente, S é simplesmente conexa se seu complementar éuma região conexa.

No que segue, interpretamos uma região S simplesmente conexa comoa união finita de regiões simples.


A figura abaixo ilustra uma região simplesmente conexa:


A ideia é que as integrais de linha sobre C3 e −C3 se cancelam.


O teorema de Green também pode ser aplicado para regiões com furo,ou seja, regiões que não são simplesmente conexas. Um exemplo émostrado na figura abaixo:


Novamente, a ideia é que as integrais de linha em curvas percorridasem ambos sentidos se cancelam.Observe que a região fica sempre a esquerda quando percorremos afronteira.


Formalmente, tem-se o seguinte teorema num caso geral:

Teorema 3

Sejam C1,C2, . . . ,Cn curvas de Jordan suaves por partes tais que:

(a) Duas curvas distintas não se intersectam.

(b) As curvas C2, . . . ,Cn estão no interior da região delimitada por C1.

(c) Uma curva Ci está no exterior da curva Cj para i , j, i > 1 e j > 1.

Denote por D a região formata por C1 e seu interior subtraídos da uniãodo interior de C2, . . . ,Cn. Se P e Q são campos vetoriaiscontinuamente diferenciáveis em um aberto S contendo D, então"

D


)dA =

�C1

Pdx + Qdy −n∑

i=2

�Ci

Pdx + Qdy.


Invariância por Deformação

Teorema 4 (Invariância por Deformação)

Sejam P e Q continuamente diferenciáveis em um conjunto abertoS ⊆ R2 tais que

∂Q∂x

=∂P∂y

.

Sejam C1 e C2 duas curvas de Jordan suaves por partes em S quesatisfazem:

(a) C2 está no interior de C1.

(b) A intersecção do interior de C1 com o exterior de C2 está em S.

Nesse caso tem-se:∮C1

Pdx + Qdy =

∮C2

Pdx + Qdy,

se ambas as integrais forem percorridas no mesmo sentido.Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 15 / 22

Condição Necessária e Suficiente para f = ∇f .

Usando o teorema de Green, tem-se o seguinte teorema:

Teorema 5 (Condição Necessária e Suficiente para f = ∇f .)

Um campo vetorial

f(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j,

continuamente diferenciável em uma região S ⊆ R2 simplesmenteconexa é o gradiente de um campo escalar f se, e somente se,

∂P∂y

(x, y) =∂Q∂x

(x, y), ∀(x, y) ∈ S.


Exemplo 6

O campo vetorial

f(x, y) =−y

x2 + y2i +

xx2 + y2

j,

satisfaz a condição

∂P∂y

(x, y) =∂Q∂x

(x, y), ∀(x, y) ∈ R2 \ (0, 0).

Todavia, f não é o gradiente de um campo escalar em S. Com efeito,f = ∇f se S for uma região simplesmente conexa, ou seja, uma regiãoque não contém furos.


Exemplo 7

Use o teorema de Green para determinar o trabalho feito por um campode força

f(x, y) = (y + 3x)i + (2y − x)j,

ao mover uma partícula ao longo da elipse

4x2 + y2 = 4,

no sentido anti-horário.


Exemplo 7

Use o teorema de Green para determinar o trabalho feito por um campode força

f(x, y) = (y + 3x)i + (2y − x)j,

ao mover uma partícula ao longo da elipse

4x2 + y2 = 4,

no sentido anti-horário.

Resposta: Tem-se�C

Pdx + Qdy =

"D


)dA = −4π.


Exemplo 8

Calcule a integral

I =�

C(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy,

em que C é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1)percorrido no sentido anti-horário.


Exemplo 8

Calcule a integral

I =�

C(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy,

em que C é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1)percorrido no sentido anti-horário.

Resposta: Pelo teorema de Green, tem-se

I =�

C(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy =

∫ 1

0

∫ 1

0(−3x)dxdy = −

32.


Exemplo 9

Se

f(x, y) =−yi + xjx2 + y2

,

mostre que∫

C f · dα = 2π para todo caminho fechado simples quecircunde a origem.


Exemplo 9

Se

f(x, y) =−yi + xjx2 + y2

,

mostre que∫

C f · dα = 2π para todo caminho fechado simples quecircunde a origem.

Resposta: Considere uma curva C e seja C ′ o círculo de raio acentrado na origem. Pelo teorema de Green, temos∫

CPdx + Qdy −

∫C′

Pdx + Qdy =

"D


)dA = 0.

Logo, calculando a integral sobre o círculo C ′, encontramos∫C

Pdx + Qdy =

∫C′

Pdx + Qdy = 2π.


Área de uma Região

Se P e Q são tais que∂Q∂x−∂P∂y

= 1, (1)

então, pelo teorema de Green, a área de uma região D é dada por

A =

"D

1dA =

∫C

Pdx + Qdy.

Exemplos de funções P e Q e que que satisfazem (1), incluem:

P(x, y) = 0 e Q(x, y) = x,

P(x, y) = −y e Q(x, y) = 0,

P(x, y) = −y/2 e Q(x, y) = x/2.

Assim, a área de D pode ser obtida por uma das equações:

A =

∫C

xdy = −

∫C

ydx =12

∫C

xdy − ydx.


Considerações Finais

O teorema de Green estabelece uma relação de uma integral dupla deuma região D com a integral de linha ao longo de sua fronteira.

Iniciamos apresentando o teorema de Green para regiões simples e,posteriormente, estendemos ele para regiões simplesmente conexas e,no caso mais geral, para regiões que possuem um número finito deburacos.

Além disso, vimos que o teorema de Green fornece condiçõesnecessárias e suficientes para f = ∇f .

Muito grato pela atenção!


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