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Translacao e Rotacao Energia cinetica de rotacao Momentum de Inercia Torque

ROTACAOFısica Geral I (1108030) - Capıtulo 07

I. Paulino*

*UAF/CCT/UFCG - Brasil

2012.2

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Sumario

Translacao e RotacaoDefinicoes, variaveis da rotacao e notacao vetorial

Rotacao com aceleracao angular constante e relacoes entre grandezas angulares e

lineares

Energia cinetica de rotacaoConceitos e determinacao

Momentum de InerciaDefinicao, determinacao e teorema do eixo paralelo

TorqueTorque e 2a lei de Newton para a rotacao

Trabalho e Potencia

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Translacao e Rotacao

Pode-se entender TRANSLACAO como um movimento no qual ocentro de massa do sistema desloca-se de uma regiao para outra.

A ROTACAO compreende o movimento em cırculos como rodas,engrenagens, ponteiros de relogio, etc.

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Neste curso serao estudados apenas corpos rıgidos girando emtorno de eixos fixos.

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Corpo rıgido e eixo de rotacaoUm CORPO RIGIDO e um objeto que pode girar com todas assuas partes mantidas juntas e sem qualquer mudanca de forma.

Dizer que uma rotacao se da em torno de um EIXO FIXO, significadizer que esse eixo nao se move.

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Posicao angular

A figura ao lado mostra uma linha de referencia arbitraria,perpendicular ao eixo de rotacao, que se moveacompanhando a rotacao do corpo.

A POSICAO ANGULAR desta linha e o angulo que ela fazcom o eixo fixo do sistema de coordenadas. Analisandogeometricamente, a posicao angular pode ser escrita por:

θ =s

r. (1)

Nesta equacao, s e o comprimento do arco ao longo dacircunferencia entre o eixo x e a linha de referencia e r e oraio do cırculo.O angulo e uma grandeza adimensional queconvencionalmente e atribuıdo a unidade de RADIANOS(rad).

1 volta = 360o =2πr

r= 2π rad

portanto,

1 rad ∼= 57, 3o ∼= 0, 159 voltas .5 / 25


Deslocamento angular

Se o corpo da figura do slide anterior variar sua posicao angular deθi ate θf , este sofrera um deslocamento angular ∆θ dado por:

∆θ = θf − θi , (2)

este deslocamento nao vale apenas para o corpo rıgido como umtodo, mas tambem para todas as partıculas no interior desse corpo,porque as distancias se mantem inalteradas.

Por convencao, se o deslocamento angular for no sentidoHORARIO, este sera NEGATIVO.

Sera POSITIVO, se o deslocamento for no sentidoANTI-HORARIO.

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Velocidade angular

Suponha que no tempo ti , a linha de referencia do corpo esteja emθi e no tempo tf , a linha esteja em θf . A velocidade angular mediado corpo no intervalo de tempo ∆t sera:

ωmed =θf − θitf − ti

=∆θ

∆t. (3)

Tomando o limite em que ∆t → 0, pode-se encontrar a velocidadeangular instantanea, ou seja:

ω = lim∆t→0

∆θ

∆t=

dθ

dt. (4)

Se for conhecido θ(t), pode-se achar a velocidade angularderivando esta funcao com respeito ao tempo. A unidade davelocidade angular, no SI e rad/s. A velocidade angular serapositiva ou negativa dependendo do sentido da revolucao.

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Aceleracao angular

Se a velocidade angular de um corpo em rotacao nao forconstante, este corpo possui aceleracao angular. Sejam ωi e ωf asvelocidades angulares nos instantes ti e tf , respectivamente, assima aceleracao angular media vale:

αmed =ωf − ωi

tf − ti=

∆ω

∆t. (5)

Da mesma forma que a velocidade angular instantanea foi definida,pode-se definir a aceleracao angular instantanea, i.e.,

α = lim∆t→0

∆ω

∆t=

dω

dt, (6)

que tem unidades de rad/s2 no SI.

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Grandezas escalares como vetores

A velocidade angular pode ser entendida com um vetor de modulo ω e sentidona direcao paralela ao eixo de rotacao conforme ilustra a figura acima. Osentido pode ser encontrado utilizando a regra da mao direita em que os dedosgiram na mesma direcao do movimento e o polegar aponta para o sentido dovetor.

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Grandezas angulares como vetoresPor sua vez, a deslocamento angular so pode ser tratado com vetor parapequenos deslocamentos. Um tıpico exemplo e mostrado na figura abaixo.

Neste caso, a propriedade comutativa violada e esta propriedade e um exigenciapara um grandeza ser considerada vetorial.

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Rotacao com aceleracao angular constante

Da mesma forma que foram deduzidas as equacoes lineares para omovimento de translacao com aceleracao constante, pode se obter umconjunto de equacoes similares para um modelo de aceleracao angularconstante.

Em analogia, pode-se escrever:

ω = ω0 + αt , (7)

θ = θ0 + ω0t +1

2αt2 , (8)

ω2 = ω20 + 2α∆θ , (9)

que sao similares as equacoes lineares para o movimento de translacao.

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Relacoes entre grandezas angulares e lineares

A deslocamento linear ao longo do arco dacircunferencia esta relacionado com o deslocamentoangular pela seguinte expressao:

s = rθ . (10)

Tomando a derivada do deslocamanto com relacao aotempo, pode-se achar a velocidade linear, ou seja,

ds

dt=

d(rθ)

dt= r

dθ

dt.

v = rω . (11)

A figura ao lado, no painel superior, mostra a direcaoda velocidade linear.

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Relacoes entre grandezas angulares e lineares

A componente tangencial da aceleracao pode sercalculada por:

at =dv

dt=

dω

dtr = rα . (12)

Ja a componente radial pode ser escrita por:

ar =v2

r= ω2r . (13)

As vezes, e conveniente relacionar o tempo totalde uma volta (perıodo T ) com as grandezaslineares e angulares, o que nos da:

T =2πr

v=

2π

ω. (14)

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Energia cinetica de rotacao

Um objeto girando certamente possui energia cinetica associada arotacao. porem, nao e possıvel expressar essa energia cineticasimplesmente por 1

2mv2. Em vez disso, pode-se tratar o objetocom um sistemas de varias partıculas, desta forma:

K =1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 +

1

2m3v

23 + · · ·+ 1

2mnv

2n

K =n∑

i=0

1

2miv

2i . (15)

Nesta equacao, a velocidade nao e a mesma para todas aspartıculas do objeto. Contudo pode-se escrever:

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Energia cinetica de rotacao

K =n∑

i=0

1

2mi (ωri )

2 =1

2

(n∑

i=0

mi r2i

)ω2 . (16)

A grandeza entre parenteses e chamada de momentum de inerciaou inercia a rotacao que sera denotada por:

I =n∑

i=0

mi r2i . (17)

no SI, o momentum de inercia tem unidades de kgm2.

Desta maneira, a energia cinetica de rotacao pode ser escrita por

K =1

2Iω2 , (18)

que tem um forma bastante similar a energia cinetica de translacao.15 / 25


Calculo do momentum de inercia

Sabe-se que o momentum de inercia pode ser calculado por:

I =n∑

i=0

mi r2i

Para uma distribuicao contınua de massa, pode-se tomarelementos de massa infinitesimais e a expressao acima pode sertransformada numa soma contınua, isto e,

I =

∫r2dm . (19)

Resolver esta integral nem sempre pode ser possıvel. existemmetodos alternativos para calcular o momentum de inercia. Umdeles e o teorema do eixo paralelo que sera discutido a seguir.

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Teorema do eixo paralelo

O teorema do eixo paralelo pode serenunciado da seguite forma:

Para um corpo de massa M que possuimomentum de inercia Icm associado a umeixo que passa pelo seu centro de massa, esempre possıvel determinar o momentumde inercia de um eixo paralelo ao eixo quepassa pelo cenntro de massaconhecendo-se apenas a distancia entreesses dois eixos.

Para demonstrar esse teorema, considere oesquema da figura ao lado, em quepretende-se calcular o momentum deinercia de um eixo que passa por umponto P que e paralelo a um eixo quepassa pelo centro de massa do sistema.

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O momentum de inercia e dado por:

I =

∫r 2dm =

∫ [(x − a)2 + (y − b)2

]dm

I =∫

(x2 + y 2)dm − 2a∫xdm+

+2b∫ydm +

∫(a2 + b2)dm

O segundo e o terceiro termos do ladodireito sao as coordenadas x e y ,respectivamente, do centro de massamultiplicadas por uma constante que saoiguais a zero.

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Logo,

I =

∫R2dm +

∫h2dm⇒

I = Icm + h2M , (20)

que e a forma matematica doteorema do eixo paralelo.

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Torque

A figura acima ilustra a acao de uma forca sobre um objeto qualquer aplicadanum ponto P que esta a uma distancia r de um eixo de rotacao.O TORQUE e uma grandeza fısica que mede a capacidade desta forca em fazero sistema girar, desta maneira o torque pode ser escrito por:

τ = (r)(F sinφ) . (21)

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Torque

Analisando a figura acima ainda pode-se escrever o torque da seguinte forma:

τ = rF⊥ , (22)

ou,

τ = r⊥F , (23)

a distancia r e geralmente chamada de braco da alavanca. A unidade do torque no SIe N •m e jamais em joule. 21 / 25


2a lei de Newton para a rotacao

O modulo da forca que produz a aceleracao do sistema em rotacaona direcao tangente pode ser dada por

Ft = mat .

O modulo do torque que atua sobre a partıcula e dado por

τ = Ftr = matr .

Agora, at = αr , substituindo na expressao acima,tem-se

τ = Ftr = m(αr)r = mr2α .

So que mr2 = I e o momentum de inercia em torno do eixo derotacao.

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2a lei de Newton para a rotacao

Sendo assim, o torque pode ser escrito por

τ = Iα .

Para uma situacao na qual mais de uma forca atua sobre osistema, pode-se generalizar a equacao acima e escrever que

τres = Iα .

Esta expressao e uma maneira de se escrever a segunda lei denewton para um sistema girando em torno de um eixo fixo.

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Trabalho e PotenciaO teorema do trabalho e energia cinetica tambem e valido para omovimento de rotacao, desta maneira,

∆K = Kf − Ki =1

2Iω2

f −1

2Iω2

i = W . (24)

Note que, se ω = constante e o momentum de inercia nao mudar,W = 0. Por outro lado,

W =

∫ θf

θi

τdθ , (25)

em que e o torque (sera discutido a seguir), para o caso queτ = constante, tem-se

W = τ(θf − θi ) . (26)

A potencia instantanea do movimento pode ser dado por

P =dW

dt= τω . (27)

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Exercıcios

LIVRO: Fundamentos de Fısica

AUTORES: Halliday e Resnick

8a Edicao. Volume 1 - Mecanica

CAPITULO 10 - ROTACAO - Pag. 284-290.

Problemas

04, 07, 16, 25, 29, 30, 39, 44, 55, 66.

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