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  • Professor Luis Juvandes

    Aula Terica de 09 11 2000

    Deslocamento de Ns de Estruturas Articuladas Planas Isostticas

    Mtodo da Unidade Fictcia de Carga ou mtodo de Maxwell-Mohr.

  • FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 1/6

    RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001

    Professor Lus Juvandes Aula 09/11/2000

    DESLOCAMENTO DE NS DE ESTRUTURAS ARTICULADAS PLANAS

    EExxeemmpplloo 33

    CAB

    ?VB =

    ED

    P1t P2

    A B C

    D

    P1

    P2?HD =

    t

    P3

    ?VD =

    OBJECTIVO

    VALOR DA COMPONENTE DO DESLOCAMENTO

    DE UM N NUMA DADA DIRECO (vertical,

    horizontal, ...)

    MTODO

    MAXWELL-MOHR ou

    UNIDADE FICTCIA DE CARGA (UFC)

    =

    =n

    1iiip N

    - direco da componente do deslocamento

    i = 1, n - estendido a todas as barras da estrutura

  • FEUP - EN

    GEN

    HAR

    IA CIVIL

    Folha 2/6

    RESISTN

    CIA D

    E MATER

    IAIS 1

    Ano lectivo 2000/2001 Professor Lus Juvandes

    Aula 09/11/2000

    PRINCPIO DOSTRABALHOS VIRTUAIS

    CONDIO NECESSRIA E SUFICIENTE PARAQUE UM CORPO ESTEJA EM SOB A ACO DE UM SISTEMA DE FORAS EXTERIORES,QUE NUMA DEFORMAO VIRTUAL DO CORPO O

    IGUALE O

    EQUILBRIO ELSTICO

    TRABALHOVIRTUAL DAS FORAS EXTERIORES TRABALHOELSTICO DE DEFORMAO DO CORPO

    TRABALHO DASFORAS EXTERIORES

    . Dissipao de energia por atrito externo

    . Dissipao de energia por atrito interno

    . Energia cintica

    . Energia potencial elstica

    ext = int

  • FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3/6

    RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001

    Professor Lus Juvandes Aula 09/11/2000

    33 MMTTOODDOO DDEE MMAAXXWWEELLLL--MMOOHHRR // UUNNIIDDAADDEE FFIICCTTCCIIAA DDEE CCAARRGGAA ((UUFFCC))

    EEssttrruuttuurraa RReeaall EEssttrruuttuurraa ffiiccttcciiaa ccoomm aa UUFFCC

    CAB

    ?VB =

    ED

    P1t P2

    CA B

    ED

    1

    AH

    CVAV

    Ni Equilbrio

    t P,P

    .Sol 21

    Ni Equilbrio

    ( )barrai

    i

    j, "j" n

    t EAN

    Def.VH

    i

    +=

    t P,P

    .Sol 21

    Deformao

    Solicitao

    j n

    (sem unidades)

    fora UFC dodeslocamento

    "" B

    Ni - esforos

    R j - reaces de apoio

    Solicitao

    Equilbrio

    v

    PRINCPIO DOS TRABALHOS

    VIRTUAIS (P.T.V.) ext = int

    j

    i

    j

    i

    lreal Def. virtualDef.

    RN

    UFCSol. Admitindo

    =

    =

    =++=

    =+++=

    =

    7

    1iii7711int

    VB

    VBCAAext

    lNlNlN

    10V0H0V

    iN

    il

    =

    =n

    1iii

    VB N

  • FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4/6

    RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001

    Professor Lus Juvandes Aula 09/11/2000

    MMTTOODDOO DDEE UUNNIIDDAADDEESS FFIICCTTCCIIAA DDEE CCAARRGGAA

    OOUU MMAAXXWWEELLLL--MMOOHHRR ((UUFFCC))

    =

    =n

    1iiip N

    vp Hp

    BARRAS (i) i iA iN i i1N ii1N i2N ii2N

    =vp =Hp

    Clculo do deslocamento de P - );( hpvpp

    OOBBSS::

    "" componente da "UFC" estrutura da "i" barra na esforo N

    "" componente da "UFC" estrutura da "i" barra na esforo N

    barrai

    .comp .trac

    ;N;N;N

    t

    "i" barra cada t EAN

    Hpi2

    Vpi1

    i2i1i

    ii

    +=

  • FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5/6

    RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001

    Professor Lus Juvandes Aula 09/11/2000

    CCAASSOOSS DDEE SSOOLLIICCIITTAAEESS UUNNIIDDAADDEESS FFIICCTTCCIIAASS DDEE CCAARRGGAA

    DESLOCAMENTOS (, ) U.F.C. (s/dimenses) H

    V

    B

    A

    A, B = B AA

    B

    C, AB

    A

    BC

    a

    b

    AB

    B

    A

    AB, BC

    B

    CA

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    a

    b

    b

    1

    a

    b

    /

    a+b = a/

    1

    1/

    1/

    11

    1/2

    12

    1/ 1

    1/ 1

    1/2

    iN

  • FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6/6

    RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2000/2001

    Professor Lus Juvandes Aula 09/11/2000

    Exemplo: Calcule o deslocamento vertical do n D da estrutura articulada representada na

    Figura, utilizando o mtodo de Maxwell-Mohr. A rea da seco transversal de 20

    cm2 para as barras AB e BD de 15 cm2 para as restantes e o mdulo de Young igual a

    200 GPa e C/1025.1 5= .

    A B D

    C

    [m]3.0 6.0

    2.0 t = +10

    C

    60kN

    = ?DV

    Clculo de esforos: Est. Real

    iy

    x N 0F0F

    " n ==

    (kN) A B D

    C

    -180 -180

    -180

    106013

    60[kN]

    Estrutura c/a U.F.C. do deslocamento VD

    A B D

    C

    [m]3.0 6.0

    1

    A B D

    C

    +3

    +3

    10-13

    -

    +3

    Equilbrio de ns

    iN (s/unidades)

    VD

    Barra )m(

    i )m(

    A2i

    Ct i

    )kN(Ni 3

    i

    10)m(

    iN iiN

    A-B 3 41020 - -180 -1.35 3 31005.4

    B-D 6 - -180 -2.70 3 3101.8

    A-C 13 41015 +10 1360 3.057 13 3109.10

    C-D 102 - 1060 4.00 10 31065.12

    B-C 2 - -180 -1.20 3 3106.3

    Como == mm4.39l N iiVP m104.39l N 3ii =