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FACULDADE IBMEC SÃO PAULO

Programa de Mestrado Profissional em Economia

Ricardo Figueiroa Cattaruzzi

ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS DO SKEW E DA SUPERFÍCIE DE VOLATILIDADE DE DÓLAR/REAIS

São Paulo 2009

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Ricardo Figueiroa Cattaruzzi

Análise de Componentes Principais do Skew e da Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Faculdade Ibmec São Paulo, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas Orientador: Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente – Ibmec São Paulo

São Paulo 2009

Cattaruzzi, Ricardo Figueiroa Análise de Componentes Principais do Skew e da

Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais / Ricardo Figueiroa Cattaruzzi; orientador Antonio Zoratto Sanvicente – São Paulo: Ibmec São Paulo, 2009.

61 f.

Dissertação (Mestrado – Programa de Mestrado Profissional em Economia. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas) – Faculdade Ibmec São Paulo.

1. Volatilidade 2. Superfície de Volatilidade 3. Análise

de Componentes Principais (PCA)

FOLHA DE APROVAÇÃO

Ricardo Figueiroa Cattaruzzi Análise de Componentes Principais do Skew e da Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Faculdade Ibmec São Paulo, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas

Aprovado em: 24/06/2009

Banca examinadora

Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente Instituição: Ibmec São Paulo Assinatura: ____________________ Prof. Dr. Marco Tulio Lyrio Instituição: Ibmec São Paulo Assinatura: ____________________ Prof. Dr. Diógenes Leiva Martin Instituição: Universidade Mackenzie Assinatura: ____________________

RESUMO

CATTARUZZI, Ricardo Figueiroa. Análise de Componentes Principais do Skew e da Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais. São Paulo, 2009. 61 f. Dissertação

(Mestrado) – Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 2009.

Este estudo tem como objetivo a aplicação da Análise de Componentes Principais

(PCA) ao Skew e à Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais. A primeira abordagem

é a aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade implícita entre

determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro em cada prazo, com

base na proposta de Alexander (2000). A segunda abordagem é a aplicação da PCA

à variação diária da volatilidade em função de delta em cada prazo, enquanto que a

terceira abordagem é a aplicação da PCA à variação diária da superfície de

volatilidade (volatilidade em função de delta e prazo de vencimento), baseada em

Kamal e Derman (1997). Em todas as abordagens é verificada a relação entre o

coeficiente de variação diária de cada componente e a variação diária do preço do

ativo-objeto através de uma regressão linear. Nas duas primeiras análises, os

componentes encontrados são responsáveis por nível, inclinação e convexidade,

enquanto que na última aplicação os componentes correspondem a nível, estrutura

de volatilidade no tempo e estrutura de volatilidade no delta. Em todos os casos, o

coeficiente diário do primeiro componente apresenta forte relação com a variação

diária do preço do ativo-objeto, enquanto os outros componentes não apresentam

relação clara.

Palavras-Chave: Análise de Componentes Principais (PCA); Volatilidade; Superfície

de Volatilidade; Skew.

ABSTRACT

CATTARUZZI, Ricardo Figueiroa. Principal Component Analysis of Volatility Skew and Volatility Surface of USD/BRL. São Paulo, 2009. 61 f. Dissertation

(Masters) – Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 2009.

This study is concerned with the application of Principal Components Analysis (PCA)

to the Skew and Surface Volatility of the USD/BRL rate. The first approach is the

application of PCA to the daily variation of the differential between the implied

volatility given the exercise price and the volatility at the money in each period, based

on Alexander (2000). The second approach is the application of PCA to the daily

variation in volatility as a function of delta in each period, while the third approach is

the application of PCA to the daily variation of the volatility surface (volatility as a

function of both delta and time to maturity), based on Kamal and Derman (1997). In

all these approaches, the relationship between the coefficient of daily variation of

each component and the asset’s daily variation is verified with the aid of a linear

regression model. In the first two analyses, the components correspond to level,

slope and convexity, while in the last application the components are responsible for

the level, time structure of volatility and delta structure of volatility. In all cases, the

daily coefficient for the first component exhibits a strong relationship with the daily

variation in the underlying asset price, whereas for the other components there is no

clear relationship.

Keywords: Principal Component Analysis (PCA); Volatility; Volatility Surface; Skew.

SUMÁRIO

1. Introdução e Objetivo ............................................................................... 1

2. Revisão da Literatura ............................................................................... 3

2.1. Apreçamento de opções ............................................................................................. 3

2.2. Smile de Volatilidade ................................................................................................... 6

2.3. Estratégias com opções ............................................................................................. 11

2.4. Análise de Componentes Principais (PCA) ................................................................ 11

2.5. Aplicação da PCA a finanças ...................................................................................... 13

3. Metodologia ........................................................................................... 20

3.1. Tratamento dos dados .............................................................................................. 20

3.2. Obtenção da volatilidade para determinados preços de exercício ........................... 22

3.3. Aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro (ATMF) .................................................................. 23

3.4. Aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do delta para determinado prazo ............................................................................................................................ 23

3.5. Aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade ............................. 24

3.6. Análise da relação do coeficiente diário de cada componente em relação à variação do ativo‐objeto .................................................................................................................................. 25

4. Dados .................................................................................................... 26

5. Resultados ............................................................................................. 33

5.1. Resultados da aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro (ATMF) .......................................... 33

5.2. Resultados da aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do delta para determinado prazo ................................................................................................................... 43

5.3. Resultados da aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade ...... 51

5.4. Comparação entre as diferentes aplicações da PCA ................................................. 57

6. Conclusões ............................................................................................ 58

7. Bibliografia ............................................................................................. 60

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de preço do ativo-

objeto e de preço de exercício supondo o modelo sticky-strike .................................. 8

Figura 2. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de preço do ativo-

objeto e de preço de exercício supondo o modelo sticky-delta ................................... 9

Figura 3. Exemplo de cálculo da volatilidade local ......................................... 10

Figura 4. Superfície de volatilidade ................................................................ 24

Figura 5. Volatilidade delta 50 interpolada para 21 dias úteis x nível do ativo-

objeto ........................................................................................................................ 27

Figura 6. Volatilidade implícita 21 dias úteis x volatilidade histórica ............... 27

Figura 7. Volatilidades de 21 e 63 dias úteis – delta 50.................................. 28

Figura 8. Volatilidades de 21 e 126 dias úteis – delta 50................................ 28

Figura 9. Skew de volatilidade ........................................................................ 29

Figura 10. Risk reversal 21 dias x nível do ativo-objeto.................................. 30

Figura 11. Risk reversal - 21 dias x 126 dias .................................................. 30

Figura 12. Superfície de volatilidade .............................................................. 31

Figura 13. Volatilidade no dinheiro e de diferentes preços de exercício para o

prazo de 63 dias ........................................................................................................ 32

Figura 14. Diferencial da volatilidade no dinheiro e a volatilidade de diferentes

preços de exercício para o prazo de 63 dias ............................................................. 32

Figura 15. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para

o prazo de 21 dias ..................................................................................................... 35


o prazo de 42 dias ..................................................................................................... 35


o prazo de 63 dias ..................................................................................................... 36


o prazo de 126 dias ................................................................................................... 36


o prazo de 189 dias ................................................................................................... 37

Figura 20. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo

de 21 dias da PCA por preços de exercício .............................................................. 40






de 126 dias da PCA por preços de exercício ............................................................ 41


de 189 dias da PCA por preços de exercício ............................................................ 42

Figura 25. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 21

dias ............................................................................................................................ 44


dias ............................................................................................................................ 45


dias ............................................................................................................................ 45


dias ............................................................................................................................ 46


dias ............................................................................................................................ 46


de 21 dias da PCA por delta ...................................................................................... 48






de 126 dias da PCA por delta .................................................................................... 50


de 189 dias da PCA por delta .................................................................................... 50

Figura 35. Carga do primeiro componente da superfície de volatilidade ........ 52

Figura 36. Carga do segundo componente da superfície de volatilidade ....... 53

Figura 37. Carga do terceiro componente da superfície de volatilidade ......... 54

Figura 38. Carga do quarto componente da superfície de volatilidade ........... 54

Figura 39. Carga do quinto componente da superfície de volatilidade ........... 55

Figura 40. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para a PCA

para superfície de volatilidade ................................................................................... 56

1

1. INTRODUÇÃO E OBJETIVO

No mercado de opções de câmbio, a abordagem largamente utilizada pelos

participantes do mercado para fins de apreçamento é a partir da fórmula Black-

Scholes e de uma superfície de volatilidade (volatilidade em função de delta e prazo

de vencimento).

O objetivo deste trabalho é identificar o comportamento das variações da

superfície de volatilidade para opções de câmbio (US$/R$), assim como analisar a

relação das variações da volatilidade com a variação do preço do ativo-objeto.

Há diferentes formas de variação da superfície de volatilidade. O nível da

volatilidade é a principal fonte de variação. No entanto, algumas estratégias

formadas através de opções compradas e/ou vendidas com diferentes preços de

exercício se tornaram padrão de negociação no mercado de opções de câmbio.

Desta maneira, além do nível da volatilidade, também está sendo negociado o

diferencial da volatilidade de determinado preço de exercício em relação a outro

preço de exercício, ou seja, o diferencial de volatilidade entre diferentes pontos da

superfície de volatilidade.

Este conhecimento pode ser aplicado em simulações de portfólios de opções

com o intuito de identificar os riscos existentes e/ou com o intuito de otimização,

dado que as movimentações relativas entre pontos da superfície de volatilidade

podem gerar oscilações de resultados em portfólios vega-neutros. Para o caso de

produtos exóticos, simulações numéricas são essenciais para mapear os riscos,

devido à maior complexidade destes produtos. Além disso, este modelo pode auxiliar

na atualização de superfícies de volatilidade durante o pregão (intraday) de acordo

com oscilações de mercado.

Para este objetivo, a técnica utilizada é a Análise de Componentes Principais

(PCA). A PCA é um método estatístico utilizado para analisar dados multivariados.

A partir dos dados originais, que são correlacionados, tentamos obter um novo

conjunto de variáveis não correlacionadas. Este novo conjunto de variáveis é

formado pelos componentes principais, e o intuito é verificar se há um pequeno

número de componentes principais que sejam capazes de explicar uma proporção

elevada da variação do conjunto original de dados.

2

Verificar a sensibilidade de um portfólio de opções a cada um dos

componentes permite obter informações sobre a exposição a diferentes formas de

variação da superfície de volatilidade. O componente referente à estrutura temporal

de volatilidade, por exemplo, permite identificar o nível de exposição de um portfólio

a variações de diferentes magnitudes nas volatilidades de curto e longo prazo.

3

2. REVISÃO DA LITERATURA

2.1. Apreçamento de opções

A fórmula de apreçamento de opções desenvolvida por Black e Scholes

(1973) é utilizada no cálculo do valor de opções européias de compra ou de venda

de ações que não pagam dividendos e é conhecida no mercado financeiro como

“fórmula Black-Scholes”. A fórmula supõe que o preço do ativo em questão segue

um movimento browniano geométrico com volatilidade constante.

2

√

√

Onde:

c: valor da opção européia de compra;

p: valor da opção européia de venda;

S: preço do ativo-objeto;

K: preço de exercício;

r: taxa de juros livre de risco (com capitalização contínua);

t: tempo em anos até o vencimento da opção;

σ: volatilidade do ativo-objeto;

N(dj): probabilidade acumulada de dj com distribuição normal padronizada.

Merton (1973) generalizou a fórmula de apreçamento acima para permitir a

precificação de opções européias de ações ou índices de ações que pagam uma

taxa de dividendo conhecida. No entanto, uma limitação desta fórmula é supor que

(1)

(2)

(3)

(4)

4

os dividendos são pagos continuamente. Para índices de ações, esta é uma

aproximação razoável. No entanto, para ações que pagam dividendos cerca de duas

vezes ao ano esta limitação se torna mais problemática. Além disso, outra

simplificação é supor que os dividendos são previamente conhecidos.

O modelo proposto por Merton é:

2

√

√

Onde:

q: dividendos (taxa em formato contínuo composto).

Garman e Kohlhagen (1983) adaptaram a fórmula desenvolvida por Merton

(1973) para apreçar opções européias de taxas de câmbio utilizando o termo q como

taxa livre de risco da moeda estrangeira. Esta fórmula se tornou o padrão de

mercado para a conversão de volatilidades negociadas em preços no mercado de

balcão de opções de moedas.

O delta de uma opção é a taxa de variação do preço da opção em relação ao

preço do ativo-objeto; ou seja, é a inclinação da curva que relaciona o preço da

opção ao preço do ativo-objeto. Portanto:

∆

Onde:

∆: delta da opção.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

5

No caso de Garman (1983), o delta de uma opção européia de compra é:

∆

E no caso de uma opção européia de venda:

∆ 1

∆ ∆

O delta apresentado acima para o caso de opções européias de taxa de

câmbio representa a sensibilidade do preço da opção a variações do valor do spot,

ou seja, da taxa de câmbio no mercado à vista. No entanto, o objeto cotado nestas

opções é o valor do forward. Portanto, também é importante o conceito da

sensibilidade do preço da opção a variações do valor do forward, o qual é dado por:

Onde:

F: valor do forward (contrato a termo);

rf: taxa de juros livre de risco em moeda estrangeira (capitalizada continuamente).

As expressões a seguir indicam os valores de delta forward, delta forward de

uma opção de compra, delta forward de uma opção de venda e delta forward de

uma opção de venda expressa em função do delta forward de uma opção de

compra, respectivamente:

∆

∆

∆ 1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

6

∆ ∆ 1

Onde:

∆F: delta forward.

A partir deste ponto, nos referimos ao delta de uma opção em relação ao spot

como delta spot e ao delta de uma opção em relação ao forward como delta forward.

2.2. Smile de Volatilidade

Derman (1994) afirmou que os preços observados no mercado não são

coerentes com a suposição da teoria de Black e Scholes de que o preço do ativo-

objeto evolui com volatilidade constante e independente do prazo de vencimento ou

do nível do valor do ativo-objeto. No entanto, o mercado em geral trabalha com a

fórmula Black-Scholes utilizando um valor de volatilidade que, aplicado à fórmula

Black-Scholes, resulta em um valor que reflita os preços observados no mercado.

Esta volatilidade é conhecida por volatilidade implícita. A assimetria de volatilidade

entre diferentes preços de exercício é conhecida por skew de volatilidade. Por sua

vez, a variação da volatilidade de acordo com o prazo de vencimento da opção é

conhecida como estrutura de volatilidade no tempo. O conjunto do skew de

volatilidade e da estrutura de volatilidade no tempo é denominado smile de

volatilidade. Derman (1994) propôs a construção de uma árvore implícita a partir dos

preços observados no mercado. Esta árvore precifica corretamente as opções que

têm preços observados no mercado, assim como permite precificar outros

derivativos complexos.

Outros autores também publicaram trabalhos com o intuito de utilizar o smile

de volatilidade observado no mercado para fazer o apreçamento de outros

derivativos. Dupire (1994) determinou um processo de difusão compatível com o

efeito do smile de volatilidade para permitir o apreçamento de opções americanas e

derivativos dependentes da trajetória do preço do ativo-objeto.

Derman (1999) realizou estudo sobre o comportamento do skew da

volatilidade do índice S&P 500 isolando distintos períodos nos quais um padrão de

(17)

7

comportamento da superfície de volatilidade parecia ser mantido. Os dados

utilizados apóiam a suposição de que o skew varia de maneira aproximadamente

linear. Em conseqüência, elaborou uma parametrização linear do skew através da

seguinte fórmula empírica:

, = , -

Onde:

σK,t: volatilidade implícita da opção com preço de exercício K e prazo de vencimento t

quando o preço do ativo-objeto é ;

σATM,t: volatilidade implícita no dinheiro para o prazo de vencimento t;

S0: preço do ativo-objeto;

bt: parâmetro da inclinação do skew em pontos percentuais de volatilidade por ponto

de preço de exercício.

Três modelos são abordados. Cada um dos três modelos parte de uma

premissa na qual a volatilidade se mantém constante:

1 – Sticky-strike: a volatilidade implícita para cada preço de exercício não se altera

com uma variação do preço do ativo-objeto, ou seja:

, , = , -

Equivale a supor que a equação (18) se aplica a qualquer nível de preço do

ativo-objeto. O valor S0 está presente na fórmula apenas como nível de referência

para a volatilidade no dinheiro.

Na Figura 1, é possível observar o comportamento da árvore de Black e

Scholes para cada nível de preço de exercício em um caso em que o skew é

negativo (quanto menor o preço de exercício, maior a volatilidade). Cada linha

representa um determinado preço de exercício e cada coluna um determinado preço

do ativo-objeto. A árvore é a mesma em cada linha, apenas seu início é deslocado

de acordo com o preço corrente do ativo-objeto.

(18)

(19)

8

Fonte: Elaboração do autor

2 – Sticky-delta: a volatilidade implícita permanece constante em relação ao delta da

opção, ou seja, de acordo com a relação entre K (preço de exercício) e S (preço do

ativo-objeto). A formulação inicial deste caso parte de uma regra de sticky-

moneyness, onde moneyness é a relação (K/S - 1), ou seja, a relação entre preço de

exercício e preço do ativo-objeto:

, , = , - 1

Para preços do ativo-objeto S e preços de exercício K próximos de S0,

podemos reescrever a equação acima e obter a regra de sticky-delta:

, , = , -

Na Figura 2, podemos observar o comportamento da árvore de Black e

Scholes para o caso sticky-delta. A árvore de volatilidade se mantém constante de

acordo com o moneyness. Por exemplo, para os casos em que o preço de exercício

é igual ao preço do ativo-objeto o valor do moneyness é o mesmo e temos, portanto,

a mesma árvore de volatilidade. Desta maneira, o comportamento da árvore de

90

100

110

90

110

100

Preço do Ativo‐Objeto

Preço de

Exercício

Figura 1. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de

preço do ativo-objeto e de preço de exercício supondo o modelo sticky-

strike

(20)

(21)

9

volatilidade é constante na diagonal do quadro, conforme indicado na direção das

setas.


3 – Sticky-implied-tree: é possível obter a volatilidade local para cada preço de

exercício supondo que a volatilidade utilizada no apreçamento corresponde à

volatilidade média para a região compreendida entre o preço atual do ativo-objeto e

o preço de exercício. A Figura 3 apresenta um exemplo do cálculo da volatilidade

local. Quando o ativo-objeto vale 100, a volatilidade implícita para o preço de

exercício de mesmo valor é 20% e, como esta é a volatilidade no dinheiro, a

volatilidade local para este preço de exercício também é 20%. Para este mesmo

preço de ativo-objeto, a volatilidade implícita para o preço de exercício 99 é 21%.

Desta forma, a volatilidade local para o preço de exercício 99 é 22%, pois a média

das volatilidades locais dos preços de exercício no dinheiro e 99 resultam na

volatilidade implícita do preço de exercício 99.

90

100

110

90

110

100

Preço do Ativo‐Objeto

Preço de

Exercício

Figura 2. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de

preço do ativo-objeto e de preço de exercício supondo o modelo sticky-

delta

10


De acordo com estes cálculos, a velocidade de aumento da volatilidade local

com variações de preço do ativo-objeto é duas vezes maior do que a de aumento da

volatilidade implícita com variações de nível do preço de exercício. A relação na qual

a volatilidade local se mantém constante é descrita na equação (22). Neste caso, a

volatilidade implícita para determinado preço de exercício decresce quando o preço

do ativo-objeto ou o preço de exercício se elevam.

, , = , -

A conclusão de Derman (1999) é a de que cada um dos modelos é mais

adequado a um determinado comportamento de mercado. O modelo sticky-strike é

adequado em mercados onde a oscilação de preço do ativo-objeto ocorre em

determinado intervalo, sem variação significativa na volatilidade realizada. Neste

caso é razoável manter a volatilidade implícita de cada opção. O modelo sticky-delta

é adequado em mercados com uma tendência definida para a variação do preço do

ativo-objeto, porém sem variação significativa na volatilidade realizada. A volatilidade

implícita da opção no dinheiro é mantida constante. O modelo sticky-implied-tree é

adequado em mercados onde há descontinuidades no preço do ativo-objeto e

grandes variações na volatilidade realizada.

Ativo‐Objeto = 100 Ativo‐Objeto = 99

Preço de Exercício

Preço de Exercício

Volatilidade Implícita

Volatilidade Implícita

Ativo‐Objeto Volatilidade Local

100

99

98

97

100

99

98

97

99

98

97

20%

21%

22%

23%

20%

22%

24%

26%

22%

23%

24%

21% = (20% + 22%) * 0,5

Figura 3. Exemplo de cálculo da volatilidade local

(22)

11

2.3. Estratégias com opções

Algumas estratégias com opções são formadas através de posições

compradas e/ou vendidas com diferentes preços de exercício. No mercado de

opções de câmbio, algumas dessas estratégias se tornaram padrão de mercado.

De acordo com CME (2009), comprar um Risk Reversal consiste em comprar

uma opção de compra e vender uma opção de venda para o mesmo prazo de

vencimento e para o mesmo ativo-objeto. Um Butterfly Spread pode ser composto de

opções de compra ou opções de venda. Quando composto de opções de compra,

comprar um Butterfly Spread consiste em comprar uma opção de compra com um

determinado preço de exercício, vender duas opções de compra com um preço de

exercício superior ao primeiro e comprar uma opção de compra com um preço

exercício superior ao segundo preço de exercício.

É padrão no mercado de balcão de opções de cambio offshore a negociação

de risk reversal em que a opção de compra e a opção de venda possuem o mesmo

delta. Outro padrão encontrado é a negociação de butterfly spreads em que os

preços de exercício são definidos utilizando-se o preço de exercício intermediário

correspondente ao de uma opção no dinheiro, enquanto o preço de exercício

superior corresponde ao de uma opção de compra fora do dinheiro com determinado

delta e o preço de exercício inferior corresponde ao de uma opção de venda fora do

dinheiro com o mesmo delta.

Desta maneira, utilizaremos neste texto a expressão risk reversal para

expressar o diferencial de volatilidade implícita entre opções de compra e opções de

venda com o mesmo delta, enquanto o termo butterfly expressará o diferencial entre

a média das volatilidades das opções de compra e de venda com o mesmo delta e a

volatilidade no dinheiro.

2.4. Análise de Componentes Principais (PCA)

De acordo com Jollife (2002), o objetivo da Análise de Componentes

Principais (PCA) é reduzir a dimensionalidade de um conjunto de dados formado por

um grande número de variáveis inter-relacionadas, mantendo a maior quantidade

12

possível de informação do conjunto de dados original. Para atingir este objetivo é

feita a transformação dos dados originais em um novo conjunto de variáveis,

chamadas de componentes principais. Estas variáveis são não correlacionadas e

ordenadas de maneira que os primeiros componentes reflitam a maior parte da

variação presente nos dados originais.

O passo inicial para determinar os componentes principais de um vetor X

composto de p variáveis é buscar uma função linear , de elementos de X com

máxima variância, onde é um vetor de p constantes , , … , e o símbolo ,

significa transposto, de maneira que:

,

O passo seguinte é buscar uma função linear , que seja não

correlacionada com , e possua máxima variância, e assim por diante, de maneira

que no passo k seja encontrada uma função linear , que tenha máxima

variância, porém seja não correlacionada com , , , , … , , .

Até p componentes principais podem ser encontrados, mas espera-se que a

maior parte da variância possa ser explicada com um número de componentes

inferior a p.

Dada uma matriz de covariância Σ do vetor X, encontrar o vetor que

maximiza , , ∑ requer impor a restrição , 1 (soma dos

quadrados dos elementos de é igual a 1), caso contrário o máximo não será

atingido com um valor finito de .

Para maximizar , Σ sujeito a , 1 é utilizada a técnica dos

multiplicadores de Lagrange:

, Σ , 1

Onde:

: multiplicador de Lagrange.

Derivando em relação a :

(23)

(24)

13

Σ 0

Ou ainda:

∑ 0

Onde:

: matriz identidade com dimensões p x p.

Portanto, é um autovalor de Σ e é seu autovetor correspondente. Como a

quantidade a ser maximizada é dada pela equação (27), é o autovetor

correspondente ao maior autovalor de Σ e assim por diante.

, Σ , ,

Desta maneira, a aplicação da PCA consiste em encontrar os autovalores e

os autovetores da matriz de covariância. Os autovetores representam os

componentes principais, enquanto seus autovalores correspondentes são a

informação da parcela da variância explicada.

2.5. Aplicação da PCA a finanças

A primeira aplicação da PCA a finanças foi feita por Litterman e Scheinkman

(1991), em que a técnica foi aplicada à estrutura temporal da taxa de juros dos

títulos norte-americanos. Os três primeiros componentes explicaram 96% da

variância: o primeiro componente representa o nível da taxa de juros, o segundo

componente representa a inclinação da curva de taxas de juros e o terceiro

componente a curvatura da estrutura de taxas de juros.

Alexander (2000) aplicou a análise de componentes principais ao estudo do

skew de volatilidade. A aplicação foi feita à variação diária do diferencial entre a

volatilidade implícita de determinados preços de exercício e a volatilidade “no

dinheiro” (ATM), ao invés da aplicação da PCA diretamente à variação da

(25)

(26)

(27)

14

volatilidade implícita para cada preço de exercício. Esta formulação é coerente com

os modelos propostos por Derman (1999) (sticky-strike, sticky-delta e sticky-implied-

tree) e a autora alega que os dados são menos ruidosos.

Os resultados obtidos por Alexander para a análise de componentes

principais mostram que componentes de segunda e terceira ordem também são

significativos; portanto, quando há alterações no preço do ativo-objeto é coerente

supor que ocorrem movimentos não paralelos no skew, diferentemente da premissa

feita por Derman (1999), que considerava apenas movimentos paralelos ao supor a

parametrização linear. Os movimentos não-paralelos são mais significativos para os

prazos mais curtos e seu comportamento se altera de acordo com a situação do

mercado.

A PCA da variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados

preços de exercício e a volatilidade no dinheiro para um determinado prazo é

baseada no modelo abaixo:

∆ , , ,

Onde:

: volatilidade implícita do preço de exercício K;

: volatilidade implícita no dinheiro;

, : carga fatorial do componente principal x para o preço de exercício K;

: coeficiente diário referente ao componente principal x.

A aplicação da PCA conforme o modelo acima permite obter a carga de cada

componente e o coeficiente diário referente a cada um dos componentes. A carga do

componente i é um vetor em que cada valor do vetor está associado à variação da

volatilidade de um preço de exercício:

, , , , … , ,

Onde:

n: número de preços de exercício incluídos na análise;

(28)

(29)

15

Os componentes são ordenados de acordo com a parcela da variância que

explicam, desta maneira o primeiro componente é o componente que corresponde à

maior parcela de variação. Para compreender a que tipo de movimento cada

componente está associado é necessário observar o formato do vetor. Nos

resultados obtidos por Alexander, a carga do primeiro componente apresentou

valores similares associados a cada preço de exercício; portanto, este componente

está associado a movimentos paralelos na variação diária do diferencial de

volatilidade.

O coeficiente diário está associado a cada componente i. A variação diária

da volatilidade para um determinado dia pode ser calculada através da soma do

efeito de cada um dos componentes. Para um determinado preço de exercício K1, o

cálculo é:

∆ , , ,

O objetivo da PCA é reduzir a dimensionalidade; portanto, espera-se que com

apenas alguns componentes seja possível obter uma parcela significativa da

variação, ou seja, podemos reduzir o número de componentes incluídos no cálculo

da variação de volatilidade do preço de exercício K1:

∆ , , ,

Supondo uma relação linear entre o coeficiente diário de cada um dos

componentes e a variação diária do ativo-objeto, o modelo linear abaixo é definido:

, , ∆ ,

Onde:

, : coeficiente diário referente ao componente principal i no dia t;

, : parâmetro referente ao componente principal i no dia t;

∆ : variação percentual diária do preço do ativo-objeto no dia t;

, : processo independente identicamente distribuído.

(30)

(31)

(32)

16

O parâmetro , mostra a relação entre o coeficiente diário obtido na

equação (28) e a variação diária do ativo-objeto para o dia t. O primeiro componente

obtido está associado a movimentos paralelos da variação diária do diferencial de

volatilidade. O parâmetro associado a este componente apresentou valores

positivos durante todo o período, o que significa que o diferencial de volatilidade

entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro se eleva

conforme o ativo-objeto apresenta variações diárias positivas. O resultado é

coerente, pois o ativo-objeto analisado por Alexander apresenta volatilidades

implícitas decrescentes em relação ao preço de exercício. Uma elevação no valor do

ativo-objeto reduzirá a volatilidade no dinheiro, aumentando o diferencial de

volatilidade entre determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro.

Para capturar a dependência das variações da volatilidade no dinheiro em

relação às condições do mercado, é estimada a seguinte regressão:

∆ , ∆

Onde:

∆ , : variação diária da volatilidade no dinheiro;

: parâmetro referente à variação do ativo-objeto;

: processo independente identicamente distribuído.

Finalmente, é possível estimar a volatilidade para cada preço de exercício a

partir dos componentes principais e da variação de preço do ativo-objeto:

∆ , , ∆

Onde:

, : parâmetro que relaciona a variação da volatilidade implícita do preço de

exercício K à variação diária do preço do ativo-objeto no dia t, conforme a equação

(35).

(33)

(34)

17

, , ,

Portanto, o procedimento consiste em estimar e utilizando a equação

(28), estimar utilizando a equação (32) e estimar utilizando a equação (33). Em

seguida, estes resultados são utilizados na equação (35) para o cálculo de , . O

resultado obtido é utilizado no cálculo da equação (34).

Le Roux (2007) também criou um modelo para a superfície de volatilidade do

índice S&P 500 utilizando a PCA; contudo, este modelo procura descrever o

comportamento da superfície simultaneamente em função de prazo de vencimento e

de preço de exercício. O autor cria um modelo para o índice VIX para determinar o

nível da volatilidade implícita e utiliza um modelo paramétrico para obter o formato

da superfície de volatilidade, o que elimina a poluição dos dados e permite a

aplicação da PCA aos parâmetros que descrevem a superfície ao invés de todos os

pontos originais. O resultado obtido mostra que 75,2% da variação são explicados

pelo primeiro componente (redução da curvatura do smile para o curto prazo e

aumento da inclinação da estrutura de volatilidade no tempo), enquanto que 15,6%

são explicados pelo segundo componente (redução da inclinação da estrutura de

volatilidade no tempo para os preços de exercício fora do dinheiro e aumento da

inclinação da estrutura de volatilidade no tempo para os preços de exercício dentro

do dinheiro).

Outro trabalho que utiliza a PCA para estudar o comportamento da superfície

de volatilidade é o de Kamal e Derman (1997). Utilizando dados semanais de

volatilidade em função de delta e prazo de vencimento para o índice S&P 500 e

dados diários para o índice Nikkei 225, são encontrados três componentes que,

juntos, respondem por 90,7% e 95,9% das variações da volatilidade,

respectivamente. O primeiro componente corresponde a um padrão de mudança de

nível de volatilidade para toda a superfície, porém com efeito mais acentuado nos

prazos mais curtos. O segundo componente corresponde a um movimento das

volatilidades de prazos curtos em direção oposta à dos prazos mais longos. Apenas

o terceiro componente apresenta dependência em relação a delta: a volatilidade das

opções de compra fora do dinheiro se movimenta em direção oposta à volatilidade

das opções de venda fora do dinheiro. A variação incremental explicada pelos

componentes de maior ordem é reduzida e não corresponde a nenhum tipo de

(35)

18

movimento intuitivo para a superfície de volatilidade; portanto, estes componentes

foram desconsiderados.

Neste mesmo trabalho, o primeiro componente possui boa correlação com o

retorno do índice: -0,61 para o índice S&P 500 e -0,67 para o índice Nikkei 225. Os

outros componentes, no entanto, têm correlação baixa com o índice.

Cont e Fonseca (2002) aplicaram a análise de componentes principais à

superfície de volatilidade em função de prazo e moneyness para os índices S&P 500

e FTSE 100. A superfície de volatilidade para estes índices é construída a partir de

preços das opções no mercado e é submetida a um processo de suavização antes

da análise de componentes principais. O primeiro componente, interpretado como o

nível de volatilidade, explicou 94% da variação da superfície de volatilidade do índice

S&P 500 e 96% da variação da superfície de volatilidade do índice FTSE 100, e

apresentou forte correlação com a variação do ativo-objeto (66% e 70%,

respectivamente). O segundo componente reflete a variação da diferença de

volatilidade entre as opções de compra fora do dinheiro e as opções de venda fora

do dinheiro, enquanto o terceiro componente reflete a variação da convexidade da

superfície.

Oya (2006) aplicou a análise de componentes principais para estudar o

cálculo do Valor em Risco (VaR) de uma carteira de opções de câmbio no Brasil. A

PCA foi aplicada a cada prazo com base na metodologia proposta por Alexander (no

entanto, aplicou-a ao diferencial de volatilidade entre determinados preços de

exercício e volatilidade no dinheiro, enquanto que Alexander aplicou-a à variação

diária deste dado) e obteve um poder explicativo acima de 90% para os três

primeiros componentes principais.

Kapotas (2005) aplicou a análise de componentes principais à superfície de

volatilidade de opções cambiais com o intuito de criar uma estratégia de hedge

baseada nos componentes principais de variação da superfície. Foram utilizadas as

volatilidades de 3,4 e 6 meses do período de maio de 2000 a outubro de 2001 e

foram obtidos 98% de explicação da variação utilizando os 4 primeiros componentes.

O primeiro componente encontrado corresponde ao nível da volatilidade e é

responsável por 91,8% da variância da volatilidade. O segundo componente está

associado ao diferencial de volatilidade entre as opções de compra fora do dinheiro

e as opções de venda fora do dinheiro e representa 2,97% da variância da

volatilidade. O terceiro componente corresponde à estrutura a termo da volatilidade

19

enquanto o quarto componente está associado à curvatura da volatilidade em

relação ao moneyness.

20

3. METODOLOGIA

3.1. Tratamento dos dados

A superfície de volatilidade utilizada neste trabalho é representada por valores

de volatilidade em função de delta de cada opção e de prazo de vencimento

expresso em número de dias úteis. O delta da opção é a sensibilidade do preço da

opção em relação ao preço do seu ativo-objeto conforme descrito na seção anterior.

Os dados utilizados estão em função do delta spot de opções européias de compra

de dólar/venda de reais: deltas 10, 25, 37, 50, 63, 75 e 90. Portanto, uma volatilidade

referente a delta 25 é a volatilidade de uma opção de compra de dólar com 25% de

delta spot, ou seja, é uma opção de compra fora do dinheiro. A volatilidade referente

a delta 75 é a volatilidade de uma opção de compra de dólar com 75% de delta spot,

ou seja, uma opção de compra dentro do dinheiro. A relação entre o delta

equivalente da opção de venda fora do dinheiro e a opção de compra dentro do

dinheiro é descrita nas equações (12) e (17) para os casos de delta spot e delta

forward, respectivamente. Neste trabalho, nos referimos às volatilidades referentes

aos deltas inferiores a 50 como volatilidades de opções de compra fora do dinheiro,

enquanto as volatilidades referentes a deltas superiores a 50 são referidas como

volatilidades de opções de venda fora do dinheiro.

Como as opções negociadas no mercado local (Bolsa de Mercadoria e

Futuros, BMF) correspondem a datas de final de mês, é necessário interpolar as

volatilidades no tempo para obter os dados para os prazos fixos utilizados neste

trabalho: 1 mês = 21 dias, 2 meses = 42 dias, 3 meses = 63 dias, 6 meses = 126

dias e 9 meses = 189 dias. A interpolação utilizada é linear e aplicada delta a delta

conforme a equação (36):

, , , ,

Onde:

t: tempo em dias úteis a ser interpolado;

(36)

21

: tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido,

porém inferior;


porém superior;

, : volatilidade referente ao delta ∆ para o prazo t.

Para obter as volatilidades referentes a cada preço de exercício é necessário

obter o valor do forward de dólar/reais para cada prazo fixo utilizado neste trabalho.

Assim como no caso das volatilidades, os contratos de DI e DDI/FRA são

negociados no mercado local (Bolsa de Mercadoria e Futuros, BMF) em datas de

final de mês. Os fatores de capitalização (inverso do fator de desconto) para os

prazos fixos foram obtidos a partir da interpolação exponencial das taxas:

11

1

Onde:

fct: fator de capitalização;

t: tempo em dias úteis a ser interpolado;


porém inferior;


porém superior;

: taxa em formato exponencial 252 para o prazo t.

A partir dos fatores de capitalização dos juros referentes ao real (pré) e ao

dólar (cupom cambial) podemos calcular o valor do forward:

é,

,

Onde:

: valor do forward para o prazo t;

(37)

(38)

22

S: taxa de câmbio no mercado à vista;

é, : fator de capitalização da curva pré para o prazo t;

, : fator de capitalização da curva de cupom cambial para o prazo t.

3.2. Obtenção da volatilidade para determinados preços de exercício

Obter a volatilidade para determinado preço de exercício em um determinado

prazo de vencimento a partir de volatilidades em função de delta requer alguns

dados de mercado referentes ao prazo em questão e uma metodologia de

interpolação da volatilidade em função de delta.

A volatilidade em função de delta foi interpolada utilizando um spline cúbico

entre os deltas 10 e 90 e extrapolada linearmente para deltas inferiores a 10 e deltas

superiores a 90. O conjunto de informações necessárias para cada prazo em

questão é: preço do forward, volatilidades em função de delta e prazo em dias úteis

até o vencimento. Como as volatilidades estão expressas em função do delta spot,

também é necessário conhecer o fator de capitalização da curva de cupom cambial

para o prazo, já que este fator é utilizado na conversão do delta forward para o delta

spot.

A equação (7) pode ser reescrita para permitir o cálculo de d1 em função do

preço do forward, conforme a equação abaixo:

2

√

O cálculo da volatilidade é feito utilizando um processo iterativo. O processo

se inicia com a volatilidade do delta 50 como valor inicial. Calcula-se um novo delta

utilizando-se esta volatilidade nas equações (39) e (10) e o novo valor do delta é

utilizado para obter um novo valor de volatilidade através da interpolação da

volatilidade em função de delta. Este processo se repete até que o delta calculado

em cada passo apresente um valor incremental, em módulo, inferior ao valor de

referência de erro (o valor utilizado foi 10 ).

(39)

23

Neste trabalho também é necessária a obtenção das volatilidades implícitas

no dinheiro para cada prazo (ATMF – at the money forward), ou seja, a volatilidade

implícita para a opção com preço de exercício igual ao preço do forward. Esta

volatilidade também pode ser obtida através do método descrito acima.

3.3. Aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade

entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro

(ATMF)

A primeira abordagem de aplicação da PCA às volatilidades segue a proposta

de Alexander (2000). De posse das volatilidades referentes a cada preço de

exercício, a PCA é aplicada à variação diária do diferencial entre a volatilidade de

cada preço de exercício e a volatilidade no dinheiro.

O histórico utilizado nesta análise foi restringido ao período de julho de 2005

até janeiro de 2008 com o intuito de evitar a necessidade de um número excessivo

de preços de exercício que cobrissem a oscilação da taxa de dólar/reais no período.

O período escolhido totaliza 625 observações e a taxa de câmbio oscilou de 1750 a

2450 no período. Os preços de exercício utilizados estão no intervalo de 1900 até

2300, subdividido em 25 pontos, totalizando 17 preços de exercício. A taxa de

câmbio permaneceu neste intervalo durante cerca de 80% do período analisado. A

análise foi feita para diferentes prazos de vencimento (21, 42, 63, 126 e 189 dias

úteis).

3.4. Aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do

delta para determinado prazo

Nesta segunda abordagem, a análise utiliza a volatilidade em função de delta

e não a volatilidade em função de preço de exercício como na abordagem anterior.

Em cada um dos prazos analisados (21, 42, 63, 126 e 189 dias úteis) há um

conjunto de volatilidades referentes a cada delta (10, 25, 37, 50, 63, 75 e 90 – delta

spot de opções européias de compra). Este conjunto de dados para cada prazo é

conhecido como skew de volatilidade.

24

A PCA é aplicada à variação diária deste conjunto de dados. O objetivo é

identificar os componentes principais de variação deste skew e o percentual da

variância correspondente a cada componente.

Embora a aplicação da PCA seja independente para cada prazo, também é

útil comparar o comportamento entre os prazos para auxiliar na compreensão do

próximo item.

3.5. Aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade

Na terceira e última abordagem o alvo da análise é a superfície de

volatilidade, ou seja, volatilidade em função de delta e de prazo de vencimento. Os

prazos utilizados são os mesmos dos itens anteriores (21, 42, 63, 126 e 189 dias

úteis); no entanto, os dados dos diferentes prazos são analisados simultaneamente

nesta etapa.

A volatilidade é expressa em função do delta (10, 25, 37, 50, 63, 75 e 90 –

delta spot de opções européias de compra), formando uma superfície de volatilidade

com 5 prazos e 7 deltas totalizando 35 valores de volatilidade em cada superfície

diária, conforme a Figura 4.

DELTA

10 25 37 50 63 75 90

PRAZ

O

21 , , , , , , ,

42 ,

63

126 ,

189 … … … … , ,

Para proceder à aplicação da PCA à superfície de volatilidade é formado um

vetor de dados a partir da superfície de volatilidade:

Figura 4. Superfície de volatilidade

25

, , , ,

Depois de aplicada a PCA a este vetor, os resultados são convertidos

novamente no formato da superfície de volatilidade para se observar o formato das

cargas fatoriais.

3.6. Análise da relação do coeficiente diário de cada componente em

relação à variação do ativo-objeto

Para cada uma das diferentes abordagens de aplicação da PCA à variação

da volatilidade é analisado o comportamento do coeficiente diário de cada

componente principal em relação à variação percentual diária do preço do ativo-

objeto. A estimação do parâmetro é feita através do modelo linear proposto por

Alexander na equação (32), reapresentada abaixo:

, , ∆ ,

Onde:

, : coeficiente diário referente ao componente principal i no dia t;

, : parâmetro referente ao componente principal i no dia t;

∆ : variação percentual diária do preço do ativo-objeto no dia t;

, : processo independente identicamente distribuído.

O cálculo e a análise são independentes para cada componente i. O

procedimento é repetido para cada dia t do período analisado, utilizando-se uma

janela móvel de 100 dias de dados. Portanto, a estimação do parâmetro ,

referente ao dia t do componente i utiliza dados de t-100 até t.

O intuito desta análise é observar a estabilidade da relação entre cada

componente e a variação de preço do ativo-objeto ao longo de cada dia do período.

(40)

(32)

26

4. DADOS

Este trabalho utiliza dados diários desde o início do mês de julho de 2004 até

o término do mês de julho de 2008, totalizando 1024 observações1. O histórico de

superfície de volatilidade utilizado neste trabalho recorre aos dados publicados

diariamente pela Reuters. Dispõe-se de uma superfície de volatilidade em função de

delta para cada data de final de mês, correspondente às datas das opções listadas e

negociadas na BMF. Os principais participantes do mercado enviam diariamente

estes dados à Reuters, que publica a superfície baseada neste pool. Também é

utilizado o preço de fechamento diário do ativo-objeto no mercado à vista, assim

como o valor dos contratos de DI e DDI/FRA para permitir o cálculo de preços de

contratos futuros.

Vemos na Figura 5 o gráfico da volatilidade implícita (delta 50) interpolada

para o prazo de 21 dias (eixo da esquerda), assim como o nível do câmbio no eixo

da direita. A unidade de cotação dos valores do câmbio utilizados neste trabalho

está em reais por 1000 dólares, ou seja, o valor de câmbio 2500 significa que são

necessários 2500 reais para adquirir 1000 dólares. Durante quase todo o período a

volatilidade está dentro do intervalo de 10% a 20% ao ano, rompendo o patamar

inferior por somente alguns meses. A ocorrência de excesso da parte superior do

intervalo ocorreu em períodos de desvalorização repentina do real, como pode ser

observado no mês de maio de 2006 e no mês de agosto de 2007.

Na Figura 6, podemos observar que existe uma correlação forte entre a

volatilidade implícita (delta 50) de 21 dias úteis e a volatilidade histórica calculada

utilizando uma janela de 21 dias. Outro comportamento observado é a correlação

forte entre a volatilidade implícita de cada um dos prazos analisados, embora as

variações da volatilidade sejam atenuadas conforme o prazo se alonga, como pode

ser observado na Figura 7 (21 dias x 63 dias) e na Figura 8 (21 dias x 126 dias).

1 As diferentes abordagens de aplicação da PCA à volatilidade utilizam partes diferentes do

histórico de dados diários.

27

Jan04 Jan05 Jan06 Jan07 Jan08 Jan090%

10%

20%

30%

40%

Vol

atili

dade

Volatilidade 21 dias - Delta 50 e Nivel do ativo-objeto

Data

Jan04 Jan05 Jan06 Jan07 Jan08 Jan091500

2000

2500

3000

3500

BR

L/D

OL

VolatilidadeBRL/DOL


5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Data

Vol

atili

dade

Volatilidade Implícita x Volatilidade Histórica

ImplícitaHistórica

Figura 5. Volatilidade delta 50 interpolada para 21 dias úteis x

nível do ativo-objeto

Figura 6. Volatilidade implícita 21 dias úteis x volatilidade histórica

28


10%

15%

20%

25%

30%

35%

Data

Vol

atili

dade

Volatilidade 21 dias x Volatilidade 63 dias

21 dias63 dias


10%

15%

20%

25%

30%

35%

Data

Vol

atili

dade

Volatilidade 21 dias x Volatilidade 126 dias

21 dias126 dias

Figura 7. Volatilidades de 21 e 63 dias úteis – delta 50

Figura 8. Volatilidades de 21 e 126 dias úteis – delta 50

29

Em cada um dos prazos temos um conjunto de volatilidades em função do

delta, chamado skew de volatilidade. Através deste conjunto de informações é

possível encontrar uma volatilidade implícita para cada preço de exercício em

determinado prazo. Na Figura 9, é possível ver um exemplo do skew de 126 dias de

27 de junho de 2007: a volatilidade é mostrada no gráfico em função do delta spot

das opções de compra; portanto, o apreçamento de uma opção de compra com 25%

de delta utiliza uma volatilidade implícita de 12,9%.

A diferença de volatilidade entre opções de compra fora do dinheiro e opções

de venda fora do dinheiro é denominada Risk Reversal e é uma das estratégias

existentes no mercado para operações realizadas através de opções, conforme

descrito na revisão da literatura.

Na Figura 10, é possível observar o comportamento deste diferencial de

volatilidade para o prazo de 21 dias úteis no eixo esquerdo e o preço do ativo-objeto

no eixo direito. O diferencial esteve dentro do intervalo de 2% a 3% durante a maior

parte do período (a volatilidade das opções de compra de dólar fora do dinheiro

esteve acima da volatilidade das opções de venda de dólar fora do dinheiro durante

todo o período), mas apresentou grande elevação durante os períodos de

desvalorização repentina do real. O comportamento do Risk Reversal entre prazos

pode ser observado na Figura 11: a variação em prazos mais curtos é mais

acentuada do que em prazos mais longos, um comportamento análogo ao da

volatilidade implícita.

10 25 37 50 63 75 9010%

11%

12%

13%

14%

15%

16%

Delta

Vol

atili

dade

Skew de Volatilidade

Figura 9. Skew de volatilidade

30


1%

2%

3%

4%

5%

6%

Ris

k R

ever

sal

Diferença de Volatilidade entre Delta 25 e Delta 75 - 21 dias x Nível do ativo-objeto

Data

Jan04 Jan05 Jan06 Jan07 Jan08 Jan091500

2000

2500

3000

3500

BR

L/D

OL

Risk ReversalBRL/DOL


1%

2%

3%

4%

5%

6%

Data

Ris

k R

ever

sal

Diferença de Volatilidade entre Delta 25 e Delta 75 - 21 dias x 126 dias

21 dias126 dias

Figura 10. Risk reversal 21 dias x nível do ativo-objeto

Figura 11. Risk reversal - 21 dias x 126 dias

31

O conjunto de informações de volatilidade em função de delta e de prazo é

chamado de superfície de volatilidade. De posse desse conjunto de informações é

possível obter a volatilidade implícita para qualquer preço de exercício em qualquer

prazo de vencimento (através de técnicas de interpolação), possibilitando o cálculo

do preço de uma opção. Na Figura 12 é possível observar a superfície de

volatilidade do dia 24 de julho de 2008, formada por um skew de volatilidade para

cada um dos prazos.

Na Figura 13, é possível observar o comportamento da volatilidade de

diversos preços de exercício e a volatilidade no dinheiro para o prazo de 63 dias

úteis, enquanto que na Figura 14 temos o diferencial entre as volatilidades de

diversos preços de exercício e a volatilidade no dinheiro. A variação do diferencial de

volatilidade é bastante inferior à variação da volatilidade original. Enquanto as

volatilidades variam aproximadamente de 7% a 25%, o diferencial de volatilidade

está num intervalo mais restrito (aproximadamente de -2% a 6%). Os preços de

exercício utilizados no gráfico são os mesmo utilizados na aplicação da PCA.

21 42 63

126

189

010

2537

5063

7590

5

10

15

20

Dias Uteis

Superficie de Volatilidade

Delta

Vol

atili

dade

Figura 12. Superfície de volatilidade

32

Jul05 Jan06 Jul06 Jan07 Jul07 Jan085%

10%

15%

20%

25%

Volatilidade de Preços de Exercício e ATMF - 63 dias

19001925195019752000202520502075210021252150217522002225225022752300ATMF

Jul05 Jan06 Jul06 Jan07 Jul07 Jan08-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

Diferencial da Volatilidade entre Preços de Exercício e ATMF - 63 dias

19001925195019752000202520502075210021252150217522002225225022752300

Figura 13. Volatilidade no dinheiro e de diferentes preços de

exercício para o prazo de 63 dias

Figura 14. Diferencial da volatilidade no dinheiro e a volatilidade

de diferentes preços de exercício para o prazo de 63 dias

33

5. RESULTADOS

5.1. Resultados da aplicação da PCA à variação diária do diferencial de

volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade

no dinheiro (ATMF)

A primeira abordagem é a aplicação da PCA à variação diária da diferença

entre a volatilidade implícita de determinado preço de exercício e a volatilidade no

dinheiro. A análise foi feita para diferentes prazos de vencimento (21, 42, 63, 126 e

189 dias úteis) sobre os dados de julho de 2005 até janeiro de 2008. Foram

utilizados os preços de exercício de 1900 até 2300, divididos a cada 25 pontos.

Em todos os prazos, os três primeiros componentes respondem por uma

parcela significativa da variância, como pode ser observado na Tabela 1. No pior

caso (21 dias úteis), os três primeiros componentes correspondem a 94,6% da

variância do diferencial de volatilidade. Este número atinge 98,8% no prazo mais

longo analisado (189 dias úteis), sendo que para os prazos intermediários é

observado um aumento gradual do poder explicativo. Embora o aumento do poder

explicativo acumulado dos três primeiros componentes entre o prazo mais curto e o

prazo mais longo seja de apenas 4,2%, é importante ressaltar que a oscilação entre

cada componente é mais significativa: o primeiro componente, que corresponde a

apenas 65% da variância para o prazo de 21 dias, atinge 87% no prazo de 189 dias,

enquanto os outros componentes isoladamente perdem poder explicativo conforme

o poder explicativo do primeiro componente aumenta. O número total de fatores é

igual ao número de preços de exercício incluídos na análise; portanto, o numero total

de fatores é 17. No entanto, na Tabela 1 apresentamos somente os 10 fatores que

explicam a maior parcela da variância, ocultando os demais que correspondem a

uma parcela de menor significância da variância.

34

Componente 21 dias 42 dias 63 dias 126 dias 189 dias 1 65,0% 68,1% 72,4% 82,8% 87,3% 2 88,1% 91,6% 93,8% 95,9% 96,9% 3 94,6% 96,9% 97,9% 98,5% 98,8% 4 97,4% 98,5% 98,9% 99,4% 99,6% 5 98,8% 99,1% 99,4% 99,7% 99,8% 6 99,3% 99,5% 99,7% 99,9% 99,9% 7 99,6% 99,7% 99,8% 99,9% 100,0% 8 99,7% 99,8% 99,9% 100,0% 100,0% 9 99,8% 99,9% 99,9% 100,0% 100,0% 10 99,9% 99,9% 100,0% 100,0% 100,0%

Para compreendermos melhor as variações do poder explicativo de cada um

dos componentes em cada um dos prazos é necessário observar a carga fatorial ao

longo dos preços de exercício. A Figura 15 mostra esta carga para cada um dos três

primeiros componentes para o prazo de vencimento de 21 dias úteis. A PCA foi

aplicada à variação diária do diferencial de volatilidade; portanto, a carga de cada

um dos componentes revela como essa variação se comporta. O primeiro

componente é aproximadamente constante ao longo dos diferentes preços de

exercício e conseqüentemente corresponde a mudanças paralelas no diferencial de

volatilidade analisado. O segundo componente é crescente ao longo dos diferentes

preços de exercício e corresponde à inclinação no diferencial de volatilidade.

Finalmente, o terceiro componente apresenta um formato convexo e representa

mudanças na curvatura do diferencial de volatilidade.

Nas figuras seguintes (Figura 16, Figura 17, Figura 18 e Figura 19), podemos

observar que o comportamento da carga de cada um dos componentes se mantém

praticamente o mesmo ao longo dos outros prazos de vencimento.

Tabela 1. Percentual acumulado da variância explicada por cada

componente em cada um dos prazos analisados

35

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5

21 dias - Primeiro Componente

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5

21 dias - Segundo Componente

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5

21 dias - Terceiro Componente

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


Figura 15. Carga de cada componente ao longo dos preços de




36

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5






37

Desta maneira, podemos concluir que a parametrização linear do skew

proposta por Derman (1999) não representa a totalidade dos movimentos que

ocorrem, já que os movimentos não paralelos respondem por uma parcela

significativa da variação da volatilidade de cada preço de exercício.

O aumento do poder explicativo do primeiro componente observado na

direção dos prazos mais longos em detrimento do poder explicativo dos

componentes seguintes mostra que a importância dos movimentos não-paralelos é

mais significativa no curto prazo. Esta constatação vai de encontro às observações

do comportamento dos dados em que a variação do risk reversal era mais ampla no

curto prazo do que no longo prazo.

Dado que cada componente representa movimentos semelhantes em cada

um dos prazos, é interessante observar a correlação entre as cargas de cada

componente ao longo dos prazos. Na Tabela 2, temos as correlações para o

primeiro componente:

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5


1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-0.5

-0.250

0.250.5




38

21 42 63 126 189 21 100,0% 81,7% 69,2% 62,3% 53,3% 42 81,7% 100,0% 91,6% 81,0% 71,7% 63 69,2% 91,6% 100,0% 90,1% 81,1%

126 62,3% 81,0% 90,1% 100,0% 93,1% 189 53,3% 71,7% 81,1% 93,1% 100,0%

Com exceção do prazo de 21 dias, todos os outros apresentam correlação

alta, em especial os prazos mais longos adjacentes. Embora o prazo de 21 dias

também apresente correlação alta, seu movimento se mostra mais independente,

especialmente se consideramos a relação com os prazos mais longos.

As tabelas seguintes (Tabela 3 e Tabela 4) mostram as correlações para o

segundo e o terceiro componentes. O comportamento nestes dois casos é muito

semelhante: todos os prazos apresentam correlação alta, mas esta só é muito forte

para os vencimentos adjacentes, perdendo força conforme os vencimentos se

afastam.

21 42 63 126 189 21 100,0% 86,0% 73,0% 58,9% 42,2% 42 86,0% 100,0% 90,7% 72,1% 53,2% 63 73,0% 90,7% 100,0% 81,4% 61,6%

126 58,9% 72,1% 81,4% 100,0% 84,5% 189 42,2% 53,2% 61,6% 84,5% 100,0%

21 42 63 126 189 21 100,0% 87,3% 75,1% 46,9% 30,8% 42 87,3% 100,0% 90,6% 60,6% 42,4% 63 75,1% 90,6% 100,0% 70,8% 49,2%

126 46,9% 60,6% 70,8% 100,0% 77,3% 189 30,8% 42,4% 49,2% 77,3% 100,0%

Tabela 2. Correlações entre os coeficientes do primeiro

componente para diferentes prazos

Tabela 3. Correlações entre os coeficientes do segundo


Tabela 4. Correlações entre os coeficientes do terceiro


39

As figuras abaixo (Figura 20, Figura 21, Figura 22, Figura 23 e Figura 24)

mostram a estimativa do parâmetro gamma obtido através do modelo linear

expresso na equação (32). O parâmetro gamma representa a relação entre o

coeficiente diário de cada componente e a variação diária do preço do ativo-objeto.

O parâmetro referente ao primeiro componente exibe uma relação negativa com a

variação do ativo-objeto durante todo o período, independentemente do prazo

analisado. Isto significa que quando há uma variação positiva no preço do ativo-

objeto, o diferencial entre a volatilidade de determinado preço de exercício e a

volatilidade no dinheiro se reduz. Este resultado é coerente com o formato do smile

de volatilidade analisado, como pode ser observado na Figura 9: a volatilidade

implícita de uma opção de compra reduz conforme esta fica mais dentro do dinheiro;

ou seja, quanto maior o valor do ativo-objeto, a opção de compra de determinado

preço de exercício aumenta seu delta, e menor é sua volatilidade implícita. Desta

maneira, uma variação positiva do ativo-objeto reduz o diferencial entre a volatilidade

de determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro, conseqüentemente, o

parâmetro gamma é negativo.

Os parâmetros referentes ao segundo e ao terceiro componentes apresentam

um comportamento irregular, apresentando sinal negativo no início do período e em

alguns casos sinal positivo ao final do período. Embora os resultados obtidos na

análise de componentes principais indiquem que os movimentos não paralelos

ocorridos no skew sejam significativos, não é possível encontrar uma relação clara

entre estes movimentos e a variação do preço do ativo-objeto, assim como ocorre

para o primeiro componente. De qualquer maneira, isolar períodos mais curtos

permite obter resultados mais estáveis para a construção de cenários ou outras

aplicações.

Os resultados obtidos por Alexander (2000) também apresentaram

comportamento irregular para os dois últimos parâmetros, enquanto que o parâmetro

referente ao primeiro componente apresentou valor positivo em todo o período. Esta

diferença em relação ao primeiro componente ocorre porque, no caso de índices de

ações, a volatilidade implícita aumenta conforme o preço de exercício reduz,

enquanto que no caso do ativo-objeto deste trabalho ocorre o oposto.

40

Jan06 Jul06 Jan07 Jul07 Jan08-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

221 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias

Primeiro ComponenteSegundo ComponenteTerceiro Componente


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5



Figura 20. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente

para o prazo de 21 dias da PCA por preços de exercício



41


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5




-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5







42

Nos resultados obtidos por Oya (2006), embora parte do período analisado

seja o mesmo, o percentual da variância explicado pelo primeiro componente é

muito superior (cerca de 97% no prazo de 2 meses). A diferença ocorre devido à

PCA ter sido aplicada ao diferencial de volatilidade do preço de exercício e da

volatilidade no dinheiro, enquanto neste trabalho a aplicação da PCA é baseada na

metodologia proposta por Alexander (2000), em que a PCA é aplicada à variação

diária deste diferencial de volatilidade. Quando comparados aos resultados obtidos

por Alexander (2000), embora os ativos sejam diferentes, podemos observar que os

percentuais de variância explicados pelos componentes estão na mesma ordem de

grandeza: para os prazos de 1 a 3 meses, o primeiro componente foi responsável

por 65% a 80% da variação, o segundo componente por 5% a 15% da variação e o

terceiro componente por cerca de 5% da variação. Nos dois trabalhos citados, os

componentes representam os mesmos tipos de movimento: nível, inclinação e

convexidade.


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5





43

5.2. Resultados da aplicação da PCA à variação diária da volatilidade

em função do delta para determinado prazo

Outra forma de analisarmos o comportamento da volatilidade em cada prazo

de vencimento é aplicar a PCA à variação diária da volatilidade em função do delta.

A Tabela 5 mostra o percentual de variância explicado por cada um dos

componentes em cada prazo analisado. Em qualquer um dos prazos, o poder

explicativo dos três primeiros componentes é bem elevado. No entanto, a maior

diferença observada em relação à análise anterior é o comportamento do primeiro

componente: o percentual de variância explicada atinge valores bastante elevados e

é decrescente conforme o prazo se alonga.

Componente 21 dias 42 dias 63 dias 126 dias 189 dias 1 97,1% 97,0% 96,8% 95,4% 93,9% 2 98,7% 98,6% 98,5% 97,8% 97,1% 3 99,5% 99,3% 99,3% 98,9% 98,7% 4 99,7% 99,6% 99,6% 99,3% 99,2% 5 99,9% 99,8% 99,8% 99,7% 99,6% 6 100,0% 99,9% 99,9% 99,8% 99,8% 7 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

A análise anterior procura explicar o comportamento do diferencial de

volatilidade entre um determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro;

portanto, a oscilação do nível da volatilidade no dinheiro não é levada em conta. No

entanto, a aplicação da PCA à variação da volatilidade em função do delta tem como

maior componente justamente a variação do nível da volatilidade. Desta maneira, o

primeiro componente possui uma significância maior nesta análise. O fato de ser

decrescente com o aumento do prazo também está relacionado ao efeito do nível da

volatilidade no dinheiro: a volatilidade para prazos mais curtos oscila em intervalos

maiores, como foi mostrado neste trabalho. Portanto, para os prazos mais curtos, o

nível da volatilidade corresponde a uma parcela maior da variância.


componente em cada um dos prazos analisados

44

A Figura 25 mostra o comportamento de cada carga em função do delta para

o prazo de 21 dias. O primeiro componente se mantém praticamente constante ao

longo dos deltas e corresponde a variações no nível da volatilidade ATM, ou seja, a

volatilidade de cada um dos deltas sofre uma variação equivalente. O segundo

componente apresenta valores crescentes ao longo dos deltas e conseqüentemente

corresponde a variações no diferencial de volatilidade entre opções de compra fora

do dinheiro e opções de venda fora do dinheiro. O terceiro componente apresenta

um formato convexo ao longo dos deltas e corresponde a variações do diferencial de

volatilidade entre opções fora do dinheiro (compra e venda) e opções no dinheiro.

As figuras seguintes (Figura 26, Figura 27, Figura 28 e Figura 29) mostram o

comportamento da carga para a aplicação da PCA para os outros prazos. As cargas

de cada um dos componentes apresentam comportamento análogo ao do prazo

analisado acima e correspondem aos mesmos mecanismos de alteração da

volatilidade.

10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


Figura 25. Carga de cada componente ao longo do delta para o

prazo de 21 dias

45

10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5



prazo de 42 dias


prazo de 63 dias

46

10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5


10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.5-0.25

00.250.5



prazo de 126 dias


prazo de 189 dias

47

Neste ponto, é interessante observar a correlação dos coeficientes diários de

cada componente entre os diferentes prazos analisados nas tabelas abaixo (Tabela

6, Tabela 7 e Tabela 8). O primeiro componente apresenta correlações altas entre

todos os prazos analisados e, apesar da correlação se reduzir conforme a diferença

entre prazos aumenta, a correlação ainda permanece alta. No entanto, para o

segundo e o terceiro componentes a correlação se enfraquece para os prazos mais

elevados.

21 42 63 126 189 21 100,0% 95,3% 93,1% 88,6% 84,6% 42 95,3% 100,0% 98,5% 91,9% 88,1% 63 93,1% 98,5% 100,0% 94,2% 90,5%

126 88,6% 91,9% 94,2% 100,0% 96,9% 189 84,6% 88,1% 90,5% 96,9% 100,0%

21 42 63 126 189 21 100,0% 72,2% 52,5% 33,9% 28,9% 42 72,2% 100,0% 82,5% 52,4% 42,8% 63 52,5% 82,5% 100,0% 66,3% 52,0%

126 33,9% 52,4% 66,3% 100,0% 81,1% 189 28,9% 42,8% 52,0% 81,1% 100,0%

21 42 63 126 189 21 100,0% 68,4% 47,8% 28,7% 16,3% 42 68,4% 100,0% 76,8% 40,3% 23,4% 63 47,8% 76,8% 100,0% 60,5% 35,7%

126 28,7% 40,3% 60,5% 100,0% 76,6% 189 16,3% 23,4% 35,7% 76,6% 100,0%

Tabela 6. Correlações entre os coeficientes do primeiro


Tabela 7. Correlações entre os coeficientes do segundo


Tabela 8. Correlações entre os coeficientes do terceiro


48

As figuras abaixo (Figura 30, Figura 31, Figura 32, Figura 33 e Figura 34)

mostram o comportamento do parâmetro gamma obtido conforme a equação (32). O

parâmetro referente ao primeiro componente é positivo em todos os prazos

analisados, indicando que o aumento do nível da volatilidade está relacionado a

variações positivas do preço do ativo-objeto, ou seja, quando ocorre uma

desvalorização do real em relação ao dólar, há uma elevação no nível da

volatilidade. Esta relação é mais forte para os prazos mais curtos.

Os parâmetros correspondentes ao segundo e ao terceiro componentes

apresentam alternância de sinal ao longo do período, com valores quase sempre

próximos de zero. Portanto, não é possível afirmar que há uma relação clara entre o

comportamento destes componentes e a variação do preço do ativo-objeto, embora,

em alguns períodos, esta relação apresente peculiaridades. No período em torno de

maio de 2006 a outubro de 2006, o parâmetro do segundo componente é claramente

positivo, indicando que durante a forte desvalorização do real ocorrida neste período

houve uma relação mais clara entre variação positiva do ativo-objeto e aumento do

diferencial de volatilidade entre opções de compra e opções de venda fora do

dinheiro.

Jan05 Jul05 Jan06 Jul06 Jan07 Jul07 Jan08 Aug08

0

100

200


Primeiro Componente


-20

0

20

Segundo ComponenteTerceiro Componente


para o prazo de 21 dias da PCA por delta

49


0

100

200


Primeiro Componente


-20

0

20



0

100

200


Primeiro Componente


-20

0

20






50


0

100

200


Primeiro Componente


-20

0

20



0

100

200


Primeiro Componente


-20

0

20






51

5.3. Resultados da aplicação da PCA à variação diária da superfície de

volatilidade

As análises anteriores forneceram dados sobre o comportamento do skew de

volatilidade em cada um dos prazos. No entanto, é bastante claro que há grande

semelhança na carga de cada componente para os diversos prazos, assim como

nos coeficientes de cada um. A PCA é uma técnica que busca agrupar os dados

correlacionados; portanto, os resultados dos itens anteriores sugerem que a PCA

deve ser aplicada ao conjunto de volatilidade em função de delta e prazo de

vencimento simultaneamente.

Nesta seção, apresentamos os resultados da aplicação da PCA à variação

diária de uma superfície de volatilidade em função de delta e prazo de vencimento.

Quando comparados aos resultados obtidos para a PCA do skew, vemos na Tabela

9 que componentes de maior ordem são necessários para atingir cerca de 99% de

explicação da variância, enquanto apenas 3 componentes eram suficientes

anteriormente. Isto se deve à maior complexidade da estrutura que está sendo

analisada. O número total de componentes é 35 (número de dados do vetor

analisado: 5 prazos de vencimento x 7 valores de delta). No entanto, na tabela

abaixo apresentamos apenas os 10 componentes de maior significância, assim

como o autovalor associado a cada um dos componentes:

Componente

Percentual Acumulado da

Variância Explicada

Autovalor associado ao componente

1 91,8% 6,7034 2 95,1% 0,2430 3 96,5% 0,1014 4 97,6% 0,0797 5 98,1% 0,0380 6 98,4% 0,0226 7 98,7% 0,0192 8 98,9% 0,0138 9 99,0% 0,0122 10 99,2% 0,0109


componente e autovalor associado ao componente

52

O primeiro componente, que corresponde a 91,8% da variância, está

relacionado principalmente ao nível da volatilidade, como pode ser observado na

Figura 35. Existe um leve efeito de estrutura no tempo de volatilidade, já que neste

componente há uma ligeira elevação nas volatilidades de curto prazo,

independentemente do delta. Este primeiro componente já reflete a maior amplitude

de oscilação da volatilidade observada no curto prazo em relação aos prazos mais

longos.

O segundo componente, que corresponde a 3,3% da variância, representa a

estrutura de volatilidade no tempo, como pode ser observado através de sua carga

na Figura 36. Assim como no caso anterior, há estrutura de prazo de vencimento,

mas não há estrutura no delta. A inclinação da volatilidade no tempo se pronuncia

especialmente nos prazos de 21, 42 e 63 dias, ficando o restante da estrutura

praticamente estável.

050

100150

200

0

50

100-0.5

0

0.5

Dias Uteis

Primeiro Componente

Delta

Figura 35. Carga do primeiro componente da superfície de

volatilidade

53

Apenas no terceiro componente é possível observar a estrutura de

volatilidade no delta: a carga deste componente revela uma diferenciação entre as

volatilidades de opções de compra e de venda fora do dinheiro. Vale ressaltar que

há também a presença de efeito de estrutura no tempo da volatilidade, ficando

correlacionada a alta da volatilidade de curto prazo a uma elevação da diferença de

volatilidade entre as opções de compra fora do dinheiro e as opções de venda fora

do dinheiro, conforme a Figura 37.

No entanto, embora o terceiro componente seja responsável por apenas 1,4%

da variância, não se pode desprezar seu efeito, conforme observado na aplicação da

PCA ao skew de volatilidade. Também é possível observar o efeito do risk reversal

no quarto componente (1,1% da variância), conforme a Figura 38. No entanto, neste

caso a correlação entre a volatilidade de curto prazo e a diferença de volatilidade

entre as opções de compra fora do dinheiro e as opções de venda fora do dinheiro

fica invertida em relação ao terceiro componente.

Finalmente, é possível observar o efeito do buttlerfly no quinto componente

(Figura 39), responsável por apenas 0,5% da variância (atingindo-se 98,1% da

variância acumulada): a carga revela uma elevação simultânea da volatilidade das

opções de compra fora do dinheiro e das opções de venda fora do dinheiro.

050

100150

200

0

50

100-0.5

0

0.5

Dias Uteis

Segundo Componente

Delta

Figura 36. Carga do segundo componente da superfície de

volatilidade

54

050

100150

200

0

50

100-0.5

0

0.5

Dias Uteis

Terceiro Componente

Delta

050

100150

200

0

50

100-0.5

0

0.5

Dias Uteis

Quarto Componente

Delta

Figura 37. Carga do terceiro componente da superfície de

volatilidade

Figura 38. Carga do quarto componente da superfície de

volatilidade

55

Quando comparados estes resultados aos obtidos por Kapotas (2005),

podemos observar que a estrutura a termo de volatilidade, que neste trabalho é

representada pelo segundo componente, tem menor importância na explicação da

variância, aparecendo somente no terceiro componente. Esta diferença pode ser

explicada se levarmos em conta os prazos utilizados: neste trabalho foram utilizados

5 prazos (de 1 a 9 meses), enquanto que no de Kapotas (2005) foram utilizados 3, 4

e 6 meses. Desta maneira, os prazos mais afetados pela estrutura temporal da

volatilidade expressos no segundo componente (1 e 2 meses) não estavam

presentes, reduzindo a importância deste componente.

As diferenças em relação aos componentes que expressam o risk reversal

também decorrem da diferença dos prazos analisados: neste trabalho, o terceiro e

quarto componentes correspondem ao risk reversal, no entanto, diferem em termos

de sua relação com o movimento da volatilidade de curto prazo.

Na Figura 40, podemos observar o comportamento do parâmetro gamma para

cada um dos componentes. Assim como nos casos anteriores, o parâmetro do

primeiro componente, responsável pelo nível da volatilidade, apresenta relação

positiva com a variação de preço do ativo-objeto, ou seja, nos dias em que ocorre

desvalorização do real a superfície de volatilidade apresenta uma elevação em seu

nível.

050

100150

200

0

50

100-0.5

0

0.5

Dias Uteis

Quinto Componente

Delta

Figura 39. Carga do quinto componente da superfície de

volatilidade

56

Os parâmetros dos componentes seguintes, no entanto, apresentam

comportamento irregular ao longo do tempo, apresentando valor próximo de zero na

maior parte do tempo. Novamente podemos destacar o comportamento do

parâmetro do terceiro componente, correspondente ao diferencial de volatilidade

entre opções de compra e opções de venda fora do dinheiro, durante o período de

maio de 2006 a outubro de 2006: neste período houve forte relação entre a

desvalorização do real e o aumento do diferencial de volatilidade entre as opções de

compra fora dinheiro e opções de venda fora do dinheiro.


0

100

200

300

400

500Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias

Primeiro Componente


-20

0

20



-20

0

20

Quarto ComponenteQuinto Componente


para a PCA para superfície de volatilidade

57

5.4. Comparação entre as diferentes aplicações da PCA

Comparar os resultados obtidos nas três diferentes abordagens da aplicação

da PCA no estudo da volatilidade requer que sejam levadas em conta as diferenças

conceituais entre elas.

A primeira abordagem examina o comportamento da volatilidade de cada

preço de exercício em relação à volatilidade no dinheiro. Portanto, nesta análise, o

primeiro componente reflete a variação do nível desta diferença. Esta variação é

decorrente, principalmente, do efeito do skew de volatilidade em cada preço de

exercício quando há uma movimentação no preço do ativo-objeto, excluindo o efeito

da variação da volatilidade no dinheiro. Os componentes seguintes refletem

variações não lineares nesta relação. A importância deste estudo está em identificar

a significância relativa dos componentes de maior ordem, independentemente do

nível da volatilidade no dinheiro.

A segunda abordagem busca explicar o comportamento da volatilidade em

função de delta. Neste caso, o nível da volatilidade está representado no primeiro

componente, enquanto os componentes seguintes representam as variações nas

assimetrias de volatilidade, ou seja, como o skew de volatilidade se comporta.

Expressar a volatilidade em função de delta ao invés de expressar a volatilidade em

função de preços de exercício também permite que a volatilidade de cada preço de

exercício se altere quando há uma alteração no preço do ativo-objeto. Neste caso, a

volatilidade de cada preço de exercício se altera de acordo com a variação no delta

da opção.

A terceira abordagem procura explicar o comportamento da volatilidade em

função de delta, assim como na segunda abordagem. No entanto, a estrutura de

volatilidade no tempo também é analisada quanto todos os prazos de vencimento

são incluídos simultaneamente na aplicação da PCA. A estrutura de volatilidade no

tempo foi representada pelo segundo componente, sendo responsável por uma fonte

de variação mais significativa do que as assimetrias observadas no skew de

volatilidade.

58

6. CONCLUSÕES

Os resultados obtidos indicam que a aplicação da análise de componentes

principais permite obter uma parcela significativa da variação da volatilidade nos três

primeiros componentes. De maneira geral, os componentes obtidos podem ser

identificados e relacionados a movimentos intuitivos da superfície de volatilidade.

A aplicação da análise de componentes principais à variação diária do

diferencial de volatilidade de determinados preços de exercícios e a volatilidade no

dinheiro permitiu verificar que movimentos não-paralelos ocorrem no skew de

volatilidade. Os movimentos não-paralelos são mais significativos para os prazos

mais curtos de vencimento.

Quando aplicada à volatilidade em função de delta, a PCA reflete também as

variações da volatilidade no dinheiro, fonte de variação ausente na análise anterior.

Neste caso, o primeiro componente, responsável pela variação do nível da

volatilidade, representa uma parcela mais significativa da variação, principalmente

nos prazos mais curtos.

A partir dos dados obtidos é possível uma compreensão melhor da aplicação

da PCA à superfície de volatilidade em função de delta e prazo de vencimento. Os

componentes revelam o comportamento da estrutura de volatilidade no tempo, onde

a volatilidade para os prazos mais curtos tem oscilação mais ampla do que a

volatilidade dos prazos mais longos e também há movimentos relacionados entre o

skew e a estrutura de volatilidade no tempo.

Em todas as análises, o primeiro componente apresentou uma forte relação

com a variação do ativo-objeto, embora não seja possível observar uma relação

clara para os componentes seguintes. Estas informações permitem a elaboração de

cenários para a simulação de portfólios, onde pode ser levada em conta também a

relação entre as exposições ao ativo-objeto e à volatilidade.

Os resultados obtidos indicam que a estrutura de volatilidade no tempo

representa uma fonte de variação mais significativa do que as variações no skew de

volatilidade. De posse desses resultados, a PCA da superfície de volatilidade é

adequada para a análise das sensibilidades de portfólios com diversas datas de

vencimento ou que exibam dependência do caminho do preço do ativo-objeto,

enquanto que a PCA do skew de volatilidade é mais adequada ao estudo do

59

apreçamento e da sensibilidade de derivativos que não exibam dependência do

caminho do preço do ativo-objeto.

O conhecimento dos componentes principais da superfície de volatilidade

também permite sua atualização durante o pregão com uma quantidade reduzida de

observações de dados de mercado. Em geral, a liquidez do mercado de opções é

reduzida e não permite a observação de grande quantidade de preços em curto

intervalo de tempo. Desta maneira, com apenas algumas informações de mercado é

possível identificar que componentes principais foram afetados e em que magnitude,

permitindo aplicar sua variação sobre a superfície de volatilidade com o intuito de

refletir os dados de mercado para todas as opções disponíveis.

60

7. BIBLIOGRAFIA

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EFMA 2001 Lugano Meetings. University of Reading Working Paper in Finance,

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