revisão de conceitos probabilísticos e introdução ao
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Instrumentação A, 2016, UFRGS, DELET
Instrumentação A
Revisão de conceitos probabilísticos e introdução ao estudo da
instrumentação
Cristian Schneider, Diego Stankiewicz e Marcelo Schreiber
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Departamento de Engenharia Elétrica, Curso de
Engenharia Elétrica, Instrumentação A, Profs. Dr. Alexandre Balbinot e Dra. Léia Bagesteiro
E-Mails: [email protected] (C.S); [email protected] (D.S);
[email protected] (M.S).
Data Início: 19/08/2016 ; Data Final: 02/09/2016
Resumo: Este trabalho revisa conceitos de probabilidade e estatística, bem como introduz
conceitos básicos de instrumentação como incertezas de medição, propagação de incertezas
e Projeto de Experimentos. As funções de transferência experimentais de dois
termoresistores são determinadas computacionalmente com erro de linearidade e
conformidade de e respectivamente. Estas mesmas funções são obtidas
algebricamente pelo método dos mínimos quadrados com erro de linearidade e
conformidade de e respectivamente. A incerteza de multímetros digitais
foram analisadas utilizando duas topologias de circuito, também analisou-se a incerteza
combinada por meio da potência elétrica. Tornou-se evidente a influência da escala dos
multímetros nos valores de incerteza. Com as medidas do período de um pêndulo e o estudo
da média aritmética e desvio padrão destas amostras, foi comprovado que o número de
repetições é um fator relevante no experimento. Quanto maior o número de repetições,
menor a incerteza associada com flutuações acerca da média aritmética. Com estes dados e a
elaboração de um Projeto Fatorial Completo é possível determinar que o operador é fonte
significativa de erro experimental. Através da medida de deformação de molas com diversos
pesos foi possível determinar a incerteza combinada da constate elástica de uma mola, bem
como seu valor. Através de um projeto de experimentos fatorial completo, comprovou-se
estatisticamente que a constate elástica de duas molas são iguais. No último experimento de
deformação de molas, do tipo aninhado, pôde-se afirmar que as constantes elásticas de três
molas eram diferentes .
Abstract: This paper reviews the concepts of probability and statistics, and introduces basic
concepts of instrumentation and measurement uncertainties, along with the study of
propagation of uncertainties and Design of Experiments. The experimental transfer
2
functions of two resistance thermometers are determined computationally with linearity
error and compliance 0.0584% and 2.36%, respectively. These same functions are
algebraically obtained by the use of the least squares method with linearity error and
compliance 0.0733% and 3.94%, respectively. The uncertaintyof a digital multimeters was
analyzed using two circuit topologies and also analyzing the combined uncertainty by
measuring the electrical power. It became apparent that the influence of the range of
multimeters in the value of the uncertainty. Measuring the period of a pendulum turned
possible to study the arithmetic mean and standard deviation of these samples, confirming
that the number of repetitions is a relevant factor in the experiment. The greater the number
of the repetitions, the smaller the uncertainty associated with fluctuations on the arithmetic
mean. With these data and the preparation of a Full Factorial Design it was possible to
determine that the operator is a significant source of experimental error. By measuring the
deformation of springs with different weights it was possible to determine the combined
uncertainty of the elastic constant of the springs, as well as its value. Through a full factorial
experimental design, it became possible to prove, statistically, that the elastic constant of
two springs is equal. In the last experiment of deformation springs, using the nested type, it
became possible to affirm that the elastic constants of three springs are different.
Keywords: Method of Least Squares; linearity error; Full Factorial Experiment; combined
uncertainty.
Palavras-chave: Método dos Mínimos Quadrados; erro de linearidade; Projeto de
Experimentos Fatorial Completo; incerteza combinada.
1. Introdução
Este documento relata as atividades desenvolvidas e os resultados obtidos em 5 experimentos, todos
com embasamento teórico passível para discussão de diversos assuntos relacionados à incerteza, ajuste
de curvas e projeto de experimentos.
No procedimento experimental 2.1, a função de transferência experimental de dois termoresistores
são definidas através de dados experimentais. Segundo (Balbinot & Brusamarello, 2010, pg 81) “ Em
muitos experimentos envolvendo variáveis X e Y, uma das variáveis pode ser controlada pelo
investigador. Em tais circunstâncias, a utilização dos métodos de regressão é apropriada para avaliar a
relação entre a variável independente (fator causal) e a variável dependente (resposta possível). ”
Neste caso a variável controlada é a temperatura da água em um copo becker, e a variável de saída do
sistema são as resistências dos termoresistores. Utilizando a ferramenta computacional MATLAB e
também o cálculo algébrico através do Método dos Mínimos Quadrados, foram encontradas as funções
de transferência experimentais.
No procedimento experimental 2.2, foram analisados os efeitos da incerteza gerada pelas diferentes
escalas do multímetro nas medições de tensão elétrica, corrente elétrica e resistência elétrica. Em
(Balbinot & Brusamarello, 2010, pg 15) define-se a incerteza como “um parâmetro não negativo,
3
associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser
fundamentadamente atribuídos a um mensurando.” Utilizando o método de expansão de Série de
Taylor, foi possível determinar a incerteza combinada de três diferentes métodos para o cálculo da
potência elétrica dissipada no circuito.
No procedimento experimental 2.3, foram analisados estatisticamente o efeito do número de
medidas para o período de um pêndulo. Através da análise de histogramas e do valor de desvio padrão
é possível verificar os efeitos que o aumento do número de repetições causa no comportamento das
medidas. Outro importante item a ser avaliado é se o operador é fonte significativa de erro através da
elaboração de um Projeto de Experimentos do tipo Fatorial Completo. De (DEMING, 1981), “para
executar um planejamento fatorial deve-se, em primeiro lugar, especificar os níveis em que cada fator
será estudado, isto é, os valores dos fatores que serão empregados nos experimentos. Cada um desses
experimentos, em que o sistema é submetido a um conjunto de níveis definido, é um ensaio
experimental. Em geral, se houver níveis do fator 1, do fator 2, ..., e do fator k, o
planejamento será um fatorial x x ... x . Isto não significa obrigatoriamente que serão
realizados apenas x x ... x experimentos. Este é o número mínimo, para se ter um
planejamento fatorial completo. O experimentador pode querer repetir ensaios, para ter uma estimativa
do erro experimental, e nesse caso o número de experimentos será maior. ”
No procedimento experimental 2.4 e 2.4.1, a análise estatística da constate elástica de uma mola é
realizada. Os resultados obtidos são comparados graficamente com a relação direta da Lei de Hooke.
Com a elaboração de um Projeto de Experimentos do tipo Fatorial Completo é possível definir
estatisticamente se as constantes elásticas de duas molas são iguais.
No procedimento experimental 2.5, a medição de deformação da mola é feita de modo aninhado e
em seguida é determinado quais fatores controláveis e iterações entre os mesmos afetam de forma
significativa a variável de interesse. Segundo (INMETRO, 2012, pg 141) “ Os arranjos aninhados e a
análise dos dados obtidos pela aplicação de métodos ANOVA podem ser utilizados com sucesso em
muitas situações de medição encontradas na prática. ”
2. Metodologia Experimental
Nesta seção serão apresentados os métodos utilizados na construção dos procedimentos
experimentais, assim como o embasamento teórico associado.
2.1 Ajuste de Curvas.
Este procedimento experimental revisa conceitos de ajustes de curvas. Analisou-se o
comportamento da variação de resistência elétrica de dois termoresistores, denominados termoresistor
1 e termoresistor 2, em função da temperatura do líquido ao qual os mesmos estavam submersos.
O procedimento realizado consistiu em encher um béquer com água homogeneamente aquecida a
85 °C e resfriá-la gradualmente de 2,5ºC em 2,5ºC registrando 20 temperaturas e o valor da resistência
elétrica mostrada no multímetro conectado aos termoresistores. A água do béquer foi resfriada
inicialmente através da troca de calor com o ambiente e quando quase alcançado o equilíbrio térmico,
4
fez-se adição de água abaixo da temperatura ambiente. Durante todo o processo, misturou-se a
substância para acelerar o resfriamento e garantir a homogeneidade da temperatura da água.
Utilizou-se um multímetro digital da marca MINIPA modelo ET-1002 na escala de 200 para o
termoresistor 1, e na escala 2000 para o termoresistor 2. As incertezas e resoluções deste
equipamento são mostradas na Tabela 1. A temperatura foi medida com um termômetro que possui
incerteza de 1ºC e resolução de 0,1ºC na faixa de valores do procedimento experimental. Os
termoresistores não possuem nenhuma informação, sendo o objetivo do experimento obter a função de
transferência experimental dos mesmos.
Tabela 1. Incerteza e resolução do multímetro MINIPA ET-1002.
GRANDEZA ESCALA INCERTEZA RESOLUÇÃO
Resistência 200Ω ±(1,0%+5D) 100mΩ
Resistência 2000Ω ±(0,8%+5D) 1Ω
Fonte: Adaptado do manual do fabricante MINIPA, 2012.
O ajuste da reta que melhor representa os resultados obtidos é feito através do software MATLAB e
algebricamente utilizando o método dos mínimos quadrados. Este método consiste em determinar o
coeficiente angular e o coeficiente linear da reta que minimiza o erro quadrático médio
entre o valor das amostras obtidas e o valor da curva ajustada. Considerando um número de
medidas, os valores de e podem ser calculados conforme Equação (1) e (2) respectivamente.
∑
∑
∑
∑
∑
(∑ )
(1)
∑
∑
∑
∑
(∑ )
(2)
É possível também aplicar métodos de linearização de funções do tipo potência e não lineares para
utilizar o método dos mínimos quadrados e determinar seus coeficientes. O exemplo apresentado nas
Equações (3), (4) e (5) apresenta a linearização de uma curva exponencial e utilização do método dos
mínimos quadrados para determinação de seus parâmetros.
→ ( ) ( ) (3)
( ) (4)
(5)
Com os valores de e pode-se encontrar os valores dos coeficientes e através da igualdade
demonstrada na Equação (6).
5
(6)
O erro de linearidade do ajuste de curva, caso a resistência tenha dependência linear com a
temperatura, é dado pela Equação (7).
(7)
onde é o maior valor entre a curva ajustada e um valor experimental e é o fundo de
escala do valor de resistência. O erro de conformidade, caso a resistência não tenha dependência linear
com a temperatura, é calculado de maneira análoga ao erro de linearidade, dado pela Equação (7).
2.2 Determinar as Incertezas de um Multímetro Digital
O primeiro experimento realizado para determinar as incertezas de um multímetro digital consiste
na elaboração de um simples circuito resistivo série onde são medidas as variáveis de tensão elétrica e
corrente elétrica. A fonte de tensão elétrica utilizada é do modelo POL-16E da marca POLITERM, de
acordo com o manual da mesma tem-se que a exatidão é de ± (0,5% da leitura + 2 dígitos). Ajustou-se
o potenciômetro até que o visor digital exibisse 1.0 de modo que a tensão elétrica de saída é 1,0 ± 0,05
V. Os valores das resistências elétricas utilizadas são 100 ± 10Ω e 5,6k ± 560Ω. O circuito foi montado
sobre uma protoboard, a fim de facilitar a conexão dos cabos da fonte e multímetro, e também a troca
dos resistores.
As medidas de corrente elétrica e tensão elétrica foram obtidas respectivamente como mostra a
Figura 1 e anotadas em tabelas específicas para posterior análise de incerteza.
Figura 1. Circuito para medidas de corrente elétrica e tensão elétrica do circuito resistivo série.
Para cada valor de resistência elétrica foram realizadas de forma aleatória cinco medidas de corrente
elétrica, cinco medidas de tensão elétrica e cinco medidas de resistência elétrica, sendo que em todas as
medições o operador foi o mesmo. Utilizou-se dois modelos diferentes de multímetro, MINIPA ET-
1100 e MINIPA ET-1002, os valores de incertezas relacionadas as escalas dos mesmos podem ser
encontradas nas Tabela 2 e Tabela 3.
6
O segundo experimento realizado para determinar as incertezas de um multímetro digital é um
circuito resistivo em paralelo, que utiliza os mesmos resistores do experimento anterior, onde
novamente serão medidas as variáveis de tensão elétrica e corrente elétrica.
A tensão elétrica da fonte foi mantida em 1,0 ± 0,05 V e as medidas de corrente elétrica e tensão
elétrica foram obtidas respectivamente como mostra a Figura 2.
Tabela 2. Escala, precisão e resolução para o multímetro MINIPA ET-1100.
GRANDEZA ESCALA PRECISÃO RESOLUÇÃO
Tensão DC 2V ±(0,5%+2D) 1mV
Corrente DC 200μA ±(1,0%+2D) 0,1μA
20mA ±(1,5%+2D) 10μA
Resistência Elétrica 200Ω ±(0,8%+4D) 0,1Ω
20kΩ ±(0,8%+2D) 10Ω
Fonte: Adaptado do manual do fabricante MINIPA, 2012.
Tabela 3. Escala, precisão e resolução para o multímetro MINIPA ET-1002.
GRANDEZA ESCALA PRECISÃO RESOLUÇÃO
Tensão DC 2000mV ±(0,8%+5D) 1mV
Corrente DC
2000μA ±(1,0%+5D)
1μA
20mA 10μA
200mA ±(1,2%+5D) 100μA
Resistência Elétrica 200Ω ±(1,0%+5D) 100m Ω
20kΩ ±(0,8%+5D) 10Ω
Fonte: Adaptado do manual do fabricante MINIPA, 2012.
Figura 2. Circuito para medidas de corrente elétrica e tensão elétrica do circuito resistivo em paralelo.
O método de medição foi o mesmo do experimento anterior, sendo a única diferença a obtenção do
valor de resistência elétrica equivalente do circuito ao invés do valor das resistências elétricas
individuais.
7
Após obter as medições referentes as duas topologias de circuito, pode-se determinar a incerteza
relativa à escala do multímetro selecionada. Baseado na análise por Expansão da Série de Taylor, a
fórmula para obtenção desta incerteza é dada pela Equação (8),
√( ) ( ) (8)
onde %leitura é uma porcentagem do valor medido e corresponde a resolução do
instrumento multiplicada pelo número de dígitos do visor do multímetro. O valor da porcentagem,
dígitos e resolução se encontram no manual do fabricante, caracterizando uma Avaliação de Incerteza
do tipo B.
Para analisar a propagação de incertezas, primeiramente a potência elétrica do circuito é calculada
pelas Equações (9), (10) e (11),
(9)
(10)
(11)
onde P representa a potência elétrica [W], V a tensão elétrica [V], I a corrente elétrica [A] e R a
resistência elétrica [Ω].
A incerteza combinada é calculada para obtenção da incerteza quando medidas indiretas da variável
são feitas. Neste experimento, a potência elétrica é calculada em função da corrente elétrica, tensão
elétrica e resistência elétrica. Sendo assim, também baseado na Expansão da Série de Taylor, define-se
a incerteza combinada da Equação (9) na Equação (12), da Equação (10) na Equação (13) e da
Equação (11) na Equação (14),
√(
)
(
)
√
(12)
√(
)
(
)
√
(13)
√(
)
(
)
√
( ) (14)
8
onde é a incerteza da tensão elétrica [V], é a incerteza da corrente elétrica [A], é a incerteza
da resistência elétrica [Ω], P representa a potência elétrica [W], V a tensão elétrica [V], I a corrente
elétrica [A] e R a resistência elétrica [Ω].
2.3 Um Simples Pêndulo
Buscou-se determinar o período de oscilação de um simples pêndulo, composto por um barbante e
uma massa fixada em uma das extremidades, assim como analisar a influência do operador nas
medidas. Para tanto, foi utilizado o cronômetro de um celular Positivo S455, com resolução de décimo
de segundo. Incialmente definiu-se o ângulo inicial da oscilação como 10°, sendo controlado através
de um transferidor, de marca Desetec e modelo 8115, com resolução de 1 milímetro, fixado no eixo do
pêndulo.
Após as definições, iniciou-se a fase de medidas. O primeiro passo foi fazer 100 (cem) medições de
período para essa configuração, onde apenas um operador as realizava, de modo que o erro sistemático
em questão fosse o mesmo para todas as medidas. A intenção era de analisar a sua distribuição, assim
como a sua tendência central e os seus desvios. Esse estudo foi realizado para o conjunto total e
também para conjuntos aleatórios com dez medidas cada, com o intuito de analisar a influência do
número de repetições nos valores de média e desvio padrão, através de cálculos matemáticos e
histogramas.
Levando em conta que uma das fontes de incerteza nas medições é associada à resolução do
instrumento escolhido, num segundo momento foi adotada uma técnica a fim de minimizar este
problema. Sabendo que para pequenas oscilações o pêndulo possui período praticamente constante,
mediu-se o tempo total de dez períodos. Dessa forma, a medida possuiu quatro dígitos significativos,
um a mais do que no experimento anterior. Foram feitas dez repetições e com isso foi possível analisar
a distribuição das medidas, assim como a tendência central e o desvio padrão, comparando com os
dados obtidos anteriormente.
Outra causa de incerteza na medida é o tempo de reação do operador. A fim de analisar essa
influência, foram realizadas dez medidas de período por três operadores diferentes. Com os dados,
construiu-se um projeto de experimentos do tipo fatorial completo, onde a variável de resposta foi o a
duração do período, em segundos, e o único fator controlado foi o operador. Primeiramente, calcula-se
o termo de correção das amostras, visando ajustar a variação no grupo de medidas de mesmas
condições, com a Equação (15),
( )²medidas
TCN medidas
(15)
onde a variável medidas representa os valores medidos e a variável Nº medidas representa o total de
medidas realizadas.
Feito isso, calcula-se a soma dos quadrados das medidas do fator controlado com a utilização da
Equação (16),
9
2 2 2 1 2 3
Trat
medidasop medidasop medidasopS op TC
N repetições N repetições N repetições
(16)
onde a variável medidasop1 representa os valores medidos pelo operador 1, sendo esta definição
análoga para as variáveis medidasop2 e medidasop3. Já a variável Nº repetições representa o total de
medidas realizadas por cada operador e a variável TC representa o termo de correção das amostras..
O número de graus de liberdade da variável em questão é igual ao número de operadores menos um.
Assim, se calcula a média da soma dos quadrados da variável e do erro através da Equação (17) com o
intuito de encontrar o fator calculado de probabilidade,
TratTart
S opMQop
GDL (17)
onde a variável SopTrat representa a soma dos quadrados da variável medida e a variável GDL
representa os graus de liberdade.
O fator calculado, citado anteriormente, é calculado através da Equação (18),
Trat
op
erro
MQopFC
MQ (18)
onde a variável MQopTrat representa a média da soma dos quadrados da variável e a variável MQerro
representa a média da soma dos quadrados do erro.
A média quadrática do erro é calculada através da divisão da soma dos quadrados do erro pelo
número de graus de liberdade do erro, apresentada na Equação (19),
3 1
erroerro
SMQ
N repetições
(19)
onde a variável Serro representa a soma quadrática do erro e a variável Nº repetições representa o total
de repetições do experimento.
Portanto, se o experimento fosse realizado sem repetições, o número de graus de liberdade do erro,
um dos termos do denominador da Equação (19), tenderia a zero. Dessa forma, a média da soma dos
quadrados do erro tenderia ao infinito, fazendo com que o fator calculado das combinações das
variáveis de resposta, que nesse caso é apenas uma, tendesse a zero. Isso significaria que todos os
fatores controlados não influenciariam significativamente na variável de resposta, o que não
necessariamente é verdade. Nesses casos, os fatores tabelados são pesquisados nas tabelas de
distribuições probabilísticas levando em conta que o GDL do erro é o número de graus de liberdade da
maior combinação de fatores controlado. Assim, não é possível responder à pergunta que leva em
conta todos os fatores controlados e essa é a grande desvantagem de um experimento sem repetição.
Por fim, o fator calculado é comparado com o fator tabelado proveniente de uma tabela com valores
probabilísticos, relacionando os GDL’s da combinação dos fatores em questão com o do erro. A tabela
utilizada, com um nível de noventa por cento de certeza, está demonstrada na Tabela 4.
10
Tabela 4. Limites unilaterais da distribuição F de Fisher-Snedecor ao nível de 10% de probabilidade.
Fonte: http://www.cin.ufpe.br/~rmcrs/Tabelas/tabelas%20F.pdf, 2016.
O resultado de medições repetidas do período pode ser representado através da Equação (20),
0
T T T (20)
onde T0 é a média aritmética da distribuição dos períodos analisados e δT a incerteza, a qual depende
das flutuações em torno da média. Por convenção, assume-se a Equação (21).
1
( )N
i
i
T T
(21)
Portanto, a incerteza pode ser calculada através da Equação (22),
01
( )²
( 1)
N
iiT T
tN N
(22)
11
2.4 Uma Simples Mola Helicoidal: medição estática da constante elástica.
2.4.1 Determinação da constante elástica de uma mola
Neste procedimento experimental engastou-se uma mola e suspendeu-se corpos em sua borda livre.
Após o término da oscilação, mediu-se a deformação em relação ao estado original da mesma. O
instrumento utilizado para realizar a medida de deformação é uma régua do fabricante Indústria
Bandeirante com resolução de 0,1 cm.
Mediu-se as massas [g] de 3 corpos, para serem suspensos pelas molas, através de
uma balança mecânica com resolução de 0,1g. A incerteza destes valores, expressada na forma de
desvio padrão é dada pela Equação (23),
√ (23)
onde é a resolução da balança. As massas foram adicionadas uma a uma à borda
livre da mola, compondo assim três conjuntos de massas: , e
. As incertezas combinadas destes conjuntos podem ser calculadas como mostram as Equações (24),
(25) e (26),
(24)
√(
)
(
)
(25)
√(
)
(
)
(
)
(26)
onde [g] são as incertezas combinadas dos conjuntos de massa [g]
respectivamente,
[g] são as incertezas das massas [g], [g]
respectivamente. e os termos
representam a derivada de com relação à .
Os pesos são calculados como demonstra a Equação (27),
(27)
onde são os conjuntos de massa e é a aceleração da gravidade, definida como . A
incerteza dos pesos é dada pela Equação (28),
(28)
12
onde é a aceleração da gravidade, definida como e é a incerteza associada com os
conjuntos de massas . A incerteza do valor de comprimento da mola pode ser calculada
pela Equação (29),
√ (29)
onde é a resolução da régua [cm]. Os valores de deformação são calculados através das
Equações (30), (31) e (32),
(30)
(31)
(32)
onde [cm] são os valores do comprimento da mola após as massas [g] serem
adicionadas e [cm] é o comprimento inicial da mola.
A incerteza combinada para cada valor de deformação é calculado através das Equações (33),(34) e
(35),
√(
)
(
)
(33)
√(
)
(
)
(34)
√(
)
(
)
(35)
onde
[cm] são os valores de incerteza combinada para os valores de deformação
[cm] respectivamente,
[cm] são os valores da incerteza para as medidas
de deformação [cm] e (
) são as derivadas das deformações com relação às
deformações .
Com os resultados obtidos, é possível plotar um gráfico de , onde são os pesos
suspensos na mola e a deformação sofrida pela mola, juntamente com os valores de suas incertezas.
Pode-se analisar a consistência dos resultados experimentais com a relação apresentada pela Equação
(36),
13
(
) (36)
onde [N] representa os pesos calculados através da Equação (27) e [N/cm] é a constate elástica da
mola. Determinando o valor da constante , é possível avaliar sua incerteza combinada como
demonstra a Equação (37),
√(
)
(
)
(37)
onde [cm] é a incerteza combinada para constate elástica da mola,
é a derivada parcial da função
com relação à , é a incerteza dos pesos, ,
é a derivada parcial da função com relação à e
[cm] é a incerteza da medida de deformação.
2.4.2 Projeto de Experimento Fatorial Completo com 3 Fatores
Utilizando duas molas, elaborou-se um Projeto de Experimentos do Tipo Fatorial Completo com
três fatores controláveis: massa à 3 níveis, mola à dois níveis e operador à dois níveis. O experimento
foi completamente aleatorizado, alternando-se entre operadores, massas e mola para realizar as
medidas. O procedimento experimental segue o mesmo apresentado no item 2.4.1, onde os conjuntos
de massas , e são suspensas à mola e o comprimento
final é medido. Isto é feito com uma régua da fabricante Indústria Bandeirante com resolução de 0,1
cm, sendo realizadas três repetições para cada combinação de fatores. A massa suspensa à mola é
definida como fator A, a mola como fator B e o operador como fator C.
Através da análise de variância é possível comprovar se a constante elástica das molas é igual do
ponto de vista estatístico. O método utilizado para análise é a tabela ANOVA. Este método é descrito
detalhadamente em Balbinot & Brusamarello, 2010, pg 86-92. A tabela dos percentuais da distribuição
F utilizada é a Tabela 4.
Com os resultados da análise de variância obtidos é possível responder se as molas influenciam
significativamente no comprimento final, se massas influenciam significativamente no comprimento
final, se o operador influencia significativamente no comprimento final, se a mola e massa influenciam
significativamente no comprimento final, se a massa e o operador influenciam significativamente no
comprimento final, se operador e a mola influenciam significativamente no comprimento final, se
operador e massa e mola influenciam significativamente no comprimento final.
2.5 Projeto de Experimento do Tipo Aninhado
Utilizando três molas e dois operadores, elaborou-se um Projeto de Experimentos do Tipo
Aninhado. Esse tipo de experimento tem como característica principal a interdependência entre fatores
controlados, que acontece pela impossibilidade de medidas nos mesmos níveis dos fatores.
14
O experimento foi completamente aleatorizado, alternando-se entre operadores e mola. A massa
suspensa pela mola é a mesma para todas as repetições. O procedimento experimental segue o mesmo
apresentado no item 2.4.1, onde o comprimento final é medido. Isto é feito com uma régua da
fabricante Indústria Bandeirante com resolução de 0,1 cm.
Algumas medidas foram propositadamente não realizadas, para criar a relação de dependência entre
os fatores. Na Tabela 5 pode-se ver o padrão de medidas adotados.
Tabela 5. Padrão de medidas adotado no Projeto de Experimentos do Tipo Aninhado
Operador Molas
Mola 1 Mola 2 Mola 3
Operador
1
X X Não medida
X X Não medida
Operador
2
Não medida X X
Não medida X X
Através da análise de variância é possível verificar a dependência dos fatores. O método utilizado
para análise é a tabela ANOVA. Este método é descrito detalhadamente em Balbinot & Brusamarello,
2010, pg 86-92. A tabela dos percentuais da distribuição F utilizada é a Tabela 4.
A mola 2 possui quatro medidas, duas para cada operador o que implica uma variação de níveis no
cálculo da soma dos quadrados. As medidas de deformação para cada tipo de mola estão aninhadas no
fator operador, sendo assim a verificação de significância do fator mola é relacionada com o fator
operador. A soma dos quadrados do fator mola é mostrada na Equação (38),
( ) (38)
onde ( ) é a soma dos quadrados do fator mola, aninhado com o fator operador,
é a soma dos quadrados do fator mola e é soma dos quadrados da
iteração entre o fator mola e o fator operador.
3. Resultados e Discussões
3.1 Ajuste de Curvas.
Os resultados obtidos no procedimento experimental para o termoresistor 1 são mostrados na Tabela
6.
Tabela 6. Medidas obtidas para o termoresistor 1.
T(°C) 85,0 82,5 80,0 77,5 75 72,5 70,0 67,5 65 62,5
R(Ω) 132,3 131,3 130,4 129,5 128,5 127,6 126,6 125,7 124,8 123,8
T(°C) 60,0 57,5 55 52,5 50 47,5 45,0 42,5 40 37,5
R(Ω) 122,9 121,9 120,9 120,1 119,1 118,2 117,2 116,3 115,3 114,3
15
A função de transferência experimental obtida através do software MATLAB é representada pela
Equação (39),
( ) (39)
onde ( ) função de transferência experimental do termoresistor 1 1 [ ] e T é a temperatura [ºC]. O
gráfico resultante e os resíduos desta aproximação são apresentados na Figura 3.
Figura 3. Função de transferência experimental para termoresistor 1 obtida através do software
MATLAB.
O valor do coeficiente de determinação é de 0,999. O erro de linearidade é dado pela Equação
(7) e pode ser calculado conforme mostra a Equação (40),
(40)
onde é o maior valor encontrado no resíduo da aproximação de curva realizado pelo MATLAB
e é o valor do fundo de escala para o valor de resistência elétrica.
A função de transferência experimental é obtida algebricamente através das Equações (1) e (2),
onde a variável representa a temperatura T [ºC] e a variável representa a resistência elétrica do
termoresistor [ ]. Os valores necessários para a obtenção dos coeficientes são mostrados na Tabela 7 e
os cálculos são demonstrados pelas Equações (41) e (42).
16
( ) ( )
(41)
( ) ( )
(42)
Tabela 7. Valores para cálculo da função de transferência experimental do termoresistor 1 pelo
método dos mínimos quadrados.
85 132,3 7225 17503,29 11245,5
82,5 131,3 6806,25 17239,69 10832,25
80 130,4 6400 17004,16 10432
77,5 129,5 6006,25 16770,25 10036,25
75 128,5 5625 16512,25 9637,5
72,5 127,6 5256,25 16281,76 9251
70 126,6 4900 16027,56 8862
67,5 125,7 4556,25 15800,49 8484,75
65 124,8 4225 15575,04 8112
62,5 123,8 3906,25 15326,44 7737,5
60 122,9 3600 15104,41 7374
57,5 121,9 3306,25 14859,61 7009,25
55 120,9 3025 14616,81 6649,5
52,5 120,1 2756,25 14424,01 6305,25
50 119,1 2500 14184,81 5955
47,5 118,2 2256,25 13971,24 5614,5
45 117,2 2025 13735,84 5274
42,5 116,3 1806,25 13525,69 4942,75
40 115,3 1600 13294,09 4612
37,5 114,3 1406,25 13064,49 4286,25
∑ 1225 2466,7 79187,5 304821,9 152653,3
Com os valores dos coeficientes e , pode-se descrever a função de transferência experimental
obtida algebricamente pela Equação (43),
( ) (43)
onde ( ) representa a função de transferência experimental calculada algebricamente para o
termoresistor 1 e a temperatura [ºC].
O gráfico resultante desta aproximação é apresentado na Figura 4.
17
Figura 4. Função de transferência experimental para o termoresistor 1 obtida através do método dos
mínimos quadrados.
O erro de linearidade é dado pela Equação (7) e pode ser calculado conforme mostra a Equação (44)
(44)
onde é o maior valor encontrado no resíduo da aproximação da curva realizada algebricamente
[ e é o valor do fundo de escala para o valor de resistência elétrica .
Com os valores de resistência elétrica medidos e função de transferência experimental calculada,
pode-se afirmar que o termoresistor 1 trata-se de um sensor PT100. A escala de 200 do multímetro
MINIPA ET-1002 foi suficiente para realizar as medidas, visto que a resolução desta escala é de 0,1
e a menor variação apresentada pelo termoresistor 1 foi de 0,8 . Ainda, o valor máximo de resistência
elétrica medido foi de 132,3 , não excedendo o valor de fundo de escala do equipamento.
Os resultados obtidos no procedimento experimental para o termoresistor 2, são mostrados na
Tabela 8.
Tabela 8. Medidas obtidas para o termoresistor 2.
T(°C) 85,0 82,5 80,0 77,5 75 72,5 70,0 67,5 65 62,5
R(Ω) 243 271 304 326 339 364 400 441 486 530
T(°C) 60,0 57,5 55 52,5 50 47,5 45,0 42,5 40 37,5
R(Ω) 570 646 681 771 855 924 1053 1142 1205 1382
A função de transferência experimental obtida através do software MATLAB é representada pela
Equação (45),
18
( ) (45)
onde ( ) é a função de transferência experimental do termoresistor 2 [ ] e T é a temperatura [ºC]. O
gráfico resultante e os resíduos desta aproximação são apresentado na Figura 5.
Figura 5. Função de transferência experimental para termoresistor 2 obtida através do software
MATLAB.
O erro de conformidade é dado pela Equação (7) e pode ser calculado conforme mostra a Equação
(46),
(46)
onde é o maior valor encontrado no resíduo da aproximação de curva realizado pelo MATLAB
e é o valor do fundo de escala para o valor de resistência elétrica.
A função de transferência experimental é obtida algebricamente através das Equações (1), (2), (3),
(4), (5) e (6), onde a variável representa a temperatura T [ºC] e a variável representa a resistência
elétrica do termoresistor [ ]. Os valores necessários para a obtenção dos coeficientes são mostrados na
Tabela 9 e os cálculos são demonstrados pelas Equações (47), (48) e (49).
19
( ) ( )
(47)
( ) ( )
(48)
(49)
Tabela 9. Valores para cálculo da função de transferência experimental do termoresistor 2 pelo
método dos mínimos quadrados.
85 243 5,493061 466,9102 7225
82,5 271 5,602119 462,1748 6806,25
80 304 5,717028 457,3622 6400
77,5 326 5,786897 448,4845 6006,25
75 339 5,826 436,95 5625
72,5 364 5,897154 427,5437 5256,25
70 400 5,991465 419,4025 4900
67,5 441 6,089045 411,0105 4556,25
65 486 6,186209 402,1036 4225
62,5 530 6,272877 392,0548 3906,25
60 570 6,345636 380,7382 3600
57,5 646 6,4708 372,071 3306,25
55 681 6,523562 358,7959 3025
52,5 771 6,647688 349,0036 2756,25
50 855 6,751101 337,5551 2500
47,5 924 6,828712 324,3638 2256,25
45 1053 6,959399 313,1729 2025
42,5 1142 7,040536 299,2228 1806,25
40 1205 7,094235 283,7694 1600
37,5 1382 7,231287 271,1733 1406,25
soma 1225 12933 126,7548 7613,863 79187,5
Com os valores dos coeficientes e , pode-se descrever a função de transferência experimental
obtida algebricamente pela Equação (50),
( ) (50)
onde ( ) é a resistência elétrica do termoresistor 2 [ ] e T é a temperatura [ºC]. O gráfico resultante
desta aproximação é apresentado na Figura 6.
20
Figura 6. Função de transferência experimental para o termoresistor 2 obtida através do método dos
mínimos quadrados.
O erro de conformidade é dado pela Equação (7) e pode ser calculado conforme mostra a Equação
(51),
(51)
onde é o maior valor encontrado no resíduo da aproximação de curva realizada algebricamente
e é o valor do fundo de escala para o valor de resistência elétrica.
Com os valores de resistência elétrica medidos e função de transferência experimental calculada,
pode-se afirmar que o termoresistor 2 trata-se de um sensor NTC. O erro de conformidade obtido
através do método computacional é menor, visto que o método algébrico usa um procedimento de
linearização para a posterior aplicação do método dos mínimos quadrados. A escala de 2000 do
multímetro MINIPA ET-1002 foi suficiente para realizar as medidas, visto que a sensibilidade desta
escala é de 1 e a menor variação apresentada pelo termoresistor 2 foi de 13 . Ainda, o valor
máximo de resistência elétrica medido foi de 1382 , não excedendo o valor de fundo de escala do
equipamento.
3.2 Determinar as Incertezas de um Multímetro Digital.
Com as incertezas associadas a cada escala, conforme a Tabela 2 e a Tabela 3, e os valores de
corrente elétrica e tensão elétrica obtidos nos experimentos, é possível determinar a incerteza
utilizando a Equação (8) para cada medida realizada.
A Tabela 10 mostra os resultados obtidos para os valores de tensão elétrica do circuito série.
21
Tabela 10. Resultados de incerteza para tensão elétrica do circuito série.
Multímetro MINIPA ET-1100 Multímetro MINIPA ET-1002
Resistor
Tensão elétrica
(V) Escala
Incerteza (mV)
Tensão
elétrica (mV) Escala
Incerteza
(mV)
100Ω
0,969
2 V
5,24 966
2000 mV
9,20
0,969 5,24 968 9,22
0,968 5,24 966 9,20
0,969 5,24 964 9,19
0,969 5,24 966 9,20
5,6kΩ
0,969
2 V
5,24 968
2000 mV
9,22
0,969 5,24 966 9,20
0,968 5,24 966 9,20
0,969 5,24 965 9,20
0,969 5,24 966 9,20
A Tabela 11 mostra os resultados obtidos para os valores de corrente elétrica do circuito série.
Tabela 11. Resultados de incerteza para corrente elétrica do circuito série.
Multímetro MINIPA ET-1100 Multímetro MINIPA ET-1002
Resistor
Corrente elétrica
(mA) Escala
Incerteza
(µA)
Corrente elétrica
(mA) Escala
Incerteza
(µA)
100Ω
8,93
20 mA
135 8,98
200 mA
511
8,93 135 8,95 511
8,93 135 9,00 512
8,93 135 8,98 511
8,93 135 8,98 511
5,6kΩ
0,149
200 μA
1,50 0,150
2000 μA
5,22
0,149 1,50 0,150 5,22
0,149 1,50 0,150 5,22
0,149 1,50 0,149 5,22
0,149 1,50 0,150 5,22
A Tabela 12 mostra os resultados obtidos para os valores de resistência elétrica do circuito série. A
Tabela 13 mostra os resultados obtidos para os valores de tensão elétrica do circuito paralelo. A Tabela
14 mostra os resultados obtidos para os valores de corrente elétrica do circuito paralelo. A Tabela 15
mostra os resultados obtidos para os valores de resistência elétrica do circuito paralelo.
Com os valores das grandezas definidos e suas respectivas incertezas, é possível calcular a potência
elétrica utilizando as Equações (9), (10) e (11) assim definidas nas tabelas como P1, P2 e P3
respectivamente. Com as Equações (12), (13) e (14) a incerteza combinada é definida para cada
método de cálculo da potência elétrica do circuito.
A Tabela 16 mostra os resultados obtidos para o circuito série utilizando o multímetro MINIPA ET-
1100.
22
Tabela 12. Resultados de incerteza para os valores de resistência elétrica do circuito série.
Multímetro MINIPA ET-1100 Multímetro MINIPA ET-1002
Resistor
Resistência elétrica
(Ω) Escala
Incerteza
(Ω)
Resistência elétrica
(Ω) Escala
Incerteza
(Ω)
100Ω
98,5
200 Ω
0,884 98,8
200 Ω
1,11
98,5 0,884 98,0 1,11
98,6 0,884 98,6 1,11
98,5 0,884 98,8 1,11
98,5 0,884 98,6 1,11
5,6kΩ
5,51k
20 kΩ
484 5,53k
20k Ω
668
5,51k 484 5,50k 666
5,51k 484 5,52k 667
5,51k 484 5,52k 667
5,51k 484 5,51k 667
Tabela 13. Resultados de incerteza para os valores de tensão elétrica do circuito paralelo.
Multímetro MINIPA ET-1100 Multímetro MINIPA ET-1002
Tensão elétrica (V) Escala Incerteza (mV) Tensão elétrica
(mV) Escala Incerteza (mV)
0,970
2V
5,25 964
2000mV
9,19
0,970 5,25 968 9,22
0,969 5,24 967 9,21
0,969 5,24 966 9,20
0,970 5,25 969 9,22
Tabela 14. Resultados de incerteza para os valores de corrente elétrica do circuito paralelo.
Multímetro MINIPA ET-1100 Multímetro MINIPA ET-1002
Corrente elétrica
(mA) Escala Incerteza (μA)
Corrente elétrica
(mA) Escala
Incerteza
(μA)
9,07
20mA
138 9,09
20mA
104
9,08 138 9,10 104
9,08 138 9,10 104
9,09 138 9,09 104
9,08 138 9,09 104
Tabela 15. Resultados de incerteza para os valores de resistência elétrica do circuito paralelo.
Multímetro MINIPA ET-1100 Multímetro MINIPA ET-1002
Resistência elétrica (Ω) Escala
Incerteza
(mΩ)
Resistência elétrica
(Ω) Escala Incerteza (Ω)
96,9
200Ω
872 97,0
200Ω
1,09
96,7 871 96,8 1,09
96,8 872 97,0 1,09
96,7 871 97,0 1,09
96,8 872 96,8 1,09
23
Tabela 16. Resultados de incerteza combinada do circuito série utilizando o multímetro MINIPA ET-
1100.
Multímetro MINIPA ET-1100
P1 (mW) Incerteza
(µW) P2 (mW) Incerteza
(µW) P3 (mW) Incerteza (µW)
100 Ω
8,64 139 9,51 209 7,85 248
8,65 139 9,53 212 7,85 248
8,64 139 9,50 209 7,86 249
8,65 139 9,53 208 7,85 248
8,65 139 9,53 209 7,85 248
5.6 kΩ
0,144 1,65 0,170 3,82 0,122 2,70
0,144 1,65 0,170 3,83 0,122 2,70
0,144 1,65 0,170 3,81 0,122 2,70
0,144 1,65 0,170 3,81 0,122 2,70
0,144 1,65 0,170 3,82 0,122 2,70
A Tabela 17 mostra os resultados obtidos para o circuito série utilizando o multímetro MINIPA ET-
1002.
Tabela 17. Resultados de incerteza combinada do circuito série utilizando o multímetro MINIPA ET-
1002.
Multímetro MINIPA ET-1002
P1 (mW) Incerteza
(µW) P2 (mW) Incerteza
(µW) P3 (mW) Incerteza (µW)
100 Ω
8,67 501 9,44 209 7,97 912
8,66 502 9,56 212 7,85 901
8,69 501 9,46 209 7,99 912
8,66 500 9,41 208 7,97 912
8,67 501 9,46 209 7,95 910
5.6 kΩ
0,145 5,24 0,169 3,82 0,124 8,79
0,145 5,23 0,170 3,83 0,124 8,74
0,145 5,23 0,169 3,81 0,124 8,77
0,144 5,22 0,169 3,81 0,123 8,71
0,145 5,23 0,169 3,82 0,124 8,76
A Tabela 18 mostra os resultados obtidos para o circuito série utilizando o multímetro MINIPA ET-
1100. A Tabela 19 mostra os resultados obtidos para o circuito paralelo utilizando o multímetro
MINIPA ET-1002.
A incerteza combinada é obtida dos valores de incertezas associados com cada valor medido do
processo. Na Tabela 16, o cálculo de potência elétrica para o resistor de 100 oferece maior incerteza
no cálculo pela Equação (11), o que se repete de maneira geral na Tabela 17, Tabela 18 e Tabela 19.
24
Tabela 18. Resultados de incerteza combinada do circuito paralelo utilizando o multímetro MINIPA
ET-1100.
Multímetro MINIPA ET-1100
P1 (mW) Incerteza (µW) P2 (mW) Incerteza (µW) P3 (mW) Incerteza (µW)
8,80 142 9,71 137 7,97 252
8,81 142 9,73 137 7,97 252
8,80 142 9,70 137 7,98 252
8,81 142 9,71 137 7,99 253
8,81 142 9,72 137 7,98 252
Tabela 19. Resultados de incerteza combinada do circuito paralelo utilizando o multímetro MINIPA
ET-1002.
MINIPA ET-1002
P1 (mW) Incerteza (µW) P2 (mW) Incerteza (µW) P3 (mW) Incerteza (µW)
8,76 130 9,58 212 8,01 204
8,81 131 9,68 214 8,02 204
8,80 131 9,64 213 8,03 204
8,78 131 9,62 213 8,01 204
8,81 131 9,70 215 8,00 204
Isto se deve ao fato de que a Equação (14) possui a incerteza da medida de resistência elétrica, que é
um valor superior ao das outras incertezas, também possui o termo de corrente elétrica elevado ao
quadrado e ainda uma multiplicação de corrente elétrica e resistência elétrica elevada ao quadrado.
Todos estes fatores combinados levam a uma maior incerteza. Também percebe-se que há uma
discrepância entre os valores, principalmente entre P2 e P3. Analisando os valores das medidas, com
base em sua incerteza, é possível perceber que eles não coincidem. Como exemplo pode-se comparar
os valores de P2 e P3 na primeira linha da Tabela 19. P2 pode assumir qualquer valor entre 9,368mW -
9,792mW enquanto P3 pode assumir valores entre 7,806mW - 8,214mW, porém isso representa uma
contradição visto que a potência elétrica sobre o resistor é a mesma independente da forma como a
medida está sendo realizada.
3.3 Um Simples Pêndulo
Como citado no Capítulo 2, primeiramente foram realizadas cem medidas de período que
posteriormente foram separadas em dez grupos de dez medidas. A Tabela 20 apresenta os valores
obtidos.
Com o intuito de analisar o comportamento dessas medidas, foram calculadas a média aritmética e
o desvio padrão para o grupo total, de cem amostras, e para um grupo de dez amostras M1. A
Tabela 21 apresenta os valores calculados.
Para facilitar a análise visual, histogramas dos dois conjuntos também foram construídos. O
histograma do conjunto total pode ser observado na Figura 7. O histograma normalizado do conjunto
de cem medidas pode ser visualizado na Figura 8.
25
Tabela 20. Medidas de período em segundos.
Medidas de período [s]
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10
0,98 1,05 0,98 1,11 1,14 1,14 1,02 1,10 1,14 1,12
1,02 1,13 1,10 1,09 1,13 1,20 1,14 1,09 1,05 1,07
1,21 1,05 1,11 1,13 1,06 1,18 1,20 1,16 1,10 1,13
1,08 1,02 1,17 1,07 1,14 1,16 1,22 1,14 1,17 0,97
1,26 1,07 1,20 1,08 1,06 1,12 1,11 1,03 1,12 1,17
1,14 1,06 1,21 1,10 1,08 1,08 1,10 1,13 1,13 1,10
1,08 1,13 1,30 1,12 1,15 1,22 1,15 1,13 1,09 1,13
1,09 1,20 1,13 1,07 1,17 1,10 1,13 1,04 1,11 1,11
1,07 1,05 1,13 1,08 1,15 1,12 1,06 1,20 1,15 1,10
1,00 1,06 1,10 1,04 1,12 1,05 1,12 1,03 1,13 1,16
Tabela 21. Valores de média aritmética e desvio padrão calculados para os dois conjuntos.
Conjunto
Média
[s] Desvio Padrão
M1 1,09 0,08
TOTAL 1,11 0,05
O histograma do conjunto menor M1 é apresentado na Figura 9. O histograma normalizado do
conjunto menor M1 pode ser visto na Figura 10.
Observando os histogramas normalizados, nota-se que o conjunto total, apresentado na Figura 8,
apresenta uma tendência central com frequência normalizada menor quando comparada com a
frequência normalizada da tendência central do histograma da Figura 10. Porém, como o total de
repetições da tendência central do conjunto de dez medidas é dois e sabendo que o total de repetições
da tendência central do conjunto de cem medidas é treze, é válido considerar a tendência central do
conjunto de cem medidas como um valor mais próximo da realidade quando comparado à tendência
central da distribuição de dez medidas. Percebe-se também que a distribuição proveniente do conjunto
de cem medidas apresenta uma distribuição muito semelhante à distribuição normal. Com relação aos
desvios padrões, o conjunto com dez medidas desviou mais da tendência central quando comparado ao
com cem medidas. Além disso, a média aritmética do conjunto de dez medidas indica um valor mais
afastado da tendência central do que a média aritmética do conjunto total de cem medidas, o que
novamente indica que a aproximação do período pela média aritmética do conjunto M1 resulta em uma
aproximação ineficiente quando comparada com a aproximação pela média aritmética do conjunto
total. O conjunto com cem medidas possui um número mais elevado de incidência de medidas iguais e
uma tendência central mais coerente com a média aritmética quando comparado com a distribuição
normalizada do conjunto de dez medidas. Outro modo de analisar as cem medidas do conjunto total é
separando-as em grupos de dez. Dessa forma, é possível verificar o comportamento de cada
subconjunto, que se distinguem através de incertezas nas medidas. A Tabela 22 apresenta as médias e
desvios padrões de cada um dos grupos de dez medidas.
26
Figura 7. Distribuição do conjunto de cem medidas.
Figura 8. Distribuição normalizada do conjunto de cem medidas.
27
Figura 9. Distribuição do conjunto de dez medidas.
Figura 10. Distribuição normalizada do conjunto de dez medidas.
28
Tabela 22. Valores de média e desvio padrão dos dez conjunto.
Conjunto
Média
[s] Desvio Padrão
M1 1,09 0,08
M2 1,08 0,05
M3 1,14 0,08
M4 1,08 0,02
M5 1,12 0,03
M6 1,13 0,05
M7 1,12 0,05
M8 1,10 0,05
M9 1,11 0,03
M10 1,10 0,05
Um histograma apresentando a distribuição das médias de cada um dos subconjuntos foi construído.
Este pode ser observado na Figura 11.
Figura 11. Distribuição das médias dos conjuntos M.
Analisando o histograma é possível perceber que não existe tendência central nas médias
aritméticas dos conjuntos, o que impossibilita uma comparação com a distribuição do conjunto das
cem medidas, demonstrada na Figura 7, possibilitando concluir que a análise através dos dois métodos
gera resultados diferentes.
29
Para aumentar o número de algarismos significativos nas medidas realizadas, foram medidos
valores de dez períodos, incrementando em um dígito a quantidade de algarismos significativos. A
Tabela 23 apresenta as medidas realizadas.
Tabela 23. Medidas de dez períodos em segundos.
Medidas de Dez Períodos
[s]
13,12
13,04
13,07
13,07
12,91
13,08
13,05
13,05
13,19
13,08
A média aritmética e o desvio padrão desse experimento também foram calculados com o intuito de
comparar com o padrão anterior. Os valores podem ser observados na Tabela 24.
Tabela 24. Valores de média aritmética e desvio padrão das medidas de dez períodos.
Média
[s] Desvio Padrão
13,06 0,07
O histograma, que apresenta a distribuição das medidas é dado pela Figura 12. O histograma que
apresenta a distribuição normalizada de medidas dos dez períodos pode ser observado na Figura 13.
Dividindo-se a média calculada por dez, valor este que corresponde ao número de períodos da medida,
obtêm-se um valor com resolução maior do que o obtido através dos procedimentos anteriores. A
distribuição das frequências normalizadas deste experimento também se assemelha a uma distribuição
normal. Porém, o desvio da tendência central desta distribuição foi maior do que o desvio padrão da
distribuição proveniente do histograma composto por cem medidas. Por fim, é possível verificar que a
frequência normalizada da tendência central do histograma da Figura 13 se iguala a frequência
normalizada da tendência central do histograma da Figura 10 além de ser maior do que a frequência
normalizada do histograma da Figura 8. Entretanto, deve-se observar o mesmo fato detalhado na
comparação entre o conjunto de cem medidas e o conjunto de dez medidas, relativo ao fato de que a
frequência normalizada mais elevada é advinda da utilização de apenas dez medidas, sendo que no
caso do conjunto de cem medidas a frequência normalizada se mantém em um valor abaixo de 0,2 pela
maior quantidade de medidas realizadas. Dividindo-se a média calculada por dez, valor este que
corresponde ao número de períodos da medida, obtêm-se um valor com resolução maior do que o
obtido através dos procedimentos anteriores.
30
Figura 12. Distribuição das medidas de dez períodos.
Figura 13. Distribuição normalizada das medidas de dez períodos.
A distribuição das frequências normalizadas deste experimento também se assemelha a uma
distribuição normal. Porém, o desvio da tendência central desta distribuição foi maior do que o desvio
31
padrão da distribuição proveniente do histograma composto por cem medidas. Por fim, é possível
verificar que a frequência normalizada da tendência central do histograma da Figura 13 se iguala a
frequência normalizada da tendência central do histograma da Figura 10, além de ser maior do que a
frequência normalizada do histograma da Figura 8. Entretanto, deve-se observar o mesmo fato
detalhado na comparação entre o conjunto de cem medidas e o conjunto de dez medidas, relativo ao
fato de que a frequência normalizada mais elevada é advinda da utilização de apenas dez medidas,
sendo que no caso do conjunto de cem medidas a frequência normalizada se mantém em um valor
abaixo de 0,2 pela maior quantidade de medidas realizadas.
Outro fato que possivelmente influencia nas amostras é o tempo de resposta do operador. Com o
intuito de analisar essa premissa, elaborou-se um projeto de experimentos do tipo fatorial completo.
Para tanto, três operadores diferentes realizaram dez medidas de dez períodos. A Tabela 25 apresenta
os valores obtidos.
Tabela 25. Medidas do período pelos três operadores.
Período
medido
pelo
Operador 1
[s]
Período
medido
pelo
Operador 2
[s]
Período
medido
pelo
Operador 3
[s]
1,16 1,17 1,14
1,19 1,29 1,16
1,20 1,36 1,06
1,22 1,40 1,12
1,20 1,24 1,14
1,20 1,32 1,13
1,26 1,35 1,02
1,23 1,19 1,26
1,36 1,12 1,18
1,27 1,28 1,22
Utilizando a metodologia apresentada no Capítulo 2 obteve-se o fator probabilístico calculado.
Sabendo o número de graus de liberdade do erro, que nesse caso é igual a vinte e sete, e sabendo
também os graus de liberdade do parâmetro controlado operador, que é igual a dois, obteve-se o fator
probabilístico tabelado com dez por cento de certeza. Por fim, construiu-se tabela ANOVA, que pode
ser vista na Tabela 26.
Tabela 26. Tabela ANOVA do experimento.
Fator
Controlado
Soma dos
quadrados GDL
Média dos
quadrados
F
calculado
F
tabelado
Operador 0,08 2 0,04 5,0 2,51
Erro 0,23 27 0,0080 - -
Total 44,49 29 - - -
32
Analisando os fatores da Tabela 26, é possível concluir ao nível de noventa por cento de confiança,
que o operador interfere significativamente na medida de período. Isso indica que a incerteza associada
ao tempo de resposta do operador tem influência na diferença do valor medido.
Por fim, as incertezas devido às flutuações aleatórias podem ser analisadas com a utilização da
Equação (22). A Tabela 27 apresenta as incertezas para os conjuntos de medidas analisados.
Tabela 27. Valores da incerteza devido às flutuações aleatórias dos conjuntos analisados.
Conjunto Incerteza
M1 0,02
TOTAL
(cem
medidas) 0,0050
Dez
períodos 0,02
Assim, é possível perceber que a incerteza é menor no conjunto com cem medidas quando
comparada com a incerteza de ambos conjuntos de dez medidas. Logo, é possível afirmar que, neste
caso, a incerteza devido às flutuações aleatórias em torno da média será reduzida conforme as
medições realizadas aumentam.
3.4 Uma Simples Mola Helicoidal: medição estática da constante elástica.
3.4.1 Determinação da constante elástica de uma mola
Os valores medidos das massas e as respectivas incertezas são mostrados na Tabela
28. O valor da incerteza é calculado através da Equação (23) e mostrado na Equação (52),
√
√ (52)
onde é a resolução da balança mecânica utilizada.
Tabela 28. Valores medidos das massas , e e valor calculado de incerteza.
Massa [g] Incerteza [g]
400,3
0,03 400,8
400,5
Com estes valores é possível calcular a massa dos conjuntos e também suas incertezas
combinadas. O calculo das incertezas combinadas se dá conforme Equações (24), (25) e (26) e é
mostrado nas Equações (53), (54) e (55).
(53)
33
√( ) ( ) ( ) ( ) (54)
√( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (55)
Os valores das massas dos conjuntos, juntamente com suas incertezas combinadas são apresentadas
na Tabela 29.
Tabela 29. Valores das massas dos conjuntos e suas respectivas incertezas.
Massa [g] Incerteza [g]
400,3 0,03
801,1 0,04
1201,6 0,05
Obtêm-se a força a qual as molas são submetidas utilizando a Equação (27) e suas respectivas
incertezas utilizando a Equação (28). Estes cálculos são mostrados nas Equações (56), (57) e (58) e os
resultados apresentados na Tabela 30.
(56)
(57)
(58)
Tabela 30. Força ao qual a mola é submetida.
Força [N] Incerteza [N]
400,3
801,1
1201,6
O valor da incerteza de medida inicial do comprimento da mola é dado pela Equação (23) e o seu
cálculo demonstrado pela Equação (59).
√ (59)
O comprimento inicial da mola é igual à . Os valores de comprimento medido
são mostrados na Tabela 31.
34
Tabela 31. Valores de comprimento medido da mola.
cm
cm
cm
Sendo assim, os valores de deformação e suas respectivas incertezas combinadas são
calculadas como mostram as Equações (60), (61) e (62).
√ ( ) ( ) (60)
√ ( ) ( ) (61)
√ ( ) ( ) (62)
Os valores da deformação da mola em função da força aplicada e constante elástica calculada
através da Equação (36), são apresentados na Tabela 32.
Tabela 32. Deformação da mola em função da força aplicada.
Peso [N] Deformação [cm]
A função de transferência que representa a deformação da mola em função do peso aplicado e
também as incertezas dos pesos, são mostrados na Figura 14.
Figura 14. Função de transferência da deformação da mola.
35
A função calculada através do software MATLAB é demonstrada pela Equação (63):
( ) (63)
onde ( ) representa a função de transferência da deformação da mola em relação à força aplicada e
o valor da força aplicada. Sendo assim, o valor da constante elástica da mola encontrado através desta
função de transferência é .
O valor da constante elástica da mola é calculado através da Equação (36) e é mostrado na Tabela
33 para cada um das deformação . A incerteza da constante elástica é dada pela Equação
(37) e os cálculos são demonstrados pelas Equações (64), (65) e (66).
√(
)
( ) (
)
( ) (64)
√(
)
( ) (
)
( ) (65)
√(
)
( ) (
)
( ) (66)
Tabela 33. Valor da constante elástica para as deformações
*
+
*
+
*
+
Pode-se negligenciar o primeiro termo de dentro da raiz das Equações (64), (65) e (66), pois
(
)
(
)
e ( ) ( ) . O valor da incerteza combinada obtido diminui quando os pesos
aumentam, conforme calculado nas Equações (64), (65) e (66).
Um número maior de pesos e repetições se faz necessário para as amostras obtidas tenderem a uma
curva com distribuição normal e aumentar a confiabilidade dos resultados. Diminuindo a variação de
peso, de 400g para 100g, é uma maneira de obter um maior número de amostras.
3.4.1 Projeto de Experimento Fatorial Completo com 3 Fatores
Os resultados obtidos para o procedimento experimental são mostrados na Tabela 34.
36
Tabela 34. Resultados experimentais para projeto fatorial completo.
L(cm) Mola1 Mola 2
Operador 1 Operador 2 Operador 1 Operador 2 Σ ΣA
2.80 2,81 2,83 2,83 8,47
31 2,79 2,8 2,81 2,81 11,21
2,8 2,85 2,85 2,82 11,32
2,94 3,05 2,95 2,95 11,89
35,67 2,98 3 2,96 2,97 11,91
2,97 2,95 2,97 2,98 11,87
3,05 3,1 3,05 3,05 12,25
36,61 3,07 3,05 3,03 3,1 12,25
3,04 3 3,02 3,05 12,11
ΣC 23,64 26,61 26,47 26,56 103,28
ΣB 50,25 53,03
Os resultados obtidos pelo método de análise de variância são apresentados na Tabela 35.
Tabela 35. Tabela ANOVA para experimento fatorial completo com 3 fatores.
FV SQ GDL MQ Fc Ft
A 1,50 2 0,75 3,46 > 2,54
B 0,21 1 0,21 0,99 < 2,93
C 0,26 1 0,26 1,19 < 2,93
AB 0,49 2 0,24 1,12 < 2,54
AC 0,41 2 0,21 0,95 < 2,54
BC 0,23 1 0,23 1,06 < 2,93
ABC 0,47 2 0,24 1,08 < 2,54
ERRO 5,22 24 0,22 X X X
TOTAL 35 X X X X
Somente o fator controlável A (massa) tem influência significativa sobre comprimento final da
mola, desta maneira prova-se que os coeficientes elásticos das duas molas são estatisticamente iguais.
Os operadores e as molas não exercem influência sobre o procedimento, bem como as iterações entre
estes fatores.
Os operadores podem ser fontes significativas de erro em experimentos, principalmente quando mal
treinados e mal aparelhados. Existem formas de diminuir o erro inserido pelo fator humano realizando
projetos aleatórios, com bastante repetições e com aplicação de critérios de rejeição de amostras
37
Considerando um projeto de experimentos fatorial completo com seis fatores controláveis, o
registro dos resultados é mostrado na Tabela 36.
Tabela 36. Modelo e tabela para projeto com 6 fatores controláveis.
A1 A2
C1 C2 C1 C2
D1 D2 D1 D2 D1 D2 D1 D2
B1
E1
F1
F2
E2
F1
F2
B2
E1
F1
F2
E2
F1
F2
As equações necessárias para construção da ANOVA destes resultados são mostradas da Equação
(67) até a Equação (72).
(∑
)
(67)
∑ (∑
)
(68)
∑ (∑
)
(69)
38
∑ (∑
)
(71)
∑ (∑
)
(72)
A soma dos quadrados das variáveis de tratamento, foram separadas por número de fatores
controláveis, dado que as outras combinações são feitas de maneira semelhante. As demais equações
para tabela ANOVA são mostradas da Equação (73) até Equação (76).
∑
∑ (∑
)
(73)
∑ (∑
)
(70)
39
(74)
(75)
(76)
Neste procedimento podem ser respondidas 63 perguntas diferentes sobre a influência dos fatores
controlados sobre a variável de resposta. As combinações de possíveis questões a serem respondidas
no experimento são apresentadas na Tabela 37.
A determinação do número de amostras para o projeto de experimentos, segundo (Balbinot &
Brusamarello, 2010) “depende do tipo de experimento, do planejamento estatístico do experimento,
dos parâmetros ou efeitos que serão estimados e do desvio padrão experimental da média desses
efeitos, que depende da variabilidade intrínseca do experimento, da exatidão do experimento e do
tamanho da amostra.
O intervalo de confiança para a média é dado por , sendo ⁄
√ o erro máximo.
Logo, o tamanho da amostra, ou seja, a quantidade de ensaios ou amostras , é dada por:
(
⁄
)
sendo z a variável aleatória normal, o nível de significância, o desvio padrão e o erro máximo
usando para estimar a média . Cabe observar que o valor de é arredondado para o próximo
número inteiro. Essa expressão considera que a amostragem é aleatória e que n é grande ( ), tal
que a distribuição normal pode ser usada para definir o intervalo de confiança.”
3.5 Projeto de Experimento do Tipo Aninhado.
As medidas de deformação da mola são mostradas na Tabela 38. A tabela ANOVA para análise de
variância é apresenta na Tabela 39.
A deformação da mola não é afetada significativamente pelos operadores. A relação entre os fatores
mola e operador é um fator significativo, podendo-se afirmar que as molas têm valores de constante
elástica diferentes, já que o valor de massa aplicada é o mesmo. Mediram-se valores diferentes de
deformação para as três molas, o que mostra também a dependência dos fatores operador e mola.
40
Tabela 37. Possíveis combinações entre os fatores controláveis.
N PERGUNTAS POSSIVEIS
1 A
33 B C E
2 B
34 B C F
3 C
35 B D E
4 D
36 B D F
5 E
37 B E F
6 F
38 C D E
7 A B
39 C D F
8 A C
40 C E F
9 A D
41 D E F
10 A E
42 A B C D
11 A F
43 A B C E
12 B C
44 A B C F
13 B D
45 A B D E
14 B E
46 A B D F
15 B F
47 A B E F
16 C D
48 A C D E
17 C E
49 A C D F
18 C F
50 A C E F
19 D E
51 A D E F
20 D F
52 B C D E
21 E F
53 B C D F
22 A B C
54 B C E F
23 A B D
55 B D E F
24 A B E
56 C D E F
25 A B F
57 A B C D E
26 A C D
58 A B C D F
27 A C E
59 A B C E F
28 A C F
60 A B D E F
29 A D E
61 A C D E F
30 A D F
62 B C D E F
31 A E F
63 A B C D E F
32 B C D
Tabela 38. Valores obtidos para deformação de mola no Projeto de Experimento Aninhado.
Operador Molas
Mola 1 Mola 2 Mola 3
Operador
1
28,8 16,2 -
28,9 16,2 -
Operador
2
- 16,4 27,5
- 16,5 27,4
41
Tabela 39. Tabela ANOVA para o Projeto de Experimento do Tipo Aninhado.
Fator Controlado
Soma dos
quadrados GDL
Média dos
quadrados F calculado F tabelado
Operador 0,66 1 0,66 8,52
Molas (Operador) 281,02 2 140,51 17563,8 4,33
Erro 0,02 4 0,008 - -
Total 281,70 7 - - -
4. Conclusões
No procedimento experimental 2.1 a função de transferência experimental de dois termoresistores
foi determinada. A aproximação da função de transferência do termoresistor 1 apresentou erro de
linearidade de pelo método computacional e pelo método algébrico. Tais valores
são aceitáveis visto que o procedimento não tem controle de fatores ambientais externos e
principalmente porque o sensor tem um comportamento linear. Através dos dados obtidos pôde-se
concluir que o termoresistor 1 trata-se de um sensor do tipo PT100. A aproximação da função de
transferência do termoresistor 2 apresentou erro de conformidade de pelo método
computacional e pelo método algébrico. Através dos dados obtidos pôde-se concluir que o
termoresistor 2 trata-se de um sensor do tipo NTC.
Quando aplicados de forma rigorosa, os conceitos de instrumentação mostram que mesmo
experimentos simples podem ter sua validade questionada. Foi abordado no procedimento relativo ao
estudo de incerteza da medição com os multímetros MINIPA ET-1100 e MINIPA ET-1002, que o
impacto destas incertezas quando estão relacionadas através de fórmulas matemáticas é significativo.
O cálculo da potência elétrica foi feito com base em duas quantidades de entrada, a incerteza
combinada será maior quando a incerteza de uma de suas quantidades de entrada é mais elevada,
principalmente se a mesma for elevada a uma potência n. Conclui-se que a análise da potência elétrica
com base na tensão elétrica, corrente elétrica e resistência elétrica sobre o resistor resulta em resultados
diferentes. Não se chegou a um consenso entre os métodos utilizados pois as medidas da mesma
potência elétrica, calculada por métodos diferentes, não coincidem.
Utilizando histogramas, junto com os cálculos de média aritmética, variância e desvio padrão, pode-
se analisar o comportamento estatístico das medidas do experimento do pêndulo, onde preocupou-se
em melhorar a resolução de uma medida através da obtenção da média de múltiplas repetições do
fenômeno. Analisou-se a incerteza de acordo com o número de amostras e através da realização de um
experimento fatorial completo e análise de variâncias (ANOVA), identificou-se que o operador é fonte
significativa de erro.
Na determinação da constante elástica de uma mola, um número maior de pesos e repetições se faz
necessário para as amostras obtidas tenderem a uma curva com distribuição normal e aumentar a
confiabilidade dos resultados. O valor da incerteza para o cálculo da constante elástica também
diminui com o aumento do peso aplicado.
No procedimento experimental 2.4.2, através de um projeto de experimentos fatorial completo,
pôde-se comprovar estatisticamente que as constantes das molas eram iguais. Através da análise de
42
variâncias comprovou-se que somente a massa tem influência no comprimento final da mola. No
procedimento 2.5, já que a massa aplicada é a mesma e a relação entre os fatores mola e operador é um
fator significativo, pôde-se provar que as constantes elásticas das molas são diferentes.
Referências Bibliográficas
1. Balbinot, A.; Notas de aula disciplina Instrumentação A , 2016.
2. Balbinot, A.; Brusamarello, V.J.. Instrumentação e Fundamentos de Medidas, 2a ed.; Rio de Janeiro
– LTC, 2012. Volume 1.
3. INMETRO; GUM, 1ª Edição Brasileira da 1ª Edição do BIPM de 2008.
4. INMETRO; VIM, 1ª Edição Luso-Brasileira de 2012.
5. Souza, R. Tabelas F. Disponível em <http://www.cin.ufpe.br/~rmcrs/Tabelas/tabelas%20F.pdf>.
Acesso em: 1 de set de 2016.
6. Deming, William Eduards, On the management of statistical techniques for quality and
productivity, 1981.
©2016 dos autores; disciplina de Instrumentação A, UFRGS, DELET, RS, Brasil.