resumo sobre calculo integral

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Probabilidades e Estatística

Resumo Sobre Cálculo Integral 1

RESUMO SOBRE CÁLCULO INTEGRAL

MÉTODOS DE PRIMITIVAÇÃO

Definição: Seja ( )f x uma função real de variável real de domínio fD . Diz-se que a função

de variável real ( )F x é uma primitiva de ( )f x num certo intervalo fI ⊆D se, para todo o

valor de x I∈ , obtemos ( ) ( )F x f x′ = . Para simbolizar que ( )F x é uma primitiva de ( )f x

escreve-se ( ) ( )P f x F x C⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ou ( ) ( )f x dx F x C= +∫ .

Proposição: Seja :F I ⊆ → uma primitiva de f em I .

(a) Para qualquer constante, ( )F x C+ é primitiva de f em I ;

(b) Qualquer outra primitiva de f em I é da forma ( )F x C+ , com C constante.

Proposição: Seja f uma função primitivável em I ⊆ e sejam x I∈ ⊆ e y∈ . Existe

uma e uma só primitiva F de f tal que ( )F x y= .

TABELAS DE PRIMITIVAS

Seja ( )u f x= e k , a e α constantes:

(a) [ ]P k k x= ; (b) ( ) ( ) ( )sec tg secP u u u u′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ;

(c) [ ] [ ]P k u k P u= ; (d) ( ) ( ) ( )cosec cotg cosecP u u u u′⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ;

(e) 1

1uP u u ααα

+

+′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , 1α ≠ − ; (f) ( ) ( )21arcsen arccosu

uP u u′

−⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦ ;

(g) lnuuP u′ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ; (h) ( ) ( )2 2

arcsen arccosu u ua aa u

P ′

−⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦ ;

(i) 2

uu

P u′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ; (j) ( ) ( )21arctg arccotgu

uP u u′

+⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦ ;

(k) u uP e u e′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ; (l) ( ) ( )2 21 1arctg arccotgu u ua a a aa u

P ′+

⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦ ;

(m) ( )lnuu aaP a u′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ; (n) ( ) ( )1

ln ln lnx xP x⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ;



(o) ( ) ( )tg ln cosP u u u′⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ; (p) ( ) ( )cotg ln senP u u u′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ;

(q) ( ) ( )sen cosP u u u′⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ; (r) ( ) ( ) ( )sec ln sec tgP u u u u′⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ;

(s) ( ) ( )cos senP u u u′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ; (t) ( ) ( ) ( )cosec ln cosec cotgP u u u u′⎡ ⎤ = − +⎣ ⎦ ;

(u) ( ) ( )2sec tgP u u u′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ; (v) ( ) ( )2cosec cotgP u u u′⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ;

(w) ( ) ( )1 cos 222cos uP u P +⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ; (x) ( ) ( )1 cos 22

2sen uP u P −⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ;

(y) ( ) ( )2 2tg sec 1P u P u⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ; (z) ( ) ( )2 2cotg cosec 1P u P u⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

MÉTODOS GERAIS DE PRIMITIVAÇÃO

Regra de Derivação Método de Primitivação

Soma Por decomposição

Produto Por partes

Função composta Por substituição

Primitivação por decomposição

Sejam f e g funções primitiváveis definidas em I ⊆ . Atendendo ao facto de que a soma

de duas funções é uma função temos:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦∫ ∫ ∫

Primitivação por partes

O método de primitivação por partes é um método aplicável ao produto de funções utilizando

a regra de derivação do produto de duas funções e a definição de primitiva.

Sejam u e v duas funções reais de variável real definidas em u vI ⊆ ∩D D , deriváveis e

primitiváveis nesse intervalo.



Derivando o produto uv obtemos:

( ) [ ]P uv P u v uv⎡ ⎤′ ′ ′= +⎢ ⎥⎣ ⎦⇔ (por definição de primitiva)

⇔ [ ] [ ]uv P u v P uv′= + ⇔ (pelo método de decomposição)

⇔ [ ] [ ]P u v uv P uv′ ′= − .

Alguns critérios para a escolha de u e v:

Função u′ v

( ) xf x e xe ( )f x

( ) ( )senf x x ( )sen x ( )f x

( ) ( )arctgf x x ( )f x ( )arctg x

( ) ( )logf x x ( )f x ( )log x

Nota: Se pretendermos primitivar apenas a função inversa de uma das funções

trigonométricas ou a função logaritmo podemos aplicar o método de primitivação por partes.

Nestes casos, consideramos o produto da função a primitivar pelo factor 1 e fazemos 1u′ = .

Primitivação por substituição

Seja ( )f x uma função que se pretende primitivar, :f I ⊆ → e ( )x tϕ= uma função

injectiva, ou seja, invertível em qualquer intervalo contido no seu domínio. Sabemos, por

definição de primitiva que ( ) ( )F x P f x⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , logo ( ) ( ) ( )F x f x f tϕ′ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ e, aplicando a

regra de derivação da função composta, vem:

( ) ( ) ( ) ( )F x F t F t tϕ ϕ ϕ′⎡ ⎤′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Temos assim que:

( ) ( ) ( ) ( )F x F t F t tϕ ϕ ϕ′⎡ ⎤′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

e



( ) ( ) ( )F x f x f tϕ′ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ ,

logo

( ) ( )F x f x′ = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )F t t f t tϕ ϕ ϕ ϕ′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e então,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P f x P F x P F t t P f t tϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , com ( )x tϕ= ,

ou

( ) ( ) ( )f x dx f t t dtϕ ϕ′⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫ .

Algumas substituições aconselháveis:

Se em ( )f x existe Usa-se para ( )x = g t

2 2 2a b x− ( )senabx t= ∨ ( )cosa

bx t=

2 2 2a b x+ ( )tgabx t=

2 2 2b x a− ( )secabx t=

2 2 2a x b− ( )secbax t=

xeα ( )logx t= , isto é, xt e=

( )log xα tx e= , isto é, ( )logt x=

( )sen x , ( )cos x , ( )tg x ( )2arctgx t= , isto é, ( )2tg xt =

Na tabela acima considera-se , ,a b α ∈ .

Primitivação de funções racionais

Chama-se função racional a uma função da forma ( ) ( )( )

D xd xf x = , onde ( )D x e ( )d x são

polinómios em x .



Definição: Se o grau de ( )D x é inferior ao grau de ( )d x diz-se que ( )( )

D xd x é uma fracção

própria. Se o grau de ( )D x é superior ou igual ao grau de ( )d x diz-se que ( )( )

D xd x é uma

fracção imprópria.

Ao utilizar a divisão de polinómios, qualquer fracção imprópria se pode transformar na soma

de um polinómio com uma fracção própria; assim, dada a fracção ( )( )

D xd x , com o grau de ( )D x

superior ou igual ao grau de ( )d x , obtemos, efectuando a divisão do polinómio:

( ) ( )( ) ( )

D x d x

r x q x

e

( )( ) ( ) ( )

( )D x r x

q xd x d x

= + ,

sendo o grau de ( )r x menor que o grau de ( )d x . Deste modo, a fracção ( )( )

r xd x é própria.

1º Caso:

( )d x tem apenas raízes reais simples, isto é, ( ) ( )( ) ( )1 2 nd x a x x x x x x= − − − , então

( )( )

( )( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2

1 n

n n

r x r x AA AP P Pd x a x x x x x x a x x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )1 1 2 21 log log logn nA x x A x x A x x Ca

= − + − + + − + , 1, , , na C A A ∈… .

2º Caso:

( )d x tem raízes reais múltiplas, isto é, ( ) ( ) ( )1k t

nd x a x x x x= − − , ,k t∈

( )( )

( )( ) ( )1

k tn

r x r xP P

d x a x x x x

⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 21 1

11 1

1 k tk k t t

nn n

A ZA A Z ZPa x x x xx x x x x x x x− −

⎡ ⎤= + + + + + + + + =⎢ ⎥

− −− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦



( ) ( )1 11

1 11 log log

1 1

k tn

k t t n

x x x xA A x x Z Z x x C

a k t

− + − +⎛ ⎞− −⎜ ⎟= + + − + + + + − +⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠

,

com 1 1, , , , , , ,k ta C A A Z Z ∈… … e ,k t∈ .

3º Caso:

( )d x tem raízes reais simples e/ou múltiplas e raízes não reais simples, isto é,

( ) ( ) ( )21

kd x a x x bx c= − + , k ∈

( )( )

( )( ) ( )2

1k

r x r xP P

d x a x x bx c

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )

1 21 2

11 1

1 kk k

AA A Bx CPa x x bx cx x x x −

⎡ ⎤+= + + + + + =⎢ ⎥

− +− −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 11 2

1 11 log log arctg

1 2

k

k

x x B C c cA A x x bx c x Ca k b b b b

− +⎡ ⎤⎛ ⎞−= + + − + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

,

com 1, , , , , , ,ka b c C A A B∈… e k ∈ .

Assim, efectuada a decomposição em elementos simples basta calcular a primitiva de cada um

deles. Para isso, recordemos que:

1 lnx a dx x a C− = − +∫ ;

( ) ( ) ( ) 1

1

1k

kk

x a

x adx x a dx C

k

− +−

−

−= − = +

− +∫ ∫ , 1k ≠ ;

( )21

1arctg

xdx x C

+= +∫ ;

( )221

21ln 1x

xdx x C

+= + +∫ ;

( ) ( ) ( )2

1221 1

2 21

12 1

1k

kk

x

x

xdx x x dx C

k

−−

+

+= + = +

−∫ ∫ , 1k ≠ .



ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Sendo ( )f x uma função real de variável real, continua e positiva no intervalo [ ],a b , o

integral de ( )f x definido nesse intervalo representa a área plana definida pela função f ,

pelas paralelas ao eixo das ordenadas passando pelos limites de integração e pelo eixo das

abcissas. Graficamente temos:

( )b

aA f x dx= ∫

1. Consideremos uma função ( )f x real de variável real continua em [ ],a b e cujo gráfico é

representado na figura seguinte:

( )b

aA f x dx= ∫

A área, atendendo a que a função f no intervalo [ ],a b toma sempre valores negativos, é

dada pelo integral definido em que os limites de integração aparecem trocados.

Nota: Se trocarmos os limites do integral o mesmo muda de sinal:

( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫ .



2. Consideremos uma função contínua em [ ],a b cujo gráfico é o da figura seguinte:

( ) ( )c c

a bA f x dx f x dx= +∫ ∫

A área da figura a tracejado é determinada somando os dois integrais definidos.

Note-se que ( ) 0f x = ⇒ x c= (zero da função).

3. Sejam ( )f x e ( )g x duas funções continuas para [ ],x a b∈ e cuja representação gráfica é

dada pela figura seguinte:

( ) ( )b b

a aA f x dx g x dx= −∫ ∫ ⇒ ( ) ( )

b

aA f x g x dx= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫

A área da figura a tracejado é a diferença das áreas definidas pelas funções f e g .

Nota: Na prática diz-se que a área é dada pelo integral definido, sendo a função integranda a

diferença entre a curva de cima e a curva de baixo.



4. Seja ( )f x e ( )g x duas funções continuas para [ ],x a b∈ e cuja representação gráfica é

dada pela figura seguinte:

( ) ( )b

aA f x g x dx= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫

A área da figura a tracejado é a diferença das áreas definidas pelas funções f e g .

Nota: Desde que a área que se quer determinar seja limitada por duas curvas a expressão do

integral é a mesma, independentemente das curvas estarem acima do eixo das abcissas,

intersectarem esse eixo ou estarem abaixo do eixo das abcissas.

5. Seja ( )f x , ( )g x e ( )h x funções continuas cuja representação gráfica é dada pela figura

seguinte:

( ) ( ) ( ) ( )b c

a bA f x h x dx g x h x dx= − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

A área a determinar é limitada por três curvas. Temos que determinar os pontos de intersecção

das curvas, duas a duas, resolvendo os respectivos sistemas.

Nota: Para determinar a área da porção do plano limitado por várias curvas, subdividimo-la

em várias áreas para que figurem em cada uma apenas duas curvas.



6. Seja ( )f x uma função contínua simétrica em relação a um dos eixos, podemos determinar

metade da área multiplicando-a por dois:

(a)

( ) ( )0

2a a

aA f x dx f x dx

−= =∫ ∫

(b)

( )0

2a

A f x dx= ∫

7. Seja ( )f x uma função contínua simétrica simultaneamente aos dois eixos coordenados,

podemos determinar a quarta parte da área multiplicando-a por quatro:

( )0

4a

A f x dx= ∫



INTEGRAIS DUPLOS

Consideremos integrais em regiões planas R , sendo a função integranda uma função real de

variável vectorial (campo escalar), 2:f ⊆ →D , definida e limitada na região plana R .

O integral resultante diz-se duplo e representa-se por:

( ),f x y dA∫∫R ,

onde dA dx dy= ou dA dy dx= .

Definição: Sendo ( ),f x y integrável na região R , chama-se integral duplo de f em R a:

( ),f x y dA∫∫R ,

onde dA dx dy= ou dA dy dx= .

Teorema de Fubini: Seja ( ),f x y integrável em ( ){ }2, :x y a x b c y d= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤R ,

então:

( ) ( ) ( ), , ,b d d b

a c c af x y dA f x y dy dx f x y dx dy= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫R

.

Exemplo 1: Represente a região R e calcule ( )1 2 2

0 1x y dx dy+∫ ∫ e ( )2 1 2

1 0x y dy dx+∫ ∫ .

Nota: Quando [ ] [ ], ,a b c d= ×R , é um rectângulo de lados paralelos aos eixos (os quatro

limites de integração são constantes) e ( ) ( ) ( ),f x y g x h y= × , então o cálculo do integral

duplo pode ser feito multiplicando os integrais simples em x e em y :

( ) ( ) ( ),b d

a cf x y dA g x dx h y dy= ×∫∫ ∫ ∫R

.

Exemplo 2: Represente a região R e calcule ( )2 1 2

0 0xy dx dy∫ ∫ .



Os integrais duplos podem ser definidos em regiões planas que não sejam rectangulares.

Nesse caso, teremos que analisar a regularidade do domínio e qual das primitivações parciais,

em x ou em y , é mais fácil. Vamos considerar dois tipos de regiões em 2 :

Tipo I ou regular segundo o eixo dos yy:

( ) ( ) ( ){ }21 2, :x y a x b x y xϕ ϕ= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤R ,

em que qualquer recta vertical, que passe por um ponto interior de R , intersecta a fronteira

em dois pontos.

( ) ( )( )

( )2

1

, ,b x

a xf x y dA f x y dy dx

ϕ

ϕ=∫∫ ∫ ∫R



Tipo II ou regular segundo o eixo dos xx:

( ) ( ) ( ){ }21 2, :x y c y d y x yψ ψ= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤R ,

em que qualquer recta horizontal, que passe por um ponto interior de R , intersecta a

fronteira em dois pontos.

( ) ( )( )

( )2

1

, ,d y

c yf x y dA f x y dx dy

ψ

ψ=∫∫ ∫ ∫R

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