listão de calculo integral

8/18/2019 Listão de Calculo Integral

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LISTÃO PROVA COLEGIADA

Centro Universitário UNACálculo Integral

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Parte 1 – A integral definida e indefinida e aplicações

01. A função que descreve a velocidade de uma partícula é dada em metrospor segundo por . Considerando o movimento desta partícula nointervalo de segundos é possível determinar seu deslocamento nesteintervalo. Sendo assim podemos afirmar que este deslocamento (em metros) é:

02. Considerando a mesma função velocidade dada no exercício anterior, épossível determinar também a distância percorrida pela partícula. Lembrandoque a distância percorrida não considera apenas as posições final e inicial dapartícula, a distância, em metros, que a partícula percorreu foi de:

(A)

(B)

(C)

(D)

03. A função aceleração e a velocidade inicial de uma partículamovendo-se ao longo de uma reta são descritas respectivamente por:

e num intervalo de a segundos. Podemos afirmarque a função que descreve a velocidade da partícula no instante é:

(A)

(B)

(C)

(D)


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2

04. Considerando os dados da questão anterior podemos afirmar que a

distância percorrida durante o intervalo dado é de:

(A)

(B)

(C)

(D)

05. Durante um intervalo de 0 a 3 segundos, uma partícula move-se em linhareta e sua aceleração instante é dada pela função .Sabendo que a velocidade inicial da partícula é , a função quedescreve sua velocidade no instante é descrita por:

(A)

(B)

(C) (D)

06. A distância percorrida no intervalo de a segundos da partícula doexercício anterior em metros é de:

(A) (B)

(C)

(D)


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07 - Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade

onde v é medida em metros por segundo. A distância percorridapela partícula durante o intervalo [0,5] corresponde, aproximadamente, a:

(A) 29,2 m(B) 54,2 m(C) 100 m(D) 150 m

08 - Uma mina produz mensalmente 500 toneladas de um certo minério.Estima-se que o processo extrativo dure 30 anos (360 meses) a partir de hoje eque o preço por tonelada do minério daqui a t meses seja

unidades monetárias. Qual a receita (em reais) que será gerada pelamina ao longo dos 360 meses?

(A) 1000000(B) 300240000

(C) 500000(D) 20000000

09 - Na figura abaixo, a curva q = f (p) é a função de demanda de um produto.Para um nível de preço p 0, o consumo é q 0. Aumentando-se o preço, aquantidade procurada diminui, isto é, apenas parte dos compradores estádisposta a pagar o novo preço. A área sombreada na figura representa oexcedente do consumidor , ou seja, o total procurado pelos compradoresquando o preço se desloca a partir de p 0.


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O excedente do consumidor para um produto cuja demanda é dada pela

função – para p variando no intervalo de [1, 4] é(A) 14.(B) 18

(C) 27

(D) 64.

10. A densidade linear de um objeto é dada pela razão entre sua massa e seu

comprimento linear. Para um barra de de comprimento, a densidade linear, é dada pela expressão: √ medida em quilogramas por

metro, onde é a medida em metros a partir de um extremo da barra.Sendoassim, a massa total desta barra é:

(A)

(B)

(C) (D)

11. A água flui do fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de litros por minutos, onde . Encontre a quantidade de

água que flui do tanque durante os primeiros dez minutos.

(A) (B)

(C)

(D)


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12 - Temos que o coeficiente angular de uma curva é obtido

através de sua derivada, isto é,

. Se uma determinada curva temcomo coeficiente angular √ e passa pelo ponto P(4,2), podemosdizer que esta curva tem por lei a função:

304)()( 3 x x f A

x x f B 3)()(

34)()( x x f C

2213

)()( x

x f D

13 - A aceleração de uma partícula obedece à equação determine a equação velocidade da partícula, sabendo que :

–

14 – Uma partícula move-se ao longo de um eixo s e sua velocidade é dadapela função , sendo t dado em segundos e a velocidade emmetros por segundo. Se a posição do corpo no instante 0 seg é 1 m, a funçãoposição dessa partícula será:

(A) t t t s 43)( 2

(B) 13

24

)(34

t t t

t s

(C) 13

24

)(34 t t

t s

(D)127

32

4)(

34

t t t

t s


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15 - Um reservatório de água apresenta um pequeno vazamento na sua parte

inferior. Água flui do fundo do reservatório a uma taxa de t t r 4200)( litrospor minuto onde 500 t minutos. Mantida esta taxa, qual o volume de água,em litros, que flui do reservatório nos primeiros 10 minutos?

(A) 1800

(B) 1600

(C) 180

(D) 160

Gabarito

01) B 02) D 03) C 04) A

05) B 06) D 07) A 08) B

09) C 10) C 11) B 12) A

13) B 14) B 15) A


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Parte 2 – Áreas entre curvas

1. A área de uma região está à direita do eixo e à esquerda da parábola (a região sombreada na figura). Imagine que esta região

representa a área na qual será construída uma determinada loja. Podemosafirmar que tal área é de:

(A) (B) (C) (D)


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2 - A curva que descreve a parte frontal de um túnel é dada por:

– . A figura mostra este túnel no sistema cartesianoconsiderando o chão sobre o eixo .

Podemos afirmar que a área desta parte frontal do túnel é:

(A) (B) (C)

(D)

3 - Na construção de um espaço de lazer, ou seja um parquinho para criançasnum condomínio, um engenheiro se depara com a necessidade de calcular a

área existente entre duas curvas. A primeira curva é dada por:

– e a

segunda é dada por . Ao apresentar os cálculos da área a serconstruída, o engenheiro errou os cálculos e apontou como resposta 12m 2 .Quantos metros ele calculou a mais.

(A) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1, 67m 2

(B) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1,33m 2 (C) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 4 m 2

(D) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1 m2


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4 - (ENADE-2011) Considere a função f: R R definida por – ,para cada x R. A área da região limitada pelo gráfico da função , oeixo e as retas e é igual a:(A)

1538 unidades de área

(B)15

16unidades de área

(C)15

44unidades de área

(D)15

60unidades de área

5 - A igreja de São Francisco de Assis, cartão postal de Belo Horizonte,localiza-se no conjunto arquitetônico da Lagoa da Pampulha. Marco doModernismo, ela foi projetada por Oscar Niemeyer e construída durante o

governo de Juscelino Kubistchek a frente da Prefeitura Municipal. Foi tambémalvo de polêmica, visto que Dom Cabral recusou-se a consagrá-la ao usoeclesiástico, considerando-a apenas um galpão. Com painéis de azulejos dePortinari e jardins de Burle Marx, tem a sua vista frontal construída como umarco de parábola.


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Considere, por suposição, que o arco de parábola que modela tal construção

tenha equação , no intervalo real em que as ordenadas sãopositivas, com e medidos em metros. O cálculo da área da fachada daigreja, segundo esta função resulta em:

(A) 23

392m

(B)

(C) 23

1568m

(D) 23

1120m

6 - (Cesgranrio 2012, Engenheiro de Petróleo) A figura a seguir mostra umaparte dos gráficos das funções reais de variáveis reais dadas por f(x) = x 3 e

g(x) = x2. A parte pintada representa a região do plano R 2 em que ,

com . Se o quadrado formado pelos pontos (0,0) ; (0,1); (1,1) e (1,0) temárea igual a 1 u.a, quantas unidades de área tem a região pintada ?

(A) 121

(B)6

1

(C)5

1

(D)4

1


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7 - Uma área de lazer localizada em um condomínio está limitada pelas curvas

– e , como mostra a figura abaixo. O valor da áreada região sombreada na figura corresponde a(A)

3

22

(B)3

32

(C)3

58

(D)3

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8 - Um fornecedor de peças para a indústria automobilística projetou uma peçapara determinado modelo de veículo conforme a figura abaixo – constitui-se deuma região delimitada pelos eixos x e y e pelo gráfico da função

.

A área da peça é:(A) 9 unidades de área.(B) 18 unidades de área.(C) 24 unidades de área.(D) 27 unidades de área.

Gabarito1) A 2) D 3) B 4) D

5) A 6) A 7) B 8) B


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Parte 3 – Volumes

1. Uma peça mecânica será construída e seu formato é obtido através darevolução da curva em torno do eixo , no intervalo .Considerando e expressos em centímetros, o volume desta peça em é:

(A)

(B)

(C)

(D)

2. Uma peça será produzida através da rotação da regiao limitada pelas curvas, em torno do eixo y. Para calcular o preço da fabricação desta

peça é necessário saber a quantidade de matéria prima que sera utilizada.Sendo assim podemos afirmar que o volume da peça, em unidades de volume é:

(A)

(B)

(C)

(D)

3 - Uma tigela tem um formato que pode ser obtido pela revolução, em torno do

eixo , do gráfico de entre e . Podemos afirmar que o volume

desta tigela é:(A) 5 unidades cúbicas

(B) 6

125 unidades cúbicas

(C)3

310 unidades cúbicas

(D) 2 unidades cúbicas


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4 - Ao construir um parquinho a empresa responsável pela execução do projeto

tem que se preocupar com a fixação de alguns brinquedos. Entre eles, umbrinquedo que imita um sólido de revolução gerado pela região limitada pelaparábola cúbica , pelo eixo vertical e pela reta que gira emtorno do eixo vertical. O engenheiro com o intuito de saber quantos metros deareia deve ser colocado no parquinho necessita saber o volume destebrinquedo quando rotacionado em torno do eixo vertical. (use π = 3,14)

(A) Aproximadamente 50 m3

(B) Aproximadamente 64 m3 (C) Aproximadamente 512 m3 (D) Aproximadamente 60 m3

5 - Maria quer armazenar água para o período de seca. Preocupada com asituação, construiu diversos vasilhames. Um dos vasilhames foi obtido pela

rotação da região abaixo em torno do eixo y e obteve:

Determine o volume de água que Maria poderá estocar nesse vasilhame:

(A) unidades de volume(B) 8 unidades de volume

(C) 3

16 unidades de volume

(D) unidades de volume


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6 - Em uma indústria foi produzida por um ferramenteiro uma peça metálica

maciça que corresponde ao solido gerado pela revolução da região sob afunção , no intervalo [1,2] em torno do eixo x, sendo assimdetermine o volume desta peça.

7 - Sabendo-se que a construção de um funil é baseada na rotação da curva

2

41

x y sob o eixo 0x e limitada pelas retas x = 1 e x = 4. Considerando a

unidade de medida em centímetros, qual o volume de líquido necessário para

preencher o funil caso este esteja fechado? Considere π =3,14.

(A) 40,15 cm3 (B) 12,79 cm3 (C) 3,0 cm3 (D) 5,25 cm3

Gabarito

1) C 2) A 3) D 4) D

5) B 6) A 7) A


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Parte 4 – Valor médio de uma função

1. Um pesquisador estima que horas após a meia-noite, em um período típicode 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada, em graus Celsius, pela

função: , sendo . A temperatura média na

cidade entre 6h da manhã e 4h da tarde é:

(A) a temperatura média no período é 5,22 .(B) a temperatura média no período é − 5,22 .

(C) a temperatura média no período é − 24,4222.(D) a temperatura média no período é 24,4222.

2. Os registros mostram que meses após o início do ano, o preço, em reais,de um determinado produto vendido nos supermercados a granel foirepresentado por: o quilo. O preço médio desteproduto durante os 3 primeiros meses do ano foi de:

(A) 1,56 reais(B) 4,70 reais(C) 1,57 reais(D) 4,71 reais

3. Em certo experimento, o número de bactérias presentes em uma culturaapós minutos foi . O número médio aproximado de bactérias

presentes nesta cultura durante os primeiros 5 minutos do experimento é:

(A) 10.272(B) 2.272(C) 2.275(D) 10.273


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4 - Suponha que a velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um

eixo seja , medida em metros por segundo. A velocidade médiada partícula no intervalo de 1 segundo a 4 segundos é de:

(A) sm /4

789

(B) sm /4

263

(C) sm /9

(D) sm /2

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5 - Um engenheiro estuda o comportamento de um gás ideal, ao se expandirpassando por pequenos orifícios, fenômeno denominado de efusão gasosa. Ao

realizar um experimento, o engenheiro constata que o vazamento de gás a altapressão, através de um orifício de um cilindro de alumínio, é modelado pelafunção , em que representa o vazamento instantâneo de gásem um determinado instante de tempo . Calculando o vazamento médio entreos instantes e , este engenheiro encontrou o valor:

(A)2

11

e

(B)2

22e

(C) 11

2

e

(D) 222 e


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6 - Um tanque contém 25g de sal dissolvido em 100 litros de água. Uma

solução de sal em água, com 1/4 g de sal por litro entra no tanque a uma vazãode 3 litros por minuto e a solução dotanque, bem misturada, sai com amesma vazão.

Considerando todos os dadosrelatados acima encontrou-se aexpressão que dá a quantidade de

sal Q(t) no tanque no instante t queé:

Determine o valor médio da quantidade sal neste tanque, nos primeiros 10minutos.

Sabe-se que o valor médio de uma função em um intervalo [a,b] é dado por

∫ (A) (B) (C)

(D)

Gabarito

1) B 2) C 3) B 4) B 5) A 6) B


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Parte 5 – Aplicações das integrais – Métodos: Por Partes, Integrais

trigonométricas, Substituição trigonométrica.

1. A função custo marginal de uma empresa é representada por onde onde representa o número de peças produzidas sendo .

Considerando , podemos afirmar que a função que representa ocusto total da produção de unidades é dada por:

(A)

(B) (C)

(D)

2. Uma partícula move-se ao longo de um eixo s e sua velocidade é dada pelafunção , sendo t dado em segundos e a velocidade em metrospor segundo. Se a posição do corpo no instante 1 seg é 0 m, a função posição

dessa partícula será:

(A)

(B)

(C)

(D)

3 - Se uma partícula se move ao longo de uma reta com velocidade igual a m/s após t segundos, então a distância percorrida durante osprimeiros 5 segundos é:

(A) 4e- 5 + 1(B) - 6 e- 5 -1(C) - 6 e- 5 + 1(D) - e- 5


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4. Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t=0 e o

petróleo vaza do tanque a uma taxa de quilolitros por minuto.Quanto petróleo vazou, aproximadamente, na primeira hora?

(A) 29783 litros de petróleo(B) 273 litros de petróleo(C) 29854 litros de petróleo(D) 29,854 litros de petróleo

5. Uma partícula se move em linha reta com função velocidade x x sent v 23 cos)( . Através do Cálculo de integral é possível obter a função

posição s = f(t) desta partícula. No instante que f(0) = 0 , a função que descrevea posição da partícula é

(A)5

cos3

cos 53 x x s

(B)5

cos3

cos 53

x x s

(C)152

5cos

3cos 53 x x

s

(D)152

5cos

3cos 53 x x

s

Gabarito

1) A 2) A 3) C 4) C 5) D


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Questões subjetivas

Aplicações de integral

1. A corrente elétrica de um fio condutor é definida como a derivada daquantidade de carga, ou seja, . Supondo que, em certo circuito uma

corrente varia com o tempo de acordo com a função . Determine

a quantidade de carga transportada neste circuito entre um intervalo de esegundos.

Aplicações de integral2. Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade

onde é medida em metros por segundo. Determine:

(a) o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo .(b) a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo


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3. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. Afigura mostra os gráficos de suas velocidades.

a) Qual carro estará na frente após 1 minuto? Explique.b) Qual o significado da área da região sombreada?c) Qual carro estará na frente após 2 segundos?d) Estime quando os carros estarão novamente lado a lado.

Aplicações de integral4. Uma partícula de massa que se move através de um fluido está submetidaa uma resistência devido à viscosidade, a qual é função da velocidade . Arelação entre a resistência , a velocidade e o tempo está dada pelaequação a seguir.

∫ Suponha-se que √ para um determinado fluido, onde é dado emNewtons e em . Sendo e , estime otempo requerido para que a partícula diminua sua velocidade para .


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5. Uma partícula percorre uma trajetória reta, com aceleração de . Noinstante , a partícula passava pela marca da trajetória, comvelocidade de . A. Determine a velocidade da partícula em função do tempo.B. Determine a posição da partícula em função do tempo.C. Determine o tempo necessário para que a partícula passe pela marca de103,75 cm.

Aplicações de integral6. Estima-se que daqui a t meses a população de um pequeno bairro estará

variando a uma taxa de t dt dP

62 pessoas por mês. A população atual do

bairro é de 5000 pessoas. Qual será a população deste bairro daqui a 9meses?

Aplicações de integral7. Um fabricante estima que o custo marginal para produzir q unidades de um

certo produto é dado por 400603 2 qqdqdC reais por unidade. O custo para

produzir as 2 primeiras unidades é de R$ 900,00. Determine o custo total para

produzir as 12 primeiras unidades.


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Volume

8. Um reservatório deve ser dimensionado para uma capacidade de edeve ter a forma de um paraboloide de revolução, observe a figura abaixo.Desta maneira, qual deve ser o valor da constante C?

Volume 9. Deseja-se conhecer o volume um tanque com 3 metros de profundidade e

sua forma determinada pela revolução da função em torno do eixo y.Use a integral para determinar o volume.

Volume 10. Um reservatório de água, com 2m de altura, tem o formato mostrado na figuraa seguir que foi obtida girando-se a curva em torno do eixo y.

Encontre o volume total de água suportado pelo reservatório.

yy

C x

y = x2 x =

x


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Volume

11. Um reservatório tem a forma de um paraboloide de revolução obtidogirando-se o gráfico de em torno do eixo y. Determine o volume deágua no instante em que seu nível está a 4 metros de altura em relação aosolo.

Aplicações de integral – Método da substituição12. A posição é dada pela integral da velocidade. Um móvel se desloca e temsua velocidade dada por . Calcule sua função de posição,

sabendo que no instante sua posição era Aplicações de integral – Método Frações parciais13. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de forma que sua velocidadeem cm/s seja representada por v. Após decorridos um tempo em segundosrepresentado por t, a velocidade é expressa por:

A fórmula da distância percorrida pela partícula do instante ao instante é:


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Aplicações de integral – Método Frações parciais

14. Uma equação que descreve o crescimento de uma população é dada por:

() Na busca da solução desta equação, a mesma pode ser escrita como:

O método de resolução desta equação envolve o cálculo da integral em ambosos lados.

Desenvolva a integral apenas do termo do lado esquerdo da Eq. 2:

Aplicações de integral – Método Frações parciais15. Atualmente os sistemas algébricos computacionais tem um comando(com nomes tais como “Apart” ou “Parfrac”) que fornece decomposições em frações parciais. Por exemplo, o comando: Apart [(x^2 – 2)/((x+2) (x^2 + 4)^ 3)],fornece a seguinte decomposição em frações parciais:

– –

Contudo, um sistema algébrico computacional não consegue fornecer umadecomposição em frações parciais em que Q(x) não possa ser fatoradoexplicitamente. Por este motivo precisamos aprender a fazer contas muitasvezes trabalhosas para encontrar a decomposição de frações parciais.

Utilizando estes conhecimentos calcule:

∫


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Respostas

Questões subjetivas

1) 2) 3) a) O carro A pois a área sob a curva A é maior que a área sob a curva B.

b) A área da região sombreada tem valor numérico SA – SB, que é a distânciaem que A está a frente de B depois de 1 minuto.

c) Depois de dois minutos, o carro B está viajando mais rápido do que o carro Ae sendo assim ganhou uma certa distância em comparação com o carro A, masa área sob a curva de A a partir de t = 0 a t = 2 é ainda maior do que a áreacorrespondente à curva de B, e então o carro A ainda está a frente de B.

d) Em aproximadamente 2,2 minutos.

4) Em aproximadamente 2,6197 segundos.

5) a) b) c) 7,5 segundos

6) 5.126 pessoas

7) R$ 2420,00

8) √ 9)

10)

11) 12)


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13)

14) ||15) – –

listão de calculo integral

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