A BOLA DE FUTEBOL: IMPORTANTE ALIADA NA PRÁTICA DA

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

Elda Vieira Tramm (UFBa/EMFoco)

etramm@gmail.com

Com o objetivo de investigar e descobrir/construir os poliedros de Platão pretendemos

realizar , nesta Oficina, uma investigação matemática baseada na exploração e investigação de

uma bola de futebol. Ela terá uma duração de seis horas, e será destinada aos professores de

Matemática.

Portanto nesta Oficina os participantes deverão vivenciar uma atividade exploratória-

investigativa ao realizar as propostas que serão apresentadas em etapas: a) apresentação do

tema/convite para construir uma bola de futebol, b) investigação de uma bola de futebol e

discussão, em grande grupo, dos resultados obtidos na resolução das fichas de atividades, c)

participação com perguntas sobre o relato de experiências de ensino, vivenciadas por alunos

do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental, d) construção da bola de futebol e do argumento do

porquê esta é formada por pentágonos e hexágonos, e) avaliação das potencialidades deste

método e de atividades como estas, a serem desenvolvidas com alunos numa sala de aula e

tendo como referência a reação dos alunos, f) discussão das possibilidades e desafios deste

trabalho (do ponto de vista dos participantes envolvidos - alunos, professores e pesquisadora)

com o objetivo de uma possível aplicação deste na sala de aula dos participantes desta Oficina.

Esta Oficina nasceu, em 2001, de um trabalho de pesquisa investigatória (TRAMM,2002),

realizado com dois professores e quarenta e cinco alunos do 4º ano (9/10 anos) da Escola

Básica em Portugal, no intuito de responder as questões: Os alunos conseguem investigar

idéias matemáticas? Os professores são capazes de promover este tipo de trabalho nas suas

aulas? Que condições são necessárias para que isso aconteça?

O trabalho de investigação acima citado nasceu do desejo de participar do Ano Mundial da

Matemática, promovido pela Associação dos Professores de Matemática (APM), a Sociedade

Portuguesa de Matemática (SPM) e o Jornal Expresso de Portugal, em 2000, que tinha como

tema o ensino dos Poliedros. Surgiu então a pergunta: Como fazer isto se eu trabalhava como

formadora de professores de Escolas do Ensino Básico, 1º ciclo1? Neste momento, do desejo

1 O Ensino Básico, 1º ciclo em Portugal corresponde ao primeiros anos(2º ao 4º ano) do Ensino Fundamental no Brasil.

de participar no AMM2000, nasceu as questões geradoras de uma proposta pedagógica com

carater investigatório. Eis as questões: Existe um elemento na cultura do aluno, que faça parte

do seu desejo e que nos sirva de ponte (elo) para o estudo dos poliedros regulares? Nós,

professores, somos capazes de promover este tipo de trabalho nas nossas aulas? Que condições

são necessárias para que isso aconteça?

Para responder tais questões colocamos “a mão na massa”. No conhecimento matemático do

tema (poliedros) descobrimos o icosaedro truncado (a bola de futebol), que servia

perfeitamente pois ela é um elemento do desejo e da cultura do aluno e portanto eis o “elo”

que precisávamos para matematizar a realidade do aluno. A idéia de matematizar a realidade

do aluno se apoia na Matemática Realista desenvolvida pelo Instituto Freudenthal2, onde

estudei três anos (1987-1990)3. O Prof. Freudenthal defendia “a inclusão da geometria na

aprendizagem matemática o mais cedo possível. Não defendia a matemática euclidiana como

objeto ideal para pensar dedutivamente”. Para ele, “Matemática é organizar áreas de

experiências; e a geometria se presta para matematizar experiências espaciais.”

(Freudenthal,1978, p. 276-292). E que a Matemática “é uma atividade humana e a melhor

forma de aprender uma atividade é executá-la , reinventa-la, recriá-la”. Donde conclui que

“A geometria (espaço e plano) se presta muito bem para a matematização da realidade do

aluno pois a criança vive uma ótima oportunidade de experimentar a organização local

(espaço), se locomove no plano e com “boas” experiências descobre idéias matemáticas

(Tramm, 2000) Freudenthal afirmava que “estas descobertas sendo feitas com os próprios

olhos e mãos são mais convincentes e surpreendentes”. Ele trabalhou para abrir a Matemática

para todos e nunca diminuiu a exigência de um intelectual, de um pensador científico. Ao

elaborar as atividades tinhamos em mente as proposições do Instituto Freudenthal: “Se

queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de

chegar lá” (...) e “isto implica em elaborar atividades que preparam o aluno para o salto”. Este

é o significado de "Reinventar" na Matemática realista.

2 Instituto Freudenthal (www.fi.ru.nl ). Prof Hans Freudenthal, é conhecido mundialmente pelo seu papel decisivo nos rumos na Ed. Matemática.3 Fui aluna de doutoramento do grupo de Ensino e Pesquisa da Matemática, na Universade de Utecht, Holanda, hoje Instituto Freudenthal (www.fi.ru.nl ).

A minha vivência neste grupo (Instituto Freudenthal) me autorizou a ousar e a propor este

projeto pedagógico que é o estudo dos poliedros regulares através da bola de futebol.

Desejamos que esta Oficina contribua para clarificar o tipo de atividade de investigação que

nós, educadores, desejamos para nossas escolas no pressuposto que a Matemática é “assunto

de todos e todos somos responsáveis por tornar este instrumento de organização do mundo,

da vida, do quotidiano, acessível às crianças e jovens deste país” (ABRANTES,

SERRAZINA e OLIVEIRA, 1999).

Como foi dito no início deste reusmo, os participantes desta Oficina, deverão vivenciar

atividades exploratória-investigativas e estas serão desenvolvidas por etapas, a saber:

a) apresentação do tema/convite para construir uma bola de futebol. Que tal construir uma

bola de futebol? Geralmente esta proposta é aceita com muito entusiasmo. Feito o contrato de

trabalho partimos para a investigação do objeto de estudo (a bola de futebol).

b) investigação do objeto de estudo (a bola de futebol) e discussão, em grande grupo, dos

resultados obtidos na resolução das fichas de atividades 1 e 2. Com a bola de futebol, em

mãos, passamos a investigação da mesma/do objeto. Os cursistas são incentivados a descrever

a bola de futebol, identificando padrões, levantando hipóteses de trabalho sobre a quantidade

de cada um dos polígonos utilizados e desafiados a responder do porquê ela é formada pelos

polígonos regulares (pentágonos e hexágonos). Serão utilizadas fichas de atividades 1 e 2

(Apêndice 1) como material de apoio, para que os cursistas registrem suas hipóteses de

trabalho. Esta atividade será realizada em pequenos grupos, e no final discutiremos em grande

grupo, os padrões encontrados. Este servirá de elo para que os cursistas entendam do porque

estabelecermos limites/regras na investigação dos poliedros convexos ou seja do porque só

precisamos investigar os poliedros convexos regulares.

c) participação com perguntas sobre o relato das experiências de investigação,

vivenciadas por alunos do 4º e 5º anos das Escolas Básica, em Portugal4. Este relato

4 As escolas básicas envolvidas foram:EB1 nº 10 – Setúbal, que envolveu duas professoras (apenas uma delas participou da ação de formação da APM) e duas turmas do 3º ano (45 alunos). Esta escola ganhou o concurso do AMM2000 (Ano Mundial da Matemática 2000), promoveu uma exposição interativa para divulgar este trabalho junto a comunidade escolar (professores e alunos) e a comunidade local (pais e curiosos) onde os alunos do projeto trabalharam como monitoes; EB1 nº 9 - Setúbal, que envolveu sete professoras e cinco turmas do 1º ao 4º ano (125 alunos). Esta escola promoveu uma exposição interativa para divulgar as atividades matemáticas para a comunidade escolar envolvendo os responsáveis dos alunos e curiosos;

apresentará o trabalho realizado pelos alunos , ao construir os poliedros regulares (os

deltaedros, o hexaedro e o dodecaedro) segundo regras/limites pré-estabelecidos (Apêncide 2);

os nomes que os alunos criaram para estes poliedros, o registro destes e dos seus elementos na

tabela (Apêndice 3 - ficha de atividade 3), a classificação e finalmente, a identificação de cada

um dos poliedros regulares ou de Platão. Será uma exposição participativa onde os cursistas

deverão intervir com perguntas. Serão apresentadas as reações dos alunos (porquê o cubo não

fica em pé), dos professores5 (materiais, fichas de acompanhamento das atividades e tempo

gasto na realização das atividades) e da pesquisadora (descoberta de novos “elos” de

aprendizagem – geometria e aritmética/divisores de um número natural, atividades

significativas para o estudo de ângulos, dos quadriláteros e dos triângulos, planificação dos

poliedros/tetraedro e cubo, elaboração de material de apoio/triângulos com recortes, entre

outros).

d) construção da bola de futebol e do argumento do porquê esta é formada por pentágonos

e hexágonos. Neste etapa os cursistas serão incentivados a trabalhar com o icosaedro e a

resolver o seguinte problema: Como transformá-lo num objeto “mais redondo”? A partir desta

indagação nasce naturalmente a bola de futebol (o icosaedro sem bicos ou melhor o icosaedro

truncado) e a explicação do porquê a bola de futebol é formada por pentágonos e hexágonos

bem como o porquê da quantidade de hexágonos e pentágonos utilizados. Será

disponibilizado para os cursistas as fichas moldes 1(pentágonos e hexágonos) e 2 (triângulo

equilátero de encaixe) no tamanho real (12 cm) da bola de futebol.

e) avaliação das potencialidades das atividades deste método de investigação e de

atividades como estas, tendo como referência a reação dos alunos. Os cursistas deverão avaliar

o método de trabalho (a aula investigativa), o material utilizado (fichas de atividades, material

de apoio) e sua viabilidade para alunos de outras classes escolares. Neste momento, será

apresentada uma lista de indagações (que foram merecedoras de atenção por parte dos

professores e da pesquisadora) para que os cursistas reflitam sobre a adequação da proposta

EB1 nº 15 – Lisboa, que envolveu sete professoras e cinco turmas do 1º ao 4º ano (125 alunos). Esta escola promoveu uma exposição interativa para divulgar as atividades matemáticas para a comunidade escolar envolvendo os responsáveis dos alunos e curiosos. A escola participou do concurso Pedro Nunes ganhando o 2º lugar.5 Os professores envolvidos fizeram o curso de formação “Novos ambientes de aprendizagem no ensino da Matemática”, ministrado por mim. http://www.apm.pt/portal/index.php?id=10813 e promovido pelo Centro de Formação da APM (www.apm.pt) .

realizada, identificando os seus pontos fracos e fortes. São elas: na sua opinião, a bola de

futebol é um elo que aproxima a realidade do aluno da idéia matemática (poliedros)? e o

campo conceitual trabalhado – poliedros de Platão – apresenta-se como adequado para se

trabalhar geometria neste nível de ensino? os materiais de apoio utilizado prestam-se a

descoberta de propriedades (rigidez ou não) dos objetos e a identificação de todos os

elementos que compõem um poliedro? as regras/limites impostas para a construção e

descoberta de poliedros funcionam como regras de um jogo? Os alunos gostaram de trabalhar

este tema (poliedros regulares)? As tarefas que envolviam organização, sistematização e

formalização de conteúdos matemáticos ajudam na realização de tarefas interdisciplinares? Os

professores envolvidos mostraram-se entusiasmados? Esta proposta pedagógica favoreceu ao

intercambio com a comunidade escolar? Esta proposta pedagógica despertou o interesse do

professor pelo ensino da Matemática? O professor aceitou o tempo gasto pelos alunos para

estudar os poliedros? Os sujeitos envolvidos na experiência (formadora/pesquisadora,

formandos/professores e alunos) evoluíram ao longo do percurso (ação de formação,

intervenção e reflexão crítica dos resultados), modificando sua atitude em relação a

matemática?

f) discussão das possibilidades e desafios deste trabalho (do ponto de vista dos

participantes envolvidos - alunos, professores e pesquisadora) com o objetivo de uma possível

aplicação deste na sala de aula dos participantes do minicurso. Neste momento retomaremos

as perguntas geradoras deste trabalho.

Concluimos a Oficina com o seguinte pensamento:“Aprender Matemática não é simplesmente

compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza

matemática (ao nível adequado de cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente

perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção

sobre o mundo... Só assim se pode ser inundado pela paixão “detetivesca” indispensável à

verdadeira fruição da matemática” Braumann (2002, apud Ponte, 2003, p. 98).

BIBLIOGRAFIA

ABRANTES, P., SERRAZINA, L. & OLIVEIRA, I. A matemática na educação básica.

Lisboa. DEB do MEC.1999.

FREUDENTHAL, H. Weeding and sowing: Preface to a science of mathematical

education. Holanda, Dordrecht. Reidel.1978.

FREUDENTHAL, H.Didactical phenomelogy of mathematical structures.

Holanda,Dordrecht. Reidel.1983.

TRAMM, E. A avaliação através da observação do comportamento do aluno. 1986. 2v.

300 p. Tese (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Federal da

Bahia, Salvador,1986.

TRAMM, E. A bola de futebol como um importante aliado na aquisição de novos

conhecimentos. In: Ponte, J et all. (Org) Actividades de Investigação na Aprendizagem da

Matemática e na Formação de Professores. Lisboa, Portugal. Editor: Secção de Educação e

Matemática da Sociedade Portuguesa de Ciências de Educação ( SPCE) e Fundação Calouste

Gulbenkian. 2002

TRAMM, Elda. O prazer da Geometria. 1º lugar nas comemorações do Ano Mundial da

Matemática (AMM 2000). Disponível em http://www.faced.ufba.br/~dept02/

professores / elda / e_tra mm.htm . Acesso em 18/05/2008.

VELOSO, E. Geometria: temas actuais. Materiais para professores. Lisboa: Instituto de

Inovação Educacional (IIE). Lisboa. 1998.

APÊNDICES

APÊNDICE 1

PLANO DE ACTIVIDADES PARA O 4º ANO

Objectivo: descobrir regularidades/padrões na bola de futebol

Actividade 1 - VAMOS BRINCAR COM A BOLA?

Proposta de trabalho:

Que tal construir uma bola de futebol?

Vamos planejar juntos?

Vamos pensar junto o que precisamos para construir a bola de futebol.

O que você observa na bola de futebol?

Com a bola de futebol em mãos, passamos a observar e registrar na ficha de trabalho o

que foi observado.

Ficha de trabalho nº. 01.

1. Observa a bola de futebol e registra as tuas descobertas

_________________________________________________

_________________________________________________

2. Investiga se existe alguma regularidade (algum padrão) na bola de futebol. Se

sim, explicita-a.

______________________________________________________

______________________________________________________

Agora fala com os teus colegas sobre as actividades que realizaste .

Ficha de trabalho nº. 02.

Tarefa de casa (Organização dos dados )

Organiza os dados da tua investigação

•         O elemento comum (regular) na bola de futebol é

_______________________________________________________________

•         Justifica

____________________________________________________________________________

_______________________________________________________

As figuras planas (polígonos) utilizadas são:

_______________________________________________________________

Na tua opinião, quantos hexágonos e quantos pentágonos são utilizados na construção

da Bola de Futebol?

______________________________________________________________

Na tua opinião, porquê na construção da Bola de Futebol foram utilizados hexágonos e

pentágonos?

______________________________________________________________

Fala com os teus colegas sobre as actividades que realizaste.

Amanhã, trazes um texto que relate a sua experiência ao realizar esta atividade.

APÊNDICE 2

PLANO DE ACTIVIDADES PARA O 4º ANO

Objectivo: Preencher a tabela com os dados dos poliedros construídos

Analisar a tabela de registro dos poliedros pesquisados.

Atividade 1:

Observa a tua tabela, e registra as suas observações

Atividade 2:

Constrói um poliedro (sólido com muitas faces planas) a partir do triângulo.

Dá um nome à tua figura.

Quantos canudos usaste?

Anota na tua folha de registo o nome da tua figura, o n.º de: canudos que

utilizaste (ARESTAS) , o nº de triângulos (FACES) e o nº de bicos (VÉRTICES).

Quantas figuras você encontrou?

Atividade 3:

Repete a atividade 2 utilizando só quadrados.

Repete a atividade 2 utilizando só pentágonos.

Repete a atividade 2 utilizando só hexágonos.O que você conclui?

- Os poliedros têm que ficar fechados.

- Os poliedros não podem ter arestas duplas.

- A lã (ou fio de nylon) passa por dentro dos canudos as vezes necessárias.

- Podes dar nós com a lã (o fio de nylon).

Parabéns! Terminaste a tua actividade.

Agora fala com os teus colegas sobre as actividades que realizaste.

Amanhã, trazes um texto que relate a sua experiência ao realizar esta atividade.

REGRAS

Vamos brincar com canudos?

APÊNDICE 3

PLANO DE ACTIVIDADES PARA O 4º ANO

Objectivo: Registrar os Poliedros construídos.

Actividade 1 -

Ficha de registro/Tabela

Polígonos com..lados Nome/ Poliedros

Elementos do poliedro(quantidade)

polígonosF

(faces)

CanudosA

(arestas)

BicosV

(vértices)3 LADOS IGUAIS/

TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS

Parabéns! Terminaste a tua actividade.

Agora analisa, com os colegas, a tua tabela e constrói a bola de futebol.