resumo de mat - pre-vestibular (elite) 15 págs

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AFA 2011/2012 – RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA

1

APOSTILA DE REVISÃO MATEMÁTICA – FRENTE 1

CONJUNTOS

1 - Noções Básicas Conjunto: é uma coleção de elementos.

a) vazio: não possui elementos b) unitário: possui um único elemento c) universo: conjunto que possui todos os elementos

Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A Ax∈⇒ . Caso contrário, Ax∉ . Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, BA ⊂ (A está contido em B). Operações com conjuntos:

a) união: }BxouAx,x{BA ∈∈=∪

b) intersecção: }BxeAx,x{BA ∈∈=∩

c) diferença: }BxeAx,x{BA ∉∈=− Complementar: se BA ⊂ então o complementar de A com relação à B é o conjunto ABCB

A −= . O número de elementos da união de dois conjuntos pode ser obtido pela seguinte relação: )BA(n)B(n)A(n)BA(n ∩−+=∪ Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos. 2 – Conjuntos Numéricos Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...} Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Números racionais: Q = {a/b, com a,b ∈ Z e b ≠ 0} Obs: o conjunto dos números racionais é formado por todas as frações e por dízimas periódicas. Números irracionais: são todos os números que não podem ser escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I. Obs: todas as dízimas não-periódicas são irracionais. Números reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}.

TEORIA BÁSICA DE FUNÇÕES Definição: dados dois conjuntos A e B, uma relação f: A→B é chamada função quando associa a cada elemento de A um único elemento de B. O domínio de f é o conjunto A, o contra-domínio de f é o conjunto B e a imagem de f é o subconjunto de B formado por todos os elementos que estão em correspondência com os elementos de A. Classificações a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomínio. b) injetora: se x1,x2 ∈A, com x1≠x2, então f(x1)≠f(x2). c) bijetora: função injetora e sobrejetora d) função par: f(x) = f(-x) e) função ímpar: f(x) = -f(-x) obs: existem funções que não são nem pares nem ímpares. Função composta: chama-se função composta, ou função de uma função, à função obtida substituindo-se a variável independente x por uma outra função.

Função inversa: se f:A→B é uma função bijetora, então existe uma função f-1:B→A tal que se f(x)=y ⇒ f-1(y)=x. Obs: para determinar a função inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se x por y e y por x na expressão. Isolando-se y obtemos então a expressão da função inversa de f. Exemplo:Sendo f(x) 3x 6= + e = −g(x) log(x) 1encontre as inversas.

1

y 3x 6x 3y 63y x 6

1y x 23

1f (x) x 23

−

= += += −

= −

= −

x 1

1 x 1

y log(x) 1x log(y) 1log(y) x 1y 10g (x) 10

+

− +

= −= −

= +

=

=

Função composta com a inversa: se f é uma função inversível então

1f f (x) x.− =



2

FUNÇÕES E EQUAÇÕES 1- Função do 1o grau Definição: f(x) = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico sempre é uma reta.

Função decrescente

Função crescente

Zero da função do 1o grau: valores onde f(x) = 0.

abx0bax −

=⇒=+

2- Função do 2o grau Definição: 2f(x) ax bx c= + + , com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola.

Zeros da função do 2o grau: ax2+bx+c=0

a.2bx

c.a.4b2

Δ±−=

−=Δ

Aqui, temos: a) se ∆>0: duas raízes reais (o gráfico de f corta o eixo x em dois pontos distintos). b) se ∆=0: uma raiz real (o gráfico de f tangencia o eixo x) c) se ∆<0: duas raízes complexas conjugadas (o gráfico de f não passa pelo eixo x).

Vértice: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ−−a4

;a2b

Função biquadrada: 4 2 2f(x) ax bx c f(x) ay by c= + + ⇒ = + + | 2y x= 3- Função modular Definição: 2f(x) x x= =

⎩⎨⎧

<−≥

=0xx

0xxxf

,,

)(

Equação modular: uma equação modular é uma equação do tipo )x(g)x(f = , onde f(x) e g(x) são funções. Para resolver tais equações

devemos estudar o sinal de f e aplicar a definição de módulo: ≥⎧

= ⎨− <⎩

f(x), quando f(x) 0f(x)

f(x), quando f(x) 0

= ≥⎧= ⇒ ⎨

− = <⎩

f(x) g(x), quando f(x) 0f(x) g(x)

f(x) g(x), quando f(x) 0

Inequação modular: sendo a 0≥ : f(x) a a f(x) a< ⇔ − < <

f(x) a f(x) a> ⇔ < − ou f(x) a>

4- Função exponencial Definição: f(x) = ax, onde a é constante positiva. a) a > 1

f é crescente x2>x1 ⇒ y2>y1 Imagem = IR+

b) 0<a<1

f é decrescente x2>x1 ⇒ y2<y1 Imagem = IR+

Equação exponencial: são equações que possuem termos com expoentes. Observe que a equação ax = 0 não tem solução, isto é, a função exponencial não possui raiz. xa 0> x∀ ∈ 5- Função logaritmo Logaritmo: se a > 0, a ≠ 1 e b > 0 então baxblog x

a =⇔= .

Conseqüência lógica: = =alog b baa log a b

Definição: f(x) = loga x. a) a>1:

f é crescente Imagem = IR Domínio = IR+

b) 0<a<1:

f é decrescente Imagem = IR Domínio = IR+

Propriedades dos logaritmos

1) = +a a alog (b.c) log b log c 4) alogblog

blogc

ca =

2) nm

aa

mlog b .log bn

= 5) a alog b log c b c= ⇔ =

3) ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

a a ablog log b log cc

Quantidade de algarismos: tomando-se um número aleatório b com n algarismos, temos que: 10n-1 ≤ b < 10n log(10n-1) ≤ log(b) < log(10n) n - 1 ≤ log(b) < n n ≤ log(b) + 1 < n + 1 Assim, sendo c a parte inteira do log(b): n = c + 1. Equação logarítmica: equação do tipo )x(g)x(floga = . Deve ser resolvida a partir das propriedades de logaritmos. Observação: resolver uma equação é o mesmo que encontrar os zeros de uma função. Normalmente, as equações são mistas, ou seja, são misturas de várias funções diferentes, o que torna difícil montar um modo de resolução específico para cada equação.



3

INEQUAÇÕES

Inequação do 2º grau: 2f(x) ax bx c= + + , com a ≠ 0

a < 0 f(x) < 0, x∀ ∈ ∆ < 0 a > 0 f(x) > 0, x∀ ∈ a < 0 f(x) ≤ 0, x∀ ∈ ∆ = 0 a > 0 f(x) ≥ 0, x∀ ∈

f(x) < 0, x∀ ∈ 1[ ,x ]−∞ U 2[x , ]+∞ a < 0

f(x) > 0, x∀ ∈ [x1,x2] f(x) > 0, x∀ ∈ 1[ ,x ]−∞ U 2[x , ]+∞

∆ > 0 a > 0

f(x) < 0, x∀ ∈ [x1,x2]

Δ < 0

a > 0

a < 0 +

_

+ +

Δ = 0

_

a > 0 a > 0

_

a < 0

a > 0

_

+ + +

Δ > 0

x1 x2 x1 x2 _ _

Obs: generalizando para uma equação polinomial de grau n, ao percorremos os valores possíveis de x, temos que em toda raiz de multiplicidade ímpar há alteração do sinal da função, enquanto em raízes de multiplicidade par não há alteração do sinal. Inequação modular: se a<0: f(x) a> x∀ ∈

se a 0≥ : f(x) a a f(x) a< ⇔ − < <

f(x) a f(x) a> ⇔ < − ou f(x) a>

Inequações produto e quociente: são inequações que envolvem o produto e/ou quociente de funções. É preciso montar um quadro de estudo de sinais das funções envolvidas. Ex: Sejam 1 2 3 4a,b,c,x ,x ,x ,x ;∈ a,b > 0; c 0;< 1 2 3 4x x x x ;< < <

1f(x) a.(x x )= − , 2 3g(x) b.(x x ).(x x )= − − , 1 4h(x) c.(x x ).(x x )= − − e

f(x).g(x)q(x)h(x)

=

- - - - - - - -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - -

x1

x1

x2 x3

x4

f ( x )

g(x )

h(x )

f ( x ).g(x )q(x )h(x )

=

- - - - - - - -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - + + + + + + - - - - - -x1 x2 x3 x4

Pelo quadro de sinais acima, sabemos que:

• 1 1 2x ( ,x ) (x ,x ) q(x) 0∈ −∞ ⇔ >∪ • 3 4x (x ,x ) q(x) 0∈ ⇔ < • 2 3x {x ,x } q(x) 0∈ ⇔ = • q(x) não está definida em x1 e x4

Inequações exponenciais e logarítmicas: se a > 1: x na a x n> ⇔ >

> ⇔ > >a alog f(x) log g(x) f(x) g(x) 0 k

alog f(x) k f(x) a> ⇔ > e kalog f(x) k 0 f(x) a< ⇔ < <

se 0 < a < 1: x na a x n> ⇔ <

a alog f(x) log g(x) 0 f(x) g(x)> ⇔ < < k

alog f(x) k 0 f(x) a> ⇔ < < e kalog f(x) k f(x) a< ⇔ >

SEQÜÊNCIAS

1- Progressão aritmética Definição: seqüência na qual a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. Termo geral: r).1n(aa 1n −+=

Soma dos n primeiros termos: 2

n).aa(S n1n

+=

2- Progressão geométrica Definição: seqüência na qual o quociente entre dois termos consecutivos é sempre constante. Termo geral: 1n

1n qaa −=

Soma dos n primeiros termos: q1

)q1(aS

n1

n −−

=

Soma de uma PG infinita: 1aS1 q

=−

, onde, |q| < 1

Dica: representar os termos de uma PA como ..., x r,x,x r− + ,... ou

..., rx2

− , rx2

+ ,... e de uma PG como ..., x ,x,xqq

,... ou

..., 2

x. qq

x. qq

, x. q , x. q.q ,... pode facilitar a resolução de questões

de geometria e polinômios onde alguns dados formam seqüências. Somatório e Produtório:

n

i 1 2 3 ni 1

a a a a ... a=

= + + + +∑ n

i 1 2 3 ni 1

a a .a .a .....a=

=∏



4

MATRIZES Definição: Uma matriz m x n é uma tabela de m.n números dispostos em m linhas e n colunas. Se m = n, a matriz é dita matriz quadrada de ordem n. Um elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna é indicado por ija . Assim, uma matriz m x nA é apresentada como:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemplo: As matrizes A, B e C abaixo têm tamanhos respectivamente, 3 x 2, 3 x 1 e 1 x 4.

4 0500!37

1A

i π

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 2

1523B

e

⎛ ⎞⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 32 1 17 2 6

2C i

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Matriz Transposta: Dada uma matriz A, de tamanho m x n, definimos a matriz transposta de A, representada por AT, como a matriz de tamanho n x m, obtida de A transformando suas m linhas em colunas, ou de modo equivalente, suas n colunas em linhas.

Exemplo: 4 0

4 137500!37 0 500!1

T iA A

iπ

π

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟

= ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

Igualdade entre matrizes: Duas matrizes são iguais quando têm o mesmo número de linhas, o mesmo número de colunas, e seus termos correspondentes são iguais. Assim:

m x n p x q

m = np = q

, ,ij ij

A Ba b i j

⎧⎪

= ⇔ ⎨⎪ = ∀⎩

Exemplo: As matrizes P e Q abaixo, ambas quadradas de ordem 3, são iguais para todo valor real de x.

2 2

3

11 cos2

3! |1 2 | 11 52 | 5 |

2x

sen x x

P

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟

−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

e

0 192 log 3 1

6 2 1 458 2 5x

Q tg

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − °⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Adição de matrizes: Dadas duas matrizes A e B, de mesmo tamanho m x n, definimos a soma A B+ como sendo outra matriz, também de tamanho m x n, cujos termos são a soma dos termos correspondentes das matrizes A e B. Assim:

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

n n

n n

m m mn m m mn

a a a b b ba a a b b b

A B

a a a b b b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

+ + +⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Exemplo: Sejam 1

2 5A

π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

,7 5

4 20B

π−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.Então,

8 5

6 3 5A B

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Multiplicação de uma matriz por um número: Dados um número λ e uma matriz A, de tamanho m x n, definimos o produto λ.A como sendo outra matriz, também de tamanho m x n, onde cada termo é o produto do número λ pelo elemento correspondente da matriz A. Assim:

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

n n

n n

m m mn m m mn

a a a a a aa a a a a a

A A

a a a a a a

λ λ λλ λ λ

λ

λ λ λ

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇒ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Em particular, a matriz (–1).A é dita matriz oposta a A e representada por – A.

Exemplo: Se 1

2 5A

π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, então 4 4

48 4 5

Aπ⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ e a matriz

oposta a A é a matriz 1

2 5A

π− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Produto de duas matrizes: Dadas duas matrizes A e B, sendo A de tamanho m x n, e B de tamanho n x p (ou seja, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B), definimos o produto A.B como sendo uma matriz de tamanho m x p (ou seja, com o número de linhas de A e o número de colunas de B), onde cada elemento do produto C = A.B é dado por:

1 1 2 21

n

ij ik kj i j i j in njk

c a b a b a b a b=

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅∑

Em outras palavras, o elemento da matriz produto C, na i-ésima linha e na j-ésima coluna, é obtido multiplicando-se os elementos correspondentes na i-ésima linha da matriz A e na j-ésima coluna da matriz B, e depois somando esses n produtos.

Exemplo: Se 2 03 21 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

e 7 32 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, então:

2 0 2 7 0 2 2 ( 3) 0 17 3

3 2 3 7 ( 2) 2 3 ( 3) ( 2) 12 1

1 4 ( 1) 7 4 2 ( 1) ( 3) 4 1A B

⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = − ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14 617 111 7

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Por outro lado, o produto B A⋅ não está definido, uma vez que o número de colunas de B não é igual ao número de linhas de A.

Matriz Nula: A matriz nula de tamanho m x n é a matriz que tem zeros em todas as suas entradas.

Exemplo: A matriz nula 2 x 3 é 0 0 00 0 0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Matriz Identidade: A matriz identidade de ordem n é a matriz quadrada n x n que tem o número um em sua diagonal principal e zero em todas as outras entradas.

Exemplo: A matriz identidade de ordem 3 é 1 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Matriz Inversa: Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, admite inversa, ou é inversível, quando existe uma outra matriz B, também quadrada de ordem n, tal que nA B B A I⋅ = ⋅ = , onde In denota a matriz identidade de ordem n. Quando tal matriz B existe, ela é dita matriz inversa de A e denotada por B = A–1.

Exemplo: As matrizes

1 3 02 23 1 0

2 20 0 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A e

1 3 02 2

3 1 02 2

10 03

B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

são inversas uma da outra, pois 3

1 0 00 1 00 0 1

A B B A I⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.



5

DETERMINANTES Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante Dij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij.

Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j .Dij.

Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem n≥2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Cálculo do determinante para ordens 1 e 2 ( )

bcaddcba

Adcba

A

aaAaA

−==⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

==⇒=

det

det

Cálculo do determinante para ordem 3 (Regra de Sarrus) I - Repetem-se as duas primeiras colunas (ou linhas); II - Multiplicam-se os elementos com direções iguais à da diagonal principal, atribuindo a estes produtos sinais positivos; III - Multiplicam-se os elementos com direções iguais à da diagonal secundária, atribuindo a estes produtos sinais negativos; IV - A soma algébrica de todos os produtos obtidos corresponde ao determinante procurado.

A =

a b cd e fg h i

a b cd e fg h i

adg

beh

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⇒;

− − − + + + ⇒ det A = aei + bfg + cdh - bdi - afh - ceg

Propriedades 1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.

2) det(A) = det(At).

3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo.

4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais é nulo.

6) det(A-1) = 1/det A.

7) det(A.B) = det A.det B

8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então det(k.A) = kn. det A

Existência da matriz inversa: Uma matriz A possui inversa se e somente se tem determinante não-nulo.

SISTEMAS LINEARES

Sistemas lineares: são sistemas de equações onde o maior expoente é 1:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...

......

2211

22222121

11212111

A solução de um sistema linear é uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz as m equações acima.

Forma matricial

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

...

...

...

Sistema Homogêneo: o sistema é chamado homogêneo quando b1=b2=...=bn=0.

Classificação de sistemas lineares a) possível e determinado: só possui 1 solução; b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções; c) impossível: não possui soluções. Obs: se m≠n, o sistema jamais será possível e determinado.

Sistema de Cramer (ou Normal) É todo aquele em que a matriz incompleta dos coeficientes A’ é quadrada (m = n) e também det A’ ≠ 0 (D ≠ 0) Regra de Cramer: Todo sistema normal é possível admitindo uma e só uma solução,

dada por: DDi

i =α , onde Di é o determinante da matriz obtida pela

substituição da i-ésima coluna pela coluna dos termos constantes. Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjunto-solução.

Propriedades: 1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente; 2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número real K≠0 obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Escalonamento: método para resolver sistemas lineares de qualquer ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Exemplo de sistema escalonado possível e determinado: a x a x ... a x b a x ... a x b ................................ a x b

11 1 12 2 1n n 1

22 2 2n n 2

mn n n

+ + + =+ + =

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

em que aii ≠ 0 , ∀i , 1 ≤ i ≤ n Observa-se que a matriz incompleta A’ é tal que:

det A’ = det

a a ... a 0 a ... a ......................... 0 0 ... a

11 12 1n

22 2n

mn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

= ≠a a ann11 22 0. .....

Logo o sistema é normal e pela regra de Cramer, (S) é possível e determinado.



6


MATEMÁTICA BÁSICA 1- Potenciação

Definição: seja n um número inteiro diferente de zero. Assim, dado um número real a, temos

vezesn

n a...aaa ×××= .

Propriedades 1) se 1a0a 0 =⇒≠

2) nn

a1a =−

3) nnn b.a)b.a( =

4) n

nn

ba

ba

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

5) mnmn aa.a +=

6) mnm

na

aa −=

7) m.nmn a)a( =

2- Radiciação

Definição: radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, se n é um inteiro tal que n > 1, temos: nn abab =⇒=

Propriedades

1) nn1

aa =

2) n mp.n p.m aa =

3) nnn b.ab.a =

4) nmm n a = a ⋅

Racionalização de denominadores: a racionalização de denominadores consiste em transformar um denominador irracional, indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua fração.

aa

a

a.a

1

a

11)n pn

n pn

n pn

n pn p

−

−

−==

( ) ( ) bab a =

b - a

b a = b ab a

b - a1 =

b- a1 2) 22 −

++

+

+⋅

( ) ( ) bab - a =

b - a

b - a = b - ab - a

b + a1 =

b+ a1 3)

22 −⋅

3- Produtos Notáveis

)baba)(ba(ba

)baba)(ba(ba

bb.a.3b.a.3a)ba(

bb.a.3b.a.3a)ba(

bb.a.2a)ba(

bb.a.2a)ba(

)ba)(ba(ba

2233

2233

32233

32233

222

222

22

+−+=+

++−=−

−+−=−

+++=+

+−=−

++=+

−+=−

4- Aritmética

Teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro pode ser decomposto como produto de seus fatores primos.

Máximo divisor comum: maior número inteiro que divide simultaneamente uma série de números dados. Mínimo múltiplo comum: menor número que é múltiplo simultaneamente de uma série de números dados.

Propriedade: )b;a(mmc).b;a(mdcb.a =

5- Regra de Três

Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção.

KYX=

Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

KY.X =

Regra de três simples direta: uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

ZWK

YX

==ZW.YX

ZW

YX

=⇒=⇒

Regra de três simples inversa: uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais.

D.CKB.A == BC

DAD.CB.A =⇒=

Regra de três composta: regra de três composta é um processo que relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações

Situação Grandeza 1

Grandeza 2 ........... Grandeza

n 1 A1 B1 ........... X1 2 A2 B2 ........... X2

Aqui, temos dois casos: 1) se todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza n, basta resolvermos a proporção:

.....2D.2C.2B.2A.....1D.1C.1B.1A

2X1X=

2) se algumas das grandezas são inversamente proporcionais à grandeza n, basta invertermos a posição dessa grandeza. Suponha, por exemplo, que a grandeza 2 é inversamente proporcional à grandeza n:

.....2D.2C.1B.2A.....1D.1C.2B.1A

2X1X=

6- Matemática financeira Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t é o tempo, C é o capital aplicado e M é o montante final (capital + juros).

Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros.

jCt.i.cCMt.i.Cj

+=+==

Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao capital, proporcionando juros sobre juros.

CMj)i1.(CM t

−=+=

BINÔMIO DE NEWTON Fatorial: Define-se o fatorial de um número natural n de maneira recursiva:

0! 1! ( 1)!, 1n n n n=⎧

⎨ = ⋅ − ≥⎩

Assim, ! ( 1) 3 2 1n n n= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Exemplo: 5! 5 4 3 2 1 120= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .

Número binomial: Dados dois números naturais n e k, definimos o

número binomial ! , se

!( )!0, se

n n knk n k

kn k

⎧ ≥⎛ ⎞ ⎪ −= ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ <⎩

Exemplo: 3

05⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

e 4 4! 62 2!(4 2)!⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Propriedade: 0 oun n

k p k p nk p⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ≠ ⇒ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



7

Triângulo de Pascal: Colocando-se os números binomiais não-nulos de maneira organizada, segundo a qual os binomiais de mesmo termo superior estão na mesma linha, e os binomiais de mesmo termo inferior estão na mesma coluna, formamos o triângulo de Pascal.

146411331

12111

1

Relação de Stifel: Se somarmos dois termos consecutivos numa mesma linha do triângulo de Pascal, o resultado dessa adição é o número binomial imediatamente abaixo da segunda parcela, ou seja,

11 1

n n np p p

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Esta relação nos dá um método extremamente rápido e eficiente para construir o triângulo de Pascal até a linha desejada.

Propriedade: A soma dos elementos da n-ésima linha do triângulo é igual a 2n, ou seja, vale a identidade:

02

0 1

nn

k

n n n nk n=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

Binômios de Newton: são todas as potências da forma ( )na b+ , com n natural.

0( )

nn n k k

k

na b a b

k−

=

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Exemplo: 3 3 0 2 1 1 2 0 33 3 3 3( )

0 0 0 0a b a b a b a b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2 2 33 3a a b ab b+ + +

Termo geral do binômio: 1n k k

k

nT a b

k−

+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemplo: Se queremos o terceiro termo do desenvolvimento de 4( )a b+ , fazemos k = 2 nessa fórmula para obter

4 2 2 2 23

46

2T a b a b−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

ANÁLISE COMBINATÓRIA Permutações:

!nP n=

Exemplo: O número de anagramas da palavra UNICAMP é 7! = 5040.

Permutações circulares: ( 1)!nP n= −

Exemplo: O número de maneiras distintas de dispor sete pessoas numa mesa circular é (7 – 1)! = 720

Permutações com elementos repetidos: , , !

! !a b

nnP

a b=

Exemplo: O número de anagramas da palavra MACACA é: 3,2

66! 60

3!2!P = =

Arranjos: Faz distinção tanto em relação à ordem quanto em relação à natureza dos elementos do conjunto.

,!

( )!n knA

n k=

−

Exemplo: A quantidade de números de três algarismos que podemos

formar com os elementos do conjunto {1, 3, 5, 7, 9} é 5! 60

(5 3)!=

−

Combinações: Faz distinção apenas em relação à natureza dos elementos, mas não leva em conta a ordem em que os mesmos são dispostos no problema.

,!

!( )!n k

n nCk k n k⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Exemplo: O número de maneiras de escolher 2 alunos dentre os 40

presentes em uma sala de aula é dado por 40

7802

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

PROBABILIDADE

Definição: A probabilidade de um evento E ocorrer é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

( ) F

P

Np EN

=

Como 0 F PN N≤ ≤ , temos que 0 ( ) 1p E≤ ≤ .

Exemplo: Ao lançarmos um dado com seis faces, vamos denotar os seguintes eventos: A – sair o número 2; B – sair um número ímpar; C – sair o número 7; D – sair um número menor que 10.

Então: 1( )6

p A = , 1( )2

p B = , ( ) 0p C = e ( ) 1p D =

Evento União: A probabilidade do evento união de dois eventos, A e B, é dada por ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B∪ = + − ∩ .

A B

S

Quando ( ) 0p A B∩ = , temos que ( ) ( ) ( )p A B p A p B∪ = + , e nesse caso dizemos que os eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos.

Exemplo: No lançamento de um dado de seis faces, seja A o evento “número primo” e B o evento “número par”. Temos que {2,3,5}A = e

{2,4,6}B = , de modo que {2}A B∩ = . Assim, a probabilidade do

evento união é 1 1 1 5( ) ( ) ( ) ( )2 2 6 6

p A B p A p B p A B∪ = + − ∩ = + − = .

Probabilidade do Evento Complementar: Se um evento E tem probabilidade ( )p E de ocorrer, então seu evento complementar, denotado por CE , ocorre com probabilidade ( ) 1 ( )Cp E p E= − .

Exemplo: Refazendo o exemplo anterior de outro modo, considere o evento E em que o número que sai no dado não é nem primo nem par. Temos que {1}E = , e CA B E∪ = , logo:

1 5( ) ( ) 1 ( ) 16 6

Cp A B p E p E∪ = = − = − =

Probabilidade Condicional: É a probabilidade de ocorrer um certo evento A, sabendo já ter ocorrido um outro evento B, ou seja, é a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que ocorreu B.



8

Essa probabilidade é denotada por ( | )p A B , e vale: ( )( | )

( )p A Bp A B

p B∩

=

Exemplo: Ao lançarmos um dado de seis faces, a probabilidade de obtermos o número 2 (evento A), sabendo que saiu um número par (evento B) é:

1( ) 16( | ) 1( ) 3

2

p A Bp A Bp B∩

= = = .

Olhando esse resultado sob outro aspecto, isso quer dizer que se já sabemos que saiu um número par, nosso espaço amostral não mais é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mas sim o conjunto B = {2, 4, 6}, ou seja, o espaço amostral foi reduzido, e a probabilidade condicional nos indica a chance de obter a face com o número 2 não mais no espaço todo, mas no novo espaço amostral B.

Exemplo: Tenho três moedas honestas e uma moeda com duas caras. Sorteio, ao acaso, uma dessas quatro moedas e verifico que o resultado é cara. Qual a probabilidade de eu ter sorteado uma das moedas honestas? Chamemos de A o evento sortear uma moeda honesta, e B o evento obter cara no lançamento de uma das moedas. Então:

3 1( ) 34 2( | ) 3 1 1( ) 51

4 2 4

p A Bp A Bp B

⋅∩= = =

⋅ + ⋅

Independência de Eventos: Quando o evento A independe da ocorrência do evento B, dizemos que A e B são eventos independentes. Nesse caso, temos ( | ) ( )p A B p A= , e portanto

( ) ( ) ( )p A B p A p B∩ = ⋅ .

Ensaios de Bernoulli: Se um evento E tem probabilidade p de acontecer num determinado experimento, então ao realizarmos n experimentos idênticos, todos nas mesmas condições, a probabilidade de que o evento E ocorra exatamente k vezes é dada por:

(1 )k n knp p

k−⎛ ⎞

⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemplo: Ao lançar um dado de seis faces três vezes seguidas, a probabilidade de que o número 6 saia exatamente uma vez é dada por

1 23 1 5 251 6 6 72⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Exemplo: Ao lançarmos um dado de seis faces três vezes seguidas, a probabilidade de que o número 6 saia pelo menos uma vez pode ser calculada de duas maneiras. A primeira é pensar que o número 6 sai pelo menos uma vez quando ele sai exatamente em uma das três vezes, ou quando ele sai exatamente em duas das três vezes, ou quando ele sai nos três lançamentos. Assim teríamos:

1 2 2 1 3 03 3 31 5 1 5 1 5 911 2 36 6 6 6 6 6 216⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A segunda maneira é pensar no evento complementar. O evento complementar de “sair o número 6 pelo menos uma vez” é o evento “não sair o número 6 nenhuma vez”. A probabilidade deste último é

dada por 0 33 1 5 125

0 6 6 216⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠. Logo, a probabilidade do evento

complementar vale 125 911216 216

− =

GEOMETRIA ANALÍTICA Distância de dois pontos

x

y

Ay

Ax Bx

−B Ax x

−B Ay yBy B

Ad

( ) ( )= − + −2 2

B A B Ad x x y y

( ) ( )= +2 2d x you

Ponto médio

x

y

Ay

Ax Bx

By B

AM

My

Mx

( ) + +⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ,2 2

B A B AM M

x x y yM x y

Equações da reta

( )+ + =

− = −

= +

= +⎧⎪⎨ = +⎪⎩

0.

.A A

A

A

ax by cy y m x xy m x qx x αty y βt

x

y

Ay

Ax Bx

By B

A

θ

q

( ) −= = =

−B A

B A

y y βm tg θx x α

(eq. geral) (eq. reduzida)

(eq. paramétrica)

m: coeficiente angular q: coeficiente linear

Distância de Ponto a Reta

.

( )0 0,P x y( )0r ax by c+ + =

0 0, 2 2P r

ax by cd

a b

+ +=

+

Posição relativa entre retas: - Retas paralelas:

r s// r s

r s

r s

r s m mm m

r sq q

⇔ =

=⎧⎪= ⇔ ⎨=⎪⎩

( ) ( )r s∩ = ∅

( ) ( )r s r s∩ = =

- Retas concorrentes (não perpendiculares)

( ) ( ) { }

( )1 .

r s

r s

r s Pm mtg

m mθ

∩ =

−=

+

rs

θ

- Retas (concorrentes) perpendiculares rs

. ( ) ( ) { }. 1r s

r s Pr s m m

∩ =

⊥ ⇔ = −



9

Área do triângulo y

B

A

C

Ay

Cy

By

Ax Bx Cxx

11 12

1ABC

A A

B B

C C

x yS x y

x y=

Condição de alinhamento de três pontos

A, B e C estão alinhados se, e somente se =11 01

A A

B B

C C

x yx yx y

Área de polígonos (triangularização de polígonos) Dado um polígono P qualquer, uma triangularização de P é uma divisão de P em n triângulos T1, T2, ..., Tn , desde que: - a união de todos os triângulos é igual ao polígono; e - a intersecção deles, dois a dois, seja vazia, uma reta ou um ponto.

= + + + +1 2 3 ...P T T T TnS S S S S Exemplo:

1A

2A3A

4A

5A6A

8A

7A

1T2T

3T

4T

5T

6T

= + + + + +1 2 3 4 5 6P T T T T T TS S S S S S S

Equação Da Circunferência y

Cy

Cxx

r( ) ( )2 2 2

C Cx x y y r− + − =

Obs: uma equação na forma + + + + + =2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F

representa uma circunferência de centro ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

,2 2D EA A

e raio

+ −=

2 2D E 4AFr2A

, desde que = ≠ 0,A C = 0B e + − >2 2D E 4AF 0

CÔNICAS

ELIPSE: Dados dois pontos F1 e F2 distantes 2c. Uma elipse de focos em F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y) cuja soma das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a, com 2a > 2c.

( )−1A a,0 ( )2A a,0( )−1F c,0 ( )2F c,0

( )1B b,0

( )−2B b,0

y

x

a a

O

= +2 2 2a b c

= <ce 1a

O: centro F1, F2: focos A1, A2, B1, B2: vértices A1A2: eixo maior (2a) B1B2: eixo menor (2b) F1F2: distância focal (2c) e: excentricidade

Equações reduzidas – centro em (x0, y0)

- A1A2 // Ox: ( ) ( )− −+ =

2 20 0

2 2

x x y y1

a b

- A1A2 // Oy: ( ) ( )− −+ =

2 20 0

2 2

y y x x1

a b

HIPÉRBOLE: Dados dois pontos F1 e F2 distantes 2c. Uma hipérbole de focos em F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y) cujo módulo da diferença das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a, com 2a<2c.

( )−1A a,0 ( )2A a,0( )−1F c,0 ( )2F c,0

( )1B b,0

( )−2B b,0c

x

y = +2 2 2c a b

= >ce 1a

O

O: centro F1, F2: focos A1, A2: vértices e: excentricidade A1A2: eixo real (2a) B1B2: eixo imaginário ou conjugado (2b) F1F2: distância focal (2c)

Equações reduzidas – centro em (x0, y0)

- A1A2 // Ox: ( ) ( )− −− =

2 20 0

2 2

x x y y1

a b

- A1A2 // Oy: ( ) ( )− −− =

2 20 0

2 2

y y x x1

a b

PARÁBOLA: Dados um ponto F e uma reta d (F∉d). Uma parábola é o conjunto dos pontos P(x,y) eqüidistantes de F e d.

x

y

V

d

( )F p 2,0( )−p 2,0V '

= =

⊥

pV ' V VF 2e d

e

F: foco V: vértice V’F: p – parâmetro e: eixo de simetria

Equações reduzidas – centro em (x0, y0) - e // Ox: ( ) ( )2

0 0y y 2p x x− = −

- e // Oy: ( ) ( )20 0x x 2p y y− = −

RECONHECIMENTO DE UMA CÔNICA Dada uma equação do 2o grau redutível à forma

( ) ( )1

ky-y

kx-x

2

20

1

20 =+

k1 = k2 Circunferência

k1>0, k2>0 e k1>k2 Elipse de eixo maior horizontal

k1>0, k2>0 e k1<k2 Elipse de eixo maior vertical

k1>0 e k2<0 Hipérbole de eixo real horizontal

k1<0 e k2>0 Hipérbole de eixo real vertical

Rotação de eixos As coordenadas de um ponto P(x,y) após a rotação de eixos de um ângulo θ são dadas por (x`,y`) tais que

x = x`.cosθ - y`.senθ y = x`.senθ + y`.cosθ

Interpretação de uma equação do 2o grau Dada a eq. geral do 2o grau:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 é sempre possível eliminar o seu termo retângulo (2Bxy) através de um rotação de eixos de um ângulo θ tal que

A = C θ = π / 4 A ≠ C tg 2θ = 2B/(A – C)



10

NÚMEROS COMPLEXOS Definição: são todos os números na forma z = a + b.i, com a,b ∈ IR e i é a unidade imaginária, com i2 = -1. Também são representados na forma z = (a, b), como um par ordenado de números reais. Obs: se b = 0, o número z é um número real; se a = 0 e b ≠ 0, o número z é chamado imaginário puro. Conjugado: i.baz −=

Módulo: 22 ba|z| += Forma trigonométrica:

)sen.i.(coszz α+α= Obs: o ângulo α é chamado argumento do número complexo, e é medido a partir do eixo real no sentido anti-horário.

0

Im(z)

b P (z a bi)= +

θ a Re(z)

|z|

Forma exponencial: α= ie.zz Operações com números complexos Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i:

21

21

i).db()ca(zzi).db()ca(zz

−+−=−+++=+

22

21

2

1

21

z.zz.z

zz

i)bcad()bdac(zz

=

++−=

dica: use a propriedade distributiva na multiplicação Multiplicação e divisão na forma trigonométrica

)sen.i(coszz

)sen.i(coszz

β+β=

α+α=

22

11

)](sen.i).[cos(z

zzz

)](sen.i).[cos(z.zz.z

β−α+β−α=

β+α+β+α=

2

1

2

1

2121

Potenciação e radiciação: se z = |z|.(cos θ+ i. sen θ) e n é um número inteiro então:

θ+θ= )]n(sen.i)n[cos(zz nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+θ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+θ=

nksen.i

nkcos.zz nn 22

Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo z é resolver a equação rn = z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes. Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equação acima, encontramos, para cada k, uma raiz diferente, formando um polígono regular de n lados no plano de Gauss. Exemplos:

( ) ( )3

3

z 27 27. cos i.sen

2k 2k 2k 2kz 27 cos i.sen 3 cos i.sen3 3 3 3

π π

π π π π π π π π

⎡ ⎤=− = +⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = +⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Com k = 0, 1, 2 Im(z)

-3

23

π

23

π

23

π

3π

Re(z)

[ ]6

6

z 1 1. cos( ) i.sen( )

2k 2kz 1. cos i.sen6 6

k kz cos i.sen6 3 6 3

π π

π π π π

π π π π

=− = +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Com k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Im(z)

Re(z)

3π

3π

3π 3

π

3π

3π

6π

1

-1

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Definição de polinômio: seja n um número natural. Um polinômio de grau n é toda expressão do tipo

nnxaxaxaaxP ++++= ...)( 2

210 , onde os valores a0, a1, ..., an são constantes. Exemplos:

12

23 2

32

42

5

22 3 12 12 24 16

2 22 1

= −

= − +

= − + −

= − +

= − −

P ( x ) x

P ( x ) x xP ( x ) x x x

P ( x ) x x

P ( x ) x ix

Polinômios idênticos: dois polinômios são idênticos quando seus termos correspondentes são iguais.

Exemplo: a

ax bx cx d x x bc d

=⎧⎪+ + + = − ⇔ = −⎨⎪ = =⎩

3 2 3 2

11

0

Polinômio identicamente nulo: um polinômio é identicamente nulo quando P(x) = 0, independente do valor de x. Nesse caso, todos os coeficientes de P são nulos. Exemplo: 10 0 0 0−= + + + =n nP( x ) x x ... Equação polinomial ou algébrica: uma equação algébrica é um polinômio igualado a zero, ou seja:

0...2210 =++++ n

n xaxaxaa . Assim, resolver uma equação algébrica é o mesmo que encontrar as raízes de um polinômio. Teorema fundamental da álgebra: se P(x) é um polinômio de grau n então ele possui n raízes (reais ou complexas), e pode ser fatorado em:

))...()(()( 21 nn rxrxrxaxP −−−= onde r1, ..., rn são as n raízes desse polinômio. Exemplos:

22

3 2 33

12 3 1 2 1 22 12 24 16 2 2

= − + = − −

= − + − = −

P ( x ) x x ( x )( x )

P ( x ) x x x ( x )



11

Teorema das raízes complexas: se P(x) é um polinômio com coeficientes reais e o número complexo a + bi é raiz de P(x) então seu conjugado, a – bi, também é raiz. Exemplo: Relembrando o teorema fundamental da álgebra temos:

( )( ) ( )( )P ( x ) x x x i x i= − + = − + − −24 2 2 1 1

Note que o polinômio P ( x ) x ix= − −25 2 1 admite x i= como raiz, mas

não admite seu conjugado, ( P ( i )− = −5 4 ). O Teorema das raízes complexas só é válido para polinômios com coeficientes reais. Divisão de polinômios: dividir um polinômio P(x) por um polinômio D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) que satisfaçam a condição P(x) = Q(x).D(x) + R(x).

)( R(x)

D(x) )(

xQ

xP

Nota: Sendo n, d, r e q o grau dos polinômios P(x), D(x), R(x) e Q(x), respectivamente. Temos que r d= −1 e n d q= + . Dispositivo prático de Briot-Ruffini: receita de bolo para a divisão de P(x) por (x-a):

..... 1

011

−

−

+ nnn

nn

aaaaaaaaa

Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o esquema acima; Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente; Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o segundo coeficiente; Passo 4: faz-se a mesma coisa com o número obtido no passo anterior, até o último coeficiente; Passo 5: o último número obtido é o resto da divisão, enquanto os outros são os coeficientes do polinômio Q(x). Exemplos: Encontre Q(x) e R(x) da divisão de: a) 3P (x) ( )3 22x 12x 24x 16= − + − por 1P (x) ( )x 2= − .

2 2 -12 24 -16 2 -8 8 0

23 2 2Q(x) 2x 8x 8 2x 12x 24x 16 (2x 8x 8).(x 2) 0

R(x) 0⎫= − + ⎪⇒ − + − = − + − +⎬

= ⎪⎭

b) 4P (x) ( )2x 2x 2= − + por (x 1)−

1 1 -2 2 1 -1 1

2Q(x) x 1

x 2x 2 (x 1).(x 1) 1R(x) 1

= − ⎫⇒ − + = − − +⎬

= ⎭

Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a). De fato, 3P (2) 0= e 4P (1) 1= . Generalizando: Na divisão de P(x) por um polinômio D(x) de grau n podemos obter R(x), de grau n −1, utilizando as raízes de D(x) na equação P( x ) D( x ).Q( x ) R( x )= + . Assim, para o obter os coeficientes

0 1 n-1a ,a ,..., a do polinômio nnR( x ) a a x ... a x −−= + + + 1

0 1 1 basta resolver

o sistema linear:

n n

R( x ) P( x )R( x ) P( x )

R( x ) P( x )

=⎧⎪ =⎪⎨⎪⎪ =⎩

1 1

2 2 onde 1 2 nx ,x ,...,x são raízes de D(x)

Exemplo: Da divisão do polinômio P ( x )3 por ( )2 3 2− +x x , de raízes 1 e 2, temos :

( )23 3 2= − + +P ( x ) x x .Q( x ) R( x )

x P ( ) .Q( ) R( ) a bR( x ) x

x P ( ) .Q( ) R( ) a b= ⇒ = + + = −⎧

⇒ ⇒ = −⎨= ⇒ = + + =⎩3

3

1 1 0 1 1 22 4

2 2 0 2 2 2 0

Teorema das raízes racionais: seja P(x) um polinômio de grau n com coeficientes inteiros. Se P admite uma raiz racional p/q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an. Exemplos: As raízes de 2

2 2 3 1= − +P ( x ) x x são 1/2 e 1, pertencem a

{ }1, 1 2,1 2,1− − . Já em 24 2 2= − +P ( x ) x x , nenhum dos valores

possíveis (-2, -1, 1 e 2) zeram o polinômio, pois suas raízes (1 i,1 i)+ − não são racionais. Relações de Girard a) 2ax bx c 0+ + =

1 2cx .xa

=1 2bx xa

+ = −

b) 3 2ax bx cx d 0+ + + =

1 2 3bx x xa

+ + = − 1 2 1 3 2 3cx .x x .x x .xa

+ + = 1 2 3dx .x .xa

= −

c) n n 1

n n 1 1 Oa x a x ... a x a 0−−+ + + + =

Sendo Sp a soma de todos os possíveis produtos das n raízes p a p. n 1

1n

aSa−= − n 2

2n

aSa−= ( )p n p

pn

aS 1 .

a−= − ( )n O

nn

aS 1a

= −... ...



12


GEOMETRIA PLANA

Retas paralelas cortadas por uma transversal

a b

c d

f

h

e

g

r

s

t

//a d e h

r sb c f g= = =⎧

⇒ ⎨ = = =⎩

Teorema de Tales

2 3 1 31 2

1 2 2 3 1 3

A A A AA AkB B B B B B

= = =

ba

3r

2r

1r

2B

3B

1B1A

2A

3A

1 2 3r // r // r

k: constante de proporcionalidade

Ângulos na circunferência

α β

φ

A

B

D

C

θ2

2

2

AB

AB

AB CD

AB CD

β

α γ

θ

ϕ

=

= =

-=

+=

ϕ

α: ângulo inscrito β: ângulo central Φ: ângulo do segmento θ: ângulo excêntrico externo φ: ângulo excêntrico interno Potência de pontos

G

F

ED

C

B

A

H

2

AB AC

AB AD.AE

=

=

AD.AE AF.AG

HC.HG HD.HE

=

= Polígonos Soma dos ângulos internos: aiS 180º.(n 2)= −

Soma dos ângulos externos: aeS 360º= (polígonos convexos)

Número de diagonais: n(n 3)nd2−

=

Ângulos internos de um polígono regular: ai 180º.(n 2) n= − Obs: Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.

Triângulo Pontos notáveis

- Ortocentro(O): encontro das alturas(h).

A

CAH

BHCH

AhBh Ch

O•

a

bc.

.

.B

- Incentro(I): encontro das bissetrizes(b) e centro do círculo inscrita no triângulo

.

.

.

A

B C

•

c b

a

Ab

Bb CbI

- Circuncentro(Ci): encontro das mediatrizes(m) e centro do círculo circunscrito ao triângulo

.

.

.

A

C

c b

a

Am

BmCm

Ci•

B

- Baricentro (Ba): encontro das medianas(M) que se dividem na razão 2:1. Também conhecido por centro de gravidade do triângulo.

A

C

c b

aAM

BMCM

B

•Ba

Semelhança de Triângulos 1A

2B1C

1c 1b

1a

1h

2A

2C

1B

2a2b

2c

2h

.

.

Se 1

ˆ ˆA A ,= 1ˆ ˆB B= e 1

ˆ ˆC C= ,então os triângulos ABC e A1B1C1 são

semelhantes de razão 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

a b c h a b ck ...a b c h a b c

+ += = = = = =

+ +

(k: razão entre linha homólogas) Teorema fundamental e Base do triângulo médio

A

CB

PO

A

CB

NM

OP//BC ABC ~ AOP⇒ Δ ΔMN//BCAM MB

BCAN NC MN2

⎧=⎧ ⎪⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩



13

Relações Métricas no Triângulo Retângulo A

C

c b

a

h

B. nm

2 2 2

2

2

2

a b cb a.nc a.mb.c a.hh m.n

⎧ = +⎪

=⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪ =⎩

.

Área do Triângulo

( ) ( ) ( )

( )

a.hS2

a.c.sen(θ)S2

S p. p a . p b . p c

a.b.cS4Ra b c .r

S p.r2

=

=

= − − −

=

+ += =

a b cp2

+ +=

A

C

c b

a

h

B .θ

R

r

Área do triângulo eqüilátero: 23S4

=

Quadriláteros Trapezóide: quadrilátero que não possui lados paralelos. Paralelogramo: quadrilátero que possui lados opostos paralelos.

AB CD,AC BDAB // CD ˆˆ ˆ Â D,B C,A B 180ºAC//BD AM MD,CM MB

= =⎧⎧ ⎪⎪ ⇒ = = + =⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ = =⎩

S b.h=

C D

A B

M

b

h

.

Retângulo: paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes. .

. .

.A B

C D

Mh

b

S b.hˆˆ ˆ Â B C D 90º

AM BM CM DM

=

= = = == = =

Losango: paralelogramo que possui os quatro lados congruentes.

.

.

A B

C D

MDd

M

h MD .dS .h2

AB AC BD CD

AD BC

= =

= = = =

⊥

Quadrado: paralelogramo que possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes (Retângulo e Losango).

. .

. .

.

A B

C D

M

2SAB AC BD CD

ˆˆ ˆ Â B C D 90º

AD BC d 2.AD BC

2AM BM CM DM .2

== = = =

= = = =

= = =⊥

= = = =

Trapézio: quadrilátero que possui um par de lados paralelo.

Escaleno: AD BC≠

Isósceles: ,AD BC= ˆ Â B= e ˆ ˆC D=

Retângulo: ˆ ˆ 90ºA C= = ou ˆ ˆ 90ºB D= =

Base Média:AM MCBM MD

==

⇔// //

2

AB MN CDAB CDMN +

=

A B

C D

M N

Circunferência, círculo e suas partes:

r2.S rπ=

2C rπ=

C: comprimento da circunferência Coroa Circular:

Rr

( )2 2.S R rπ= -

Setor Circular:

L rθ= 2

2r

Sθ

= ou

2. ;360º

S rθ

π= θ em graus

r

rθ L

L: comprimento do arco Áreas de Figuras Semelhantes: Se, em duas figuras semelhantes, a razão entre as linhas homólogas é igual a k, a razão entre as áreas é igual a k2.

TRIGONOMETRIA Trigonometria no triângulo retângulo:

opostocatetosenohipotenusa

= ,

cos cateto adjacentesenohipotenusa

=

oposto

catetotagentecateto adjascente

=

Trigonometria em um triângulo qualquer:

Lei dos Senos

2a b c Rsen A senB senC

∧ ∧ ∧= = =

Lei dos Cossenos

a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A∧

b2 = a2 + c2 – 2ac . cos B∧

c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C∧



14

Principais relações trigonométricas α α+ =2 2cos 1sen

cossentg αα

α= , 1 coscotg

tg senαα

α α= =

1cossecsen

αα

= , 1seccos

αα

=

( ) cos cos .sen sen senα β α β α β± = ⋅ ± ⋅ ( ) cos cos .cos sen senα β α β α β± = ⋅ ⋅∓

( )1

tg tgtgtg tgα βα βα β±

± =⋅∓

2 cos2 2

p q p qsen p senq sen ±⎛ ⎞ ⎛ ⎞± = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∓

2 cos cos2 2

p q p qcos p cosq + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cos cos 22 2

p q p qp q sen sen+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Arcos e Ângulos: Considerando a circunferência abaixo de centro O e raio R e os pontos A e B, temos:

O

B

• A

α

•

•

Rα = .

Ciclo trigonométrico (centro na origem e raio 1):

O •

P

P1

P2

sen(x)

A •

•

A’

B’

B

x

cos(x)

Funções trigonométricas: As funções trigonométricas são todas periódicas. As funções básicas, y=sen(x), y=cos(x), y=sec(x) e y=cosec(x) têm período 2π , enquanto as funções básicas y=tg(x) e y=cotg(x) têm período π . Esboço: y = sen(x)

2π−

23π

2π 2π

23π

− -π

25π

3π 27π

4π

29π

-1

+1 x

x

• •

y

x π •• x •

Esboço: y = cos(x)

2π−

2π

-2π

25π

3π

27π

4π

23π3

2π−

-1

+1 x

x

• •

y

0 x

-π • • •

π 2π

Esboço: y = tg(x)

23π

25π

23π−

2π−

2π

y

• • x • X X XXX-π • 0

π 2π

GEOMETRIA ESPACIAL Prismas Cubo

a

aa

d

=

=

=

=

2L

2T

3

d a 3S 4a

S 6a

V a

SL: área lateral ST: área total V: volume Paralelepípedo reto retângulo

a

bc

d ( )= + +

= +

= + +

=

2 2 2

L

T

d a b cS 2a b cS 2(ab ac bc)V abc

SL: área lateral ST: área total V: volume Prisma qualquer

( )= Lh a .sen θLaLaLa

θ ( )

=

= +

= =

L Base L

T L Base

Base Base L

S P .aS S 2SV S .h S .a .sen θ

SL: área lateral ST: área total V: volume PBase: perímetro da base aL: aresta lateral h: altura θ: ângulo entre aL e Base

Prisma reto: =⎧⎪= ⇒ ⎨ =⎪⎩

L

L Base

h aθ 90º

S P .h



15

Prisma regular: prisma reto, cujas bases são polígonos regulares. Cilindro

gh

θ

R( )

( )

=

= + = +

=

=

L

T L B

2

S 2πRgS S S 2πR R g

V πR hh g.sen θ

( )=⎧⎪= ⇒ = ⇒ ⎨= +⎪⎩

L

T

S 2πRhθ 90º h g

S 2πR R h

cilindro reto:

g: geratriz R: raio da base h: altura θ: ângulo entre geratriz e base Cilindro eqüilátero: =h 2R Piramides

A

aO.

h

= +

=

T B L

B

S S SS .hV

3

Pirâmide regular: = +=

2 2 2

L

A h aS p.A

h: altura O: centro da base A: apótema da pirâmide = altura da face a: apótema da base SB, SL e ST: área da base, lateral e total p: semiperímetro da base Pirâmide regular: a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre a base é o centro da mesma. Tetraedros notáveis

...

Tetraedro tri-retângulo Tetraedro regular

Cone Cone reto

( )

= +=

= +

=

2 2 2

L

T

2

g h RS πRgS πR R g

πR hV3

gh

R.

g: geratriz h: altura R: raio da base Cone qualquer: em um cone não reto ( ou oblíquo) não faz sentido falar em geratriz, temos, portanto, apenas a fórmula do volume.

=2πR hV

3

Esfera

=

=

2E

3E

S 4πr4V πr3

Sólidos semelhantes São sólidos que possuem lados homólogos (correspondentes) proporcionais. A razão de semelhança k entre esses sólidos é a razão entre dois elementos lineares homólogos. Assim:

2 31 1

2 2

A Vh k k kH A V

= = =

Onde: h, A1, V1 – altura, área, volume do menor sólido; H, A2, V2 – altura, área, volume do maior sólido. Relação de Euler: V – A + F = 2

resumo de mat - pre-vestibular (elite) 15 págs

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