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Campinaswww.elitecampinas.com.br Fone: (19) 3232-2713 O ELITE RESOLVE IME 2004 PORTUGUS/INGLS

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ITA 2004 MATEMTICA

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Campinaswww.elitecampinas.com.br Fone: (19) 3232-2713 O ELITE RESOLVE ITA 2004 MATEMTICA

1

9 GABARITO ITA 2004 MATEMTICA 1. Considere as seguintes afirmaes sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. ( ) 10= UneU . II. ( ) 10= UneU . III. { } UeU 55 . IV. { } { } 555,2,1,0 = . Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s) a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmaes. Alternativa C Analisando as afirmaes: I - falsa: a relao de pertencer ocorre entre elementos e conjuntos. A relao de conter ou estar contido ocorre entre dois ou mais conjuntos, portanto, o correto seria U. II - verdadeira: vide afirmativa I. Alm disso, U possui 10 elementos. III - verdadeira: 5 elemento (logo 5 U) e {5} subconjunto de U (logo {5} U) IV - falsa, pois {0, 1, 2, 5} {5} = {5} 2. Seja o conjunto S={rQ:r0 e r22}, sobre o qual so feitas as seguintes afirmaes: I. SeS

57

45 .

II. { } = SxRx 20: . III. S2 . Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s) apenas a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) I. e) II. Alternativa D

I - verdadeira: .S45olog,2

1625

45e

45 2 =

Q

.S57olog,2

2549

57e

57 2 =

Q

II - falsa: existem infinitos nmeros racionais entre 0 e 2 e, sendo o conjunto dos nmeros racionais um subconjunto de R, todos eles pertencem tambm a R, logo a interseco possui um

nmero infinito de elementos. Por exemplo: ,S45 }.2x0:x{

45olog,2

450e

45 RR

III falsa: .S2,2Como Q

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2

3. Seja um nmero real, com 0 < < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os

valores de x tais que .11

222

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3

e) Para x = log25, A no possui inversa. Alternativa A

det A = 5log2)1(2

2

12

x

x x +=2x.(log25-(x2+1)-1)

det A = 2x.(log25-(x2+1)-1). A inversvel se e somente se det A 0. Suponha det A =0: 2x.(log25-(x2+1)-1) = 0 log25-(x2+1)-1 = 0, pois 2x sempre positivo. Assim log25 = 1/(x2+1) (x2 +1) = 1/log25 x2 = log52 1; Como log52 1 < 0, ento conclui-se que x2 < 0. Portanto no existe x real que satisfaa a equao det A = 0, da conclui-se que x R, A possui inversa. 7. Considerando as funes

assinale o valor de

+54arccos

53arcsencos .

a) 256 b)

257 c)

31 d)

52 e)

125

Alternativa B

Seja [ ][ ]

==

==

0,y ;54 y cos

54arccos y

2,2- x;53 sen x

53arcsen x

. Logo: ( )yxcos

54arccos

53arcsencos +=

+

Alm disso, sabe-se que:

===+2516

2591-xcos 1xcosxsen 222

54 x cos =

===+259

25161-ysen 1ycosysen 222

53 y sen =

Como ( ) ysen x sen - y cos x cosyxcos =+ ento ( ) ==+53

53-

54

54yxcos

257

8. Considere um polgono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ngulos internos constituem uma progresso aritmtica de razo igual a 5. Ento, seu maior ngulo mede, em graus, a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160 Alternativa E A soma dos ngulos internos de um polgono Sn = (n - 2) 180o. Para n = 9 temos Sn = 1260o. Sejam a1, a2,..., a9 os ngulos internos do polgono e r a razo da PA. Ento:

[ ] [ ]22-1 1,- :arcsen ,+ e [ ] [ ],01 1,- :arccos + ,

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4

a1 = a5 - 4r a6 = a5 + r a2 = a5 - 3r a7 = a5 + 2r a3 = a5 - 2r a8 = a5 + 3r a4 = a5 - r a9 = a5 + 4r Portanto: a1+ a2 +...+ a9 = 9 a5 = Sn = 1260o a5 = 140o a9 = 140 + 4 5 = 160

9. O termo independente de x no desenvolvimento do binmio 12

33

35

53

xx

xx

a) 729 3 45 b) 972 3 15 c) 891 353 d) 376 3

35 e) 165

3 75

Alternativa E

12

33

35

53

=

xx

xxB

12

61

31

12

3 21

32

35

53

35

53

=

= xxxxB

O termo geral do binmio ser:

6312

3

12

.35.

53.)1(

12iiii

i xi

Ti+

=

Para o termo i ser independente de x, devemos ter o expoente de x igual a zero, ou seja:

063

12 =+ ii 2i - 24 + i = 0 i = 8 ento:

333

3

8

3

4

88

75165753

49533.

925495

925

925.

259.495

35.

53)1(

812

===

==

=T

10. Considere as afirmaes dadas a seguir, em que A uma matriz quadrada nxn , n 2: I. O determinante de A nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula. II. Se A = (aij) tal que aij = 0 para i > j, com i,j = 1,2,, n, ento det A = a11a22ann. III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por 12 + e a segunda por 12 , mantendo-se inalteradas as demais colunas, ento det B = det A. Ento podemos afirmar que (so) verdadeira(s): a) apenas I b) apenas III c) apenas I e II d) apenas II e III e) todas Alternativa D

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5

I falsa. Para que o determinante de uma matriz seja nulo, basta que uma fila (linha ou coluna) seja

combinao linear de outra, o que no requer que a fila seja nula. Por exemplo: 3322

=0

II verdadeira. Basta aplicar o teorema de Laplace ou Chi sucessivamente em cada linha (ou coluna) e chegamos ao valor det A = a11. a22 ... ann. III verdadeira. det B = ( 12 + ).( 12 ). det A = ( ( )22 - 1) det A = 1 det A 11. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360 cm3, e uma pirmide regular cuja base hexagonal est inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirmide o dobro da altura do cilindro e que a rea da base da pirmide de 354 cm2, ento, a rea lateral da pirmide mede, em cm2, a) 42718 b) 42727 c) 42736 d) 3108 e) 42745 Alternativa A

h

h

RRR

Clculo de R: A rea da base da pirmide dada por:

cmRRRAB 6354.2354

43.6 2

2

==== Clculo de h:

Vcil = R2 h = 360 36h = 360 h = 10 cm Seja H a altura da face lateral:

2hH

23R

H2 = (2.10)2 +

2

236

H2 = 400 + 27 = 427 H = 427

rea lateral: 6.(rea de cada face)= 4271824276 = R cm2

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6

12. O conjunto de todos os valores de , g

2

,2 , tais que as solues da equao (em x)

048 244 =+ tgxx so todas reais,

a)

0,3 b)

4,

4 c)

6

,6 d)

3,0 e)

3,

12

Alternativa D

Seja Int =

2

,2

x4 4 48 x2 + tg = 0 (I) fazendo y = x2 tem-se y2 4 48 y + tg = 0 y =

2tg448484 48 - 4tg 0 tg 3 .

Portanto, para que todas as solues de (I) sejam reais necessrio que y1 0 e y2 0 e tg 3 (II) (Pois x = y ) (i) y1 0 0tg448484 + que verdade Int tal que tg 3 (Pois 2m = |m| 0, por definio) (ii) y2 0 0tg448484 4 48tg4480 < ( )242 48448 tg 48tg448 tg 0 (III) Portanto, de (II) e (III) temos que as solues da equao (I) (em x) so todas reais quando

0 tg 3 0 3 , pois

2,

2, ou seja,

3,0

13. Sejam as funes f e g definidas em R por f(x) = x2 + x e g(x) = -(x2 + x), em que e so nmeros reais. Considere que estas funes so tais que

f g Valor mnimo Ponto de mnimo Valor mximo Ponto de mximo

-1 < 0 49 > 0

Ento, a soma de todos os valores de x para os quais (fog)(x)=0 igual a a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 Alternativa D f(x) = x2 + x

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7

Valor mnimo de f = ( ) -14

-4

014--4a-

22

=== 2 42 == (I) Ponto mnimo de f < 0 00

2- > 0 00

2- (IV)

De (III) e (IV): -3= g(x) = -x2 + 3x (fog)(x) = f(g(x)) = (-x2+3x)2 + 2(-x2+3x) = 0 x4 6x3 + 9x2 2x2 + 6x = 0 x4 6x3 + 7x2 + 6x = 0

Soma das razes = ( ) 616-- =

14. Considere todos os nmeros z = x + iy que tm mdulo 27 e esto na elipse x2 + 4y2 = 4. Ento, o

produto deles igual a

a) 925 b)

1649 c)

2581 d )

725 e) 4

Alternativa B

27

2

1

Re

Im

z = x + iy 22 yxz += , mas 27z = logo 4

7yx 22 =+ Como os pontos devem estar sobre a elipse, obtemos o seguinte sistema:

=+=+

4y4x47yx

22

22

49

4716y3 2 ==

43y2 =

23y = 1

43

47x2 == x = 1

Logo, iziziziz231;

231;

231;

231 4321 =+==+=

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8

O produto z1, z2 . z3 , z4 vale: 1649

431

431 =

+

+

15. Para algum nmero real r, o polinmio 8x3 4x2 42x + 45 divisvel por (x r)2. Qual dos nmeros abaixo mais est prximo de r? a) 1,62 b) 1,52 c) 1,42 d) 1,32 e) 1,22 Alternativa B 1 SOLUO: p(x) 8x3 - 4x2 - 42x + 45 p(x) 8x3 + 20x2 - 24x2 - 60x + 18x + 45 p(x) 4x2 (2x + 5) - 12x(2x + 5) + 9 (2x + 5) p(x) (2x + 5) . (4x2 - 12x + 9) p(x) (2x + 5) . (2x - 3)2 Assim, as razes do polinmio so

25 (raiz simples) e

23

(raiz dupla) logo 5,123r ==

2 SOLUO: Como p(x) = 8x3 4x2 42x + 45 divisvel por (x r)2 ento r raiz de p(x) e de p(x). Mas p(x) = 24x2 8x 42. Fazendo p(x) = 0:

24x2 -8x 42 = 0 12x2 4x 21 = 0 x = 67- xou

23 =

como p

23

= 0 e p

67 0, temos que p(x) divisvel por

2

23x

Portanto r = 1,5. 16. Assinale a opo que representa o lugar geomtrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equao

288

135341024162401

det

22

=

+ yxyx.

a) Uma elipse. b) Uma parbola. c) Uma circunferncia.d) Uma hiprbole. e) Uma reta. Alternativa C Seja Li a linha i do determinante dado. Realizando as operaes L1 - L4, L2 - L4 e L3 - L4, obtemos:

288

1353403330033603y5x34yx 22

=

+

Aplicando o Teorema de Laplace na 4 coluna, temos:

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9

2883330

3363y5x34yx 22

=

+

Realizando agora L1 - L3 e L2 - L3, obtemos:

2883330

6036y2x4yx 22

=

+

( ) 2881110106y2x4yx

36

22

=+

6y + 10(x - 2) - 6(x - 2) - (x2 + y2 - 4) = - 16 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 52

Logo, o lugar geomtrico uma circunferncia de centro C(2; 3) e raio 5. 17. A soma das razes da equao z3 + z2 - |z|2 + 2z = 0, z C, igual a a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 Alternativa A z 3 + z 2 z . z + 2 z = 0 z .( z 2 + z z + 2) = 0 z = 0 raiz Fazendo z = x + yi: x2 y2 +2xyi + x + iy x + yi + 2 = 0 x2 y2 + 2 + (2xy + 2y)i = 0

2xy + 2y = 0 2y.(x+1) = 0 y = 0 (I) ou x = -1 (II)

x2 y2 + 2 = 0 x2 + 2 = y2 De (I): y = 0 x2 = -2 (impossvel) De (II): x = -1 y2 = 3 y = 3 (ok) Assim as trs razes so z1 = 0, z2 = -1+ 3 i e z3 = -1- 3 i Logo z1 + z2 + z3 = -2 18. Dada a equao x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9 = 0, em que m uma constante real, considere as seguintes informaes: I. Se m ] 6, 6[, ento existe apenas uma raiz real. II. Se m = 6 ou m = + 6, ento existe raiz com multiplicidade 2. III. m R, todas as razes so reais. Ento, podemos afirmar que (so) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) II e III e) I e II Alternativa E x3 + (m+1) x2 + (m + 9)x + 9 = 0 x3 + x2 + mx2 + mx + 9x + 9 = 0

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10

x2(x +1) + mx (x+1) + 9(x + 1) =0 (x + 1).(x2 + mx + 9) = 0 ou x + 1 = 0, e portanto -1 raiz, m R. ou x2 + mx + 9 = 0 U = m2 - 36 ento temos: Se U < 0 ento -6 < m < 6, duas razes no reais, portanto I verdadeira e III falsa. Se U = 0 m= 6, uma raiz de multiplicidade 2, portanto II verdadeira 19. Duas circunferncias concntricas C1 e C2 tm raios de 6 cm e 26 cm, respectivamente. Seja AB uma corda de C2, tangente C1. A rea da menor regio delimitada pela corda AB e pelo arco mede, em cm2, a) 9( 3) b) 18( + 3) c) 18( 2) d) 18( + 2) e) 16( + 3) Alternativa C Vejamos a figura a seguir:

26

0 4545 6

M

6

B

C1

C2

A

No UOAM, temos: AM2 + 62 = ( )226 AM = 6 Logo: m(AM) = m(BM) = 45 Seja S a rea da menor regio delimitada pela corda AB e pelo arco :

S = Smenor setor circular AOB 2 S tringulo AOM = 66212)26(

41 2

2cm)2(18S = . 20. A rea total da superfcie de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, igual tera parte da rea de um circulo de dimetro igual ao permetro da seo meridiana do cone. O volume deste cone, em cm3, igual a: a) R3 b) 2 R3 c)

2 R3 d) 3 R3 e)

3 R3

Alternativa E

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11

g h

R

Dimetro do crculo = 2R + 2g rea total do cone = At = (R+g)2/ 3 R2 + Rg = (R+g)2/ 3 g2 Rg 2R2 = 0 g = (R3R)/2; g > 0 g = 2R h2 = g2 R2 h = R 3

Volume = V = hR231 = )3(

31 2 RR V = R3 3 / 3 = R3 / 3

21. Seja A um conjunto no-vazio. a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m. b) Denotando P1(A) = P(A) e Pk+1(A) = P(Pk(A)), para todo nmero natural k 1, determine o menor k, tal que n(Pk(A)) 65000, sabendo que n(A) = 2. SOLUO: a) Se um conjunto A tem m elementos, o nmero de elementos das partes de A (P(A)) dado por: n(P(A)) = 2m b) Foi dado que: Pk+1 (A) = P(k(A)) Para k = 1 P2(A) = P(P1(A)) onde P1(A) = P(A) = 22 = 4 n(P2(A)) = 24 = 16 Para k = 2 P3(A) = P(P2(A)) = 216 = 65536 Logo, P3(A) = 65536 > 65000 e o valor mnimo de k 3. 22. Uma caixa branca contm 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contm 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados so atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual a probabilidade de se retirar uma bola verde? SOLUO: Seja: S a probabilidade de se retirar uma bola verde; Pb a probabilidade de escolher a caixa branca; Pvb a probabilidade de pegar bola verde na caixa branca; Pp a probabilidade de escolher a caixa preta; Pvp a probabilidade de pegar bola verde na caixa preta.

Ento Pb = 363 Pvb = 8

5 Pp = 3633 Pvp = 5

3 e

S = Pb Pvb + Pp Pvp = 363

85 +

3633

53 =

965 +

2011 =

48026425 + =

480289

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12

23. Determine os valores reais do parmetro a para os quais existe um nmero real x satisfazendo

xax 21 . SOLUO:

2x1 existe apenas se -1 x 1, ento podemos afirmar que existe

2

,2

tal que x = sen e = cosx1 2 . Assim: cos a - sen

a sen + cos Observando que a deve ser menor ou igual ao valor mximo da soma (sen + cos) e que este valor positivo temos:

[ ] cossen + Maxa ( ) + 2cossen Maxa [ ]2sen1+ Maxa ( )2sen1 Maxa + 11+a 2a

24. Sendo 2

1 iz += , calcule 603260

1... zzzzz

n

n ++++==

.

SOLUO:

1154

6042

222

21 60 ====+=+= cisciszcisiiZ

A expresso z + z2 + z3 + ... + z60 uma PG de a1= z e r = z. Logo:

224222222

2

22

22

22

2

221

22

2

122

22

21

21

11

11

1)1(

1)1(

22

60606060

1

+=+=+=++

=

+

=+

===

==

==

=

izz

zz

zzz

zzz

zzzz

n

n

25. Para b > 1 e x > 0, resolva a equao em x: 0)x3()x2( 3log2log bb = . SOLUO: ( ) ( ) 3log2log 32 bb xx = Aplicando logaritmo de base 2 aos dois lados da equao: logb2 . log22x = logb3 . log23x logb2 (1 + log2x) = logb3 . (log23 + log2x) 1 + log2x = log2b . logb3 (log23 + log2x) 1 + log2x = log23 (log23 + log2x) 1 + log2x = (log23)2 + log23 . log2x log2x (1 - log23) = (log23)2 1 - log2x (log23 - 1) = (log23 + 1) (log23 - 1) log2x = - (log23 + log22) = - log26 = log26-1

61=x

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13

26. Considere a equao x3 + 3x2 - 2x + d = 0, em que d uma constante real. Para qual valor de d a equao admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ? 1 SOLUO: Seja r a raiz dupla em questo e m a terceira raiz. Pelas relaes de Girard, temos:

==++

=++

)3(..)2(2...

)1(3

dmrrmrmrrr

mrr

De (1) e (2) vem:

315102632)32(2

22

32

22

32

22

22

==+=+

=+

= =+

=+

rrrrrr

rmr

rm

rmr

mr

Como r ]0, 1[, ento 3151+=r

Assim: 315233

31512 =

+= mm

Substituindo os valores obtidos de r e m na relao (3), obtemos:

9361510

31523

3151

22 =

+== dmrd

2 SOLUO: Seja .0dx2x3x)x(f 23 =++= Uma raiz dupla de f(x) deve ser raiz da derivada .263)(' 2 += xxxf As

razes de 02x6x3 2 =+ so ;3151e

3151 + destas, 13

15 a nica no intervalo [1,0] .

Logo f(x) ter raiz dupla em [1,0] se, e somente se, 01315f =

. Utilizando o algoritmo de Briot-

Ruffini: 1 1 3 2 d15

3

1 + 2153

15 73

159

4 10 + d

0

Logo .93615104

91510d ==

27. Prove que, se os ngulos internos , e de um tringulo satisfazem a equao

( ) ( ) ( ) 0333 =++ sensensen ,

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14

ento, pelo menos, um dos trs ngulos , ou igual a 60. SOLUO: Sendo , e os ngulos inteiros de um tringulo, ento temos: + + = 180 = 180 - ( + ) Da relao fornecida: sen3 + sen3 + sen3 = 0 sen3 + sen3 + sen{3[180 - ( + )]} = 0 Aplicando as frmulas de prostafrese, temos:

( ) 033sen2

33cos.2

33sen2 =++

+ 0

233cos.

233sen2

233cos.

233sen2 =

+

++

+ 0

233cos

233cos

233sen2 =

++

+

023cos.

23cos2.

233sen2 =

+

=

=

=+

=

=

=

+

9023ou

902

3ou

1802

33

023cos

ou

02

3cos

ou

02

33sen

60

ou60

ou120

=

=

=+

= 60 ou = 60 ou = 60

28. Se A uma matriz real, considere as definies:

I. Uma matriz quadrada A ortogonal se e s se A for inversvel e A-1 = AT. II. Uma matriz quadrada A diagonal se e s se aij = 0, para todo i, j = 1, ..., n, com i j.

Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que so, simultaneamente, diagonais e ortogonais. SOLUO: Como A quadrada, de ordem 3 e diagonal, vem:

=

cb

aA

000000

Sendo A ortogonal, A-1 = AT. Como AA-1 = I, AAT=I:

=

100010001

000000

000000

cb

a

cb

a.

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15

===

=

111

100010001

000000

2

2

2

cba

cb

a

Logo, existem 8 matrizes que satisfazem as condies do problema, que so da forma:

=

100010001

A

29. Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ngulo de 60. Seja C1 uma circunferncia de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5 cm de r. Determine o raio da menor circunferncia tangente C1 e reta r, cujo centro tambm se situa na reta s. SOLUO:

A menor circunferncia que cumpre as exigncias enunciadas est representada acima. Para determinar seu raio, pode-se aplicar semelhana de tringulos:

60A

RC

x B R + 3 O

5

D

ABC: sen 60 = 23

xR = R

332x =

AOD: sen 60 23

35 =++= Rx )3(33

32310 ++///= RR

33R)32(10 ++= 34

9316203232.

323310

+=

+=R

( )cmR 31629= 30. Sejam os pontos A: (2, 0), B: (4, 0) e P: (3, 5 + 2 2 ). a) Determine a equao da circunferncia C, cujo centro est situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e tangente ao eixo y. b) Determine as equaes das retas tangentes circunferncia C que passam pelo ponto P.

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SOLUO:

t2A

Bx

sC(xci yc)r

y ( )225;3P +=

a) O centro da circunferncia procurada est sobre a reta t : x = 3 ( // ao eixo y ) A distncia de C at A raio da circunferncia e vale 3:

( ) 32 22 =+= ccCA yxd ( ) 91323 222 =+=+ cc yy e 22yc = (pois o centro da circunferncia est no 1 quadrante)

Logo, a equao ( ) ( ) 922y3x 22 =+ b) a equao do feixe de retas que passa por ( )225;3P + ( ) ( )3xm225y =+ 0225m3ymx =++ A distncia de C at as retas r e s o raio da circunferncia. Como r e s pertencem ao feixe, tem-se:

31m

531m

225m322m3d22

s,D =+=

+++=

Ento: 9251m3

1m

5 22

=+=+ e 3

4m = Assim:

r: ( ) 3x34225y =+ ou 221x34y ++= s: ( ) ( )3x34225y =+ ou 229x34y ++=

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