Resposta da questão 1: [C] Se q é a razão da progressão geométrica

2(16,16q,16q , 2), então 3 116q 2 q .2

= ⇔ =

Em consequência, os graus de q e de f são, respectivamente, iguais a 8 e 4. Portanto, a resposta é 8 4 12.+ = Resposta da questão 2: [A] Aplicando as relações de Girard temos:

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

b 2x x x 2 (I)a 1

c 5x x x x x x 5 (II)a 1

d 6x x x 6 (III)a 1

−+ + = = =

−⋅ + ⋅ + ⋅ = = = −

− −⋅ ⋅ = = = −

Sabendo que 1 é raiz, pois p(1) 0,= temos de (I) e (III) :

1 2 3 2 3 2 3

1 2 3 2 3 2 3

x x x 2 1 x x 2 x x 1x x x 6 1 x x 6 x x 6+ + = + + = + =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪

⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = −⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩

Chegamos a um caso de soma e produto, onde a soma das duas raízes vale 1 e o produto vale 6,− logo, 2x 3= e 3x 2.= − Portando, o polinômio possui três raízes reais. Resposta da questão 3: [B] Seja 2P(x) ax bx c.= + + Se o resto da divisão de P pelo binômio x 1+ é igual a 3, então, pelo Teorema do Resto, segue que a b c 3.− + = Ademais, sendo P(0) 6= e P(1) 5,= temos c 6= e a b c 5.+ + = Daí, vem a−b = −3 e a+b = −1 implicando em b 1= e a 2.= − A resposta é 2P(3) ( 2) 3 1 3 6 9.= − ⋅ + ⋅ + = − Resposta da questão 4: [B]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

4 3 2

P(x) x 2x x 2 R(x)

R(x) ax b

P(x) x 2x x 2 ax b

P(2) 0

P(2) 2 2 2 2 2 2a b 16 2a b 0 2a b 16

R(3) 6R(3) 3a b 62a b 16 a 223a b 6 b 60

P(x) x 2x x 2 22x 60

P(x) x 2x 2x 18x 60Soma coeficientes

= + ⋅ − +

= +

= + ⋅ − + +

=

= + ⋅ ⋅ − + + = + + = ⇒ + = −

=

= + =

+ = − =⎧⇒⎨

+ = = −⎩

= + ⋅ − + −

= + − + −

= 1 2 2 16 60 41+ − + − = −

Resposta da questão 5: [B] Para determinar o termo independente de um polinômio, devemos admitir x 0.= Portanto, o termo independente de 2 3 2 2(x 1) (x x 2)− ⋅ + + será dado por: 2 3 2 2(0 1) (0 0 2) 1 4 4− ⋅ + + = − ⋅ = −

Resposta da questão 6: [C] De acordo com a relação de Girard, a soma das raízes

será dada por: ( 2)S 21

− −= =

Resposta da questão 7: [D] É imediato que 6 possui 4 divisores positivos, 9 possui 3 divisores positivos e 16 possui 5 divisores positivos.

3 2

3 2

(x 4)(x 3)(x 5) x 12x 47x 60

x ax bx c.

− − − = − + −

= + + +

Portanto, comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau, vem b 47.= Resposta da questão 8: [D]

3 2 3 2

2

2

2

2

2 (x 1) 3 (x x) 2 (x 1) 3 (x x) 0

2 (x 1) (x 1x 1) 3 x (x 1) 0

(x 1) (2x 2x 2 3x) 0

(x 1) (2x 5x 2) 01x 1 0 x 1 ou 2x 5x 2 0 x 2 ou x2

⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + − ⋅ + = ⇒

⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + = ⇒

+ ⋅ − + − = ⇒

+ ⋅ − + = ⇒

+ = ⇒ = − − + = ⇒ = = −

Portanto, o conjunto S será dada por: 1S 1, , 22

⎧ ⎫= − −⎨ ⎬⎩ ⎭

Então, { 1, 2} S.− ⊂

Resposta da questão 9: [E]

3x x 420 4x 420 x 105m+ = ⇒ = ⇒ = Portanto, a distância que ainda falta para chegar até o ponto é: d 3 105 315m= ⋅ = Resposta da questão 10: [D] Admitindo que a idade do filho é x anos, temos que a idade do pai é 12x. Logo: 12x x 52 13x 52 x 4+ = ⇒ = ⇒ = Portanto, a diferença entre as idades será: 12x x 11x 11 4 44.− = = ⋅ = Resposta da questão 11: [A]

2 2 2

2

x valor tipo 1x 3 valor tipo 2y quantidade comprada tipo 2 2x6x 2x (x 3) 6 50 30

6x 2x 6x 270 2x 12x 270 0 x 6x 135 0

6 4 1 ( 135) 576x 9

6 576x ou2 1

x 15 (não convém)Doce tipo 1 9 reais/unidade total gasto

=

+ =

= =

+ ⋅ + = ⋅ −

+ + = ⇒ + − = ⇒ + − =

Δ = − ⋅ ⋅ − =

=− ±

= ⇒⋅

= −

= ⇒ = 6 9 54 reaisDoce tipo 2 12 reais/unidade total gasto 18 12 216 reais

⋅ =

= ⇒ = ⋅ =

Resposta da questão 12: [E] 3 2

1 2 3

1

2 3 2 3

2x 3x 72x 35 0( 3)Relações de Girard x x x2

1x2

1 3 4x x x x 22 2 2

− − − =

−⇒ + + = −

=

+ + = ⇒ + = =

Resposta da questão 13: [D] Sejam e g, respectivamente, o número de latinhas e o número de garrafas de vidro entregues pelo primeiro

grupo. Temos 5+g3=10 e

5+3g3= 20, implicando em

= 25 e g =15. A resposta é 45 e 25. Resposta da questão 14: [D] Seja t o tempo gasto, em segundos, pelo primeiro corredor para percorrer 400 metros. Assim, de acordo com as informações, os tempos dos outros corredores

são: t 15, t 20− − e 3t .4

t + t −15+ t − 20+ 3t4= 325⇔ 15t

4= 360⇔ t = 96.

Portanto, a resposta é 3 96 72 s.4⋅ =

Resposta da questão 15: [A] Equacionando esta situação temos: 4x y 60− = Logo, sabe-se que ele acertou mais que 15 questões, pois 4.15 = 60 e assim, buscando os valores possíveis, chega-se no valor de 17 questões pois: (4.17)− y = 60⇒ y = 8respostaserradas. Resposta da questão 16: [E]

2 1Custo 18 14,70 16,903 32 1 2x16,90 x 15,30 11,8 x 17,70 Redução de R$ 0,30.3 3 3

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒

Resposta da questão 17: [E] Determinando, inicialmente, a solução da equação: 7x −5 = 5(x +9)− 28⇒7x −5 = 5x + 45− 28⇒2x = 22⇒ x =11

O valor 6 unidades menor que a solução é: 11 6 5.− = Fazendo x 5= no primeiro membro, obtemos: 7 5 5 30⋅ − = Fazendo x 5= no segundo membro, obtemos: ( )5 5 9 28 42⋅ + − =

Portanto, o módulo da diferença entre estes valores será: 42 30 12.− =

Resposta da questão 18: [B] Aluno 1:

2i

i

b 12x ' 2ax bx c 0 Girard

c 28x '' 144a 12 2 28 0 4a 4 a 1

==+ + = ⇒ ⇒ ⇒

= −= −

+ ⋅ − = ⇒ = ⇒ =

Aluno 2:

i2i

b 18x ' 2ax b x c 0 Girard

x '' 16 c 32= −=

+ + = ⇒ ⇒ ⇒= =

Equação correta:

2 2 x ' 4ax bx c 0 x 12x 32 0

x '' 8= −

+ + = ⇒ + + = ⇒= −

Resposta da questão 19: [D] Seja x o número de alunos e y o valor de cada aluno, desta maneira temos as duas situações: 3600 yx

3600 y 75x 8

⎧=⎪⎪

⎨⎪ = +⎪ −⎩

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

2

2

2

3600 3600 3600 x 3600 (x 8) 75 x (x 8)75x 8 x x (x 8) x (x 8) x (x 8)

3600x 3600x 28800 75x 600x 0

75x 600x 288000 0 ( 75)

x 8x 384 0

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −= + ⇒ = +

− ⋅ − ⋅ − ⋅ −

− + − + =

− + + = ÷

− + + =

Aplicando soma e produto temos: x 16x 24= −⎧

⎨=⎩

Logo, o total de alunos da turma é 24. Resposta da questão 20: [B]

( )( )

( )

2

300 livros 300x livros / prateleira xN prateleiras N300 300 300 60 60x 5 5 1N 3 N 3 N N 3 N

N 15N 3N 180 0

N 12 (não convém)N 15 múltiplo de 3

= ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒ = +− − −

=− − = ⇒

= −

= ⇒

Resposta da questão 21: [A] Como a distância entre quaisquer dois pontos consecutivos é a mesma, podemos subtrair os pontos da seguinte maneira:

2 2

2

(3x 2x) (x 3x) x x 3xx 0

x 4x 0 x(x 4) 0x 4

− = − ⇒ = −

=⎧− = ⇒ − = ⇒ ⎨

=⎩

Como a distancia é necessariamente maior que zero temos: x 4= metros.

Resposta da questão 22: [A] Efetuando a divisão dos polinômios, temos:

3 2 2

3 2

x 6x 9x 3 x 5x 6

x 5x 6x x 1

− + − − +

− + − −

2

2

x 3x 3

x 5x 6

− + −

− +

2x 3− +

Portanto, P(x) x 1 2x 3P(x) x 2

= − − +

= − +

Construindo o gráfico de P(x), temos:

Portanto, a melhor opção é a letra [A]. Resposta da questão 23: [E] Pelas Relações de Girard, as únicas equações que possuem soma das raízes igual a 7 são 2x 7x 8 0− + = e 2x 7x 8 0.− − = Por outro lado, apenas esta última

apresenta produto das raízes igual a 8.− Resposta da questão 24: [E] Sejam a e b as outras raízes de P(x). Pelas Relações

de Girard, temos: 5 3a b a b 1.2 2

−+ + = − ⇔ + = −

Resposta da questão 25: [E] Por inspeção, é fácil ver que x 1= é raiz de P. Ademais, pelo dispositivo de Briot-Ruffini, temos

1 8 14 7 18 6 1 0

− −

−

Desse modo, vem 2P(x) (x 1)(8x 6x 1)= − − + e, portanto,

as outras raízes de P são 1x4

= e 1x .2

=

Em consequência, as quantidades dos ingredientes

B e C não podem superar 1kg e 1 kg,2

ou vice-versa.

A resposta, em qualquer caso, é 1.000 500 500 g.− = Resposta da questão 26: [A] Sejam n e q, respectivamente, o número de caminhões utilizados e a capacidade de cada caminhão. Tem-se que n q (n 4) (q 500) q 125 n 500.⋅ = + ⋅ − ⇔ = ⋅ + Desse modo, vem n ⋅q = 60000⇔ n ⋅ (125 ⋅n+500) = 60000

⇔ n2 + 4n− 480 = 0⇒ n = 20.

Portanto, o resultado pedido é 20 4 24.+ =

Resposta da questão 27: [A] Sejam n e c, respectivamente o número de caminhões e a capacidade máxima de cada caminhão. Logo, como

n c 90⋅ = e 1(n 6) (c ) 90,2

+ ⋅ − = segue-se que

2n 6n 1080.+ − Daí, como n é natural, só pode ser n 30= e, portanto, o resultado pedido é 30 6 36.+ = Resposta da questão 28: [E] Relações de Girard :

x1.x2.x3 = −(96)1

−2( ).x2.x3 = −96x2.x3 = 48

Resposta da questão 29: [C]

x

x2 −3x + 2=ax −1

+bx − 2

x

x2 −3x + 2=a. x − 2( )+b. x −1( )x −1( ). x − 2( )

x

x2 −3x + 2=a+b( ).x + −2a−b( )x2 −3x + 2

a+b =1−2a−b = 0

"#$

a+b =1b = −2a

"#$

→ a = −1e b = 2

a.b = −2

Resposta da questão 30: [A]

P 3( ) = a.33 − 2.3+1= 4→ a = 13