GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO

SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

FACET – Faculdade de Ciências Exatas e

Tecnológicas – Avaliação – 25/04/2016

Resolução 01) Responda aos itens.

a) A área da região, inscrita na circunferência trigonométrica, que tem como vértices as extremidades

dos arcos que verificam a equação 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟎 no intervalo de [0, ], em unidades de

área, é:

sen2x senx 0

2 senx cos x senx 0

senx 2 cos x 1 0

Portanto, as raízes possíveis da equação são:

sen x 0 x 180 rad ou x 0 0 rad

21cosx x 120 rad2 3

π

π

Percebe-se que há três raízes possíveis dentro do intervalo [0, ]. Desenhando as extremidades dos arcos que resolvem a equação numa circunferência de raio igual a 1, tem-se:

Assim, a área delimitada pelos vértices das extremidades dos arcos que verificam a equação é um triângulo retângulo em B. Sua área pode ser escrita como sendo:

b h (1 1) hS S h

2 2

Analisando o triângulo COB, percebe-se que este é equilátero e que sua altura h é correspondente altura do triângulo

retângulo ABC. Logo, sua altura será dada por:

L 3 3h h

2 2 ; onde L foi substituído por 1 (raio).

Assim, a área da região que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a equação dada é igual a 3 2.

b) A quantidade de soluções que a equação trigonométrica, 𝒔𝒆𝒏𝟒(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔𝟒(𝒙) =𝟏

𝟐 , admite no

intervalo [0, 3] é:

Sabendo que 2 2sen y cos y 1, para todo y real, vem

4 4 2 2 2 2

2

2

1 1sen x cos x (sen x cos x)(sen x cos x)

2 2

12sen x 1

2

3sen x

4

3senx .

2

Para x [0, 3 ],π a equação 3

senx2

possui as raízes 2 7

, ,3 3 3

π π π e

8,

3

π enquanto que a equação

3senx

2 possui

as raízes 4

3

π e

5.

3

π Desse modo, a resposta é 6.

02) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser expressa, em

função do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por 𝑻(𝐭) = 𝟏𝟒 + 𝟏𝟐𝐬𝐞𝐧 [𝟐𝝅(𝒕−𝟏𝟎𝟓)

𝟑𝟔𝟒]. Nessa

região a umidade relativa do ar é inversamente proporcional a temperatura ambiente. Segundo esse

modelo matemático, o mês de menor umidade relativa do ar foi o mês de:

A temperatura média máxima ocorre quando

2 (t 105) 2 (t 105)sen 1 sen sen

364 364 2

2 (t 105)2k

364 2

t 105 91 364k

t 196 364k, k .

π π π

π ππ

Assim, tomando k = 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja,

no mês de julho.

03) Por razões técnicas, um armário de altura 2,5 m e largura 1,5 m está sendo deslocado por um

corredor, de altura h m, na posição mostrada pela figura.

a) Calcule h para o caso em que = 30o.

Sendo os vértices do retângulo (armário):

Considerando o triângulo AEB, pode-se escrever:

y 5sen30 y

2,5 4

Considerando o triângulo BFC, pode-se escrever:

x 3 3cos30 x

1,5 4

Logo, a altura h será:

5 3 3h m

4

b) Calcule h para o caso em que x = 1,2 m.

Considerando o triângulo BFC, pode-se escrever:

1,2 4cos

1,5 5α

Assim, pode-se escrever: 2

2 24 9 3sen 1 sen sen

5 25 5α α α

Considerando o triângulo AEB, pode-se escrever:

y 3 ysen y 1,5

2,5 5 2,5α

Logo, a altura h será: h 1,2 1,5 h 2,7 m

04) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um

lago possa ser descrita pela função𝒇(𝒕) = 𝟐𝟏 − 𝟒𝒄𝒐𝒔 (𝒕𝝅

𝟏𝟐), sendo “t”, o tempo em horas, medido a

partir das 06h00 da manhã.

a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?

valor máximo ocorre para cos t 1 F(máx) 21 4( 1) 2512

F(t) 21 4cos t12

valor mínimo ocorre para cos t 1 F(máx) 21 4( 1) 17 12

π

π

π

Portanto, a temperatura varia de 17°C a 25°C na superfície do lago.

b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23 oC?

F(t) 21 4cos t 21 4cos t 23 4cos t 212 12 12

1cos t

12 2

Logo :

2 4t ou t

12 3 12 3

t 8h ou t 16h

π π π

π

π π π π

Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar que a temperatura de 23°C foi atingida às:

1

2

t 6h 8h 14h

e

t 6h 16h 22h

05) Demonstre que: a) [𝟏 + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)]. [𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄(𝒙) − 𝟏]. 𝐬𝐞𝐜(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙); 𝑼 = {𝒙 ∈ ℝ/𝒔𝒆𝒏(𝒙). 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) ≠ 𝟎}

[1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]. [1

𝑠𝑒𝑛(𝑥)− 1] .

1

cos (𝑥)= 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

[1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]. [1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)] .

1

cos (𝑥)= 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

[1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)] .

1

cos (𝑥)= 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

[𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)] .

1

cos (𝑥)= 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

[𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

b) 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)+𝒔𝒆𝒏(𝒙)

𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)= 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)

𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(2𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(2𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)] + [2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)]. 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)] + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 1]

2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 1

2𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

4𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

2𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

2𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

06) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por 𝒇(𝒙) =𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒙 + 𝒃) com a, ⍵ e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao intervalo

fechado [−𝝅

𝟔,

𝟓𝝅

𝟔]. A função f tem período e seu conjunto imagem é o intervalo fechado [-5, 5].

Determine as constantes a e ⍵ e o menor valor positivo de b.

Sabendo que o período fundamental da função seno é 2 e que o período de f é , temos 2 | | 2.| |

ππ ωω

Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [-1, 1] e a imagem de f é o intervalo [-5, 5], temos

[ 5, 5] a [ 1,1] a 5 (supondo sen (b) > 0)

Finalmente, como f 0,6

π

temos:

0 5 sen 2 b sen b sen0,6 3

π π

donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é 𝑏 =𝜋

3

07) Esboce o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙), para o intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝝅.

x F(x)

0 1

/4 -1

/2 1

3/4 3

1

1

2

3

1

/2 3/2 2

-1