resolução queremos calcular o menor ângulo formado pelos ... · sejam ! e ! os ângulos formados...

Matemática Prof. Guilherme Neves

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Sejam 𝛼 e 𝛽 os ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às H horas e M minutos. É possível encontrar um desses ângulos (em graus) pela seguinte fórmula:

11𝑀 − 60𝐻2

Sabendo um dos ângulos, o outro é o que falta para 360 graus.

Vamos resolver questões de concurso para entendermos como funciona esta fórmula.

01. (Companhia Docas do Estado de São Paulo 2010/FGV) Em um relógio de ponteiros, o ponteiro dos minutos dá uma volta completa em 60 minutos. Nesse mesmo período, o ponteiro das horas gira 30°. O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 7 horas e 20 minutos é

(A) 90° (B) 100° (C) 110° (D) 80° (E) 70°

Resolução

Queremos calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 7 horas e 20 minutos. Assim, 𝑯 = 𝟕 e 𝑴 = 𝟐𝟎.

𝜶 =11𝑀 − 60𝐻

2 =11 ∙ 20− 60 ∙ 7

2 =220− 420

2 =−2002 =

2002

𝜶 = 𝟏𝟎𝟎°

Letra B

Muito fácil, não?!

02. (Assistente Legislativo – Câmara Municipal de Registro-SP 2016/VUNESP) Quando um relógio de ponteiros marca 4 horas, o menor ângulo formado entre os ponteiros dos minutos e das horas é 120º. O tempo que irá se passar até que o ângulo formado entre esses ponteiros seja igual a 180º é, aproximadamente,

a) 30 min b) 36 min 30s. c) 42 min d) 54 min 30s e) 60 min

Resolução



2

Sabemos que o ângulo formado é igual a 180º e que H = 4. Queremos calcular M.

𝜶 =11𝑀 − 60𝐻

2

𝟏𝟖𝟎 =11𝑀 − 60 ∙ 4

2

11𝑀 − 240 = 360

11𝑀 = 600

Devemos dividir 600 minutos por 11.

600 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 | 11 6 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Ao dividir 600 por 11, obtivemos quociente 54 minutos e resto 6 minutos. Devemos dividir 6 minutos por 11. Entretanto, já conseguimos marcar a resposta na letra D.

6 minutos = 6 x 60s = 360 segundos.

360/11 é aproximadamente 32 segundos.

Assim, o ângulo formado pelos ponteiros será 180º às 4h 54min 32s aproximadamente.

Letra D

03. (Analista de Sistemas – Câmara SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 11: 50 horas?

a) 35 graus b) 45 graus c) 55 graus d) 65 graus e) 60 graus

Resolução

Neste caso, 𝐻 = 11 e 𝑀 = 50.

𝜶 =11𝑀 − 60𝐻

2 =11 ∙ 50− 60 ∙ 11

2 =550− 660

2 =−1102 =

1102

𝜶 = 𝟓𝟓°

Letra C



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04. (Programador – Câmara Municipal SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 09: 35 horas?

a) 66,6 graus b) 45,5 graus c) 80 graus d) 70 graus e) 77,5 graus

Resolução

Neste caso, 𝐻 = 9 e 𝑀 = 35.

𝜶 =11𝑀 − 60𝐻

2 =11 ∙ 35− 60 ∙ 9

2 =385− 540

2 =−1552 =

1552

𝜶 = 𝟕𝟕,𝟓°

Letra E

05. (Assessor de Imprensa – Câmara Municipal SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 14:20 horas? a) 30 graus b) 40 graus c) 50 graus d) 60 graus e) 70 graus

Resolução

Lembre-se que o relógio analógico tem a numeração de 1 a 12. Portanto, se o relógio marca 14:20 horas, então devemos usar 𝐻 = 2 e 𝑀 = 20.

𝜶 =11𝑀 − 60𝐻

2 =11 ∙ 20− 60 ∙ 2

2 =220− 120

2 =1002 =

1002

𝜶 = 𝟓𝟎°

Letra C

06. (Assistente Administrativo – UFABC 2006) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca 13 horas e 28 minutos é: a) 124º b) 138º c) 144º d) 140º e) 114º



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Resolução

Novamente devemos nos lembrar que a numeração do relógio analógico vai de 1 a 12. Portanto, devemos utilizar 𝑯 = 𝟏 e 𝑴 = 𝟐𝟖.

𝜶 =11𝑀 − 60𝐻

2 =11 ∙ 28− 60 ∙ 1

2 =308− 60

2 =2482 =

2482

𝜶 = 𝟏𝟐𝟒°

Letra A

07. (Engenheiro – TCM-RJ 2011/FJG) Os ponteiros de um relógio se superpõem várias vezes ao dia. O intervalo de tempo entre duas superposições consecutivas é de aproximadamente: (A) 1 h 5 min 27 s (B) 1 h 6 min 12 s (C) 1 h 7 min 31 s (D) 1 h 8 min 24 s (E) 1 h 12 min 11 s

Resolução

Quando os ponteiros de um relógio se superpõem, o ângulo formado por eles é igual a zero.

Uma notável superposição ocorre quando os dois ponteiros apontam para o número 12.

Vamos supor, então que o relógio marca exatamente 12 h 00 min. A próxima superposição acontecerá às 13 horas e M minutos. Como o relógio tem a numeração de 1 a 12, então devemos utilizar 𝑯 = 𝟏. Nesta superposição, o ângulo formado é igual a zero.

Assim,

11𝑀 − 60𝐻2 = 0

O número 2 que está dividindo o primeiro membro, “passa multiplicando” para o segundo membro.

11𝑀 − 60𝐻 = 0 ∙ 2

11𝑀 − 60𝐻 = 0

O módulo de um número é zero se e somente se o número for igual a zero. Portanto,

11𝑀 − 60𝐻 = 0

11𝑀 = 60𝐻

Como 𝐻 = 1, então:



5

11𝑀 = 60 ∙ 1

𝑀 =6011𝑚𝑖𝑛

Vamos dividir 60 minutos por 11.

60min 11 5min 5 𝑚𝑖𝑛

Neste início de cálculo já podemos marcar a alternativa A.

Para continuar a divisão, devemos transformar o resto para segundos. Como 1 minuto é igual a 60 segundos, então 5 𝑚𝑖𝑛 = 5 ∙ 60𝑠 = 300𝑠.

Vamos dividir 300 segundos por 11.

300 s 11 3 s 27𝑠

Assim, a próxima coincidência será às 13 horas, 5 minutos e 27 segundos (aproximadamente).

Como a primeira superposição aconteceu às 12 horas, então o intervalo entre duas superposições consecutivas é de, aproximadamente, 1 hora, 5 minutos e 27 segundos.

Letra A

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