resolução-prova de matemática e suas tecnologias-enem-2013

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PROVA DE MATEMTICA DO VESTIBULAR

ENEM - 2013

RESOLUO: PROFA. MARIA ANTNIA C. GOUVEIA

136 A parte interior de uma taa foi gerada pela rotao de uma

parbola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A funo real que expressa a parbola, no plano cartesiano da

figura, dada pela lei f(x) = 2

3x

2 6x + C, onde C a medida da

altura do lquido contido na taa, em centmetros. Sabe-se que o

ponto V, na figura, representa o vrtice da parbola, localizado

sobre o eixo x.

Nessas condies, a altura do lquido contido na taa, em

centmetros,

a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.

RESOLUO:

Se o ponto V est localizado sobre o eixo x, f(x) = 2

3x

2 6x + C tem duas razes reais e iguais, portanto

seu discriminante igual a zero.

= 6C366C06C360C2

346

2

.

RESPOSTA: A altura do lquido contido na taa 6 cm.

137 Muitos processos fisiolgicos e bioqumicos, tais como batimentos cardacos e taxa de respirao,

apresentam escalas construdas a partir da relao entre superfcie e massa (ou volume) do animal. Uma

dessas escalas, por exemplo, considera que o cubo da rea S da superfcie de um mamfero proporcional ao quadrado de sua massa M.

HUGHES-HALLETT, et al. Clculo e aplicaes. So Paulo:

Edgard Bcher, 1999 (adaptado).

Isso equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a rea S pode ser escrita em funo de M por

meio da expresso:

a) MkS . c) 31

3

1

.MkS e) 231

.MkS

b) 31

.MkS d) 32

3

1

.MkS

RESOLUO:

Se o cubo da rea S da superfcie de um mamfero proporcional ao quadrado de sua massa M, ento:

3

2

3

1

3 223

2

3

...0 com , MkSMkSMkSkkM

S .

RESPOSTA: Alternativa d.

2

138 A Lei da Gravitao Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da fora de atrao entre

duas massas. Ela representada pela expresso: 2

21

d

mmGF onde m1 e m2 correspondem s massas dos

corpos, d distncia entre eles, G constante universal da gravitao e F fora que um corpo exerce

sobre o outro.

O esquema representa as trajetrias circulares de cinco satlites, de mesma massa, orbitando a Terra.

Qual grfico expressa as intensidades das foras que a Terra exerce sobre cada satlite em funo do

tempo?

RESOLUO: As rbitas dos satlites so circulares, portanto a distncia de cada um Terra constante.

Da anlise da expresso 2

21

d

mmGF , conclui-se

que o valor de F no depende do valor do tempo;

que o valor de F dependente dos valores constantes das massas, da gravitao G e da distncia de cada satlite Terra;

que o valor de F, relativa a cada satlite, inversamente proporcional ao valor do quadrado da distncia, ou seja quanto maior o valor de d, menor o valor de F;

O valor de F constante para cada satlite.

Como, , d d d d d EDCBA ento, .F F F F F EDCBA

Os dois grficos que representam os valores da fora F constantes so os das alternativas a e b. Mas como

,F F F F F EDCBA a alternativa correta a b.

RESPOSTA: Alternativa b.

3

139 A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8o PIB municipal do Brasil, alm do maior aeroporto da Amrica

do Sul. Em proporo, possui a economia que mais cresce em indstrias, conforme mostra o grfico.

Fonte: IBGE, 2000-2008 (adaptado)

Analisando os dados percentuais do grfico, qual a diferena entre o maior e o menor centro em

crescimento no polo das indstrias?

a) 75,28 b) 64,09 c) 56,95 d) 45,76 e) 30,07

RESOLUO:

Como o questionamento em relao aos dados fornecidos pelo grfico, e sendo as cidades de Guarulhos

e So Paulo situadas no Estado de So Paulo no Pas Brasil, a diferena pedida refere-se diferena entre

os percentuais dessas cidades:

60,52% 3,57% = 56,95%

RESPOSTA: Alternativa c.

140 Em um certo teatro, as poltronas so divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse

teatro, no qual as cadeiras escuras esto reservadas e as claras no foram vendidas.

A razo que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relao ao total de cadeiras

desse mesmo setor

a) 70

17 b)

53

17 c)

70

53 d)

17

53 e)

17

70

RESOLUO:

O setor 3 tem 10 7 = 70 cadeiras, das quais 17 esto reservadas. A razo que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relao ao total de cadeiras

desse mesmo setor portanto 17/70.

RESPOSTA: Alternativa a.

4

141 Uma loja acompanhou o nmero de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de

janeiro, fevereiro e maro de 2012. Com isso, obteve este grfico:

A loja sortear um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do

produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de

2012?

a) 20

1 b)

242

3 c)

22

5 d)

25

6 e)

15

7

RESOLUO:

O produto A nos trs meses foi comprado por (60 + 30 + 10) = 100 pessoas. Destas 100 pessoas, 30

fizeram a compra no ms de fevereiro.

O produto B nos trs meses foi comprado por (80 + 20 + 20) = 120 pessoas. Destas 120 pessoas, 20

fizeram a compra no ms de fevereiro.

Ento a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012 de

20

1

6

1

10

3

120

20

100

30 .


142 Durante uma aula de Matemtica, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de

coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrio de cinco conjuntos algbricos, I, II, III,

IV e V, como se segue:

I a circunferncia de equao 922 yx ;

II a parbola de equao 12 xy , com x variando de 1 a 1;

III o quadrado formado pelos vrtices ( 2, 1), ( 1, 1), ( 1, 2) e ( 2, 2); IV o quadrado formado pelos vrtices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V o ponto (0, 0). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada,

composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.

Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

5

RESOLUO:

I A circunferncia de equao 922 yx tem centro no ponto (0, 0) e raio 3 (grficos c, d e e)

II A parbola de equao 12 xy , com x variando de 1 a 1, tem extremidades nos pontos

( 1, 2) e (1, 2); tem a concavidade voltada para baixo, pois a = 1; no intercepta o eixo x, pois

suas razes no so reais; tem vrtice no ponto 1,04

)1)(1(4(,0

. (grficos a e e)

III o quadrado formado pelos vrtices ( 2, 1), ( 1, 1), ( 1, 2) e ( 2, 2); (todos os grficos) IV o quadrado formado pelos vrtices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); (todos os grficos) V o ponto (0, 0). (todos os grficos) O grfico que est de acordo com as 5 afirmaes o da alternativa e.

RESPOSTA: Alternativa e.

143 Uma indstria tem um reservatrio de gua com capacidade para 900 m3. Quando h necessidade de

limpeza do reservatrio, toda a gua precisa ser escoada.

O escoamento da gua feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatrio est cheio. Esta

indstria construir um novo reservatrio, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da gua dever

ser realizado em 4 horas, quando o reservatrio estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatrio

devero ser idnticos aos do j existente.

A quantidade de ralos do novo reservatrio dever ser igual a

a) 2. b) 4. c) 5. d) 8. e) 9.

RESOLUO:

Cada um dos 6 ralos, em 6 h permite o escoamento de (900 : 6 = 150) m de gua, isto ,

(150 : 6 = 25)m por hora.

No novo reservatrio toda a gua ser escoada em (500 : 25 = 100) horas.

O nmero de ralos necessrios ento (100h : 4h = 5).

RESPOSTA: Alternativa c

144 Uma fbrica de frmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centmetros. Essas

placas so vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, especificada a rea mxima S que pode ser

coberta pelas N placas.

Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fbrica triplicou a medida dos lados de suas

placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a rea coberta S no fosse alterada.

A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa ser igual a:

a) 9

N b)

6

N c)

3

N d) 3N e) 9N

RESOLUO:

Inicialmente cada placa tinha rea y. Como cada caixa continha N placas, S = N y.

Depois da nova deciso da fbrica em triplicar os lados das placas, cada uma delas passou a ter 9y de

rea. Como agora cada caixa passou a conter X placas, S = X.9y.

Ento, X.9y = Ny X = N / 9. RESPOSTA: Alternativa a.

6

145 Num parque aqutico existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de

profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de

lazer seca no interior dessa piscina, tambm na forma de um cilindro circular reto, cuja base estar no

fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura.

O raio da ilha de lazer ser r.

Deseja-se que aps a construo dessa ilha, o espao destinado gua na piscina tenha um volume de, no

mnimo, 4 m3.

Considere 3 como valor aproximado para . Para satisfazer as condies dadas, o raio mximo da ilha de lazer r, em metros, estar mais prximo de

a) 1,6. b) 1,7. c) 2,0. d) 3,0. e) 3,8.

RESOLUO:

Clculo do raio da piscina antes da construo da ilha de lazer: Rh = 12 3.R.1 = 12

R= 12 R = 4m. Como aps a construo dessa ilha, o espao destinado gua na piscina deve ter um volume de, no

mnimo, 4 m3: 12 3.r 4 3.r 8 1,632....r....2,666666..r

3

8r 22 .

Logo o raio mximo da ilha de lazer r, em metros, estar mais prximo de 1,6


146 O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de aes em Bolsa de Valores em um ms dever pagar

Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistir em 15% do lucro obtido com a venda

das aes. Disponvel em. wwwl.folha.uol.com.br Acesso em. 26 abr. 2010 (adaptado)

Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de aes que custou R$ 26 mil ter de pagar de

Imposto de Renda Receita Federal o valor de

a) R$ 900,00. c) R$ 2 100,00. e) R$ 5 100.00.

b) R$ 1 200,00. d) R$ 3 900,00.

RESOLUO:

Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de aes que custou R$ 26 mil, teve um lucro de

(34.000 26.000 = 8.000) reais.

Ele pagar Receita Federal 0,15 R$8.000 = R$1.200,00.


47 Para se construir um contrapiso, comum, na constituio do concreto, se utilizar cimento, areia e

brita, na seguinte proporo: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o

contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminho betoneira com 14 m3 de

concreto.

Qual o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido pela betoneira?

a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00

7

RESOLUO:

Sendo comum, na constituio do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporo: 1

parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita, isto significa que as quantidades desses trs

componentes so, respectivamente proporcionais a 1, 4 e 2.

Considerando-se como x o fator de proporcionalidade, os volumes de cimento, areia e brita so,

respectivamente, x, 4x e 2x.

Assim: x + 4x + 2x = 14m 7x = 14m x = 2m O volume de cimento, em m3, 2m


148 Cinco empresas de gneros alimentcios encontram-se venda. Um empresrio, almejando ampliar

os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas.

Para escolher qual delas ir comprar, analisa o lucro (em milhes de reais) de cada uma delas, em funo

de seus tempos (em anos) de existncia, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro mdio

anual.

O quadro apresenta o lucro (em milhes de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existncia

de cada empresa.

Empresa Lucro(em milhes de reais) Tempo (em anos)

F 24 3,0

G 24 2,0

H 25 2,5

M 15 1,5

P 9 1,5

O empresrio decidiu comprar a empresa

a) F. b) G. c) H. d) M. e) P.

RESOLUO:

Empresa Lucro(em milhes

de reais)

Tempo

(em anos)

Lucro mdio(por

ano em milhes

de reais)

F 24 3,0 24 3 =8

G 24 2,0 24 2 = 12

H 25 2,5 25 2,5 = 10

M 15 1,5 151,5 = 10

P 9 1,5 9 1,5 = 6

A empresa de maior lucro anual foi a G.


8

149 Deseja-se postar cartas no comerciais, sendo duas de 100 g, trs de 200 g e uma de 350 g. O grfico

mostra o custo para enviar uma carta no comercial pelos Correios:

O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas de

a) 8,35. b)12,50. c) 14,40. d) 15,35. e) 18,05.

RESOLUO:

O valor da postagem de uma carta no comercial de 100 g R$1,70; o de uma de 200g R$2,65 e o valor

de uma de 350g R$4,00.

O valor total gasto, em reais, para postar duas cartas de 100 g, trs de 200 g e uma de 350 g :

2 R$1,70 + 3 R$2,65 + R$4,00 = R$ 15,35.


150 Foi realizado um levantamento nos 200 hotis de uma cidade, no qual foram anotados os valores,

em reais, das dirias para um quarto padro de casal e a quantidade de hotis para cada valor da diria. Os

valores das dirias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No grfico, as

reas representam as quantidades de hotis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diria.

O valor mediano da diria, em reais, para o quarto padro de casal nessa cidade,

a) 300,00. b) 345,00. c) 350,00. d) 375,00. e) 400,00.

RESOLUO:

Como ao todo so 200 hotis, e No. de hotis (frequncia) Frequncia acumulada Valor da diria

A 0,25200 = 50 50 R$ 200,00

B 0,25200 = 50 100 R$ 300,00

C 0,40200 = 80 180 R$ 400,00

D 0,10200 = 20 200 R$ 600,00

TOTAL 200

Posio do valor mediano da diria: 5,1002

1200

, logo o valor mediano ser dado pela mdia

aritmtica entre o valor da 100a e o da 101

a dirias: 350

2

400300

.


9

151 Para aumentar as vendas no incio do ano, uma loja de departamentos remarcou os preos de seus

produtos 20% abaixo do preo original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o carto

fidelidade da loja tm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.

Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcao de preos. Ele no

possui o carto fidelidade da loja.

Caso esse cliente possusse o carto fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a

compra, em reais, seria de

a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00. e) 4,00.

RESOLUO:

Valor do produto antes da remarcao: R$ 50,00.

Valor do produto depois da remarcao: (1 0,20) R$ 50,00 = R$ 40,00. Valor pago por um cliente sem o carto fidelidade: R$ 40,00.

Valor pago por um cliente com o carto fidelidade: (1 0,10) R$ 40,00 = R$ 36,00 Valor da economia adicional que obteria um cliente com o carto fidelidade ao efetuar a compra seria de

(R$ 40,00 R$ 36,00) = R$ 4,00.


152 Para o reflorestamento de uma rea, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno,

exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que ser comprado para confeco

da cerca contm 48 metros de comprimento.

A quantidade mnima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno

a) 6. b) 7. c) 8. d) 11. e) 12.

RESOLUO:

A soma dos lados dos terrenos a serem cercados (81 + 190 + 81= 352)m.

Rolos a serem comprados: 352m 48m = 7,3333.... o nmero mnimo de rolos 8.


10

153 Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras o excesso de carga transportada

pelos caminhes. Dimensionado para o trfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se

deteriora com o peso excessivo dos caminhes. Alm disso, o excesso de carga interfere na capacidade de

frenagem e no funcionamento da suspenso do veculo, causas frequentes de acidentes.

Ciente dessa responsabilidade e com base na experincia adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe

que seu caminho pode carregar no mximo 1 500 telhas ou 1 200 tijolos.

Considerando esse caminho carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no mximo, podem ser

acrescentados carga de modo a no ultrapassar a carga mxima do caminho?

a) 300 tijolos b) 360 tijolos c) 400 tijolos d) 480 tijolos e) 600 tijolos

RESOLUO:

O peso de um tijolo corresponde ao de 25,11200

1500 telha.

Se o caminho est carregado com 900 telhas, ainda comportar uma quantidade de tijolos cujo peso

equivalente ao de (1500 900 = 600) telhas.

O nmero de tijolos a serem acrescentados carga : 48025,1

600 .


154 As projees para a produo de arroz no perodo de 2012 2021, em uma determinada regio produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produo anual. O quadro

apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que ser produzida nos primeiros anos desse perodo, de

acordo com essa projeo.

Ano Projeo da produo (t)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que dever ser produzida no perodo de 2012 a 2021 ser de

a) 497,25. b) 500,85 c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25.

RESOLUO:

Como as projees da produo de arroz para o perodo 2012 2021 apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produo anual, e os nmeros das projees apresentados na tabela formam uma

P.A. onde o primeiro termo 50,25t, a razo igual a (51,25 50,25=1,25)t e o nmero de termos (2021 2012 +1 = 10).

A projeo para o ano 2021 a10 = 50,6125,1125,5025,1)110(25,50 .

A quantidade total de arroz, em toneladas, que dever ser produzida no perodo de 2012 a 2021 ser, em

toneladas,

558,755111,752

1050,6125,5010

S .


155 Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas

lnguas estrangeiras, ingls e espanhol.

Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam ingls, 500 falam espanhol e 300 no falam qualquer

um desses idiomas.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele no fala ingls qual a probabilidade

de que esse aluno fale espanhol?

a) 2

1 b)

8

5 c)

4

1 d)

6

5 e)

14

5

11

RESOLUO:

Representando a situao-problema no grfico abaixo:

Representando algebricamente a situao-problema, tem-se o sistema:

200b

900300b400

400a

900500a

300c

900c600

500cb

600ba

900cba

3001200cba

Nmero de alunos que no falam ingls: c + 300 = 300 + 300 = 600 n(E) = 600 Nmero de alunos que no falam ingls, mas falam espanhol: c = 300.

Ento escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele no fala ingls a probabilidade

de que esse aluno fale espanhol : 2

1

600

300p .


156 As torres Puerta de Europa so duas torres inclinadas uma contra a outra, construdas numa avenida

de Madri, na Espanha. A inclinao das torres de 15 com a vertical e elas tm, cada uma, uma altura de

114 m (a altura indicada na figura como o segmento AB). Estas torres so um bom exemplo de um

prisma oblquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

Disponvel em: www.fickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15 e duas casas decimais nas operaes,

descobre-se que a rea da base desse prdio ocupa na avenida um espao

a) menor que 100 m2. d) entre 500 m

2 e 700 m

2.

b) entre 100 m2 e 300 m

2. e) maior que 700 m

2.

c) entre 300 m2 e 500 m

2.

12

RESOLUO:

O tringulo ABC retngulo cujos catetos medem 114m e xm.

Em qualquer tringulo retngulo, a adjacente cateto

a oposto catetotg .

Aplicando essa relao ao tringulo ABC:

29,64x26,0114

x

114

xtg15 .

A rea da base desse prdio, em metros quadrados,

(29,64)2 = 878,5296.


157 As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era

composta por cinco membros, so apresentadas no grfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu

duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos especficos da rea de atuao e outra, aos

conhecimentos pedaggicos, e que a mdia final do professor foi dada pela mdia aritmtica de todas as

notas atribudas pela banca avaliadora.

Utilizando um novo critrio, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribudas

ao professor.

A nova mdia, em relao mdia anterior,

a) 0,25 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. e) 2,00 pontos menor.

b) 1,00 ponto maior, d) 1,25 ponto maior.

RESOLUO:

Mdia inicial obtida pelo professor: 1410

140

10

1216141911413171618

.

Mdia obtida pelo professor depois de descartadas a maior e a menor notas atribudas ao professor:

158

120

8

)119(140

.

A nova mdia vale 1 unidade a mais que a mdia inicial.

RESPOSTA; Alternativa b.

13

158 Um banco solicitou aos seus clientes a criao de uma senha pessoal de seis dgitos, formada

somente por algarismos de 0 a 9, para acesso conta corrente pela Internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurana eletrnica recomendou direo do banco

recadastrar seus usurios, solicitando, para cada um deles, a criao de uma nova senha com seis dgitos,

permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, alm dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada

letra maiscula era considerada distinta de sua verso minscula. Alm disso, era proibido o uso de outros

tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alterao no sistema de senhas a verificao do coeficiente de melhora, que

a razo do novo nmero de possibilidades de senhas em relao ao antigo.

O coeficiente de melhora da alterao recomendada

a) 6

6

10

62 b)

! 10

! 62 c)

! .56 ! 10

! 4 . ! 62 d) 62! 10! e) 626 106

RESOLUO:

Atendendo solicitao inicial do banco, cada cliente podia criar usando algarismos de 0 a 9, sua senha

entre 106 modos diferentes.

De acordo com a recomendao do especialista em segurana o cliente pode criar, usando algarismos de 0

a 9 ou as 26 letras maisculas do alfabeto ou as 26 letras minsculas do alfabeto, a sua senha escolhendo

seis entre os (10 + 26 + 26) = 62 smbolos. Logo, existem 626 modos diferentes de criar a sua senha.

O coeficiente de melhora da alterao recomendada ento 6

6

10

62.

RESPOSTA: Alternativa a

159 Uma torneira no foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite s seis horas da manh,

com a frequncia de uma gota a cada trs segundos. Sabe-se que cada gota dagua tem volume de 0,2 m. Qual foi o valor mais aproximado do total de gua desperdiada nesse perodo, em litros?

a)0,2 b)1,2 c)1,4 d)12,9 e)64,8

RESOLUO:

Da meia-noite s seis horas da manh, h um perodo de 6h que equivalem a 6 60 60 seg = 21.600seg. Como nesse perodo a torneira ficou pingando, com a frequncia de uma gota a cada trs segundos, e

como em 21.600seg existem (21.600 3 = 7.200) intervalos de 3 segundos, o volume de gua

desperdiada foi de (7.200 0,2 = 1.440) m que equivalem a 1,44 de gua.


14

160 Um programa de edio de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas.

Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em

relao ao ponto O.

Figura original

A imagem que representa a nova figura :

RESOLUO:

Fazendo a simetria dos pontos A, B, C, D, O e E em relao

ao ponto O determina-se a figura ABCDOE.


161 Um arteso de joias tem sua disposio pedras brasileiras de trs cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constitudas por uma liga metlica, a partir de um molde no formato de um

losango no quadrado com pedras nos seus vrtices, de modo que dois vrtices consecutivos tenham

sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse arteso, cujos vrtices A, B, C e D correspondem s

posies ocupadas pelas pedras.

Com base nas informaes fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o arteso poder obter?

a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36

15

RESOLUO:

1) Considere-se que as pedras colocadas nas

posies A e C sejam iguais e nas posies B e D

sejam diferentes: Existem 3 cores para a posio

A, escolhida a pedra para esta posio, existe

apenas 1 cor para a posio C, 2 para a posio B e

1 para a posio D. Logo, seriam 3 1 2 1= 6 modos diferente do arteso dispor as pedras.

Os exemplos ao lado so de duas joias iguais,

assim na verdade so (6 2) = 3.


posies A e C sejam diferentes e nas posies B e

D sejam iguais: Existem 3 cores para a posio A,

escolhida a pedra para esta posio, existem 2

cores para a posio C, 1 para a posio B e a

mesma cor para a posio D. Logo, seriam

3 2 1 1= 6 modos diferente do arteso dispor as pedras.

Os exemplos ao lado so de duas joias iguais,

assim na verdade so (6 2) = 3.


posies A e C sejam da mesma cor bem como as

colocadas nas posies B e D: Existem 3 cores

para a posio A, escolhida a pedra para esta

posio, existe apenas 1 cor para a posio C, 2

para a posio B e a mesma cor para a posio C.

Logo, seriam

3 1 2 1= 6 modos diferente do arteso dispor as pedras.

Ao todo so 3 + 3 + 6 = 12 modos diferentes de dispor as pedras.


162 Em setembro de 1987, Goinia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando

uma amostra de csio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada

inadvertidamente por parte da populao. A meia-vida de um material radioativo o tempo necessrio

para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do csio-137 30 anos e a quantidade

restante de massa de um material radioativo, aps t anos, calculada pela expresso M(t) = A . (2,7)kt,

onde A a massa inicial e k uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximao para log102.

Qual o tempo necessrio, em anos, para que uma quantidade de massa do csio-137 se reduza a 10% da

quantidade inicial?

a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100

16

RESOLUO:

Como a meia-vida do csio-137 30 anos: M(30) = 2

A e sendo a quantidade restante de massa de um

material radioativo, aps t anos, calculada pela expresso M(t) = A . (2,7)kt, tem-se 30kA.(2,7)

2

A

k30)7,2(2

1 .

Aplicando-se logaritmo decimal aos dois membros desta igualdade:

) I ( 107,23,07,2log2log7,2log7,2log2log 3,0303030301 kkkk

A situao-problema est questionando: Qual o tempo necessrio, em anos, para que uma quantidade de massa do csio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

1ktkt 10(2,7)A10

1(2,7)AM(t)

Elevando os dois membros desta igualdade ao expoente 0,3, vem: kt3,03,0 )7,2(10 .

Como por ) I ( , k303,0 7,2 10 , tem-se 100.t30k0,3kt2,7(2,7) 30k0,3kt


163 Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante a ona

fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (c). Sabe-se que o centilitro a centsima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada

no Brasil tem capacidade de 355 m.

Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 m, em ona fluida (fl oz), mais prxima de a) 0,83. b)1,20. c) 12,03. d) 104,73. e) 120,34.

RESOLUO:

Se 1(fl oz) equivale a 2,95c, ento, x.1fl oz = 35,5 c .12,0338...2,95

35,50x fl oz .


164 Na aferio de um novo semforo, os tempos so ajustados de modo que, em cada ciclo completo

(verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permanea acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde

permanea acesa seja igual a 3

2do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em

cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.

Qual a expresso que representa a relao entre X e Y?

a) 5X 3 Y + 15 = 0 c) 3X 3Y + 15 = 0 e) 3X 2Y + 10 = 0 b) 5X 2Y + 10 = 0 d) 3X 2Y + 15 = 0

17

RESOLUO:

Considerando como V o tempo, em segundos, durante o qual a luz vermelha fica acesa, e como o tempo

em que a luz verde permanece acesa igual a 3

2do tempo d a luz vermelha:

2

3XV2V3XV

3

2X

Cada ciclo dura Y segundos:

Y = X + 5 + V 2

3X5XY 0102Y5X3X102X2Y


165 A temperatura T de um forno (em graus centgrados) reduzida por um sistema a partir do instante

de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expresso 4004

tT(t)

2

, com t em minutos. Por

motivos de segurana, a trava do forno s liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de

39C.

Qual o tempo mnimo de espera, em minutos, aps se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

a) 19,0 b)19,8 c)20,0 d)38,0 e)39,0

RESOLUO:

De acordo com os dados pode-se escrever:

38t1921444t1444t1561600t394004

tT(t) 2222

2

t .

RESPOSTA Alternativa d.

166 O ciclo de atividade magntica do Sol tem um perodo de 11 anos. O incio do primeiro ciclo

registrado se deu no comeo de 1755 e se estendeu at o final de 1765.

Desde ento, todos os ciclos de atividade magntica do Sol tm sido registrados.

Disponvel em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.

No ano de 2101, o Sol estar no ciclo de atividade magntica de nmero

a) 32. b) 34. c) 33. d)35. e) 31.

RESOLUO:

Quantos anos tero se passado depois do ano 1755, ano em que teve inicio o primeiro ciclo de atividade

magntica do Sol, ao ano de 2101?

2101 1755 =346 anos. Quantos perodos de 11 anos existem em 346 anos?

346 11 31,4545... No ano de 2101, o Sol estar no ciclo de atividade magntica de nmero 32.


18

167 A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro visto em diferentes escalas.

H interesse em estimar o nmero de vezes que foi ampliada a rea correspondente a esse estado no mapa

do Brasil.

Esse nmero

a) menor que 10.

b) maior que 10 e menor que 20.

c) maior que 20 e menor que 30.

d) maior que 30 e menor que 40.

e) maior que 40.

RESOLUO:

A escala de um mapa a razo entre dois segmentos, ou seja, a razo entre a distncia de dois pontos do

mapa, e a distncia real entre os pontos do globo terrestre representados no mapa.

No mapa maior cada 1cm representa 25km e no mapa menor cada 1cm representa 4km

Para determinar de quantas vezes foi a ampliao

divide-se a escala do mapa resultante da

ampliao pela do mapa original:

4

25

000.000.25

1

000.000.4

1 .

Como a razo entre as reas S e S igual ao quadrado entre a razo de dois segmentos

correspondentes contidos nessas reas:

0625,3916

625

4

25

''''''

22

BA

AB

S

S


168 Nos ltimos anos, a televiso tem passado por uma verdadeira

revoluo, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade

com o telespectador. Essa transformao se deve converso do

sinal analgico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda

no contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses

benefcios a trs cidades, uma emissora de televiso pretende

construir uma nova torre de transmisso, que envie sinal s antenas

A, B e C, j existentes nessas cidades. As localizaes das antenas

esto representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das trs antenas.

O local adequado para a construo dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

a) (65; 35). b) (53; 30). c) (45; 35). d) (50; 20). e) (50; 30).

19

RESOLUO:

Como a torre deve estar situada em um local equidistante das trs

antenas A(30, 20), B(70, 20) e C(60, 50), a sua localizao deve ser

no circuncentro, ou seja no centro O da circunferncia circunscrita

a esses trs pontos. O circuncentro o ponto de interseo das

mediatrizes de um tringulo:

MEDIATRIZ RELATIVA AO LADO AB:

Passa no ponto 20,50M2

2020,

2

7030M

.

Pelo grfico v-se que essa mediatriz a reta x = 50.

MEDIATRIZ RELATIVA AO LADO AC:

Ponto mdio do segmento AC: 35,45N2

5020,

2

6030N

Coeficiente angular da reta determinada por A e C: 13060

2050a

Equao da mediatriz ON: bxy .

Como esta reta passa pelo ponto N(45,35): 80xy 804535 bb .

Sendo o ponto O a interseo entre essas mediatrizes, as suas coordenadas constituem a soluo do

sistema

30y

50x

80xy

50x

Ento o local adequado para a construo dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas (50, 30).


169 Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Nela identifica-se a representao de duas figuras geomtricas tridimensionais.

Essas figuras so

a) um tronco de cone e um cilindro.

b) um cone e um cilindro.

c) um tronco de pirmide e um cilindro.

d) dois troncos de cone.

e) dois cilindros.

RESOLUO:

Fazendo o desdobramento da forma tem-se a figura ao lado

que so dois troncos de cone.

(O aluno para chegar a esta concluso no precisa fazer o

desdobramento).


20

170 Uma falsa relao

O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de

Avaliao de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola no garantia de nota acima da mdia.

*Considerando as mdias de cada pas no exame de matemtica.

Nova Escola, So Paulo, dez. 2010 (adaptado)

Dos pases com notas abaixo da mdia nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de

estudo

a) Finlndia. b) Holanda. c) Israel. d) Mxico. e) Rssia.

RESOLUO:

De acordo com a figura os pases com notas abaixo da mdia so: Rssia, Portugal, Itlia, Israel e

Mxico. Desses pases o que apresenta a maior quantidade de horas de estudo Israel, um valor prximo

de 8.500 horas.


171 Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse

restaurante tm o formato representado na figura:

Considere que BD5

7AC e que l a medida de um dos lados da base da bandeja.

Qual deve ser o menor valor da razo BD

l para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente

quatro copos de uma s vez?

a) 2 b) 5

14 c) 4 d)

5

24 e)

5

28

21

RESOLUO:

Considerando rBD , ento, r5

7AC e =

r

5

24

5

5r7r7r5rrr

5

7r

5

7r

5

24

r

r5

24

BD

l


172 O dono de um stio pretende colocar uma haste de sustentao para melhor firmar dois postes de

comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situao real na qual os postes so descritos pelos

segmentos AC e BD e a haste representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que

indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de ao que sero

instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

a) 1 m b) 2 m c) 2,4 m d) 3 m e) 2 6 m

22

RESOLUO:

FIGURA 1: Os tringulos BEF e BCA so semelhantes, logo, (I) x

4zzy

4

x

zy

z

AC

EF

AB

BF

.

FIGURA 2: Os tringulos AFE e ABD so semelhantes, logo, (II) x

6yzy

6

x

zy

y

BD

EF

AB

AF

.

De (I) e (II) vem: x

4z=

x

6y

2

3yz3y2z6y4z .

Ento em (I) substituindo z por 2

3y fica: 2,4

5

12x123x2x

x

6

2

31

x

2

3y4

2

3yy


173 Gangorra um brinquedo que consiste de uma tbua longa e estreita equilibrada e fixada no seu

ponto central (piv). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente,

impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da

gangorra.

Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B so equidistantes do piv:

A projeo ortogonal da trajetria dos pontos A e B, sobre o plano do cho da gangorra, quando esta se

encontra em movimento, :

RESOLUO:

Os movimentos da gangorra descrevem dois a arcos de

circunferncia que so as trajetrias dos pontos A e B.

As projees ortogonais dessas trajetrias sobre o

plano do cho da gangorra, quando esta se encontra em

movimento, so os segmentos de reta QA e BP.


23

174 A cermica constitui-se em um artefato bastante presente na histria da humanidade. Uma de suas

vrias propriedades a retrao (contrao), que consiste na evaporao da gua existente em um

conjunto ou bloco cermico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevao de

temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma reduo de at 20% nas dimenses

lineares de uma pea. Disponvel em. www.arq.ufsc.br Acesso em: 3 mar. 2012.

Suponha que uma pea, quando moldada em argila, possua uma base retangular cujos lados mediam

30 cm e 15 cm. Aps o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.

Em relao rea original, a rea da base dessa pea, aps o cozimento, ficou reduzida em

a) 4%. b) 20%. c) 36%. d) 64%. e) 96%.

RESOLUO:

A pea, quando moldada em argila, possua uma base

retangular cujos lados mediam

30 cm e 15 cm, portanto uma rea de 450cm2.

Como aps o cozimento, esses lados foram reduzidos

em 20%, e passaram a medir 0,80 30 cm = 24cm e

0,80 15 cm = 12cm, portanto rea inicial se reduziu a uma rea de 288cm

2.

Determinando a razo entre a rea final e a inicial tem-se: %6464,0450

288 .

Ento a rea final 64% da inicial, ento a reduo foi de 100% 64% = 36%.


175 Uma fbrica de parafusos possui duas mquinas, I e II, para a produo de certo tipo de parafuso.

Em setembro, a mquina I produziu 100

54do total de parafusos produzidos pela fbrica. Dos parafusos

produzidos por essa mquina, 1000

25eram defeituosos. Por sua vez,

1000

38dos parafusos produzidos no

mesmo ms pela mquina II eram defeituosos.

O desempenho conjunto das duas mquinas classificado conforme o quadro, em que P indica a

probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.

Pssimo 1P100

8

Ruim 100

8P

100

6

Regular 100

6P

100

4

Bom 100

4P

100

2

Excelente 100

2P0

O desempenho conjunto dessas mquinas, em setembro, pode ser classificado como

a) excelente. b) bom. c) regular. d) ruim. e) pssimo.

24

RESOLUO:

Se em setembro, a mquina I produziu 100

54do total de parafusos produzidos pela fbrica, a mquina II

produziu 100

46.

Percentual dos parafusos defeituosos produzidos pelas duas mquinas:

100

54

1000

25p +

100

4p

100

23,098%30980,0

100000

3098

100000

1748

100000

1350

100

46

1000

38 .


176 Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 nmeros disponveis, um apostador escolhe de 6 a 10 nmeros. Dentre os nmeros

disponveis, sero sorteados apenas 6. O apostador ser premiado caso os 6 nmeros sorteados estejam

entre os nmeros escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preo de cada cartela, de acordo com a quantidade de nmeros escolhidos.

Quantidade de nmeros

escolhidos em uma cartela Preo da cartela (R$)

6 2,00

7 12,00

8 40,00

9 125,00

10 250,00

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opes:

Arthur: 250 cartelas com 6 nmeros escolhidos;

Bruno: 41 cartelas com 7 nmeros escolhidos e 4 cartelas com 6 nmeros escolhidos;

Caio: 12 cartelas com 8 nmeros escolhidos e 10 cartelas com 6 nmeros escolhidos;

Douglas: 4 cartelas com 9 nmeros escolhidos;

Eduardo: 2 cartelas com 10 nmeros escolhidos.

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados so

a) Caio e Eduardo. c) Bruno e Caio. e) Douglas e Eduardo.

b) Arthur e Eduardo. d) Arthur e Bruno.

RESOLUO:

Como sero sorteados 6 nmeros sem importar a ordem:

APOSTADOR NMERO DE SENAS QUE PODEM SER SORTEADAS PELO APOSTADOR

Arthur .2501250250 6,6 C

Bruno .2914741441 6,66,7 CC

Caio .34610281210

2

78121012 6,66,8

CC

Douglas .336844

123

78944 6,9

C

Eduardo .4202102

1234

7891022 6,10

C


25

177 Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotao de preos dos produtos que deseja

comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas apenas 90%

de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor

custo/benefcio em cada um deles. O quadro mostra o preo por quilograma, em reais, de cada produto

comercializado.

Produto Tipo A Tibo B

Arroz 2,00 1,70

Feijo 4,50 4,10

Soja 3,80 3,50

Milho 6,00 5,30

Os tipos de arroz, feijo, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante so, respectivamente,

a) A, A, A, A. c) A, B, B, A. e) B, B, B, B.

b) A, B, A, B. d) B, A, A, B.

RESOLUO:

Calculando 90% do valor de cada produto do tipo A e comparando com os preos do tipo B:

Produto Tipo A Tibo B

Arroz 0,90 2,00 = 1,80 > 1,70 1,70

Feijo 0,90 4,50 = 4,05 < 4,10 4,10

Soja 0,90 3,80 = 3,42 < 3,50 3,50

Milho 0,90 6,00 = 5,40 > 5,30 5,30

Arroz tipo B, feijo tipo A, soja tipo A e milho tipo B.


178 Em um sistema de dutos, trs canos iguais, de raio externo 30 cm, so soldados entre si e colocados

dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fcil manuteno, necessrio

haver uma distncia de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior.

Essa distncia garantida por um espaador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximao para 3 .

O valor de R, em centmetros, igual a

a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0.

26

RESOLUO:

Na figura ao lado tem-se ABC um tringulo equiltero cujo lado mede

60cm, o segmento OD raio do crculo maior e o segmento CH a altura

do tringulo ABC.

A medida de R (40 + CO) cm.

CO = CH3

2; 34cm51

3

2CO51cm

2

1,760

2

3ABCH

.

Logo, R = (40 + 34) cm=74cm.

RESPOSTA: Alterativa c.

179 O ndice de eficincia utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas dado pelo

produto do tempo de lactao (em dias) pela produo mdia diria de leite (em kg), dividido pelo

intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca qualificada como eficiente quando esse

ndice , no mnimo, 281 quilogramas por ms, mantendo sempre as mesmas condies de manejo

(alimentao, vacinao e outros). Na comparao de duas ou mais vacas, a mais eficiente a que tem

maior ndice.

A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:

Vaca

Tempo de

lactao (em

dias)

Produo

mdia diria

de leite (em

kg)

Intervalo

entre partos

(em meses)

Malhada 360 12,0 15

Mamona 310 11,0 12

Maravilha 260 14,0 12

Mateira 310 13,0 13

Mimosa 270 12,0 11

Aps a anlise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente a

a) Malhada. c) Maravilha. e) Mimosa.

b) Mamona. d) Mateira.

RESOLUO:

Vaca

Tempo de

lactao (em

dias)

Produo

mdia diria

de leite (em

kg)

Intervalo

entre partos

(em meses)

ndice de eficincia

(kg/ms)

Malhada 360 12,0 15 288

15

12360

Mamona 310 11,0 12 ....166,284

12

11310

Maravilha 260 14,0 12 ..333,303

12

14260

Mateira 310 13,0 13 310

13

13310

Mimosa 270 12,0 11 ...5454,294

11

12270

Todas as 5 vacas tm ndice de eficincia superior a 281 quilogramas por ms, porm as que a vaca mais

eficiente Mateira.


27

180 A Secretaria de Sade de um municpio avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de

uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a

escola. Na fase de implantao do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre

o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25 000, por um perodo de cinco dias.

Quantos quilmetros esse aluno percorreu na fase de implantao do programa?

a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 40

RESOLUO:

O seu percurso (IDA + VOLTA) constitudo de

2 (3V + 3H + 2V + 2 H + 1V + 4H + 1V) = 2 (7V + 9H) = 32cm.

Sendo a escala da figura 1 : 25 000, 8km800.000cmd25.000

1

d

32

Por dia o seu percurso foi de 8km.

Ento na fase de implantao do programa, esse aluno percorreu 5 8km = 40km.

RESPOSTA: Alternativa e

resolução-prova de matemática e suas tecnologias-enem-2013

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