Resolução dos exercícios propostos do livro texto referente a

primeira etapa do curso – Rodrigo César Pacheco

Exercícios do capítulo 1 (páginas 24 e 25)

Questão 1.1 Uma fonte luminosa emite uma potência igual a 3mW. Se as perdas totais do

sistema somam 45dB, qual deve ser a mínima potência detectável por um fotodetector para

que o sistema funcione?

Resolução

Pfonte = 3mW

Perdas = 45dB

Pfonte – Perdas = Pmin

10log3 × 10

-3 – 45 = -70,229dB →→→→ Pmin = 10

-7,0229= 94,87nW

Portanto, a mínima potência detectável por um foto detector para que o sistema funcione é

94,87nW.

Questão 1.2 Calcule a energia de um fóton nos comprimentos de onda 0,70;0,85 e 1,30 µm .

Qual fóton tem mais energia: um visível ou um infravermelho?

Resolução

E = hf c = λf

E = hcλ

= 6,626 × 10-34 × 3 × 10

8

λ

λ = 0,7µm →→→→ E = 2,84 × 10-19

J

λ = 0,0,85µm →→→→ E = 2,34 × 10-19

J

λ = 1,3µm →→→→ E = 1,52 × 10-19

J

O fóton mais energético é o de comprimento de onda 0,7 µm , que está na faixa de frequência

visível.

Questão 1.3 Quantos fótons por segundo estão incidindo sobre um foto detector, se a

potência é igual a 1nW e o comprimento de onda é 1,3 µm ?

Resolução

P × ∆t = Efóton × Nfótons

Nfótons

∆t= P

Efóton

= Phf

= 1.3 × 10-9

6,626 × 3 × 10-20

= 6,54 × 109fótons/s

Questão 1.5 Quantos canais de voz podem ser multiplexados em uma portadora de

comprimento de onda igual a 1,06 µm ? Assuma que a banda passante do sistema é igual a 1%

da frequência da portadora.

Resolução

Ncanal × Bcanal = Banda Passante

Banda Passante = 0,01 × fc

fc = cλ

Ncanal = 0,01 × cλ × Bcanal

= 0,01 × 3 × 108

1,06µm × 4 × 103

= 7,075 × 108 Canais

Exercícios do capítulo 2 (páginas 24 e 25)

Exercício 2.1 Calcule a direção do raio de luz que atravessa uma interface dielétrica sabendo

que n1=1,5,n2=1 e ângulo de incidência é 45º. Comente o resultado.

Resolução

Como o raio se propaga de um meio mais refringente para um menos refringente, há a

possibilidade de ocorrer reflexão total, isto é, não haver raio refratado. Isto ocorrerá se o

ângulo de incidência for superior a um determinado ângulo crítico. Calculando o ângulo crítico,

temos:

sen(θc) = n2

n1

= 11,5

→→→→ θc = 41,81º

Portanto, para ângulos de incidência superiores a 41,81º, não há um raio refratado. Uma vez

que o ângulo de incidência neste caso é 45º, ocorre reflexão total.

Exercício 2.2 Um raio de luz se propagando pelo ar incide sobre uma interface dielétrica

formando um ângulo de incidência de 30º com a normal. Comente a seguinte afirmação: o raio

transmitido para o segundo meio forma um ângulo de 45º com a normal.

Resolução

Quando um raio de luz se propaga de um meio mais refringente para um menos refringente, o

raio refratado se afasta da normal. Considerando afirmação válida, como o raio refratado se

afastou da normal, o segundo meio seria menos refringente que o primeiro.

Sendo o primeiro meio o ar (índice de refração unitário), o índice de refração no segundo meio

deveria ser menor que 1, o que implica que a velocidade de propagação da luz neste meio é

superior a do vácuo, o que é impossível. Logo a afirmação é incorreta.

Exercício 2.7. Determine o padrão de difração no infinito de uma janela f(x) dada por:

f(x) = =

2A

A

0

|x| ≤≤≤≤ L4

L4

< |x| < L2

|x| ≥≥≥≥ L2

Resolução

O padrão de difração no infinito é dado pela transformada de Fourier da função da janela.

F(α) =⌡⌠

– ∝∝∝∝

+ ∝∝∝∝

f(x) × e– j × 2π × α × x

λ dx

Decompondo essa janela em uma soma de duas outras f1(x) e f2(x) tal que

f1(x) + f2(x) = f(x)

f1(x) = =

A

0

|x| ≤≤≤≤ L2

caso contrario

f2(x) = =

A

0

|x| ≤≤≤≤ L4

caso contrario

f1(x) →→→→ F1(α)

f2(x) →→→→ F2(α)

fx →→→→ F(α) = F2(α) + F1(α)

F1(α) = A × Lsinc( αL

λ

F2(α) = A × L2

sinc( αL

2λ

F(α) = A × Lsinc( αL

λ + A × L

2sinc(

αL

2λ

F(α) = A × 2 × λπ × α

× sen3παL

4λ × cos

παL

4λ

Exercícios do capítulo 3 (páginas 106, 107 e 108)

Exercício 3.3 Considere um pulso de luz se propagando através da Sílica. Determine o

alargamento de pulso por unidade de comprimento, para comprimento de onda no espaço

livre igual a 0,85µm e largura espectral 2nm.

Resolução

Do enunciado temos:

λ0 = 0,85µm

∆λ = 2nm

Consultando a figura 3.6 do livro texto obtemos o coeficiente de dispersão material para a

sílica pura:M = 100ps

km × nm

Alargamento de pulso por unidade de comprimento é dado então:

∆ τL = – M × ∆λ = – 200ps

km

O sinal negativo indica que comprimentos de ondas maiores viajam mais rapidamente neste

meio.

Exercício 3.4 Repita o exercício 3.3 para uma fonte luminosa cujo comprimento de onda

central de emissão é 1,55µm. Assuma que o coeficiente de dispersão material é

M = -20psnm × km

Resoluçã006F

Considerando que a largura espectral da fonte é 20nm, como a fonte do exercício 3.2, temos:

∆ τL = – M × ∆λ = 400ps

km

Neste caso, os comprimentos de onda maiores viajam mais devagar que os comprimentos de

onda menores.

Exercício 3.5 Utilize o resultado do exercício 3.4 para determinar a máxima taxa de dados e

frequência de modulação suportadas pelo sistema. As respostas devem ser dadas para as

distâncias de 100m,1km e 10 km, para as codificações NRZ e RZ.

Resolução

Para codificação RZ com taxa de transmissão RZ ,admitindo que a maior parte da potência do

sinal esteja concentrada até a frequência RZ, então:

RZ = f3dB,elétrica = 0,71

2 × ∆τ

Para codificação NRZ com taxa de transmissão NRZ ,admitindo que a maior parte da potência

do sinal esteja concentrada até a frequência NRZ/2, então:

NRZ = 2 × f3dB,elétrica = 0,71

∆τ

Usando o alargamento de pulso determinado no item anterior e as expressões acima a tabela

abaixo foi construída.

L(km) ∆τ(ns) f3dB,óptica f3dB,elétrica RZ NRZ

0,1 0,040 12,50Ghz 8,875Ghz 8,875Ghz 17,75Ghz

1 0,4 1,25Ghz 0,8875Ghz 0,8875Ghz 1,775Ghz

10 4 125Mhz 88,75Mhz 88,75Mhz 177,5Mhz

Exercício 3.8. Faça um gráfico da onda evanescente e– α × z × z sabendo que:

n1 = 1,48

n2 = 1,46

λ = 0,82µm

0 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ 4µ

82º ≤≤≤≤ θ ≤≤≤≤ 90º

Resolução

O fator de atenuação α da onda evanescente é dado por:

α = k0 × (n1)2 × (sen(θi))

2– (n2)²

O gráfico abaixo mostra amplitude do campo evanescente em função da distância até a

interface para diferentes valores de ângulo de incidência. Percebe se que para uma distância

de 4µm da interface, o campo já apresenta elevada atenuação.

Exercícios do capítulo 4 (páginas 135 e 136)

Exercício 4.1 Determine a carta de modos (índice de refração efetivo versus d/λ) de um guia de

onda dielétrico simétrico, com n1=1,48 e n2=1,46.

Resolução

Para que um determinado modo se propague no guia a equação abaixo deve ser satisfeita.

tanh × d

2 = n1

2 × sen(θ)2

– n22

n1 × cos(θ)

Variando θ desde o ângulo crítico até 90° é possível obter os valores de d/λ para os

quais há propagação do modo fundamental. As soluções dos demais modos estão espaçadas

desta de ∆d

λ = 1

2 × n1 × cosθ .

A carta de modos para este guia foi reproduzida abaixo.

Exercício 4.2 Qual é a máxima espessura do filme dielétrico se apenas um modo TE deve se

propagar no guia do exercício proposto 4.1?

Resolução

A condição de corte para o m-ésimo modo é dada por:

d

λ0

m =m

2 × n12

– n22

Fazendo m=1 na expressão anterior, obtemos:

dmax = 2,062λ0

Exercício 4.4. Determine a espessura de corte do filme dielétrico de um guia de onda simétrico

para os modos: TE0, TE1,TE2,TE3. Adote os seguintes parâmetros: n1=1,48 n2=1,46 e

comprimento de onda no espaço livre 0,82µm.

Resolução

A condição de corte para o m-ésimo modo é dada por:

d

λ0

m =m

2 × n12

– n22

O modo fundamental TE0 sempre se propaga. A espessura de corte para o modo TE1 é

obtida fazendo m=1 na expressão anterior.

d1 =0,82µm

2 × 1,482

– 1,462

= 1,69µm

De modo análogo para os outros modos, temos:

d2 = 2 × 0,82µm

2 × 1,482

– 1,462

= 3,38µm

d3 = 3 × 0,82µm

2 × 1,482

– 1,462

= 5,07µm

Exercícios do capítulo 5 (páginas 209,210 e 211)

Exercício 5.4 Uma fibra óptica ID tem n1=1,50 , n2=1,49, e o diâmetro do núcleo é

2a=50µm. Considere o raio de luz se propagando segundo o ângulo crítico. Quantas reflexões

por metro sofre esse raio?

Resolução:

Cálculo do ângulo crítico:

sen(θc) = n2n1

= 1,491,5

→→→→ θc = 83,38°

Sendo x é a distância entre duas reflexões sucessivas, é válido que

tan(θc) = x2a

O número N de reflexões em L metros é dado pela parte inteira de:

N = Lx

+ 1 = L2a × tan(θc)

+ 1

Para L=1m, vem N=2322 reflexões.

Exercício 5.8 Calcule a perda de acoplamento mínima entre uma fonte luminosa que

emite sobre um ângulo total de 40° e uma fibra óptica cuja abertura numérica seja NA=0,15.

Resolução:

Ângulo sólido de emissão da fonte Ωf = 2π × 1 – cos(20°)

= 0,3789

Ângulo de aceitação da fibra, supondo esta imersa em ar.

θa = sin-1

(NA) = asin(0,15)

Ângulo sólido de aceitação da fibra Ωa = 2π × (1 – cos(θa)) = 7,108 × 10-2

Perda de acoplamento mínima é dada por: -10logΩa

Ωf = 7,27dB

Exercício 5.12 Considere uma fibra óptica ID cujo núcleo possui raio a. Seja R o raio de

curvatura mínimo para que um raio de luz, se propagando ao longo do eixo da fibra óptica

atinja a dobra, segundo um ângulo igual ao ângulo crítico. Determine uma expressão para

Ra

= f(θc) e esboce o gráfico dessa função.

Resolução:

Nas condições do enunciado, pode-se escrever que:

sin(θc) = RR + a

→→→→ R = sin(θc)1 – sin(θc)

O correspondente gráfico dessa função é reproduzido abaixo.

Exercício 5.15 Uma fibra óptica multimodo tem um comprimento de equilíbrio

Lc=1km. Na região linear, o alargamento de pulso rms por unidade de comprimento é

10ns/km. O alargamento de pulso é devido principalmente a distorção modal. Determine a

banda passante óptica em função do comprimento L da fibra, para 0≤L≤10km.

Resolução

Admitindo que a resposta impulsiva dessa fibra seja do tipo gaussiana,

∆fóptica × σmodal = 0,188

Para 0≤L≤1km, σmodal = L × 10nS

Para 1≤L≤10km, σmodal = Lq × 10nS , em que q varia entre 0,5 e 1. Os gráficos abaixo

relacionam a banda passante óptica e o comprimento do enlace para dois casos, q=0,5

(mistura perfeita de modos) e q=0,8.

A tabela abaixo apresenta alguns valores do gráfico.

L(km) σmodal (ns) para q=0,5

∆fóptica (Mhz) σmodal (ns) para q=0,8

∆fóptica (Mhz)

0,1 1 188 1 188

0,5 5 37,6 5 37,6

1 10 18,2 10 18,8

3 17,32 10,85 24,08 7,81

5 22,36 8,4 36,24 5,18

10 31,6 5,95 63,09 2,98

Exercício 5.17 Para um alcance de 20km, qual é o alargamento de pulso máximo admissível

para uma fibra ID, para que seja possível uma transmissão a uma taxa R=100Mbps, com

codificação On-Off NRZ? Considere que o transmissor e o receptor ópticos possuam banda

passante infinita. É possível garantir o funcionamento desse sistema com uma fibra ID, com

núcleo de raio a=25µm, número V=5, para o comprimento de onda 1,55µm? Justifique.

Resolução

A relação entre o alargamento de pulso máximo e a taxa de transmissão para

codificação NRZ é dada por: R = 0,7∆τ Logo, máximo alargamento de pulso admissível é 7ns.

Admitindo que a distorção modal seja predominante e usando n1=1,5 temos que o

alargamento de pulos para a fibra do enunciado é:

∆τ = L × n1 × ∆c

V = 2πa × n1 × 2∆λ0

→→→→ ∆ = 5,409 × 10-4

∆τ = 1,5 × 5,409 × 10-4 × 20

3 × 108 = 54ns

Como o alargamento de pulso desta fibra é superior ao máximo alargamento de pulso

admissível, não é possível utilizar este tipo de fibra para atender as especificações dadas.