resolução de questão
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Resolução de problema de vestibular da PUC.TRANSCRIPT
Resolução de Questão
José Arnaldo de Assis Pina Neto
8 de maio de 2015
Problema:
(PUC) Com base no gráfico da função y = f(x), qual é o valor de f(f(f(1)))?
x
y
−3 3 6
3
5
Figura 1: Figura da função y = (x)
Resolvendo:
Para que resolvamos o problema, é necessário seguir alguns passos básicos.São eles:
1. Identificar as condições de contorno;
2. Desenvolver a cadeia de funções;
3. Encontrar a equação da reta em declive;
4. Aplicar 3 em 2.
1
Identificando as Condições de Contorno
Identificamos as condições de contorno para a função y = f(x). Isto é feitoapenas observando o gráfico acima. Acompanhe:
f(x) =
y = 0 se x = −3y = 3 se x ≥ 0 e x < 3y = 5 se x = 3y = 0 se x = 6
Beleza. Agora desenvolvemos a cadeia de funções com base nas condiçõesde contorno acima.
Desenvolvendo cadeia de funçõesTemos, então, a função composta:
f(f(f(1))) = ?
Esta parte parece complicada mas é simples. Basta você começar a resolverde dentro para fora. Observe que nós sabemos quando vale f(1). Nas nossascondições acima, temos que 1 está entre 0 e 3 (lembre-se que trabalhamos semprecom x dentro de f(), nunca y, pois y já é o próprio f(x)). Assim,
f(1) = 3
Disto, f(f(f(1))) torna-se:
f(f(3)) = ?
Entende? E aí continuamos: sabemos quem é f(3). Das nossas condições,ele vale 5. Então f(f(3)) torna-se:
f(5) = ?
Beleza. Neste ponto a gente pára. Paramos porque não temos certeza dequem é f(5). Nós sabemos que ele está contido em uma reta em declive, comomostra a figura, mas não temos um valor exato para lhe dar.
O procedimento, então, é encontrar a equação desta reta, a fim de que pos-samos encontrar quanto vale f(5). O que nos leva ao próximo passo...
2
Encontrar a equação da reta em decliveTemos, dos nossos conhecimentos algébricos, que a equação da reta se dá em
2 fases: 1) A angulação m, entre a reta e o plano x, e a passagem dos pontos xe y. Temos então:
m =yfinal − yinicialxfinal − xinicial
e y − yreta = m(x− xreta)
Perceba como a segunda depende da primeira.
Sabendo disso, procedemos em encontrarm. Fazemos isto pegando os pontosque sabemos que a reta passa. No caso, P1 = (3, 5) e P2 = (6, 0):
m =yfinal − yinicialxfinal − xinicial
m =0− 5
6− 3
m =−5
3= −5
3
E agora a passagem dos pontos...
Quando queremos determinar um ponto em uma reta, aplicamos à equaçãoum ponto anterior ao que queremos. No caso, nós temos P1 e P2. P2 é pos-terior ao ponto que queremos encontrar. Temos esta conclusão observando suacomponente x, no caso, 6. Lembrando que queremos encontrar um ponto quetoca na reta em declive de coordenadas P? = (5, Y ). Assim, 5 < 6, portanto P2
é posterior ao que queremos. O que nos leva a utilizar P1:
y − yreta = m(x− xreta)
y − 5 =
(−5
3
)(x− 3)
y − 5 =−5x+ 15
3
y =
(−5x+ 15
3
)+ 5
y =−5x+ 30
3
y =−5x
3+ 10
3
Uma vez que nós temos a equação da reta, só falta calcular f(5), o que nosleva ao último passo...
Aplicar 3 em 2
Se y = f(x) e y =−5x
3+ 10, então f(x) =
−5x
3+ 10, beleza?
Sabendo disto, queremos calcular f(5). Que fica:
f(x) =−5x
3+ 10
f(5) =−5× 5
3+ 10
f(5) =−25
3+ 10
f(5) =−25 + 30
3
f(5) =−25 + 30
3
f(5) =5
3
Resposta final:5
3.
4