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Pós Graduada em Educação Matemática – UNOPAR, Graduada em Ciências 1º Grau com Habilitação em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí – FAFIPA, Profª de Matemática do Colégio Estadual Enira Moraes Ribeiro – E.F.M.P.

2 Mestre em Ciências pela Universidade Federal do Paraná - UFPR, Graduado em Ciências 1º Grau com Habilitação em

Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí - FAFIPA, Prof. Assistente C do

Colegiado de Matemática da FAFIPA.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O

ENSINO DE GEOMETRIA PLANA

Autor: Rosani Edir Bogoni¹ Orientador: M. Sc. Carlos Ropelatto Fernandes²

Resumo

Este artigo procura mostrar os resultados da implementação do projeto “Resolução de Problemas: uma proposta metodológica para o ensino de geometria plana”, desenvolvido junto aos alunos do 9º ano, do período da manhã, do Colégio Estadual Enira Noraes Ribeiro - EFM. Teve como objetivo utilizar a resolução de problemas como recurso facilitador para o ensino da Geometria Plana. Dentre distintas tendências se optou pela resolução de problemas como alternativa pedagógica, já que trabalhar o pensamento geométrico desta forma favorece significativamente a aprendizagem do conteúdo, e da ênfase ao processo de construção de um conceito, além de desenvolver a capacidade de resolver problemas do aluno, tanto na matemática quanto em sua vida. Para tanto, recorreu-se a uma literatura produzida nesta área, numa abordagem crítica, já que a geometria está presente em diversas situações da vida cotidiana e o ensino da mesma no ensino fundamental, se bem direcionado, através da resolução de problemas se torna formadora do pensamento, facilitando sua representação. O desenvolvimento das atividades ocorreu em cinco encontros semanais, no período da tarde. A metodologia foi à proposta por Polya (1977), onde se procurou fazer com que os alunos, frente a uma situação problema, pudessem analisar e compreender a situação por inteiro, decidindo qual a melhor estratégia para resolvê-lo, tomar decisões, argumentar, expressar, fazer registro, mobilizar as informações adquiridas, os procedimentos aprendidos e os combinar na busca de uma resolução satisfatória. Enfim, através de um problema matemático, os alunos foram encorajados a se comunicar matematicamente, assim, tiveram a oportunidade para explorar, organizar, relatar seus pensamentos, seus novos conhecimentos e os diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto.

Palavras-chave: Resolução de problemas; geometria plana; tendências; estratégia.

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1 Introdução

A matemática é uma das disciplinas que os alunos demonstram muita

rejeição, inclusive, alegam não entender de onde vem e para que serve. Estudos

diversos vêm sendo desenvolvidos visando tornar a educação matemática mais

dinâmica e interessante. No Paraná, o governo estadual há alguns anos vem

investindo no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) buscando dar

condições aos docentes da Rede Pública Estadual de se capacitarem e com isso

criarem melhores condições de ensino em sala de aula.

O PDE possibilita aos professores da rede pública estadual de educação do

estado do Paraná, subsídios teórico-metodológicos para o desenvolvimento de

ações educacionais que resultem em revisão da própria prática pedagógica e,

consequentemente mudanças qualitativas no cotidiano da escola pública

paranaense.

Desta forma, o artigo contempla as seguintes atividades previstas no

transcorrer do PDE: aprofundamento teórico, reflexão sobre a prática pedagógica,

discussões virtuais em torno da resolução de problemas para o ensino de geometria

plana via Grupo de Trabalho em Rede (GTR) e implementação, as quais foram

desenvolvidas junto aos alunos do 9º ano, matriculados no período da manhã, do

Colégio Estadual Enira Moraes Ribeiro – EFM.

Partindo do pressuposto de que a geometria é considerada a parte mais

difícil de ser aprendida na matemática, tanto é que nos livros didáticos ela se

apresenta de forma solta, desarticulada, abordada sucintamente, nos capítulos finais

dos livros, traçou-se enquanto objetivo geral utilizar a resolução de problemas como

recurso facilitador para o ensino da Geometria Plana.

Em síntese, procurou-se a partir de um problema matemático, estabelecer

uma discussão, obtendo diferentes respostas. Nessa discussão, a pretensão foi que

os alunos compreendessem que a questão real e importante na solução do

problema é a consideração de uma variedade de possíveis estratégias. Pois, quanto

mais os alunos têm oportunidade de refletir sobre um determinado assunto, falando,

escrevendo ou representando, mais eles o compreendem.

Fazer uma reflexão sobre os textos e contextos apresentados, no que se

referem a áreas e medidas de figuras planas; propiciar aos alunos a leitura para

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buscar informações, para aprender exprimir opinião própria sobre o que leram,

estabelecendo comparações, fazendo conjecturas, conversando com outros colegas

sobre o tema lido; permitir que o aluno pense por si mesmo e construa estratégias

de resolução e argumentação, relacionando diferentes conhecimentos e

perseverando na busca de uma solução; contribuir para melhoria do ensino de

resolução de problemas matemáticos, fazendo com que os alunos se tornem leitores

fluentes nessa disciplina e fazer com que os alunos, frente a uma situação

problema, possam analisar e compreender a situação por inteiro, decidindo qual a

melhor estratégia para resolvê-lo, tomar decisões, argumentar, expressar, fazer

registro, mobilizar as informações adquiridas, os procedimentos aprendidos e os

combinar na busca de uma resolução satisfatória, constituíram os objetivos

específicos.

Para atingir tais objetivos buscou-se um referencial teórico em autores que

discutem a geometria plana e a resolução de problemas, entre eles: Barbosa, Dante,

Lorenzato e Polya.

O desenvolvimento das atividades ocorreu através de uma Unidade Didática

intitulada “Resolução de Problemas: uma proposta metodológica para o ensino de

geometria plana”. Contou com cinco encontros semanais, no período da tarde, onde

o método utilizado foi baseado na proposta de Polya (1977), um dos pioneiros em

pesquisa sobre resolução de problemas, que sugere quatro passos essenciais que

são:

1. Compreender o problema, interpretando a questão, lendo e relendo, a fim

de identificar de forma clara o que estamos procurando;

2. Estabelecer estratégias e buscar uma melhor alternativa para resolvê-lo;

3. Executar a estratégia;

4. Fazer a verificação, chegando a uma conclusão.

Nesse contexto, no primeiro encontro trabalhou-se uma série de problemas

curiosos, onde os alunos utilizaram os quatro passos para chegar a um resultado.

De acordo com Dante (2000) em seu livro “Didática da Resolução de Problemas de

Matemática”, o objetivo principal de ensinar Matemática é fazer com que o aluno

pense produtivamente. Para isso, situações problemas que os envolvam e os

desafiem motivando-os a solucioná-los se tornou um bom ponto de partida. Ainda de

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acordo com o autor, um bom problema desencadeia no aluno a vontade de

pesquisar e faz com que diminua a passividade e o conformismo.

Na sequência foram apresentados problemas envolvendo a geometria plana

e no último e conclusivo encontro, os alunos resolveram diversos problemas

geométricos utilizando a proposta de Polya.

2 Alguns Pressupostos Teóricos

2.1 O Ensino de Geometria no Brasil

Apesar da relevância da Geometria na vida das pessoas, a escola não lhe

vem dando a devida importância, embora as Diretrizes Curriculares do Estado

(DCE) do Paraná sugerirem essa importância. O ensino de Geometria no Brasil

permanece no nível inicial, onde os alunos julgam que o quadrado não é retângulo

só porque possuem aparências diferentes (LORENZATO, 1995).

Para Gálvez (1996) na escola a geometria não é ensinada com o intuito de

dominar as relações com o espaço, mas o seu ensino se restringe a conhecer

apenas uma coleção de objetos definidos.

No entanto, quando um conteúdo é apresentado sem a devida

contextualização, torna-se enfadonho e complicado, e é assim que têm sido o

ensino da geometria nas escolas, pois os professores, também não tiveram uma

formação específica sobre o ensino de geometria em sua graduação.

Segundo Souza (2001) todos os momentos e lugares do ambiente escolar

(sala de aula, pátio) devem ser aproveitados para trabalhar os conceitos

geométricos. Deve-se ainda aproveitar a confecção de objetos sólidos para estudar

comprimentos, área e volume, dentre outros.

Para que o ensino seja eficiente deve ser realizada uma abordagem informal

através da sistematização dos conteúdos. Entretanto, devem ser evitadas

definições, fórmulas e simbologia desnecessária à construção de conceitos lógicos

matemáticos. Borges (1992, p. 6), salienta a importância em o professor saber o

momento certo de passar da linguagem simbólica para a formal, pois o próprio aluno

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sente a necessidade de contemplá-lo.

Para Souza (2001),

A geometria pode atuar como fator facilitador na compreensão e solução de questões de outras áreas do conhecimento humano, e não conhecê-la pode tornar incompleta a leitura do mundo, reduzir a comunicação entre as ideias e tornar diminuta a visão matemática (SOUZA, 2001, p.70).

2.2 Conceituando Resolução de Problemas

O Ensino da Matemática e a Resolução de Problemas estão intrinsecamente

ligados desde a antiguidade, estudos revelam que os mais antigos documentos que

temos notícia da matemática são em formas de coleções de problemas. O Papirus

de Rhind, a maior fonte de conhecimento da matemática egípcia, foi essencialmente

um livro escolar. Nele é encontrado um grande número de problemas e exercícios.

Dante (2000) conceitua problema como qualquer situação que leve o

indivíduo a pensar. Já Pereira (1980) declara que problema é toda situação na qual

o indivíduo necessita obter novas informações e estabelecer relações entre

elementos conhecidos e os contidos num objetivo a que se propõe a realizar para

atingi-lo. E Azevedo (2002) diz que problema é tudo aquilo que não sabemos fazer,

mas que estamos interessados em fazer.

Polya (1977) no prefácio de seu livro “A Arte de Resolver Problemas” relata

que uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma

pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser

modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades

inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e

gozará o triunfo da descoberta.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) entendem que resolver um

problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas

“corretas”, aplicando procedimentos adequados. Mas, que resolver problemas é um

processo em que o aluno é estimulado a questionar sua própria resposta, a

questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos

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problemas, a formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar

problemas abertos que admitem diferentes respostas em função de certas condições

e que é necessário desenvolver habilidades que permitam provar os resultados,

testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos para obter a solução num trabalho

em que “a importância da resposta correta” ceda lugar à importância do processo de

resolução via da ação refletida que constrói conhecimentos (PCN, 1999, p. 42-43).

A proposta das DCEs (PARANÁ, 2008) diferencia a metodologia de

Resolução de Problemas da metodologia de resolução de exercícios, afirmando que

o primeiro necessita do levantamento e teste de hipóteses enquanto a segunda

restringe-se na aplicação imediata de mecanismos.

O ensino de Matemática tem como um dos desafios a abordagem de conteúdos a partir da resolução de problemas. Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante terá oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos já adquiridos em novas situações de modo a resolver a questão proposta (GANDRO, 2000).

Ou seja, há muito que se fazer e aperfeiçoar, e só fazendo se descobrirá

onde pode ser melhorado. Tudo depende da boa vontade e disposição do professor

que usa essa proposta metodológica. Oportunizar é função do professor, que

permitirá ao aluno: ousar, ultrapassar limites, construir seu conhecimento com prazer

e realizar sua própria construção mental.

Dante (2000) conceitua como problema matemático uma situação que

necessite de pensamentos e conhecimentos matemáticos para resolvê-lo. O autor

acredita que a resolução de problemas pode auxiliar e bastante no desenvolvimento

de habilidades do educando, utilizando situações problemas poderemos envolvê-lo e

desafiá-lo a ponto de incentivá-lo, para que dessa forma lhe proporcione o

pensamento produtivo.

Fundamentado nas ideias de Polya, Dante (2000) em seu livro “Didática da

Resolução de Problemas de Matemática”, diz que o objetivo principal de ensinar

Matemática é fazer com que o aluno pense produtivamente. Para isso, situações

problemas que os envolvam e os desafiem motivando-os a solucioná-los seria um

bom ponto de partida. Ainda de acordo com o autor, um bom problema desencadeia

no aluno a vontade de pesquisar e faz com que diminua a passividade e o

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conformismo.

Os problemas envolvendo a geometria podem ser trabalhados com figuras,

as quais serão úteis na visualização e poderão contribuir também com problemas de

vários tipos. Polya (1977) orienta a respeito dessa figura, a qual se pode ter em

mente ou fazer um desenho, porém, se o problema fornecer vários dados da figura,

o melhor é fazer uma representação em forma de desenho, a fim de conseguir

analisar todos os itens. Porque se for resolver o problema e ao mesmo tempo focar

na visualização da figura, ficará difícil concluir o problema, pois pode confundir os

dados e o plano de execução também poderá falhar.

Na resolução de problemas, o estudante aprende a perseverar a despeito de insucessos, a apreciar pequenos progressos, a esperar pela ideia essencial e a concentrar todo o seu potencial quando este aparecer. Se o estudante não tiver, na escola, a oportunidade de se familiarizar com as emoções que surgem na luta pela solução, a sua educação matemática terá falhado no ponto mais vital (POLYA, 1977, p. 114).

Para o autor é fundamental o desenvolvimento do raciocínio lógico do aluno.

Levando-o ao uso inteligente dos recursos disponíveis, para que ele possa propor

soluções aos problemas que surgirem no seu próprio dia-a-dia.

2.3 Classificação dos problemas

Dante (2000) fez uma classificação dos problemas. Para ele existem vários

tipos de problemas que são:

1. Exercícios de reconhecimento são aqueles que levam o aluno a

reconhecer, identificar ou lembrar conceitos, definições ou propriedades.

Verifica-se que este tipo de problema está bastante presente na escola e

nos livros didáticos.

2. Exercícios de algoritmos têm a função de treinar habilidades e executar

algoritmos, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Seu uso

também está inserido nos livros didáticos.

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3. Problemas-padrões envolvem a aplicação de algoritmos; estão

presentes, principalmente, no final dos conteúdos dos livros didáticos e

não necessitam de uma estratégia para serem resolvidos, portanto, não

desafiam, nem motivam o aluno para resolvê-lo.

4. Problemas-processo ou heurísticos são os mais elaborados e

envolvem operações que não estão contidas no enunciado. Levam o

aluno a pensar num plano de ação, elaborar uma estratégia para

solucioná-lo. Não visam uma resposta pronta, mas um pensar matemático

que leve à solução adequada.

5. Problemas de aplicação são os do cotidiano, baseados em situações

reais e que precisam do uso da Matemática para ser resolvidos. Também

são chamados de situações-problema. Verifica-se que os livros didáticos

não exploram esse tipo de problema e, quando aparecem, os dados não

refletem a realidade de determinadas regiões e, portanto, a região de

determinados alunos. Podem, também, estar relacionados com outras

áreas do conhecimento sob a forma de projetos.

6. Problemas de quebra-cabeça são os que na grande maioria, desafiam

os alunos e que, geralmente, para resolvê-los, é necessário algum truque.

A matemática recreativa é bastante rica nesse tipo de problema.

2.4 Etapas que facilitam a Resolução de Problemas

Polya (1977) é considerado o mestre da resolução de problemas e para ele,

existem quatro etapas principais de resolução: compreender o problema; elaborar

um plano; executar o plano; e fazer o retrospecto ou verificação.

Compreensão do problema: está diretamente ligada à leitura e à

interpretação, por isso é necessário que o aluno realmente deseje

resolver o problema, ou seja, tenha interesse, esteja motivado para achar

a solução;

Estabelecimento de um Plano: consiste em relacionar os dados do

problema à pergunta feita e procurar achar uma estratégia para que se

possa chegar à solução. Essa estratégia pode ser a utilização de uma

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fórmula e o desenvolvimento da mesma;

Execução do Plano: Esta fase é, teoricamente, mais fácil que elaborar o

plano. É onde se executará, passo a passo, o plano elaborado verificando

se tudo está de acordo com o programado. Para que se atinja o objetivo,

é importante que o próprio aluno tenha elaborado o plano;

Retrospecto: Esta fase é importante, pois será verificado se o plano foi

bem executado, se há necessidade de ajustes, se a resposta é coerente,

se há possibilidade de ir por outro caminho mais prático e seguro. Pode-

se, muitas vezes, fazer a verificação da resposta, onde o retrospecto pode

determinar se a conclusão é correta ou não. Pode-se, também, verificar

se é possível utilizar a resposta ou a resolução em outro problema.

Para Dante (2000) essas etapas não precisam ser rígidas, pois não se limita

a seguir regras, como se fosse um algoritmo, é apenas uma orientação que ajudará

aqueles que se dedicam a resolver o problema.

3 Iintervenção

A matemática faz parte do nosso cotidiano, esta implícita em quase todas as

nossas atividades, portanto, não é possível viver sem ela. Porém, em sala de aula,

representa apenas alguns símbolos que na maioria das vezes, para o aluno é

impossível de ser decifrado. Para superar essa ideia preconcebida, Biembengut

(2003) afirma que “devemos encontrar meios para desenvolver nos alunos a

capacidade de ler e interpretar o domínio da matemática”. Neste caso, o meio

encontrado foi à resolução de problemas.

Nesta tendência o professor apresenta um problema e os alunos tentam

resolve-lo com o conhecimento que tem. Quando os alunos encontram algum

obstáculo o professor os auxilia, por exemplo, com a revisão do conteúdo. Resolvido

o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário, com a ajuda do

professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema,

inclusive sobre o conteúdo necessário. Dando continuidade o professor apresenta

outro problema.

Desta forma, utilizou-se uma série de problemas curiosos, para iniciar a

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implementação no período da tarde, junto aos alunos do 9º ano do ensino

fundamental do Colégio Estadual Enira Moraes Ribeiro, que estudam no período da

manhã. A implementação aconteceu em cinco encontros, onde os alunos foram

encorajados a se comunicar matematicamente e assim, tiveram a oportunidade de

explorar, organizar, relatar seus pensamentos, seus novos conhecimentos e os

pontos de vista sobre o mesmo assunto.

O trabalho esteve ancorado nos estudos de George Polya, um dos pioneiros

em pesquisa sobre a resolução de problemas e distingue quatro fases de trabalho

diante de um determinado problema que são: compreender o problema; elaborar um

plano; executar o plano e verificar se a solução satisfaz as condições do problema.

O primeiro problema sugerido foi uma planificação de um cubo, onde os

alunos deveriam identificar qual dos cubos poderia ser obtido através da mesma.

Conforme Figura 1 abaixo.

Figura 1 Fonte: UEPG/matemática à distância

Para discutir sobre as possíveis respostas, os alunos fizerem grupos de

quatro elementos, que foram nomeados em G1, G2, G3 e G4. Os grupos deveriam

chegar a um consenso entre os membros, mas não poderiam passar as conclusões

aos outros grupos. Todos tentaram achar uma resposta que pudesse ser justificada,

porém, somente um dos grupos conseguiu utilizar as quatro etapas propostas, e

assim foram escolhidos para apresentar as conclusões que chegaram a todos os

participantes. De acordo com o grupo G3, eles concluíram que a resposta certa era

a D, já que na letra A os quadrados branco e azul, não poderiam ficar juntos. Na

letra B acontecia o mesmo com o círculo, eles não podem ficar juntos também. A

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letra C não poderia ser, por causa do triângulo branco, que está numa posição

invertida em relação ao quadrado azul. Então, só poderia ser a letra D. Para

comprovar fizeram a planificação em um papel e montaram o cubo.

Para Dante (2000), ensinar matemática é fazer com que o aluno pense

produtivamente. Para isso, situações problemas que os envolvam e os desafiem

motivando-os a solucioná-los é um bom ponto de partida. Ainda de acordo com o

autor, um bom problema desencadeia no aluno a vontade de pesquisar e faz com

que diminua a passividade e o conformismo. Fato comprovado ao verificar a atitude

do grupo 3, que na dúvida, tiveram a iniciativa de montar o próprio cubo, para

chegarem a resposta certa.

Na sequência, apresentou o segundo problema, avisando-os que eles

deveriam mover o menor número de palitos de fósforo possível da Figura 2.I para

transformá-la na Figura 2.II, conforme a figuras abaixo.

Figura 2.I Figura 2.II

Fonte: UEPG/matemática à distância

Neste caso, os grupos elaboraram várias formas de resolver, sendo que o

primeiro grupo respondeu rápido que mexendo apenas um dos palitos da Figura 2.I

já chegariam à Figura 2.II. Logo, o grupo 3 discordou, dizendo que parecia igual,

mas não era, pois o paralelogramo formado pela figura sugerida pelo grupo 1 estava

“torto”. O grupo 2 achou que com dois palitos conseguiriam formar a outra casa,

mas quando ouviram a opinião do grupo 3 a respeito da formação “torta” da casa,

perceberam que também estava errado. Diante das considerações dos amigos, o

grupo 4 concluiu que para formar a segunda casa, teriam que deixar a parte da

frente sem mexer e mover cinco palitos da parte de trás para o outro lado, assim

ficaria igual.

Para estes problemas iniciais, os alunos tinham sido orientados a não se

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preocupar em acertar ou errar, apenas tentar se divertir, achando uma solução.

Assim, foi feito, não houve interferência para que se chegasse aos resultados, pois

o objetivo era fazer com que sentissem a vontade em se comunicarem para

chegarem a alguma resposta que pudesse ser justificada.

A próxima ação foi encaminhá-los ao laboratório de informática para que

fosse feito uma pesquisa em um site de busca, sobre George Polya e o conceito de

resolução de problemas segundo o autor.

Esta atividade corroborou com a opinião de Borges (1992) que acredita que

o ensino para ser eficiente deve ser realizado em uma abordagem informal através

da sistematização dos conteúdos. Entretanto, devem ser evitadas definições,

fórmulas e simbologia desnecessária à construção de conceitos lógicos

matemáticos, o autor ainda completa salientando sobre a importância em o

professor saber o momento certo de passar da linguagem simbólica para a formal,

pois o próprio aluno sente a necessidade de contemplá-lo.

Para abordar o conteúdo de geometria colocou-se o seguinte problema:

Um gato está sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a uma

distância de 8m da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa (em linha reta

até o muro) é comido pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo

comprimento que o rato tinha andado até então. Qual a distância que cada um

percorreu?

Para seguir a primeira etapa descrita por Polya, que é a compreensão do

problema, questionou-se: Qual é a incógnita? Quais são os dados que temos para

resolvê-lo? Vocês conseguem traçar um desenho para esquematizar o problema?

Os alunos foram respondendo os questionamentos e as respostas foram sendo

expostas no quadro para giz.

Partiu-se então para a segunda etapa, que de acordo com Polya (1978) em

sua obra “A arte de resolver problemas”, para se estabelecer um plano é necessário

que se tenha uma ideia de quais serão os cálculos necessários para tentar chegar a

um resultado. Nesse ponto, dialogando com os alunos montou-se a estrutura do

problema, utilizando à incógnita e os dados iniciais. O plano foi resolvê-lo através do

Teorema de Pitágoras.

Para a execução do plano, utilizando o teorema de Pitágoras, já conhecido

pelos alunos em aulas anteriores, fizeram-se os cálculos necessários. E como

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verificação da resolução, questionou-se a possibilidade de chegar ao resultado por

caminhos diferentes. Ou utilizar o mesmo método para resolver outros tipos de

problemas.

Utilizando a tendência metodológica resolução de problemas, o professor

torna-se um incentivador e moderador das ideias geradas pelos alunos. Agindo

assim, os alunos participaram ativamente fazendo matemática, e não passivamente,

apenas observando a matemática sendo feita.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolve, pelos seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais numa idade susceptível poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter (POLYA, 1978, p.5).

Partindo deste pressuposto, apresentou-se o próximo problema, onde desta

vez, sem ajuda, os grupos apenas seguindo as etapas descritas foram construindo o

resultado. O problema foi retirado e adaptado do ENEM de 2004, com o enunciado,

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o dobro. Nesta ação, ainda, apresentou-se as etapas:

Compreendendo o problema: Qual é a incógnita? Quais são os dados

fornecidos? Qual a condição que o problema pede? É possível fazer uma

figura? É possível fazer uma estimativa da resposta?

Estabelecendo um plano: Conhece um problema semelhante? Ele será

útil neste caso? Qual cálculo poderia ser utilizado aqui?

Executando o plano: É possível saber se seu cálculo está correto?

Consegue demonstrar que ele está certo?

Verificando a resolução: É possível verificar o argumento utilizado?

Consegue chegar ao mesmo resultado por um caminho diferente? É

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possível verificar o resultado ou aplicar o método em outro problema?

Os questionamentos criaram entre os grupos, um clima de busca,

exploração, descoberta, deixando claro que o mais importante para obter a resposta

correta, é pensar e trabalhar no problema o tempo necessário para resolvê-lo, sem

pressa. Enfatizando a análise, o procedimento e a revisão da solução obtida. Não

simplesmente enfatizar a resposta correta. Agindo desta forma, prepara-se o aluno

para resolver qualquer tipo de problema matemático ou não.

Na resolução de problemas, acertar a resposta, não é necessariamente o

mais importante. Acredita-se que para o aluno o mais importante é saber o que fez e

como fez, e porque sua ação chegou a um resultado ou não, esta parte é essencial

na verificação da resolução. Se o professor apenas apresentar o resultado correto,

perderá o propósito desta tendência.

Agora com os participantes mais familiarizados com a proposta do projeto,

apresentou-se este problema. A direção do Colégio Enira Moraes Ribeiro, tirou uma

foto do Colégio, o retrato é retangular com lados medindo 40,5 cm e 30 cm. Para

não ser danificado foi colocado em uma moldura, alterando as dimensões, conforme

ilustração abaixo. Dessa forma questiona-se: Que área ocupa o quadro todo? A foto

sem moldura ocupa que área? Qual a área da moldura?

35 cm

50 cm

Figura 3 Fonte: o autor

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Este problema despertou a atenção dos alunos, por utilizar a foto do próprio

colégio, e ouve o cuidado de apresentar aos mesmos uma foto real com a moldura,

para que fizessem os questionamentos, a análise, o cálculo e a resolução e a

verificação dos resultados. Nessa atividade seguiu-se a orientação de Buriasco

(1995) que diz que na proposta de ensinar matemática por meio da resolução de

problemas, uma das questões mais importantes, é como apresentar um problema de

forma que os alunos queiram resolvê-lo e ainda compreendam e retenham o

conteúdo envolvido na sua resolução. Pois se o estudo da matemática é resolver

problemas, então a incumbência do professor é ensinar a arte de resolvê-los.

A próxima ação foi com embalagens, tendo em vista que há uma grande

variedade de objetos utilizados no dia-a-dia das pessoas com diferentes formas

geométricas, entre eles, as embalagens. Segundo Biembengut (2000, p. 42) “As

formas geométricas estão presentes nas embalagens”.

Desta forma pretendeu-se chamar a atenção dos alunos para os aspectos sejam funcionais, estéticos ou econômicos, que estabelecem critérios para definição das formas, conferindo sentido às classificações. Busca-se proporcionar aos mesmos a possibilidade de compreender os conceitos geométricos através da visualização, manipulação e observação das diferentes formas geométricas que são encontradas nas embalagens. (FONSECA, 2002, p.42).

Para tanto se levou para a sala de aula inúmeras embalagens em diferentes

formatos, produzidas para embalar variados e diversificados produtos. A

problemática, além dos cálculos matemáticos, foi à análise dos motivos de um

determinado produto ter embalagem no formato que se encontra nos

supermercados. Para melhor exemplificar, as embalagens dos óleos de cozinha e

dos leites em caixa longa vida.

Ao manusear embalagens, num primeiro momento o professor poderá resgatar os conceitos geométricos que os alunos têm e mostrar outros relevantes como nomenclatura, classificação, elementos, entre outros. Com isso, os alunos compreenderão melhor a relação entre duas retas, entre reta com plano e entre planos paralelos, perpendiculares e concorrentes; ângulo e ângulo poliédrico; propriedades dos polígonos (triângulos, quadriláteros, entre outros); da circunferência e do círculo além dos sólidos geométricos. (BIEMBENGUT, 2000, p. 35).

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Para aprofundar o tema os alunos foram ao laboratório de informática fazer

uma pesquisa sobre a história das embalagens, já que a proposta é que eles se

estimulados a buscar caminhos e respostas.

Quanto à última ação desta implementação, foi à planificação dos sólidos

geométricos, neste caso, representados pelas embalagens de diferentes tamanhos e

formatos, levados para sala de aula.

Essa atividade é relevante para observação, identificação e denominação

das figuras planas. Planificaram-se diferentes tipos de sólidos, com o objetivo de

fazer a comparação do sólido com a figura desmontada. Os questionamentos nesse

caso foram em torno da forma espacial que cada um dos objetos representava e

também as diferentes formas planas que compunham esses objetos.

Ao desmontar uma caixa de papelão, ou outro objeto qualquer, visualizam-

se com maior facilidade as formas e os elementos geométricos que os formam,

possibilitando ao aluno a apropriação dos conceitos geométricos. Observou-se a

participação entusiasmada de cada aluno no desenvolvimento dessa atividade.

Através da construção e planificação dos sólidos geométricos chegou-se a

elaboração de modelos ou relações matemáticas para facilitar a resolução de

problemas envolvendo as embalagens. Nesse momento professor e aluno

interagiram usando a criatividade.

A melhor coisa que pode um professor fazer para seu aluno é proporcionar-lhe discretamente uma idéia luminosa, partindo das indagações e sugestões para que o mesmo possa compreender, estabelecer um plano e resolver situações problemas. (POLYA, 1978, p. 56).

Elaborou-se um modelo para calcular o contorno de figuras; para efetuar

cálculos referentes à quantidade de material utilizado em cada embalagem, para

tanto, os alunos tiveram que descobrir os cálculos necessários que deveriam utilizar,

como perímetro e área. Também se construiu modelo para o cálculo da capacidade

e do volume de cada embalagem ou objeto presente no cotidiano dos alunos.

Concluiu-se esta etapa com a resolução de problemas em situações práticas

do cotidiano dos alunos. Envolveu-se a Geometria de forma contextualizada com

outros conteúdos matemáticos, pois a solução de problemas de forma

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contextualizada proporciona uma visão mais clara sobre o assunto, suprindo

deficiência, preenchendo possíveis lacunas quanto ao conhecimento do conteúdo,

ampliando o leque de aplicações matemáticas.

4 Considerações Finais

O Projeto “Resolução de Problemas: uma proposta metodológica para o

ensino de geometria plana” teve como objetivo principal superar o pensamento

rígido que só consegue solucionar um problema dentro de um esquema aprendido,

ação essa, que acontece normalmente nas aulas tradicionais, quando se trabalha

primeiramente com as operações e depois com problemas, como exercícios para

aplicar o conteúdo aprendido.

No decorrer dos estudos percebeu-se que é possível efetivar um trabalho

em sala de aula com uma matemática viva, capaz de superar esse pensamento

inicial e desenvolver habilidades de resolução de problemas incentivando o

pensamento criativo e flexível, despertando no aluno um clima de busca, exploração

e descoberta.

Na resolução de problemas, acertar a resposta, não é necessariamente o

mais importante. O mais importante é o aluno saber o que fez e como fez, e porque

sua ação chegou a um resultado ou não.

Ao trabalhar com a tendência da resolução de problemas o professor deve

ficar atento a alguns pontos, como: deixar que os alunos pensem por si mesmos,

evitando dar pistas; valorizar o processo de resolução de problemas como um todo,

não apenas a resposta correta; incentivar os alunos a descreverem os processos

que utilizaram para resolverem o problema; evitar problemas muito "fáceis" ou muito

"difíceis" para não gerar desinteresse; oportunizar momentos de resolução de

problemas individualmente e em pequenos grupos, enfim, em todo o processo

priorizar a qualidade, ao invés da quantidade.

A realização deste trabalho proporcionou não só um momento diferente para

se trabalhar com a Matemática, mas também, uma forma de aproximação entre

professor e aluno, pois, através das indagações necessárias à sua aplicação,

passou-se a conhecer melhor os alunos. As formas como eles pensam e agem

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diante de uma situação problema, não deixam de revelar um pouco sobre o meio em

que eles vivem, quais são suas necessidades e seus anseios para o futuro.

Outro fato importante que merece destaque é que ao usar a metodologia da

Resolução de Problemas o professor saiba quais problemas apresentar aos seus

alunos e como apresentá-los para que consiga despertar e manter neles o interesse

em solucioná-los, pois, a aprendizagem se torna mais gratificante, quando o aluno

passa a aprender aquilo que ele acha interessante, tornando-o assim, responsável

pelo seu aprendizado.

A análise dos resultados obtidos nas observações feitas durante a

implementação permitiu perceber, que a maior dificuldade dos alunos na resolução

de problemas está na leitura e interpretação dos dados contidos nos enunciados.

Quando se lê com eles, as respostas surgem com maior rapidez e clareza. A

dificuldade de muitos não está em realizar cálculos, depois de interpretado o

problema a resolução é rápida.

Quanto à utilização da resolução de problemas no ensino da geometria

plana pode-se dizer que se conseguiu instigar no aluno uma atitude de observação e

investigação das formas geométricas presentes no ambiente e também nas

embalagens. Criou-se oportunidade para que o aluno exercitasse modos de

representação, descrição e classificação próprios do tratamento geométrico.

Através da visualização e manipulação dos diferentes tipos de embalagens,

se trabalhou conceitos importantes da matemática, com a construção e a

planificação dos sólidos geométricos, comparando-os com as embalagens,

conseguiu-se mostrar a cada aluno, as diferentes formas e elementos geométricos

que estão presentes nas embalagens. Possibilitou-se a compreensão de termos

geométricos e a apropriação da aprendizagem dos mesmos, pois quando se iniciou

o trabalho, verificou-se uma enorme defasagem nos alunos em relação ao conteúdo

de geometria plana.

Porém, com a realização das atividades propostas, muitas das dúvidas

pertinentes ao conteúdo de geometria plana foram minimizadas, proporcionando ao

aluno o gosto e o prazer pela aprendizagem desse conteúdo.

Enfim, recomenda-se que os professores de matemática utilizem-se a

tendência da resolução de problemas a fim de motivar, incrementar e inovar as aulas

de Geometria, no sentido de torná-las mais interessantes e significativas. Para

concluir, pode-se dizer que a resolução de problemas deve ser trabalhada em todas

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as séries e conteúdos, para que o aluno adquira o hábito de ler e interpretar e se

utilizar de conteúdos adquiridos para solucionarem problemas matemáticos ou não.

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