resist en cia dos materiais

8/8/2019 Resist en CIA Dos Materiais

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ESCOLA POLITCNICAUNIVERSIDADE DE SO PAULO

PEF2308 Fundamentos de Mecnica das Estruturas

Prof. Osvaldo Nakao

Texto de apoio s aulas presenciaiscompilao de exerccios resolvidos

Elaborado pelos acadmicosRodrigo Suzuki OkadaJoo Paulo P. L. Smara

- Junho 2006


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PEF 2308 Compilao de Exerccios Resolvidos 2

ndice

1. Definies 032. Apoios no plano 032.1. Engastamento 03

2.2. Articulao Fixa 03

2.3. Articulao Mvel 03

3. Exerccios Resolvidos 043.1. Viga em balano 04

3.2. Viga Simplesmente Apoiada 06

3.3. Vigas inclinadas 08

3.4. Vigas poligonais 103.5. Estruturas Espaciais 14

4. Formulrio 17


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1. Definies

Apoios:pontos de sustentao de qualquer estrutura. Fora Normal (N): fora que atua perpendicularmente seo transversal,

ou seja, na direo do eixo da pea. Pode-se expressar em kN. Fora Cortante (V): fora que atua no plano da seo transversal, ou seja,

perpendicularmente ao eixo da pea. Pode-se expressar em kN. Momento Fletor ou de Flexo (M): momento que atua em torno dos eixos

contidos no plano da seo transversal. Pode-se expressar em kN.m. Momento Toror ou de Toro (T): momento que atua em torno do eixo

perpendicular seo transversal. Pode-se expressar em kN.m. Esforos Solicitantes: fora normal, fora cortante, momento fletor e

momento de toro. Carregamentos: fora aplicada em um nico ponto, fora aplicada em umcomprimento (fora distribuda por unidade de comprimento), fora aplicadaem uma superfcie (fora distribuda por unidade de rea). Pode-se expressarem kN, em kN/m, ou em kN/m2.

2. Apoios no plano2.1.Engastamento

O engastamento impede qualquer movimento (translaes ourotaes) pelo aparecimento de reaes. A figura ilustra oengastamento de uma barra num plano. Nesse caso, Xa impede atranslao horizontal, Ya impede a translao vertical e Maimpede o giro em torno do ponto de engastamento. Por exemplo,um poste de iluminao est engastado ao solo.

2.2.Articulao FixaApoio em que no se permite nenhum tipo de translao para a estrutura. Na figura, as reaes Xa e Ya impedem a translao horizontal evertical, respectivamente. A articulao fixa permite o giro em torno doeixo ortogonal ao plano de Xa e Ya. O apoio de uma cadeira sobre umpiso rstico pode ser considerado uma articulao fixa.

2.3. Articulao Mvel

Apoio em que se impede apenas a translao perpendicular ao plano deapoio. Na figura, a reao Yb impede apenas a translao vertical.


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3. Exerccios Resolvidos1. Viga em balano. Determinar as reaes no

apoio e esboar os diagramas dos esforossolicitantes na viga em balano. A foradistribuda por comprimento (p) est aplicada emtodo o comprimento (a) da viga em balano.

1.1.Determinar as reaes no engastamentoA fora p distribuda pelocomprimento a mecanicamente

equivalente p.a aplicada a umadistncia a/2 do ponto A.Se para a estrutura estar em equilbrioa resultante das foras aplicadas deveser nula e o momento em torno dequalquer ponto deve ser nulo, ento pode-se impor o equilbrio na barra:

X = 0 = XaXa = 0 Y = 0 = Yap.aYa = p.a M(A) = 0 = Ma p.a.a/2Ma = p.a2/2

1.2.Diagrama do corpo livre, e aplicao do teorema do corte.Para conhecer como os

esforos se distribuem aolongo da barra bastaobtermos o diagrama dosesforos solicitantes. Paraisso, corta-se a barra emuma seo genrica S a umadistncia x de A, e

determinam-se os esforossolicitantes que atuam nessaseo: a fora normal (N), afora cortante (V) e omomento fletor (M).

X = 0 =NN = 0


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Y = 0 =p.a p.x VV = p.(a x) M(S) = 0 =p.a2/2 p.a.x + p.x.x/2 + MM = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)

Com isso, obtm-se os esforos solicitantes em qualquer ponto da barra. Asexpresses, em funo de x, tambm permitem esboar os diagramas dessesesforos solicitantes.

1.3.Diagramas dos esforos solicitantesPara esboar os diagramas pedidos, deve-se obter os valores de determinadospontos. Em particular, no incio e no fim da barra.

N(x) = 0 V(x) = p.(a x)

o V(0) = p.ao V(a) = 0

M(x) = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)o M(0) = - p.a2/2o M(a/2) = - p.a2/8o M(a) = 0

Com isso, desenham-se osdiagramas, lembrando que nogrfico de momento o eixopositivo invertido.


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2. Viga Simplesmente Apoiada: Calcular as

reaes de apoio, e esboar os diagramas dosesforos solicitantes.

2.1. Calcular as reaes nos apoios

A nica fora ativa P. Nas articulaes,como no h momento fletor aplicado, j se

sabe que o momento fletor zero, pois o giro permitido. E, aplicam-se as condies deequilbrio, ou seja, a resultante (somatria) dasforas deve ser zero e a somatria dosmomentos em torno de qualquer ponto deveser zero.

Admitindo que L = a + b, temos que:

X = 0 = XaXa = 0 M(A) = 0 = P.a + Yb.(a+b)Yb = P.a/L M(B) = 0 = -Ya.L+ P.bYa = P.b/L

H sempre, no plano, trs equaes independentes formando o sistema possveldeterminado com as trs incgnitas do problema. H outras equaes (como por exemplo asomatria no Y), que podem ser utilizadas para verificao:

Y = YaP + Yb = P (b + a L )/L = 0OKNota: A verificao leva sempre a uma condio necessria, mas que no

suficiente.

2.2. Diagrama do corpo livre, e aplicao do teorema do corte

Neste problema, h necessidade de se efetuarfazer dois cortes, um antes da fora P e umdepois, obtendo-se as sees S1 e S2.


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2.2.1. Seo S1

X = 0 =NN = 0 Y = 0 = P.b/LVV = P.b/L M(S1) = 0 = - P.b.x/L + MM = P.b.x/L

2.2.2. Seo S2

X = 0 =NN = 0 Y = 0 = P.b/L PVV = P.(b L)/L = - P.a/L

M(S2) = 0 = - P.b.x/L + P.(x a) + MM = P.a.(-x/L + 1)

2.3. Diagramas de esforos solicitantes

Vale notar que, neste caso, emcada uma das duas sees, h umconjunto de equaes.

A fora cortante positiva naseo esquerda da fora P, pois,nesta seo, a fora cortantetende a girar a pea restante nosentido horrio. O valor em A pode ser obtido simplesmenteobservando que a reao em A a prpria fora cortante.

A fora cortante negativa naseo direita da fora P, pois,nesta seo, a fora cortantetende a girar a pea restante nosentido anti-horrio. O valor emB pode ser obtido simplesmenteobservando que a reao em B a prpria fora cortante.

O diagrama do momento fletor pode ser traado com os valores


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obtidos nas equaes. Os valores em A e em B so zero, pois pelo diagrama docorpo livre no h momento em A e em B. Aplicando-se o teorema do corte juntoao ponto de aplicao da fora P e reduzindo os esforos ativos em A ou em B

obtm-se os momentos fletores.

3. Vigas Inclinadas: Determinar as reaes nosapoios e esboar os diagramas dos esforossolicitantes.

3.1.Calcular as reaes nos apoios

Antes de qualquer coisa, notar que,devido inclinao da viga, a fora resultantedo carregamento de 3kN/m no est sobre 4m,

mas sim, sobre o valor do comprimento da viga,que pode ser obtido por Pitgoras. Resulta em

5m. Logo, a fora resultante de 3kN/m . 5m = 15kN no meio da barra.

Impe-se a condio para que hajaequilbrio: o momento em torno de qualquer pontodeve ser igual a zero. Neste caso, adota-se comoplo o ponto C para eliminar as incgnitas Yb eXa.

X = 0 = XaXa = 0 M(A) = 0 = -15*2 + Yb*4

Yb = 7,5kN M(C) = 0 = -Ya*4+ 15*2

Ya = 7,5kN

3.2. Diagrama de corpo livre, e aplicao do teorema do corte

Como eixo dos x para traar os

diagramas dos esforos solicitantesutiliza-se o eixo da prpria viga comorigem em A e a varivel x comosendo a medida desde A.

Seo S1:

sen a = 3/5 = 0,6 cos a = 4/5 = 0,8


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X = 0 =N + 7,5sen a 3x.sen aN = - 4,5 + 1,8x

Y = 0 = 7,5.cos a 3x.cos a VV = 6 2,4x

M(S1) = 0 = (-7,5.cos a)*x + (3x.cos a)*x/2 + MM = 6x 1,2x2

Para x entre 0 e 5 (lembrar que o eixo x o mesmo da barra, que tem 5m):

N(x) = - 4,5 + 1,8xo N(0) = -4,5 kNo N(5) = 4,5 kN

V(x) = 6 2,4xo V(0) = 6 kNo V(5) = - 6 kN

M(x) = 6x 1,2x2o M(0) = 0o M(5/2) = 7,5 kN.mo M(5) = 0


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3.3. Diagrama de esforos solicitantes

4. Vigas poligonais: Determinar as reaes nos

apoios e esboar os diagramas dos esforossolicitantes.

4.1.Calcular as reaes nos apoios

O carregamento na barra AC gera uma fora resultante de 6kN, a 1m do ponto A.Impondo-se o equilbrio na estrutura tem-se:


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X = 0 = Xa 5Xa = 5 kN

M(A) = 0= -6*1 10*3 + 4YbYb = 5,25 kN

M(B) = 0 = -4Ya+ 6*3 + 10*1 + 5*3Ya = 10,75 kN

4.2. Diagrama de corpo livre, e aplicao do teorema do corte

Devido s vrias vigas (em direes ecom carregamentos diferentes), para se obter odiagrama dos esforos solicitantes sonecessrios vrios cortes (com as respectivassees) para perceber as transferncias dosesforos (caminhamento das foras) at osapoios.

4.2.1. Seo D1:Transferindo as foras da extremidade livre da viga at o ponto D,tem-se, alm das foras previamente existentes, os efeitos dessatransferncia. Aplicar tais foras na extremidade livre diferente deaplic-las em D. A fora cortante de 10kN quando transferida para D mecanicamente equivalente a uma fora de 10kN e a um momento.Como a distncia de D1 linha de aplicao da fora de 1m, essemomento de 10*1 = 10kN.m. Alm disso, em D1, h a fora

normal de 5kN que transferida da extremidade livre e no gera nenhum efeito (forasnormais transferem-se por todas as sees ortogonais a essas foras sem gerar nenhumefeito adicional).

4.2.2. Seo D2:

D2 est a um dx ou dy de D1 e, portanto no produz nenhumefeito alm do que se observa na prpria transferncia. Vale a penanotar que na viga horizontal a fora de 10kN que era cortante na vigavertical transforma-se em uma fora normal. A fora normal de 5kNem D1 transforma-se em fora cortante em D2. O momento fletorque em D1 tracionava a fibra superior, em D2 traciona a fibra daesquerda.


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4.2.3. Seo C1:

Transferindo as foras do ponto D para o pontoC, para que sejam mecanicamente equivalentes almdas foras existentes em D, em C vai surgir o momentode 5kN * 3m = 15 kN.m. H ainda o momento aplicadoem D que transferido para a seo C. No surgenenhum efeito alm do prprio momento pois cadamomento se transfere para cada uma das seestransversais ao eixo, integral e isoladamente. Assim, emC, o momento resultante de 5 kN.m em sentido anti-horrio.

4.2.4.Seo C2:

Aplicando o teorema do corte, para a seo C2transferem-se as foras que estavam no apoio B. Assim,em C2 alm da fora de 5,25kN vai surgir o momento devalor 5,25kN*2m = 10,5 kN.m.

4.2.5. Seo C3:

Aplicando o teorema do corte, para a seo C3transferem-se todas as foras e momentos obtidos em C1 eC2, e obtm-se os resultantes.

Apenas para relembrar, quando se aplica o teoremado corte, a estrutura original fica dividada em duas. Osesforos que surgem na seo da metade considerada so os

efeitos dos esforos que ficaram na metade desconsiderada.Ou ainda, os esforos que surgem na seo da metadeconsiderada so os esforos que equilibram os esforos queficaram nessa metade considerada. por isso que asforas no apoio A no so transferidas para C3 no cortefeito.


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4.3. Diagrama dos esforos solicitantes

Por haver vrias sees, os grficos que representam a variao das foras normais e

cortantes podem ser desenhadas em qualquer lado da viga, pois no se estabelece um eixocomo positivo ou negativo. Porm, o sinal dever indicar se a fora positiva ou negativa.

De acordo com a conveno adotada, no caso das foras normais, foras de trao(de dentro para fora da seo da viga) possuem sinal positivo e foras de compresso (defora para dentro da seo da viga) possuem sinal negativo.

Para foras cortantes, o sinal positivo atribudo para aquela fora que tende girar aestrutura/seo no sentido horrio. A fora cortante ser negativa se essa fora tende a girara estrutura/seo no sentido anti-horrio.

Normal: Cortante:

Para o momento fletor, a convenoestabelece que os grficos que mostram a suavariao devem ser desenhados do ladotracionado. No se colocam os sinais de positivoou negativo. A linha deve permanecer do ladoda viga que flexionada. O diagrama dosmomentos fletores da estrutura analisada mostraclaramente quais as fibras tracionadas.


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5.1.2. Seo C2:

A fora e o momento em C1 sotransferidos para C2 sem outros efeitos poisas distncias dy e dz so infinitesimais. Nessa passagem de C1 para C2, surge afora de 2kN, que no estava em C1, masque deve ser considerada em C2.

5.1.3. Seo B1:

Por no haver nenhuma fora cortante a ser

transferida, por no haver nenhuma fora externa atuandona viga entre C2 e B1, a transferncia da fora e domomento de C2 para B1, no acrescenta esforo algum aoque j existia em C2.

5.1.4. Seo B2:De B1 para B2, acrescenta-se o momento (ativo

e externo, em torno do eixo y) de 2 kN.m, que agora,deve ser levado em considerao. Portanto, h a foracortante de 1kN (na direo z), o momento fletor de2kN.m (em torno do eixo y) e o momento de toro de

2kN.m (em torno do eixo x).

5.1.5. Seo A1:

Por fim, obtm-seos esforos solicitantes naseo transversal da viga junto ao apoio. A foracortante de 1kN (na direoz) quando transferida de B2

para A1 gera um momentofletor de 1kN*4m = 4kN.m(em torno do eixo y) pois a distncia de 4m na direo x. Portanto, o momento fletor de6kN.m (em torno do eixo y), a fora cortante de 1kN (na direo z) e o momento detoro de 2kN.m.

5.2. Diagrama dos Esforos Solicitantes

A partir dos esforos solicitantes obtidos nas sees extremas de cada viga eanalisando a existncia de esforos entre essas sees podem-se esboar os grficos dosesforos solicitantes.


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5.2.1. Fora Normal

O sinal negativo atribudo para foras de compresso (de forapara dentro), enquanto que o positivo atribudo para foras de trao (dedentro para fora). O grfico paracada viga pode ser desenhado emqualquer um dos semi-planos quepassam pelo seu eixo.

5.2.2. Fora Cortante

O sinal positivo atribudo para foras cortantes que tendem agirar a estrutura no sentido horrio,enquanto que o negativo atribudo para foras cortantes que tenem agirar a estrutura no sentido anti-horrio. O grfico deve serdesenhado no plano que contenha aviga e a fora. Para permitir uma

melhor visualizao pode-se optar por qualquer dos dois semi-planos pois h o sinal quedefine o sentido da fora. Conhecendo as foras cortantes em B2 e em A1 e observando que

no h nenhuma outra fora entre B2 e A1 conclui-se que a fora cortante de 1kN constante. Isso verificado at pelo fato de que no havendo carga distribuda entre B2 eA1 a fora cortante constante, pois p

dxdV = .

5.2.3. Momento Fletor

Para traar os diagramas dos momentosfletores deve-se, em cada seo, verificar qual afibra que tracionada, se a fibra de cima ou de baixo, se a da direita ou da esquerda, com oobservador posicionado em frente seotransversal. No se colocam sinais nos diagramasdos momentos fletores. Por exemplo, em B1, omomento fletor de 2kN.m traciona a fibra da direita.Em B2, esse momento vira momento de toro mas surge outro momento de 2kN.mexterno que traciona a fibra de baixo. Em A1, o momento fletor de 6kN.m traciona a fibrade baixo. Como entre B2 e A1, no nenhum outro momento aplicado, ele variauniformemente de 2kN.m (em B2) a 6kN.m (em A1). Isso pode ser confirmado pelo fato dafora cortante entre B2 e A1 ser constante e V

dxdM =


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5.2.3. Momento de toro (ou Momento Toror)

O sinal positivo atribudo para

momentos de toro representados porvetores saindo da seo transversal (dedentro para fora), enquanto que o negativo atribudo para vetores entrando na seotransversal (de fora para dentro). O grfico para cada viga pode ser desenhado emqualquer um dos semi-planos que passampelo seu eixo.

4. FormulrioEstar em equilbrio ter a resultante das foras igual a zero e o momento em torno de qualquerponto ser zero:

Relao entre momento e fora cortante:

Relao entre fora cortante e carregamento (fora distribuda por comprimento):

Momento obtido pela translao de uma fora cortante V a uma distncia d:

Resultante de um carregamento retangular (fora uniforme distribuda por comprimento, de p):

Resultante de um carregamento triangular (fora uniformemente variada, distribuda porcomprimento, de 0 a p):

Resultante de um carregamento qualquer (px = equao da curva em questo):

Vdx

dM=

pdx

dV=

dVvMrrr

=

0

0

0

)( =

=

=

uerpontoqualqM

Y

X

lpR =

2

lpR

=

=l

dxpxR0

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